АЛМАТИНСКИЙ ИНСТИТУТ ЭНЕРГЕТИКИ

 И СВЯЗИ

 

Кафедра электроснабжения промышленных предприятий

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ЭНЕРГЕТИКИ И КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

 

Программа курса, методические указания и контрольные задания для студентов факультета заочного обучения и переподготовки специалистов

по специальности 210440 - Электроснабжение (по отраслям)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Алматы 2004

 

АЛМАТИНСКИЙ ИНСТИТУТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ

 

Кафедра электроснабжения промышленных предприятий

 

 

                                                                      УТВЕРЖДАЮ

                                                     Проректор по учебно-методической работе

                                                    ______________________

                                                    “___”_________________2004 г.

 

 

 

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ЭНЕРГЕТИКИ И

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Программа курса, методические указания и контрольные задания для студентов факультета заочного обучения и переподготовки специалистов

по специальности 210440- Электроснабжение (по отраслям)

 

 

 

 

 

 

 

СОГЛАСОВАНО                                                    Рассмотрено и одобрено на

Начальник УМО                                                     заседании кафедры ЭПП

________________                                                Протокол № _______

“___”___________2004г.                                      от “___”___________2004г.

 

                                                                                 Зав. кафедрой ЭПП,

                                                                                 д.т.н., профессор

                                                                                 _____________А.В. Болотов

 

Редактор                                                                 Составитель:

__________ В.В. Шилина                                     Старший преподаватель                         кафедры ЭПП

“___”___________2004г.                                      ___________Н.А. Туканова

                                                           

 

 

 

 

Алматы 2004

 

СОСТАВИТЕЛЬ: Н.А. Туканова. Математические задачи энергетики и компьютерное моделирование. Программа курса, методические указания и контрольные задания для студентов факультета заочного обучения и переподготовки специалистов по специальности 210440 - Электроснабжение (по отраслям). – Алматы: АИЭС, 2004. – 26 с.

 

    

 

 

 

Данная разработка включает в себя рабочую программу курса, контрольные задания для студентов – заочников и указания по его выполнению, а также список необходимой литературы.

Ил. 2  , табл.18, библиогр. - 17 назв.

 

 

 

 

Рецензент: канд. техн. наук, доцент С.А. Бугубаев.

 

 

 

 

 

 

 

 

            Печатается по плану издания Алматинского института энергетики и связи на 2004 год.

 

 

 

 

 

 

 

 

                                    Алматинский институт энергетики и связи, 2004г.

                                       

 

Содержание

 

 

Введение	4
1 Программа курса	4
2 Контрольные задания	6
2.1 Задание № 1. Определить оптимальную схему электроснабжения потребителей	6
2.2 Задание № 2. Методом неопределенных множителей Лагранжа определить оптимальную реактивную мощность синхронных двигателей	10
2.3 Задание № 3. Определить: вероятность нагрузки трансформаторов питающей подстанции; математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратичное отклонение случайной величины нагрузки трансформатора; показатели надежности системы электроснабжения относительно шин 0,4 кВ; величину недоотпущенной электроэнергии за год относительно шин 0,4 кВ	15
2.4 Задание № 4. Определить оптимальный вариант прокладки кабельной линии 10 кВ от источника питания к потребителю методом динамического программирования	19
2.5 Задание № 5. Решить систему линейных уравнений графическим методом. Построить область допустимых решений и определить точку экстремума функции	22
Список литературы	26

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Согласно учебному плану студенты специальности 210440 – Электроснабжение (по отраслям) изучают курс «Математические задачи энергетики и компьютерное моделирование», включающий следующий объем часов: аудиторные занятия - 22 часа, самостоятельная работа – 53 часа. В данном курсе предусмотрена контрольная работа из пяти заданий, предполагающая самостоятельное закрепление студентами пройденных разделов дисциплины.

          К сдаче экзамена по курсу студенты допускаются после успешного выполнения и защиты контрольной работы.

 

1 ПРОГРАММА КУРСА

 

1.1   Содержание курса

 

1.1.1 Введение

Математические задачи энергетики и компьютерное моделирование в области электроснабжения, постановка задачи. Основные задачи курса (определение оптимальных параметров систем электроснабжения, выбор экономичного расположения электрооборудования, определение экономичности степени резервирования элементов электроснабжения и т.д.) и математические методы их решения /1,2,7,15/.

