НЕКОММЕРЧЕСКОЕ АКЦИОНЕРНОЕ ОБЩЕСТВО

АЛМАТИНСКИЙ ИНСТИТУТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ

 

Кафедра теоретических основ электротехники

 

Теория электрических цепей 1

 

Расчет линейных электрических цепей

Методические указания к расчету цепей постоянного и синусоидального тока

для студентов всех форм обучения специальности

 

 

Алматы 2010

СОСТАВИТЕЛЬ: Х.А. Иманбаев. Теория электрических цепей 1. Расчет линейных электрических цепей. Методические указания к расчету цепей постоянного и синусоидального тока для студентов всех форм обучения специальности. – Алматы: АИЭС, 2010. –  29  стр.

         Методические указания к расчету цепей постоянного и синусоидального тока «Теория электрических цепей 1», содержат четыре работы по темам: «Линейные электрические цепи», «Синусоидальный ток и основные характеризующие его величины», «Резонансы в линейных электрических цепях», «Несинусоидальные токи». Методические указания к расчету соответствуют типовой программе по дисциплине ТЭЦ 1 для всех форм обучения специальности.

 

Условные обозначения основных электрических величин

- действующее значение ЭДС постоянного тока

- действующее значение напряжения постоянного тока

- амплитудное значение переменного тока

- комплексное действующее напряжение

- комплексная амплитуда напряжения

- мгновенное значение напряжения

- активная и реактивная составляющие напряжения

- постоянный ток

- переменный ток

- мгновенное значение тока

- амплитудное значение тока

- действующее значение нерешенного тока

- среднее значение переменного тока

- сдвиг фаз между напряжением и током

- комплексное действующее значение

- комплексная амплитуда тока

- активная, реактивная составляющие тока

- свободная составляющая тока

- принужденная составляющая тока

- переходный ток

- активное сопротивление

- реактивное сопротивление

- полное сопротивление

- дифференциальное сопротивление

- волновое, характеристическое сопротивление

- комплексная проводимость

- активная проводимость

- реактивная проводимость

- активная мощность

- реактивная мощность

- полная мощность

- передаточная функция

- добротность контура

- характеристическое сопротивление контура

- магнитный поток, поток рассеяния

- постоянная распространения

- операторные величины  

 

1 Линейные электрические цепи

 

1.1 Электрические цепи

 

Электрической цепью называется совокупность соединенных друг с другом источников электрической энергии и нагрузок, по которым может протекать электрический ток. Каждой реальной схеме соответствует эквивалентная схема. В схему включают идеализированные элементы, которые являются математической моделью, описывающей явления в реальном элементе.

Конфигурация схемы характеризуется понятиями ветвь, узел, контур, граф.

Т а б л и ц а 1.1

Определение элементов схемы

Пример

Ветвь – участок электрической цепи, вдоль которого протекает один и тот же ток.

 

 

-ветви   - ветвь

 -узлы                            -узел         

 

Узел – соединение ветвей тока в цепи, в котором сходится не менее трех ветвей.

Контур – любой замкнутый путь, образованный ветвями, узлами.

-контуры

-узлы

 

Граф – изображение схемы электрической цепи, в котором ветви схемы представлены отрезками – ветвями графа, а узлы – точками – узлами графа. 

 

 

 

 

Дерево – любая совокупность ветвей графа, соединяющая все узлы графа без образования контура.

1.2 Эквивалентные схемы источников электрической энергии

 

Т а б л и ц а 1.2

Источник энергии

Эквивалентная схема

Вольт – амперная характеристика

Источник ЭДС. Характеризуется величиной  и вну- тренним сопротив- лением

Идеальный источ- ник ЭДС

Напряжение не зависит от тока

Идеальный источ- ник тока. Имеет внутреннее сопро- тивление, равное  

Ток не зависит от напряжения

  

1.3 Эквивалентное преобразование источников энергии

 

Т а б л и ц а 1.3

Вид преобразования

Исходная схема

Эквивалентная схема

Источник напряжения - в эквивалентный источник тока

          

Продолжение таблицы 1.3

Источник тока - в эквива- лентный источ- ник напряжения.

Источник тока , подключен- ный к разным ветвям, в источ- ник напряжения.

