Механика

Коммерциялық емес акционерлік қоғам

АЛМАТЫ ЭНЕРГЕТИКА  ЖӘНЕ БАЙЛАНЫС  УНИВЕРСИТЕТІ

Инженерлік графика және қолданбалы механика кафедрасы

 

М  Е Х А Н И К А

MECHANICAL DESKTOP ЖҮЙЕСІНДЕ ЖАЗЫҚ БӨЛШЕКТЕРДІ ШЕКТЕЛГЕН ЭЛЕМЕНТТЕР ӘДІСІМЕН ЕСЕПТЕУ

Электр энергетика, Жылу энергетика, Электр механика және электр техникалық жабдықтары мамандықтарының студенттері үшін 
зертханалық жұмысты орындауға арналған әдістемелік нұсқау

 

 

Алматы 2013

ҚҰРАСТЫРУШЫЛАР: Дінасылов А.Д., Шыңғысов Б.Т.. Mechanical Desktop жүйесінде жазық бөлшектерді шектелген элементтер әдісімен есептеу: Электр энергетика, Жылу энергетика, Электр механика және электр техникалық жабдықтары мамандықтарының студенттері үшін  зертханалық жұмыстарды орындауға арналған әдістемелік нұсқау.–Алматы: АЭжБУ, 2013. 32 бет.

 

«Механика» курсы бойынша зертханалық практикум AutoCAD Mechanical және Mechanical Desktop компьютерлік жүйесін қолданып, механикалық жабдықтар торабын және элементтерін есептеу және жобалау мүмкіндіктерін оқытуды қарастырады және «Механика» курсын оқитын барлық мамандық студенттеріне арналған. Бұл зертханалық жұмысты орындауға арналған әдістемелік нұсқауда жазық бөлшектің кернеулі-деформацияланған күйін шектелген элементтер әдісімен есептеу және бөлшектің конструкциясын оңтайландыру арқылы кернеулерді, олардың шоғырланған жерлерінде рацоинальды тарату болып табылады.

Без.- 19, әдеб.көрсеткіші - 6 атау.

 

Пікір беруші: доцент  Абильдинова С.К.

 

«Алматы энергетика және байланыс университеті» коммерциялық емес акционерлік қоғамының 2013 ж. баспа жоспары бойынша басылады.

 

 

ã «Алматы энергетика және байланыс университеті» КЕАҚ, 2013 ж.

 

Мазмұны

1

Тапсырмаларды түсіндіру

4

1.2

Жұмысқа тапсырма

4

1.3

Техникалық және бағдарламалық қамтамасыз ету

4

1.4

Пайдаланылатын әдістер туралы кейбір мәліметтер

4

2

Зертханалық жұмысты орындау

5

2.1

Бөлшектегі кернеуді алдын ала есептеу

5

2.2

Шешімдерді нақтылау

11

2.3

Бөлшектердің конструкциясын жақсарту (жеке  

 оңтайландыру)

 

13

2.4

Нәтижелерді  талқылау

18

 

А қосымшасы. Шектелген элементтер әдісінің

 негіздері

 

19

 

Әдебиеттер тізімі

20

 

 

1 тапсырманы тұжырымдау

 

Жұмыстың мақсаты: Mechanical Desktop жүйесінде жазық бөлшектің кернеулі-деформацияланған күйін есептеу бойынша негізгі тәсілдерді үйрету. Есептеу үш кезеңмен жүргізіледі. Бірінші кезеңде берілген геометриясы мен бөлшектегі кернеу есептеледі.  Екінші кезеңде шешімдер нақтыланады. Үшінші кезеңде беріктік тұрғысынан қарағанда қолайлы бөлшектегі кернеудің таралуын алу және бөлшектің деформациялану күйі анықталатын бөлшектің геометриясына өзгерістер енгізіледі.

         

1.1 Жұмысқа тапсырма

 

1 суретте көрсетілген сол жазықтықта жатқан, жүктелген күшпен тетік үшін кернелген және орын ауыстыру есептерін орындау. Бөлшектің материалы - SAE 950 ANSI стандарты бойынша. Бөлшектің  беріктігі туралы қорытындылау және беріктігін жоғарылату мақсатында, оның конструкциясына өзгерістер енгізу.

 

1.2 Техникалық және бадарламалық қамтамасыз ету

 

Жұмыс Windows 9x Mechanical Desktop  жүйесінде 6 Power Pack   (AutoCAD Mechanical 6 Power Pack қосылған) немесе Windows 2000/XP ортасында орнатылған Mechanical Desktop 2004 жүйесімен  (AutoCAD Mechanical 2004 қосылған ) дербес компьютерде орындалады.

1.3 Пайдаланылатын әдістер туралы кейбір мәліметтер

 

Әртүрлі жүктеме кезінде бөлшектің беріктік және ұзақтылық дәрежесін  анықтау үшін, оларда туындайтын жүктемелерді және деформацияларды  білу қажет. Деформация мен кернеулікті есептейтін әртүрлі есептеу әдістері жасалған, соның ішінде шектелген элементтер әдісімен. Әдістің мәні шексіз санды тәуелсіз дәрежесі бар қарапайым элементтердің жиынтығынан құрылған шектелген санды тәуелсіз дәрежесі бар және бір-бірімен тораптық нүктеде байланысқан тұтас ортаны аппроксима­циялау болып табылады. Шектелген элементтер әдісі (ШЭӘ) келесі негізгі кезеңдерді қарастырады:                         

-  қарастырылып отырған  аймақты (дене) шектелген элементтерге бөліктеу;            

- әрбір шектелген элементке белгісіз параметрлерімен тілімді-полиномды   функциясымен тәуелді айнымалыларды аппроксимациялау;

- теңдеулерді анықтау және оларды шешу, тораптық нүктелердегі мәндері арқылы элементтің ішіндегі ізделген (искомые) функциясын толық анықтайтын параметрлер мәндерін есептеу, аппроксимациялау функцияларын қондыру.

Математикалық тұрғыдан қарағанда ШЭӘ потенциал энергия функциясын сызықтық комбинациялау жолын іздеуді минимизациялауды қамтамасыз ететін   Рэлея-Ритца-Галеркин әдісін қорыту болып табылады. Әдістің математикалық негізі  А-қосымшада келтірілген.

AutoCAD Mechanical 6 Power Pack-та беріктілік теориясының екіөлшемді статикалық тапсырмалары үшін қолданылатын ШЭӘ жүзеге асыра алатын AMFEA2D процедурасы бар; бұл процедураны Mechanical Desktop 6 ортасынан да табуға болады. Одан басқа, Mechanical Desktop 6 Power Pack-та беріктілік теориясының үшөлшемді статикалық тапсырмаларының шешімін таба алатын AMFEA3D процедурасы бар. Дәл осы процедуралар AutoCAD Mechanical 2004 пен Mechanical Desktop 2004- те де бар.

Бұл процедуралар бөлшектің кернеулі-деформациялы күйінің толық талдауына қатыспайды, тек оған алдын ала баға беруге және де орынауыстыру (деформация) немесе кернеулікті анықтау мақсатында кейбір құрылымдық элементтерді өзгертуге мүмкіндігі бар. Біршама күрделі, соның ішінде температуралық деформациялардың қатысы бар талдаулар үшін ANSYS және NASTRAN [6] сияқты арнайы жүйелерді қолданған дұрыс.