 

1.1.2 Общие сведения об электроэнергетике

Задачи, возникающие при проектировании и эксплуатации электроэнергетических систем. Математические основы оптимизации электроэнергетических систем /3,6,7,9,11,12,15/.

 

1.1.3 Применение методов математического программирования

 Линейное программирование. Формулировка задачи линейного программирования. Моделирование задач линейного программирования. Симплексный метод решения. Алгоритм симплексного метода /2,6,7/.

 

1.1.4 Транспортная задача

 Постановка транспортной задачи. Составление математической модели транспортной задачи. Решение транспортной задачи методом потенциалов. Решение открытых транспортных задач, транспортных задач с промежуточными перевозками. Транспортные задачи  в сетевой постановке с использованием метода границ и ветвей /2,6,7,9,12,15/.

 

 

 

 

1.1.5 Нелинейное программирование

 Постановка задачи нелинейного программирования. Метод неопределенных множителей Лагранжа. Градиентный метод оптимизации /2,4,6,11,13,14/.

 

1.1.6 Критериальное программирование

Основные задачи критериального анализа. Исследование технико- экономических моделей. Определение критериев подобия. Исследование соразмерности. Определение  значений параметров и затрат в точке минимума целевой функции. Исследование технико-экономической устойчивости. Повторная оптимизация чувствительности параметров и затрат в точке минимума к изменению данных /2,3,4,9,11,16,17/.

 

1.1.7 Применение теории вероятностей и математической статистики в энергетике

 Случайные явления и события. Случайные величины. Математические модели отказов и восстановлений. Сбор статистических данных по отказам и восстановлениям. Определение законов распределения случайных величин и их числовые характеристики. Критерии согласия /5,8,10,12/.

 

 

1.2   Содержание лабораторных работ

 

1.2.1     Симплекс метод

1.2.2     Транспортная задача

1.2.3     Имитационные исследования трансформаторов в среде Electronics Workbench

1.2.4     Исследование электромагнитных процессов в асинхронных двигателях.

 

1.3 Перечень практических занятий

 

1.3.1 Составление математических моделей с помощью систем линейных уравнений. Обращение матриц и составление модифицированных Жордановых таблиц.

1.3.2 Решение задачи линейного программирования симплексным методом. Нахождение опорного плана и его проверка на условия оптимальности.

1.3.3 Составление математической модели и решение транспортной задачи в сетевой постановке.

1.3.4 Динамическое программирование. Принцип оптимальности Беллмана. Алгоритм нахождения кратчайшего пути.

1.3.5 Составление математической модели на основе метода неопределенных множителей Лагранжа для определение оптимальной реактивной мощности синхронных двигателей при решении вопроса компенсации реактивной мощности.

1.3.6 Критериальный анализ. Основные задачи критериального анализа применительно к различным  математическим моделям.

1.3.7 Сбор и обработка статистических данных по отказам и восстановлениям электрооборудования. Проверка соответствия теоретического закона распределения с помощью критерия Колмогорова и критерия Пирсона.

 

1.4 Методические указания к изучению теоретических вопросов

 

При изучении разделов обратить внимание на:

-      возможные методы постановки и компьютерное моделирование задач электроснабжения.

-      характерные задачи оптимизации режимов систем электроснабжения (определение параметров режима, которым соответствуют минимальные эксплуатационные издержки; минимизирование суммарных затрат по системе, включающих как эксплуатацию старого оборудования так и стоимость сооружения новых подстанций, линий электропередачи и т.д.).

-      методы постановки задач линейного программирования, области применения и алгоритм решения задач симплекс-методом.

-      методы построения опорного плана транспортных задач, теорему о ранге матрицы, условия построения опорного плана транспортной задачи и проверку его оптимальности.

-      преимущества и недостатки метода множителей Лагранжа и градиентного метода.

-      постановку задачи исследования технико-экономических моделей, исследование соразмерности, исследование технико-экономической устойчивости, определение значений параметров и затрат в точке минимума целевой функции.

-      показатели, характеризующие надежность систем электроснабжения и способы их определения.

 

 

2 КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

 

2.1 Задание № 1

          Определить оптимальную схему электроснабжения потребителей. Исходные данные выбираются по таблицам 2.1.1, 2.1.2 и 2.1.3 по первой букве фамилии студента и по последним двум цифрам номера зачетной книжки.

