Коммерциялық емес акционерлік қоғам

АЛМАТЫ ЭНЕРГЕТИКА ЖӘНЕ БАЙЛАНЫС УНИВЕРСИТЕТІ

Инженерлік графика және қолданбалы  механика кафедрасы

 

 

 

МЕХАНИКА.

НҮКТЕ ЖӘНЕ ЖҮЙЕ ДИНАМИКАСЫ

 5В074600 – Ғарыштық техника және технологиялар,

5В071700– Жылу энергетикасы

мамандықтарының студенттері үшін

зертханалық жұмыстарды орындауға арналған әдістемелік нұсқаулар

 

 

Алматы 2012

ҚҰРАСТЫРУШЫ: Р.Қ.Қойлыбаева. Механика. Нүкте  және жүйе динамикасы. 5В074600 – Ғарыштық техника және технологиялар, 5В071700– Жылу энергетикасы мамандықтарының студенттері үшін зертханалық жұмыстарды орындауға арналған әдістемелік нұсқаулар. – Алматы: АЭжБУ, 2012. - 38 б.

 

Әдістемелік нұсқауларда «Динамика» бөлімінен зертханалық жұмыстарды орындау бойынша тапсырмалар мен нұсқаулар берілген. Зерхналаық жұмыстар Mathcad компьютерлік жүйесін қолданумен орындалады. Әр зертханалық жұмыста сандық экспериментті орындау орындау, бұл қозғалыс бастапқы шарттарының, инерциялық сипаттамалардың және басқа параметрлердің нүкте және жүйе қозғалысына әсерін анықтауға мүмкіншілік береді. Әр зертханалық жұмыс 2 контактты сағат ішінде орындалады.

Әдістемелік нұсқаулар  5В074600 – Ғарыштық техника және технологиялар, 5В071700 – Жылу энергетикасы мамандықтарының  студенттеріне арналған. Олар басқа да мамандықтар үшін «Механика» және «Қолданбалы механика» пәндерінен зертханалық сабақтарда қолданылуы мүмкін.

Без. 32, кесте 1, әдеб.көрсеткіші - 5 атау.

 

Пікір беруші: техн.ғыл.канд., проф. Копесбаева А.Ә.

 

«Алматы энергетика және байланыс университеті» коммерциялық емес акционерлік қоғамының 2012 ж. баспа жоспары бойынша басылады.

 

 ã «Алматы энергетика және байланыс университеті» КЕАҚ, 2012 ж.

 

Кіріспе 

«Динамика» бөлімінде материялық денелер мен дене жүйелерінің қозғалысы оларға түсірілген күштер әсерінен қарастырылады. Динамикада екі мәселе шешіледі – берілген қозғалысты қанағаттандыратын күштерді анықтау және берілген күштер мен бастапқы шарттар үшін қозғалысты анықтау. Материялық нүкте мен қатты дене динамикасының есептері қозғалыс дифференциалдық теңдеулерін және динамиканың жалпы теоремаларын қолданумен шешіледі.  Механикалық жүйе динамикасының есептерін шешу кезінде жүйе динамикасының жалпы теоремалары, кинетостатика әдісі, виртуалды орын ауыстырулар принципі, 2-ші ретті Лагранж теңдеулері және басқа әдістер қолданылады.

 

1  Материялық нүкте қозғалысының дифференциалдық теңдеулерін интегралдау

 

1.1  Зертханалық жұмыс мақсаты мен тапсырмасы

 

Зертханалық жұмыстың мақсаты, «Нүкте динамикасы» тақырыбы бойынша студенттердің білімін жетілдіру, материялық нүкте қозғалысының дифференциалдық теңдеулерін құруға, оларды аналитикалық және сандық тәсілдермен интегралдауға үйрену болып табылады.  

Зертханалық жұмыс Windows XP/7 ортасында Mathcad жүйесі орнатылған дербес компьютерде орындалады.

Жұмыста 3 тапсырманы орындау ескерілген.

1-тапсырма: Массасы  m материялық нүкте (1 суретті қараңыз) координат басына бағытталған және нүктенің координат басына дейін қашықтығына пропорционал  тартылыс күші әсерінен горизонталь Оху жазықтығында қозғалады. Қозғалыста нүктеге оның жылдамдығына пропорционал  ортаның кедергі күші әсер етеді . Бастапқы уақытта нүкте М0(x0,y0) орнында болды және  х осімен α0  бұрышын жасайтын бастапқы  v0  жылдамдығына ие болды.

Материялық нүкте қозғалысының дифференциалдық теңдеулерін құрып, оларды Mathcad  жүйесінде аналитикалық әдіспен интегралдау және [0,t2]  уақыт аралығында қозғалыс графиктері мен нүкте траекториясын келесі деректер үшін тұрғызу керек:    m=1 кг, k=0,5 c-1 μ=0,1 кг/с, х0=5 м, у0=0, v0=2 м/с, α0=π/2, t2=20 c. Орта кедергісінің  μ коэффициентін өзгертіп, сандық экспериментті жүргізу керек.

2-тапсырма: ортаның кедергі күші нүкте жылдамдығының екінші дәрежесіне пропорционал болған жағдайды қарастырып, қозғалыс дифференциалдық теңдеулерін құру және олардың шешімін сандық әдіспен алу керек.

3-тапсырма:  оқытушы берген нұсқа бойынша материялық нүкте қозғалысының дифференциалдық теңдеулерін құру, оларды аналитикалық немесе сандық әдіспен интегралдау және нүкте траекториясын тұрғызу керек.

 

1 сурет

 

1.2  Зертханалық жұмысты орындау

 

1- тапсырма. Материялық нүктенің қозғалыс теңдеуін векторлық түрде жазамыз

,           

және берілген күштердің өрнектерін ескеріп келесіні аламыз               

.                                                (1.1)

(1.1) векторлық теңдеуін х және у остеріне проекциялаймыз, сол кезде нүкте радиус-векторының проекциялары нүкте координаттарына тең болатынын ескереміз: . Сонда теңдеулер келесі түрде жазылады:

Нүкте жылдамдығы мен үдеуінің проекциялары үшін белгілі формулдарын қолданып , материялық нүкте қозғалысының дифференциалдық теңдеулерін келесі түрде аламыз:

 ,

немесе   .