 

2 Зертханалық жұмысты орындау

 

2.1 Бөлшектегі кернеуді алдын ала есептеу

 

Алдымен 1 суретте көрсетілгендей бөлшектегі кернеуді алдын ала есептеу орындалады.

Бөлшектің  контурын  AutoCAD командаларының көмегімен сызып алу керек (полилиния командасымен):

Command: PLINE

Specify start point: (Бастапқы нүктені беріңіз:) – бастапқы нүктенің

 координаттарын енгізіңіз 10,10

Current line-width is 0.00

Specify next point or [Arc/Halfwidth/Length/Undo/Width]:

(Сызықтың ағымдағы қалыңдығы 0.00

(Келесі нүктені беріңіз немесе [Дуга/Полуширина/Длина/Отменить/

Ширина]:) – келесі нүктенің  координаттарын енгізіңіз 10,40.

Specify next point or [Arc/Close/Halfwidth/Length/Undo/Width]:

(Келесі нүктені беріңіз немесе [Дуга/Замкнуть/Полуширина/Длина/

Отменить/Ширина]:) – келесі нүктенің  координаттарын енгізіңіз 70,40

Specify next point or [Arc/Close/Halfwidth/Length/Undo/Width]: – келесі нүктенің  координаттарын енгізіңіз  70,170

Specify next point or [Arc/Close/Halfwidth/Length/Undo/Width]: – келесі нүктенің  координаттарын енгізіңіз  10,170

Specify next point or [Arc/Close/Halfwidth/Length/Undo/Width]: – келесі нүктенің  координаттарын енгізіңіз 10,200

Specify next point or [Arc/Close/Halfwidth/Length/Undo/Width]:келесі нүктенің  координаттарын енгізіңіз 100,200

Specify next point or [Arc/Close/Halfwidth/Length/Undo/Width]: келесі нүктенің  координаттарын енгізіңіз  100,10

Specify next point or Arc/Close/

Halfwidth/Length/Undo/Width]: полисызықты тұйықтау үшін  с-ны енгізіңіз.

Бөлшекті шектелген элементтер әдісімен есептеу үшін:

а) Командалық жолақта AMFEA2D командасын енгізіңіз. Сұрау пайда болады:

Specify interior point:

(Ішкі нүктені анықтаңыз)

б) Бөлшек контурының ішіне кез келген нүктеге тінтуірді басыңыз. FEA 2D - Calculation диалогті терезе ашылады (ШЭӘ 2М бойынша есептеу),             2 суретте көрсетілген.

в) Thickn алаңына d= (Қалыңдығы) Default бөлімінде бөлшектің қалыңдығын 5 мм беріңіз.

г) Table...тінтуірін басып (Кесте…) Select Standard for Material диалогті терезесін шақырыңыз  (материал үшін  стандарт таңдау), 3 суретте көрсетілген.

 

 

д) Материал үшін стандарт таңдаңыз. ANSI Material (ANSI стандарты бойынша материал) тінтуірін басыңыз.  Select Material Type (Материал түрін таңдау) диалогті терезе ашылады, 4 суретте көрсетілген.

 

       

е) Steel SAE 950 (болат SAE 950) материалын көрсетіңіз. Қайтадан FEA 2D – Calculation диалогті терезе ашылады, бірақ таңдалған материал сипаттамаларымен, 2 сурет.

 Loads and Forces (Жүктемелер және күштер) бөлімінде жылжымалы және жылжымайтын нүктелі және таратылған тіреулер, сонымен бірге нүктелі (шоғырланған) және таратылған жүктемелерді орнатуға  арналған алты тінтуірі бар:

Fixed support (Жылжымайтын тіреу) - жылжымайтын тіреуді орнатуға арналған;

 

Fixed distributed support (Жылжымайтын  таратылған тіреу) - жылжымайтын  таратылған тіреуді беруге мүмкіндік береді;

 

Float support (Жылжымалы тіреу) - жылжымалы тіреуді тағайындауға қызмет етеді;

Float distributed support (Жылжымалы таратылған тіреу) - жылжымалы таратылған тіреуді анықтауға арналған;

Concentrated load (Шоғырланған жүктеме) – шоғырланған жүктемені  көрсетуге мүмкіндік береді;

 

Distributed load (Таратылған жүктеме) - таратылған жүктемені таңдау үшін қолданылады.

Тіреуді және жүктемені беру үшін:

 

а) Таратылған жүктемені беру үшін FEA 2D - Calculation (ШЭӘ 2М бойынша есептеу)  диалогті терезеде  тінтуірін басыңыз.

Сұрау пайда болады:

Specify insertion point <Enter=Dialogbox>:

(Қоятын нүктені анықтаңыз <Енгізу=Диалогті терезе)

б) Бөлшектің барлық жиегі бойынша жылжымайтын тіреулері бар деп есептейміз. Жылжымайтын  таратылған тіреулер үшін шеткі екі нүктенің біреуін беріңіз, мысалы 10,170 (объектілік байланыстыруды пайдалануға болады). Ұсыныс түседі:

Specify endpoint:

(Соңғы нүктені анықтаңыз:)

в) Жылжымайтын  таратылған тіреулерді қоятын соңғы нүктені тағайындаңыз - 70,170 (объектілік байланыстыруды пайдалануға болады). Сұрау пайда болады:

Specify side from endpoint:

(Соңғы нүктеден шеткі жақтарын анықтаңыз:)

г) Тіреудің шеткі екі нүктесінің арасында жатқан кез келген нүктеге тінтуірді басыңыз.  FEA 2D - Calcu­lation  диалогті терезесі қайтадан ашылады.

д) шоғырланған жүктемені беретін    тінтуірін басыңыз. Сұрау пайда болады:

Specify insertion point <Enter=Dialogbox>:

(Қою нүктесін анықтаңыз <Enter=Диалогті терезе>:)

е) шоғырланған жүктеменің бөлшекке әсер ету нүктесін

анықтаңыз 20,40. Сұрау аласыз:

Enter a new value <1000 N>:

(Жаңа мәнді енгізіңіз <1000 H>)

ж) Шоғырланған жүктеменің мәнін 2000 көрсетіңіз

(ньюто­нмен). Сұрау пайда болады:

Specify an rotation angle:

(Бұрылу бұрышын анықтаңыз)

и) Шоғырланған жүктеменің әсер ету бағытының

бұрышын  90 (градуспен) таңдаңыз. FEA 2D – Calculation

диалогті терезесі қайтадан ашылады.

к) Mesh (Керегекөз) тінтуірін басыңыз. Хабарлама аласыз:

Delete - Working...

(Жою - Орындау...)

Generating Mesh - Working...

(Керегекөзді генерациялау - Орындау...)

Бөлшектің тұйық контурында керегекөз генерацияланады,  5 суретте көрсетілген.

Содан кейін хабарлама пайда болады:

<Return>:

(Шығу)

л) Enter тінтуірін басыңыз.  FEA 2D - Calcu­lation (ШЭӘ 2М бойынша есептеу) диалогті терезесі қайтадан ашылады.

м)  Results (Нәтижелер) бөлімінде тінтуірін басыңыз,  FEA 2D - Isolines [Isoareas] (Изосызықтар, изоаймақтар) диалогті терезесін шақыру үшін, 6 суретте көрсетілген.

