Нүктелер,түзулер және жазықтықтар қарапайым фигуралар болып  табылады, ал күрделі фигуралар нүктелер, түзулер және жазықтықтар  жиынтықтарынан тұрады.

π жазықтығының орынын  өзгертпей, жаңа S₂ центрін алсақ, А  нүктесінің жаңа А₂ проекциясын аламыз. Яғни, π және S берілген жағдайда нүкте  проекциясын тұрғызу соншалықты күрделі емес. Бірақ, нүктенің бір ғана проекциясы болған  жағдайда  (мысалы А₁) бұл нүктенің өзінің кеңістіктегі  орынын анықтау мүмкін емес,  өйткені  S₁A₁ бойында  жатқан  кез-келген  нүкте сол бір А₁ нүктесіне проекцияланады. Мұны шешу үшін нүктенің екі проекциясы (мысалы  А₁ және А₂) болуы  қажет.    

Параллель проекциялау центрлік проекциялаудың центрі   S=S_∞  (π-ден шексіз қашықтықта орналасқан) болатын дербес түрі. Бұл жағдайда  проекциялаушы түзулер өзара параллель (1.2 суретті қара.) Параллель  проекциялау  жазықтықтың  (π)  орынымен  және  проекциялау  бағытымен  (S) толық  анықталады. Нүктенің  кеңістіктегі  орынын  анықтау  үшін мұнда  да екі әртүрлі проекциялау бағыттары бойынша алынған нүктенің екі проекциясы болуы тиіс; нүктенің орыны S₁ және S₂ бағыттарына параллель А₁ және А₂ арқылы жүргізілген түзулердің қиылысуымен  анықталады.

 Параллель  және  центрлік   проекциялардың  қасиеттері: 

а) кеңістіктегі әрбір нүкте мен сызықтың берілген жазықтықта тек бір   ғана проекциясы болады;

б ) нүктенің проекциясы нүкте болып табылады;

в)  жалпы  жағдайда  түзу  жазықтыққа   түзу  түрінде  проекцияланады;

г) түзудің проекциясын тұрғызу үшін, оның екі нүктесін проекцияласа,  және алынған нүктелердің проекциялары арқылы түзу жүргізсе жеткілікті;

д) егер нүкте түзудің бойында жатса, онда бұл нүктенің проекциясы сол  түзудің  проекциясының бойында жататын болады. 

Аталған  қасиеттерден басқа параллель проекциялау үшін мынаны  атауға болады:

е) егер түзу проекциялау бағытына параллель болса, онда бұл түзудің  проекциясы нүкте болады;

ж) проекциялар жазықтығына параллель түзу кесіндісі осы жазықтыққа  нақты шамада проекцияланады.

Ортогональ (тік бұрышты) проекциялау –  S проекциялау бағыты проекциялар жазықтығына перпендикуляр болатын параллель  проекциялаудың дербес түрі болып табылады (1.3 суретті  қара.) 

 Мұнда да нүктенің кеңістіктегі орынын анықтау үшін проекциялаудың  екі бағыты бойынша алынған екі параллель проекциясы болуы шарт.  Ортогональ  проекциялау кезінде бұл проекциялар екі  өзара  перпендикуляр  π₁  және π₂ жазықтықтарына   проекцияланады (1.4 суретті  қара).

Техникалық сызуда көбінесе 2 немесе 3 өзара перпендикуляр   жазықтыққа проекциялау кезінде тік бұрышты параллель проекциялау   қолданылады. Нүктенің өзара перпендикуляр π₁ горизонталь және π₂  фронталь жазықтықтарына қатысты  кеңістіктегі орыны  оның  А₁ және А₂ проекцияларымен анықталады (1.5 суретті қара).  π₁ және  π₂  жазықтықтары   кеңістікті ширектерге бөледі. Жазықтықтардың қиылысу сызығы Х проекциялар өсі деп аталады.

