Алматинский институт энергетики и связи
Кафедра «Электрических станций, сетей и систем»
Кафедра «Электропривода и автоматизации промышленных установок»
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ И КОМПЬЮТЕРНОЕ
МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИКЕ
Методические указания к расчетно-графическим работам
( для студентов очной форм обучения специальности
050718 – Электроэнергетика)
Алматы 2006
СОСТАВИТЕЛИ: К.К.Тохтибакиев, Мустафин М.А.
Математические задачи и компьютерное моделирование в электроэнергетике.. Методические указания к выполнению расчетно-графических работ (для студентов очной формы обучения специальности 050718 – Электроэнергетика). – Алматы: АИЭС, 2006. -16 с.
Методические указания содержат общие положения к выполнению расчетно-графических работ, указания по их выполнению и оформлению.
Описания содержат название, цель работ, методику их проведения и обработки расчетных данных, полученных при расчете на ЭВМ. Приведены
Введение
Дисциплина «Математические задачи и компьютерное моделирование в электроэнергетике» является одной из профилирующих при подготовке бакалавров по специальности Электроэнергетика.
Расчетно-графические работы имеют цель закрепить в памяти студента приобретенные ранее теоретические знания по компьютерному моделированию и решению инженерных задач энергетики. Приступая к непосредственному выполнению работы, студент должен иметь ясное представление о поставленной перед ним задаче и о тех физических явлениях, которые предстоит исследовать.
В расчетно-графических работах большое внимание обращено на расчеты режимов электрических сетей матричным методом.
1 Подготовка и порядок выполнения работы
При подготовке к работам необходимо изучить разделы настоящих методических указаний и рекомендуемую литературу.
После изучения указанного материала студент должен отчетливо представлять цель работы, порядок ее проведения. Затем необходимо подготовить расчетную модель исследуемой сети, т,е:
- составить схему замещения линии электропередачи или электрической сети;
- определить параметры схемы замещения;
- подготовить исходную информацию для расчета на ЭВМ согласно инструкции используемой программы по заданному формату.
Результаты расчетов оформляются в виде таблиц и графиков.
2 Защита расчетно-графической работы
К защите допускается студент, выполнивший весь объем работы и оформивший отчет. Отчет оформляется по единой форме на стандартных листах (формат А4) белой бумаги. Записи ведутся темными чернилами, рисунки - карандашом. В отчете обязательно должны быть отражены:
- цель работы;
- порядок выполнения работы;
- полученные результаты в виде расчета на ЭВМ;
- анализ и выводы по результатам расчета.
Защита работы считается успешной при полном ответе на заданные преподавателем вопросы, знании теоретической части и выполнении работы.
3 Задание 1
Составление математических моделей с помощью систем линейных уравнений и ее решение методом Жордана
3.1 Задание на расчетно-графическую работу:
- составить схему замещения сети и определить расчетные параметры;
- расчет напряжения в узлах сети на основе метода Жордана;
- определить токораспределения по ветвям.
3.2 Выбор вариантов исходных данных:
а) схема исследуемой сети.
Рисунок 1
Параметры схемы сети (рисунок 1) выбираются согласно таблице 1.1.
Таблица 1.1 – Исходные данные второй группы (по последней цифре зачетки)
|
Номер варианта |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
L1 |
3.4 |
2 |
2.4 |
4.2 |
3.7 |
4.2 |
3.4 |
2 |
2.4 |
|
L2 |
5.4 |
5.0 |
4.3 |
5.4 |
2.4 |
4.2 |
3.4 |
2 |
3.4 |
|
L3 |
4 |
4.2 |
3.4 |
2 |
2.4 |
4.2 |
3.4 |
3.7 |
2.3 |
|
L4 |
3.7 |
5.4 |
5.0 |
4.3 |
2.4 |
4.2 |
3.4 |
|
|
|
L5 |
2.4 |
4.2 |
3.4 |
2 |
3.4 |
2 |
2.4 |
4.2 |
3.4 |
б) варианты исходных данных по узлам выбираются по таблице 1.2.
Таблица 1.2 – Исходные данные первой группы (по предпоследней цифре зачетки)
|
Номер варианта |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
S1 |
2 |
2.4 |
4.2 |
3.4 |
3.7 |
5.4 |
5.0 |
4.3 |
5.4 |
|
S2 |
1 |
3.7 |
5.4 |
5.0 |
2.4 |
4.2 |
3.4 |
2 |
3.4 |
|
S3 |
4 |
4.2 |
3.4 |
2 |
2.4 |
4.2 |
3.4 |
3.7 |
2.3 |
3.3 Методическое указание к выполнению задания
Наиболее эффективным способом исследования режима сети является моделирование режима сети на ЦВМ. Для моделирования режима сети необходимо решить задачи:
- формирование схемы и уравнений установившегося режима (УУР) электрической сети; обращения с матричной записью УУР, познание основных свойств матричных преобразований;
- освоение способов решения линейных УУР, наиболее эффективных для реализации на ПВМ;
- овладение основными способами решения нелинейных УУР, наиболее эффективно реализуемых на ПВМ.
