МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН 

Рисунок 6

Задача 1.5. Определить усилия в стержнях конструкций, изображенных на рисунке 6, а–е, если Р=5 кН, Q=8 кН.  

Ответ: а) N₁ = 10,6 кН, N₂ =7,43 кН (оба растянуты);

б) N₁ = 9,42 кН (растянут), N₂ =14,7 кН (сжат);

в) N₁ = 9,8 кН (растянут), N₂ =15,9 кН (сжат);

г) N₁ = 0,35 кН, N₂ =9,52 кН (оба растянуты);

д) N₁ = 5,7 кН (сжат), N₂ =12,7 кН (растянут);

е) N₁ = 0,47 кН (сжат), N₂ =9,76 кН (растянут).

Задача 1.6.  Определить усилия в стержнях пространственной конструкции, изображенной на рисунке 7,a, если F=4 кН.

Рисунок 7

Решение. Рассмотрим равновесие узла С. Реакции невесомых стержней направим вдоль стержней, при этом  1-й и 2-й стержни испытывают растяжение и их реакции ,  направлены от узла, 3-й стержень испытывает  сжатие, его реакция   направлена к узлу (см. рисунок 11,б). Выберем систему координат Оxyz и составим уравнения равновесия для полученной пространственной системы сходящихся сил.

åF_kx = 0,   N₁sinb - N₂sinb = 0,   N₁ = N₂;

å F_kz = 0,   N₃cosa - F = 0,  

å F_ky = 0,   N₃sina - 2N₁cosb  =0,   N₁ = N₃sina/(2cosb)

Ответ:

Рисунок 8

Задача 1.7. Определить усилия в стержнях пространственных конструкций, изображенных на рисунке 8,а,б, если Р=4 кН, Q=6 кН, α=60º.

Ответ: а) N₁ = 16,5 кН, N₂ = 10,5 кН (растянуты), N₃ =15,4 кН (сжат) .

б) N₁ = N₂ = 8,3 кН (сжаты), N₃ =12 кН (растянут) .

2 Равновесие плоских систем сил

Задача 2.1.  Определить реакции связей балки, показанной на рисунке 9. В точке А балка имеет неподвижную шарнирную опору, в точке В – подвижную шарнирную опору на катках. На балку действует силы Р=5 кН; пара сил с моментом М = 2 кН∙м, равномерно распределенная нагрузка интенсивностью  q = 1 кН/м. Заданы размеры: а₁=2 м,  а₂=3 м,  l=10 м.

Рисунок 9

Решение. Рассмотрим равновесие балки АВ. На нее действует плоская система сил, поэтому выбираем плоскую систему координат xАy. Заменим распределенную нагрузку равнодействующей сосредоточенной силой  Q =q× a₁ =2 кН, эта сила приложена в середине участка DА. Мысленно отбросим наложенные на балку связи и заменим их действие реакциями. Реакция шарнирно-неподвижной опоры в точке А лежит в плоскости, перпендикулярной оси шарнира (в плоскости чертежа), ее  направление зависит от направления и величин активных сил, и поскольку заранее направление реакции  неизвестно, разложим ее на составляющие по координатным осям , (см. рисунок 10). Реакция шарнирно-подвижной опоры в точке В направлена по нормали к опорной плоскости. 

                                                            Рисунок 10

Силы, направленные под углом к осям координат, для удобства разложим на составляющие, параллельные осям: 

Для полученной плоской системы сил можно составить 3 независимых уравнения равновесия, в задаче имеем 3 неизвестные силы, то есть  задача статически определима.

Составим уравнения равновесия:

Перепишем третье уравнение, используя выражения для составляющих сил:

Из этого уравнения находим:

Из уравнения проекций сил на ось х:

Из уравнения проекций сил на ось у:  

Реакция в точке А равна:

Направление вектора  определим по направляющим косинусам:

Заметим, что значение и направление равнодействующей реакции можно не определять, оставив в ответе значения ее составляющих. При этом знак “минус” в значении реактивной силы означает, что реактивная сила направлена в сторону, противоположную принятой по схеме.

Для проверки правильности решения составим дополнительное уравнение Таким образом, реакции связей найдены верно.

В задаче была использована первая (основная) форма условий равновесия произвольной плоской системы сил, т.е. составлены два уравнения проекций сил и одно уравнение моментов сил. Для решения этой задачи можно также использовать вторую форму условий равновесия, а именно составить одно уравнение проекций сил и два уравнения моментов сил. При этом уравнения моментов удобно составлять относительно точек А и В, где приложены неизвестные силы, так как в этом случае в этих уравнениях будет по одной неизвестной.

Ответ: X_A = 3,78 кН, Y_A =4,12 кН, R_B = 2,55 кН.

Задача 2.2.  Определить реакции связей балок, показанных на рисунке 11,а-г.

Ответ: а) 20,8 кН,104,2 кН;  б) 46,8 кН, 38,2 кН; в) 51,9 кН, 93,1 кН; г) 33 кН, 87 кН.

Задача 2.3.  Определить реакции связей балок, показанных на рисунке 12, а,б при следующих данных: М=8 кН∙м, F=12 кН,  q=4 кН/м.

Ответ:  а) 3,1 кН, 21,5 кН, 30,1 кН;     б) 4,97 кН, 3,07 кН, 2,85 кН.

Задача 2.4. Определить реакции связей рамных конструкций, показанных на рисунке 13,а,б при следующих данных:

а) М=15 кН∙м, F=20 кН,  q=4 кН/м, АВ=СD=3 м, ВС=4 м, СЕ=2 м;

б) М=9 кН∙м, F=12 кН,  q=2 кН/м, АВ=5 м, ВС=3 м, ВЕ=2 м.

Ответ:  а) 17,6 кН, 2 кН, 0,25 кН;         б) 14,4 кН, 0,4 кН.

Рисунок 11

Рисунок 12

Рисунок 13

Задача 2.5.  Определить реакции жесткой заделки ломаного стержня, изображенного на рисунке 14,а, если F=10 кН, q=5 кН/м, M=15 кН∙м, AB=4 м, BC=2 м, CD=1 м.

Решение. Рассмотрим равновесие ломаного стержня, находящегося под действием сосредоточенной силы F, пары сил с моментом М и равномерно распределенной нагрузки интенсивностью q. Заменим распределенные силы равнодействующей, равной Q=q·АВ=20 кН и приложенной в середине участка АВ.  Покажем реакции жесткой заделки А:  две составляющие реактивной силы и момент жесткой заделки М_А (см. рисунок 14,б). 

Для полученной плоской системы сил составим 3 уравнения равновесия.

Рисунок 14

Выполним проверку правильности решения, составив дополнительное уравнение равновесия:

Ответ:   X_A = 2,59 кН,  Y_A = 29,7 кН,  М_А = 98,1 кН∙м.

Рисунок 15

Задача 2.6. Определить реакции жестких заделок конструкций, показанных на рисунке 15,а-г при следующих данных:

а) М=12 кН∙м, F=10 кН,  q=8 кН/м, а =2 м, b=1,5 м;

б) F=20 кН,  q=6 кН/м, а =1 м, b=с=1,5 м;

в) М=15 кН∙м, F=12 кН,  q=4 кН/м, АВ=CD=3 м, ВС=2 м;

г) М=6 кН∙м, F=14 кН,  q=10 кН/м, АВ=5 м, ВС=BD=3 м.

Ответ:  а) 2,6 кН, 6,3 кН, 13,5 кН∙м;        б) 10 кН, 8,3 кН, 53,5 кН∙м;

в) 8,9 кН, 11,6 кН, 16,9 кН∙м;      г) 3,6 кН, 42,5 кН, 32,9 кН∙м.

Задача 2.7.  Мост состоит из двух одинаковых горизонтальных балок, соединенных шарниром А и прикрепленных шарнирно к основанию жесткими стержнями 1, 2, 3 и 4, причем крайние стержни вертикальны, а средние наклонены к горизонту под углом  α=60° (см. рисунок 16,а). Даны размеры:   АВ=8 м, ВС=6 м.  Определить реакции внешних и внутренних связей моста, если мост несет вертикальную нагрузку P=15 кН, приложенную на расстоянии а=4 м от точки В.

Рисунок 16

Решение. Расчленим конструкцию на 2 части и рассмотрим равновесие каждой балки в отдельности (см. рисунок 16,б). Направим реакции стержней от балок, предполагая, что стержни испытывают растяжение. Реакцию шарнира А разложим на две составляющие, при этом по аксиоме о равенстве действия и противодействия  Х_А′= Х_А, Y_А ′=Y_А , а  направлены они в противоположные стороны. Составим для каждой балки по 3 уравнения равновесия. В этих уравнениях будет 6 неизвестных, то есть задача является статически определимой.

Уравнения равновесия для балки АВ:

Уравнения равновесия для балки АЕ:

Решение полученной системы уравнений проведем в системе Mathcad, как показано на рисунке 17.  Для проверки правильности решения составим уравнение равновесия для всей конструкции, а именно вычислим сумму проекций на ось у всех сил, приложенных к мосту:

Как видно на рисунке 17, проверочное условие сходится.