  

1.4 Преобразование схем с двумя узлами, содержащих источники

 

Т а б л и ц а 1.4

Вид преобразования

Исходная схема

Эквивалентная схема

 

 

 

Преобразование схемы с параллельными ветвями, содержащих ЭДС.

 

 

 

 в уравнении с плюсом, если подхо- дит к узлу, с минусом, если отходит от узла.

 

  

Продолжение таблицы 1.4

 

 

Замена параллельных ветвей с одной активной ветвью.

  

1.5 Основные свойства и теоремы линейных электрических цепей

 

Т а б л и ц а 1.5

Свойства наложения

 

 

1. Ток в  ветви, входящий только в один контур, равен алгебраической сумме токов, вызываемых в этой ветви каждой ЭДС схемы  в отдельности.

-определить системы.

-алгебраическое дополнение, полученное и вычеркиванием столбца и  строки, и умножением на -собственное сопротивление контура, - общее сопротивление и контуров

2. При наличии в схеме источников ЭДС  и источников тока  ток в любой ветви равен сумме токов, протекающих в этой ветви под действием каждого из источников ЭДС и тока в отдельности.

 

где  при 

 при   

Проводимость отрицательна, если ЭДС  вызывает ток, не совпадающий по направлению с произвольно выбранным направлением тока в  ветви.

Продолжение таблицы 1.5

теоремы

 

1.     Теорема компенсации.

Ток в электрической цепи не изменяется, если сопротив- ление пассивного элемента  в ней заменить источником ЭДС, величина которого равна напряжению на этом элементе и направлена навстречу току в нем:

 

2.         Изменение тока при изменении сопротивления на будет таким же, если вместо включить ЭДС ЭДС     которого направлена навстречу току

3. Теорема об эквивалентном генераторе (х.х. к. з., активный двухполюсник). Активный двух- полюсник по отношению к рас- сматриваемой ветви можно заменить эквивалентным источ- ником напряжения, ЭДС которо- го равна напряжению холостого хода на зажимах этой ветви, а внутреннее сопротивление – входному сопротивлению двух- полюсника. 

4. Теорема об эквивалентном источнике тока (т. Нортона). Активный двухполюсник по отношению к рассматриваемой ветви можно заменить экви- валентным источником тока, ток которого равен току в этой цепи, замкнутой накоротко, а вну- тренняя проводимость источ- ника – входной проводимостью двухполюсника.   

  

1.6 Дуальные элементы и схемы

 

Два элемента электрической цепи называются дуальными, если уравнение одного элемента по форме аналогично уравнению другого элемента.

 

Т а б л и ц а 1.6

Дуальные элементы

Дуальные элементы

          

Т а б л и ц а 1.7

Дуальные схемы

(второй закон Кирхгофа)

(первый закон Кирхгофа)

  

2 Синусоидальный ток и основные характеризующие его величины

 

Переменным током называют ток, изменяющийся во времени по синусоидальному (косинусоидальному) закону.

Т а б л и ц а 2.1

Основные величины

Обозначения и размерность

Амплитуда переменного тока (напряжения, ЭДС) - максималь- ное значение функции.

 

Период - время за которое совер- шается одно полное колебание.

 

Частота - число периодов в секунду.

 

Угловая частота - скорость изме-

нения фазы тока (ЭДС, напряже- ния).

 

Фаза - аргумент синусоидаль- ного тока, отчитываемый от точки перехода тока через ноль (макси- мум) к положительному значе- нию.

 

Начальная фаза - значение гармо- нически изменяющейся величины в начальный момент времени  

 

Среднее значение переменного тока (напряжения, ЭДС) – значение, соответствующей положительной полуволны.

 

       

      

  

   

если      

   

 

 

        

  

      

Продолжение таблицы 2.1

Действующее значение перемен- ного тока (ЭДС, напряжение) – среднеквадратичное значение электрического тока за период.

  

 

Коэффициент амплитуды – отно- шение максимального  (ампли- тудного) значения тока (напря- жения, ЭДС) к действующему значению.

 

Коэффициент формы – отноше- ние действующего значения тока (напряжения, ЭДС) к среднему значению.

 

 

 

Коэффициент искажения – отно- шение действующего значения основной гармонии к дей- ствующему значению всей кри- вой. 

