Алматинский институт энергетики и связи

 

 

Теория электрических цепей 1

Конспект лекций

(для специальност 050719 – Радиотехника, электроника и телекоммуникации, 050704 - Вычислительная техника и программное обеспечение )

Алматы 2007

СОСТАВИТЕЛИ: З.И. Жолдыбаева, Е.Х.Зуслина, Т.И. Коровченко. Теория электрических цепей 1. Конспект лекций для студентов всех форм обучения специальностей 050704 - Вычислительная техника и программное обеспечение и 050719 – Радиотехника, электроника и телекоммуникации.– Алматы: АИЭС, 2006.- 80с.

 

Конспект лекций содержит 17 лекций по разделам: линейные электрические цепи постоянного тока, электрические цепи однофазного синусоидального тока, резонансные явления в электрических цепях, четырехполюсники и фильтры. Конспект лекций предназначен для студентов специальности 050704 - Вычислительная техника и программное обеспечение и о50719- Радиотехника, электроника и телекоммуникации.  

 

Содержание

 Введение

1Лекция 1

2Лекция 2

3Лекция 3

4Лекция 4

5Лекция 5

6Лекция 6

7Лекция 7

8Лекция 8

9Лекция 9

10Лекция 10

11Лекция 11

12Лекция 12

13Лекция 13

14Лекция 14

15Лекция 15

16Лекция 16

17Лекция 17

Список литературы

 

Введение

Дисциплина «Теория электрических цепей 1» является  основным базовым обязательным курсом для подготовки бакалавров в области радиотехники, вычислительной техники и связи. Назначение дисциплины заключается в изучении и описании как с качественной, так и с количественной стороны электромагнитных процессов и явлений, происходящих в различного рода радиотехнических установках, устройствах вычислительной техники и связи.

Предлагаемый конспект лекций включает следующие разделы: линейные электрические цепи постоянного тока, электрические цепи однофазного синусоидального тока, резонансные явления в электрических цепях, четырехполюсники и фильтры. В первом разделе рассмотрены основные свойства линейных электрических цепей постоянного тока, такие как метод по законам Кирхгофа, метод контурных токов, метод узловых потенциалов, метод эквивалентного генератора.

Во втором разделе рассмотрены особенности описания цепей при синусоидальных токах и напряжениях, показано применение метода комплексных амплитуд с использованием векторных и топографических диаграмм для анализа цепей синусоидального тока, рассмотрено явление фазового резонанса в последовательном и параллельном контурах, показан расчет цепей при наличии взаимной индукции.

В третьем разделе рассмотрены четырехполюсники и электрические фильтры.

Конспект лекций предназначен для студентов, обучающихся по специальностям 050719 – Радиотехника, электроника и телекоммуникации, 050704 - Вычислительная техника и программное обеспечение.

 

1Лекция  1.Элементы электрических цепей и электрических схем

Цель лекции: ознакомить с основными понятиями электрических цепей.

1.1 Основные понятия

Электромагнитные процессы, протекающие в электрических цепях можно описать с помощью таких интегральных понятий, как: напряжение, ток, электродвижущая сила (ЭДС). Электротехнические устройства, производящие электрическую энергию, называются генераторами или источниками электрической энергии, а устройства, потребляющие ее – приемниками  электрической энергии. Все элементы электрической цепи условно можно разделить на активные и пассивные. Активным называется элемент, содержащий в своей структуре источник электрической энергии. К пассивным относятся элементы, в которых рассеивается (резисторы) или накапливается (катушка индуктивности и конденсаторы) энергия. Если элементы описываются линейными дифференциальными или алгебраическими уравнениями, то они называются линейными, в противном случае они относятся к классу нелинейных. Если параметры элемента не являются функциями пространственных координат, определяющих его геометрические размеры, то он называется элементом с сосредоточенными параметрами. Цепи, содержащие только линейные элементы, называются линейными. Наличие в схеме хотя бы одного нелинейного элемента относит ее к классу нелинейных.

1.2 Резистивный элемент (резистор)

                                               Рисунок 1.1

Резистор – это пассивный элемент, характеризующийся резистивным сопротивлением (рисунок 1.1,а). Основной характеристикой резистивного элемента является зависимость , называемая вольтамперной характеристикой (ВАХ). Если зависимость представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат (см.рисунок 1.1,б), то резистор называется линейным и описывается соотношением

Нелинейным резистивным элементом называется элемент, ВАХ которого нелинейна (рисунок 1.1,б).

1.3 Индуктивный элемент

Рисунок 1.2

Индуктивность определяется отношением потокосцепления к току, протекающему по виткам катушки (рисунок 1.2,а),

Основной характеристикой катушки индуктивности является зависимость , называемая вебер-амперной характеристикой. Для линейных катушек индуктивности зависимость представляет собой прямую линию ( рисунок 1.2,б); при этом. Для нелинейных - зависимость нелинейная ( рисунок 1.2,б).

         1.4 Емкостный элемент

 Конденсатор ( рисунок 1.3,а) – это пассивный элемент, характеризующийся емкостью. Емкость определяется отношением .

Рисунок 1.3

Большинство диэлектриков, используемых на практике, линейны, т.е. у них относительная диэлектрическая проницаемость  =const. В этом случае зависимость представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат, (см. рисунок 1.3,б) и

.

У нелинейных диэлектриков (сегнетоэлектриков) диэлектрическая проницаемость является функцией напряженности поля, что обусловливает нелинейность зависимости (рисунок 1.3,б ).

1.5 Источники электрической энергии

Источники электрической энергии, питающие электрические цепи могут быть независимыми и зависимыми.

Источники напряжения или источники тока, в которых напряжение или ток в одной из ветвей зависит от напряжения или тока в другой, называются зависимыми. Различают четыре типа зависимых источников: источник напряжения, управляемый напряжением (ИНУН) (рисунок 1.4, а ) источник напряжения, управляемым током (ИНУТ) (рисунок 1.4, б) источник тока, управляемый напряжением (ИТУН) (рисунок 1.4,в) источник тока, управляемый током (ИТУТ) (рисунок 1.4,г). На рисунках приведены соотношения, описывающие связи зависимых значений, выраженные через коэффициенты  k,  r,  g,  β,  которые, как правило, являются положительными или отрицательными числами и однозначно полно характеризуют  зависимый источник.

 

 

 

 

 

 

Рисунок 1.4

Источники напряжения или источники тока, в которых напряжение или ток в одной из ветвей не зависит от напряжения или тока в другой, называются независимыми.

Свойства источника электрической энергии описываются ВАХ , называемой внешней характеристикой источника. ВАХ источника может быть определена экспериментально ( рисунок 1.5,а).

Рисунок 1.5

В общем случае ВАХ источника является нелинейной (кривая 1 на рисунке 1.5,б). Она имеет две характерные точки, которые соответствуют: а – режиму холостого хода;в – режиму короткого замыкания .

Прямая 2 на рисунке 1.5,б описывается линейным уравнением

  (1.1) 

где - напряжение на зажимах источника при отключенной нагрузке; - внутреннее сопротивление источника.

Уравнение (1.1) позволяет составить последовательную схему замещения источника энергии источником Э.Д.С.  (см. рисунок 1.6,а). На этой схеме символом Е обозначен элемент, называемый идеальным источником ЭДС, ему соответствует ВАХ на рисунке 1.6,б, у такого источника .

Рисунок 1.6

Существует также параллельная схема замещения источника . Для ее описания разделим левую и правую части соотношения (1.1) на . В результате получим

 или

где ; - внутренняя проводимость источника.

Уравнению (1.2) соответствует схема замещения источника на рисунке 1.7,а.

Рисунок 1.7

На этой схеме символом J обозначен элемент, называемый идеальным источником тока. Ток в ветви с этим элементом равен и не зависит от напряжения на зажимах источника, следовательно, ему соответствует ВАХ на рисунке 1.7,б. На этом основании с учетом (1.2) у такого источника , т.е. его внутреннее сопротивление .В расчетном плане при выполнении условия последовательная и параллельная схемы замещения источника являются эквивалентными. На практике важное значение имеет согласованный режим работы? когда , при котором нагрузкой от источника потребляется максимальная мощность

.                                            (1.3) 

2 Лекция 2. Методы преобразования электрических цепей. Закон Ома. Потенциальная диаграмма

Цель лекции: ознакомить с простейшими методами преобразования цепей и законом Ома.

2.1  Методы преобразования

Во всех cлучаях преобразования замена одних схем другими, им эквивалентными, не должна привести к изменению токов или напряжений участках цепи, не подвергшихся преобразованию.

Замена последовательно соединенных сопротивлений одним эквивалентным.Сопротивления соединены последовательно, если они обтекаются одним и тем же током.

Эквивалентное сопротивление цепи, состоящей из  последовательно соединенных сопротивлений, равно сумме этих сопротивлений

 

                                    R_ЭК =.                                                 (2.1)

 

При последовательном соединении n сопротивлений напряжения на них распределяются прямо пропорционально этим сопротивлениям

 

U₁: U₂: …: U_n = R₁: R₂:  …: R_n.

 

В частном случае двух последовательно соединённых сопротивлений

 

U₁ / U₂ = R₁ / R₂;   U₁= U R₁ / (R1+ R₂);   U₂=U R₂ / ( R₁+ R₂)

 

       где U — общее напряжение, действующее на участке цепи, содержащем два сопротивления R₁ и R_2.

       Замена параллельно соединенных сопротивлений одним эквивалентным. Сопротивления соединены параллельно, если все они присоединевны к одной паре узлов.

Эквивалентное сопротивление цепи, состоящей из n параллельно соединенных сопротивлений, определяется из формулы

                            ,  или .                                   (2.2)

 

В частном случае параллельного соединения двух сопротивлений R₁ и R₂ эквивалентное сопротивление

.

Рисунок 2.1

 

При параллельном соединении n  сопротивлений (рисунок 2.1, а)  токи в них распределяются обратно пропорционально их сопротивлениям  или прямо пропорционально их проводимостям

I₁ : I₂ : … : I_n = :: … : = G₁: G₂ : … : G_n.

Ток I_S в каждой из них вычисляется  через ток I в неразветвленной части цепи

I_s = I .

В частном случае двух параллельных ветвей (рисунок 2.1, б)

 

I₂ = I₁ ,   I₃ = I₁

или

 

I₂ = I₁,    I₃ = I_1.

 

Замена смешанного соединения сопротивлений одним эквивалентным. Смешенное соединение это сочетание последовательного и параллельного соединений  сопротивлений. Например, сопротивления  R₁ , R₂ и R₃  (рисунок 2.1,б) соединены смешанно.

Их эквивалентное сопротивление

R_эк = R₁ + = .

 

Формулы преобразования треугольника сопротивлений (рисунок 2.2, а) в эквивалентную звезду сопротивлений (рисунок 2.2, б) и наоборот имеют вид

 

R₁ = ,  R₂ = ,  R₃ = ,          (2.3)

 

G₁₂ =,  G₂₃ = ,   G₃₁ =                    (2.4)

 

 

где G – проводимость соответствующей ветви.

