АЛМАТИНСКИЙ ИНСТИТУТ ЭНЕРГЕТИКИ

 И СВЯЗИ

 

Кафедра электроснабжения промышленных предприятий

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ЭНЕРГЕТИКИ И КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

 

Методические указания и задания к расчетно-графической работе

(для студентов, обучающихся по специальностям 210340 - Релейная

защита и автоматизация электроэнергетических систем, 210440 - Электроснабжение (по отраслям), 330440 – Электротехнологические установки и системы, 330540- Светотехника и источники света)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Алматы 2004


АЛМАТИНСКИЙ ИНСТИТУТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ

 

Кафедра электроснабжения промышленных предприятий

 

 

                                                                      УТВЕРЖДАЮ

                                                     Проректор по учебно-методической работе

                                                    ______________________

                                                    “___”_________________2004 г.

 

 

 

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ЭНЕРГЕТИКИ И

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Методические указания и задания к расчетно-графической работе

(для студентов, обучающихся по специальностям 210340 - Релейная

защита и автоматизация электроэнергетических систем, 210440 - Электроснабжение (по отраслям), 330440 – Электротехнологические установки и системы, 330540- Светотехника и источники света)

 

 

 

 

 

СОГЛАСОВАНО                                                    Рассмотрено и одобрено на

Начальник УМО                                                     заседании кафедры ЭПП

________________                                                Протокол № _5___

“___”___________2004г.                                      от “_09_”_января__ 2004г.

 

                                                                                 Зав. кафедрой ЭПП,

                                                                                 д.т.н., профессор

                                                                                 _____________А.В. Болотов

 

Редактор                                                                 Составитель:

__________ В.В. Шилина                                     Старший преподаватель                         кафедры ЭПП

“___”___________2004г.                                      ___________Н.А. Туканова

                                                           

 

 

 

Алматы 2004

СОСТАВИТЕЛЬ: Н.А. Туканова. Методические указания и задания к расчетно-графической работе для студентов, обучающихся по специальностям 210340 - Релейная защита и автоматизация электро-энергетических систем, 210440 - Электроснабжение (по отраслям), 330440 – Электротехнологические установки и системы, 330540- Светотехника и источники света. – Алматы: АИЭС, 2004. – 22 с.

 

    

 

 

 

Данная разработка включает задания на расчетно-графическую работу и методические указания по их выполнению, а также список необходимой литературы.

Ил. 3, табл.18, библиогр. - 12 назв.

 

 

 

 

Рецензент: канд. техн. наук, доцент С.А. Бугубаев.

 

 

 

 

 

 

 

 

            Печатается по плану издания Алматинского института энергетики и связи на 2004 год.

 

 

 

 

 

 

 

 


                                    Алматинский институт энергетики и связи, 2004г.

                                       


 


Содержание

 

 

 

 

 

Введение

 

4

 

Задание № 1. Определить оптимальную схему электроснабжения потребителей

 

4

 

Задание № 2. Методом неопределенных множителей Лагранжа определить оптимальную реактивную мощность синхронных двигателей

 

7

 

Задание № 3. Определить: вероятность нагрузки трансформаторов питающей подстанции; математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратичное отклонение случайной величины нагрузки трансформатора; показатели надежности системы электроснабжения относительно шин 0,4 кВ; величину недоотпущенной электроэнергии за год относительно шин 0,4 кВ

 

12

 

Задание № 4. Определить оптимальный вариант прокладки кабельной линии 10 кВ от источника питания к потребителю методом динамического программирования

 

16

 

Задание № 5. Решить систему линейных уравнений графическим методом. Построить область допустимых решений и определить точку экстремума функции

 

18

 

Список литературы

22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Введение

Согласно учебному плану студенты, обучающиеся по специальностям 210340 - Релейная защита и автоматизация электроэнергетических систем, 210440 - Электроснабжение (по отраслям), 330440 – Электротехнологические установки и системы, 330540- Светотехника и источники света изучают курс «Математические задачи энергетики и компьютерное моделирование», в котором предусмотрена расчетно-графическая работа, состоящая из пяти заданий и предполагающая самостоятельное закрепление студентами пройденных разделов дисциплины.