Мұнда  белгілеп, дифференциалдық теңдеулерді келесідей жазамыз:

 .                             (1.2)

(1.2) дифференциалдық теңдеулер шешімін келесі бастапқы шарттар үшін табу керек:

t=0, x=x0, vx=v , у=у0, vу=v .                                       (1.3)

(1.2) теңдеулерінің түрлері бірдей, олардың әрқайсысы біртекті, сызықты, 2-ші ретті және коэффициенттері тұрақты дифференциалдық теңдеуі болып келеді. Бірінші дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін анықтау үшін, оның сипаттама теңдеуін құрып, түбірлерін табамыз:

.

Мұнда келесі жағдайлар орын алуы мүмкін: 1) n>k, 2) n=k, 3) n<k.  Әр жағдайды қарастырайық.

1) n>k, сонда сипаттама теңдеудің түбірлері нақты және теріс сандар болып келеді:

 

Осы жағдайда дифференциалдық теңдеудін жалпы шешімі келесі түрде жазылады:

.                                                         (1.4)

Мұнда х(t) экспонента заңымен кемитін функция болып келетіні анық.

Интегралдау тұрақтыларын анықтау үшін  алдымен жылдамдықтың х осіне проекциясының өрнегін жазамыз:  

.                                   (1.5)

Қозғалыстың бастапқы шарттарын  t=0, x=x0, vx=v  (1.4) және (1.5) өрнектеріне қойып, келесі теңдеулер аламыз:

, .

Осы теңдеулер жүйесін шешіп, тұрақтыларды анықтаймыз:

.

2) n=k, сонда сипаттама теңдеудің түбірлері нақты қайталамалы және теріс сандар болып келеді:   Осы жағдайда дифференциалдық теңдеудін жалпы шешімі келесі түрде жазылады: 

.                              (1.6)

Мұнда  х(t) функциясының экспонента заңымен кему жылдамдығы  сызықты заңмен өсу жылдамдығынан артық болғандықтан, х(t) уақыт өтуімен кемитін функция болып келеді. Жылдамдық проекциясының өрнегін жазамыз:

  .                                    (1.7)

Қозғалыстың бастапқы шарттарын  t=0, x=x0, vx=v  (1.6) және (1.7) өрнектеріне қойып, келесі теңдеулер аламыз:

  , .

Осыдан .

3)  n<k, сонда сипаттама теңдеудің түбірлері комплексті-түйіндес сандар болып келеді:  мұнда  

Осы жағдайда дифференциалдық теңдеудін жалпы шешімі келесі түрде жазылады:

.                                       (1.8)

Мұнда х(t) уақыт өтуімен өшетін гармониялық тербелістер заңымен өзгереді, оның циклдік жиілігі k1  және периоды .  Жылдамдық проекциясының өрнегін жазамыз:

   .  (1.9)

Қозғалыстың бастапқы шарттарын t=0, x=x0, vx=v  (1.8) және (1.9), өрнектеріне қойып, келесіні аламыз: , .

Осыдан .

Екінші дифференциалдық теңдеудің түрі біріншімен бірдей, сондықтан оның шешімі тап осылай анықталады, сол кезде интегралдау тұрақтылары келесі бастапқы шарттардан табылады:   t=0, у=у0, vу=v .  

Mathcad жүйесінде шешімді табу үшін жоғарыда алынған формулаларды қолданып, ішкі бағдарлама-функциясын құрамыз: sol(n,k,s0,v0,t), мұнда  n , k –дифференциалдық теңдеудің коэффициенттері, s0 – бастапқы координата, v0 – бастапқы жылдамдық (2 суретті қараңыз).

 

 

 

2 Сурет

 

 

 

 

 

Ішкі бағдарлама-функциясын  енгізгенде Программирование (Бағдарламалау) атты құрал-саймандар панеліндегі Add Line (Сызықты қосу) батырмасын,   нұсқамасын  және  if, otherwise операторларын қолдану керекМұнда   if  («егер») шарттар операторы, сонда оның оң жағындағы шарт орындалса, сол жақтағы өрнек есептеледі; егер шарт орындалмаса, онда келесі қатар орындалады, ал келесі қатарда тағы if операторы, өрнек немесе otherwise керісінше жағдайда») операторы болуы мүмкін. Құрастырылған ішкі бағдарлама-функциясы  (1.2) түріндегі дифференциалдық теңдеудің шешімін n және k коэффициенттерінің кез келген мәндері үшін береді.

Mathcad құжатына берілгендерді енгіземіз, дифференциалдық теңдеулердің шешімін табамыз және координаттардың өзгеру графиктері мен нүкте траекториясын тұрғызамыз (3-суретті қараңыз).

Нүктенің  х, у координаттары  уақыт өтуімен өшетін гармониялық тербеліс заңымен кемитінін көреміз,  оның циклдік жиілігі k1=0,497 с-1,  нүкте траекториясы спиральға ұқсайды, нүкте координат басына түсуге ұмтылып тұр.  Мұнда n<k, яғни қозғалысқа кедергі күші кішкене болатын жағдай.

 

                        

 

          

 

 

         

                                                                                                

  

3 сурет

 

Енді орта кедергісінің  μ коэффициентін өзгертіп, сандық экспериментті жүргіземіз.

μ =1 болғанда х, у  координаттары уақыт өтуімен кемиді, нүкте координат басына ұмтылады және оған жуық шамамен 15 с уақытта жетеді (4 суретті қараңыз). 

μ =2 болғанда да х, у  координаттары уақыт өтуімен кемиді, нүкте координат басына ұмтылады (5 суретті қараңыз).  Мұнда n>k, яғни бұл - кедергі күші үлкен болатын жағдай.