π₁ жазықтығын проекциялар өсінің төңірегінде 90º-қа айналдырып, нәтижесінде бір сызба жазықтығын аламыз. А₁ және А₂ проекциялары   проекциялар өсіне жүргізілген бір перпендикулярдың (байланыс  сызығының)  бойына орналасады. π₁ және π₂ жазықтықтарын беттестіру нәтижесінде  Монж  эпюрі немесе кешенді сызба алынады (1.6 суретті қара).

Үшінші, π₁ және π₂ жазықтықтарына перпендикуляр болып тұрғызылған проекциялар жазықтығы π₃ профиль проекциялар жазықтығы деп аталады (1.7 суретті қара). Х өсінен бөлек, Х өсіне перпендикуляр Y және  Z проекциялар өстері пайда болады.  O әрпімен π₁ , π₂, π₃  проекциялар жазықтықтарының қиылысу нүктесі белгіленген.

Егерде проекциялар жазықтықтарының арасын Y өсі бойымен ойша  қиып, π₁-ді  Х өсінің төңірегінде 90º-қа, ал  π₃-ті  Z  өсінің  төңірегінде  90º- қа   бұратын болсақ, онда үш жазықтықтың  барлығы бір сызба жазықтығына   беттеседі (1.8 суретті қара). Нүктенің проекцияларын өзара байланыстыратын   сызықтар байланыс сызықтары деп аталады. 

Декарт енгізген тікбұрышты координаттар жүйесінде π₁, π₂ және π₃     жазықтықтары - координаттар жазықтықтары, олар өзара қиылысатын  түзулер - координаттар өстері  Х, Y, Z,  ал  координаттар өстерінің  қиылысу  нүктесі  - координаттар басы  О деп аталады. 

 1.7 сурет 1.7                                                        1.8 сурет Сурет 1.8

2.10 сурет  Тік бұрышты  проекциялаудың  қарастырылған  ерекшеліктері  есептерді  шешу барысында  кеңінен қолданылады. Мысалы, екі өзара  қиылысушы һ горизонталь және f фронталь түзулері γ жазықтығын  құрайды.  Егер қайсыбір А нүктесінен  горизонталь мен фронтальға перпендикуляр ℓ түзуін (2.10 суретті қара) жүргізсек, онда бұл  түзу  γ  жазықтығына  да перпендикуляр болады.

2.4 Екі жазықтықтың өзара орналасуы

Екі жазықтық өзара параллель болуы немесе қиылысуы мүмкін.

Егер екі жазықтық өзара параллель болса, онда олардың әрқайсысында бірінің екі қиылысқан түзуін тиісінше екіншісінің екі түзуіне параллель болатындай етіп жүргізуге болады.

 2.11 суретте β жазықтығы АВС үшбұрышымен, ал γ жазықтығы өзара қиылысқан m және n екі түзумен берілген. β және γ жазықтықтары өзара параллель болуы үшін m мен n, мысалы АВС үшбұрышының жақтарына параллель болса жеткілікті: m║АВ,  n║ВС. Түзулер β(АВС) жазықтығында жатқан кез-келген басқа да түзулерге параллель болуы мүмкін.

Егер  жазықтықтар іздерімен берілген болса, онда ол жазықтықтардың параллель болуы үшін олардың іздері де өзара параллель болуы тиіс (2.12 суретті қара) , яғни ƒ_0γ║ƒ_0β, h_0γ║h_0β.

Егер жазықтықтардың іздері Х өсіне параллель болса, онда бұл жазықтықтар не өзара паралель, немесе өзара қиылысулары мүмкін. Нақты жауап беру үшін, үшінші профиль іздерін тұрғызу қажет.

Дәрісте жазықтықпен түзудің, жазықтықпен нүктенің өзара орналасуын анықтаумен байланысты сауалдар қарастырылады.

3 дәріс.   Ортогональ  проекцияларды  түрлендіру  әдістері.   Метрлік және позициялық есептерді шешу

Дәрістің мазмұны: проекция жазықтықтарын алмастыру әдісі және проекциялаушы түзулер төңірегінде айналдыру әдісі; метрлік пен позициялық есептер және оларды шешу тәсілдері туралы ұғым.