Формулы (2.4) можно записать через сопротивления

 

R₁₂=R₁+R₂+,  R₂₃= R₂+R₃+,   R₃₁=R₃+R₁+.                     (2.5)

Рисунок 2.2

      2.2 Закон Ома

Этот закон применяется для ветви или для одноконтурной замкнутой цепи (не имеющей разветвлений).

    При написании закона Ома следует, прежде всего, выбрать произвольно некоторое положительное направление тока.

Для ветви, состоящей только из резисторов и не содержащей э. д. с. (например, для ветви вка), при положительном направлении тока  от  точки в  к точке а (рисунок 2.3)

                                       Ι =  =  

где _а и _в — потенциалы точек а и в;

 U_{ва  -} разность потенциалов  или напряжение между точками в и а; 

R_ва = R₄ + R₅ – полное сопротивление ветви между точками в и а.

Рисунок 2.3

    Для ветви цепи, содержащей э. д. с. и резисторы (например, для ветви асb, рисунок 2.3)

                                     

                                             I₁ = =                      (2.6)

где U_ab =  - напряжение на концах ветви аb, отсчитываемое по выбранному положительному направлению тока;

— алгебраическая сумма э. д. с., находящихся в этой ветви; R_ab - арифметическая сумма ее сопротивлений.

     В ветви асb     = Е₁ - Е₂, R_ab =R₁+R₂+R₃.

Формулу  (2.6)  называют обобщенным законом Ома.

     Для замкнутой одноконтурной цепи

                                                        

                                                             I =                                                (2.7)        

где ∑R — арифметическая сумма всех внешних и внутренних сопротивлений цепи;

∑Е — алгебраическая сумма электродвижущих сил.

     Со знаком плюс берут те эдс., направления которых совпадают с выбранным положительным направлением тока, а со знаком минус - э. д. с. с противоположными направлениями.  

 

     2.3 Потенциальная диаграмма

Потенциальная диаграмма применяется при анализе цепей постоянного тока. Она представляет собой график распределения потенциала вдоль участка цепи или контура, при этом по оси абсцисс откладываются сопротивления резистивных элементов, встречающихся на пути обхода ветви или контура, а по оси ординат – потенциалы соответствующих точек. Таким образом, каждой точке рассматриваемого участка или контура соответствует точка на потенциальной диаграмме. Рассмотрим построение потенциальной диаграммы на примере схемы на рисунке 2.4.  

Рисунок 2.4

         Рисунок 2.5

При параметрах схемы ; ; ; ; и токи в ветвях схемы равны: ; ; .

Построим потенциальную диаграмму для контура abcda.Для выбора масштаба по оси абсцисс просуммируем сопротивления резисторов вдоль рассматриваемого контура: после чего определим потенциалы точек контура относительно потенциала произвольно выбранной точки a, потенциал которой принят за нуль

Таким образом, координаты точек потенциальной диаграммы: а(0;0);b(4;-20); c(4;17); d(7;2). С учетом выбранных масштабов на рисунке 2.5 построена потенциальная диаграмма для выбранного контура.

2.4 Метод наложения

Если в электрической цепи заданными величинами являются э.д.с. источников и токи источников тока, то расчет токов по методу наложения состоит в следующем. Ток в любой ветви можно рассчитать как алгебраическую сумму токов, вызываемых в ней  э.д.с. каждого источника

 э. д. с.  в отдельности и током, проходящим по этой же ветви от действия каждого источника тока. При этом надо иметь в виду, что когда ведется расчет токов, вызванных каким-либо одним источником э. д. с. или тока, то остальные источники э. д. с. в схеме заменяются короткозамкнутыми участками, а ветви с источниками тока размыкаются .

 

3 Лекция 3. Основные законы и методы расчета линейных электрических цепей постоянного тока

Цель лекции: ознакомить с основными методами расчета линейных электрических цепей постоянного тока.

3.1 Законы Кирхгофа

Для написания законов  Кирхгофа необходимо задаться положительными направлениями токов каждой ветви.

Первый  закон  Кирхгофа  -  алгебраическая сумма всех токов, сходящихся в любом узле, равна нулю

                                   .                                                                                           ( 3.1)

 

Токи, направленные от узла, условно принимаются положительными, а направленные к нему – отрицательными (или наоборот).

Второй  закон  Кирхгофа - алгебраическая сумма э. д. с. замкнутого контура равна алгебраической сумме падений напряжений в нём

                                

                                .                                                    (3.2)

 

           Направление обхода  контура выбирается произвольно. При записи левой части равенства э. д. с., направления которых совпадают с выбранным направлением обхода, принимаются положительными, а  э. д. с., направленные против - отрицательными. При записи правой части равенства со знаком плюс берутся падения напряжения в тех ветвях, в которых выбранное положительное направление тока совпадает с направлением обхода, а со знаком минус падения напряжения в тех ветвях, в которых положительное направление тока противоположно.    

Пусть цепь состоит из N_в ветвей, имеет N_у узлов и N_т источников тока.

П р и м е н е н и е   з а к о н о в   К и р х г о ф а. Устанавливаем число неизвестных токов, равное N_в — N_т. Для каждой ветви задаются положительным направлением тока.

    Общее число уравнений, составляемых по первому  и второму законам Кирхгофа, равно числу (N_в — Nт) неизвестных токов. Число уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, равно  (N_у  - 1). Число взаимонезависимых уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа 

                                             К =( N_в —N_т ) — (N_у  - 1).                                  (3.3)                

При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа следует выбирать независимые  контуры, не содержащие источников  тока.

  3.2 Метод контурных токов

Метод основан на том, что ток в любой ветви цепи можно представить в виде алгебраической суммы контурных токов, протекающих по этой ветви. При пользовании этим методом выбирают и обозначают контурные токи (по любой ветви цепи должен проходить хотя бы один выбранный контурный ток). Общее число контурных токов равно  К =( N_в —N_т ) — (N_у  - 1). Рекомендуется выбирать N_т, контурных токов так, чтобы каждый из них - проходил через один источник тока. Эти контурные токи можно считать совпадающими с соответствующими токами источников тока J₁, J_{2,  .} . ., J_NT,  и они обычно являются заданными условиями задачи.  Для них уравнения не составляют, но учитывают при составлении уравнений для других контуров.

Оставшиеся К =( N_в —N_т ) — (N_у  - 1) контурные токи выбирают проходящими по ветвям, не содержащим источников тока. Для определения последних контурных токов по второму закону Кирхгофа для этих контуров составляют  К  уравнений  в виде

                   R₁₁I₁₁ + R₁₂Ι₂₂ + … +R_1kI_kk+ … +J_nR_n = Е_11,

                   R₂₁I₁₁ + R₂₂Ι₂₂ + … +R_2kI_kk+ … +J_nR_n = Е_22,                                (3.4)                                  

                   R_k1I₁₁ + R_k2Ι₂₂ + … +R_kkI_kk+ … +J_nR_n = Е_kk

 где R_nn — собственное сопротивление контура  n  (сумма сопротивлений всех ветвей, входящих в контур n);

R_nl — общее сопротивление

контуров n и L, причем R_nl = R_ln.. Если направления контурных токов в общей ветви для n и L, совпадают, то R_nl положительно, в противном случае R_nl отрицательно;

Е_nn-  алгебраическая сумма э. д. с., включенных  в  ветви, образующие контур n;

R_n — общее сопротивление ветви контура n с контуром, содержащим источник тока J_n.

 3.3 Метод узловых потенциалов.

Он позволяет уменьшить количество уравнений системы до числа

                                                      m = N_у  - 1.                                         (3.5) 

Сущность метода заключается в том, что вначале путем решения системы уравнений определяют потенциалы всех узлов схемы, а токи ветвей, соединяющих узлы, находят с помощью закона Ома.

При составлении уравнений по методу узловых потенциалов вначале полагают равным нулю потенциал какого-либо узла (его называют базисным).

Для определения потенциалов оставшихся (m = N_у —1)  узлов составляется следующая система уравнений

                                                                                                         (3.6)                     

Здесь G_ss – сумма проводимостей  ветвей, присоединённых к узлу S;

G_sq – сумма проводимостей ветвей, непосредственно соединяющих узел  S с узлом q ;

-  алгебраическая сумма произведений  э.д.с. ветвей, примыкающих к узлу S , на  их  проводимости; при этом со знаком плюс берутся те э.д.с., которые действуют в направлении  узла S, и со знаком минус –в направлении от узла S;

  - алгебраическая  сумма источников тока, присоединённых  к узлу  S; при этом со знаком плюс берутся те токи,  которые направлены к узлу  S , а со знаком минус – в направлении от узла S.

      Методом узловых потенциалов рекомендуется пользоваться в тех случаях, когда число уравнений будет меньше числа уравнений, составленных по методу контурных токов.

      Если в схеме некоторые узлы соединяются идеальными источниками э.д.с., то число m уравнений, составляемых по методу узловых потенциалов, уменьшается      

                                                     m = N_у – Nи – 1                                       (3.7)                               

где Nи – число ветвей, содержащих только идеальные источники э.д.с. В этом случае за нуль принимается один из узлов, принадлежащих ветви с идеальным источником э.д.с., тогда потенциал другого равен _{_}± Е. Плюс, если двигаться по э.д.с., минус –если против.

 3.5 Метод двух узлов

  Для схем, имеющих два узла (например,узлы a и b), узловое напряжение U_ab определяется формулой

                                                 U_ab =                                      (3.8)                  

где ∑Ε_n G_n - алгебраическая сумма произведений  э.д.с. ветвей (э.д.с. считаются положительными, если они направлены к узлу а, и отрицательными, если направлены от узла а, к узлу b) на проводимости этих ветвей;

 J_n – токи источников тока (положительны, если они направлены к узлу а, и отрицательны, если направлены от узла а, к узлу b);

- сумма проводимости всех ветвей, соединяющих узлы а и b.     

3.6 Метод замены нескольких соединенных параллельно источников э.д.с. одним эквивалентным

Если имеется несколько источников с э.д.с. Е₁, Е₂ … , Е _п и внутренним сопротивлениями R₁, R₂, … , R_n, работающих параллельно на общее сопротивление нагрузки R (рисунок 3.1, а), то они могут быть заменены одним эквивалентным источником, э.д.с. которого Е_эк, а внутреннее сопротивление R_эк (рисунок 3.1, б).   При этом 

                                                                  (3.9)       

                                                    Рисунок 3.1

3.7 Метод замены параллельно соединенных источников тока одним эквивалентным

  Если несколько источников тока с токами J₁ , J₂, … , J_n и внутренними проводимостями G₁, G₂, …, G_n соединены параллельно (рисунок 3.2,а), то их можно заменить одним эквивалентным источником тока (рисунок 3.2, б), ток которого J_эк равен алгебраической сумме токов, а его внутренняя проводимость G_эк равна сумме внутренних проводимостей отдельных источников

                                   J =                                                    

                                    G_эк=.                                                  (3.10)

 

 

 

                                                Рисунок 3.2

 Лекция 4. Метод эквивалентного генератора. Баланс мощностей

 Цель лекции: научить пользоваться методом эквивалентного источника и составлять баланс мощностей.