 

                                      

 

        

                                  

 

                                                                                       

      

4 сурет

 

                                           

 

     

 

 

 

 

                                                                                     

5 сурет

 

                                     

 

      

 

       

     

                                                                                               

  

 

6 сурет

 

                                      

 

       

 

 

 

                                                                                         

 

 

7 сурет

μ =0 болғанда (кедергі күші жоқ болатын жағдай) х, у координаттары гармониялық заңмен өзгереді, оның циклдік жиілігі  k=0,5 с-1,  нүкте тұйықталатын сызықпен, яғни эллипспен қозғалады және координат басына ешқашанда келмейді (6 суретті қараңыз).    

Қозғалысқа бастапқы шарттар әсерін де тексеруге болады. Мысалы, кедергі коэффициентінің μ=0,1 берілген мәнінде α0=0 алса, онда 7-суретте көрсетілгендей нүкте түзу сызықпен қозғалады, сонда оның қозғалысы  өшетін тербеліс болып келеді.

2-тапсырма. Жылдамдықтың екінші дәрежесіне пропорционал  кедергі күшінің жағдайын қарастырамыз. Осы жағдайда кедергі күш векторын  түрінде жазған ыңғайлы болады. Сонда қозғалыс теңдеуі векторлық түрде келесідей жазылады:

.                                                (1.10)

(1.10) векторлық теңдеуін х және у остеріне проекциялаймыз:

Кинематиканың белгілі формулаларын   қолданып,  аламыз:

.     (1.11)

Теңдеулердің екі жағын  m массасына бөліп, (1.11) теңдеулерін келесі түрге келтіреміз:

 .        (1.12)

Коши есебін шешу керек, (1.12) дифференциалдық теңдеулер шешімін  (1.3) бастапқы шарттар үшін табу керек. (1.12) дифференциалдық теңдеулері сызықты емес, олардың аналитикалық шешімін анықтау мүмкін емес.  Коши есебінің сандық шешімін анықтау үшін (1.12) дифференциалдық теңдеулерін 1-ші ретті дифференциалдық теңдеулер жүйесі түрінде жазу керек:

.                                         (1.13)

Сонда белгісіздер векторы келесі болады:

.                                                         (1.14)

Бастапқы уақыт мезгілінде: 

.

(1.13) дифференциалдық теңдеулерінің оң жақ бөліктер векторы келесідей жазылады:

 .                                    (1.15)

Mathcad жүйесінде матрица элементтерінің төменгі индексі үндеместіктен 0-ге тең болатынын ескере отырып, келесіні жазамыз:  

.                              (1.16)

Mathcad  жүйесінде Коши есебін шешуге арналған бірнеше функция бар. Тұрақты қадам ескерілген  Рунге-Кутт әдісімен шешуді  rkfixed(U0,0,t2,200,DU) функциясын қолданумен жүргізіледі.  Мұндағы бірінші параметр бастапқы векторды белгілейді, 0 және t2– интегралдау аралығы, 200 – интегралдаудың тұрақты қадам саны, соңғы параметр – дифференциальдық теңдеулер жүйесін беретін векторлық функция. Сандық шешімнің нәтижесі - нүктенің  x, y  координаттары мен жылдамдықтың vx, vy  проекцияларының [0,t2] уақыт аралығында  қадамымен шыққан мәндерінің матрицасы болып келеді.  Графиктерді тұрғызу үшін айнымалылардың табылған дискретті мәндері бойынша интерполяция жүргізіп, олардың функциясын анықтау керек. Мұнда сызықты интерполяцияны linterp(x,y,t) функциясы көмегімен жүргіземіз, ол t  мәні үшін х және у векторларының сызықты интерполяциялық көпмүшелігінің мәнін береді. Аналитикалық және сандық шешімді айыру үшін, интерполяция көмегімен шыққан шешімді x1(t) және y1(t) арқылы белгілейміз (9 суретті қараңыз).

Матрица элементтерінің индекстерін енгізгенде Матрица атты панеліндегі  батырмасын, ал матрица бағанасының нөмерін енгізгенде сол панелдегі  батырмасын пайдалану керек екенін ескереміз.

         

 

 

                         

 

                                                                     

   

                                 

9 сурет

 

Жылдамдықтың екінші дәрежесіне пропорционал  кедергі күші жағдайында алынған (1.12) дифференциалдық теңдеулер шешімі сызықты кедергі күші үшін алынған (1.2) дифференциалдық теңдеулер шешімінен айрылады. 9 суреттен жылдамдықтың екінші дәрежесіне пропорционал  кедергі күші жағдайында нүкте координат басына жылдамырақ ұмтылатынын байқаймыз.

3-тапсырма.  Оқытушы берген нұсқа бойынша 12 суретте көрсетілген сұлба мен 1 кестедегі деректер үшін  материялық нүкте қозғалысының дифференциалдық теңдеу-лерін құрып, оларды аналитикалық немесе сандық тәсілмен шешіңіз және нүкте траекториясын тұрғызыңыз.

Тапсырманы орындау мысалы (10 суретті қараңыз).  Берілгені:  m=0,5 кг,  х0=40 м, у0=20 м, v0=2 м/с, α0=60°, F=2sin(0,5t) Н,  β=15°, t2=2π c.

Материялық нүкте қозғалысының теңдеулерін х және у өстеріне проекция арқылы жазамыз:

Осыған берілген күш өрнегі мен нүкте массасының мәнін қойып, аламыз:

Теңдеулерді екі рет интегралдаймыз:

Интегралдау тұрақтыларын анықтау үшін қозғалыстың бастапқы шарттарын қолданамыз: t=0, х = х0, vx =v0x= v0 cosα0 , y =y0, vy =v0y= v0sinα0 .

Координаталар мен жылдамдық проекцияларының өрнектеріне бастапқы шарттарды қойып, келесіні аламыз:

  

Осыдан интегралдау тұрақтыларын табамыз:

Сандық шешімді табу үшін, алдымен дифференциалдық теңдеулерді 1-ші ретті дифференциалдық теңдеулер жүйесі түрінде жазамыз:

   .

Сонда белгісіздер векторы және дифференциалдық теңдеулердің оң бөліктер векторы келесідей жазылады:

,   .

Тапсырманы Mathcad жүйесінде орындау үлгісі 11 суретте көрсетілген. Аналитикалық және сандық шешімдері түйісіп тұр, бұл шешімнің дұрыстығын және  Рунге-Кутт әдісінің жақсы үйлесуін білдіреді.