Results бөліміндегі терезеде  қажетті нәтижелерді алу үшін алты айырып-қосқыш бар:

- Von Mises Stress (Мизес фоны бойынша кернеу);

- Stress in X-axis (X осі бойынша кернеу);

- Stress in Y-axis (Y осі бойынша кернеу);

- Stress in Z-axis (Z осі бойынша кернеу);

- Shear Stress (ығысу кернеуі);

- Deformation (Деформация).

                               

н) Кернеуліктің мәнін изоаймақ түрінде оң жақтағы бөлімде Graphic Representation (Графикалық көрсету), одан соң ОК тінтуірін басу керек. Мынадай сұраныс шығады:

Specify base point <Return = in boundary>:

(Базалық нүктені анықтаңыз<Енгізу = контурдың ішіне>)

п) Базалық нүктені анықтаңыз. Изоаймақтарды контурдың ішіне орналастыру үшін  Enter тінтуірін басу керек. Экран бетінде өзінің ішінде орналасқан бөлшектің изоаймақтармен берілген контуры көрінеді. Мынадай сұраныс шығады:

Insertion point:

(Қоюдың орны:)

р) Меңзерді кернеулік кестесін құруға ыңғайлы жерге апарып орналастырыңыз. Осыдан кейін 7 суретте көрсетілгендей, бөлшектің шектелген элементтер әдісімен жүргізілген есептеуінің нәтижесі шығады.

Изоаймақтар түрлі түспен көрсетіледі. Әр түс бөлшектегі белгіленген ауыртпалық бойынша алынған кернеулігінің белгілі бір аралығын көрсетіп тұрады.

Есептеуді болғаннан соң қосымша мәліметтерді AutoCAD Text Window диалогті терезесінен алуға болады, ол F2 тінтуірін басу арқылы шақырылады.

Біздің есептеуге қатысты мынандай фрагменттерді көруге болады :

Generate Nodes in middle of edges of triangles

(Шектелген элементтерді үшбұрыш тәріздес етіп жасайды)

Search loads and supports

(Бөлшектегі ауытқулар мен сүйеніштерді іздейді)

Number of elements 246, Nodes 567

(246 шектелген элемент пен 567 бас изеулер орындалды)

Renumbering of Nodes

(Бас изеулердің қайта нөмірленуі)

Allocation of memory for Equation System 733 kB

(Теңдеулер жүйесіне арналып белгіленген есте сақтау қабілетінің мөлшері 733 Кбайтты алады)

Preparation of Equation System

(Теңдеулер жүйесін есептеуге дайындау)

Calculation of Equation System

(Теңдеу жүйесін есептеу)

Calculation of Stresses

(Кернеулікті есептеу)

Calculation of Inner Loads

(Ішкі ауытқуларды есептеу)

Файлды есеп беру үшін сақтаңыз.

 

2.2 Шешімдерді нақтылау

 

Қарастырылып отырылған бөлшектегі кернеуліктің түрлі түсті изоаймақтарына зерттеу жүргізсек, кернеуліктің көп бөлігі оның ішкі бұрыштық аймақтарында пайда болатыны байқалады. Соған сәйкес, бұл аймақта нақты шешім алу үшін оларды қосымша тағы ұсақ шектелген элементтерге бөліктеген жөн. Осы мақсатта FEA 2D - Calcu­lation диалогті терезесінің Refining (Қайта анықтау) бөлімінде (2 суретті қараңыз) екі тінтуір бар:

- таңдалған бейтарап аймақты дөңгелек сегмент түрінде бөліктету;

- таңдалған бейтарап аймақты тікбұрышты сегмент түрінде бөліктету;

Шектелген  элементтер әдісімен жүргізілген есептеулердің нәтижесі алынған соң командалық жолда мынадай сұраныс шығады:

<Return>:

Жеке аймақтардағы шектелген элементтер әдісімен жүргізілген есептеулердің шешімін нақтылау үшін келесі амалдарды орындаңыз:

а) Сұранысқа жауап ретінде Enter тінтуірін басыңыз.

FEA 2D – Calculation диалогті терезесі ашылады (ШЭӘ бойынша есептеу 2М),  2 суретте көрсетілген.

б) Refining (Қайта анықтау) бөліміне бір рет шертіңіз. Шектелген элементтерге бөліктетілген бөлшектің контуры пайда болады да мына сұранысқа жауап сұралынады:

Specify center point 1 <Return«Continue>s

(Орталық нүктені анықтаңыз                                    1 <Шығу=Жалғастыру>)

в) Ішкі жоғарғы бұрышқа (максимальды кернеулікпен алынған бұрыш) жақын етіп тінтуірмен шерту арқылы бірінші шектелген элементтің (үшбұрыш) орталық нүктесін анықтаңыз. Қайтадан мына сұраныс шығады:

Specify center point 2 <Return=Continue>:

(2 орталық нүктені анықтаңыз <шығу=жалғастыру>)

г) Екінші шектелген элементтің орталық нүктесін беріңіз, сондай-ақ ішкі жоғарғы бұрышқа жақын жатқан нүктені де беріңіз. Осындай үлгіде ішкі жоғарғы бұрыштың айналасынан тағы 7-8 нүктені көрсетіңіз, одан кейін төменгі ішкі нүктенің жанынан 9-10 нүктені көрсетіңіз.

д) Enter-ға басыңыз. Мынадай хаттама аласыз:

Delete - Working...

(Өшіру - Орындау...)

Refining - Working...

(Қалыпқа келтіру - Орындау...)

Бөлшектегі тор қайта басқарылып 8 суреттегідей түрге келеді.

Мынадай хаттама қайталанады:

<Return>:

е) Enter тінтуірін басыңыз FEA 2D - Calcu­lation диалогті терезесіне оралыңыз.

ж) Кернеуліктің изоаймақтарын құруға арналған Results (Нәтижелер) бөліміне тінтуірмен бір шертіңіз. FEA 2D - Isolines [Isoareas] диалогті терезесі ашылады (2 суретті қараңыз).

и) Оң жақ тінтуірмен осы терезенің Graphic Representation (Графикалық көрсету) бөліміне шертіңіз, одан соң ОК-ді басыңыз. Мынадай сұраныс шығады:

Specify base point <Return = in boundary>:

(Базалық нүктені анықтаңыз<Енгізу = Контурдың ішіне>)

к) Изоаймақтарды контурдың ішіне орналастыру үшін Enter тінтуірін басыңыз. Бөлшектің өзінің ішіне орналасқан изоаймақтармен берілген контуры пайда болады. Мынадай сұранысқа кезек беріледі:

Insertion point:

л) Меңзерді кернеуліктің кестесін құруға ыңғайлы жерге апарып орналастырыңыз, мысалы: -60,10. Осыдан соң нақтыланған шешімнің нәтижесін көруіңізге болады (9 суретті қараңыз).

Екі есептеудің нәтижелерін қарап, салыстырсақ, тор өлшемінің (cоңғы элементтер өлшемінің) кішіреюі максимальды кернеуліктің мәні 215-тен  350 МПа–ға дейін көтерілуіне алып келгенін байқаймыз.  Сіздің екінші жағдайдағы нәтижеңіз 9 суреттегі нәтижеден біршама айырмашылығы байқалады.

Файлды есеп беру үшін сақтаңыз.