4.1 Метод эквивалентного генератора

Применение метода эквивалентного генератора (метода активного двухполюсника или метода холостого хода и короткого замыкания) целесообразно для определения тока в какой-либо одной ветви сложной электрической цепи. Имеется два варианта метода: 1) метод эквивалентного источника э.д.с. и 2) метод эквивалентного источника тока.

Метод  эквивалентного источника э.д.с. Для нахождения тока I в произвольной ветви  ab,  сопротивление которой R (рисунок 4.1, а; буква А означает активный двухполюсник), надо эту ветвь разомкнуть (рисунок 4.1, б), а часть цепи, подключенную к этой ветви, заменить эквивалентным источником с э.д.с. Е_эк  и внутренним сопротивлением   R_эк   (рисунок 4.1, в).

Э.д.с. Е_эк  этого источника равняется напряжению на зажимах разомкнутой ветви (напряжение холостого хода)

                                     Е_эк = U_abx =(φ_a - φ_b).                                         (4.1)

 Расчет схем в режиме холостого хода (рисунок 4.1,б) для определения Е_эк проводится любым известным способом.

Внутреннее сопротивление R_эк эквивалентного источника э.д.с. равняется входному сопротивлению пассивной цепи относительно зажимов a и b исходной схемы, из которой исключены все источники (источники э.д.с. заменены короткозамкнутыми участками, а ветви с источниками тока отключены, рисунок 4.1, г; буква П  указывает на пассивный характер цепи), при разомкнутой ветви ab. Сопротивление R_эк можно вычислить непосредственно по схеме рисунка 4.1, г.

Ток в искомой ветви схемы (рисунок 4.1, д), имеющей сопротивление R, определяется по закону Ома

                               I  ==                                            (4.2)

Метод эквивалентного источника тока. Для расчета тока в ветви ab, сопротивление которой R, надо заменить часть схемы относительно зажимов a и b (при замкнутой ab) эквивалентным источником тока, ток которого J_эк  а проводимость G_эк (рисунок 4.1, е).

                                                     Рисунок 4.1

Для  нахождения тока J_эк надо зажимы a и b закоротить и любым способом рассчитать ток которого замыкания I_k , протекающий по закороченному участку (рисунок 4.1, ж). При этом J_эк = I_k . Сопротивление R_эк можно найти, как и при расчете по методу эквивалентного источника э.д.с. (см. рисунок 4.1,г). Это же сопротивление  может быть рассчитано, как это видно из схемы замещения заданной схемы в режиме короткого замыкания (рисунок 4.1,з) по формуле

                                         R_эк=Е_эк/I_k=Е_эк/J_эк=1/G_эк.                                   (4.3)           

Ток в ветви R (рисунок 4.1,и)

                                        I=J_{эк .}                                                     (4.4)

В качестве примера использования метода эквивалентного генератора для анализа определим зависимость показаний амперметра в схеме на рисунке 4.2 при изменении сопротивления R переменного резистора в диагонали моста в пределах . Параметры цепи Е=100 В; R1=R4=40 Ом; R2=R3=60 Ом.

                            Рисунок 4.2                               Рисунок 4.3

Для нахождения значения   перейдем к схеме на рис. 4.3, где напряжение  на разомкнутых зажимах 1 и 2 определяет искомую ЭДС . В данной цепи

.

Для определения входного сопротивления активного двухполюсника трансформируем его в схему на рисунке 4.4.

 

 

 

                   Рисунок 4.4                            Рисунок 4.5

Со стороны зажимов 1-2 данного пассивного двухполюсника его сопротивление равно

Таким образом, для показания амперметра в схеме на рисунке 4.2 в соответствии с (4.2) можно записать

(4.5)

Задаваясь значениями R в пределах его изменения, на основании (4.2) получаем кривую на рисунке 4.5.                                                                                          

4.2 Баланс мощностей

Баланс мощностей является следствием закона сохранения энергии и может служить критерием правильности расчета электрической цепи. Для любой замкнутой электрической цепи сумма мощностей Р_И, развиваемых источниками электрической энергии, равна сумме мощностей Р_п, расходуемых в приемниках энергии

=,  или .                                     (4.6)

Это уравнение представляет собой математическую форму записи баланса мощностей: суммарная мощность, генерируемая источниками электрической энергии, равна суммарной мощности, потребляемой в цепи.

Следует указать, что в левой части (4.6) слагаемые имеют знак “+”, поскольку активная мощность рассеивается на резисторах. В правой части (4.6) сумма слагаемых больше нуля, но отдельные члены здесь могут иметь знак “-”, что говорит о том, что соответствующие источники работают в режиме потребителей энергии (например, заряд аккумулятора).

Где Σ Ε_k I_k – алгебраическая сумма; здесь положительны те из слагаемых, для которых направления действия э.д.с. Ε_k и соответствующего тока I_k совпадают,  в противном случае слагаемое отрицательно;

Σ Ε_k J_k - алгебраическая сумма; здесь положительны те из слагаемых, для которых напряжение на источнике тока (оно определяется расчетом цепи внешней по отношению к зажимам источника тока) и его ток J_k совпадают по направлению, в противном случае слагаемое отрицательно .

4.3 Расчет цепей с зависимыми источниками

Для расчета цепей, содержащих зависимые источники, применимы все методы, известные для расчета цепей с независимыми источниками.

Наиболее часто используются методы узловых напряжений и контурных токов.

       Рисунок 4.6                                              Рисунок 4.7

Пример 1. В цепи (рисунок 4.6) действуют независимый источник тока J и  ИНУТ  с  ЭДС  Е =rI₂. Дано:  R₁, R₂, r, J. Найти напряжение U_ab.

            Решение. Выберем для решения метод контурных токов.  Контурное уравнение:  I₁₁ (R₁+R₂)+J R₂=E.Учитывая, что I₂=I₁₁+J,  I₁₁ (R₁+R₂)+J R₂=r(I₁₁+J) или  I₁₁(R₁+R₂ - r)= J (r -  R₂).  Из этого уравнения определим ток I₁₁. Напряжение U_ab = I₂ R₂.

Пример 2. В цепи (рис.4.7) действуют независимые источник напряжения с ЭДС  E₁ и ИНУН с ЭДС  E₂=k U_ab. Найти токи в ветвях, если даны R₁,R₂,R₃, k. Решение. Для решения выберем метод узловых потенциалов.  Приняв φ_b = 0, запишем уравнение для узла α

φ_α (1 / R₁+1 / R₂+1 / R₃) = E₁ / R₁+E₂ / R₂.

Учитывая, что  U_ab = φ_a-φ_b, E₂=kφ_а имеем     

φ_α (1 / R₁+1 / R₂+1 / R₃) = E₁ / R₁+ kφ_а / R₂.

Решая уравнение, получим φ_a= U_ab. Токи в ветвях  I₁= (U_ab+E₁)/ R₁;

I₂=( U_ab- E₂) / R₂,  I₃= U_ab / R₃.

Лекция 5.Синусоидальный ток и основные характеризующие его величины

Цель лекции: усвоить основные понятия о синусоидальных токах и напряжениях и особенности их протекания в основных элементах.

5.1 Синусоидальные электрические величины

Переменный ток долгое время не находил практического применения. Это было связано с тем, что первые генераторы электрической энергии вырабатывали постоянный ток, который вполне удовлетворял технологическим процессам электрохимии, а двигатели постоянного тока обладают хорошими регулировочными характеристиками. Однако по мере развития производства постоянный ток все менее стал удовлетворять возрастающим требованиям экономичного электроснабжения. Переменный ток дал возможность эффективного дробления электрической энергии и изменения величины напряжения с помощью трансформаторов. Появилась возможность производства электроэнергии на крупных электростанциях с последующим экономичным ее распределением потребителям, увеличился радиус электроснабжения.

В настоящее время центральное производство и распределение электрической энергии осуществляется в основном на переменном токе. Цепи с изменяющимися (переменными ) токами по сравнению с цепями постоянного тока имеют ряд особенностей. Переменные токи и напряжения вызывают переменные электрические и магнитные поля. В результате изменения этих полей в цепях возникают явления самоиндукции и взаимной индукции, которые оказывают самое существенное влияние на процессы, протекающие в цепях, усложняя их анализ.

 Из всех возможных форм периодических токов наибольшее распространение получил синусоидальный ток. По сравнению с другими видами тока синусоидальный ток имеет то преимущество, что позволяет в общем случае наиболее экономично осуществлять производство, передачу, распределение и использование электрической энергии. Только при использовании синусоидального тока удается сохранить неизменными формы кривых напряжений и токов на всех участках сложной линейной цепи.

Переменным током (напряжением, ЭДС и т.д.) называется ток (напряжение, ЭДС и т.д.), изменяющийся во времени. Токи, значения которых повторяются через равные промежутки времени в одной и той же последовательности, называются периодическими, а наименьший промежуток времени, через который эти повторения наблюдаются, - периодом Т. Для периодического тока имеем

Величина, обратная периоду, есть частота,  измеряемая в герцах (Гц)

Диапазон частот, применяемых в технике: от сверхнизких частот (0.01¸10 Гц – в системах автоматического регулирования, в аналоговой вычислительной технике) – до сверхвысоких (3000 ¸ 300000 МГц – миллиметровые волны: (радиолокация, радиоастрономия). Промышленная частота  f = 50Гц.

Мгновенное значение переменной величины есть функция времени. Ее принято обозначать строчной буквой: i - мгновенное значение тока; u– мгновенное значение напряжения; е - мгновенное значение ЭДС ;  р - мгновенное значение мощности . Наибольшее мгновенное значение переменной величины за период называется амплитудой (ее обозначают заглавной буквой с индексом m):   - амплитуда тока;  - амплитуда напряжения;  - амплитуда ЭДС.

5.2 Действующее значение переменного тока

Значение периодического тока, равное такому значению постоянного тока, который за время одного периода произведет тот же самый тепловой или электродинамический эффект, что и периодический ток, называют действующим значением периодического тока

(5.3)

Аналогично определяются действующие значения ЭДС и напряжения. В соответствии с выражением (5.3) для действующего значения синусоидального тока запишем:

                                               .                                       (5.4)   

Аналогичный результат можно получить для синусоидальных ЭДС и напряжений. Таким образом, действующие значения синусоидальных токов, ЭДС и напряжения меньше своих амплитудных значений в раз.

5.3 Изображение синусоидальных ЭДС, напряжений и токов на плоскости декартовых координат

Синусоидальные токи и напряжения можно изобразить графически, записать при помощи уравнений с тригонометрическими функциями, представить в виде векторов на декартовой плоскости или комплексными числами.

     Рисунок 5.1                                     Рисунок 5.2

Приведенным на рисунке 5.1, 5.2 графикам двух синусоидальных ЭДС е₁ и е₂ соответствуют уравнения

.                       