 

 

                         

           

 

АНАЛИТИКАЛЫҚ ШЕШІМ 

                 

   

 

САНДЫҚ ШЕШІМ

             

 

                                             

 

                

11 сурет

 

1.3 Тапсырма нұсқалары

 

12 сурет

 

12 суреттің жалғасы

 

1 к е с т е

Нұсқа

m, кг

x0 , м

y0 , м

v0 , м/c

α0 ,°

F=F(t), H

 β ,°

t2 , c

 

1

0,2

20

10

15

45

10sin(πt)

15

2

2

0,5

0

10

20

30

8sin(πt/2)

60

4

3

0,1

0

5

15

60

10cos(πt/2)

30

4

4

0,1

-5

30

10

15

5cos(πt/2)

75

4

5

0,2

-10

25

20

50

10cos(πt/3)

60

6

6

0,5

0

0

10

20

6sin(πt/3)

50

6

7

2

0

-10

15

30

20sin(πt/4)

20

8

8

2

10

-5

25

75

40cos(πt/4)

30

8

9

0,2

10

0

20

40

12cos(πt)

55

3

10

0,5

0

0

10

25

10sin(2πt)

45

2

Сұрақтарға жауап беріңіз:

1)    Материялық нүкте динамикасының негізгі теңдеуі қалай жазылады?

2)    Материялық  нүкте қозғалысының дифференциалдық теңдеулері  декарт координат жүйесінде қалай жазылады?

3)    Ортаның кедергі күші өрнегіндегі «-»  таңбасы нені білдіреді?

4)    Нүкте динамикасының  бірінші мәселесінде не беріледі және не анықталады?

5)    Нүкте динамикасының  екінші мәселесінде не беріледі және не анықталады?

6)     Қозғалыс дифференциалдық теңдеулерін интегралдау тұрақтылары қалай анықталады?

7)     Қай жағдайда қозғалыс дифференциалдық теңдеулерін сандық әдістер қолданумен интегралдау керек?

8)     Сандық әдіспен интегралдау үшін қозғалыс дифференциалдық теңдеулерін қандай түрде жазу керек?

 

2  Кулисалы жетегі бар машинаның динамикасын зерттеу

 

2.1  Зертханалық жұмыс мақсаты мен тапсырмасы

 

Зертханалық жұмыстың мақсаты, «Жүйе динамикасының жалпы теоремалары» және «Қатты дене қозғалысының дифференциалдық теңдеулері»  тақырыптары бойынша студенттердің білімін жетілдіру, механикалық жүйе және қатты денелер қозғалысының дифференциалдық теңдеулерін құруға, оларды Mathcad жүйесінде сандық интегралдауға тәжірибе алу болып табылады.  

Зертханалық жұмыс Windows XP/7 ортасында Mathcad және AutoCAD жүйелері орнатылған дербес компьютерде орындалады.

Жұмыста 3 тапсырманы орындау ескерілген.

1-тапсырма:  кулисалы жетегі бар машина (13 суретті қараңыз) 3 дөңгелекке түсірілген  моменті әсерінен қозғалады.  3 дөңгелек 1  маховикпен белдікті беріліс арқылы байланысқан Пайдалы жүктеме ретінде 4 денеге түсірілген  моменті болып келеді. Мұнда  - тұрақты параметрлер.  Машина құрылымының элементтері абсолют қатты болып есептеледі.  Белдік салмақсыз, созылмайтын және 3 дөңгелек пен 1 маховикке қатысты жылжымайтын болып алынады.  Маховиктің А  саусағы мен 2 кулисаның тілігі арасында үйкеліс жоқ. 4 дөңгелек сырғанаусыз домалайды.  3 және 4 денелерді біртекті тұтас цилиндр ретінде алуға болады.

Жүйе кинетикалық энергиясының өзгеру туралы теоремасын дифференциалдық түрде қолданып, осы механикалық жүйе қозғалысының дифференциалдық теңдеуін құру және оны Mathcad бағдарламасында  [0,t2] уақыт аралығында келесі деректер үшін интералдау керек: O1A=r1= 0,1м, R1=0,4 м, R3=0,2м, R4=0,1 м, J1=1,4 кгм2, m2=8 кг, m3=5 кг, m4=10 кг, М0=65 Нм, k=1Нм·c, μ=5 Нм·c, t2=2 c.

Қозғалыстың бастапқы шарттары:   φ1(0)=0,  ω1(0)=0.  

Жүйе барлық буындарының кинематикалық сипаттамаларының өзгеру графиктерін тұрғызу, оларды t1=t2/2 уақыт мезгілінде есептеу, қозғалыстың бір қалыпқа түскен режимінде олардың максималды және минималды мәндерін анықтау керек.

2-тапсырма:  механикалық жүйеге кіретін қатты денелердің дифференциалдық теңдеулерін құрып, байланыстардың динамикалық реакцияларының өрнектерін алу керек. Mathcad  бағдарламасында берілген моменттер мен анықталған байланыс реакцияларының уақыт өтуімен өзгеру графиктерін тұрғызу керек.

3-тапсырма:    механикалық жүйенің инерциялық сипаттамаларын өзгертіп, сандық экспериментті жүргізу және олардың қозғалыстың бір қалыпқа түсу уақытына әсерін анықтау керек.

 

13 сурет

 

2.2  Зертханалық жұмысты орындау

 

1-тапсырма.  Берілген механикалық жүйе қозғалысының дифференциалдық теңдеуін құру үшін жүйе кинетикалық энергиясының өзгеру туралы теоремасын дифференциалдық түрде қолданамыз:   

,                                                   (2.1)

мұнда dT -  жүйе кинетикалық энергиясының элементар өзгерісі,  - жүйеге түсірілген сыртқы және ішкі күштердің элементар жұмыстарының қосындысы.

Жүйенің кинетикалық энергиясы жүйеге кіретін денелердің кинетикалық энергияларының қосындысына тең:

1 маховик пен 3 дөңгелек айналады, 2 кулиса ілгерілемелі қозғалады, ал  4 дөңгелек жазық параллель қозғалыста. Сонда осы денелердің кинетикалық энергиялары келесідей анықталады:

 ,

мұнда инерция моменттері .