 

2.3 Бөлшектің құрылымын жақсарту (жеке оңтайландыру)

 

Алдында айтылып кеткеніндей, кернеуліктің көп бөлігі бөлшектің ішкі бұрыштық аймақтарында, ал ең кіші бөлігі сыртқы бұрыштық аймақтарда түзіледі. Нақтыланған шешім бұрыштық нүктелерде кернеулік өте үлкен дәрежеде шоғырлана алатын орындар бар екенін анықтады (торды қалай бөлектетуіңізге байланысты кернеуліктің максимальды мәнін 350…400 МПа өлшемінде аласыз).

Кернеулікті кішірейту үшін бұрыштардың құрылымын өзінен-өзі бір майда бөлшектен екіншіге берілген радиуспенен өтіп кетуге қабілетті сызықтармен түсіндірілетін дөңгелекті түрге  келтіреміз, мысалы радиусты     5 мм етіп алуға болады. Ол үшін мына сұранысқа жауап беру керек:

<Return>:

а) Enter тінтуірін басу керек. FEA 2D – Calculation диалогті терезесі шығады (ШЭӘ бойынша есептеу 2М).

б) Тінтуірлердің соңғы қатарында Delete Results (Нәтижелерді жою) бар

в) Delete Solution (Есептеуді өшіру) тінтуіріне шерту арқылы AutoCAD Question диалогті терезесін шақырамыз (AutoCAD жүйесінің сұрақтары), 10 суретте көрсетілген.

г) Да тінтуірін басыңыз (Yes). Сол терезе жаңа сұрақпен қайта ашылады (11сурет):

Erase loads and supports as well?

(Ауытқулар мен сүйеніштерді өшіру керек пе?)

 

 

                           

д) Да тінтуірін шертіңіз. Бұл бұрыштарды 5 мм радиуспен дөңгелектеткен кезде қозғалмайтындай етіп орналастырылған тіректердің  бастапқы (сол) нүктесін 5 бірлікке оңға жылжыту, ал соңғы (оң) нүктесін        5 бірлікке солға жылжытуымыз қажет екендігімен байланысты. Мынадай сұраныс шығады:

Existing solution

(Қабылданған шешім)

Delete - Working...

(Өшіру - Орындау...)

Delete - Working...

е) Бұрыштарды дөңгелектету үшін командалық жолдағы  AMFILLET2D командасын беріңіз. Мынадай сұраныс шығады:

(Dimension mode:  OFF)   (Trim mode)  Current fillet radius  = 2.5

(Өлшемдерді қою режіміӨшірілу)   (Қиылысу режіміАғымдағы радиусының мәні = 2.5)

Select first object or  [Polyline/Setup/Dimeneion]><Setup>

(Бірінші денені немесе құрылымды таңдаңыз    [Полисызық/Орналастыру/ Өлшем]: <Орналастыру>)

ж) Enter тінтуірін басыңыз. Fillet Radius (Радиус сопряжения) диалогті терезесі ашылады (12 суретті қараңыз).

и) Ашылған тізімде дөңгелектеу радиусының мәніне 5-ті  енгізіңіз де, ОК тінтуірін басыңыз. Сұраныс қайталанады: 

(Dimension mode: OFF) (Trim mode) Current fillet radius = 5

Select first object or [Poliline/Setup/Dimension]: <Setup>  

к) Р (Polyline - полисызық) құрылымын енгізіңіз. Мынадай сөйлем келеді:

Select POLYLINE

(Полисызықты таңдаңыз)

л) Меңзерді бөлшектің контурына апара отырып, тінтуірмен шертіңіз де бөлшектің контурын таңдаңыз. Экран бетінде бөлшектің құрылған контуры пайда болады (12 суретті қараңыз).

м) Esc тінтуірін басыңыз.

н) Командалық жолға AMFEA2D командасын енгізіңіз. Мынадай сұранысты аласыз:

Specify interior point:

(Ішкі нүктені анықтаңыз)

п) Тінтуірмен бөлшек контурының ішіндегі кез келген нүктеге шерту арқылы бөлшектің ішкі нүктесін анықтаңыз. FEA 2D – Calculation диалогті терезесі қайта ашылады.

р) Default бөлімінің (үнсіздікпен) Thickn алаңына d- (Қалыңдығы)  бөлшектің қалыңдығы 5 мм-ді енгізіңіз.

п) Table... (Кесте) тінтуірін шерте отырып, Select Standard for Material (Материал үшін стандартты таңдау) диалогті терезесін шақырыңыз (3 суретті қараңыз).

с) Материал үшін стандартты таңдаңыз. Тінтуірмен шертіңіз, мысалы ANSI Material (ANSI стандарты бойынша берілген материал). Select Material Type (Материалдың түрін таңдау) диалогті терезесі ашылады  (4 суретті қараңыз).

т) Select Material Type диалогті терезесінен Steel SAE 950 (болат SAE 950) материалын таңдаңыз. Таңдалған материалдың параметрлерімен берілген FEA 2D - Calcu­lation диалогті терезесін қайта көресіз.

у) Қозғалмайтындай етіп орналастырылған тіректі көрсету үшін осы терезеге шертіңіз. Мынадай сұраныс шығады:

Specify insertion point <Enter=Dialogbox>:

(Ішкі нүктені анықтаңыз <Enter=Диалогті терезе>)

ф) Қозғалмайтын тіректің орналасуының бастапқы нүктесін анықтаңыз, мысалы сол жақтағы соңғы нүктені 15,170 етіп беріңіз (тіректің алдыңғы орналасуымен салыстыра отырып, оны 5 мм оңға жылжытуымыз қажет екендігін байқаймыз, себебі сол нүктеде дөңгелектетеміз). Мынадай сұраныс шығады:

Specify endpoint:

(Соңғы нүктені анықтаңыз)

х) Қозғалмайтын тіректің орналасуының 65,170 координатасына ие соңғы нүктесін көрсетіңіз (оны 5 мм солға жылжыту керек, себебі мұнда да   дөңгелектету жүргізіледі). Мынадай сөйлем келеді:

Specify side from endpointt

(Соңғы нүктеден алынатын жақты көрсетіңіз)

ц) Соңғы нүктеден алынатын жақты көрсетіңіз. Тінтуірмен тіректің шеткі нүктелер арасының кез келген нүктесіне шертіңіз. Кезекті рет FEA 2D –Calculation диалогті терезесі ашылады.

ш) Дайын тұрған ауытқуларды орналастыру үшін диалогті терезенің бірінші қатарындағы ең соңғы нүктенің алдындағы нүктесіне бір шертіңіз. Мынадай сұраныс қайталанады:

Specify insertion point <Enter-Dialogbox>:

щ) Дайын тұрған ауытқулардың бөлшекке әсер ететін нүктесінің координатасын анықтаңыз -  20,40. Мынадай сұраныс шығады:

Enter a new value <1000 N>:

(Жаңа мән енгізіңіз <1000 Н>)

э) Дайын тұрған ауытқулардың алғашқы координатасын енгізіңіз: 2000 (ньютон бойынша). Мынадай сұраныс шығады:

Specify an rotation angle:

(Бұрылу бұрышын анықтаңыз:)

ю) Дайын тұрған ауытқулардың бағытының бұрышын көрсетіңіз: 90. FEA 2D – Calculation диалогті терезсі қайта ашылады.