Значения аргументов синусоидальных функций и называются фазами синусоид, а значение фазы в начальный момент времени (t=0):  и   - начальной фазой ().

Величину , характеризующую скорость изменения фазового угла, называют угловой частотой. Так как фазовый угол синусоиды за время одного периода Т изменяется на рад., то угловая частота есть где f– частота.

При совместном рассмотрении двух синусоидальных величин одной частоты разность их начальных фаз, называют углом сдвига фаз.

                                                                                 (5.5).      

5.4 Синусоидальный ток в сопротивлении

Если синусоидальное напряжение  приложено к сопротивлению r (рисунок 5.3а), то через сопро­тивление пройдет синусоидальный ток .

                                           

 

 

 

  Риунок 5.3

Напряжение на зажимах сопротивле­ния и ток, проходящий через это сопротивление, имеют одинаковую начальную фазу или, как говорят, совпа­дают по фазе.  (рисунок 5.3 ,б).

В данном случае сдвиг по фазе равен нулю

                       (5.6)

При прохождении синусоидального тока через сопро­тивление r не только мгновенные значения напряжения на сопротивлении и тока в нем, но и амплитуды и соот­ветственно действующие значения напряжения и тока связаны законом Ома                           

 

5.5 Синусоидальный ток в индуктивности

Пусть через индуктивность L (рисунок 5.4, а ) проходит ток 

Рисунок 5.4

Электродвижущая сила самоиндукции определяется по формуле

                                  (5.7)

Значит напряжение на индуктивности

                                                                (5.8)

Полученное выражение показывает, что напряжение на индуктивности

опережает ток на угол  (рисунок 5.4,б).

Фазовый сдвиг равен

                                                                                             (5.9)            

         Амплитуда так же, как и действующие значения напряжения и тока, связаны соотношением, подобным закону Ома

                                                                             (5.10)

         Величина , имеющая размерность сопротивления, называется индуктивным сопротивлением; обратная ей величина  называется индуктивной проводимостью.

                                                                                            (5.11)

5.6 Синусоидальный ток в емкости

Пусть напряжение на емкости С (рисунок 5.5,а) сину­соидально:

 

Рисунок 5.5

Ток в емкости

                                      (5.12)

Выражение (5.12) показывает, что ток i опережает приложенное напряжение и на угол   (рисунок 5.5,б).

         Сдвиг по фазе                        .                                                         

Амплитуды и соответственно действующие значения напряжения и тока связа­ны соотношением, подобным закону Ома

                                                                          (5.13)

Величина , имеющая размерность сопротив­ления, называется емкостным сопротивлени­ем. Обратная ей величина  называется емко­стной проводимостью. Следовательно,

                                                                                    (5.14)

 

6 Лекция 6. Основы символического метода расчета цепей синусоидального тока

Цель лекции: ознакомить с применением метода комплексных амплитуд.

6.1 Представление синусоидальных функций в виде векторов  и комплексных чисел.

Известно, что каждая точка на комплексной плоско­сти определяется радиус-вектором этой точки (рисунок 6.1).

Рисунок 6.1    Рисунок 6.2

         Комплексное число может быть представлено в  показательной тригонометрической и алгебраической формах  

        

здесь А - модуль; 

- аргумент или фаза;

.

Вектор, вращающийся в положительном направле­нии, т. е. против хода часовой стрелки, с угловой скоро­стью  может быть выражен следующим образом 

                                 (6.1)

где - комплексная амплитуда, представляющая данный вектор  

в  момент t = 0 (рисунок 6.2).

Синусоидальная функция  может рассматриваться как мнимая часть комплексной функции (6.1) или как проекция вращающегося вектора на мнимую ось.

           Условно это записывается так                        (6.2) 

                                    

 

 

Рисунок 6.3

 На рисунке 6.3, а показаны две синусоидальные функции:   и   имею­щие одинаковую угловую частоту   .  Функция    опережает по фазе функцию  ,  причем фазовый сдвиг равен разности начальных фаз Этот угол образует векторы, показанные на рисунке 6.3,б. При равенстве начальных фаз, т. е. при фазовом сдви­ге, равном нулю, векторы совпадают по фазе. При фазовом сдвиге 180⁰ векторы находятся в противофазе. Диаграмма, изображающая совокупность векторов, построенных с соблюдением их взаимной ориентации по фазе, называется векторной диаграммой.

6.2 Основы символического метода расчета цепей синусоидального тока

Расчет цепей переменного синусоидального тока может производиться не только путем построения векторных диаграмм, но и аналитически – путем операций с комплексами, символически изображающими синусоидальные ЭДС, напряжения и токи. Достоинством векторных диаграмм является их наглядность, недостатком – малая точность графических построений. Применение символического метода позволяет производить расчеты цепей с большой степенью точности. Символический метод расчета цепей синусоидального тока основан на законах Кирхгофа и законе Ома в комплексной форме. Уравнения, выражающие законы Кирхгофа в комплексной форме, имеют совершенно такой же вид, как и соответствующие уравнения для цепей постоянного тока. Только токи, ЭДС, напряжения и сопротивления входят в уравнение в виде комплексных величин.

 

 6.3 Последовательное соединение сопротивления, индуктивности и емкости. Рассмотрим применение метода комплексных ампли­туд в случае последовательного соеди­нения элементов r, L и С (рисунок 6.4).

                                                     Рисунок 6.4

Положим, что в уравнении Кирхгофа

заданными являются параметры r, L, С и  напряжение , а искомой величиной является ток i. Решение этого дифференциального урав­нения должно дать синусоидальную функцию вида .

Комплексные амплитуды напряжения и тока равны соответственно

                                        

Комплекс­ное уравнение, соответствующее уравнению (6.3)

                                                           (6.4)

Комплексное сопротивление рассматриваемой электрической цепи

                                                               (6.5)

Таким образом, получается уравнение, выражающее закон Ома для комплексных амплитуд и  действующих значений.

                                         и   .                                        (6.6)   

Комплексное сопротивление   в тригонометрической и показательной фор­мах имеет вид

                                                                                           (6.8)

Здесь  - модуль комплексного числа, представляет собой полное сопротивление цепи; а   — ар­гумент комплексного числа

                                                                  (6.9)

На основании (6.6) комплексная амплитуда тока

где   - начальная фаза тока. Следовательно, иско­мый ток в тригонометрической форме

                       Рисунок 6.5              

На рисунке 6.5 дана геометрическая интерпретация на комплексной плоскости уравнения (6.4). Рисунок 6.5,а относится к случаю, когда реактивное сопротивление це­пи имеет индуктивный характер (х>0) и >0. Рисунок 6.5,б относится к случаю, когда реактивное сопротивле­ние цепи имеет емкостный характер (х<0), и <0.

Как видно из векторных диаграмм, приведенных на рисунке 6.5,  — напряжение на сопротивлении r (сов­падает по фазе с током ), —напряжение на индуктивности L (опережает ток   на угол  ) и   — напряжение на емкости С (отстает от тока I на угол ).

Геометрическая сумма векторов   дает век­тор приложенного к цепи напряжения U.

 

6.4 Параллельное соединение сопротивления, индуктивности и емкости

 

   Рисунок 6.6                                      Рисунок 6.7

Если к зажимам электрической цепи, состоящей из параллельно соединенных элементов r, L и С (рисунок 6.6), приложено синусоидальное напряжение , то синусоидальный ток, проходящий через эту цепь, равен  .

Ток   в сопротивлении r совпадает по фазе с напря­жением и, ток    в индуктивности L отстает, а ток   в емкости С опережает напряжение на   (рисунок 6.7).

Следовательно, суммарный ток  i  в цепи равен

 Величина   называется реактивной про­водимостью цепи, которая в зависимости от знака может иметь индуктивный (b>0) или емкостный (b<0) характер. Вели­чина g = 1/r называется ак­тивной проводимостью.

В соответствии с первым законом Кирхгофа

                                                       (6.11)

где - ток в сопротивлении (совпадает по фа­зе с напряжением  );

  - ток в индуктивности (отстает от напряжения на  -);

- ток в емкости (опережает напряжение на ).

Выражение комплексной проводимости

                                  .                                (6.12)

Уравнение закона Ома в комплексной форме

                                         .                                                         (6.13)

Тригонометрическая и показательная  фор­мы комплексной проводимости имеют следующий вид

                                                       

здесь   - модуль комплексного числа;

          - пред­ставляет собой полную проводимость цепи;

   а  — аргумент комплексного числа .

                                         .                                             (6.14)

Комплексный ток равен

что соответствует синусоидальному току

На рисунке 6.8 дана геометрическая интерпретация на комплексной плоскости уравнения (6.11). Рисунок 6.8, а относится к случаю, когда реактивная проводимость цепи имеет индуктивный характер (b>0) и соответственно ток отстает по фазе от напряжения . Рисунок 6.8, б относится к случаю, когда реактивная проводимость цепи имеет емкостный характер (b<0) и соответственно ток опережает по фазе напряжение ().

Рисунок 6.8

 7 Лекция 7. Применение законов Кирхгофа, метода контурных токов и узловых потенциалов для расчета цепей синусоидального тока символическим методом. Векторные и топографические диаграммы

Цель лекции: познакомить с основными методами расчета цепей синусоидального тока, научиться строить векторные и топографические диаграммы.

7.1 Применение законов Кирхгофа, метода контурных токов и узловых потенциалов для расчета цепей синусоидального тока символическим метом.

7.1.1 Законы Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа в комплексной форме

(7.1)

Второй закон Кирхгофа в комплексной форме

(7.2)

Пример.  Составим уравнения  по законам Кирхгофа

(рисунок 7.1)

                                                Рисунок. 7.1

7.1.2 Метод контурных токов

         Пример. Составим уравнения методом контурных токов(рисунок 7.2)

 

          

 

 

 

 

 

Рисунок  7.2

Решим их относительно контурных токов и затем по уравнениям, связывающим контурные токи и токи ветвей, найдем последние.  

,   .

7.1.3 Метод узловых потенциалов

 

 

 

 

Рисунок 7.3

Пример. Составим уравнения методом узловых потенциалов (рисунок 7.3).

 Составим уравнения по методу узловых потенциалов для узлов а и в. Потенциал узла  =0.

.

Токи ветвей выразим по закону Ома

.

7.2 Векторные и топографические диаграммы

Совокупность радиус-векторов, изображающих синусоидально изменяющиеся ЭДС, напряжения и токи, называется векторной диаграммой. Векторные диаграммы наглядно иллюстрируют ход решения задачи. При точном построении векторов можно непосредственно из диаграммы определить амплитуды и фазы искомых величин. Приближенное (качественное) построение диаграмм при аналитическом решении служит надежным контролем корректности хода решения. При построении векторных диаграмм для цепей с последовательным соединением элементов за базовый вектор следует принимать вектор тока. Для цепей с параллельным соединением элементов за базовый вектор следует принять вектор напряжения, ориентируя относительно него векторы токов в параллельных ветвях. Для наглядного определения величины и фазы напряжения между различными точками электрической цепи удобно использовать топографические диаграммы. Они представляют собой соединенные соответственно схеме электрической цепи точки на комплексной плоскости, отображающие их потенциалы. На топографической диаграмме, представляющей собой в принципе векторную диаграмму, порядок расположения векторов напряжений строго соответствует порядку расположения элементов в схеме, а вектор падения напряжения на каждом последующем элементе примыкает к концу вектора напряжения на каждом предыдущем элементе.