         

К сдаче экзамена по курсу студенты допускаются после успешного выполнения и защиты расчетно-графической работы.

 

 

ЗАДАНИЕ № 1

Определить оптимальную схему электроснабжения потребителей. Варианты схем электроснабжения приведены на схемах 1-10. Номер схемы и длина участков сети выбираются по начальной букве фамилии студента согласно таблице 1.1. Удельные затраты аj (у.е./км) и вj (у.е./км МВт) выбираются по предпоследней цифре номера зачетной книжки (таблица 1.2), а мощности, потребляемые распределительными пунктами (РП), Рj (МВт), по последней цифре номера зачетной книжки (таблица 1.3).

 

Таблица 1.1 – Исходные данные

 

Начальные буквы фамилии студентов

А, Д, Ю

 Б, Е, Э

В, Г, Я

Ж, З, И

К,

Щ,

М, О

Н, П, Л

Р, Т, У

С, Ч

Ф

Х, Ц, Ш

Подпись: Длина участка сети№ схемы

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

 

1

0,5

1.0

2,0

1,5

0,5

2,5

3,0

2,5

2,0

3,0

2

1.5

1,5

2,0

0,5

0,5

2,5

3,0

1,5

0,5

0,5

3

2,0

1,5

1,5

2,5

1,0

2,0

2,5

1,0

1,5

2,5

4

2,5

0,5

1,5

1,0

1,0

2,0

2,5

0,5

1,0

1,0

5

3,0

2,5

2,5

3,0

1,5

1,5

2,0

0,5

2,5

3,0

6

2,5

2,5

2,5

1,5

1,5

1,5

2,0

1,0

2,0

3,0

7

2,0

0,5

3,0

0,5

2,0

1,0

1,5

1,5

0,5

1,0

8

1,5

2,0

3,0

2,5

2,0

1,0

1,5

2,5

3,0

0,5

9

1,0

2,0

0,5

1,0

2,5

0,5

1,0

2,0

2,5

1,0

 


Таблица 1.2 – Исходные данные

 

Удель-ные

затраты

Предпоследняя цифра номера зачетной книжки

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

аj

1000

1500

2000

2500

3000

1000

1500

2000

3000

2500

bj

200

300

400

500

600

400

200

500

300

600

 

Таблица 1.3 – Исходные данные

 

Мощность

РП, кВт

Последняя цифра номера зачетной книжки

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Р1

5

7

10

12

6

4

3

5

9

13

Р2

12

10

8

6

13

11

9

7

5

3

Р3

3

5

7

11

15

14

12

10

8

8

Р4

14

4

12

6

10

8

13

3

11

5

Р5

7

8

11

14

5

10

4

6

3

9

 


Варианты схемы электроснабжения

 

 

 

 

 


 



Рисунок 1.1

 

 



Задание № 2

          К шинам РУ 6-10 промышленного предприятия присоединены N синхронных электродвигателей, требуется с помощью метода неопределенных множителей Лагранжа определить оптимальную реактивную мощность от каждого из синхронных двигателей, пренебрегая сопротивлениями кабелей. Реактивная нагрузка, подлежащая компенсации на стороне 6-10 кВ определяется вариантом задачи. Данные к задаче для каждого из вариантов принимаются по таблицам 2.1, 2.2 и 2.3. Технические характеристики двигателей приведены в таблице 2.4.

 

Таблица 2.1 – Исходные данные

 

Кол-во и пара-метры СД

Начальная буква фамилии

А, Д

Б, Е

В, Г, Я

Ж,З, И, Л

К, Ю

М, О

Н,П

Р, Т, У, Ф

С, Ч, Ш

Х,Ц, Щ, Э

N

4

5

6

4

5

5

4

4

4

4

Uн(кВ)

6

6

10

6

6

10

10

10

6

6

Рн(кВт

1000

2500

3200

6300

800

1250

4000

1600

400

6300

n об/мин

1000

750

750

1000

750

1000

750

1000

500

1000

600

500

600

750

500

600

600

600

300

750

500

600

500

600

375

500

500

375

187

600

250

250

375

500

300

300

1000

250

167

500

 