я) Mesh (Тор) тінтуірсына шертіңіз. Мынадай хаттама шығады:

Delete - Working... Generating Mesh - Working...

(ӨшіруОрындауТорды басқару -  Орындау...)

Бөлшектің қалыпқа келтірілген контурының шектелген элементтерге бөліктетуінің нәтижесі шығарылады. Қайтадан мынадай хаттама шығады:

<Return>:

я1) Enter тінтуірін басыңыз. FEA 2D – Calculation диалогті терезесі қайтадан ашылады. Қауіпті аймақтардағы нақтыланған шешімдерге қол жеткізу үшін оларды Refining (Қайта анықтау) бөліміндегі дөңгелек сегмент түріндегі алынған бейтарап аймақтың бөліктету тінтуір арқылы қосымша ұсақ шектелген элементтерге ыдырату қажет. Сұраныстарға жауап бере отырып, қауіпті нүктелердің айналасынан қосымша бөліктеудің 8-10 нүктесінен көрсету керек.

я2) Кезекті сұранысқа сұранысқа жауап ретінде Refining (Қайта анықтау)  аяқтау үшін Enter тінтуірін басыңыз. FEA 2D – Calculation диалогті терезесі қайта ашылады.

 

я3) Кернеуліктің изоаймақтарын құруға арналған Results (Результаты) бөліміне оң жақ тінтуірмен шертіңіз. FEA 2D - Isolines [Isoareas] (Екіөлшемді денелердің ШЭӘ - Изо­сызықтар [Изоаймақтар]) диалогті терезесін қайта көресіз (6 суретті қараңыз).

я4) Осы терезедегі оң жақ тінтуірмен Graphic Representation

(Графикалық көрсету) бөліміне шертіңіз  , одан соң ОК-ді басыңыз. Мынадай таныс сұраныс шығады:

Specify base point <Return = in boundary>:

я5) Базалық нүктені анықтаңыз. Изоаймақтарды контурдың ішіне орналастыру үшін Enter тінтуірін басыңыз. Бөлшектің өзінің ішіне орналасқан изоаймақтарымен берілген контуры көрсетіледі. Мынадай сұраныс шығады:

Insertion point:

я6) Меңзерді кернеуліктің кестесін құруға ыңғайлы жерге апарып орналастырыңыз, мысалы -60,10. Мынадай хаттама аласыз:

<Return>:

я7) Enter тінтуірін басыңыз. Қайтадан FEA 2D – Calculation диалогті терезесі ашылады.

я8) Деформацияны құруға болатын Results (Результаты) үшінші тінтуір арқылы басыңыз. FEA 2D - Deformed Mesh (Екіөлшемді денелердің ШЭӘ – Торды деформациялау) диалогті терезесін көресіз, 14 суретте көрсетілген.

я9) Осы терезедегі  ОК тінтуірсын басыңыз. Таныс сұраныс келеді:

Specify base point <Return = in boundary>:

я10) Базалық нүктені анықтаңыз. Enter тінтуірін басыңыз. Экран бетінде деформацияланған контурдың көрінісі шығады. Мынадай сұраныс келеді:

Insertion point:

я11) Меңзерді деформацияның есептеуінің нәтижесінің кестесін құруға ыңғайлы жерге орналастырыңыз. Кезекті рет мынадай хаттама шығады:

<Return>:

Осыдан кейін бөлшектің кернеулігі мен деформациясының шектелген элементтер әдісімен жүргізілген есептеулерінің нәтижесі 15 суреттегідей болып көсетіледі.

 

 

Файлды есеп беру үшін сақтаңыз.

 

2.4 Нәтижелерді талқылау

 

Зертханалық жұмыста жазық бөлшектің кернеулі-деформациялы қасиетіне талдау жүргізілген болатын (беріктілік теориясының жазық тапсырмасы, соның ішінде екіжақты кернеуленген қасиеті қарастырылды). Есептеулердің көрсетуі бойынша, бөлшектің жылдам өзгеретін геометриясының орындарында көтерілген кернеуліктер пайда болады, яғни ол жақта кернеуліктің шоғырлану орны бар. Бұл кернеуліктерді төмендетуді түрлі геометриядан алынған бөліктер арасында өзінен-өзі өтіп кету қасиетін пайдаланумен іске асыруға болады. Солай, 5 мм радиуспенен дөңгелектетуді қолдану кернеулік шамасын  400 МПа-дан 315 МПа-ға дейін төмендетуге мүмкіндік берді. Көрініп тұрғандай, максимальды кернеулік бәрі бір ағымдағы мәнге жақын. Басқаша айтқанда, тетікте пластикалық деформацияны жасау мүмкін болмаса, басқа қолдан келетін шамаларды қолданған дұрыс: дөңгелектеу радиусын үлкейту, қосымша тіректерді кіргізу, бөлшектің қалыңдығын үлкейту немесе берік материальды қолдану.

Берік деформациялар кезіндегі максимальды жылжыту бөлшектің төменгі сатысындағы 1 мм шамасында (х осі бойынан) төменгі сол жақтағы бұрышты алады. Осыған сенімді болу үшін AutoCAD’ а тексттік терезесін шығарып, FEA 2D – Calculation диалогті терезесінің at Point (нүктеге) тінтуірін шертіп, қауіпті нүктелерді көрсеткеннен кейін сұраныстарға жауап бере отырып кернеуліктің шығарылған мәндерін және нүктелердегі орын ауыстыруларын көруге болады.

 

Зертханалық жұмысты қорғау үшін бақылау сұрақтары:

1) Шектелген элементтер әдісі қандай негізгі кезеңдерді қарастырады?

2) Бөлшектің қалыңдығын өзгерткенде қандай мәндер өзгереді?

3) Кернеулердің шоғырлануы дегеніміз не?

4) Ең үлкен кернеулер  қандай нүктелерде орналасады?

5) Стандартталған материалды таңдау үшін қандай командалар орындалады?

6) Кернеулердің шоғырлануын төмендетуге қандай шаралар қолданылады?

7) Шектелген элементтердің өлшемдерін азайтқанда шешімдер дәлдігі қалай өзгереді?

8) Бөлшектің бұрыштарын  дөңгелектету үшін қандай команданы пайдаланамыз және ол команданың қандай опциялары болады?

 

А қосымшасы

Шектелген элементтер әдісінің негізі

Инженерлік және физикалық есептеулерді шешуде шектелген элементтер әдісі (ШЭӘ) бірден бір тез, әрі нақты әдістердің бірі болып табылады.  Оның қолданылу аймағы статика және динамикадағы құрылымдық элементтердегі кернеулікті зерттеуден атомдық электрстансасы сияқты күрделі жүйелерді есептеулерге дейін барады. Оның көмегімен сұйықтың құбырмен қозғалысын, уақ тесікті ортадағы қозғалысын, бөгеттерден қалай өтетінін, газдың ағымдағы қысымын зерттеуге, электростатика мен электродинамиканың есептерін шешуге болады.  Басқаша айтқанда, дифференциалды теңдеулер негізінде жүргізілетін кез келген есепті ШЭӘ-мен шешуге болады.

Әдістің беріктілік теориясына қатысты ерекшеліктері. Құрылымды элементтердің кернеулі-деформациялы күйіне қатысты тапсырмаларын орындауда шектелген элементтер әдісін қолдану келесі тәртіппен жүзеге асырылады.