             

 

 

    

 

2.1 Комплексный метод. Расчет цепей переменного тока

 

Расчет линейных электрических цепей переменного тока в установившемся режиме аналогичен расчету цепей постоянного тока. В обоих случаях составляют систему алгебраических уравнений по методам, основанным на законах Ома и Кирхгофа. 

Для схем постоянного тока уравнения составляют по действительным значениям напряжений, токов, сопротивлений и проводимостей. В схемах переменного тока для алгебраизации интегрально – дифференциальных уравнений применяют комплексные (символические) величины.

При переходе от интегро-дифференциальных уравнений дифферицирование мгновенного значения заменяют умножением  на соответствующую комплексную величину, а интегрирование – делением комплексной величины на:     

если ,

то  и   

Т а б л и ц а 2.2

Формы записи комплексного числа

Алгебраическая

Показательная

Тригонометрическая

Удобна при сложении и вычитании комплексных чисел:

           

 

Удобна при

умножении, делении, извлечении корня и логарифмировании:

   

 

 

 

Удобна при переходе от показа- тельной к алгебраической форме:

при этом используется формула Эйлера

  

2.2 Алгоритм расчета комплексным методом

1. Мгновенные значения напряжений, токов источников ЭДСтоков  заменяют соответствующими комплексными значениями, например,               заменяют на, заменяют на.

2. Комплексные сопротивления или комплексные проводимости  всех ветвей схемы записывают в зависимости от выбранного метода расчета.

3. Алгебраические уравнения составляют по выбранному методу и решают их относительно искомой комплексной величиной, например, токи  .

4. При необходимости переходят к мгновенному значению:   

 

2.3 Методы расчета электрических цепей

 

Т а б л и ц а 2.3

1 Расчет схем по законам Ома

а) Закон Ома для участка цепи без источника ЭДС

 

 

 

б) с источником ЭДС

 

 

 

Пример: Рассчитать токи в ветвях схемы рис. 2.1

Решение:  токи  можно определить двумя методами

a)    

б)       

 

Разность потенциалов найдены по закону Ома для участка цепи:

          

Т а б л и ц а 2.4

2 Расчет по законам Кирхгофа

Первый закон Кирхгофа:

Алгебраическая сумма токов в узле равна нулю:

 

Количество уравнений определяется по формуле , где узлы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Второй закон Кирхгофа:

Алгебраическая сумма падений напряжения в любом замкнутом контуре схемы равна алгебраической сумме ЭДС в этом контуре для мгновенных значений:

,

для комплексных значений:

.

Алгебраическая сумма напряжений вдоль замкнутого контура равна нулю: .

Число независимых уравнений равно (-число ветвей, - число узлов) числу независимых контуров.

 

 

Для узла1:

 (1- для мгновенных значений),

 (1' - для комплексных значений)

  

Пример: Токи источников тока учитываются только при записи первого закона Кирхгофа

Рисунок 2.4

 

Рисунок 2.3

Продолжение таблицы 2.4

Независимые контуры схемы отличаются друг от друга по крайней мере одной ветвью.

Пример: Для схемы на рисунке 2.3 записать уравнение по законам Кирхгофа.

Решение: Задаемся положи-

тельными направлениями токов в ветвях.

По первому закону запишем два уравнения: т.к. в схеме три узла а, в, с.

Входящие токи взяли с минусом, выходящие с плюсом.

По второму закону Кирхгофа запишем два независимых уравнения:

 

По первому закону: для комплексных значений

для узла “      

для узла   “        

для мгновенных значении:

.

По второму закону для комплексных значений:

контур “

     ,

контур  “

           

для мгновенных значений:

 

 

2.4 Метод контурных токов

 

По второму закону Кирхгофа составляют уравнения для выбранных положительно направленных токов, замыкающихся по независимым контурам схемы. Число независимых контуров определяется по формуле .

Токи в смежных ветвях находят как алгебраическую сумму контурных токов, протекающих по данной ветви. Токи в независимых ветвях равняются контурному току, протекающему в них. Источники тока преобразуют в источники ЭДС. Напряжения на элементах контура и ЭДС имеют знак плюс, если направление обхода контура совпадает с направлением контурного тока в этом элементе.