Ответ: N₁ =-6,25кН, N₂ =- 5,77кН, N₃ =-5,77кН, N₄ =1,25кН, Х_А=-2,89кН, Y_А=3,77кН.

Задача 2.8. Определить реакции внешних связей составных конструкций, показанных на рисунке 18, а)-б) при следующих данных:

а) М=7 кН∙м, Р₁=6 кН,  Р₂=8 кН, q=3 кН/м;                                            

б) М=4 кН∙м,Р₁=10 кН, Р₂=12 кН, q=5 кН/м.

Ответ:  а) Х_А=3 кН, Y_А=8,49 кН, Х_В=-4,77 кН, Y_B=3,75 кН;

 б) Х_А=2,91 кН, Y_А=12,8 кН, Х_В=-2,52 кН, Y_B=8,23 кН.

Рисунок 17

Рисунок 18

Задача 2.9.  Определить реакции внешних связей составных конструкций, показанных на рисунке 19,а-б при следующих данных:

а) М₁=5 кН∙м, Р₁=3 кН, Р₂=4 кН,  q=2 кН/м;

б) М₁=10 кН∙м, Р₁=12 кН, Р₂=15 кН.

Ответ:  а) Х_А=-3 кН, Y_А=-2,4 кН, R_C=10 кН, Х_E=2,5 кН, Y_Е=-5 кН;

б) Х_А=-21 кН, Y_А=-4,3 кН, М_А=26,8 кН∙м, R_C=15,6 кН, R_E=5,3 кН.

Рисунок 19

3 Равновесие пространственных систем сил

Задача 3.1.  Определить реакции подшипников вала червячного редуктора, изображенного на рисунке 20, и уравновешивающий его момент М, если червяк находится под действием сил: F=3 кН, N=2 кН, Т₁=2T₂=6 кН, силы тяжести колес Р₁=0,5 кН, Р₂=0,4 кН, Р₃=0,3 кН, вес груза  Q=5 кН, вес вала  G =0,2 кН. Заданы размеры: a=d=1,8 м, b=c=1,4 м, R₁=0,6 м, R₂=0,4 м, R₃=0,5 м, угол α=30°.  

Рисунок 20

Решение. Рассмотрим равновесие вала. Покажем действующие на него заданные силы, неизвестный момент пары сил M  и реакции опор. Реакции подшипников А и В лежат в плоскостях, перпендикулярных оси вала, и поскольку направление реакций заранее неизвестно, разложим их на 2 составляющие по координатным осям: , и  (см. рисунок 21).  Для полученной пространственной системы сил составим 6 независимых уравнений равновесия:

Рисунок 21

Из уравнения моментов относительно оси x находим:

Из уравнения моментов относительно оси у:

Из уравнения моментов относительно оси z:

Из уравнения проекций сил на ось х:

Из уравнения проекций сил на ось z: 

Для проверки правильности решения введем новую систему координат Bx′y′z′  и составим дополнительные уравнения моментов:

Таким образом, реакции связей найдены верно.

Ответ: М=5,5 кН∙м, X_A = 1,75 кН, Z_A =-4,3 кН, X_B =-9,75 кН, Z_B =2,5 кН.

Задача 3.2.  Определить удерживающую вал в равновесии силу Р и реакции опор вала (см. рисунок 22, а-г) при следующих данных:

а) Q=2 кН, G=3 кН, r=R/2, a=b=1 м, c=0,3 м;

б) Q=8 кН, G=4 кН, r=0,4 м, R=0,5 м, a=2 м, b=1 м, c=3 м;

в) Т=4 кН, G=5 кН, r=0,3 м, R=0,4 м, a=1 м, b=3 м, c=2 м;

г) Q=18 кН, G=10 кН, r=0,1 м, R=0,3 м, a=4 м, b=3 м, c=1 м.

Ответ:  а) P=1 кН, X_A=-0,68 кН, Z_A=2,16 кН, X_B =0,27кН, Z_В = 2,16 кН;

б) P=5 кН, X_A=-2 кН, Z_A=-2,8 кН, X_B =-2 кН, Z_В = -0,13 кН;

в) P=5,2 кН, X_A=-2 кН, Z_A=-6,5 кН, X_B =-11,9 кН, Z_В = -5,5 кН;

г) P=4,9 кН, X_A=-0,3 кН, Z_A=9,35 кН, X_B =0,3 кН, Z_В =17,6 кН.

Рисунок 22

Рисунок 23

Задача 3.3.  Определить реакции стержней, поддерживающих плиту весом Q=10 кН  при действии на нее горизонтальной силы Р=6 кН (см. рисунок 23,а), если   а=4 м, b=3м, c=2,5 м.

Решение. Рассмотрим равновесие плиты. Покажем действующие на нее заданные силы и реакции стержней, предполагая их растянутыми (см. рисунок 23,б).  Найдем для углов:

Плита находится под действием пространственной системы сил, для которой составляется 6 уравнений равновесия. Проверку решения можно выполнить, составив уравнения моментов относительно осей y′ и z′. На рисунке 24 показано решение задачи в системе Mathcad, как видно на рисунке, проверка выполняется.

Ответ: N₁=5 кН, N₂=-9,43 кН, N₃=-10 кН, N₄=7,81 кН, N₅=9,43 кН, N₆=-10 кН.

Рисунок 24

                      Рисунок 25                                            Рисунок 26

Задача 3.4.  Определить реакции стержней, поддерживающих плиту весом G=6 кН  при действии на нее горизонтальной силы Q=3 кН (см. рисунок 25), если   а=3 м, b=5 м, c=4 м.

Ответ:  N₁ =-0,96 кН,   N₂ =-2,4 кН,   N₃ =0,75 кН,  N₄ =-1,2 кН,  N₅ =-2,88 кН, N₆ = =-0,75 кН.

Задача 3.5. Определить реакции жесткой заделки А, если  Q₁=Q₂=10 кН, а=2 м, b=3 м, c=1 м (см. рисунок 26).

Ответ: X_A = 10 кН, Y_A =- 5 кН, Z_A =-8,66 кН, M_Ax =-8,66 кН∙м, M_Ay=-43,3 кН∙м,  M_Az= =-15 кН∙м.

Задача 3.6. Определить реакции сферического шарнира А, петли В и стержня СD, удерживающих плиту весом G (см. рисунок 27, а-б), при следующих данных:  а) Q=8 кН, G=10 кН, а=5 м, b=1 м, c=3 м;

    б) Q=5 кН, G=3 кН, а=4 м, b=3 м.

Ответ:  а) X_A = -11,85 кН, Y_A =2,31 кН, Z_A =4,67 кН, X_B =3,85 кН, Z_B=1,33 кН, N_CD=4,62 кН;  б) X_A = 6,13 кН, Y_A =0, Z_A =-2,04 кН, X_B =-3,54 кН, Z_B=5,04 кН, N_CD =-7,08 кН.

Рисунок 27

Задача 3.7. Однородная прямоугольная рама ABCD весом 20 Н прикреплена к стене при помощи сферического шарнира А и петли В и удерживается в горизонтальном положении веревкой СЕ, как показано на рисунке 28. Определить натяжение веревки и опорные реакции.

Ответ: Т = 20 Н, X_A = 8,66 Н, Y_A =15 Н, Z_A =10 Н, Х_В =Z_В =0.

Задача 3.8. Однородная прямоугольная пластинка ABCD, опираясь на три точечные опоры, две из которых расположены в вершинах прямоугольника А и В, а третья в некоторой точке Е, удерживается в горизонтальном положении (см. рисунок 29).  Вес пластинки равен Р, давления на опоры в точках А и В соответственно равны Р/4  и  Р/5 . Найти давление на опору Е и координаты этой точки, если длины сторон пластины равны a и b.

Ответ:

4 Кинематика  точки

Задача 4.1. Точка движется равноускоренно из состояния покоя по окружности радиуса 100 м, при этом через 4 с от начала движения ее скорость равна 20 м/c. Определить скорость и ускорение точки в момент времени 6 с и пройденный за это время путь.

Решение. Из формулы скорости точки при равноускоренном движении определим  касательное ускорение точки:   Далее находим  скорость, нормальное и полное ускорения точки в момент времени t=6 с: 

Путь, пройденный точкой за это время, найдем  по формуле для равноускоренного движения

Ответ: v = 30 м/с, a = 10,3 м/с², s = 90 м.

Задача 4.2. Точка движется по дуге радиуса 50 м с переменным касательным ускорением 6t м/с², имея в начальный момент скорость 10 м/с.  Определить скорость, ускорение и перемещение точки через 5 с от начала движения.

Решение. Так как касательное ускорение точки равно первой производной по времени ее скорости, а скорость в свою очередь равна первой производной дуговой координаты (перемещения), то скорость и перемещение найдем путем интегрирования

Константы интегрирования находим из начальных условий, для этого подставим в полученные выше формулы начальные значения времени t=0, скорости v=10 м/с и перемещения s=0 и получим  

Окончательно формулы скорости и перемещения точки запишутся

При t=5 c  имеем

Касательное, нормальное и полное ускорения точки вычислим по формулам

Ответ: v = 85 м/с,   a = 147,6 м/с²,  s =175 м.