300

300

 

167

250

 

 

 

 

 

 

250

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 2.2 – Исходные данные

 

Удельная стоимость

Предпоследняя цифра номера зачетной книжки

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

сo  (у.е./кВт)

55

60

65

70

75

50

72

68

80

73

 

Таблица 2.3 – Исходные данные

 

Мощность, подлежащая компенсации

Последняя цифра номера зачетной книжки

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

QА, Мвар

1,4

1,6

1,3

1,5

1,2

0,8

0,9

1,5

1,2

0,8

 


Таблица 2.4 – Исходные данные

 

Напряжение Uн, кВ

Частота вращения n,

об/мин

Номинальная мощность

Величины (кВт)

активная Рн, кВт

реактивная Qн, квар

Д1

Д2

10

1000

1250

1600

4000

645

817

2010

6,77

7,58

10,6

6,98

7,56

11,8

750

4000

3200

2010

1615

14,2

12,2

13,0

12,3

600

1250

1600

3200

4000

637

820

1620

2010

8,6

9,43

10,3

11,3

6,05

8,24

13,6

13,6

500

1250

3200

4000

642

1620

2039

9,08

9,72

16,4

8,53

11,2

15,4

375

1600

3200

825

1625

10,3

14,7

10,4

14,7

300

1250

3200

645

1620

9,71

14,0

8,07

15,1

250

1250

1600

3200

650

825

1635

9,96

11,1

18,2

8,83

9,51

14,4

6

1000

1000

6300

511

3150

5,09

14,6

3,99

13,1

600

6300

2500

1000

3150

1265

511

17,1

10,9

7,66

14,4

8,46

5,38

500

6300

2500

1000

800

400

3160

1265

511

412

209

21,0

11,5

6,61

6,48

3,88

16,3

9,36

5,88

5,54

2,97

250

1000

2500

520

1270

10,0

15,9

7,19

11,7

300

2500

800

400

1270

416

211

15,3

7,76

5,13

10,7

6,00

5,08

375

800

415

7,07

5,25

187

400

216

5,97

5,38

167

800

400

423

216

10,5

7,64

8,3

4,25

 

2.1 Методические указания

При решении задач с помощью метода множителей Лагранжа заданы целевая функция f и функция ограничений ji. Задача сводится к нахождению х1, х2, ..., xn, при ограничениях ji(x1,...xn)=bi, при которых функция имеет точку экстремума.

Идея метода заключается в преобразовании функции цели к некоторому единому решению, для которого производится решение задачи. Рассмотрим функцию, когда число переменных = 2.

f(x1,x2)                                                                                                   (2.1)

ji(x1,x2)=0                                                                                              (2.2)

и представляют задачу на условный экстремум. Эти задачи находят с помощью функции Лагранжа

L(x1,x2,l)=f(x1,x2)+l[b-j(x1,x2)],

где l - множитель Лагранжа, безусловный экстремум, который совпадает с условным экстремумом функции f(x1,x2).

Таким образом, задача определения условного экстремума функции f(x1,x2) находится определением обычного экстремума функции L, т.к. в ОДР функцию f(x1,x2) можно заменить функцией Лагранжа.

Для применения неопределенных множителей Лагранжа, заданную функцию представляют в виде функции Лагранжа

L=z(x1,x2,l)=f(x1,x2)+l[b-j(x1,x2)].                                                       (2.3)

Здесь: l - неопределенный множитель Лагранжа. Число значений l зависит от числа ограничений.

Для решения функции Лагранжа находятся частные производные по параметру х1, х2, l и приравниваются к 0. Это необходимое условие экстремума.

                                                                             (2.4)

Решение системы (2.4) дает необходимое условие решения задачи. Для того чтобы найти точки экстремума необходимо проанализировать 2-ю производную d2L<0(max), d2L>0(min). Недостатком этого метода является невозможность решения целевых функций с ограничением в виде неравенств.

Последовательность решения:

а) Составляется функция Лагранжа

.

б) Для нахождения точек экстремума составляется система уравнений частных производных:

в) Далее из всех точек выбираются такие, в которых функция имеет точку экстремума при заданных ограничениях.