Т а б л и ц а 2.5

3 Метод контурных токов

Пример: Составить уравнения по методу контурных токов для схемы см. рисунок 2.5

Решение: Выбираем независимые контуры, задаемся направлением контурных токов и записываем уравнения по второму закону Кирхгофа, количество определяем по формуле . Направление обхо-

Рисунок 2.5

       

Продолжение таблицы 2.5

да контура удобно выбирать совпадающим с направлением кон- турного тока и одинаковым  во всех контурах число ветвей в схеме (см.рисунок 2.5)  узлов   

  

       

-контурные токи

- токи в ветвях

 

Т а б л и ц а 2.6

4 Метод узловых потенциалов

Метод узловых потенциалов основан на первом законе Кирхгофа. Составляется  уравнение для потенциалов узлов схемы, при условии, что потенциал одного узла принят равным нулю. После нахождения потенциалов определяют токи по законам Ома.

Уравнение в общем виде для  узла:.

   - собственная узловая

проводимостьузла, представ- ляющая собой сумму проводимостей ветвей, присоединенных к узлу.

 - общая узловая проводимость ,  узлов, равная сумме про- водимостей ветвей, соединяющих между собой рассматриваемые узлы.

 -алгебраическая сумма токов источников тока.

- алгебраическая сумма произведение ЭДС, ветвей, сходящихся в узле, на проводимости этих ветвей.

Если ЭДС  и ток источника тока направлен к узлу, то в правой части уравнение записывают со знаком плюс.

Пример:

Рисунок 2.6

              

         (1)

   (2)

 Решая определяем  далее применя закон Ома определяем ток в ветвях, например:

     

 

2.5 Метод эквивалентного генератора (х.х., к.з., метод активного двухполюсника)

 

Сложную разветвленную схему рассматривают как активный двухполюсник по отношению к ветви с искомым током, который определяем по формуле  , где  – напряжение холостого хода между зажимами отключенного сопротивления в ветви с искомыми токами; -входное сопротивление пассивного двухполюсника относительно зажимов, к которым подключено сопротивление в ветви с искомым током. 

Т а б л и ц а 2.7

Последовательность расчета методом эквивалентного генератора:

а) Найти напряжение на зажимах разомкнутой ветви “”:

б) Определить входное сопротив- ление  всей схемы по отношению к зажимам “” при закороченных ЭДС.

в) подсчитать ток по формуле .

Если в ветви “” сделать , то будет режим короткого замыкания, из формулы пункта “” получим: или .

Входное сопротивление можно определить опытным путем. Для этого измеряем напряжение холостого хода на зажимах разомкнутой ветви

 и ток короткого замыкания

 

Пример: методом эквивалентного генератора найти ток в схеме рис. 2.7

Рисунок 2.7

Решение: Напряжение  определяем при разомкнутой ветви с сопротивлением . Для этого рассчитаем токи в схеме рис. 2.8, отставшей после размыкания ветви

”:

            

.

Входное сопротивление найдем по схеме рисунок 2.9

ток    

Рисунок 2.8        Рисунок 2.9

3 Резонансы в линейных электрических цепях

 

Резонансом называют явление в электрической цепи, содержащие участки индуктивного и емкостного характера, при которых разность фаз напряжения и тока на входе равна нулю.

В режиме резонанса входное сопротивление – чисто активное, а входное напряжение и входной ток совпадают по фазе. Различают резонанс напряжений и резонанс токов.

 

3.1 Резонанс напряжений

 

Резонанс напряжения возникает в электрической цепи, содержащей последовательно соединенные индуктивный и емкостный элементы.

Т а б л и ц а 3.1

 

Условие резонанса в последователь -ном  –контуре  

 в момент резонанса

 

 –характеристическое сопро- тивление контура.

При резонансе     

  обычно

 или  

Векторные диаграммы:

а) до резонанса, когда

,   

б) после резонанса

,  

в) в момент резонанса, когда

,  

 

Суммарная энергия электромагнитного поля в режиме резонанса.