Задача 4.3.  При отходе от станции скорость поезда возрастает равномерно и достигает величины 72 км/ч через 3 мин после отхода; путь расположен на закруглении радиуса 800 м.  Определить касательное, нормальное и полное  ускорения поезда через 2 мин после отхода от станции.

Ответ:

Задача 4.4.  Поезд, имея начальную скорость 54 км/ч, прошел  600 м за 30 с.  Считая движение поезда равнопеременным, определить скорость и  ускорение поезда в этот момент времени, если путь находится на закруглении радиуса 1 км.

Ответ:  v = 25 м/с, a =0,708 м/с².

Задача 4.5.  Считая посадочную скорость самолета равной 400  км/ч, определить его замедление при посадке на пути 1200 м, приняв замедление постоянным.

Ответ:  a =5,15 м/с².

Задача 4.6. Точка движется по дуге окружности радиуса 2 м со скоростью v=30sin(2t) м/c. Определить ускорение точки в момент времени t=π/3 c.

Ответ: a =0,708 м/с².

Задача 4.7.  Заданы уравнения движения точки на плоскости: x=2t, y=4t²-3 (координаты заданы в сантиметрах, время в секундах). Найти траекторию точки, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории в момент времени t=1 c.

Решение. Для определения траектории точки исключим из уравнений ее движения время, для этого выразим из первого уравнения время  t=x/2 и подставим его во второе: y=4(x/2)²-3 или  y=x²-3.   Это уравнение параболы, симметричной относительно оси y и смещенной по оси x вниз на 3 см, ветви параболы  направлены вверх. Так как x>0 для любого t, траекторией точки является правая ветвь параболы (см. рисунок 30).  Положение точки в момент времени t=1 с определяется координатами: x=2 см, y=1 см.

Найдем проекции скорости и ускорения точки:

Вычислим модули скорости и ускорения точки  момент времени t =1 с : 

Касательное ускорение точки:  

Тогда в момент времени t=1 с      

Нормальное ускорение точки:

Радиус кривизны траектории 

Покажем в момент времени t=1 c векторы скорости, полного, касательного и нормального ускорения точки в выбранном масштабе (см. рисунок 30).

Решение данной задачи в Mathcad представлено на рисунке 31.

Ответ:  траектория – парабола y=x²-3, v=8,25см/с, a=8см/с², a_τ=7,76 см/с², a_n=1,94 см/с², ρ=35 см.

Задача 4.8.  По заданным уравнениям движения точки на плоскости  найти траекторию точки, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории в момент времени t₁. Координаты заданы в сантиметрах, время в секундах.

а)  x=10∙sin(π∙t), y=10∙cos(π∙t), t₁ =1/3 c;

б)  x=30∙cos(π∙t/2)+10, y=10∙sin(π∙t/2), t₁ =1/2 c;

в)  x=20∙sin(π∙t), y=4∙t, t₁ =1/6 c;   г)  x=10∙sin(π∙t), y=20∙cos(π∙t), t₁ =1/3 c.

Ответ:  а) окружность радиуса 10 см  с центром в начале координат, v = const = 31,4 см/с,  a_τ = 0, a = a_n = const = 98,6 см/с²,  ρ = 10 см;

б)    эллипс , v=35,1 см/с, a=55,1 см/с², a_τ=44,1 см/с², a_n=33 см/с², ρ=37,3 см;

в)   синусоида  x =20 sin(πy/2), v = 62,9 см/с, a=683,1 см/с², a_τ =-682см/с²,  a_n = 38,8 см/с², ρ = 102 см;

г)  парабола y= 10 - 1,25x², v=0, a_τ=0, a = a_n= 394,6 см/с²,  ρ=0.   

Рисунок 31

Задача 4.9. Найти траекторию, скорость и ускорение точки М, расположенной в середине шатуна АВ кривошино-ползунного механизма, изображенного на рисунке 32,а). Дано: ОА=АВ=l, АМ=МВ,  φ=ωt.

Решение. Так как  ОА=АВ, то для любого положения механизма ÐAOB=ÐABO=φ. Координаты точки М запишутся следующим образом:   

Рисунок 32

Решение. Так как  ОА=АВ, то для любого положения механизма ÐAOB=ÐABO=φ. Координаты точки М запишутся следующим образом:   

Уравнения движения точки М имеют вид: . Найдем уравнение траектории, исключив время t из уравнений движения:    

Найдем проекции и модуль скорости точки:

Максимальное и минимальное значения скорости: .

Найдем проекции и модуль ускорения точки:

,

где r – расстояние от точки М до начала координат О, т.е. ускорение точки пропорционально ее расстоянию до т.О. Найдем направляющие косинусы вектора ускорения:  . Отсюда следует, что ускорение направлено к т. О (см. рисунок 32,б).

Ответ:  эллипс   ,   , .

Задача 4.10.  Найти величину и направление ускорения, а также радиус кривизны траектории точки колеса, катящегося без скольжения по горизонтальной оси х (см. рисунок 33), если точка описывает циклоиду согласно уравнениям:  x = 20t - sin(20t), y = 1 – cos(20t). Здесь t – в секундах, x,y - в метрах.

Ответ:  ускорение a=400 м/с² и направлено по МС к центру колеса, ρ=2МА.

          Рисунок 33                                                  Рисунок 34

Задача 4.11. Найти траекторию точки М шатуна кривошипно-ползунного механизма, если r=l=60 см, МВ=l/3,  φ=4π∙t (t – в секундах), а также определить скорость, ускорение и радиус кривизны траектории точки в момент времени, когда  φ=0  (см. рисунок 34).

Ответ:   эллипс ,  v = 80π см/с,  a = 1600 π² см/с², ρ = 4 см.

Задача 4.12.  Снаряд движется в вертикальной плоскости согласно уравнениям:  x = 300t, y = 400t - 5t² (t – в секундах, x,y – в метрах). Найти скорость и ускорение снаряда в начальный момент времени, высоту и дальность обстрела, радиус кривизны траектории в начальной и наивысшей точке.

Ответ:  v₀=500 м/с,  a₀=10 м/с², h=8 км, s=24 км , ρ₀=41,67 км , ρ=9 км.

Задача 4.13.  Уравнения движения пальца кривошипа в период пуска имеют вид :  x = 75cos4t²,  y = 75sin4t² (t – в секундах, x,y – в сантиметрах). Найти скорость, касательное и нормальное ускорения пальца.

Ответ:  v=600t cм/с,  a_τ=600 cм/с²,a_n=4800t² cм/c².

Задача 4.14.  Движение точки задано уравнениями:  x=a(e^kt+e^-kt), y=a(e^kt- e^-kt), где a и k – заданные постоянные величины. Найти уравнение траектории, скорость и ускорение точки, как функции радиуса-вектора .

Ответ: гипербола x²-y²=4a²,  v=kr,  a=k²r.

5 Кинематика простейших движений твердого тела

Задача 5.1. Тело, получившее в начальный момент времени угловую скорость 10 рад/с, через 4 секунды имеет угловую скорость 30 рад/с. Считая вращение тела равнопеременным, найти количество оборотов за это время.

Решение. Используем формулы угловой скорости и угла поворота при равнопеременном вращении: w=w₀+et, j=j₀+w₀t+et²/2.  Из первой формулы определяем угловое ускорение тела: e=(w-w₀)/t =(30-10)/4=5 рад/c². Считая начальный угол поворота  j₀ равным нулю, определяем угол поворота за 4 секунды: j=j₀+w₀t+et²/2=10×4+ +5×4²/2=80 рад. Количество оборотов в минуту  N=j /2p=12,74 обор.

Ответ:  12,74 оборота.

Задача 5.2. Вал, вращающийся из состояния покоя равноускоренно, за первые 5 секунд делает 12,5 оборота. Найти его угловую скорость в этот момент времени.

Ответ:   10p  рад/с.

Задача 5.3. Тело с неподвижной осью вращения получает начальную угловую скорость 2p рад/с. Совершив 10 оборотов, тело вследствие трения в подшипниках остановилось. Считая вращение тела равнопеременным, найти  его угловое ускорение.

Ответ:   - 0,1p  рад/с².

Задача 5.4. Маховик, вращавшийся с частотой вращения n₀=90 об/мин, с некоторого момента начинает вращаться равноускоренно и через 1,5 мин достигает частоты вращения n=150 обор/мин.  Определить угловое ускорение маховика и количество совершенных им оборотов за 1,5 мин.

Ответ:  p/45  рад/с², 180 оборотов.

Задача 5.5. Тело вращается по закону:   Определить, за какое время от начала движения тело достигнет угловой скорости 70 рад/с и сколько оборотов оно успеет совершить за это время.

Ответ:  4,25 с, около 18 оборотов.

Задача 5.6. Заданы угловая скорость 1-го колеса   и радиусы колес: R₁=0,3 м,  R₂=0,2 м,  R₃=0,4 м  (см. рисунок 35,а). Найти в момент времени t=3 с  скорость и ускорение груза 4, а также скорость и ускорение точки А, лежащей на ободе 3-го колеса.