а) Бөлшекті кез келген түрдегі ұсақ элементтерге (ереже бойынша жай түрлерге): а-призмалар, б-тетраэдралар, в-өзек, г-жәшік немесе басқа да көпжақтар; қабат және де басқа түрдегі элементтерге бөліктету (А.1 суретті қараңыз).

 

б) Шоғырланған деп аталатын кейбір нүктелердегі элементтерді  аm в жылжытуты белгісіз ізденістегі өлшемде ала береді. Орналастырулар түрі сызықты немесе бұрыштық болуы мүмкін, яғни  аm – шоғырланған нүктелердегі үйірлі орналастырулар түрі болып табылады. Әрбір шектелген элемент үшін аm орналастырулар түрінің саны шектелген элементтерде қалдырылатын z-тің еркіндік дәрежесінің мөлшеріне тең (m – еркіндік дәрежесінің нөмірі, яғни m = 1, 2, 3, ..., z). Солайша, А.1 суретінде көрсетілген жазық тетік үшін, әдетте А.1 а суретінде көрсетілгендей  үшбұрышты призмалық элементтер қолданылыды. Сызба жазықтығында мұндай элемент алты тәуелсіз орналастыру түріне ие: әрбір үш орталық шиеленісте екі орналастыру түрінен. А.1 б суретінде көрсетілген элемент – кеңістіктегі элемент, оның еркіндік дәрежесінің нөмірі 12-ге тең: әрбір төрт орталық шиеленісте үш орналастыру түрінен.

в) Шектелген элементтер негізінде алынған орналастыру түрі uk (k= 1,2, 3) мынадай қатынаста көрсетіледі:

                                        (А.1)

мұнда  - ағымдағы xk (координаттық функциялар) координатасының функциясы, олардың өзара көршілес элементтердегі (кейбір де олардың  туындыларының) орналастыру түрінің үзіліссіздік шартын қанағаттандыруы қажет.

(А.1) өрнектен шектелген элементтегі деформация Коши формуласы бойынша есептеп шығарылады:

.                                         (А.2)

Өзек немесе қабат тәріздес шектелген элементтердің деформациясын анықтау үшін сол өзектің немесе қабаттың иілу теориясының белгілі тәуелділіктерін қолданады. Кез келген жағдайда (А.1) формуласынан жай дифференциялдықпен шектелген элементтегі деформацияны табуға болады. Бұл деформациялар аm  орналастыру түрінің сызықты функциясы болып табылады:

                                                           (А.3)

мұнда Aklm – белгілі өлшемі немесе координаталардың функциясы.

г) Деформациялаудың заңын қолдана отырып, шектелген элементтің деформациялы күйін анықтасақ, оның кернеулі күйін де анықтауға болады. Кернеулікті есептеу Гуктың көпшілікке таныс заңын қолдану арқылы жүзеге асырылады. Әрі қарай тек осындай есептеулермен шектелеміз. Мұндай жағдайларда шектелген элементтегі кернеулік те аn (n = 1, 2, ..., z) орналастыру түрінің мынандай түрдегі сызықты функциясы болады:

                                                                       (А.4)

мұнда Bkln – белгілі өлшемі немесе xk координатасының функциясы.

д) Орналастыру түрінің (А.1) өрнегі, (А.3) деформациясы және (А.4) кернеулігі бойынша мынадай функционалды табуға болады: мәселен, әр шектелген элемент үшін Пr потенциялдық және Тr кинетикалық энергиясын, Ккинетикалық функциясын табамыз (1, 2, 3 мәнін қабылдайтын k, l бойынша мөлшерлеу):

                                 (А.5)

       

 Интегралдарды шектелген элементтің r (r = 1, 2, 3, ..., R, мұндағы 

R бөлшектегі шектелген элементтің жалпы саны) нөмірлері бар Vr көлемі   арқылы есептейді.

(А.1), (А.3) и (А.4) суреттеріне сәйкес uk орын ауыстыруы, ekl деформациясы және skl кернеулігі орталық шиеленістегі аm орын ауыстыруының біртекті сызықты функциялары болып табылады.  Осындай шарттың өзінде (А.5) суретіне сәйкес, Пr потенциалдық энергия және Кr  кинетикалық энергия аm орын ауыстыруының  екінші дәрежелі біртекті функциялары (квадраттық формада)  болып табылады, ал Тr кинетикалық энергиясы  орталық шиеленістегі нүктелердегі  жылдамдығына байланысты квадраттық формада болады.

Барлық бөлшектер үшін П потенциалдық энергиясын, Т кинетикалық энергиясын және К кинетикалық функциясын олардың шектелген элементтегі сәйкес жинақталған саны (А.5)  бойынша анықтайды:

                                                (А.6)

Одан соң барлық бөлшектер үшін барлық еркіндік дәрежелері бойынша шектелген элементтердің орталық шиеленістегі нүктелерінің толық нөмірленуін қадағалайды. аi  кейбір элементтің кейбір орталық шиеленістегі нүктенің орын ауыстыруы және i индексі 1-ден N–ге  дейін өзгеріп отыратын (мұнда N–барлық бөлшектің еркіндік дәрежесінің толық саны) еркіндік дәрежесінің нөмірі. Енді (А.6) функционалын аi  орынауыстыруының келесі түрдегідей квадратты формасы ретінде немесе аi  жылдамдығы ретінде қарастыруға болады:

                                    (А.7)

мұнда Сij – жүйенің қаттылығының коэффициенті (бөлшектің);

       Мij – жүйенің инерция коэффициенті (келтірілген массалар).

(А.7) түріндегі функционалдарды анықтау әртүрлі принциптерге негізделген әдістерді қолдануға болатын динамика тапсырмаларының есептерін шешуге мүмкіндік береді.

Құрылымдағы (А.1 суретті қараңыз)  статикалық кернеулік пен деформацияны табу үшін Лагранж ұстанымын қолдануға болады, яғни толық энергия жүйесі минимумының принципі.

Өзіндік  тербелістерді (жиілігі және формасы) Ритц әдісінің теңдеуі бойынша алады.

Лагранж екінші ретті теңдеуіне сүйене отырып, қарастырылып отырған құрылымның қозғалысының жалпы теңдеуін алуға болады. Барлық жағдайда орталық шиеленістегі нүктелердің және олардың туындыларының  аi орын ауыстыруына қатысты алынған теңдеулер жүйесі уақыт бойынша сызықты болып келеді. Осы жүйені шеше отырып, ai – дің мәндерін аламыз, одан соң (А.1), (А.3) және (А.4)–те келтірілген формулалар бойынша барлық қажетті өлшемдерді табамыз.

Құрылымдық түсіндірме бойынша ШЭӘ Ритц әдісінің көптік түрі болып келеді. ШЭӘ-нің Ритц классикалық  әдісінен ерекшелігі тек (А.1) көрсетілгендей jm координаттық функциясын таңдауда ғана.  ШЭӘ–де кез келген формадағы тетік үшін әмбебап координаттық функциялар қолданыла алады, оны таңдау тек шектелген элементтің түріне (формасына) ғана тәуелді, ал Ритцтің классикалық әдісінде әрбір берілген тетік оларды жеке-жеке таңдайды, сондай-ақ олар шектеулі шарттарды қанағаттандыруы керек, ал ол координаттық функцияларды анықтауға үлкен қиындықтар туғызады. Бұл ШЭӘ–нің бірінші маңызды қасиеті болып табылады.