Барлық жылдамдықтар мен бұрыштық жылдамдықтарды 1-ші дененің айналу бұрышының уақыт бойынша бірінші туындысы арқылы өрнектеп, жүйе үшін кинематикалық қатынастарды жазамыз:

             (2.2)

Осыны ескерумен

Сонда жүйенің кинетикалық энергиясы келесі түрде жазылады:

мұнда

Жүйенің кинетикалық энергиясы екі  айнымалының функциясы болғандықтан, оның толық дифференциалы келесідей анықталады:

                                           (2.3)

Дербес туындыларды және дифференциалдарды  табамыз:

 болатынын ескеріп, аламыз:

.                         (2.4)

Енді жүйеге түсірілген сыртқы және ішкі күштердің элементар жұмыстарының қосындысын іздейміз. Ішкі күштердің элементар жұмыстарының қосындысы нөлге тең, өйткені жүйенің барлық денелері абсолют қатты, белдік созылмайды.  Сыртқы жүктемеге берілген МД мен МН моменттері, ауырлық күштер және О1, О2, В, К нүктелердегі сыртқы байланыстардың реакциялары жатады. Қарастырылатын жүйеде ауырлық күштер мен сыртқы байланыстар реакцияларының жұмыстары нөлге тең, өйткені олар қозғалмайтын нүктелерге түсірілген немесе орын ауыстыруға перпендикуляр бағытталған. Сыртқы моменттердің элементар жұмыстарының қосындысын табамыз:

,                                            (2.5)

мұнда .

(2.2) кинематикалық қатынастарын қолданып, аламыз:

,

 

Осыны ескерумен

               (2.6)

(2.4), (2.6)  формулаларын  (2.1) өрнегіне қойып және -ге қысқартып, келесіні аламыз:

. (2.7)

Осы теңдеу қарастырылатын механикалық жүйе қозғалысының дифференциалдық теңдеуі болып келеді. Ол сызықты емес, оның аналитикалық шешімі табылмайды, сондықтан дифференциалдық теңдеудің сандық шешімін  іздейміз. Ол үшін алдымен (2.7) келесі түрде жазамыз:

.

Содан кейін осы 2-ші ретті дифференциалдық теңдеуді екі 1-ші ретті дифференциалдық теңдеу жүйесі түріне  келтіреміз:

         (2.8)

Белгісіздер векторын  белгілейміз, сонда вектор элементтері  

(2.8) дифференциалдық теңдеулердің оң жақ бөліктер векторы келесідей жазылады:

 .

Дифференциалдық теңдеулер жүйесін берілген бастапқы шарттар үшін (Коши есебін)  Mathcad бағдарламасында Рунге-Кутт әдісі бойынша жасалған rkfixed(U0,0,t2,200,DU) функциясын қолданумен шығаруға болады. Мұнда функция параметрлері келесіні белгілейді: біріншісі бастапқы векторды, екіншісі мен үшіншісіинтегралдау аралығын, 200интегралдау қадамдарының санын, соңғысы – дифференциалдық теңдеулер жүйесін беретін векторлық функциясын. Сандық шешімнің нәтижесі ретінде [0,t2] уақыт аралығында  қадамымен анықталған 1 маховиктің айналу бұрышы мен  бұрыштық жылдамдық мәндерінің матрица болып келеді.  Графиктерді тұрғызу үшін айнымалылардың табылған дискретті мәндері бойынша олардың функцияларын интерполяция арқылы табу керек. Ол үшін сызықты интерполяцияны Mathcad бағдарламасындағы linterp(x,y,t) түріндегі функциясын қолданумен  аламыз.

Шешімді жүргізіп, 1 маховиктің айналу бұрышы,  бұрыштық жылдамдығы мен бұрыштық үдеуінің графиктерін тұрғызамыз (14 суретті қараңыз).  Суреттен маховиктің қозғалысы, яғни барлық жүйенің қозғалысы, басында бір қалыпқа түспейтінін көреміз.  Жуық 1 с уақыт өткен соң қозғалыс бір қалыпқа түсіп, периодты қозғалыс болып келеді.

 (Лупа) және  (Ізіне түсу) режимдерін қолданып, бір қалыпқа түскен режимінде 1 маховиктің бұрыштық жылдамдығы жуық шамамен  19 рад/с пен 21 рад/с аралығында, ал оның бұрыштық үдеуі -34 рад/с2 пен 37 рад/с2 аралығында өзгеретінін байқауға болады.  Сонда маховик айналуының салыстырмалы әркелкілігі келесіге тең:

 .

 

                                     

                            

   ШЕШІМІ:                  

 

         

 

 

 

 

           

 

 

         

                         

14 сурет

 

Кинематикалық қатынастарды пайдаланып,  жүйе денелерінің сызықты және бұрыштық жылдамдықтарының графиктерін тұрғызамыз (15 суретті қараңыз).  2 кулисаның v2 жылдамдығының  және 4 дөңгелектің ω4  бұрыштық жылдамдығының таңбалары өзгеріп тұратынын байқаймыз, себебі олар сол жаққа және  оң жаққа  қозғалып тұрады.

           

                        

             

15 сурет   

    

(2.2) кинематикалық қатынастарының уақыт бойынша туындыларын  алу арқылы  А нүктесі мен 2 кулиса үдеулерінің және 3, 4 дөңгелектер бұрыштық үдеулерінің өрнектерін аламыз:

Алынған формулдарды енгізіп, үдеулер мен бұрыштық үдеулердің графиктерін тұрғызамыз (16 суретті қараңыз).

 

       

           

                 

          

       

16 сурет

 

Графиктерді   (Лупа) мен  (Ізіне түсу) көмегімен талдап, жүйенің бір қалыпқа түскен режимінде  А  нүктесінің, 2 кулисаның, 3 және 4 дөңгелектердің кинематикалық сипаттамаларының  минималды және максималды мәндерін анықтауға болады.