Дәрістің мақсаты: ортогональ проекцияларды түрлендіру әдістері туралы ұғымдарды қарастыру, геометриялық есептердің жіктелуін беріп, сондай-ақ олардың кейбіреулерін шешуді қарастыру.

Ортогональ проекцияларды (сызбаларды) түрлендіру - есептерді шешу үшін эпюрде берілген геометриялық элементтерді проекциялр жазықтықтарына қатысты неғұрлым ыңғайлы жаңа жағдайға келтіру үшін қолданылады.

3.1 Проекция жазықтықтарын алмастыру әдісі

Бұл әдістің негізі - қосымша проекциялар жазықтығы енгізіліп, проекциялар жазықтықтарының басқа жүйесіне өту жүзеге асырылады, сонымен қатар геометриялық бейнелер кеңістіктегі өз орындарын сақтайды. Алмастыру барысында екі проекция жазықтықтарының өзара перпендикулярлығы міндетті түрде сақталынады.

Екі p₁ мен p₂ проекциялар жазықтығы жүйесі және А нүктесі берілген болсын (3.1,а суретті қара). p₄^p₁ жазықтығын енгіземіз, және де ол p₂–ге перпендикуляр емес. А₄ нүктесі - А нүктесінің p₄–ке проекциясы. Бұдан проекция жазықтықтарының екі жүйесін аламыз: негізгі - p_1/p₂    және қосымша - p_1/p₄ . Бір проекция жазықтықтары жүйесінен басқасына өту барысында А нүктесінің аппликатасы ZА және оның А1 горизонталь проекциясы екі жүйе үшін де өзгеріссіз (инварианттық) болып қалады.

 3.1,б сурет бір жазықтықтар жүйесінен басқасына өту операциясын эпюрде көрнекі түрде көрсетеді. Берілген А(А₁,А₂) нүктесінің эпюрі мен х₁₄ жаңа проекциялар өсі бойынша p₄ жазықтығындағы осы нүктенің проекциясын  (А4) тұрғызу үшін мынаны орындау қажет:

1) нүктенің А1 горизонталь проекциясынан жаңа х₁₄ проекциялар өсіне перпендикуляр түсіреміз;

2) А₁₄ нүктесінен осы перпендикулярдың бойына А нүктесінің Z_А координатасын саламыз, яғни А₁₄А₄ = А₁₂А₂ = Z_A.

Егерде есепті шешу үшін қажет болса, бұл операцияны бірнеше рет қайталауға болады. Айта кетелік, екі проекциялар жазықтығын бірден алмастыруға болмайды. Жаңа проекциялар жазықтығы алмастырылмаған жазықтыққа перпендикуляр болып еңгізілуі тиіс. Сондықтан проекциялар жазықтықтарын алмастыруды тек олардың біреуін сақтай отырып орындауға болады: алдымен бір жазықтықты алмастырып, сонан соң келесісін алмастырады.

3.1 мысал - 3.2 суретте жалпы жағдайдағы АB түзу кесіндісінің ұзындығын анықтау көрсетілген.

Жалпы жағдайдағы АB түзуін деңгейлік түзуіне түрлендіру үшін, осы түзуге параллель жаңа p₄ (немесе p₅) жазықтығын енгізу қажет. Сызбада қосымша p₄ жазықтығы p₁ жазықтығына перпендикуляр және АB түзуіне параллель (p₁/p₄ жүйесінің өсі Х₁₄ түзудің А₁В₁ проекциясына параллель), сондықтан p₁/p₄ жүйесінде АB түзуі фронталь болып табылады. А₁  және B1 нүктелері арқылы Х₁₄ өсіне перпендикуляр болатын жаңа байланыс сызықтарын жүргіземіз. Х₁₄ өсінен А₄ пен B₄-ке дейінгі арақашықтықтар А₂ мен B₂-ге Х₁₂ өсіне дейінгі арақашықтыққа тең. Жаңадан пайда болған p₁/p₄ проекциялар жазықтықтары жүйесінде АВ түзуі деңгейлік түзу болып табылады, яғни А₄В₄ - кесіндісінің нақты шамасына тең.