Уравнения состояния линейной электрической сети.
Состояния линейной электрической сети основаны на уравнений законов Ома и Кирхгофа.
Закон Ома определяет взаимосвязь параметров ветвей:
Uib=Zi*Ii- Ei. (1)
Первый закон Кирхгофа определяет баланс токов в узлах сети
ΣĬ-J=0. (2)
Второй закон Кирхгофа определяет баланс напряжений в сети:
ΣŪ=0. (3)
Схема замещения ЭЭС обычно является связанным графом, ребрами которого служат ветви, а вершинами –узлы.
Для направленного графа могут быть определены:
- матрица соединений в узлах (первая матрица инцинденций);
- матрица соединений ветвей в независимые контуры (вторая матрица инцинденций).
Первая матрица инцинденций
M=(Мij),где i=1,……..n, j=1,……..м, n-число строк или узлов,м - число столбцов или ветвей.
Вторая матрица инцинденций
N=(Nj),где i=1,……..k, j=1,……..r, k -число строк или независимых контуров, r- число столбцов или ветвей.
Первый закон Кирхгофа в матричной форме
М*I=J. (4)
Второй закон Кирхгофа в матричной форме
NU=0. (5)
Для формирования обобщенного уравнения состояния необходимо предварительно определить матрицы соединений М и N, которые в аналитической форме отображают конфигурацию схемы замещения сети.
Составление матрицы М
Для этого достаточно пронумеровать все узлы и ветви схемы и в каждом столбце матрицы записать (+1) и (-1) в тех строках, которые соответствуют соединяемым данной ветвью узлам, а в остальных столбцах записать (0). Строка соответствующая балансирующему узлу вычеркивается.
Свойства матрицы
N*Мт =0.
Узловые уравнения
Обозначим
Уу=М*Ув*Мт ( 6):
где Уг-матрица собственных и взаимных проводимостей.
Она дает возможность получить окончательную форму записи системы УУР
Уу*U= J. (7)
Решив уравнение (7) относительно U, можно получить падения напряжения на ветвях схемы и найти токи в ветвях.
Порядок расчета УУР матричным методом :
- для выбранной схемы составляется диагональная матрица узловых токов схемы и диагональная матрица проводимости ветвей;
- заполняется матрица инцинденции нулями и единицами.
Матрицы инцинденции состоят из столбцов по числу узлов и строк по числу ветвей. Если ветка соединяет узел, заполняется плюс единица при направлении тока к узлу и минус единица при направлении от узла, если ветка не имеет связи с узлом, заполняется нулем.
4 Задание 2
Решение дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений с применением компьютерных математических приложений.
Задание на РГР
4.1 Рассчитать и построить кривые переходных процессов i(t) для схемы, изображенной на рисунке 2, модифицированным методом Эйлера.
 |
Рисунок 2
4.2 Рассчитать и построить кривые переходных процессов i1(t), i2(t) для
схемы, изображенной на рисунке 3, методом Рунге-Кутта.
 |
Рисунок 3
4.3 Варианты задания
|
Последняя цифра номера зачетной книжки |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
4 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
Активное сопротивление R, r1, r2, Ом |
30 0.9 0.1 |
35 0.8 0.2 |
40 0.7 0.3 |
45 0.6 0.4 |
50 0.5 0.5 |
55 0.4 0.6 |
60 0.3 0.7 |
65 0.2 0.8 |
70 0.1 0.9 |
75 1 1.5 |
|
Индуктивность L, L1, L2, Гн |
4 1 1.5 |
5 0.1 0.9 |
6 0.2 0.8 |
4 0.3 0.7 |
6 0.4 0.6 |
5 0.5 0.5 |
7 0.6 0.4 |
6 0.7 0.3 |
7 0.8 0.2 |
8 0.9 0.1 |
|
Предпоследняя цифра номера зачетной книжки |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
4 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
Напряжение U, В |
220 |
24 |
12 |
220 |
24 |
12 |
220 |
24 |
12 |
220 |
|
Напряжение U1, U2, В |
30 100 |
40 90 |
50 80 |
60 70 |
65 30 |
70 60 |
80 60 |
85 50 |
90 40 |
100 30 |
4.4 Методические указания
Аналитическое моделирование предполагает использование математической модели реального объекта в форме алгебраических, дифференциальных, интегральных и других уравнений, связывающих выходные переменные с входными, дополненных системой ограничений. При этом предполагается наличие однозначной вычислительной процедуры получения точного решения уравнений.
Математическая модель объектов электроэнергетики обычно составляется в форме систем дифференциальных и алгебраических уравнений.