 

2.1.2 Краткие теоретические сведения

Необходимо найти оптимальную схему электроснабжения, если затраты на сооружение и эксплуатацию участка имеют вид

                                                             (2.1.1)

Суммарные затраты для рассматриваемой задачи

                                                    (2.1.2)

Варианты схем электроснабжения приведены на схемах 1-10. Номер схемы и длина участков сети выбираются по начальной букве фамилии студента согласно таблице 2.1.1.

 

Таблица 2.1.1 – Исходные данные

 

Начальные буквы фамилии студентов		А, Д, Ю	Б, Е, Э	В, Г, Я	Ж, З, И	К, Щ,	М, О	Н, П, Л	Р, Т, У	С, Ч Ф	Х, Ц, Ш
№ схемы		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	1	0,5	1.0	2,0	1,5	0,5	2,5	3,0	2,5	2,0	3,0
	2	1.5	1,5	2,0	0,5	0,5	2,5	3,0	1,5	0,5	0,5
	3	2,0	1,5	1,5	2,5	1,0	2,0	2,5	1,0	1,5	2,5
	4	2,5	0,5	1,5	1,0	1,0	2,0	2,5	0,5	1,0	1,0
	5	3,0	2,5	2,5	3,0	1,5	1,5	2,0	0,5	2,5	3,0
	6	2,5	2,5	2,5	1,5	1,5	1,5	2,0	1,0	2,0	3,0
	7	2,0	0,5	3,0	0,5	2,0	1,0	1,5	1,5	0,5	1,0
	8	1,5	2,0	3,0	2,5	2,0	1,0	1,5	2,5	3,0	0,5
	9	1,0	2,0	0,5	1,0	2,5	0,5	1,0	2,0	2,5	1,0

 

          Удельные затраты а_j (у.е./км) и в_j (у.е./км МВт) выбираются по предпоследней цифре номера зачетной книжки (таблица 2.1.2), а мощности, потребляемые распределительными пунктами (РП), Р_j (МВт), по последней цифре номера зачетной книжки (таблица 2.1.3).

 

Таблица 2.1.2 – Исходные данные

 

Удель-ные затраты	Предпоследняя цифра номера зачетной книжки
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
аj	1000	1500	2000	2500	3000	1000	1500	2000	3000	2500
bj	200	300	400	500	600	400	200	500	300	600

 

Таблица 2.1.3 – Исходные данные

 

Мощность РП, кВт	Последняя цифра номера зачетной книжки
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Р1	5	7	10	12	6	4	3	5	9	13
Р2	12	10	8	6	13	11	9	7	5	3
Р3	3	5	7	11	15	14	12	10	8	8
Р4	14	4	12	6	10	8	13	3	11	5
Р5	7	8	11	14	5	10	4	6	3	9

 

2.1.3 Методические указания

          Для решения данной задачи может быть использован метод «ветвей и границ». Идея метода заключается в последовательном делении всевозможных вариантов решений на непересекающиеся группы, причем множеству вариантов каждой группы ставится в соответствие нижняя оценка значений целевой функции, т.е. такая оценка, которая заведомо не больше целевой функции и может быть получена более простым способом.

          Если значение нижней оценки для какой-либо группы выше (или равно) значению целевой функции ранее рассмотренного варианта, то эта группа больше не делится и отбрасывается целиком. Если нижняя оценка окажется ниже, то происходит дальнейшее деление группы на более мелкие до тех пор, пока не образуются группы, деление которых уже невозможно из-за нарушения связности сети.

          Принцип деления вариантов на группы состоит в следующем: очередная группа, подлежащая делению, разбивается на две, одна из которых содержит варианты схем, включающие в себя ветвь, а другая - варианты, не содержащие этой ветви.

          Очевидно, что

                                          (2.1.3)

Поэтому в качестве нижней оценки для функции 3 можно принять величину V = V₁ + V₂. Величины V₁ и V₂ соответствуют в общем случае различным схемам, первая из которых представляет собой кратчайшую связывающую сеть, а вторая находится решением линейной транспортной задачи в сетевой постановке. Если обе схемы совпадают, следовательно, получено оптимальное решение для данной группы вариантов, и нижняя оценка этой группы в точности равна целевой функции.