Дәл осылай АB түзуін горизонтальға түрлендіруге болады.Ол үшін p₂ жазықтығын орынында қалдырып, АB-ға параллель және p₂-ге  перпендикуляр болатындай етіп p₁ жазықтығын p₅-пен алмастырамыз. Енді  АВ түзуі p₂/p₅ жүйесінде деңгейлік түзу болып, оның А₅В₅ проекциясы АВ-ның нақты шамасы болып табылады.

3.2 Проекциялау жазықтығына перпендикуляр тұрғызылған өс төңірегінде айналдыру әдісі

Бұл әдістің негізі - берілген фигураны, өз орындарын өзгертпейтін проекциялар жазықтықтарына қатысты дербес жағдайға келтіру үшін, проекциялар жазықтығына перпендикуляр тұрғызылған өс төңірегінде айналдырады.

p₁ жазықтығына перпендикуляр і өсінің төңірегінде айналдыру кезінде А нүктесінің орыны қалай өзгеретіндігін бақылап көрелік (3.3 суретті қара). А нүктесі a жазықтығындағы (a^i және, тиісінше a║p₁), шеңбер доғасымен қозғалады, сондықтан бұл шеңбер p₁ жазықтығына бұрмаланбай, ал p₂ жазықтығына Х өсіне параллель түзу кесіндісі болып проекцияланады.

Сонымен, егер А нүктесі і өсі төңірегінде радиусы R шеңбер доғасымен қайсыбір φ бұрышына орын ауыстырса, онда ол А' жағдайына келеді. Сондай-ақ нүктенің А₁ горизонталь проекциясы O₁ орталығының төңірегінде дәл сол j бұрышқа бұрылады, және де А₁¢ жағдайына келеді. Нүктенің А₂ фронталь проекциясы Х өсіне параллель түзу бойымен жылжып, А₂¢ жағдайына келеді.

Эпюрде бұл 3.4 суретте көрсетілгендей түрде болады.

Дәл осылай p₂ фронталь проекциялар жазықтығына перпендикуляр тұрғызылған өс төңірегінде айналдыруды да орындауға болады. Мұнда нүктенің фронталь проекциясы шеңбер доғасымен, ал горизонталь проекциясы – Х өсіне параллель түзу бойымен орын ауыстырады. Геометриялық фигураларды проекциялар жазықтықтарына перпендикуляр тұрғызылған өстер төңірегінде айналдыру әдісі геометриялық есептерді шешу кезінде кеңінен қолданылады.

3.2 мысал - 3.5 суретте В нүктесі арқылы өтетін горизонталь проекциялаушы і өсі төңірегінде айналдыру әдісімен АВ түзуі кесіндісінің ұзындығын анықтау көрсетілген.

Айналдыру кезінде В нүктесі өз орнында қалады, өйткені ол айналу өсінде жатыр, және сонымен қатар А нүктесінің горизонталь проекциясы А₁В₁ радиусты  шеңберді сызады, ал оның фронталь проекциясы Х өсіне параллель орын ауыстырады. Сонымен, А₁В₁ проекциясын В₁ нүктесінің төңірегінде ол Х өсіне параллель (В₁А₁¢) болатын жағдайға жеткенше бұрамыз. Бұдан А₂ нүктесі А₂¢ жағдайына келеді, сонда В₂А₂¢ кесіндісі - АВ түзуі кесіндісінің нақты шамасы, ал α бұрышы - АВ түзуінің p₁ проекция жазықтығына көлбеулік бұрышы болып табылады.

 3.3 Геометриялық есептердің жіктелуі

Сызбаларды тұрғызу теориясының (СТТ) барлық есептері позициялық және метрлік болып бөлінеді.

Геометриялық фигуралардың бір-біріне тиістілігі және өзара қиылысуларын анықтаумен байланысты есептер позициялық есептер деп аталады.

Геометриялық фигуралардың бірінің екіншісіне тиістілігін анықтаумен байланысты есептер үш түрге бөлінуі мүмкін:

а) нүктенің түзуге тиістілігі  (АÎl);

б) нүктенің бетке тиістілігі (АÎa);

в) түзудің бетке тиістілігі (lÎa).