2-тапсырма.  3  дөңгелекке түсірілген күштер жүйесін қарастырамыз (17 суретті қараңыз). Дөңгелек айналмалы қозғалысының дифференциалдық теңдеуін құрамыз:

Осыдан белдіктің жетекші мен жетектегі тармақтарының тартылыс күштерінің айырмашылығын өрнектеуге болады

 .

1 маховикке түсірілген күштер жүйесін қарастырып (18 суретті қараңыз), оның айналмалы қозғалысының дифференциалдық теңдеуін құрамыз:

 болатынын ескере отырып, аламыз

.

        

17 сурет                                            18 сурет

 

2 кулисаға түсірілген күштер жүйесін қарастырып (19 суретті қараңыз), оның  ілгерілемелі қозғалысының теңдеуін х өсіне проекциялап құрамыз:

  

болғандықтан, аламыз  

        

19 сурет                                                            20 сурет

Енді 4 дөңгелекке түсірілген күштер жүйесін қарастырамыз (20 суретті қараңыз). Дөңгелектің жазық параллель қозғалысының теңдеулерін құрамыз:

Бірінші теңдеуден үйкеліс күшін өрнектейміз.

Формулаларды енгізіп, моменттер мен байланыс реакцияларының графиктерін 21, 22, 23 және 24 суреттегідей тұрғызамыз.

             

 

                    

         21 сурет

      

                                                                                                                                                          

22 сурет

 

                       

 

        

23 сурет

 

                            

                          

 

24 сурет

 

Алынған  графиктерді талдап,  жүйенің бір қалыпқа түскен редимінде моменттер мен байланыс реакцияларының минималды және максималды мәндерін анықтауға болады.

3-тапсырма.  Жүйенің инерциялық сипаттамаларын (маховиктің J1  инерция моментін және m2 , m3 , m4  массаларын) алма-кезек 2 есе үлкейтіп, сандық экспериментті жүргізіңізСонда қозғалыстың бір қалыпқа түсу уақытына ең үлкен әсерді J1  инерция моменті тигізетінін анықтай аласыз.  J1=2,8  кгм2  болғанда жуық 1,5 с  өткен соң, ал  J1 =5,6  кгмболғанда  2,5 с өткен соң қозғалыс бір қалыпқа түседі.  Маховиктің  инерция моменті артқанда маховик айналуының салыстырмалы әркелкілігі кемиді, яғни ол бір қалыпты айналуға жақыңырақ болады.

Сұрақтарға жауап беріңіз:

1)    Жүйе кинетикалық энергиясының өзгеруі туралы теорема дифференциалдық түрде қалай жазылады?

2)    Қатты дененің кинетикалық энергиясы оның ілгерілемелі (айналмалы, жазық параллель) қозғалысында қалай анықталады?

3)    Жүйенің ішкі күштер жұмыстарының қосындысы қайсы жаңдайда нөлге тең?

4)    Күштің элементар жұмысы жалпы жағдайда қалай анықталады?

5)    Ауырлық күштің элементар жұмысы қалай анықталады?

6)    Айналдырушы моменттің элементар жұмысы қалай анықталады?

7)    Бір қалыпқа түскен қозғалыста жүйенің кинематикалық және динамикалық сипаттамалары қалай өзгереді?

8)    Дене айналуының салыстырмалы әркелкілігі қалай есептеледі?

 

Қатты дененің жазық параллель қозғалысының динамикасы

 

3.1  Зертханалық жұмыс мақсаты мен тапсырмасы

 

Зертханалық жұмыстың мақсаты, «Дененің жазық паралель қозғалысының динамикасы» тақырыбы бойынша студенттердің білімін жетілдіру, дененің жазық паралель қозғалысының дифференциалдық теңдеулерін құруға және оларды шешіге үйрену болып табылады.  

Зертханалық жұмыс Windows XP/7 ортасында Mathcad және AutoCAD жүйелері орнатылған дербес компьютерде орындалады.

Жұмыста 3 тапсырманы орындау ескерілген.

1-тапсырма: массасы m және радиусы r дөңгелек горизонтпен α бұрышын жасайтын көлбеу жазықтық үстінде ауырлық күш әсерінен қозғалады (25 суретті қараңыз).  Дөңгелек біртекті тұтас цилиндр болып келеді. Дөңгелек центрінің бастапқы жылдамдығы көлбеу жазықтығына параллель және vС0–ға тең.  Дөңгелектің көлбеу жазықтық үстіндегі сырғанау үйкелісінің коффициенті келесіге тең:  L  ұзындығымен ОА аралығында f1d ұзындығымен АВ  аралығында -  f2,  жазықтықтың қалған бөлігінде -  f3 .  Дөңгелектің домалау үйкелісінің коэффициенті δ.

Дөңгелек қозғалысының дифференциалдық теңдеулерін құрып, оларды Mathcad бағдарламасында сандық әдіспен келесі деректер үшін шешу  керек: m=1 кг, r=0.5 м, L=2 м, d=2 м, vC0=0, α=π/6, f1=0.2, f2=0.01, f3=0,3, δ=0.0001 м, Т =2.5 с.  

2-тапсырма:  [0,Т]  уақыт аралығында дөңгелектің қозғалмайтын центроидасын үшін тұрғызу керек.

3-тапсырма:  сырғанау үйкеліс коэффициенттерін, дөңгелектің бастапқы жылдамдығын, жазықтықтың көлбеу бұрышын өзгертіп, сандық экспериментті жүргізу және осы параметрлердің дөңгелектің домалауына әсерін анықтау керек.

25 сурет

 

3.2  Зертханалық жұмысты орындау

 

1-ші тапсырма. Координат жүйесін келесідей таңдаймыз:  Ох өсі көлбеу жазықтық бойымен, ал Оу өсін оған перпендикуляр бағыттаймыз. Координат басын дөңгелектің бастапқы орнымен, Оу  өсі дөңгелектің С массалар центрі үстінен өтетіндей түйістіреміз. φ бұрышын сағат тілі жүрісімен бағыттаймыз. Дөңгелекке ауырлық күші , жазықтықтың нормаль реакциясы , сырғанау үйкеліс күші   және домалауға кедергі моменті, яғни домалау үйкелісі моменті  әсер етеді.