ШЭӘ–нің екінші бір маңызды қасиеті: әрбір шектелген элементтің uk орын ауыстыруы орталық шиеленіске жақын жатқан аi орынауыстыруына қатысты болады және жойылған нүктелердегі орын ауыстыруларға байланысты емес. Нәтижесінде матрицаның Сij, Мij коэффициенттерін көп нөлдік мүшелер ғана қамтиды, ал ол ұқсас сызықты теңдеулер жүйесін шешуді жеңілдетеді. Көп жағдайда матрицаның Сij, Мij коэффициенттері таспа-бау ретінде, яғни бас диагональ бойында орналасқан мүшелері нөлден өзгеше, ал қалған мүшелері (көпшілігі) нольге тең. Таспа-бау түріндегі матрицалармен жасалатын жұмыс толық матрицалармен жасалатын жұмыстан әлдеқайда жеңіл және есептеулер де нақты шешімін табады.

ШЭӘ-нің үшінші маңызды қасиеті бөлшектің бекітілу шартының, яғни әдіптелу шартын тіркеудің қарапайымдылығы. ШЭӘ-де әдіптелу шарттары координаттық функциаларды анықтаға әсер етпейді, олардың жүзеге асырылуы орын ауыстыру түрінің тапсырмасына байланысты немесе олардың бөлшектің шекарасында орналасқан орталық шиеленістегі қосылыстарына байланысты болады, ал бұл шешімді әлдеқайда жеңілдетеді.   

Айтылған маңызды қасиеттер, сондай-ақ ЭЕМ-де жоғары ретті (бірнеше жүздіктер) теңдеулер жүйесін, соның ішінде турбомашиналар бөлшегінің есептеулерін шеше білуі, ШЭӘ-нің есептеу практикасында кеңінен қолданылуын қамтамасыз етеді.

Бөлшектің кернеулігі мен деформациясын статикалық шарттарда есептеу үшін ШЭӘ-ін қолдану.   Лагранж ұстанымына сәйкес, жүйенің тепе-теңдігі кезінде мүмкін болатын орын ауыстырулардағы барлық күштің жұмысы (ішкі және сыртқы) нольге тең.  Құрылым үшін (А.1 суретті қараңыз) Fi беттік және Хi көлемдік күштер орталық шиеленістер үшін жұмсалады деп қабылдаймыз. Барлық орталық шиеленістердің аi орын ауыстыруына мүмкін болатын айналуларды жасаймыз (dаi нұсқалары), жүйенің Э толық энергиясының dЭ айналуларын құрамыз да, оны нөлге теңестіреміз. Нәтижесінде мынаны аламыз:

                                                    (А.8)

П потенциалдық энергиясының айналуларын  орынауыстыру нұсқаларында есептеп шығатын болсақ, мына түрге келеді:

.                      (А.9)

(А.9)-ды  (А.8)–ге апарып қоятын болсақ:

.                                            (А.10)

Нұсқаларын қалағанымызша аламыз, сондықтан (А.10)-ғы жақша ішіндегі өрнектер нөлге теңестірілуі қажет, яғни:

          .                                                  (А.11)

           (А.7)- ні қолдана отырып, есептейміз, сонда:

.                       (А.12)

Берік те кертартпа құрылымдарда қаттылық коэффициетінің симметриялы екені белгілі, сол себепті (А.12)-де көрсетілгендей Сij = Сji .

(А.12)-ні  (А.11)-ге орналастыра отырып, орын ауыстыруын анықтау үшін мына түрдегідей теңдеулер жүйесін аламыз:

                                                      (А.13)

Мұнда i=1,2, 3, ..., N.

Жүйенің тәртіптелген нөмірі қарастырылып отырған құрылымның еркіндік дәрежесінің санына тең. теңдеулер жүйесін шешу (А.13) орталық шиеленістегі аj орын ауыстырулардың мәнін береді, одан кейін uk, ekl және skl мәндерін (А.1), (А.3) және (А.4) тәуелділігіне байланысты, яғни қойылған тапсырманы шешу.

Үшбұрышты шектелген элементтерінің  координаттық функциялары. А.1,а суретінде көрсетілген  элемент үшін орынауыстырудың мынадай заңы жүреді:

,     (k= 1,2;  m =1,2,3),                          (А.14)

мұнда ak – k координаттық осімен бағытталған үшбұрыштың  орталық шиеленісіндегі орынауыстыруы;

 φm – координаттық функциялары, оларды мына түрдегі сызықты функция ретінде таңдайды:

,                                              (А.15)
bms=∆ms/∆    (s = 0,1,2),                                           (А.16)

,                                                              (А.17)

мұнда ∆ms – (s + 1) бағанының m жолымен қиылысуында орналасқан элементтің алгебралық толықтауышы (s = 0 бірінші бағанға, s = 2–үшінші бағанға сәйкес келеді);

      - үшбұрыштың m - орталық шиеленісінің k координаттық осі бойынша алынған координатасы ( А.3 суретті қараңыз);

       F – үшбұрыш ауданы.

 

А.3 сурет –Үшбұрышты призмалы түрдегі шектелген элемент

 

φm  координаттық функциясы келесі шарттарды қамтамасыз етеді:

                                                                                            (А.18)

Осылайша, φm функциясы  m нөмірдің орталық шиеленісінде бірлікке айналады және    ұшбұрышты элементтің қалған екі орталық шиеленісінде нөлге тең. Бұл қасиет (А.15)-гі координаттарды орталық шиеленістегі нүктелердің оң бөлігіне орналастырудан шығып отыр:

uk  орын ауыстыруының φm функциясының сызықты болуына орай, ол орын ауыстырудың екі көршілес элементтің шекарасындағы үздіксіздік шартын қанағаттандырады. Бұл орын ауыстырудың кез келген r (мысалы А.3 суретіндегі 1-2 шекарасында) элементінен сызықтық заң бойынша өзгеруінен туындайды, ал шекараның соңғы жағында, яғни 1 және 2 орталық шиеленісінде олар және орталық шиеленісіндегі орын ауыстыруларға тең.  r+1 көршілес элементі үшін сол талданыстар әділетті, соған орай, олар ортақ шекараларында орын ауыстырулар бірдей, яғни көршілес элементтердің шекараларындағы үзіліссіздік шартын қанағаттандырады.

Үшбұрышты шектелген элементтегі деформациялар. (А.2) формуласы бойынша шектелген элементтегі деформацияны табамыз:

              (А.19)

Кері айналған түрде:

                                                                    (А.20)

                (А.21)

                                                                   (А.22)

 (А.20 - А.22) тәуелділікке байланысты матрицалық түрдегі жазбаға келтіреміз:

                                                                            (А.23)

Мұндағы гректің әрпімен белгіленген белгі матрица бағанын білдіреді.

(А.23)-те көрсетілген

    (А.24)                    (А.25)

                                           (А.26)

аr матрица бағаны шектелген элементтің белгілі бір кезекпен орналасқан орталық шиеленістегі орын ауыстыруларымен толтырылған. Оларды бірден алтыға дейін толығымен нөмірлеп шығуға болады (А.26).