Геометриялық фигуралардың өзара қиылысуларын тұрғызуға арналған есептер екі топқа бөлінеді:

а) түзудің бетпен қиылысуы (lÇa);

б) беттердің өзара қиылысуы  (aÇb).

Шешуі сызбада фигуралардың қандайда бір метрлік қасиеттерін (сызықтар бөлімдерінің ұзындықтары, бұрыштар, аудандар, көлемдер өлшемдері және т.б) анықтаумен байланысты болатын есептер метрлік есептер деп аталады.

Шешуі кезінде фигуралардың метрлік, сондай-ақ позициялық қасиеттері де қолданылатын неғұрлым күрделі есептер кешенді есептер болып табылады. 

Параллель (ортогональ) проекциялау кезінде кеңістікте жалпы жағдайда орналасқан геометриялық бейнелер проекция жазықтықтарына бұрмаланып проекцияланады. Бұл жағдайда олардың сызықтық және бұрыштық мінездемелері шамаларының проекциялары бұрмаланады.

Кеңістікте жалпы жағдайда орналасқан фигуралардың бұрмаланбаған сызықтық және бұрыштық мінездемелерінің шамаларын олардың проекциялары бойынша анықтау метрлік есептер сыныбын құрайды.

Техникада кездесетін көптеген метрлік және кешенді есептер типтік тәсілдер көмегімен шешіледі. Барлық метрлік есептерді шешу алгоритмдері ортогональ проекциялаудың екі инварианттарына сүйенеді:

а) тік бұрышты проекциялау туралы теоремаға;

б) кез-келген жазық фигураның, өзіне параллель проекциялар жазықтығына бұрмаланбай (конгруэнтті фигураға) проекциялану қасиетіне, яғни  (Ф Ì b) Ù (b êêp₁) Þ Ф₁ @ Ф.

Барлық метрлік  есептер мына үш топтың біріне жатқызылуы мүмкін:

а) нүктеден басқа нүктеге дейінгі, түзуге дейінгі, жазықтыққа дейінгі; түзуден жазықтыққа дейінгі арақашықтықтарды анықтау есептері;

б) араларындағы бұрыштарды анықтауға арналған есептер:

      - қиылысушы немесе айқасушы түзулердің;

      - түзу мен жазықтықтың;

      - екі жазықтықтың (екі жақты бұрыштың шамасын анықтау);

в) жазық фигуралардың шамаларын анықтау.                                                                              

3.4 Кейбір геометриялық есептерді шешу

3.3 мысал - D нүктесінен АВС үшбұрыш жазықтығына дейінгі арақашықтықты анықтау керек (3.6 суретті қара).

Шешуі. Проекция жазықтықтарын алмастыру әдісін пайдаланып, берілген жазықтықты жалпы жағдайдан проекциялаушы жағдайына ауыстырамыз. Ол үшін жазықтықтың горизонталін жүргізіп, оған перпендикуляр проекция жазықтығы π₄-ті енгіземіз.

 3.4 мысал - Айқас түзулер арасындағы ең қысқа арақашықтықты анықтау керек (3.7 суретті қара).

Шешуі. Түзулердің бірін жалпы жағдайдан проекциялаушы  жағдайына аударамыз. Ол үшін проекция жазықтықтарын екі рет алмастыру қажет: бірінші алмастыру көмегімен DE түзуін деңгейлік жағдайға аударамыз, сонан соң - проекциялаушы жағдайға.

3.5 мысал - Түзудің жазықтықпен қиылысу нүктесін анықтау керек (3.8,а суретті қара) және, жазықтықты мөлдір емес деп қарастырып, түзудің проекциялардағы көрінуін анықтау қажет.

Шешуі. Төменде есепті шешу алгоритмі келтірілген, оның сызбада орындалуы 3.8,б,в,г суреттерде көрсетілген.

                                                                     3.8 сурет

4 дәріс. Беттер туралы жалпы ұғымдар. AutoCAD жүйесіндегі  3-D модельдеу элементтері

Дәрістің мазмұны: беттер және олардың жасалуы. AutoCAD жүйесінде үш өлшемді объектілердің жасалуы. Денелердің модельдерін тұрғызу.

Дәрістің мақсаты: беттер және олардың жасалуы туралы жалпы ұғымдар жөнінде мағлұмат беру, AutoCAD жүйесінде үш өлшемді объектілермен жұмыс істеудің негіздерін қарастыру.

4.1 Беттер туралы кейбір мағлұматтар

Сызбаларды тұрғызу теориясында (СТТ) бет (4.1суретті қара) - кеңістікте қозғалып бара жатқан сызықтың (жасаушының) немесе басқа беттің тізбектелген орындарының жиынтығы ретінде қарастырылады. Жасаушылар – түзу және қисық, соңғылары тұрақты және айнымалы болуы мүмкін. Бір бет көбінесе әртүрлі жасаушылардың қозғалыстарымен жасалуы мүмкін. Сызбада жасаушының кейбір орындарын ғана көрсетеді. Бағыттаушы деп беттің жасалуы кезінде онымен қиылысуы жасаушы қозғалысының міндетті шарты болып табылатын сызық аталады. Кейде, бағыттаушы ретінде жасаушымен  қиылыспайтын сызық пайдаланылады.

Түрлі жасаушылар, бағыттаушылар пішіндерінің, сондай-ақ беттердің жасалу заңдылықтарының ішінен беттерді кескіндеу үшін және олармен байланысты есептерді шешу үшін неғұрлым қарапайымдарын және қолайлыларын таңдайды.

СТТ–нда қабылданған беттердің жіктелуін қысқаша қарастырайық.

Түзу сызықтың қозғалысынан жасалуы мүмкін болатын бет - сызықтық бет (СБ) деп аталады. Өзінің барлық нүктелерімен жазу (жәю) кезінде жазықтықпен үзіктерсіз және қатпарларсыз беттесе алатын СБ – жазылатын бет деп аталады. Жазылатын беттерге іргелес түзу сызықты жасаушылары параллель, немесе өзара қиылысатын, немесе қайсыбір кеңістіктік қисыққа жанаспалы СБ жатады. Қалған СБ мен барлық сызықтық емес беттер - жазылмайтын беттер. Жазылатын беттер - көп жақты, цилиндрлік, конустық және кері қайту қабырғасы бар (торстық) беттер.

Көп жақты (немесе жақты) беттер - түзу сызықты жасаушының сынық сызықты бағыттаушы бойымен (4.2 суретті қара) орын ауыстыруынан жасалынады.                    Егер жасаушының бір нүктесі қозғалмайтын болса, онда пирамидалық бет, ал егер жасаушы берілген бағытқа параллель болса - призматикалық бет жасалады.

Тұйықталған жақты беттер көпжақтыларды жасайды. Жақтары – жазық көпбұрыштар, қырлары (қабырғалары) - жақтардың қиылысу сызықтары, төбелері - қабырғалардың ұштары (олардың қиылысу нүктелері). Пирамида – табаны көпбұрыш, басқа жақтары - ортақ төбесі бар үшбұрыштар. Тік пирамида –егер төбесі табан орталығына проекцияланатын болса. Дұрыс пирамида - егер табаны дұрыс көпбұрыш болса. Призма – егер екі бірдей жақтары параллель жазықтықтарда жатып, қалған жақтары  параллелограммдар болса. Параллелепипед – егер табандары да параллелограммдар болса.

    Сызбада көпжақтар - төбелерінің, қабырғаларының, жақтарының проекцияларымен кескінделеді. Кескіндерді тұрғызу кезінде қабырғалар мен жақтардың көрінуін анықтау қажет.

    Цилиндрлік беттің жасаушылары әрдәйім өзара параллель, бағыттаушысы – қисық сызық. Дербес түрлері – тік дөңгелек цилиндр, көлбеу дөңгелек цилиндр. Конустық беттердің барлық түзу сызықты жасаушыларының бір ортақ қозғалыссыз нүктесі, яғни төбесі бар, бағыттаушысы – бір кез-келген қисық сызық. Дербес түрі - тік дөңгелек конус, көлбеу дөңгелек конус. Кері қайту қабырғасы бар беттерде түзу сызықты жасаушылар қисық сызықты бағыттаушыға жанама.

Сызықтық емес беттердің ішінен тұрақты және айнымалы жасаушылары бар беттерді ажыратады. Алғашқыларын қисық сызықты жасаушылары бар айналу беттеріне (сфера, тор, айналу эллипсоиды және т.б.) және циклдық беттерге (иілген құбыр, серіппе беттері) бөледі.

Қаңқалық бетті беттің қайсыбір сызықтарының немесе нүктелерінің жиынтығымен береді. Әдетте, мұндай сызықтар - жазықтықтары өзара параллель болатын жазық қисықтар. Қаңқаның екі қиылысушы сызықтар тобы беттің тор көзді  қаңқасын жасайды. Сызықтардың қиылысу нүктелері беттің нүктелік қаңқасын жасайды (беттің нүктелерінің координаттарымен берілуі мүмкін). Қаңқалық беттерді турбиналар тұрақтарын (корпустарын), электронды сәулелік түтік баллондарының конструкцияларын жобалау кезінде пайдаланады (4.3,а,б,в суретті қара). Айналу беттері (АБ) бар денелерді техниканың көптеген салаларында қолданады: электронды сәулелік түтік баллоны, Дьюар ыдысы және т.б.

 Жасаушының түріне байланысты АБ-ді сызықтық, сызықтық емес немесе осындай беттердің бөліктерінен тұратын болуы мүмкін. АБ жасаушыны қозғалмайтын түзу сызықты өс (4.3,г суретті қара) төңірегінде айналдыру арқылы алынуы мүмкін. өсті бір нүктелі үзілме сызықпен кескіндейді. Парал-лельдер мен меридиандар ұғымдары енгізіледі. Кейбір АБ басқа беттердің дербес түрі болып табылады. Оған айналу цилиндрі мен конусын атауға болады. Олардың меридиандары түзу сызықтар болып табылады.

Олар, цилиндр үшін - өске параллель және одан тең қашықтықта жатады, немесе конус үшін – өсті, бәрі бір нүктеде, және де осы өске бірдей бұрышпен қияды. Тік дөңгелек цилиндр мен тік дөңгелек конус – айналу беттерімен және өске перпендикуляр жазықтықтармен шектелген . Цилиндр меридианы –тік төртбұрыш, конустікі – үшбұрыш . Сфера шектелген бет болып табылады және сызбада толық кескінделуі мүмкін. Сфера экваторы мен меридиандары -өзара тең  шеңберлер . Тор - шеңберді (немесе оның доғасын) осы шеңбер жазықтығында жатқан, бірақ оның орталығы арқылы өтпейтін өс төңірегінде айналдыру кезінде алынады (ашық, жабық және өзін-өзі қиятын тор деп ажыратылады) .

       Дәрісте тік дөңгелек цилиндр, тік дөңгелек конус және сфера беттерінде жатқан  нүктенің орынын анықтаумен, жазықтық  және түзудің осы беттермен қиылысуымен байланысты есептерді шешу қарастырылады.

4.2  Auto CAD жүйесінде 3-D  модельдеу туралы  жалпы  ұғымдар

 CAD (Computer Aided Design – компьютердің көмегімен жобалау) жүйелерінде үш өлшемді (3D - 3 dimension) объектілерді жасау үшін қаңқалық, беттік және қатты денелік модельдеуді пайдаланады. Қаңқалық модельде объектінің тек қабырғалары ғана беріледі, жақтары анықталмаған, модельдің өзі мөлдір, көлем ұғымы жоқ. Беттік модельде қабырғалары мен жақтары анықталған. Модель мөлдір емес, көлемі бар, бірақ салмағы жоқ (жақтардың қалыңдығын ескереді). Қатты денелік модель (ҚМ) объектіні неғұрлым шынайы бейнелеуге мүмкіндік туғызады, және объектінің сыртқы жақтары мен қабырғалары туралы толық мағлұмат береді, сондай-ақ оның ішкі құрылымын бейнелейді. Модельде көлем де, салмақта бар.