Решение. Вращение от 1-го колеса передается 2-му, при этом направления вращений противоположны (см. рисунок 35,б), а отношение их угловых скоростей обратно пропорционально отношению радиусов колес:

                                    Рисунок 35                                               Рисунок 36

Угловое ускорение 2-го колеса  Колесо 3 располагается на одной оси с колесом 2, поэтому их угловые скорости и угловые ускорения одинаковы:   Найдем скорость и ускорение груза 4 при t=3 c:   Скорость и ускорение точки А при t=3 c:

Направление полного ускорения точки А определим с помощью угла наклона вектора полного ускорения к радиусу:  .

Ответ:

Задача 5.7. Подвешенный на нити груз, опускаясь с ускорением a=2t м/с², приводит во вращение вал радиуса R=0,2 м (см. рисунок 36). Считая, что начальная скорость груза равна нулю, определить через 5 секунд от начала движения скорость, касательное и нормальное ускорения точки М, лежащей на поверхности вала.

Ответ:  v=25 м/с,

Задача 5.8. Колесо 1 начинает вращаться из состояния покоя с угловым ускорением  и приводит в движение колеса 2 и 3.  Заданы радиусы колес: R₁=0,6 м,  R₂=0,3 м,  r₂=0,2 м,  R₃=0,15 м  (см. рисунок 37). Найти в момент времени t=4 с  скорость, касательное  и  нормальное ускорения точки М, лежащей на его ободе.

Ответ:   

Задача 5.9. Груз 1 опускается по заданному закону x=x(t) (см. рисунок 38, а-б). Найти в момент времени t₁  скорость, касательное  и  нормальное ускорения точки М при следующих данных:

а) x=5t²-2t cм, t₁ =1 с, R₂=30 cм,  r₂=10 cм,  R₃=15 cм;

б) x=25t²+10t+40 cм, t₁ =2 с, R₂=40 cм,  r₂=20 cм,  R₃=80 cм,  r₃=18 cм;

в)  x=0,4t²-0,5t+0,3 м, t₁ =4 с, R₂=0,3 м,  r₂=0,15 м,  R₃=0,4 м.

Ответ: а)

 б)

 в) 

Задача 5.10. Редуктор скорости, служащий для замедления вращения и передающий вращение вала I валу II , состоит из четырех шестерен с соответствующим числом зубцов:  z₁=10, z₂=60, z₃=12, z₄=70.  Определить передаточное отношение механизма (см. рисунок 39).

Ответ:

                       Рисунок 39                                            Рисунок 40

Задача 5.11. Станок со шкивом А приводится в движение из состояния покоя бесконечным ремнем от шкива В электромотора (см. рисунок 40). Радиусы шкивов: r₁=75 см,  r₂=30 см. После пуска электромотора его угловое ускорение равно 0,4p рад/с². Пренебрегая скольжением ремня по шкивам, определить через какое время угловая скорость станка будет равна 10p  рад/с.

Ответ: 10 с.

Задача 5.12. В механизме стрелочного индикатора движение от рейки мерительного штифта 1 передается шестерне 2, на оси которой укреплено зубчатое колесо 3, сцепляющееся с шестерней 4, несущей стрелку (см. рисунок 41). Определить угловую скорость стрелки, если движение штифта задано уравнением x=asinkt  и радиусы зубчатых колес равны r₂, r₃ и r₄.

Ответ:

Задача 5.13. В механизме домкрата при вращении рукоятки  А начинают вращаться шестерни  1,2,3,4 и 5 , которые приводят в движение зубчатую рейку В домкрата (см. рисунок 42). Числа зубцов шестерен: z₁=10, z₂=60, z₃=12, z₄=70, радиус пятой шестерни r₅=4 см. Определить скорость рейки В, если рукоятка А вращается с угловой скоростью p  рад/с .

Ответ: 7,8 мм/с.

           Рисунок 41                  Рисунок 42                        Рисунок 43

Задача 5.14. Ведущий вал I фрикционной передачи (см. рисунок 43) вращается с угловой скоростью 20p  рад/с  и на ходу передвигается (направление указано стрелкой) так, что расстояние d меняется по закону d=(10-0,5t) см (t  в секундах). Радиусы колес r=5 см, R=15 см. Определить угловое ускорение вала II  как функцию расстояния d, а также ускорение точки на ободе колеса В в тот момент, когда d=r .

Ответ:

Задача 5.15. Для подъема груза  Р служит электрическая лебедка, состоящая из ведущего вала с насаженной на нем шестеренкой  с числом зубцов z₁ (см. рисунок 44). Груз поднимается при вращении ведомого вала, на который насажена шестеренка с числом зубцов z₂. При этом канат, на котором подвешен груз Р, наматывается на барабан радиусом R. Уравнение вращения ведущего вала имеет вид:  φ₁=2π∙t²  рад. Определить ускорение груза Р.

Ответ:

6  Плоское движение твердого тела

Задача 6.1. Механизм состоит из двух стержней и колеса, соединенных между собой с помощью шарниров (см. рисунок 45). Заданы размеры:  ОА=АВ=40 см, R=10 см, угловая скорость 1-го тела  ω₁=6 рад/с, колесо 3 катится без скольжения.  Найти в показанном на рисунке положении механизма скорости точек А, В, С, D, Е и угловые скорости 2-го и 3-го тел.

Решение. Стержень ОА вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через точку О, стержень АВ и колесо совершают плоское движение. Найдем скорость точки А: v_А=w₁·OA=240 см/с.  Вектор скорости точки А направим перпендикулярно ОА в сторону вращения 1-го тела (см. рисунок 46).  Точка В движется по горизонтальной прямой, поэтому можно показать направление ее скорости. Зная направления скоростей двух точек 2-го тела, можно найти  его мгновенный центр скоростей Р₂, как точку пересечения перпендикуляров к скоростям двух точек А и В.  Угловая  скорость 2-го тела находится по формуле: w₂=v_A/AP₂. Так как AP₂=АВ, получаем w₂=v_A/AВ=6 рад/с. Скорости точек В и С, принадлежащих 2-му телу, найдем по формулам: v_В=w₂·Р₂В, v_C=w₂·Р₂C.  Из геометрии находим

Тогда v_В=339,4 см/с, v_C=268,3 см/с.

Так как направление скорости точки В известно, ее можно было найти также по теореме о проекциях скоростей двух точек тела на прямую, проходящую через эти точки:  v_Вх= v_Ах или v_B·cos45°=v_A . Отсюда v_B=v_A/cos45°=339,4 см/с.

Так как колесо 3 катится без скольжения, то его мгновенный центр скоростей Р₃  находится в точке касания колеса о неподвижную плоскость. Найдем угловую скорость 3-го тела и скорости его точек:

Ответ: v_А=240 см/с, v_В=339,4 см/с, v_C=268,3 см/с, v_D=450 см/с, v_E=678,8 см/с.

Задача 6.2. В кривошипном механизме длина кривошипа ОА=40 см, длина шатуна АВ=2 м (см. рисунок 47). Кривошип вращается равномерно с угловой скоростью ω_OA=6π рад/с.  Найти  угловую скорость шатуна и скорость его средней точки М при четырех положениях кривошипа, для которых угол АОВ соответственно равен 0, π/2, π, 3π/2.

Ответ: I)  ω_АВ= -6π/5 рад/с, v_M=377 см/; II) ω_АВ= 0, v_M=754 см/; III)  ω_АВ= 6π/5 рад/с, v_M=377 см/с; IV) ω_АВ= 0, v_M=754 см/с.

                     Рисунок 47                                         Рисунок 48

                       Рисунок 49                                       Рисунок 50

Задача 6.4. Стержень ОВ вращается вокруг оси О с постоянной угловой скоростью ω=2 рад/с  и приводит в движение стержень АD, точки А и С которого движутся по осям (см. рисунок 48). Определить скорость точки D при φ=45°, если ОВ=АВ=ВС=СD=12 см.

Ответ: 53,7 см/с.

Задача 6.5. Определить скорость поршня Е приводного механизма насоса в положении, указанном на рисунке 49, если звено ОА=20 см,  О₁В=О₁D. Кривошип ОА вращается равномерно с угловой скоростью 2 рад/с.

Ответ: 46,2 см/с.

Задача 6.6. К середине D стержня AB шарнирного параллелограмма ОАВО₁ присоединен с помощью шарнира D стержень DЕ, приводящий в возвратно-поступательное движение ползун К. Определить скорость ползуна К и угловую скорость стержня DЕ в положении, указанном на рисунке 50, если ОА=О₁В=2DЕ=20 см, а угловая скорость звена ОА равна в данный момент 1 рад/с.

Ответ: v_K =40 см/с, ω_DЕ = 3,46 рад/с.

Задача 6.7. Найти угловую скорость шатуна АВ и скорости точек В, С в показанном на рисунке 51 положении механизма, если ω_ОА=5 рад/с, ОА=40 см, АВ=70 см, ВС=20 см. 

Ответ: ω_АВ = 2 рад/с, v_В =141 см/с, v_С = 146 см/с.

                Рисунок 51                                                 Рисунок 52

Задача 6.8. Заданы угловые скорости колеса I  и водила ОА:  ω_I=3 рад/с,  ω_ОА=4 рад/с. Найти угловую скорость колеса II  и скорости его точек В, С, если ОА=60 см, r=20 см, АС=15 см (см. рисунок 52). 

Ответ: ω_II = 18 рад/с, v_В =433 см/с, v_С = 197 см/с.