 

Варианты схемы электроснабжения

 

 

Рисунок 2.1.1

 

 

2.2 Задание № 2

 

          К шинам РУ 6-10 промышленного предприятия присоединены N синхронных электродвигателей, технические характеристики которых приведены в таблице 2.2.4.

          Методом неопределенных множителей Лагранжа определить оптимальную реактивную мощность от каждого из синхронных двигателей, пренебрегая сопротивлениями кабелей. Реактивная нагрузка, подлежащая компенсации на стороне 6-10 кВ определяется вариантом задачи.

          Данные к задаче для каждого из вариантов принимаются по таблицам 2.2.1, 2.2.2 и 2.2.3.

 

Таблица 2.2.1 – Исходные данные

Таблица 2.2.2 – Исходные данные

 

 

Таблица 2.2.3 – Исходные данные

 

 

Таблица 2.2.4 – Исходные данные

 

 

 

2.2.2 Краткие теоретические сведения

При решении задач с помощью метода множителей Лагранжа заданы целевая функция f и функция ограничений j_i. Задача сводится к нахождению х₁, х₂, ..., x_n, при ограничениях j_i(x₁,...x_n)=b_i, при которых функция имеет точку экстремума.

Идея метода заключается в преобразовании функции цели к некоторому единому решению, для которого производится решение задачи. Рассмотрим функцию, когда число переменных = 2.

f(x₁,x₂)                                                                                                   (2.2.2.1)

j_i(x₁,x₂)=0                                                                                              (2.2.2.2)

и представляют задачу на условный экстремум. Эти задачи находят с помощью функции Лагранжа

L(x₁,x₂,l)=f(x₁,x₂)+l[b-j(x₁,x₂)],

где l - множитель Лагранжа, безусловный экстремум, который совпадает с условным экстремумом функции f(x₁,x₂).

Таким образом, задача определения условного экстремума функции f(x₁,x₂) находится определением обычного экстремума функции L, т.к. в ОДР функция f(x₁,x₂) можно заменить функцией Лагранжа.

Для применения неопределенных множителей Лагранжа, заданную функцию представляют в виде функции Лагранжа

L=z(x₁,x₂,l)=f(x₁,x₂)+l[b-j(x₁,x₂)].                                                       (2.2.2.3)

Здесь: l - неопределенный множитель Лагранжа. Число значений l зависит от числа ограничений.

Для решения функции Лагранжа находятся частные производные по параметру х₁, х₂, l и приравниваются к 0. Это необходимое условие экстремума.

                                                                             (2.2.2.4)

Решение системы (2.2.2.4) дает необходимое условие решения задачи. Для того чтобы найти точки экстремума необходимо проанализировать 2-ю производную d²L<0(max), d²L>0(min). Недостатком этого метода является невозможность решения целевых функций с ограничением в виде неравенств.

Последовательность решения:

а) Составляется функция Лагранжа

.

б) Для нахождения точек экстремума составляется система уравнений частных производных:

в) Далее из всех точек выбираются такие, в которых функция имеет точку экстремума при заданных ограничениях.

В энергетике метод множителей Лагранжа применяется при расчетах вопросов компенсации реактивной мощности, затрат на выработку электроэнергии и т.д.

 

2.2.3 Методические указания

а) В общем случае переменная часть затрат на генерацию реактивной мощности может быть определена

3 = ,                                                              (2.2.3.1)

где     Q_i - генерируемая источником реактивная  мощность; 3_li - удельные затраты на 1 Мвар генерируемой мощности (у.е./Мвар); 3_2i - удельные затраты на 1 Мвар² генерируемой мощности (у.е./Мвар²).

б) Максимальная величина реактивной мощности, которую можно получить от синхронного двигателя;

Q_мi = a_мМQ_мi,                                                                             (2.2.3.2)

где a_м » 1,39;        М - количество синхронных двигателей в группе имеющих одинаковую мощность и скорость вращения.

 

в) Составляющие затрат определяются по формулам:

3₁ = С_о ,

                                                                                                                    (2.2.3.3)

3₂ = C_o .

г) Для решения задачи необходимо составить функцию Лагранжа и виде:

L(Х1,Х2,...Хп, l₁,l₂, ....l_m) = f (X₁X₂....X_n) + ,    (2.2.3.4)

где  l - неопределенный множитель Лагранжа;

       m - число уравнений ограничений.

Для данной задачи функция Лагранжа имеет вид

L(Q₁,Q₂,...Q_N,l) = .                     (2.2.3.5)

Для нахождения условной точки экстремума определим частные производные

(2.2.3.6)

,

.

Из полученной системы уравнений определим:

                                                                                    (2.2.3.7)

и

 .                                                                                     (2.2.3.8)

д) Оптимальную реактивную мощность Q_оптi  необходимо сверить с Q_мi. Если для какого либо СД  Q_оптК>Q_мк, то в качестве Q_оптК принимается Q_мк. В этом случае для остальных СД следует вновь определить неопределенный множитель Лагранжа l¹.

 ;   ,                                                               (2.2.3.9)

где   Q¹_А = Q_А-Q_мк и оптимальную реактивную мощность от остальных СД

Q_iопт =                                                                                        (2.2.3.10)

Если Q_iопт£Q_iм, то принимается величина Q_iопт. При этом величина множителя Лагранжа l не изменяется.

е) Правильность расчета Q_iопт проверяется по условию баланса реактивной мощности в узле

                                                                                       (2.2.3.11)

 

 

2.3 Задание № 3

 

От шин низкого напряжения (рисунок 2.3.1) цеховой трансформаторной подстанции (ТП) питаются три группы электродвигателей (n₁, n₂, n₃) с потребляемой мощностью n₁ х S₁, n₂хS₂, n₂хS₃ (таблица 2.3.1) и одинаковым Cosj = 0,85. Вероятность включения в работу каждого двигателя первой группы - p₁, второй группы - p₂, третьей группы - p₃ (таблица 2.3.2). События включения в работу и отключения любого двигателя каждой группы рассматриваются как независимые. Показатели надежности элементов системы электроснабжения приведены в таблицах 2.3.4 и 2.3.5, данные системы электроснабжения в таблице 2.3.3.

          Требуется определить:

1) Вероятность нагрузки трансформаторов питающей подстанции (ТП) на:       а) S₁ = 0 кВА;                 S₂ = 60 кВА;                   S₃ = 100 кВА;

б) на величину максимальной мощности потребителя.

2) Математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратичное отклонение случайной величины нагрузки трансформатора.

3) Определить показатели надежности системы электроснабжения относительно шин 0,4 кВ (без учета преднамеренных отключений).

а) интенсивность отказов l_с, 1/г;

б) среднее время восстановления t_авс, час;

в) среднюю наработку на отказ Т_с, лет;

г) коэффициент простоя g_с, коэффициент готовности р_с.

4) Определить величину недоотпущенной электроэнергии за год (8760 ч) относительно шин 0,4 кВ.

 

Схема электроснабжения

Рисунок 2.3.1

 

Таблица 2.3.1- Исходные данные

 

 

Таблица 2.3.2- Исходные данные

 

 

Таблица 2.3.3- Исходные данные

 

Первая буква фамилии студента	А, Д	В, Г, Я	Б, Е	Ж, З, И, Л	К, Э	М, О	Н, П, Ю	Р, Т, У, Ф	С, Ч	Х, Д, Ш, Щ
Напряжение системы, кВ	330	220	110	35	330	220	110	35	220	110
Длина ЛЭП, км	110	150	200	30	150	100	80	20	100	140
а) Воздушный выключатель	ВВ	ВВ	ВВ	ВВ	ВВ	-	-	-	-	-
б) Масляный выключатель	-	-	-	-	-	МВ	МВ	МВ	МВ	МВ
Длина кабельной линии КЛ, км	1	2	3	4	5	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8
Способ прокладки кабельных линий	в траншее	в туннеле	в блоках	в траншее	в туннеле	в блоках	в траншее	в туннеле	в блоках	в траншее

 

Таблица 2.3.4 - Интенсивность отказов элементов системы электроснабжения l_i, 1/год

Элементы системы электроснабжения	Напряжение, кВ
	330	220	110	35	6-10	до 1
Одноцепные ЛЭП (на 100 км)	1,23	1,4	2,1	2,2	2,5
Кабельные линии КЛ (на 100 км)
в траншее	-	-	-	-	8,0
в туннеле	-	-	-	-	1,3
в блоках	-	-	-	-	10,0
Трансформаторы	0,03	0,02	0,02	0,018	0,023
Воздушные выключатели	0,05	0,06	0,04	0,02	0,02
Масляные выключатели	-	0,02	0,05	0,05	0,05
Отделители и короткозамыкатели	0,03	0,03	0,02	0,01	-
Разъединители	0,03	0,03	0,03	0,02	-
Автоматы	-	-	-	-	-	0,14

Таблица 2.3.5 - Среднее время восстановления элементов системы электроснабжения taвi, час

 

 

 

2.3.2 Методические указания

1) Для определения вероятностей заданной нагрузки трансформатора используется схема независимых испытаний - биномиальный закон распределения

p(A) = ´p^к×g^n-к,                                                             (2.3.1)

где n - число независимых испытаний;

      к - число испытаний, в которых событие А появилось из серии n независимых испытаний;

      p - вероятность включения двигателя;

      g - вероятность отключения двигателя.

2) Математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратичное отклонение случайной величины нагрузки трансформатора определяются по формулам

М(S) =        , кВА

(2.3.2)

Д(S) =      , к.ВА²

s(S) =             , кВА,

где m - число групп электродвигателей.

3) Показатели надежности системы электроснабжения относительно шин 0,4 определяются для последовательного соединения элементов схемы

а) интенсивность отказов

l_с  =    1/год;                                                                       (2.3.3)

б) среднее время восстановления

, час;                                                                  (2.3.4)

в) средняя наработка на отказ

Т_ср=  , год;                                                                              (2.3.5)

г) коэффициент простоя

                    g_c = ål_i t_авi = l_сt_авс,   о.е.;                                                             (2.3.6)

д) коэффициент готовности

p_с = 1 - g_с, о.е.                                                                             (2.3.7)

4) Величина недоотпущенной электроэнергии за год относительно шин 0,4 кВ.

Э=М(S)cosj×T_год×g_с, кВт.ч.                                                         (2.3.8)

 

 

2.4 Задание № 4

 

          Методом динамического программирования определить оптимальный вариант прокладки кабельной линии 10 кВ от источника питания (Н) к потребителю (К), если известны удельные стоимости кабеля на отдельных участках трассы.

          Исходные данные для задачи принимаются по таблицам 2.4.1 - 2.4.3 согласно правилам выбора вариантов.

 

Таблица 2.4.1 – Исходные данные

 

 

Примечание: n - количество строк, m - количество столбцов.

 

Таблица 2.4.2 – Исходные данные

 

 

Таблица 2.4.3 – Исходные данные

 

 

2.4.2 Краткие теоретические сведения

Решение задачи основывается на принципе оптимальности, сформулированном Р. Беллманом: «Оптимальное поведение обладает тем свойством, что каковы бы ни были первоначальное состояние и решение в начальный момент, последующие решения должны составлять оптимальное поведение относительно состояния, получающегося в результате первого решения». В ряде задач оптимальное управление может быть и не единственным.

 

2.4.3 Методические указания

          Процесс решения задачи динамического программирования разбивается на шаги, нумерация шагов осуществляется от конца к началу. Спланировав последний шаг (К), к нему присоединяют предпоследний (К-1) - шаг, далее - (К-2) - шаг и так далее. В конечном итоге приходят в начальное состояние системы Н и находят оптимальное управление, проходят от Н к К.

Данная задача решается с помощью программы Microsoft Exel. Для этого необходимо ввести данные из таблицы 2.4.4, соответствующие удельной стоимости прокладки кабельной линии на отдельных участках трассы. Задать требования по выполнению принципа оптимальности Беллмана и выделить наиболее оптимальное решение.

 

Таблица 2.4.4 - Модель динамического управления объектом по двум переменным параметрам

 