Қатты денелік модель – кеңістіктің кез-келген нүктесінен қарағандағы көріністі, модель қимасын орындауды, екі өлшемді сызбаларды автоматты түрде тұрғызуды, шынайы кескіндерді алуды, материал мінездемелерін және сырттай жарықтандырылуын толықтыруды, физикалық есептерді шешуді қамтамасыз етеді.

4.3  Қатты денелік модельдеу

 Auto CAD-та қатты денелік модельдерді жасау алгоритмі – үш өлшемді примитивтерді пайдалануға немесе екі өлшемді пішіндерді соңыра үш өлшемді модельдерге айналдыруға, және үш өлшемді модельдерді – денелерді реттеу командаларының көмегімен түрлендіруге негізделген.

Үш өлшемді примитивтер: Polysolid (Политела),  Box (Параллелепипед), Wedge (Клин),  Cone (Конус),  Sphere (Сфера),  Cylinder (Цилиндр), Pyramid (Пирамида), Torus (Тор).

4.6-4.9 суреттерде қатты денелік модельдерді түрлендіру командаларын пайдалана отырып, екі өлшемді пішіндер негізінде жасау тәсілдерінің нәтижелері келтірілген.

Auto CAD-та  құрама дененің қатты денелік моделін Union (Біріктіру), Subtract (Алып тастау) және Intersect (Қиылысу) жиындар теориясының операцияларын  пайдаланып тұрғызу мүмкіндіктері қамтамасыз етілген. 4.10-4.12 суреттерде тағанның (плитаның) моделін осындай операцияларды қолдану арқылы тұрғызу көрсетілген. Ол үшін алдыменен екі өлшемді контурларды тұрғызады (4.10 суретті қара). Сонан соң бұл контурларды қажетті биіктікке Extrude (Қысыммен басып шығару) командасымен созады (4.11 суретті қара)

Ары қарай екі денені біріктіру (Union командасының көмегімен) және жасалған денеден тесіктерге сәйкес денелерді алып тастау (Subtract командасының көмегімен) орындалады. Тағанның қатты денелік рең берілген түрдегі (тонировкасы орындалған) тұрғызуларының нәтижесі 4.12 суретте көрсетілген.

Әдебиеттер тізімі 

1. Чекмарев А.А. Начертательная геометрия и черчение. – М.: Высшее образование, 2009. – 471 с.

2. Белякова Е.И., Зеленый П.В. Начертательная геометрия. – М.: Новое знание, 2010. – 247 с.

3.  Королев Ю.А. Начертательная геометрия. – Спб.: Питер, 2010. - 256 с.

4. Романычева Э.Т., Соколова Т.Ю., Шандурина Г.Ф. Инженерная и ком­пьютерная графика. – М.: ДМК Пресс, 2001. – 592 с.

5. Соколова Т.Ю. AutoCAD 2009. Учебный курс.- СПб.: Питер, 2008. – 576 с.

6. Жарков Н.В.  AutoCAD 2009. Официальная русская версия.- СПб.: Наука и Техника, 2009. – 608 с.

7. Полещук Н.Н. Самоучитель AutoCAD 2011. – СПб.: БХВ-Петербург, 2010. – 544 с.

8. Муқашев М.Ш., Дүйсенов С.А., Қалиев Б.З. Инженерлік және компью­терлік  графика.  Сызба геометрия:  Оқу құралы. – Алматы:  АЭжБИ, 2007. – 90 б.

9. Дінасылов А.Д., Тойбаев С.Н. Инженерлік және компьютерлік гра­фика. AutoCAD компьютерлік графика жүйесіне кіріспе: Оқу құралы. - Ал­маты: АЭжБИ, 2003. – 81 б.

10. Дегтярев В.М.,Затыльникова В.П. Инженерная и компьютерная гра­фика. - М.: Академия, 2010. – 240 с.

11. Нәби Ы.А. Сызба геометрия және инженерлік графика. - Алматы. : Бастау, 2010. -  280 б.

 2012 ж. жиынтық жоспары, реті 363