В качестве примера построим векторную диаграмму токов, а также топографическую диаграмму потенциалов для схемы (см. рисунок 7.4).

                                                Рисунок 7.4

Параметры схемы

При данных параметрах и заданном напряжении на входе схемы   предварительно найденные значения токов равны , ,.

При построении векторной диаграммы зададимся масштабами токов и напряжений (см. рисунок 7.5). Векторную диаграмму можно строить, имея запись комплекса в показательной форме, т.е. по значениям модуля и фазы. Однако на практике удобнее проводить построения, используя алгебраическую форму записи, поскольку при этом вещественная и мнимая составляющие комплексной величины непосредственно откладываются на соответствующих осях комплексной плоскости, определяя положение точки на ней. Построение векторной диаграммы токов осуществляется непосредственно на основании известных значений их комплексов. Для построения топографической диаграммы предварительно осуществим расчет комплексных потенциалов.

Обозначив на схеме ( рисунку 7.4) разнопотенциальные  точки и приняв потенциал точки а за нуль( ), определим потенциалы остальных точек

или

Таким образом, в результате проведенных вычислений получено, что , т.е равно напряжению U, приложенному к цепи. В соответствии с полученными результатами строится топографическая диаграмма ( рисунок 7.5). В заключение заметим, что векторы напряжений ориентированы относительно точек топографической диаграммы противоположно положительным направлениям напряжений относительно соответствующих точек электрической цепи.

 

                                                    Рисунок 7.5

 8.Лекция 8. Мощность в цепях синусоидального тока. Входные и передаточные характеристики

Цель лекции: рассмотреть вопросы преобразования энергии в электрической цепи, в мгновенную, активную, реактивную и полную мощности синусоидального тока.

8.1 Мгновенная, активная, реактивная и полная мощности в цепях синусоидального тока

 Передача энергии w по электрической цепи , рассеяние энергии, то есть переход электромагнитной энергии в тепловую, а также и другие виды преобразования энергии характеризуются интенсивностью, с которой протекает процесс. Интенсивность передачи или преобразования энергии называется мощностью р

(8.1)

 Выражение для мгновенного значения мощности в электрических цепях имеет вид

(8.2)

 Приняв начальную фазу напряжения за нуль, а сдвиг фаз между напряжением и током за , получим

(8.3)

        Рисунок 8.1

Когда мгновенная мощность отрицательна ( рисунок 8.1), , т.е. когда направления напряжения и тока в двухполюснике противоположны, энергия возвращается из двухполюсника к источнику питания. Среднее за период значение мгновенной мощности называется активной мощностью .

(8.4)

 Активная мощность, потребляемая пассивным двухполюсником, не может быть отрицательной (иначе двухполюсник будет генерировать энергию), поэтому , т.е. на входе пассивного двухполюсника . Случай Р=0, теоретически возможен для двухполюсника, не имеющего активных сопротивлений, а содержащего только идеальные индуктивные и емкостные элементы.

Резистор (идеальное активное сопротивление).

                                                         Рисунок 8.2

Здесь напряжение и ток (см. рисунок 8.2) совпадают по фазе , поэтому мощность всегда положительна, т.е. резистор потребляет активную мощность

                                          (8.5)

Катушка индуктивности (идеальная индуктивность)

При идеальной индуктивности ток отстает от напряжения по фазе на . Поэтому в соответствии с (8.3) можно записать

                     (8.6)

 

Рисунок 8.3

Участок 1-2: энергия , запасаемая в магнитном поле катушки, нарастает.

Участок 2-3: энергия магнитного поля убывает, возвращаясь в источник.

Конденсатор (идеальная  емкость).

Аналогичный характер имеют процессы и для идеальной емкости. Здесь . Поэтому из (8.3) вытекает, что . Таким образом, в катушке индуктивности и конденсаторе активная мощность не потребляется (Р=0). Происходит только циркуляция энергии: электрическая энергия запасается в электрическом поле конденсатора на протяжении четверти периода, а на протяжении следующей четверти периода вновь возвращается в сеть. В силу этого катушку индуктивности и конденсатор называют реактивными элементами, а их сопротивления Х_L и Х_С, в отличие от активного сопротивления R резистора, – реактивными. Интенсивность обмена энергии принято характеризовать реактивной мощностью.

(8.7)

Она положительна при отстающем токе (индуктивная нагрузка- ) и отрицательна при опережающем токе (емкостная нагрузка- ). Единицу измерения реактивной мощности называют вольт-ампер реактивный (ВАр).

8.2 Полная мощность

Помимо понятий активной и реактивной мощностей в электротехнике широко используется понятие полной мощности

(8.8)

 Активная, реактивная и полная мощности связаны следующим соотношением

(8.9)

 Отношение активной мощности к полной называют коэффициентом мощности. Из приведенных выше соотношений видно, что коэффициент мощности равен косинусу угла сдвига между током и напряжением. Итак

(8.10)

8.3 Комплексная мощность

Активную, реактивную и полную мощности можно определить, пользуясь комплексными изображениями напряжения и тока. Пусть , а .

 Тогда комплекс полной мощности

(8.11)

где - комплекс, сопряженный с комплексом .

                                          (8.12)

Комплексной мощности можно поставить в соответствие треугольник мощностей (см. рисунок 8.4). Рисунок 8.4 соответствует  (активно-индуктивная нагрузка).

                                                       Рисунок 8.5

8.4 Баланс мощностей

Из закона сохранения энергии следует, что сумма всех отдаваемых активных мощностей равна сумме всех потребляемых активных мощностей, т.е.

(8.13)

        Баланс соблюдается и для реактивных мощностей

(8.14)

“-” где знак “+” относится к индуктивным элементам ; – к емкостным .

Умножив (8.14) на “j” и сложив полученный результат с (8.13), придем к аналитическому выражению баланса мощностей в цепях синусоидального тока (без учета взаимной индуктивности)

или

                                                                 (8.16)

9 лекция 9. Входные и передаточные характеристики

Цель лекции: исследовать входные и передаточные характеристики простейших цепей.

          9.1 Входные характеристики

Под входной характеристикой понимают зависимость

, которая в свою очередь состоит из двух характеристик

АЧХ - и ФЧХ - .

 Рассмотрим входные характеристики простейших цепей (рисунок 9.1) и (рисунок 9.4). Граничная частота- это частота, при которой модуль реактивного сопротивления равен активному.

Для цепи  тогда  или .

 

 Для цепи ,тогда  или .

                                                     Рисунок 9.1

 

        

        (9.1)

        

        (9.2)

 

        

 

 

На основании (9.1 и 9.2) построим соответственно  (рисунок 9.2) и  (рисунок 9.3) для цепи .

  

      Рисунок 9.2                 Рисунок 9.3                      Рисунок 9.4

 

 

                     

 

                                               (9.3)

                           

            (9.4)

                  

 

На основании (9.3 и 9.4) построим соответственно  (рисунок 9.5) и  (рисунок 9.6) для цепи .

 

 

        Рисунок 9.5                               Рисунок 9.6

 

9.2 Передаточная функция по напряжению

Комплексным коэффициентом передачи по напряжению называется отношение

 где - выходное;

- входное напряжение.

Совокупность коэффициентов передачи на различных частотах называется комплексной передаточной функцией и  обозначается

 или

 где H- АЧХ  передаточной функции;

 - ФЧХ  передаточной функции.

Рассмотрим передаточные функции по напряжению на примере простейших цепей  (рисунок 9.7) и (рисунок 9.10).

 

                                                        Рисунок 9.7

                                       (9.5)

           (9.6)

 

По выражениям (9.5) и (9.6) построим соответственно АЧХ передаточной функции ( рисунок 9.8) и ФЧХ передаточной функции (рисунок 9.9).

Рисунок 9.8                                              Рисунок 9.9

 

 

 

 

 

 

 

                            Рисунок 9.10

 

 

                   (9.7)

 

               (9.8)   

 

По выражениям (9.7) и (9.8) построим соответственно АЧХ (рисунок 9.11) и ФЧХ передаточной функции (рисунок 9.12) для цепи .

Рисунок 9.11                  Рисунок 9.12

10 Лекция 10. Индуктивно связанные цепи

Цель лекции: изучение методов расчета электрических цепей с взаимной индуктивностью.

 

10.1 Индуктивно связанные элементы цепи

         Два элемента индуктивно связаны, если изменение тока в одном элементе приводит к появлению э.д.с. в другом элементе. Возникающая э.д.с. называется э.д.с. взаимной индукции (рисунок 10.1,а,б). 

          

                                    а)                                                   б)

                                               Рисунок 10.1

 

При наличии тока i₁ в первой катушке, витки первой катушки сцеплены с магнитным потоком самоиндукции Ф₁₁, а витки второй катушки сцеплены с

магнитным потоком взаимной индукции Ф₂₁. (рисунок 10.1).

Потокосцепления самоиндукции и взаимной индукции первой и второй катушек                             ,

                                              

 где w₁,w₂- число витков первой и второй катушек. При наличии тока i₂ во второй катушке, витки второй катушки сцеплены с магнитным потоком самоиндукции Ф₂₂, а витки первой катушки сцеплены с магнитным потоком взаимной индукции Ф₁₂. Потокосцепления самоиндукции и взаимной индукции второй и первой катушек: ; , где w₁,w₂- число витков первой и второй катушек. Индуктивность первой и второй катушек и их взаимная индуктивность определяются по формулам

,   ,   ,  ,  .  (10.1)

Степень индуктивной связи двух индуктивно связанных элементов цепи характеризуется коэффициентом связи

                         .                                                  (10.2)

 

10.2  Электродвижущая сила (э.д.с.)  и напряжение  взаимной  индукции

При изменении тока в одном из индуктивно связанных элементов в другом элементе возникает э.д.с.  взаимной индукции е_м и на его разомкнутых выводах появляется напряжение u_м:

 ; .    (10.3)

Для определения знака е_м  и u_м  делают специальную разметку выводов индуктивно связанных элементов.

Два вывода принадлежащие двум разным индуктивно связанным элементам называются одноимёнными и обозначаются одинаковыми значками: _**,,∆∆, если при одинаковом направлении токов в обоих элементах относительно этих выводов магнитные потоки самоиндукции и взаимной индукции в каждом элементе складываются.

       При одинаковом направлении тока в элементе 2, ,в элементе 1 и тока в элементе 1, ,в элементе 2 (рисунок 10.1,а)                                                                           ,   ,                     (10.4)                                ,  .                         (10.5)

Напряжение взаимной индукции опережает ток  на , напряжение взаимной индукции опережает ток  на .