Дөңгелектің жазық паралель қозғалысының теңдеулерін жазамыз:

                                                    (3.1)

Мұнда массалар центрінен өтетін Cz өсіне қатысты дөңгелектің инерция моменті    және  болатынын ескере отырып, (3.1) екінші теңдеуінен жазықтықтың нормаль реакциясын анықтаймыз . Домалау үйкелісі моменті . Сырғанау үйкеліс күші сырғанаумен домалау кезінде өзінің шекті мәніне тең , мұндағы сырғанау үйкеліс коэффициенті аралыққа байланысты f1,  f2 немесе  f3 мәндерін аладыСырғанаусыз домалау кезінде үйкеліс күші  және қозғалыстың дифференциалдық теңдеулерінен анықталады.  Алдын-ала домалаудың қайсы түрі (сырғанаумен ба, сырғанаусыз ба)  орын алатыны белгісіз, сондықтан үйкеліс күші де белгісіз.

Сонымен, дөңгелек қозғалысының екі дифференциалдық теңдеуі бар:

                                                     (3.2)             Қозғалыстың бастапқы шарттары келесідей жазылады:

          (3.3)

(3.2) дифференциалдық теңдеу жүйесін (3.3) бастапқы шарттары үшін шешу керекЖалпы жағдайда екі дифференциалдық теңдеуде 3 белгісіз бархС, φ  және  F.

Есепті шешу үшін домалау түрлерінің екеуін де қарастырамыз.

Сырғанаусыз домалау кезінде үйкеліс күші белгісіз, бірақ дөңгелектің лездік жылдамдықтар центрі дөңгелектің жазықтықпен жанасатын Р нүктесінде болатыны белгілі, өйткені осы нүктенің жылдамдығы нөлге тең (дөңгелек сырғанамайды). Сонда дөңгелек центрінің жылдамдығы және оның бұрыштық жылдамдығы келесі байланыста болады:

       немесе        .

Осыдан  уақыт бойынша туынды алған соң

.                                                                         (3.4)

(3.2) жүйесін (3.4) ескерумен шешіп, дөңгелек центрінің үдеуін және үйкеліс күшті анықтауға болады:

                      (3.5)

Содан кейін дөңгелектің бұрыштық үдеуі анықталады:

                                          (3.6)

Сырғанаумен домалау кезінде  , сонда (3.2) жүйесінен массалар центрінің үдеуі мен дөңгелектің бұрыштық үдеуі келесідей анықталады:

                               (3.7)

Сол кезде дөңгелектің жазықтықпен жанасу Р нүктесінің жылдамдығы нөлге тең емес, ол дөңгелек центрінің қозғалысына бағыттас  және келесі формуламен анықталады:

 .                                            (3.8)

Дөңгелектің лездік жылдамдықтар центрі Р нүктесінен төмен,  массалар центрі жылдамдығына перпендикуляр бойымен ығысады. Лездік жылдамдықтар центрінің  дөңгелек центрінен арақашықтығы келесі формула арқылы анықталады:

.                                                             (3.9)

 теңсіздігін қолданып,  сырғанаусыз домалаудың шартын алуға болады.

Ол үшін теңсіздікке сырғанаусыз домалаудағы үйкеліс күшінің өрнегін қою керек:

.

Осыдан сырғанаусыз домалаудың шартын аламыз:

.                                                      (3.10)

Сонда сырғанаумен домалау шарты келесідей жазылады:

.                                                   (3.11)

(3.11) шарты мен үйкеліс күшінің екі жағдайдағы формулаларын  ескере отырып, есепті Mathcad бағдарламасында шешеміз.

 

                     

                 

 

26 сурет

 

Берілгендерді және үйкеліс күшін анықтайтын ішкі функция-бағдарламасын енгіземіз (26 суретті қараңыз). Сол кезде  Программирование (Бағдарламалау) және Логический (Логикалық) атты құрал-саймандар панелдерін қолдану керек.

2-ші ретті дифференциалдық теңдеулердің (3.2) жүйесін сандық әдіспен шешу үшін, оны 1-ші ретті дифференциалдық теңдеулер жүйесі түрінде жазу керек:

                                                (3.12)

Белгісіздер векторы , сонда вектор элементтері   

Осыны ескеріп, (3.12) дифференциалдық теңдеулерінің оң жақ бөліктер  векторы келесідей жазамыз:

 .

(3.12) дифференциалдық теңдеулер жүйесін  (3.3)  бастапқы шарттар үшін Mathcad бағдарламасында Рунге-Кутт әдісі бойынша жасалған rkfixed(U0,0,T,200,DU) функциясын қолданумен шығаруға болады. Мұнда функция параметрлері келесіні белгілейді: біріншісі – бастапқы векторды, екіншісі мен үшіншісі – интегралдау аралығын, 200 – интегралдау қадамдарының санын, соңғысы – дифференциалдық теңдеулер жүйесін беретін векторлық функциясын. Сандық шешімнің нәтижесі ретінде [0,T] уақыт аралығында   қадамымен анықталған дөңгелек центрінің координатасы мен жылдамдығы, айналу бұрышы мен бұрыштық жылдамдығы мәндерінің матрица болып келеді. 

Қозғалыстың дифференциалдық теңдеулерін шешіп, үйкеліс күшінің графигін тұрғызамыз  (27 суретті қараңыз).  U, хС , vC, ω  векторларының индекстерін және S матрицасы бағаналарының нөмірлерін енгізгенде, Матрица панеліндегі сәйкес  және   батырмаларын қолдану керек.

 

                      

 

 

              

 

27 сурет

 

 (Лупа) және  (Ізіне түсу) режимдері көмегімен үйкеліс күштің мәндерін әр аралықта анықтап, домалау түрін білуге болады.

 болғанда (ОА аралығында) үйкеліс күші F=1,636 Н, ол осы аралықтағы үйкеліс күшінің максималды мәнінен кіші , яғни дөңгелек сырғанаусыз домалауда.

 болғанда (АВ  аралығында)  F=0,085 Н, ол осы аралықтағы үйкеліс күшінің максималды мәніне тең , сонда  дөңгелек сырғанаумен домалайды.