Задача 6.9. Колесо радиуса R=0,4 м катится без скольжения по неподвижной плоскости с замедлением, имея в данный момент времени v_С=3м/с, а_С=2 м/с² ( см. рисунок 53,а).  Определить в рассматриваемый момент скорости и ускорения точек  колеса А, В и D. 

Рисунок 53

Решение. Так как колесо  катится без скольжения, то его мгновенный центр скоростей Р  находится в точке касания колеса о неподвижную плоскость (см. рисунок 53,б). Найдем угловую скорость колеса:  Скорости точек колеса:

Угловое ускорение колеса находим как производную по времени от его угловой скорости:  Так как движение колеса замедляется, то направление углового ускорения противоположно направлению угловой скорости (см. рисунок 53,в).

Ускорения точек найдем по теореме об ускорениях точек тела при плоском движении:  Здесь  Вектор  и направлен в соответствии с направлением ε, вектор  направлен от точки А к полюсу С. Аналогично находим для других точек колеса:  

Для определения ускорений точек, проецируем векторные равенства для их ускорений на оси х и у:

Модуль ускорения точки А:

Аналогично найдем ускорения точек B и D:

Ответ: v_А=4,23 м/с, v_В=5,2м/с, v_D=6 м/с, a_А=20,6м/с², a_В=24,4м/с², a_D=22,9м/с².

          Рисунок 54                     Рисунок 55                               Рисунок 56

Задача 6.10.  Колесо катится без скольжения в вертикальной плоскости по наклонному прямолинейному пути (см. рисунок 54). Найти ускорения двух взаимно перпендикулярных концов диаметров колеса, один из которых параллелен рельсу,  если  в  рассматриваемый момент скорость  центра  колеса  v_О=1 м/с, ускорение центра колеса  а_О=3 м/с² , радиус колеса R=0,5 м. 

Ответ: а_М1=2 м/с² , а_М2=3,16 м/с² , а_М3=6,32 м/с² , а_М4=5,83 м/с² .

Задача 6.11.  Найти угловую скорость и угловое ускорение колеса, катящегося без скольжения по неподвижной поверхности, а также скорости и ускорения его точек В и С, если ω_ОА=2 рад/с, ε_ОА=6 рад/с², ОА=0,6 м, r=0,4 м, АC=0,2 м (см. рисунок 55). 

Ответ: ω=3 рад/с, ε=9 рад/с², v_В =0,6 м/с, v_С = 1,6 м/с, а_B=7,5 м/с², а_C=3,4 м/с².

Задача 6.12.  Найти угловую скорость и угловое ускорение колеса, катящегося без скольжения по неподвижному колесу, а также скорости и ускорения его точек В и С,  если ω_ОА=4 рад/с, ε_ОА=2 рад/с², ОА=1 м, r=0,4 м, АC=0,3 м (см. рисунок 56). 

Ответ: ω=10 рад/с, ε=5 рад/с², v_В =8 м/с, v_С =4 м/с, а_B=56,1 м/с², а_C=33,7 м/с².

Задача 6.13. Кривошип ОА шарнирно-рычажного механизма вращается с постоянной угловой скоростью ω_ОА=2 рад/с (см. рисунок 57,а).  Определить в изображенном положении механизма угловые скорости и угловые ускорения звеньев АВ и ВD, а также скорости и ускорения его точек В и С, если ОА=20 см, АВ=ВD=30 см. 

Рисунок 57

Решение. Найдем скорость точки А: v_А=w₁·OA=40 см/с.  Вектор скорости точки А направим перпендикулярно ОА в сторону вращения кривошипа (см. рисунок 57,б).  Так как точка В принадлежит вращающемуся звену ВD, направление ее скорости известно. Зная направления скоростей двух точек звена АВ, найдем  его мгновенный центр скоростей Р_АВ, как точку пересечения перпендикуляров к скоростям двух точек А и В.  Угловая  скорость звена АВ находится по формуле: w_АВ=v_A/AP_АВ. Так как AP_АВ=2АВ, получаем w_АВ=v_A/(2AВ)=2/3 рад/с. Скорости точек В и С, принадлежащих звену АВ, найдем по формулам: v_В=w_АВ·ВР_АВ, v_C=w_АВ·СР_АВ.  Из геометрии    Тогда v_В=34,6 см/с, v_C=36,1 см/с.

Найдем угловую скорость звена BD: w_ВD = v_B / BD = 1,15 рад/с.

Ускорение точки А кривошипа:  где нормальное ускорение и направлено к оси вращения О, касательное ускорение   так как ω_ОА=const. Ускорение точки В, принадлежащей вращающемуся звену ВD, находится по формуле:  где нормальное ускорение  и направлено к оси вращения D, а касательное ускорение  неизвестно по величине, но известно, что  выберем направление вектора , как показано на рисунке 57,в.

Ускорение точки В можно найти по теореме об ускорениях точек тела при плоском движении, приняв за полюс точку А:   или . Здесь  вектор    направлен от точки В к полюсу А.  Вектор, а его величина определяется по формуле, где пока неизвестно. Направим ось х по АВ, ось у перпендикулярно АВ и спроецируем векторное равенство для ускорений на координатные оси (см. рисунок 57,в). Получаем два уравнения:

на х:        на у:

Из первого равенства находим:  Тогда модуль ускорения точки В: ,  угловое ускорение звена ВD: , где отрицательный знак показывает, что вращение звена BD в данный момент замедляется. 

Из второго равенства найдем: . Тогда угловое ускорение звена АВ :

Найдем теперь ускорение точки С по той же теореме, принимая за полюс точку А: . Здесь  вектор и направлен в ту же сторону, что и , поскольку  положительно,  вектор    направлен от точки С к полюсу А.  Проецируем векторное равенство для ускорений на координатные оси:

Модуль ускорения точки С:

Ответ: w_АВ=0,67 рад/с, ε_АВ=0,99 рад/с²,  w_ВD= 1,15 рад/с, ε_ВD=-0,89 рад/с²,  v_В=34,6 cм/с, v_C=36,1 cм/с,  a_B=47,8 cм/с², a_C=63,8 cм/с².

Задача 6.14.  Найти скорости и ускорения точек В и С в показанном положении (см. рисунок 58, а-в) при следующих данных:

а) ω_ОА=1 рад/с, ε_ОА=2 рад/с², ОА=0,4 м, АВ=0,7 м, АC=0,3 м;

б) v_А=10 м/с, а_С=30 м/с² , АВ=1 м, АC=0,6 м;

в) ω_ОА=2 рад/с, ε_ОА=3 рад/с², ОА=0,3 м, АВ=1  м, АC=0,5 м.

Ответ:  а) v_В =0,35 м/с, v_С =0,37 м/с, а_B=0,44 м/с², а_C=0,89 м/с²;

 б) v_В =5,78 м/с, v_С =5,29 м/с, а_B=136,7 м/с², а_C=94,3 м/с²;

 в) v_В =0,52 м/с, v_С =0,54 м/с, а_B=0,27 м/с², а_C=0,77 м/с².

Рисунок 58

7  Сложное движение точки

Задача 7.1. Кривошип ОА=r вращается в плоскости чертежа вокруг неподвижной точки О согласно уравнению φ=kt  (см. рисунок 59,а). Ползун А при этом перемещается в наклонной кулисе В, которая может перемещаться поступательно вдоль оси Ох. Угол наклона кулисы к оси  Ох равен α. Найти абсолютную, относительную и переносную скорость точки А. 

Решение. Свяжем систему координат О₁х₁у₁  с кулисой В и рассмотрим движение точки А, как сложное, состоящее из двух движений. Движение точки А вместе с подвижной системой координат О₁х₁у₁ является переносным, ее переносная скорость  равна скорости кулисы и направлена параллельно оси х. Движение точки А относительно подвижной системы координат О₁х₁у₁, т.е движение по отношению к кулисе, является относительным, относительная скорость точки  направлена вдоль кулисы. Движение точки А относительно неподвижной системы координат Оху является абсолютным, по данным задачи можно найти ее абсолютную скорость:  Вектор абсолютной скорости точки А  направлен перпендикулярно ОА в сторону вращения кривошипа.

                                       Рисунок 59                                                 Рисунок 60

По теореме о сложении скоростей . Начнем построение с вектора абсолютной скорости , известной по величине и направлению, с начала вектора  проведем линию, параллельную относительной скорости , с конца - линию, параллельную переносной скорости  , в результате получим треугольник, расставим в нем стрелки векторов согласно теореме о сложении скоростей (см. рисунок 59,б).  По теореме синусов имеем

 или

Отсюда

Ответ:

Задача 7.2. Шары центробежного регулятора Уатта (см. рисунок 60), вращающегося вокруг вертикальной оси с угловой скоростью ω=10 рад/с, благодаря изменению нагрузки машины отходят от этой оси, имея для своих стержней в данном положении угловую скорость ω₁=1,2 рад/с. Найти абсолютную скорость шаров регулятора в данный момент, если длина стержней l=50 см, расстояние между осями их привеса 2e=10 см, углы, образованные стержнями с осью регулятора α₁=α₂=α=30°.

Ответ: 306 см/с.