          

Продолжение таблицы 3.1

Частотные характеристики

 

Частота, при котором напряжение на емкостном элементе

;  

Частота, при котором напряжение на индуктивном элементе  

 

Резонансные кривые

при постоянном напряжении на вход

 

   

Добротность резонансного контура определяется отношением  на индуктивном (емкостном) элементе при резонансе к входному напряжению

  где  показывает во сколько раз напряжение    при резонансе превышает напряжение на входе  . Затухание контура      

Влияние величины добротности контура на резонансные кривые

 

Кривые и  при

  

Продолжение таблицы 3.1

 

Кривые и  при  

Полоса пропускания

  

  - относительная частота

 - низкая частота

- высокая частота

 

 - известная добротность контура

 

3.2 Резонанс токов

 

Резонансом токов называют явление в электрической цепи, содержащей параллельно соединенные ветви с индуктивностью и емкостью.

Т а б л и ц а 3.2

Условие резонанса:

      

 

 -частота резонанса

 

 

 

1. Для идеального контура  

2. Для контура с потерями;

 3. Для контура с потерями ;

Продолжение таблицы 3.2

Резонансная частота  

Соотношения между параметрами контура, при которых резонансная частота является вещественным числом.

 - вещественное число

а)  или  ;

     или

б) ;                   т.е. резонанс наблюдается при любой  частоте 

При изменении  и постоянных параметрах   резонанс токов возможен только в случае вещественных корней уравнения

 

1. Два различных вещественных корня и и . При этом наблюдается два резонанса

2. Два кратных вещественных корня . При этом наблюдается один резонанс.

Добротность резонансного контура с потерями  

  ;   -волновая проводимость контура.

Добротность контура при  

 

Частотные характеристики идеального контура   

  

Резонансная кривая идеального контура

 в момент резонанса

Продолжение таблицы 3.2

Резонансная кривая реального контура  - в момент резонанса   

 

Ток   наблюдается при  . Чем меньше значения сопротивления  и  тем ближе  

Резонансные кривые  при постоянном токе на входе

  

4 Несинусоидальные токи

 

4.1 Ряд Фурье для периодических несинусоидальных функций

Т а б л и ц а 4.1

Разложение периодической функции  удовлетворяющих условиям Дирихле, в ряд Фурье.

Коэффициенты ряда Фурье.

 

 

Виды симметрии:

1. Симметрия относительно оси абсцисс: .

Не содержит четных гармоник и постоянной составляющей. Только нечетные гармоники.

 

2. Симметрия относительно оси ординат: . В этом случае ряд не содержит синусов.

 

 

3.Симметрия относительно начала координат:

Не содержится косинусов и постоянной составляющей.

-номер гармоники.

 

где

 

где    

где   

4.2 Основные величины и коэффициенты несинусоидальных токов, напряжений

Т а б л и ц а 4.2

Действующие значения и  если задано:

а)  аналитическое выражение несину- соидального, периодического тока    

б)  разложение в ряд Фурье

 

 

 

а)   

б)    

      

Среднее по модулю значение несину- соидальной  функции.

 

Активная мощность несинусоидаль- ного тока, если задано:

а) аналитическое выражение несину- соидального периодического тока ;

 

б) разложение в ряд Фурье  реактивная мощность.

 

а)

б)  

Полная мощность несинусоидального тока.

 

 или

Мощность искажений

Коэффициент формы кривой тока (напряжений)

для синусоиды

Коэффициент амплитуды

 

для синусоиды

Коэффициент искажений

 

 

где  -действующее значение первой гармоники тока - действую- щее значение несинусоидального тока для синусоиды   

Коэффициент гармоники

 

  при 

         4.3 Расчет цепей при несинусоидальных токах

 

         Определение токов в линейных цепях при периодическом несинусоидальном источнике осуществляют методом наложения. Напряжения источника  раскладывают в ряд Фурье. Чистота каждой гармоники кратна чистоте периодического несинусоидального напряжения  при  Отдельно для каждой гармоники напряжения рассчитывают соответствующую гармонику тока, применяя комплексный метод. При этом определяют комплексное сопротивление для каждой гармоники. Реактивное индуктивное сопротивление учитывается пропорционально номеру гармоники: Реактивное емкостное сопротивление уменьшается с увеличением номера гармоники: При изменении частоты   активное сопротивление  полагают постоянным. После расчета всех гармонических составляющих тока записывают выражение для мгновенных значении тока:

 

Алгоритм расчета

1. Заданное аналитическое выражение для напряжения источника ЭДС раскладывают в ряд Фурье:

2. Каждую гармонику напряжения записывают в комплексной форме:  

Применяем метод наложения и производим расчет токов и напряжений в цене для каждой из составляющих в отдельности.