n m	1      17	2          6	3       11	4       13	5       10	6        9	7       12	8        4	9        6	10       11	11        5
1	10       5	15     10	9      6	11         8	13         6	7       10	17        5	10         7	6      13	8       10	8       9
2	14      9	10     14	10     5	13     6	11      6	8      6	15     8	4      8	6     5	9     3	8     6
3	6     8	7      6	8     4	9      2	6     9	4       8	7      5	9      9	8     5	6     7	9      5
4	9     5	7     9	8    9	5     7	6     9	5      7	8      3	2      9	4     7	5     9	4      8
5	6     4	8     2	3     8	9      5	8     8	7      4	6      9	5      7	2     9	8     2	7     9
6	9      5	7      9	4     8	8      7	6      9	2      9	9     4	4     7	7     5	5      9	8      7
7	4      8	6      5	9     2	3     9	1     8	7      3	5     6	2    7	8     6	9      4	7      8
9	7      2	5      4	3     5	8     6	7     9	6     8	9     1	8     6	4     9	2     6	8      1
10	6      9	3      8	9     3	1     7	2     5	7     1	4     7	6     2	5     8	9     4	5      9
11	5     4	2      6	7     9	4     6	3     7	6     9	8     2	5     4	1     3	6    9	7      8
12	9     3	10      9	5     7	8     5	6     6	5     8	4    10	7    11	9    15	8    6	2      7
13	8    11	5    12	6     9	2     10	4    15	3     8	7    14	6    11	8     4	9    12	4     16
14	6    10	3    15	1     12	8      6	9    11	7     9	6    10	5     9	12     5	4    15	8      9
15	9     8	7    11	8      4	6      9	7      6	5    10	4    12	3    6	2     11	9     9	7      8

 

2.5 Задание № 5

 

          Решить систему линейных уравнений графическим методом. Построить область допустимых решений и определить точку экстремума функции согласно заданию.

          Исходные данные для задачи принимаются по таблице 2.5.1 согласно правилам выбора вариантов.

Таблица 2.5.1 - Исходные данные

 

Начальная буква фамилии студента	А, Д	Б, Е	В, Г, Я	Ж, З, И, Л	К	М, О	Н, П	Р, Т, У, Ф	С, Ч	Х, Ш, Щ, Э, Ю
Элементы целевой функций
C1	1	2	1	-1	5	2	2	1	-4	5
C2	-2	1	5	3	2	1	3	-2	5	1
C3	3	-1	4	2	-1	-1	6	-3	6	-3
C4	10	-1	-6	-	-	-1	3	-	-	1
f(x)	max	min	max	min	max	min	max	min	max	min

 

 

2.5.2 Краткие теоретические сведения

          Решение систем линейных уравнений графическим методом.

В системе координат х₂´х₁ неравенство определяет полуплоскость с граничной прямой а₁х₁+а₂х₂=а₀

Если задана система неравенств, то для построения ОДР строят граничные прямые, далее определяются полуплоскости, где выполняются данные неравенства.

Чтобы получить координаты ОДР (вершин), необходимо решить систему уравнений прямых, пересекающихся в этих вершинах.

При числе n>2 неравенство

а₁х₁+а₂х₂...+a_nx_n£а₀ эквивалентно уравнению

а₁х₁+ ...+a_nx_n+x_n+1=a₀; x_n+1³0

а₁х₁+ ...+a_nx_n³0

Аналогично а₁х₁+ ...+a_nx_n-x_n+1=0

Переменную x_n+1 называют дополнительной (балансовой).

Если задана система неравенств

,

то ее можно заменить эквивалентной системой линейных уравнений с (n+m) переменными.

Причем x_n+1³0, ..., x_n+m³0

Вектор - потенциал , перпендикулярный к прямым базисных переменных, указывает направление как скорейшего возрастания f, вектор -  направлен в наискорейшем убывании f.

 

2.5.3 Методические указания

Данная задача решается с помощью программы Mathcad. Для этого необходимо ввести данные из таблицы 2.5.1, соответствующие уравнению функции, и из таблицы 2.5.2, соответствующие уравнениям ограничений. Задать требования по выполнению принципа неотрицательности полученных решений. Построить на графике область допустимых решений и вектор-потенциал, по его направлению определить точку экстремума функции и ее координаты. Определить значение функции и переменных в точке экстремума.

 

2.5.4 Пример

f(x₄, x₅)=4x₄+x₅

Given

5x₁-2x₂+2x₃+x₄-x₅=13

2x₁-2x₂+x₃-x₄+x₅=5

x₁+2x₂+4x₄-2x₅=5

Далее необходимо построить выражения уравнений ограничений в зависимости от х₄ и х₅.

Строим график.

По графику определяем направление вектор-потенциала, который в данном случае имеет координаты (0,0) и (4,1); далее строим перпендикуляр к этому вектору, по которому мы узнаем направление наискорейшего возрастания функции. Первая точка пересечения перпендикуляра с ОДР будет являться min функции, а последняя max. В нашем случае: min f (0,0), а max f (1,1). По полученным значениям определяются все переменные и значение функции в точке экстремума.