В энергетике метод множителей Лагранжа применяется при расчетах вопросов компенсации реактивной мощности, затрат на выработку электроэнергии и т.д.

а) В общем случае переменная часть затрат на генерацию реактивной мощности может быть определена

3 = ,                                                              (2.5)

где     Qi - генерируемая источником реактивная  мощность; 3li - удельные затраты на 1 Мвар генерируемой мощности (у.е./Мвар); 32i - удельные затраты на 1 Мвар2 генерируемой мощности (у.е./Мвар2).

б) Максимальная величина реактивной мощности, которую можно получить от синхронного двигателя

Qмi = aмМQмi,                                                                             (2.6)

где aм » 1,39;        М - количество синхронных двигателей в группе имеющих одинаковую мощность и скорость вращения.

 

в) Составляющие затрат определяются по формулам:

31 = Со ,

                                                                                                                    (2.7)

32 = Co .

г) Для решения задачи необходимо составить функцию Лагранжа и виде:

L(Х1,Х2,...Хп, l1,l2, ....lm) = f (X1X2....Xn) + ,      (2.8)

где  l - неопределенный множитель Лагранжа;

       m - число уравнений ограничений.

Для данной задачи функция Лагранжа имеет вид

L(Q1,Q2,...QN,l) = .                     (2.9)

Для нахождения условной точки экстремума определим частные производные

(2.10)

 
,

.

Из полученной системы уравнений определим:

                                                                                    (2.11)

и

 .                                                                                     (2.12)

д) Оптимальную реактивную мощность Qоптi  необходимо сверить с Qмi. Если для какого либо СД  QоптК>Qмк, то в качестве QоптК принимается Qмк. В этом случае для остальных СД следует вновь определить неопределенный множитель Лагранжа l1.

 ;   ,                                                               (2.13)

где   Q1А = QА-Qмк и оптимальную реактивную мощность от остальных СД

Qiопт =                                                                                        (2.14)

Если Qiопт£Qiм, то принимается величина Qiопт. При этом величина множителя Лагранжа l не изменяется.

е) Правильность расчета Qiопт проверяется по условию баланса реактивной мощности в узле

                                                                                       (2.15)


Задание № 3

От шин низкого напряжения (рисунок 3.1) цеховой трансформаторной подстанции (ТП) питаются три группы электродвигателей (n1, n2, n3) с потребляемой мощностью n1 х S1, n2хS2, n2хS3 (таблица 3.1) и одинаковым Cosj = 0,85. Вероятность включения в работу каждого двигателя первой группы - p1, второй группы - p2, третьей группы - p3 (таблица 3.2). События включения в работу и отключения любого двигателя каждой группы рассматриваются как независимые. Показатели надежности элементов системы электроснабжения приведены в таблицах 3.4 и 3.5, данные системы электроснабжения в таблице 3.3.

          Требуется определить:

1) Вероятность нагрузки трансформаторов питающей подстанции (ТП) на:       а) S1 = 0 кВА;                 S2 = 60 кВА;                   S3 = 100 кВА;

б) на величину максимальной мощности потребителя.

2) Математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратичное отклонение случайной величины нагрузки трансформатора.

3) Определить показатели надежности системы электроснабжения относительно шин 0,4 кВ (без учета преднамеренных отключений).

а) интенсивность отказов lс, 1/г;

б) среднее время восстановления tавс, час;

в) среднюю наработку на отказ Тс, лет;

г) коэффициент простоя gс, коэффициент готовности рс.

4) Определить величину недоотпущенной электроэнергии за год (8760 ч) относительно шин 0,4 кВ.