При формализации математической модели необходимо выбрать метод решения дифференциального уравнения (ДУ) (или системы уравнений), описывающих данный динамический процесс. Символьные (аналитические) способы наиболее точны и предпочтительны, но не всегда осуществимы (сложность и громоздкость, решения или его невозможность). Значительную помощь в проведении символьных расчетов может оказать использование пакетов символьной математики «Maple» или «Mathematica» Использование современных вычислительных средств значительно повысило точность приближенных численных методов, их быстродействие. Многие математические компьютерные приложения упрощают применение численных методов расчета и делают их универсальными. В случае, когда модель (или подсистему) можно достаточно просто описать и решить аналитическими способами, предпочтение следует отдать последним. Наиболее распространенными в настоящее время пакетами математических прикладных программ для инженерных расчетов являются «Mathcad» и «Matlab».
4.4.1 Решение ДУ модифицированным методом Эйлера
Простейшим численным методом решения одиночного дифференциального уравнения вида
. (1)
является метод Эйлера. Он реализуется следующей рекуррентной формулой
. (2)
Здесь h— шаг решения. Погрешность этого метода значительна (порядка h), поэтому он на практике почти не применяется. Более точным является модифицированный методом Эйлера, реализуемый формулой
, (3)
погрешность которого близка к h2 (то есть порядка 1% при h =0,1), что нередко уже приемлемо для приближенного решения дифференциальных уравнений первого порядка.
Улучшение точности вычислений при использовании этого метода, фактически достигнуто за счет интегрирования методом трапеций вместо метода прямоугольников, характерного для реализации простого метода Эйлера.
Простейшее звено (рисунок 1), описывается дифференциальным уравнением первого порядка
(4)
В примере, приведенном ниже, дана реализация в приложении «Mathcad» модифицированного метода Эйлера.
4.4.2 Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта
При переходе от решения одиночных дифференциальных уравнений к решению систем дифференциальных уравнений сложность решения быстро нарастает. Уже при решении системы из двух дифференциальных уравнений значительно усложняются рекуррентные формулы, определяющие коэффициенты в формулах Рунге—Кутта. При этом добавление каждый раз очередного уравнения увеличивает число уравнений в их векторной записи. Естественно, это увеличивает сложность решения, ведет к увеличению числа переменных в функциях, задающих коэффициенты Ki, но принципиально не меняет реализации алгоритма вычислений.
При решении систем дифференциальных уравнений «в лоб» этот путь оказывается тупиковым из-за быстрого нарастания сложности уравнений и их частного характера.
Встроенные в «Mathcad» функции для решения систем дифференциальных уравнений обходят эти трудности, поскольку не требуют составления формул для решения систем дифференциальных уравнений и задают такое решение в общем виде. Надо, однако, учитывать, что реальные алгоритмы решения дифференциальных уравнений оказываются заметно сложнее рассмотренных. Так, широкое распространение получили адаптивные алгоритмы, в которых на каждом шаге выполняется контроль погрешности решения (функция Rkadapt в «Mathcad»). Если погрешность падает ниже заданной, шаг h уменьшается. И так до тех пор, пока погрешность не станет меньше заданной. Это заметно снижает неустойчивость решения, но одновременно увеличивает время вычислений как на каждом шаге, так и в области возможной неустойчивости решения.
Последние версии компьютерных математических систем оснащены встроенными функциями численного решения как отдельных дифференциальных уравнений, так и систем ДУ. Для решения задач такого класса введен ряд функций:
rkfixed(y,x1,x2,N,D) – матрица решений методом Рунге – Кутта системы обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями в векторе y на интервале от x1 до x2 с фиксированным числом шагов N; правые части уравнений записаны в векторе D;
Rkadapt(y,x1,x2,N,D) – матрица решений методом Рунге – Кутта (с переменным шагом) системы обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями в векторе y на интервале от x1 до x2 с фиксированным числом шагов N; правые части уравнений записаны в векторе D.
В качестве примера рассмотрим динамическую модель электрической схемы, изображенной на рисунке 2.
Электрическое равновесие в предложенной схеме определяется системой дифференциальных уравнений
,
.
Решение с применением встроенных в «Mathcad» функций для решения систем
дифференциальных уравнений представлено ниже. 
Содержание
Введение
1 Подготовка и порядок выполнения работы
2 Защита расчетно-графической работы
3 Задание 1
4 Задание 2
5 Список литературы
Список литературы
1. Волков Л.Т. Математические задачи энергетики. Типовые задачи: Учеб.пос. / Энергия, 2003.
2. Электрические системы. Математические задачи электроэнергетики: Учебник для студентов вузов / Под ред. В.А. Веникова. - М.: Высшая школа, 1986.- 288 с.
3. Астраханов Ю.А., Веников В.А., Ежков В.В. Электроэнергетические системы в примерах и иллюстрациях. - М.: Высшая школа, 1989.
4. Численные методы: Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения. Вержбицкий В.М. - Изд.: «Оникс 21 век», 2005.
5.Дьяконов В. MATHCAD 8/2000:специальный справочник. – СПб.: Издательство «Питер», 2000.