 

 

 

 

         

Таблица 2.5.2 - Исходные данные

 

	Элементы Ai, Bj ,Cij	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Мощность источников Aij	a11	1	2	1	1	2	1	2	-1	1	6
	a12	1	3	-1	1	1	1	-1	1	2	-1
	a13	2	-4	2	2	1	2	1	2	-3	4
	a14	-6	-5	-1	-	-	-1	2	-	-	2
	a21	1	5	2	2	3	2	2	1	4	-9
	a22	1	-6	1	-3	2	1	1	-5	6	8
	a23	4	1	-3	1	1	-3	1	-1	2	7
	a24	-8	-1	1	-	-	1	1	-	-	1
	a31	4	4	1	2	5	1	-1	1	2	-4
	a32	2	1	1	-5	3	1	4	1	-3	5
	a33	1	-2	1	6	4	1	-2	3	1	6
	a34	-4	3	1	-	-	1	-2	-	-	1
Мощность потребителей   Bj	b1	1	1	2	-5	5	2	1	2	4	5
	b2	1	3	6	3	6	6	2	1	10	7
	b3	3	2	7	5	7	7	3	5	1	8
	b4	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
Знаки ограничений  ( ≤ ; ≥; =)	1	=	≤	=	≥	≤	=	≤	≤	=	≤
	2	=	≤	=	≤	=	=	≤	≤	=	≥
	3	=	≤	=	≤	≥	=	≤	≤	=	≥

Список литературы

 

1.  Электрические системы. Математические задачи электроэнергетики     / Под ред. В.А. Веникова. - М.: Высшая школа, 1981.- 288 с.

2.  Электрические системы. Кибернетика электрических систем / Под ред. В.А. Веникова. - М.: Высшая школа, 1978. - 256 с.

3.  Веников В.А. и др. Регулирование напряжения в электроэнерге-тических системах. - М.: Энергоатомиздат, 1985. - 216 с.

4.  Вентцель Е.С. Исследование операций:  задачи, принципы, методология. - М.: Наука, 1988. - 208 с.

5.  Вентцель Е.С., Овчарова Л.А. Теория вероятности и ее инженерные приложения. - М.: Наука, 1988. - 480 с.

6.  Кузнецов А.В., Холод Н.И., Костевич Л.С. Руководство к решению задач по математическому программированию. - Минск: Высшая школа, 1978. - 256 с.

7.  Применение цифровых вычислительных машин в электроэнергетике: Учебное пособие для вузов / О.В. Щербачев, А.П. Зейлингер, К.П. Кадомская и др. - Л.: Энергия, 1980. - 240 с.

          8. Гук Ю.Б. Анализ надежности электроэнергетических установок. - Л.: Энергоатомиздат, 1988. - 224 с.

9. Гордиевский И.Г., Лордкипанидзе В. Д. Оптимизация параметров электрических сетей / Под ред. Г.В. Сэрбиновского. - М.: Энергия,1978.

10. Фокин Ю.А. Вероятностно-статические методы в расчетах систем электроснабжения. - М.: Энергоатомиздат, 1985.

11. Арзамасцев Д.А., Липес А.В., Мызин А.Л. Модели оптимизации развития энергосистем. – М.: Высш. шк., 1987.

12. Электрические сети и системы в примерах и иллюстрациях: Учеб. пособие для электроэнерг. спец. / В.В. Ежков. Г.К., Зарудский. Э.Н., Зуев и др.; Под ред. В.А. Строева. - М.: Высш. шк., 1999. – 352 с.

13. Беллман А. Динамическое программирование / Пер. с англ. – М.:   Изд-во иностр. лит., 1960.

14. Рокотян И.С., Федоров Д.А. Применение нелинейного математического программирования в энергетических задачах.–М.: МЭИ, 1983.

15. Строев В.А., Рокотян И.С. Методы математической оптимизации в задачах электроснабжения. – М.: МЭИ, 1993.

16. Гладилин Л.В., Волгин М.Е. Применение критериального анализа при оптимизации систем электроснабжения мощных угольных карьеров. // Изв. ВУЗов Горный журнал. - 1980. - № 6, 99 – 104 с.

17. Утегулов Б.Б., Волгин М.Е., Волгина О.С. Математические задачи электроснабжения: Учебное пособие / Под ред. Б.Б. Утегулова - Павлодар, ГУ им. С. Торайгырова, 2002. – 150 с.