 


Схема электроснабжения

Рисунок 3.1


Таблица 3.1- Исходные данные

 

Последняя цифра зачетки

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

n1хS1, кВт

3х10

3х15

2х15

2х10

4х10

4х15

3х40

2х25

4х35

4х25

n2хS2, кВт

2х20

3х20

3х10

2х25

2х20

2х20

3х20

4х15

4х10

5х10

n3хS3, кВт

3х30

2х40

3х40

3х30

3х30

2х40

4х10

2х35

3х20

2х20

 

Таблица 3.2- Исходные данные

 

Предпоследняя цифра зачетки

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

p1

0,6

0,9

0,5

0,7

0,9

0,8

0,4

0,4

0,3

0,5

p2

0,7

0,8

0,6

0,6

0,5

0,7

0,3

0,9

0,8

0,6

p3

0,5

0,7

0,7

0,5

0,8

0,6

0,5

0,6

0,5

0,4

 

Таблица 3.3- Исходные данные

 

Первая буква фамилии студента

А,

Д

В,

Г,

Я

Б,

Е

Ж,

З,

И,

Л

К,

Э

М,

О

Н,

П,

Ю

Р,

Т,

У,

Ф

С,

Ч

Х,

Д,

Ш,

Щ

Напряжение системы, кВ

330

220

110

35

330

220

110

35

220

110

Длина ЛЭП, км

110

150

200

30

150

100

80

20

100

140

а) Воздушный выключатель

ВВ

ВВ

ВВ

ВВ

ВВ

-

-

-

-

-

б) Масляный выключатель

-

-

-

-

-

МВ

МВ

МВ

МВ

МВ

Длина кабельной линии КЛ, км

1

2

3

4

5

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

Способ прокладки кабельных линий

 

в траншее

в туннеле

в блоках

в траншее

в туннеле

в блоках

в траншее

в туннеле

в блоках

в траншее

 


Таблица 3.4 - Интенсивность отказов элементов системы электроснабжения li, 1/год

 

Элементы системы электроснабжения

Напряжение, кВ

330

220

110

35

6-10

до 1

Одноцепные ЛЭП (на 100 км)

1,23

1,4

2,1

2,2

2,5

 

Кабельные линии КЛ (на 100 км)

 

 

 

 

 

 

в траншее

-

-

-

-

8,0

 

в туннеле

-

-

-

-

1,3

 

в блоках

-

-

-

-

10,0

 

Трансформаторы

0,03

0,02

0,02

0,018

0,023

 

Воздушные выключатели

0,05

0,06

0,04

0,02

0,02

 

Масляные выключатели

-

0,02

0,05

0,05

0,05

 

Отделители и короткозамыкатели

0,03

0,03

0,02

0,01

-

 

Разъединители

0,03

0,03

0,03

0,02

-

 

Автоматы

-

-

-

-

-

0,14

 

Таблица 3.5 - Среднее время восстановления элементов системы электроснабжения taвi, час

 

Элементы системы электроснабжения

Напряжение, кВ

330

220

110

35

6-10

до 1

Одноцепные ЛЭП

8,1

6,5

4,2

5,6

12,0

 

Кабельные линии:

 

 

 

 

 

 

в траншее

-

-

-

-

7,0

 

в блоках

-

-

-

-

11,5

 

В туннеле

-

-

-

-

4,0

 

Трансформаторы

200

150

100

90

15

 

Воздушные выключатели

60

40

30

24

20

 

Масляные выключатели

-

24

20

10

10

 

Отделители и короткозамыкатели

15

15

15

10

-

 

Разъединители

15

15

15

10

10

 

Автоматы

-

-

-

-

-

4,0

3.1 Методические указания

1) Для определения вероятностей заданной нагрузки трансформатора используется схема независимых испытаний - биномиальный закон распределения

p(A) = ´pк×gn-к,                                                             (3.1)

где n - число независимых испытаний;

      к - число испытаний, в которых событие А появилось из серии n независимых испытаний;

      p - вероятность включения двигателя;

      g - вероятность отключения двигателя.

2) Математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратичное отклонение случайной величины нагрузки трансформатора определяются по формулам

М(S) =        , кВА

(3.2)

 
Д(S) =      , к.ВА2

s(S) =             , кВА,

где m - число групп электродвигателей.