3. Комплексное сопротивление определяют для каждой гармоники  имея в виду что

4. Для каждой гармоники напряжения  по комплексному сопротивлению находят комплексную амплитуду тока после чего записывают выражение мгновенного значения тока гармоники:

5. Мгновенное значение несинусоидального тока получают, суммируя мгновенные значения всех гармонических составляющих токов:

 

 

Пример: Несинусоидальная ЭДС представлена в виде суммы постоянной и синусоидальных составляющих. Источник ЭДС рассматриваем как последовательное соединение источника постоянной ЭДС и источников синусоидальных ЭДС с различными чистотами:

Рисунок 4.1

так, если ЭДС (рис 4.1)

то действие его аналогично действию трех последовательно соединенных ЭДС (рисунок 4.1б): Применив метод наложения определяем мгновенные значения токов отдельно для каждой ЭДС, несинусоидальный ток равен сумме мгновенных значений всех ЭДС.

Общий ток равен:  

 

4.4 Резонанс в цепи несинусоидального тока

 

Т а б л и ц а 4.3

 Условие резонанса в последовательном контуре  

 .

 - условие резонанса.

 

 -номер гармоники,   

ток каждой гармоники

.

Изменяя

 получаем значения токов:   при   

 

при   

при   ток снижается до нуля  

                     при резонансе

 

 

Кривая общего действующего тока:

 

  Аналогичные кривые получаются и при изменении емкости  или частоты  

 

 

 

Содержание

 

1

Линейные электрические цепи

4

1.1

Электрические цепи

4

1.2

Эквиваленттные схемы источников электрической энергии

5

1.3

Эквивалентное преобразование источников энергии

5

1.4

Преобразование схем с двумя узлами, содержащих источники

6

1.5

Основные свойства и теоремы линейных электрических цепей

7

1.6

Дуальные элементы и схемы

9

2

Синусоидальный ток и основные характеризующие его величины

 10

2.1

Комплексный метод. Расчет цепей переменного тока

11

2.2

Алгоритм расчета комплексным методом

12

2.3

Методы расчета электрических цепей

13

2.4

Метод контурных токов

15

2.5

Метод эквивалентного генератора (х.х., к.з., метод активного двухполюсника)

 16

3

Резонансы в линейных электрических цепях

18

3.1

Резонанс напряжений

18

3.2

Резонанс токов

20

4

Несинусоидальные токи

23

4.1

Ряд Фурье для периодических несинусоидальных функций

23

4.2

Основные величины и коэффициенты несинусоидальных токов, напряжений

 24

4.3

Расчет цепей при несинусоидальных токах

25

4.4

Резонанс в цепи несинусоидального тока

26

Содержание

27

Список литературы

28

  

Список литературы

 

1. Бакалов В.П., Дмитриков В.Ф., Крук Б.И. Основы теории цепей.- М.: Радио и связь, 2000.-592с.

2. Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории це -пей.-  М.: Энергоатомиздат, 1989.–528с.

3. Демирчян  К.С., Нейман  Л.Р., Коровкин  Н.В., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники. – т.1. – Санкт-Петербург: Питер, 2003.-463с.

4. Демирчян  К.С.,  Нейман Л.Р.,  Коровкин  Н.В., Чечурин В.Л. Теоре- тичес кие основы электротехники. -т.2. –Санкт- Петербург: Питер, 2003.-576с.

5. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. – М.: Гардарики, 1999. – 638с.

6. Шебес М.Р., Каблукова М.В. Задачник по теории линейных электрических цепей. - М.: Высш. шк., 1990.- 544с.

7. Карлащук В.И. Электронная лаборатория на IВМ РС. Программа Electronics Workbench и её применение.-М.: Солон-Р, 1999.-506с.

8. Жолдыбаева З.И., Зуслина Е.Х., Коровченко Т.И. Теория электрических цепей 1. Конспект лекций. – Алматы: АИЭС, 2007.- 80с.