  болғанда F=2,55 Н, ол да осы аралықтағы үйкеліс күшінің максималды мәніне тең , яғни сырғанаумен домалау жалғастырылады.

болғанда F=1,64 Н < , дөңгелек сырғанаусыз домалауда.

Салыстыру үшін дөңгелек центрінің үдеуін барлық аралықта сырғанаусыз домалау болжамында (3.5) формуласын қолданып, жазамыз, содан кейін массалар центрінің жылдамдығын, қозғалыс теңдеуін және дөңгелектің бұрыштық жылдамдығын 28 суретте көрсетілгендей анықтаймыз. 

 

       

              

 

28 сурет

 

 

29 сурет

 

Массалар центрінің жылдамдығы мен дөңгелектің бұрыштық жылдамдығының графиктерін  осы есепте және сырғанаусыз домалау болжамында тұрғызамыз (28, 29 суреттерді қараңыз). Шешімдер тек қана ОА аралығында, яғни дөңгелек сырғанаусыз домалағанда ғана түйісетінін байқаймыз.

2-тапсырма.  Қозғалмайтын центроида деп жазық фигураның лездік жылдамдықтар центрлерінің қозғалмайтын жазықтықта белгіленген  геометриялық орны аталады.  Кез келген уақыт мезгілінде лездік жылдамдықтар центрінің орны (3.9) формуласымен анықталады.  Дөңгелекті және қозғалмайтын центроиданы тұрғызу үшін формулаларды 30-суретте көрсетілгендей енгіземіз. Мұнда  i айнымалысын 0-ден 200-ге дейін өзгертіп, дөңгелектің  уақыт мезгіліндегі орнын көрсетуге болады. Табылған  vc  және ω векторлары бойынша h векторын енгізгенде, Матрица атты панеліндегі векторге айналдырушы   батырмасын қолдану керек.

             

           

30 сурет

 

 

 

 

 

Бұрмалану болмау үшін графикті тұрғызған кезде абсцисса мен ординатаның өзгеру аралықтарын бірдей алған жөн: -1-ден  8-ге дейін.  График үстінен тінтуірді екі рет шырт еткізумен графикті өзгертуге арналған диалог терезесін шақырып,  31-суретте көрсетілгендей Стиль осей (Өстер түрі) өрісінде Пересекающиеся (Қиылысатын) және Равные масштабы (Масштабтары бірдей) орнату керек. Диалог терезесінің Графики атты бөлігінде сызықтардың түрлерін және түстерін орнатуға болады (32 суретті қараңыз). 30-суреттен ОА аралығында қозғалмайтын центроида х осімен түйісетінін байқаймыз, яғни дөңгелек сырғанаусыз домалайды.  АВ аралығында дөңгелектің жазықтықпен жанасатын Р нүктесі сырғанайды, оның жылдамдығы максималды мәніне В нүктесінде жетеді.    Көлбеу жазықтықтың қалған бөлігінде Р нүктесінің жылдамдығы нөлге дейін кемиді, содан кейін дөңгелек қайта сырғанаусыз домалайды.

31 сурет

 

32 сурет

 

3-тапсырма.  Төмендегі тәртіп бойынша есеп деректерін өзгертіп, сандық экспериментті жүргізіңіз және әр жағдайда дөңгелектің  домалау түрін анықтаңыз:

1)    жазықтықтың көлбеу бұрышы α=π/4;

2)    жазықтықтың көлбеу бұрышы α=0, бастапқы жылдамдық vC0=4 м/с;

3)    барлық аралықта сырғанау үйкелісінің коэффициенттері бірдей  f1=f2= f3=0.2, басқа параметрлердің мәндері бастапқы.

Сұрақтарға жауап беріңіз:

1)    Дененің жазық параллель қозғалысы динамикасының теңдеулері жалпы жағдайда қалай жазылады?

2)    Дөңгелектің сырғанаусыз домалауында дөңгелек центрінің жылдамдығы мен бұрыштық жылдамдығы қайсы байланыста болады?

3)    Жазық фигураның лездік жылдамдықтар центрі деген не?

4)    Дөңгелектің лездік жылдамдықтар центрі  оның сырғанаусыз домалауында және сырғанаумен домалауында қайда орналасады?

5)    Дөңгелектің сырғанаусыз домалауында сырғанау үйкеліс күші туралы не белгілі?

6)    Дөңгелектің сырғанаумен домалауында сырғанау үйкеліс күші неге тең?

7)    Дөңгелек  центріне түсірілген горизонталь F(t) күш әсерінен дөңгелектің горизонталь жазықтықпен домалау кезінде  қозғалыстың дифференциалдық теңдеулері қалай жазылады?

8)    Айналдырушы М(t) момент әсерінен дөңгелектің горизонталь жазықтықпен домалау кезінде қозғалыстың дифференциалдық теңдеулері қалай жазылады ?


Әдебиеттер тізімі 

1.   Тойбаев С.Н. Теориялық механика: Оқу құралы. - Алматы: Бастау, 2006.

2.   Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике: Учебное пособие для технических вузов / Под ред. проф. А.А.Яблонского. –15-е изд., стереотипное. – М.: Интеграл-Пресс, 2006. – 384 с.

3.   Бертяев В.Д. Теоретическая механика на базе Mathcad. Практикум. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 752 с.

4.   Охорзин В.А. Прикладная математика в системе MATHCAD: Учебное пособие. 2-е изд, испр.и доп. – СПб.: Издательство «Лань», 2008. – 352 с.

5.   Динасылов А.Д., Койлыбаева Р.К. Механика. Сборник заданий для самостоятельной работы: Учебное пособие. – Алматы: АУЭС, 2011. – 85 с.

  

Мазмұны 

Кіріспе

3

1  Материялық нүкте қозғалысының дифференциалдық теңдеулерін интегралдау

 3

Кулисалы жетегі бар машинаның динамикасын зерттеу                                             

16

3  Қатты дененің жазық параллель қозғалысының динамикасы

27

Әдебиеттер тізімі

37

 

 

 

2012 ж. жиынтық жоспары, реті 240