3) Показатели надежности системы электроснабжения относительно шин 0,4 определяются для последовательного соединения элементов схемы

а) интенсивность отказов

lс  =    1/год;                                                                       (3.3)

б) среднее время восстановления

, час;                                                                  (3.4)

в) средняя наработка на отказ

Тср=  , год;                                                                              (3.5)

г) коэффициент простоя

                    gc = åli tавi = lсtавс,   о.е.;                                                             (3.6)

д) коэффициент готовности

pс = 1 - gс, о.е.                                                                             (3.7)

4) Величина недоотпущенной электроэнергии за год относительно шин 0,4 кВ.

Э=М(S)cosj×Tгод×gс, кВт.ч.                                                         (3.8)

Задание № 4

          Методом динамического программирования определить оптимальный вариант прокладки кабельной линии 10 кВ от источника питания (Н) к потребителю (К), если известны удельные стоимости кабеля на отдельных участках трассы.

          Исходные данные для задачи принимаются по таблицам 4.1 - 4.3 согласно правилам выбора вариантов.

 

Таблица 4.1 – Исходные данные

 

Кол-во шагов управления

Начальная буква фамилии студента

А, Д

Б, Е, Л

В, Г, Я

Ж, З, И,

К, Ф, Э

М,О

Н, П, Щ

Р, Т, У,

С, Ч,Ю

Х, Ц, Ш,

n ´ m

6х7

5х9

5х8

4х9

6х7

7х7

8х5

5х7

7х6

6х8

 

Примечание: n - количество строк, m - количество столбцов.

 

Таблица 4.2 – Исходные данные

 

№№ строк из таблицы 2.4.4

Предпоследняя цифра № зачетной книжки

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

от № и ниже

7

10

1

3

14

9

12

5

8

2

 

Таблица 4.3 – Исходные данные

 

№№ столбцов из таблицы 2.4.4

Последняя цифра № зачетной книжки

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

от № и правее

4

1

10

3

5

8

6

7

4

2

 

4.1 Методические указания

Решение задачи основывается на принципе оптимальности, сформулированном Р. Беллманом: «Оптимальное поведение обладает тем свойством, что каковы бы ни были первоначальное состояние и решение в начальный момент, последующие решения должны составлять оптимальное поведение относительно состояния, получающегося в результате первого решения». В ряде задач оптимальное управление может быть и не единственным.

          Процесс решения задачи динамического программирования разбивается на шаги, нумерация шагов осуществляется от конца к началу. Спланировав последний шаг (К), к нему присоединяют предпоследний (К-1) - шаг, далее - (К-2) - шаг и так далее. В конечном итоге приходят в начальное состояние системы Н и находят оптимальное управление, проходят от Н к К.

Данная задача решается с помощью программы Microsoft Exсel. Для этого необходимо ввести данные из таблицы 4.4, соответствующие удельной стоимости прокладки кабельной линии на отдельных участках трассы. Задать требования по выполнению принципа оптимальности Беллмана и выделить наиболее оптимальное решение.

 

Таблица 4.4 - Модель динамического управления объектом по двум переменным параметрам

 

     n

m

   1

 

   17

  2 

 

      6

  3

 

    11

   4

 

    13

 5

 

    10

  6

 

     9

  7

 

    12

 8

 

     4

  9

 

     6

 10

 

    11

 11

 

     5

1

10

      5        

15

    10       

9

     6        

11

        8

13

        6 

7

      10

17

       5

10

        7

6

     13

8

      10

8

      9  

2

14

     9

10

    14

10

    5

13

    6

11

     6

8

     6

15

    8

4

     8

6

    5

9

    3

8

    6

3

 

6

    8

7

     6

8

    4

9

     2

6

    9

4

      8

7

     5

9

     9

8

    5

6

    7

9

     5

4

 

9

    5

7

    9

8

   9

5

    7

6

    9

5

     7

8

     3

2

     9

4

    7

5

    9

4

     8

5

6

    4

8

    2

3

    8

9

     5

8

    8

7

     4

6

     9

5

     7

2

    9

8

    2

7

    9

6

9

     5

7

     9

4

    8

8

     7

6 

    9

2

     9

9

    4

4

    7

7

    5

5

     9

8

     7

7

   