(А.23)–тен әрбір шектелген элементтің деформациясы тұрақты екеніне көзіміз жетеді.

Үшбұрышты шектелген элементтегі кернеулік.  Жазық бөлшектің кернеулі жағдайын сипаттайтын Гук заңын да матрицалық түрге келтіруге болады.

                                                         (А.27)

 

                                                        (А.28)

 

.                                          (А.29)

Жазық деформациялы күй үшін (e33=0)   (А.27)  қатынасын алуға болады, бірақ [D] матрица мынандай түрге келеді:

.                                  (А.30)

(А.23)–ні  (А.27)-ге орналастыру арқылы мынаны аламыз:

                                                      (А.31)

Шектелген элементте кернеулік оның толық көлемі бойынша тұрақты болып келеді.

Үшбұрышты шектелген элементтің потенциялдық энергиясы (А.5)-тің   бірінші формуласы бойынша:

                                    (А.32)

Мұнда - матрица-жолы

.                                        (А.33)

(А.31) кернеулігі және (А.23) деформациясын  (А.32) қатынасына келтіретін болсақ, мынаны аламыз:

                                                              (А.34)

                                                              (А.35).

мұнда [B]* (А.25) формуласы бойынша [В] матрицасының транспонирленген матрицасы;

Vr – шектелген элементтің көлемі, Vr = Fd;

d   - бөлшектің қалыңдығы.

Еске түсіре кетерлік, жақша ішінде берілген қайталанбалы индекс бойынша жинақтау жүргізілмейді.

Матрицалық қатынасты кері орналастырылған түрде жазамыз (А.35).

 

(А.36)

Мұнда [С]r - r - шектелген элементінің қаттылық матрицасы.

Барлық құрылымның потенциялдық энергиясы. Ол барлық шектелген элементтің потенциялдық энергиясын жинақтаумен анықталады.  (А.6) және (А.34)–ке сәйкес мынаны аламыз:

2П = аr*[С]гаг = а1*[С]1а1 + а2*[С]2а2 + ... + аR*[С]RаR,                  (А.37)

Мұнда аr–r нөмірлі элементтің орталық шиеленістегі орын ауыстыруларының  матрицасының бағаны.

(А.37) қатынасын былайша көрсетуге болады:

                                    (А.38)

мұнда   - бөлшектің барлық элементтердің орталық шиеленістегі орын ауыстырулардан алынған матрица-бағаны;

[Ф] – барлық элементтердің қаттылық матрицасынан құралған бас диагональдық матрицасы.

Матрица-бағаны және бас диагональды матрица мынадай түрде болады:

                             (А.39)

Барлық құрылымның орталық шиеленістегі орын ауыстыруларынан құралған а матрица-бағанын енгіземіз. Бұл матрицаның элементтер саны құрылымның еркіндік дәрежесінің N санына тең. а матрицасы  матрицасымен үйлесімді емес екені анық; соңғысына кейбір орын ауыстырулар бірнеше рет енгізілген, өйткені орталық шиеленістің көпшілік бөлігі бір элементке емес, бірнеше элементке тиісті. Әрбір құрылым үшін  және а матрицалары арасында мынадай түрде байланыс орнатуға  болады:

                  (А.40)

мұнда [H] – матрицаның кейбір түрі.

[H] матрицасын құру мысалмен түсіндірген оңай. А.4 суретінде үш шектелген элементтен тұратын және орталық шиеленістегі орын ауыстырулары көрсетілген жазық бөлшектің көрінісі тұр. Бұл құрылым үшін  (А.40) қатынас келесі түрде көрсетіледі:

 

                         (А.41)

 

 матрица бағанында барлық шектелген элементтердің орталық шиеленісіндегі орын ауыстырулары қатарымен орналастырылған, ал а бағанында – сол орын ауыстырулар, бірақ  бүкіл құрылымның барлық еркіндік дәрежесі бойынша толық нөмірленген түрде берілген.   [H] кестесінің барлық толтырылмаған торлары нольдік мәнге ие. (А.40) өрнегін (А.38)-ге орналастыру арқылы мынаны аламыз:

                                                             (А.42)

                                                     (А.43)

Мұнда  [C] – жүйенің  N*N өлшемді қаттылық матрицасы. Бұл Cij матрицаның компоненттері (А.6)  потенциалды энергияның өрнегіне енетін және тепе-теңдіктегі қозғалыстың теңдеуінде қолданылатын бүкіл жүйенің қаттылығының ізденісті коэффициенттері болып табылады.

Шектеулі шарттар. Құрылымның қатты бекітілу нүктелеріндегі орын ауыстырулар нольге тең.  Шектеулі шарттарды  [С] және [М] матрицаларын шешіп болғаннан кейін қорытынды сатыға келгенде есепке алуға болады, ол үшін  П және  К (А.7)  өрнегінде орын ауыстырулардың сәйкес мәндерін нөлге тең болатындай ету керек. Инерция қаттылығының оларға сәйкес келетін коэффициенттері алынып тасталынады және есептеуде қажет болмайды. Бұл [С] (А.43) матрицасындағы шектеулі шарттарды қолданғаннан кейін нольге айналатын элементтермен байланысқан жолдар мен бағандарды сызып тастаумен тең мәндес. Мысалы, А.4 суретінде көрсетілген құрылым үшін оның бекітілу шарты бойынша:  а1 = а2 = а5 = а6 = 0.   [С] матрицасында сәйкес нөмірлердің жолдары мен бағандарын сызып тастаған дұрыс, нәтижесінде төменгі ретті матрица алынады - тоғызыншы реттінің орнына алтыншы ретті.  Кейбір жағдайда бекітілген орталық шиеленістегі, сондай-ақ  және а бағандарындағы орын ауыстыруларды алдын-ала нөлге тең деп алған және [Ф] матрицасындағы сәйкес жолдар мен бағандарды сызып тастаған жөн.  Сонымен қатар [H] булевті матрицасының реті де төмендетіледі.

Қазіргі уақытта түрлі өзгеріске ұшырай алатын қатты денелердің (статикалық және динамикалық) механика, гидромеханика, алаң теориясы, жылу өткізгіштік пен конвекцияда кеңінен кездесетін тапсырмаларын шешуге мүмкіндігі бар ШЭӘ іске асыра алатын көптеген компьютерлік бағдарламалар бар.

 

Әдебиеттер тізімі

1.    Кудрявцев Е.М. Mechanical Desktop Power Pack. Основы работы в системе. – М.: ДМК Пресс, 2001. – 448 с.

2.    Механика. Расчеты на прочность и жесткость балок и валов в системе AutoCAD Mechanical. Методические указания к лабораторным работам/ А.Д.Динасылов. - Алматы:   АИЭС,  2003. – 30 с.

3.    Степин П.А. Сопротивление материалов: Учебник для вузов. – М.: Высшая школа, 1988. – 367 с.

4.    Биргер И.А., Мавлютов Р.Р. Сопротивление материалов: Учебное пособие. - М.: Наука, 1986. – 560 с.

5.    Костюк А.Г. Динамика и прочность турбомашин: Учебник для вузов. – М.: Издательство МЭИ, 2000. – 480 с.

6.    Шимкович Д.Г. Расчет конструкций в MSC/NASTRAN for Windows. – М.: ДМК Пресс, 2001. – 554 с.

 

2013 ж. жиынтық жоспары, реті 212