Задача 7.3. Корабль плывет на юг со скоростью км/час. Второй корабль идет курсом на юго-восток со скоростью 30 км/час. Найти величину и направление скорости второго корабля, определяемые наблюдателем, находящемся на палубе первого корабля.

Ответ: v_r =30 км/час, скорость направлена на северо-восток.

Задача 7.4. В кулисном механизме при качании кривошипа  ОС вокруг оси О, перпендикулярной плоскости чертежа, ползун А, перемещаясь вдоль кривошипа ОС, приводит в движение стержень АВ, движущийся в вертикальных направляющих К (см. рисунок 61). Расстояние ОК=l . Определить скорость движения ползуна А относительно кривошипа ОС в функции от угловой скорости ω и угла поворота кривошипа φ.                                                                            

Ответ:                                                              

 Задача 7.5. В кривошипно-кулисном механизме с поступательно движущейся кулисой  ВС кривошип ОА, расположенный позади кулисы (см. рисунок  62), длины ОА=0,2 м вращается с постоянной угловой скоростью 3π рад/с. Концом А, соединенным шарнирно с камнем, скользящим в прорези кулисы, он сообщает кулисе возвратно-поступательное движение. Определить скорость кулисы в момент, когда кривошип образует с осью кулисы угол 30°.                                     

Ответ:  0,942 м/с.                                                            

Задача 7.6. Квадратная плита А движется по вертикали согласно уравнению z₁=3t-t² м (см. рисунок 63,а). Находящаяся на плите точка М движется по дуге радиуса R=0,3 м согласно уравнению  s=OM=0,1π∙t² м (s измеряется по дуге). Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени t=1 c.

Рисунок 63

Решение. Движение точки М является сложным, ее движение по плите является относительным, а движение вместе с плитой – переносным. По теореме о сложении скоростей , по теореме о сложении ускорений .

Рассмотрим относительное движение точки М. Положение точки на плите можно определить с помощью центрального угла дуги: φ=s/R. Относительные скорость и ускорение точки М определяются по формулам:   

При t=1с  имеем:

s=0,1π, φ=s/R=π/3=60°,  

Рассмотрим переносное движение точки М. Так как движение плиты А является поступательным, переносная скорость и переносное ускорение точки М равны соответственно скорости и ускорению плиты:  В рассматриваемый момент  В случае поступательного переносного движения кориолисово ускорение точки равно нулю: а_с=0.

Покажем в рассматриваемый момент времени положение точки М, векторы ее относительной и переносной скорости, относительного касательного, относительного нормального и переносного ускорений, как показано на рисунках 63,а-б.

Проецируем векторные равенства абсолютной скорости и абсолютного ускорения на координатные оси  y и  z:

Найдем модуль абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки М:

Ответ: v=1,42 м/с, а=3,04 м/с².

Задача 7.7.  На тележке, движущейся по горизонтали вправо с ускорением  а=49,2см/с, установлен электрический мотор, ротор которого при пуске в ход вращается согласно уравнению φ=t² , где угол φ измеряется в радианах (см. рисунок 64). Радиус ротора равен 20 см. Определить абсолютное ускорение точки А, лежащей на ободе ротора, при t=1 c, если в это момент точка А находится в положении, указанном на рисунке.                                                                           

Ответ: а_А =74,6 см/с², ускорение направлено по вертикали вверх.

Задача 7.8. Точка  М  движется по телу D согласно уравнению s_r=OM=16-8cos(3π∙t) cм, которое, в свою очередь, вращается вокруг вертикальной оси согласно уравнению φ_е=0,9t²-9t³ рад ( см. рисунок 65,а).  Определить при t₁=2/9 c  абсолютные скорость и ускорение точки М.

Решение. Будем считать, что в заданный момент времени плоскость рисунка совпадает с плоскостью треугольника D. Относительные скорость и ускорение точки М определяются по формулам:   При t₁=2/9c имеем: s_r=16-8cos(3π·2/9)=20см,  Вектор направлен в сторону положительных значений s_r , а вектор  направлен в противоположную сторону, так как  отрицательно (см. рисунки 65,б-в).

Рассмотрим переносное движение точки М, т.е. движение той точки тела D, с которой в данный момент времени совпадает точка М.  Траекторией этого движения является окружность L  радиуса R=s_r·sin30°=10 см.  Переносные скорость и ускорение точки М определяются по формулам: , где   При t₁=2/9c имеем:   Отрицательные значения ω_е и ε_е означают, что их направления противоположны направлению отсчета угла φ_е. Модуль вектора переносной скорости   вектор  направлен по касательной к траектории переносного движения в сторону ω_е. Модули переносных ускорений Вектор  направлен так же, как , вектор направлен к центру окружности L.

Рисунок 65

Вектор кориолисова ускорения точки равен  Найдем величину кориолисова ускорения: где угол С учетом найденных значений получаем а_с=61 см/с². Направление кориолисова ускорения можно найти по правилу векторного произведения или по правилу Жуковского. Для определения направления по правилу Жуковского проецируем вектор на плоскость, перпендикулярную оси переносного вращения, и затем повернем полученный вектор на 90° в сторону переносного вращения (см. рисунок 65,в).

По теореме о сложении скоростей . Так как  , то модуль абсолютной скорости  

По теореме о сложении ускорений  или  .  Найдем абсолютное ускорение способом проекций:

Ответ: v=65,9 см/с, а=395 см/с².

Задача 7.9. Найти абсолютную скорость и абсолютное  ускорение точки М в момент времени t₁ (см. рисунок 66,а-в) при следующих данных:

а) φ_e=π∙t(2-3t) рад, ОM=30t² cм, t₁=1 c;

б) φ_e=0,5t² рад, ОM=20sin(π∙t) cм, t₁=1/3 c;

в) φ_e=4t² рад, ОM=πRt² cм, R=a=10 см, t₁=1/2 c.

Ответ:  а) v=134 cм/с, а=782 cм/с²;    б) v= 31,9 cм/с, а=177 cм/с²;

  в) v=61 cм/с, а=297 cм/с².

Рисунок 66

Задача 7.10.  По радиусу диска, вращающегося вокруг оси О₁О₂ с угловой скоростью ω=2t рад/с, в направлении от центра диска к его ободу движется точка М по закону  OM=4t² см (см. рисунок 67).  Радиус ОМ составляет  с осью О₁О₂ угол 60°. Найти величину абсолютного  ускорения точки М  в момент времени t=1с.                                                                     

Ответ:  а= 35,56 cм/с².                                                    

8  Динамика точки

Задача 8.1. Материальная точка М массой m=1 кг движется в вертикальной плоскости xOz под действием силы притяжения к началу координат , где - радиус-вектор точки, коэффициент пропорциональности  c=4 Н/м (см. рисунок 68,а). Начальные координаты точки x₀=0, z₀=10 м, начальная скорость точки v₀=20 м/с направлена горизонтально. Найти уравнения движения и траекторию точки М.                                                  

Решение.  Покажем действующие на материальную точку силы: силу тяжести и силу притяжения  (см. рисунок 68,б).  Так как действующие силы и начальная скорость точки расположены в плоскости xOz, движение точки будет происходить в этой плоскости. Запишем уравнение движения точки в векторном виде:   или Проецируем уравнение движения на координатные оси:  Так как   дифференциальные уравнения движения точки примут вид:

 или

Окончательно запишем дифференциальные уравнения движения в виде:

  где

Первое уравнение является однородным дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Составим характеристическое уравнение  и найдем его корни: где  Так как корни мнимые, то общее решение дифференциального уравнения имеет вид:   x=C₁coskt+C₂sinkt. Для определения констант интегрирования надо найти производную координаты, т.е. проекцию скорости на ось х:  Подставим начальные условия движения t=0, x₀=0, v_0x=20 в полученные выражения для координаты и проекции скорости точки: 0=С₁, 20=С₂ .   Тогда С₁= 0, С₂=10.  Получаем уравнение движения по оси х:  x=10sin2t  м.

Второе дифференциальное уравнение движения является неоднородным, его общее решение ищем в виде: z = z_о.о.+ z_част., где общее решение соответствующего однородного уравнения такое же, как для первого уравнения:  z_о.о =C₃coskt+C₄sinkt . Частное решение данного уравнения ищем по виду правой части в виде: z_част.=А. После подстановки частного решения в дифференциальное уравнение получаем  Общее решение принимает вид:  Найдем проекцию скорости на ось z:  Подставим начальные условия движения t=0, z₀=10, v_0z=0  в полученные выражения для координаты и проекции скорости точки: 10=С₃ –g/k², 0=С₄k . Тогда С₃= 10+ g/k²=12,45, С₄=0.  Получаем уравнение движения по оси z:  z = 12,45cos2t - 2,45  м.

Таким образом, точка движется согласно уравнениям:      x =10sin2t  м ,   z =12,45cos2t - 2,45  м.  Исключив время из уравнений движения, получим уравнение траектории точки:

Как видно, траекторией точки является эллипс, центр которого А смещен от начала координат по оси z на 2,45 м вниз. Полуоси эллипса: горизонтальная а=10 м, вертикальная b=12,45 м (см. рисунок 69).