4

     8

6

     5

9

    2

3

    9

1

    8

7

     3

5

    6

2

   7

8

    6

9

     4

7

     8

9

7

     2

5

     4

3

    5

8

    6

7

    9

6

    8

9

    1

8

    6

4

    9

2

    6

8

     1

10

6

     9

3

     8

9

    3

1

    7

2

    5

7

    1

4

    7

6

    2

5

    8

9

    4

5

     9

11

5

    4

2

     6

7

    9

4

    6

3

    7

6

    9

8

    2

5

    4

1

    3

6

   9

7

     8

12

9

    3

10

     9

5

    7

8

    5

6

    6

5

    8

4

   10

7

   11

9

   15

8

   6

2

     7

13

8

   11

5

   12

6

    9

2

    10

4

   15

3

    8

7

   14

6

   11

8

    4

9

   12

4

    16

14

6

   10

3

   15

1

    12

8

     6

9

   11

7

    9

6

   10

5

    9

12

    5

4

   15

8

     9

15

9

    8

7

   11

8

     4

6

     9

7

     6

5

   10

4

   12

3

   6

2

    11

9

    9

7

     8


Задание № 5

          Решить систему линейных уравнений графическим методом. Построить область допустимых решений и определить точку экстремума функции согласно заданию.

          Исходные данные для задачи принимаются по таблице 5.1 согласно правилам выбора вариантов.

 

Таблица 5.1 - Исходные данные

 

Начальная буква фамилии студента

А,

Д

Б,

Е

В,

Г,

Я

Ж, З,

И,

Л

К

М, О

Н,

П

Р,

Т, У,

Ф

С,

Ч

Х, Ш, Щ, Э, Ю

Элементы целевой функций

C1

1

2

1

-1

5

2

2

1

-4

5

C2

-2

1

5

3

2

1

3

-2

5

1

C3

3

-1

4

2

-1

-1

6

-3

6

-3

C4

10

-1

-6

-

-

-1

3

-

-

1

f(x)

max

min

max

min

max

min

max

min

max

min

 

5.1 Методические указания

          Решение систем линейных уравнений графическим методом.

В системе координат х2´х1 неравенство определяет полуплоскость с граничной прямой а1х12х20

Если задана система неравенств, то для построения ОДР строят граничные прямые, далее определяются полуплоскости, где выполняются данные неравенства.

Чтобы получить координаты ОДР (вершин), необходимо решить систему уравнений прямых, пересекающихся в этих вершинах.

При числе n>2 неравенство

а1х12х2...+anxn£а0 эквивалентно уравнению

а1х1+ ...+anxn+xn+1=a0; xn+1³0

а1х1+ ...+anxn³0

Аналогично а1х1+ ...+anxn-xn+1=0

Переменную xn+1 называют дополнительной (балансовой).

Если задана система неравенств

,

то ее можно заменить эквивалентной системой линейных уравнений с (n+m) переменными.

Причем xn+1³0, ..., xn+m³0

Вектор - потенциал , перпендикулярный к прямым базисных переменных, указывает направление как скорейшего возрастания f, вектор -  направлен в наискорейшем убывании f.

Данная задача решается с помощью программы Mathcad. Для этого необходимо ввести данные из таблицы 5.1, соответствующие уравнению функции, и из таблицы 5.2, соответствующие уравнениям ограничений. Задать требования по выполнению принципа неотрицательности полученных решений. Построить на графике область допустимых решений и вектор-потенциал, по его направлению определить точку экстремума функции и ее координаты. Определить значение функции и переменных в точке экстремума.

 

5.2 Пример

f(x4, x5)=4x4+x5

Given

5x1-2x2+2x3+x4-x5=13

2x1-2x2+x3-x4+x5=5

x1+2x2+4x4-2x5=5

Далее необходимо построить выражения уравнений ограничений в зависимости от х4 и х5.

Строим график.


По графику определяем направление вектор-потенциала, который в данном случае имеет координаты (0,0) и (4,1); далее строим перпендикуляр к этому вектору, по которому мы узнаем направление наискорейшего возрастания функции. Первая точка пересечения перпендикуляра с ОДР будет являться min функции, а последняя max. В нашем случае: min f (0,0), а max f (1,1). По полученным значениям определяются все переменные и значение функции в точке экстремума.

 

 

 

 

         

Таблица 5.2 - Исходные данные

 

 

 

 

 

 

 

 


 

Элементы Ai, Bj ,Cij

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Мощность источников Aij

a11

1

2

1

1

2

1

2

-1

1

6

a12

1

3

-1

1

1

1

-1

1

2

-1

a13

2

-4

2

2

1

2

1

2

-3

4

a14

-6

-5

-1

-

-

-1

2

-

-

2

a21

1

5

2

2

3

2

2

1

4

-9

a22

1

-6

1

-3

2

1

1

-5

6

8

a23

4

1

-3

1

1

-3

1

-1

2

7

a24

-8

-1

1

-

-

1

1

-

-

1

a31

4

4

1

2

5

1

-1

1

2

-4

a32

2

1

1

-5

3

1

4

1

-3

5

a33

1

-2

1

6

4

1

-2

3

1

6

a34

-4

3

1

-

-

1

-2

-

-

1

Мощность потребителей   Bj

b1

1

1

2

-5

5

2

1

2

4

5

b2

1

3

6

3

6

6

2

1

10

7

b3

3

2

7

5

7

7

3

5

1

8

b4

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

Знаки ограничений 

( ≤ ; ≥; =)

1

=

=

=

=

2

=

=

=

=

=

3

=

=

=

=


Список литературы

 

1.  Электрические системы. Математические задачи электроэнергетики     / Под ред. В.А. Веникова. - М.: Высшая школа, 1981.- 288 с.

2.  Веников В.А. и др. Регулирование напряжения в электроэнерге-тических системах. - М.: Энергоатомиздат, 1985. - 216 с.

3.  Вентцель Е.С. Исследование операций:  задачи, принципы, методология. - М.: Наука, 1988. - 208 с.

4.  Вентцель Е.С., Овчарова Л.А. Теория вероятности и ее инженерные приложения. - М.: Наука, 1988. - 480 с.

5.  Кузнецов А.В., Холод Н.И., Костевич Л.С. Руководство к решению задач по математическому программированию. - Минск: Высшая школа, 1978. - 256 с.

          6. Гук Ю.Б. Анализ надежности электроэнергетических установок. - Л.: Энергоатомиздат, 1988. - 224 с.

7. Гордиевский И.Г., Лордкипанидзе В. Д. Оптимизация параметров электрических сетей / Под ред. Г.В. Сэрбиновского. - М.: Энергия,1978.

8. Фокин Ю.А. Вероятностно-статические методы в расчетах систем электроснабжения. - М.: Энергоатомиздат, 1985.

9. Арзамасцев Д.А., Липес А.В., Мызин А.Л. Модели оптимизации развития энергосистем. – М.: Высш. шк., 1987.

10. Электрические сети и системы в примерах и иллюстрациях: Учеб. пособие для электроэнерг. спец. / В.В. Ежков. Г.К., Зарудский. Э.Н., Зуев и др.; Под ред. В.А. Строева. - М.: Высш. шк., 1999. – 352 с.

11. Беллман А. Динамическое программирование / Пер. с англ. – М.:   Изд-во иностр. лит., 1960.

12. Строев В.А., Рокотян И.С. Методы математической оптимизации в задачах электроснабжения. – М.: МЭИ, 1993.


Доп. план 2004 г., поз. 19

 

 

 

Наталья Анатольевна Туканова

 

 

 

Математические задачи энергетики и

компьютерное моделирование

Методические указания и задания к расчетно-графической работе (для студентов, обучающихся по специальностям 210340 - Релейная защита и автоматизация электроэнергетических систем, 210440 - Электроснабжение (по отраслям), 330440 – Электротехнологические установки и системы,

330540- Светотехника и источники света)

 

 

 

 

 

 

Редактор                         В.В. Шилина

 

 

 

 

Подписано в печать _____                Формат 60х84 1/16

Тираж 200 экз.                                    Бумага типографская №1

Объем 1,4  уч.-изд.л.                          Заказ ____. Цена 46 тг.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Копировально-множительное бюро

 Алматинского института энергетики и связи

480013 Алматы, Байтурсынова, 126