При различном  направлении тока в элементе 2, ,в элементе 1 и тока  в элементе 1, , в элементе 2 (рисунок 10.1,б)                                                                      ,   .                   (10.6)

          ,  .                    (10.7)

Напряжение взаимной индукции отстаёт от тока  на , напряжение взаимной индукции  отстаёт от тока  на .

Величина  называется сопротивлением взаимной индукции,

величина называется комплексным сопротивлением взаимной индукции.

        

 

10.3 Последовательное соединение индуктивно связанных элементов цепи

Две индуктивно связанные катушки с сопротивлениями ,  и индуктивностями  соединены последовательно. Возможны два вида включения: согласное и встречное.

                          а)                                                       б)

Рисунок 10.2

 

         Согласное включение. При согласном включении токи в обоих элементах в любой момент времени направлены одинаково относительно одноименных выводов (рисунок 10.2,а). Поэтому потокосцепления самоиндукции и взаимной индукции в каждом элементе складываются

,.

Индуктивность двух последовательно соединенных индуктивно связанных элементов при согласном включении равна

                                                       (10.8)

Напряжение на зажимах первой и второй катушках в комплексной форме

           ,                             (10.9)

            .                            (10.10)

Напряжение на зажимах цепи (рисунок 10.2,а)

                                                        (10.11)

где - входное сопротивление цепи при согласном включении;                                     

 ;

;

.

Векторная диаграмма для согласного включения показана на рисунке 10.3,а.

 Встречное включение. При встречном включении токи в обоих элементах в любой момент времени направлены различно относительно одноименных выводов (рисунок 10.2,б).  Поэтому потокосцепления самоиндукции и взаимной индукции в каждом элементе вычитаются , . Индуктивность двух последовательно соединенных индуктивно связанных элементов при встречном включении равна

                                                        (10.12)

Напряжение на зажимах первой и второй катушках в комплексной форме

           ,                           (10.13)

            .                        (10.14)

Напряжение на зажимах цепи (рисунок 10.2,б)

                                                       (10.15)

где - входное сопротивление цепи при встречном включении;

;

.

Векторная диаграмма для встречного включения (при  и ) показана на рисунке 10.3,б.

   

                                а)                                                        б)                           

                                               Рисунок 10.3

               

10.4 Параллельное соединение индуктивно связанных элементов цепи

         Две индуктивно связанные катушки с сопротивлениями ,  и индуктивностями  соединены параллельно, причем одноименные выводы присоединены к одному и тому же узлу (рисунок 10.4).

          Рисунок 10.4

Запишем законы Кирхгофа для цепи (рисунок 10.4)

                                     }                  (10.16    )

где , ,.

Решая систему уравнений ( 10.16), получим

                                                     (10.17)

Входное сопротивление цепи

                                              .                              (10.18)

Если индуктивно связанные элементы присоединены к узлу разноименными выводами

                                                                                                                                                                                                     (10.19)

 

10.5 Расчёт разветвлённых цепей при наличии взаимной индуктивности

Для разветвлённых цепей с индуктивными связями применяются законы Кирхгофа и метод контурных токов. При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа э.д.с. взаимной индукции учитывается как соответствующее напряжение  на элементе К, обусловленное током в элементе S. Напряжение записывается с положительным знаком, если направление обхода элемента К и положительное направление тока в элементе S одинаковы относительно одноимённых выводов.

                             

                                              Рисунок 10.5

Запишем уравнения по второму закону Кирхгофа для схемы (рисунок 10.5).

}(10.20)

 

11 Лекция 11.Резонанс напряжений

Цель лекции: изучить резонансные явления в последовательном колебательном контуре.

11.1 Резонанс напряжений

Резонансом называется такой режим работы цепи, включающей в себя индуктивные и емкостные элементы, при котором ее входное сопротивление  вещественно. Следствием этого является совпадение по фазе тока на входе цепи с входным напряжением.

Рисунок 11.1

Для цепи на рисунке 11.1 имеет место

где

(11.1)

  (11.2)

В зависимости от соотношения величин и возможны три различных случая.

1. В цепи преобладает индуктивность, т.е. , а, следовательно,

. Этому режиму соответствует векторная диаграмма на рисунке 11.2,а.

                                               Рисунок 11.2

2. В цепи преобладает емкость, т.е. , а значит, . Этот случай отражает векторная диаграмма на рисунке 11.2,б.

3. - случай резонанса напряжений (рисунок 11.2,с).

Условие резонанса напряжений

(11.3)

При этом, как следует из (11.1) и (11.2), .

При резонансе напряжений ток в цепи наибольший . Соответственно возрастанию тока увеличиваются напряжения на индуктивном и емкостном элементах, которые могут во много раз превысить величину напряжения источника питания. Физическая сущность резонанса заключается в периодическом обмене энергией между магнитным полем катушки индуктивности и электрическим полем конденсатора, причем сумма энергий полей остается постоянной.

Как показывает анализ уравнения (11.3), режима резонанса можно добиться путем изменения параметров L и C, а также частоты. На основании (11.3) для резонансной частоты можно записать

(11.4)

11.2 Добротность и затухание последовательного колебательного контура

Добротность Q определяется отношением напряжения на индуктивном (емкостном) элементе в режиме резонанса к входному напряжению

(11.5)

Добротность  характеризует “избирательные” свойства резонансного контура, в частности его полосу пропускания .

Другим параметром резонансного контура является характеристическое сопротивление, связанное с добротностью соотношением

  (11.6)                    

или с учетом (11.4) и (11.5) для можно записать

(11.7)

Тогда добротность

                                      .                                               (11.8)

Затухание величина обратная добротности

                                      .                                                             (11.9)

 11.3 Частотные характеристики последовательного колебательного контура

 Зависимость реактивного сопротивления контура от частоты  (рисунок 11.3), где  , .

         

            Рисунок 11.3                          Рисунок 11.4   

          Зависимость полного сопротивления контура от частоты ,  (рисунок 11.4).До резонанса характер сопротивления контура активно- емкостной, при резонансе активный, после резонанса активно- индуктивный.

           Зависимость - амплитудно - частотная характеристика (АЧХ), (рисунок 11.5).

Зависимости ,, (рисунок 11.6).         

 

          Рисунок 11.5                                                  Рисунок 11.6

Зависимость - фазо- частотная характеристика (ФЧХ), (рисунок 11.7).

                                              

                                                  Рисунок 11.7

          11.4 Последовательный колебательный контур при узкой полосе частот

В технике связи часто имеют дело с контурами высокой добротности, работающими в диапозоне частот, мало отличающихся от резонансной. В этом случае расчетным формулам можно придать более общий вид, если ввести в них новые независимые переменные.

Обобщенная расстройка ,  при резонансе (), при

                     (11.10)

где                                                                 (11.11)

                   (11.13)

           Абсолютная расстрой-ка:

          Относительная расстройка.

Удобно для сравнения резонансных кривых пользоваться относительными единицами.

 АЧХ в относительных единицах  - (рисунок 11.8)  

         (11.14)

   Рисунок 11.8                                             Рисунок 11.9

где

ФЧХ в относительных единицах (рисунок 11.9) 

         .                            (11.5)

12. Лекция 12. Резонанс токов

          Цель лекции: исследование резонансных явлений в параллельном колебательном контуре.

 12.3 Резонанс токов

Резонанс токов возникает в параллельном колебательном контуре при условии, что входная реактивная проводимость

,.                                                (12.1)

                  

 

 

 

 

Рисунок 12.1                                              Рисунок 12.2

 

Учитывая (12.1), видно, что полная проводимость чисто активная

      (12.2)

При резонансе токов общий ток наименьший и совпадает  с напряжением на входе  (рисунок 12.2)

                                               ,                                     (12.3)

                                      .                                           (11.4)

           Добротность контура                            

                                                                                              (12.5)

где  -активное сопротивление контура;

- полоса пропускания.

                                .                                            (12.6)

 12.2 Резонансная частота параллельного колебательного контура

По условию резонанса токов  

 

где ,                        (12.7)

Решая совместно (12.7), получим

                                                          (12.8)

Резонанс токов возможен при , если:

а) R₁>r; R₂>r  R₁<r; R₂<r;    

б) R₁=R₂¹r или R₁<< r и R₂<< r.  

В случае, когда R₁=R₂=r получаем неопределенность, т.е. может быть любое значение резонансной частоты.

Резонанс, не при какой частоте не возникает, если R₁>r, а R₂r или наоборот.

 

12.3 Сопротивление параллельного колебательного контура

                                                      Рисунок 12.3

 Эквивалентное сопротивление параллельного колебательного контура

 

;

где X=X_L-X_C ;  R₁<< X_LR₂ << X_c.

После преобразований, получим

 (12.9)

где R=R₁+R₂ активное сопротивление.

При резонансе   

                                                                          (12.10)

 

         Тогда в режиме, отличном от резонансного

=                             (12.11)

 

Из выражения (12.11) видно, что

;                                (12.12)

Модуль эквивалентного сопротивления

                                                                    (12.13)

Найдем  для эквивалентной схемы

12.4 Влияние шунта на свойства параллельного колебательного контура

Рисунок 12.4

При резонансе активное сопротивление шунтированного контура

Учитывая (12.10), получим

С другой стороны , т.е .

Таким образом добротность шунтированного контура

                                                                     (12.14)

 

12.5 Частотные характеристики идеального параллельного контура

 

 

 

 Рисунок 12.5

Так как то в этом случае резонансная частота .

Проводимость катушки , проводимость конденсатора  в=в_L- в_с          (рисунок 12.6).

                            Рисунок 12.6                          Рисунок 12.7

 

Так как ток I=/в/ U, значит в соответствующем масштабе резонансная кривая тока это график .

Угол , график  приведен на рисунке 12.7

Рисунок 12.8  

         12.5 Идеальный колебательный контур, шунтированный активным сопротивлением

 

                   

 

                               Рисунок 12.9           

            Для рассматриваемого контура резонансная частота

Для резонансного режима векторная диаграмма привидена на рисунке 12.9

где  .

Напряжение на контуре .

В режиме резонанса .

Частотные зависимости приведены на рисунках 12.10, 12.11

Рисунок 12.10  

                                    

 

 

 

 

Рисунок 12.11

 Полосой пропускания параллельного колебательного контура называется полоса частот, в пределах которой напряжение  на контуре не  падает ниже (рисунок 12.12).

Рисунок 12.12

Полоса пропускания

                                             (12.15)

 Добротность

             (12.16)

 

13 Лекция  13. Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах

Цель лекции: изучение методов расчета линейных электрических цепей при несинусоидальных периодических токах. 

 

13.1 Несинусоидальные ЭДС, напряжения и токи

На практике э.д.с., напряжения и токи в большей или меньшей степени являются несинусоидальными. Это связано с тем, что реальные генераторы не обеспечивают, строго говоря, синусоидальной формы кривых напряжения, а с другой стороны, наличие нелинейных элементов в цепи обусловливает искажение формы токов даже при синусоидальных ЭДС источников. В радиотехнике, вычислительной технике и т.п. применяются генераторы периодических несинусоидальных импульсов.

В общем случае характер изменения несинусоидальных величин может быть периодическим, почти периодическим и непериодическим. В данной лекции будут рассматриваться цепи только с несинусоидальными периодическими э.д.с., напряжениями и токами.

В качестве примера (рисунок 13.1,а) представлена цепь с нелинейным резистором (НР), нелинейная вольт-амперная характеристика (ВАХ) которого обусловливает несинусоидальную форму тока i в цепи при синусоидальном напряжении u на ее входе (рисунок 13.1,б).

Рисунок 13.1 

         13.2 Разложение периодических несинусоидальных кривых в ряд Фурье

Периодическая функция  

где Т – период, удовлетворяющая условиям Дирихле, может быть разложена в тригонометрический ряд Фурье

  (13.1)

Здесь  - постоянная составляющая или нулевая гармоника;

 - первая (основная) гармоника, изменяющаяся с угловой частотой

где Т – период несинусоидальной периодической функции.

В выражении (13.1) . Коэффициенты А₀, а_К и b_K  определяются по формулам

  ,        ,        .

Свойства периодических кривых, обладающих симметрией:

                                     

                                               Рисунок 13.2

 

а) кривые, симметричные относительно оси абсцисс.

К данному типу относятся кривые, удовлетворяющие равенству ( рисунок 13. 2). В их разложении отсутствуют постоянная составляющая и четные гармоники, т.е. ;

           Рисунок 13.3                                       Рисунок 13.4

б) кривые, симметричные относительно оси ординат.

К данному типу относятся кривые, для которых выполняется равенство ( рисунок 13.3). В их разложении отсутствуют синусные составляющие, т.е. ;

в) кривые, симметричные относительно начала координат.

К этому типу относятся кривые, удовлетворяющие равенству(рисунок 13.4). При разложении таких кривых отсутствуют постоянная и косинусные составляющие, т.е. .

 

13.3 Действующее значение периодической несинусоидальной переменной. Действующее значение периодического тока

                                                       .                                   (13.2)   

Разложим периодический несинусоидальный ток в тригонометрический ряд

  и подставим в формулу (13.2), после преобразования получим   .                                                       (13.3)                    

                                                                                                                       

Аналогичные выражения имеют место для э.д.с. напряжения

                            ,          .

 

13.4 Мощность в цепях периодического несинусоидального тока

Выразим мгновенные значения напряжения и тока в виде тригонометрических рядов

     .

Тогда для активной мощности можно записать

После интегрирования, получим:

Таким образом, активная мощность несинусоидального тока равна сумме активных мощностей отдельных гармонических

                                             .

Аналогично для реактивной мощности можно записать

.

Полная мощность

                                        .

Для несинусоидального тока .

         13.5 Расчёт цепей с несинусоидальными периодическими э.д.с., напряжениями, токами 

Расчёт линейных электрических цепей несинусоидального тока распадается на три этапа:

а) разложение несинусоидальных э.д.с. и токов источников на постоянную и синусоидальные составляющие (т.е. в тригонометрический ряд Фурье);

б) применение принципа наложения и расчет токов и напряжений в цепи для  каждой из составляющих в отдельности. При расчете цепи с постоянными составляющими э.д.с. и тока источника следует учитывать, что индуктивное сопротивление равно 0 и индуктивность в эквивалентной схеме заменяется короткозамкнутым участком, а  ёмкостное равнои ветвь с ёмкостью размыкается. При расчете цепи для каждой синусоидальной составляющей э.д.с. и тока источника можно пользоваться комплексным методом, но недопустимо сложение комплексных токов и напряжений различных синусоидальных составляющих. Необходимо учитывать, что индуктивное и емкостное сопротивления для различных частот неодинаковы, индуктивное сопротивление для k-й гармоники равно:, а емкостное сопротивление для k-й гармоники равно:;

в) совместное рассмотрение решений, полученных для каждой из составляющих. Причём суммируются только мгновенные значения составляющих токов и напряжений.

 

14 Лекция 14. Четырёхполюсники. Уравнения передачи четырёхполюсников

Цель лекции: изучение  основ теории четырёхполюсников и получение навыков расчета линейных пассивных четырёхполюсников.

 

14.1 Основные определения и классификация четырёхполюсников

Четырёхполюсником называется электрическая цепь или её часть, имеющая  две пары зажимов (полюсов), для подключения к источнику и приемнику электрической энергии. К четырёхполюсникам относятся трансформаторы, усилители, электрические фильтры, линии передачи электрической энергии и т.д.  Таким образом, теория четырёхполюсников позволяет едиными методами анализировать системы различные по структуре и принципу действия.

 Условное изображения четырёхполюсников показано на рисунке 14.1.

                         

                                        Рисунок 14.1

Пара зажимов называются первичными, называются вторичными, зажимы, к которым подключается источник называются входными, зажимы, к которым подключается приёмник называются выходными. Положительные направления напряжений и токов показано на рисунке 14.1.

         Активные и пассивные четырехполюсники.

Активные четырехполюсники содержат независимые и зависимые источники, пассивные четырехполюсники не содержат источников электрической энергии.

         Линейные и нелинейные четырёхполюсники.

Линейные четырёхполюсники не содержат нелинейные элементы, нелинейные четырёхполюсники содержат нелинейные элементы.

         Обратимые и необратимые четырёхполюсники.

Для обратимых четырёхполюсников выполняется теорема обратимости или взаимности: отношение напряжения на входе к току на выходе не меняется при перемене местами зажимов. Пассивные четырёхполюсники всегда обратимы.

Симметричные и несимметричные четырёхполюсники.

В симметричном четырёхполюснике перемена местами входных и выходных зажимов не изменяет напряжений и токов в цепи.

         Схемы типовых пассивных четырёхполюсников показаны на рисунках 14.2 а), 14.2 б), 14.2 в),14.2 г).

                             

                         

                                 Рисунок 14.2

 

         14.2 Уравнения передачи четырёхполюсника

Уравнения определяющие зависимость между  называются уравнениями передачи четырёхполюсника. Величины, связывающие в уравнениях передачи напряжения и токи, называются параметрами четырёхполюсника.

Уравнения передачи  в Y-параметрах

                             }.                  (14.1)

Коэффициенты   называются Y-параметрами и имеют размерность проводимостей.

         Уравнения передачи  в Z-параметрах

                                }.                                     (14.2)

Коэффициенты   называются Z-параметрами и имеют размерность сопротивлений.

         Уравнения передачи  в А- параметрах

                              }.                                 (14.3)

Коэффициенты  называются А- параметрами или обобщенными параметрами. А₁₁,А₂₂-безразмерные, А₁₂ имеет размерность сопротивления, А₂₁ имеет размерность проводимости.

Уравнения передачи  в А - параметрах применяют при передаче энергии через четырёхполюсник от зажимов  к зажимам.

При передаче энергии от зажимов  к зажимам  уравнения передачи для обратимых четырёхполюсников могут быть записаны через А – параметры, при этом коэффициенты А₁₁ и А₂₂ меняются местами

                             }.                     (14.4)

Уравнение передачи в Н – параметрах

                            }.                      (14.5)

Системы Y-,Z-,A-,H-параметров называются параметрами коэффициентами. Параметры – коэффициенты являются комплексными величинами, определяются только схемой четырёхполюсника и её элементами, между различными системами параметров – коэффициентов существует однозначная связь.  Для пассивного четырёхполюсника , ,для  А- параметров справедливо соотношение

∆А=.

Для симметричного четырёхполюсника: А₁₁=А₂₂, Y₁₁=-Y₂₂, Z₁₁=-Z₂₂.

14.3 Входные сопротивления четырёхполюсника, параметры холостого

хода и короткого замыкания.

Если  к зажимам подключить произвольное сопротивление нагрузки Z_H2 (рисунок 14.3, а), то входное сопротивление четырёхполюсника со стороны зажимов   будет равно .  Входное сопротивление  можно выразить через А-параметры

 

.                                (14.6)

 

Аналогично определяется входное сопротивление четырёхполюсника со стороны зажимов, если к к зажимам  подключить произвольное сопротивление нагрузки Z_H1 (рисунок 14.3,б)

        .                                 (14.7)

 

 

                       а)                                                               б)

                                        Рисунок 14.3

Параметрами холостого хода (ХХ) и короткого замыкания (КЗ) называются и  при разомкнутых и замкнутых накоротко зажимах четырёхполюсника.

Входные сопротивления четырёхполюсника в режиме холостого хода на зажимах ( Z_H2=, I₂=0) и  ( Z_H1=, I₁=0) соответственно равны

,      .

При коротком замыкании зажимов (Z_H2=0, U₂=0) и (Z_H1=0, U₁=0) входные сопротивления четырёхполюсника, соответственно, равны

 ,    .

Параметры ХХ и КЗ удовлетворяют соотношению:, т.е.только три параметра из четырёх независимы и их достаточно для составления уравнений передачи пассивных четырёхполюсников, из параметров ХХ и КЗ может быть получена любая система параметров-коэффициентов пассивных четырёхполюсников. Для симметричных четырёхполюсников А₁₁=А₂₂, Z_X1=Z_X2, Z_K1=Z_K2.

 

15 Лекция 15. Характеристические параметры четырёхполюсника. Уравнения четырёхполюсника с гиперболическими функциями

Цель лекции: изучение характеристических параметров четырехполюсника, получение навыков расчета  режимов работы линейных пассивных четырёхполюсников с использованием характеристических параметров.

Характеристические параметры четырёхполюсника

К характеристическим параметрам четырёхполюсника относятся характеристические сопротивления и характеристическая постоянная передачи.

         15.1 Характеристические сопротивления четырёхполюсника

 

                                                                  а)

                                 

                                                                  б)

Рисунок 15.1

Характеристическими сопротивлениями четырёхполюсника называется такая пара сопротивлений и , которая удовлетворяет условию:

при  имеем  и при  имеем  (рисунки 15.1а,15.1б). можно выразить через А- параметры и параметры ХХ и КЗ

                   ,  ,                      (15.1)

 

                       ,                              (152)

 Для симметричного четырёхполюсника: .

Согласованное включение четырёхполюсника

Режим, при котором внутреннее сопротивление генератора выбрано равным , а сопротивление нагрузки  (рисунок15.2)  называется режимом согласованного включения. Режим согласованного включения наиболее благоприятен при передаче сигнала.

                           

          Рисунок 15.2

Режим согласованного включения симметричного четырёхполюсника (рисунок 15.3) ; .

                                

      Рисунок 15.3

         Характеристическая постоянная передачи четырёхполюсника

Характеристическая постоянная передачи четырёхполюсника определяется в режиме согласованного включения и равна

                                                  ,                                             (15.3)

так как  и  получим

                              .                                    (15.4)                                  Характеристическую постоянную передачи можно выразить через

 А-параметры и параметры ХХ и КЗ

,  .                   (15.5)

        Подставим в уравнение (15.3),

получим

                      (15.6)          

         где А_С –характеристическое (собственное) ослабление четырёхполюсника

                                                                               (15.7)

единица измерения А_С  в масштабе натуральных логарифмов называется непером (Нп). На практике принято измерять А_С в децибелах (дБ).

В_С – фазовая постоянная четырёхполюсника, измеряется в радианах или градусах                                                        (15.8)

симметричного четырёхполюсника ,                                                               ,   .

15.2 Уравнения передачи четырёхполюсника с гиперболическими функциями

А- параметры могут быть выражены через характеристические параметры

                                                (15.9)

Подставим (15.9) в уравнение передачи в А-параметрах (14.3) и получим уравнение передачи с гиперболическими функциями

,

                                 .                  (15.10)

Для симметричного четырёхполюсника () уравнение передачи с гиперболическими функциями имеет вид

         ,  .                                  (15.11)

         15.3 Характеристические параметры Т- и П- образных симметричных четырёхполюсников (рисунки 15.4 а, 15.4 б).

                       

                                         Рисунок 15.4

Для Т- и П-образных симметричных четырёхполюсников

Характеристические сопротивления для Т-и П- образных схем

, .              (15.12)

 

16 Лекция 16. Электрические частотные фильтры и их классификация

 

          Цель лекции: изучение частотных электрических фильтров и их принципа действия.

        

16.1 Электрическим фильтром называется четырехполюсник, устанавливаемый между источником питания и нагрузкой и служащий для беспрепятственного (с малым ослаблением) пропускания токов одних частот и задержки (или пропускания с большим ослаблением) токов других частот.

Диапазон частот, пропускаемых фильтром без ослабления (или с малым ослаблением), называется полосой пропускания или полосой прозрачности; диапазон частот, пропускаемых с большим ослаблением, называется полосой затухания или полосой задерживания. Качество фильтра считается тем выше, чем ярче выражены его фильтрующие свойства.

 

Таблица 16.1- Классификация фильтров

Название фильтров	Диапазон пропускаемых частот
Низкочастотные фильтры (НЧФ)
Высокочастотные фильтры (ВЧФ)
Полосовые фильтры (ПФ)
Заграждающие или режекторные фильтры (ЗФ или РФ)	и  , где

 

Частота  называется частотой среза или граничной частотой.

Фильтры используются как в радиотехнике и технике связи, где имеют место токи достаточно высоких частот, так и в силовой электронике и электротехнике.

Применяются:  пассивные LC-фильтры и RC-фильтры ; активные RC-фильтры (АRC-фильтры); цифровые фильтры.  

 

16.2 RC- фильтры

В устройствах техники связи широко применяются активные RC- фильтры (ARC-фильтры). Элементной базой ARC-фильтров являются: пассивные (резисторы и конденсаторы) и активные элементы. В качестве активного элемента обычно служит операционный усилитель (ОУ). Рассмотрим пассивные RC- фильтры. Для всех RC- фильтров в рабочей зоне коэффициент ослабления  .

Для НЧФ (рисунок 16.1) рабочая зона находится в диапазоне частот от  до, при , а =3дБ (рисунок 16.2). Коэффициент ослабления определяется по формуле

           .            (16.1)

                                     

                          Рисунок 16.1                                            Рисунок 16.2

Для ВЧФ (рисунок 16.3) рабочая зона находится в диапазоне частот от , при которой, а =3дБ, до , когда (рисунок 16.4).

Коэффициент ослабления определяется по формуле

.             (16.2)               

                      

                         Рисунок 16.3                                    Рисунок 16.4

Для ПФ (рисунок 16.5) минимальное значение коэффициента ослабления имеет место при (рисунок 16.6) , коэффициент ослабления определяется по формуле

         .                 (16.3)

           

                          Рисунок 16.5                                      Рисунок 16.6

 

          16.3 Пассивные реактивные LC-фильтры. Фильтры типа К.

Фильтры, у которых произведение их комплексных сопротивлений во всём диапазоне частот не зависит от частоты, называются фильтрами типа К.

К фильтрам типа К относятся низкочастотные, высокочастотные, полосовые и заграждающие реактивные LC-фильтры. Рассмотрим пассивные реактивные LC-фильтры, составленные из идеальных катушек индуктивности и конденсаторов, т.е. элементов соответственно с нулевыми активными сопротивлением и проводимостью.

 Фильтрующие свойства четырехполюсников обусловлены возникающими в них резонансными режимами – резонансами токов и напряжений. Фильтры обычно собираются по симметричной Т - или П-образной схеме.

                               

                                                Рисунок 16.7                                     

 Симметричный фильтр определяется двумя параметрами характеристическим сопротивлением и постоянной передачи , где -коэффициент ослабления, - коэффициент фазы. Для фильтров с согласованной нагрузкой (при всех частотах)

 .                  (16.4)                           

Так как  - реактивные сопротивления, тодействительная величина, отсюда получим ,                                                                (16.5)                                            

                  .                                           (16.6)

16.4 Полоса пропускания и полоса задерживания реактивного LC- фильтра

При согласованной нагрузки фильтра ()

 и  .                         (16.6)

 В идеальном случае в полосе пропускания (прозрачности) фильтра ,  отсюда следует, что в полосе пропускания   (формула 16.6).

Выражение (16.5) запишется в виде и .   (16.7)

Так как , то   .                                       (16.8)

Из условия (16.7) следует, что сопротивления  должны иметь различный характер: а)  или б) .

Выражение (16.8) можно записать в виде , отсюда получим условие для граничных частот  .                                                    (16.9)

 

          Условия для полосы пропускания и полосы задерживания.

 

Полоса пропускания      .          (16.10)   

 

 Полоса задерживания      .         (16.11)                                  

 

17 Лекция 17. Пассивные реактивные LC-фильтры

          Цель лекции: изучение принципа действия низкочастотных, высокочастотных, полосовых и задерживающих пассивных реактивных LC-фильтров.

17.1 Низкочастотные фильтры

Т-и П- образные схемы низкочастотного фильтра приведены на рисунке17.1.

                                   

                                        Рисунок 17.1

Найдём произведение сопротивлений  и :          (17.1)

где  - номинальное характеристическое сопротивление.

Как видно из выражения (17.1), НЧФ являются фильтрами типа К.

Определим      .                                            (17. 2)  

Условия для полосы пропускания и полосы задерживания НЧФ получим из (16.10) и (16.11) с учетом выражения (17.2).

Полоса пропускания   .             (17. 3)   

 Полоса задерживани    . (17. 4)                        

Из условий (16.9)  и  получим граничные частоты  и .

АЧХ  и ФЧХ  для НЧФ приведены  на рисунке  

                                  Рисунок 17.2

Условия для полосы пропускания и полосы задерживания и частотные характеристики  и получены при согласовании фильтра с нагрузкой () во всем диапазоне частот.

 17.2 Характеристические сопротивления НЧФ

 В лекции 15 были получены характеристические сопротивления для Т-и П- образных  симметричных схем

, .

Отсюда получим характеристические сопротивления для НЧФ

 ,               (17.5)

   .    (17.6)

Как видно из (17.5) и (17.6), характеристические сопротивления зависят от частоты, при  : , при :, .

В полосе пропускания характеристические сопротивления  активные. При согласовании фильтра с нагрузкой() входное сопротивление фильтра , отсюда следует, что напряжение и ток на входе фильтра совпадают по фазе и в полосе пропускания фильтр работает в режиме резонанса.

Зависимость , представлена на рисунке 17.3. Так как характеристические сопротивления зависят от  частоты, то невозможно согласовать фильтр с нагрузкой во всем диапазоне частот. 

 

                                               Рисунок 17.3

17.3 Высокочастотные фильтры

Т-и П- образные схемы высокочастотного фильтра приведены

на рисунке 17.4.

                               

                  

 Рисунок 17.4

Найдём произведение сопротивлений  и :          (17.7)

где  - номинальное характеристическое сопротивление.

Как видно из выражения (17.7), ВЧФ являются фильтрами типа К.

  Определим                      .                           (17.8)     

  Условия для полосы пропускания и полосы задерживания ВЧФ получим из (16.10) и (16.11) с учетом выражения (17. 8).

Полоса пропускания    .           (17. 9)   

 Полоса задерживания  ,

.                                                                                           (17.10)                        

Из условий (16.9)    и  получим граничные частоты  и .

АЧХ  и ФЧХ  для ВЧФ приведены  на рисунке 17.5.

       Рисунок 17.5                                                    Рисунок 17.6

Условия для полосы пропускания и полосы задерживания и частотные характеристики  и получены при согласовании фильтра с нагрузкой () во всем диапазоне частот.

         17.4 Характеристические сопротивления ВЧФ

 В лекции 15 были получены характеристические сопротивления для Т-и П- образных  симметричных схем

.

Отсюда получим характеристические сопротивления для ВЧФ

           ,                  (17.11)

           .          (17.12)

Как видно из (17.11) и (17.12), характеристические сопротивления зависят от частоты, при  : , при :, .

В полосе пропускания характеристические сопротивления  активные. При согласовании фильтра с нагрузкой() входное сопротивление фильтра , отсюда следует, что напряжение и ток на входе фильтра совпадают по фазе и в полосе пропускания фильтр работает в режиме резонанса.

 Зависимость ,  представлена на рисунке 17.6. 

 

         17.5 Полосовые фильтры

Рисунок 17.7

Полоса пропускания полосового фильтра лежит в диапазоне частот от  до . Полосовой фильтр может быть образован путём соединения низкочастотного фильтра с полосой пропускания от 0 до  и высокочастотного фильтра с полосой пропускания от  до , причем >.

Т-и П- образные схемы полосового фильтра приведены на рисунке 17.7.

Выберем , тогда при частоте в  продольной ветви наступает резонанс напряжений, в поперечной резонанс токов. Поэтому частота  принадлежит полосе пропускания. Частотные характеристики полосового фильтра представлены на рисунке 17.8.

 

17.6 Заграждающие или режекторные фильтры

Полоса пропускания заграждающего фильтра лежит в диапазоне частот от  0 до и от до. Заграждающие фильтры могут быть получены путём совмещения свойств НЧФ и ВЧФ. Т-и П- образные схемы заграждающего фильтра приведены на рисунке 17.10.

        

                                                  Рисунок 17.10

Частотные характеристики ЗФ представлены на рисунке 17.9.

В заключение необходимо отметить, что для улучшения характеристик фильтров всех типов их целесообразно выполнять в виде цепной схемы, представляющей собой каскадное включенные четырехполюсники. При обеспечении согласованного режима работы всех n звеньев схемы.

Список литературы

 1.Бакалов В. П., Дмитриков В.Ф., Крук Б.Е. Основы теории цепей: Учебник для вузов. – М.: Радио и связь, 2000.-592с.

2.Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники. - т.1. – Санкт-Петербург, Питер, 2003.-463с.

3. Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники. - т.2. – Санкт-Петербург, Питер, 2003.-576с.

4.Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей. – М.: Энергоатомиздат, 1989.-528с.

5.Шебес М. Р., Каблукова М. В. Задачник по теории линейных электрических цепей. – М.: Высшая школа, 1990.-544с.