Ответ: x=10sin2t  м ,   z=12,45cos2t - 2,45  м,

уравнение траектории                                         

Задача 8.2. Найти уравнения движения точки по условию задачи 8.1 с учетом силы сопротивления среды, пропорциональной скорости точки:  где  μ=2 Нс/м.

Ответ:     

Задача 8.3. Решить задачу 8.1 с учетом силы сопротивления среды, пропорциональной квадрату скорости точки:  где  μ=0,2 кг/м.

Решение.  Проекции силы сопротивления на координатные оси равны:  где модуль скорости . С учетом этого дифференциальные уравнения движения точки примут вид:  или окончательно:

Полученные дифференциальные уравнения являются нелинейными, получить их аналитическое решение не представляется возможным. Численное решение можно получить в системе Mathcad.  Для этого дифференциальные уравнения движения надо записать в виде системы дифференциальных уравнений 1-го порядка:    Тогда вектор неизвестных имеет вид .

В Mathcad имеется несколько встроенных функций решения задачи Коши (решения дифференциальных уравнений с начальными условиями).  Решение проведем с помощью встроенной функции rkfixed(U0,0,t2,200,DU), реализующей метод Рунге-Кутта с фиксированным шагом. Здесь первый параметр означает начальный вектор, второй и третий параметры – интервал интегрирования, 200 – число шагов интегрирования, последний параметр – векторная функция, задающая систему дифференциальных уравнений. Результатом численного решения будет матрица значений координат точки x, z  и проекций скорости v_x , v_z  на отрезке времени [0,t₂] с шагом

Рисунок 70

Для построения графиков необходимо по найденным дискретным значениям  переменных получить их функции от времени путем интерполяции. Используем линейную интерполяцию с помощью встроенной функции  вида linterp(x,y,t), которая возвращает значение в точке t линейного интерполяционного многочлена векторов х и у. Решение в  Mathcad представлено на рисунке 70. Здесь видно, что точка движется по спирали.

Задача 8.4. Материальная точка массы m совершает прямолинейное движение под действием силы, изменяющейся по закону F=F₀cosωt, где F₀ и ω –постоянные величины. В начальный  момент точка имела скорость v₀. Найти уравнение движения точки. 

Ответ:                                                              

Задача 8.5. Частица массы  m, несущая заряд электричества e, находится в однородном электрическом поле с переменным напряжением E=Asinkt  (A и k – заданные постоянные). Определить движение частицы, если известно, что в электрическом поле на заряженную частицу действует сила F=eE, направленная в сторону напряжения  Е. Влиянием силы тяжести пренебречь, начальное положение частицы принять за начало координат, начальная скорость равна нулю.

Ответ:               

Задача 8.6. Тело массы  m=100 кг  движется под действием направленной  вверх  по наклонной плоскости переменной силы F=120(6+t) Н (см. рисунок 71). Коэффициент трения скольжения f=0,1. Определить скорость тела при  t=3 c, если его начальная скорость равна нулю.          

Ответ:  9,75 м/с.                                                           

Задача 8.7.  Точка массы m  движется в горизонтальной плоскости xOу под действием силы отталкивания от начала координат , где - радиус-вектор точки. В начальный момент точка находилась в М₀(а,0) и имела скорость v₀ , направленную параллельно оси у.  Определить траекторию точки.

Ответ:  (гипербола).

Задача 8.8.  Тело массы 2 кг, брошенное вертикально вверх со скоростью 20 м/с, испытывает сопротивление воздуха, которое при скорости v м/с  равно  0,4v H. Найти, через сколько секунд тело достигнет наивысшего положения.

Ответ:  1,71с.

Задача 8.9. По шероховатой наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол 30°, спускается тяжелое тело без начальной скорости. Определить за какое время тело пройдет путь 39,2 м, если коэффициент трения скольжения f=0,2.                                                    

Ответ:  5 с.

Задача 8.10. Масса поезда без локомотива равна 2·10⁵ кг . Двигаясь по горизонтальному пути равноускоренно, поезд через 60 с от начала движения приобрел скорость 15 м/с. Сила трения равна 0,005 веса поезда. Определить натяжение стяжки между поездом и локомотивом.                                                                                    

Ответ:  59800 Н.

Задача 8.11. Груз массы М=600 кг посредством ворота поднимают по наклонному шурфу, составляющему угол 60° с горизонтом (см. рисунок 72). Коэффициент трения груза о поверхность шурфа  f=0,2. Ворот радиуса 0,2 м вращается по закону φ=0,4t³. Найти натяжение троса как функцию времени.                                                                           

 Ответ:  (5,68+0,288t) кН.                                                                                                  

Задача 8.12.  Тело массы 50 кг  подвешено на нити. Точка привеса нити движется равноускоренно сверху вниз и за время t=2 с  проходит 5 м. Определить силу натяжения нити.

Ответ:  615 Н.

Задача 8.13.  Гиря массы 0,2 кг  подвешена к концу нити длины 1 м. Вследствие толчка гиря получила горизонтальную скорость 5 м/с. Определить силу натяжения нити непосредственно после толчка.

Ответ:  6,96 Н.

Задача 8.14. Автомобиль массы   1000 кг  движется по выпуклому мосту с постоянной скоростью 10 м/с. Радиус кривизны в середине моста ρ=50 м. Определить силу давления автомобиля на мост в момент прохождения его через середину моста.

Ответ:  7800 Н.

Задача 8.15.  Груз массы 1 кг  подвешен на нити длины 0,5 м.  В начальный момент груз отклонен от вертикали  на угол 60° , и ему сообщена скорость в вертикальной плоскости по перпендикуляру к нити вниз, равная 2,1 м/с.  Определить натяжение нити в самом нижнем положении груза и высоту, на которую груз поднимется над этим положением.

Ответ:  28,4 Н, 47,5 см.

Задача 8.16.  Шарик массы 0,2 кг  движется в трубке из положения А, имея начальную скорость v_A=3 м/с (см. рисунок 73).  Определить скорость шарика в положениях В и С, а также давление шарика на трубку в положении С, если R=3 м , α=45°, время движения на участке АВ равно t=4 с. Трением пренебречь.

Ответ:    v_B=16,9 м/с, v_C= 15,6 м/с, N=16,3 Н.

Задача 8.17. Парашютист  массы 70 кг  выбросился из самолета и, пролетев 100 м, раскрыл парашют.  Найти силу натяжения стропов, на которых человек подвешен к парашюту, если в течение первых 5 с с момента раскрытия парашюта скорость парашютиста уменьшилась до 4,3 с. Сопротивлением воздуха движению человека пренебречь.

Ответ:  1246 Н.

9  Динамика системы

Задача 9.1. Механическая система, состоящая из связанных между собой невесомой нерастяжимой нитью трех тел, под действием сил тяжести приходит в движение из состояния покоя, начальное положение системы показано на рисунке 74,а.  Заданы массы тел m₁=m, m₂=m/2, m₃=m/3, радиусы внешнего и внутреннего обода 3-го колеса R₃=30 см и r₃=20 см, коэффициент трения скольжения f=0,2, коэффициент трения качения δ=0,1 см,  углы α=30°, β=45°.  Масса 2-го тела равномерно распределена по его ободу, радиус инерции 3-го колеса относительно оси, проходящей через его центр масс, равен  i₃=20 см. Найти скорость тела 1 в тот момент, когда пройденный им путь станет равным s=2 м.

Рисунок 74

Решение. Применим теорему об изменении кинетической энергии системы в конечной форме: , то есть изменение кинетической энергии  системы на каком-то ее перемещении равно сумме работ действующих на систему внешних и внутренних сил на этом перемещении. В начальный момент система находилась в покое, поэтому Т₀=0. Все тела системы являются абсолютно жесткими, а нить – нерастяжимой, поэтому внутренние силы работу не совершают:  Тогда теорема запишется в виде:  

Кинетическую энергию системы в конечном положении найдем как сумму кинетических энергий тел, входящих в систему: .  Груз 1  движется поступательно, блок 2 вращается вокруг неподвижной оси, колесо 3 совершает плоскопараллельное движение.  Тогда   ,  где моменты инерции тел  

Выразим все скорости и угловые скорости через искомую скорость 1-го тела, учитывая, что колесо 3 катится без скольжения, и точка его касания о плоскость является мгновенным центром скоростей:      С учетом этого 

Окончательно 

Покажем действующие на механическую систему внешние силы (см. рисунок 74,б) и найдем сумму работ внешних сил. Заметим, что так как; работа сил, приложенных к блоку 2, также равна нулю, так как они приложены в неподвижной точке; сила сцепления  F_сц и N₃ работу не совершают, т.к. приложены в мгновенном центре скоростей колеса 3. Тогда  Здесь  работа сил тяжести   работа силы трения скольжения   работа момента сопротивления качению   Найдем силу трения  и момент сопротивления качению   Соотношения между перемещениями тел такие же, как между скоростями, поэтому имеем    С учетом этого . Окончательно  

Подставив полученные выражения в теорему об изменении кинетической энергии, получаем

Ответ: 

Рисунок 75                                      Рисунок 76

Задача 9.2. Механическая система движется из состояния покоя под действием постоянной силы F=20 Н, приложенной к грузу 1 массы m₁=4 кг (см. рисунок 75).  Тело 2 считать однородным сплошным цилиндром массы m₂=8 кг, колесо 3 катится без скольжения, его масса m₃=5 кг равномерно распределена по ободу, коэффициент трения скольжения  f=0,1,  углы α=45°, β=60°.  Нить считать невесомой и нерастяжимой, сопротивлением качению колеса и  трением в подшипниках пренебречь. Найти скорость тела 1 в тот момент, когда пройденный им путь станет равным s=1 м.

Ответ: 

Задача 9.3. Механическая система приходит в движение из состояния покоя под действием сил тяжести (см. рисунок 76).  Блок 2 и четыре колеса 3 тележки считать однородными дисками, нить - невесомой и нерастяжимой, сопротивлениями движению пренебречь.  Найти скорость тела 1 в зависимости от пройденного им пути s, если массы равны m₁=m, m₂=m/2, m₃=m/8, m₄=m/2.

Ответ: 

Задача 9.4. На вал диаметром  60 мм насажен маховик диаметром 50 см, делающий 180 обор/мин.  Определить коэффициент трения скольжения f  между валом и подшипниками, если после выключения привода маховик сделал 90 оборотов до остановки. Массу маховика считать равномерно распределенной по его ободу. Массой вала пренебречь.

Ответ:    f=0,07.        

Задача 9.5. Какой путь проедет велосипедист, не вращая педалями, до остановки, если в начальный момент он двигался со скоростью  9 км/час? Общая масса велосипедиста и велосипеда 80 кг, масса каждого из колес 5 кг. Массу каждого колеса считать равномерно распределенной по ободу радиуса 50 см.  Коэффициент трения качения колес о землю равен 0,5 см.

Ответ:  35,6 м.        

Задача 9.6. Скорость автомашины, движущейся по прямой горизонтальной дороге, возросла от v₁ до v₂  за счет увеличения мощности мотора. При этом был пройден путь  s.  Вычислить работу, совершенную мотором на этом перемещении  автомашины, если  Р₁  - вес каждого из четырех колес, Р₂  -вес кузова, v₁ – радиус колес, f_к  - коэффициент трения качения колес о шоссе. Колеса, катящиеся без скольжения, считать однородными сплошными дисками. Кинетической энергией всех деталей, кроме колес и кузова, пренебречь.

Ответ: 

Рисунок 77

Задача 9.7. Механическая система движется под действием вращающего момента М=300+2t  Нм,  приложенного к колесу 1 (см. рисунок 77,а).  К ведомому колесу 2 приложен момент сопротивления М_с=150 Нм.  В начальный момент времени угловая скорость 1-го колеса равна ω_1,0=4 рад/с, начальный угол поворота φ_1,0=0 . Заданы массы тел m₁=10 кг, m₂=30 кг, m₃=50 кг, радиусы колес R₁=20 см, R₂=60 см, r₂=40 см, радиус инерции 2-го колеса относительно его  оси вращения  i_2z=50 см.  Колесо 1 считать однородным диском, другими сопротивлениями движению пренебречь . Найти уравнение движения колеса 1, а также натяжение нити, на которой подвешен груз, и окружное усилие в точке касания колес в момент времени t=2 c.

Решение. Рассмотрим движение каждого тела системы в отдельности (см. рисунок 77,б-г). Покажем действующие на них силы и запишем уравнения движения тел.

Дифференциальное уравнение вращения колеса 1 имеет вид: , где    Дифференциальное уравнение вращения колеса 2 имеет вид: , где    Дифференциальное уравнение поступательного движения груза 3 имеет вид: , где . Учитывая, что , получаем систему дифференциальных уравнений:   

В этих уравнениях можно выразить угловое ускорение 2-го колеса и ускорение груза 3 через угловое ускорение колеса 1, пользуясь такими же соотношениями, как и для скоростей: Тогда будем иметь три уравнения с тремя неизвестными. Сначала можно из третьего уравнения выразить натяжение нити  и подставить во второе уравнение:  Отсюда можно выразить окружное усилие   и подставить в первое уравнение:  После подстановки выражений для  и , получаем . Отсюда выразим угловое ускорение 1-го колеса:

или .

Подставив выражения моментов инерции и заданные величины, получим:

Проинтегрируем два раза:  Подставив сюда начальные условия движения t=0, ω_1,0=4 рад/с, φ_1,0=0, получим С₁=4, С₂=0. Окончательно уравнение движения 1-го колеса запишется:

Найдем натяжение нити и окружное усилие:

При t=2 c  получим  

Ответ: 

Задача 9.8. Маховик с моментом инерции относительно неподвижной оси вращения, равным J=15 кгм², разгоняется из состояния покоя при действии  постоянного вращающего момента М_вр=75 Нм. Пренебрегая сопротивлениями установить, через какое время маховик приобретает заданную частоту вращения n=150 обор/мин.                                                  

Ответ:  π с.

Задача 9.9. Натяжения ведущей и ведомой ветвей ремня, приводящего во вращение шкив радиуса r=20 см и массы m=3 кг, соответственно равны: Т₁=10 Н, Т₂=5 Н. Чему равен момент сил сопротивления, если угловое ускорение шкива ε=1,5 рад/с?  Шкив считать однородным диском.                                               

Ответ:    0,91 Нм.

Задача 9.10. Тормозной шкив, масса которого m=2 кг, диаметр d=0,8 м, имеет форму сплошного диска и вращается по инерции с угловой скоростью ω₀=10 рад/с.  Для остановки вала к шкиву прижимают тормозную колодку с силой  Q=5 Н.  Через сколько секунд вал остановится и сколько оборотов он сделает до остановки, если коэффициент трения колодки о шкив f=0,4? Трением в подшипниках вала и массой вала пренебречь.

Ответ:   6,28 с,  15,7 оборота.        

Задача 9.11.  Зубчатая передача состоит из двух колес, радиусы которых r₁ и r₂, а соответствующие осевые моменты инерции J₁ и J₂ (см. рисунок 78).  К первому колесу приложен вращающий момент М_вр, на второе действует момент сил сопротивления М_с.  С учетом заданных соотношений М_с = М_вр /4,  r₂=2r₁,   J₁=J₂= J определить угловое ускорение ε₁ первого колеса передачи, а также окружное усилие S взаимодействия колес в контактной точке.                       

Ответ:      

  Рисунок 78                                               Рисунок 79

Задача 9.12.  Определить ускорение груза  3 при следующих данных (см. рисунок 79,а,б):

а) движущая сила Р=2500 Н, момент сопротивления М_с=50 Нм, m₁=20кг, m₂=10 кг, m₃=30 кг, радиусы колес R₁=50 см, r₁=20 см, R₂=40 см, r₂=25 см, радиусы инерции колес относительно осей вращения  i_1z=i_2z=30 см;

б)  движущий момент М=600 Нм, момент сопротивления М_с=100 Нм, m₁=30 кг, m₂=20 кг, m₃=40 кг, радиусы колес R₁=60 см, r₁=40 см, R₂=30 см, радиусы инерции колес относительно их осей вращения  i_1z=50 см , i_2z=30 см.                                                                                   

Ответ:  а) 5,36 м/с² ;  б) 2,57 м/с².

Задача 9.13. При пуске в ход электрической лебедки к барабану А приложен вращающий момент, пропорциональный времени m_вр=at, где a – постоянная (см. рисунок 80). Груз В весом Р₁ поднимается посредством каната, навитого на барабан  А  радиуса r  и весом Р₂. Определить угловую скорость барабана, считая его сплошным однородным цилиндром. В начальный момент лебедка находилась в покое.                                                                          

Ответ:                                                                     

Задача 9.14. По горизонтальной платформе А, движущейся по инерции со скоростью  v₀  перемещается тележка В с постоянной относительной скоростью u₀  (см. рисунок 81).  В некоторый момент времени тележка была заторможена. Определить общую скорость  v   платформы с тележкой после остановки тележки, если M - масса платформы, m - масса тележки.                     

Ответ:                                                

 Задача 9.15.  Граната массы  2 кг, летевшая со скоростью 15 м/с, разорвалась в воздухе на две части. Скорость осколка массы 8 кг возросла в направлении движения до 25 м/с. Определить скорость второго осколка.

Ответ: 5 м/с  в направлении, противоположном движению первого осколка. 

Задача 9.16.  Колесо катится со скольжением по горизонтальной прямой под действием силы F (см. рисунок 82). Найти закон движения центра масс С колеса, если коэффициент трения скольжения равен  f , а F=5 f P,  где  P – вес колеса. В начальный момент колесо находилось в покое.                                        

Ответ:                                                              

Задача 9.17.  Колесо катится со скольжением по горизонтальной прямой под действием приложенного к нему момента (см. рисунок 83). Найти закон движения центра масс С колеса, если коэффициент трения скольжения равен  f.  В начальный момент колесо находилось в покое.

Ответ:                                                                     

Задача 9.18.  При полете снаряда вращение  его вокруг оси симметрии замедляется действием момента сопротивления воздуха, равного  kω , где ω - угловая скорость вращения снаряда,  k – постоянный коэффициент пропорциональности. Определить закон убывания угловой скорости, если начальная угловая скорость  ω₀ , а момент инерции снаряда относительно оси симметрии равен  J.  Ответ: