Некоммерческое акционерное общество

АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ

Кафедра инженерной графики и прикладной механики

 

 

 

МЕХАНИКА.

СТАТИКА и КИНЕМАТИКА.

 Методические указания к выполнению лабораторных работ

для студентов всех форм обучения специальностей  

5В074600 – Космическая техника и технологии,

5В071700 – Теплоэнергетика

 

 

 

Алматы 2012 

СОСТАВИТЕЛЬ: Р.К.Койлыбаева. Механика. Статика и кинематика. Методические указания к выполнению лабораторных работ для студентов всех форм обучения специальностей 5В074600 – Космическая техника и технологии, 5В071700 – Теплоэнергетика. – Алматы: АУЭС, 2012. - 36 с. 

 

В методических указаниях содержатся задания и пошаговые указания к выполнению лабораторных работ по разделам «Статика» и «Кинематика». Лабораторные работы выполняются с использованием компьютерной системы Mathcad, наряду с этим там, где это оправдано, используется также система AutoCAD.  В каждой лабораторной работе после выполнения общего задания предусмотрено выполнение индивидуального задания по варианту, что позволит студентам закрепить полученные навыки в составлении расчетных моделей и проведении расчетов. Каждая лабораторная работа выполняется за 2 контактных часа.

Методические указания предназначены для студентов специальностей 5В074600 – Космическая техника и технологии, 5В071700 – Теплоэнергетика. Они могут также использоваться на лабораторных занятиях по дисциплинам «Механика» и «Прикладная механика» для студентов других специальностей.

Ил. 48, табл. 4, библиогр. - 5 назв.

 

Рецензент: канд.техн.наук, проф. Л.К.Ибраева.

 

Печатается по плану издания некоммерческого акционерного общества «Алматинский университет энергетики и связи» на 2012 г.

 

 ã НАО «Алматинский университет энергетики и связи», 2012 г.

 

1  Определение равнодействующей системы сходящихся сил

 

1.1  Цель лабораторной работы и задание

 

Целью данной лабораторной работы является закрепление знаний по теме «Система сходящихся сил» и отработка приемов определения равнодействующей системы сходящихся сил графическим и аналитическим способами.

Лабораторная работа выполняется на персональном компьютере с  установленными в среде Windows XP системами Mathcad и AutoCAD.

В работе предусмотрено выполнение 3-х заданий.

Задание 1:  для заданной плоской системы сходящихся сил (см.рисунок 1), где  F1=30 H, F2=20 H, F3=45 H, F4=50 Hтребуется определить величину и направление ее равнодействующей графическим способом с использованием системы AutoCAD.

Задание 2: определить величину и направление равнодействующей заданной системы сходящихся сил аналитическим способом с использованием системы Mathcad и сравнить результаты.

Задание 3:  определить равнодействующую системы сходящихся сил двумя способами по указанному преподавателем варианту и убедиться в правильности решения путем сравнения  полученных результатов.

 

1.2  Выполнение лабораторной работы

 

Задание 1. Как известно, сходящимися называются силы, линии действия которых пересекаются в одной точке.  Систему сходящихся сил можно заменить одной силой (равнодействующей), которая приложена в точке пересечения сил и равна векторной сумме этих сил:

.

При построении по правилу многоугольника вектор равнодействующей направляется от начала первого вектора силы к концу последнего вектора силы, при этом последовательность построения векторов сил значения не имеет.

Запустим систему AutoCAD  с помощью ярлыка на рабочем столе или с помощью кнопки Пуск.  Для точности построения включим режим объектных привязок. Используя менеджер слоев, установим для слоя 0 толщину линии 0.3 мм.  Для заданных сил будем использовать черный цвет, а для равнодействующей  в дальнейшем поменяем цвет линии на красный.

Выберем масштаб построения: 1 мм соответствует 1 Н.

Сначала с помощью команды Line (Отрезок) построим отрезки для векторов заданных сил, откладывая первый вектор силы из произвольной точки, а остальные из конца предыдущего. Так как заданы модули векторов сил и их направления, то удобно использовать полярную систему координат, указывая для второй точки отрезка после значка @ длину отрезка, знак угла  <  и угол, образуемый с положительным направлением оси х (угол отсчитывается от оси х против хода часовой стрелки). Например, для второго конца первого отрезка  указываем @30<0, для последующих точек  @20<45, затем @45<120 и @50<210. Результат построения показан на рисунке 2. Если отрезок изображается неверно, можно выполнить отмену, например, с помощью одновременного нажатия клавиш <Ctrl> и<z>.

 

    

                Рисунок 1                                               Рисунок 2

 

В произвольной точке построим стрелку для вектора, используя команду Полилиния, как показано ниже:

Command: _pline

Specify start point:

Current line-width is 0.0000

Specify next point or [Arc/Halfwidth/Length/Undo/Width]: w  (перейдем в режим установки толщины линии)

Specify starting width <0.0000>: 3  (установим начальную толщину линии)

Specify ending width <3.0000>: (установим конечную толщину линии)

Specify next point or [Arc/Halfwidth/Length/Undo/Width]: @8,0 (укажем относительные координаты второй точки линии)

Specify next point or [Arc/Close/Halfwidth/Length/Undo/Width]:

Результат выполнения этой команды показан на рисунке 3.

 

   

                        Рисунок 3                                                  Рисунок 4

 

Затем сделаем несколько  копий  стрелки (см. рисунок 4) с помощью команды Copy (Копирование). Перенесем каждую стрелку  в концы векторов, взяв за базовую точку острие стрелки и используя команду Move (Перенести), а затем повернем стрелку вокруг острия с помощью команды Rotate (Повернуть) до совмещения с отрезком (см.рисунок 5).

Для построения равнодействующей силы установим красный цвет линии и проведем отрезок от начала первого вектора силы в конец последнего. Изменим цвет оставшейся стрелки на красный, перенесем  и повернем ее. Установив толщину линии Default (по умолчанию), покажем путем измерения длину вектора равнодействующей силы и ее угол с осью х. Результат построения показан на рисунке 6.

    

Рисунок 5                                                   Рисунок 6

 

Таким образом, модуль вектора равнодействующей силы R=35,49 H, вектор равнодействующей силы направлен под углом 128° к оси х.    

Задание 2.  Вектор равнодействующей системы сходящихся сил . При определении равнодействующей аналитическим способом выбирают систему координат и вычисляют проекции равнодействующей на координатные оси и ее модуль R  с помощью формул:

Направляющие косинусы вектора равнодействующей силы и ее углы с координатными осями находятся по  формулам:

Запустим систему Mathcadвведем данные и проведем вычисления, как показано на рисунке 7 (расчетную схему изображать не надо).   Для удобства работы желательно сразу установить для клавиатуры  английский язык, а также  вывести с помощью меню Вид панели инструментов Калькулятор и Греческая

При вводе  числовых данных и формул необходимо использовать знак присвоения := , который вводится с помощью соответствующей кнопки на панели Калькулятор или путем одновременного нажатия клавиш <Shift> и <;>.  Встроенные в систему Mathcad  функции можно вводить с помощью кнопок на панели инструментов или путем набора с клавиатуры, при этом удобно сразу ставить открывающуюся и закрывающуюся скобку, а затем вводить аргумент.  Аргументы тригонометрических функций должны указываться в радианах,  для перевода градусов в радианы используется умножение на deg, для перевода радиан в градусы – деление на deg (см.рисунок 7). При вводе формул используйте клавишу <Space> для выделения части выражения в формуле.

Результаты при аналитическом способе получаются более точными, поскольку вычисления проводятся с большим количеством знаков после десятичной точки.  Как видно, результаты двух способов при округлении совпадают.  

 

Рисунок 7

 

Задание 3.  По указанному преподавателем варианту для схемы из рисунка 8 и данных из таблицы 1 определите величину и направление равнодействующей системы сходящихся сил аналитическим способом в Mathcad и графическим способом в AutoCAD.  Убедитесь в правильности решения, сравнив полученные результаты.

 

1.3 Варианты заданий

 

Рисунок 8

 

 

Т а б л и ц а  1

Вариант

F1, H

F2, H

F3, H

F4, H

α, º

β, º

γ, º

 

1

50

40

60

30

35

60

75

2

40

60

70

20

20

55

45

3

80

20

40

60

25

45

70

4

70

30

50

40

50

75

20

5

60

50

80

20

40

65

15

6

20

70

60

40

35

50

45

7

50

30

70

80

15

55

40

8

30

60

80

50

25

65

30

9

90

70

50

40

75

40

50

10

80

40

30

70

15

65

50

 

Ответьте на вопросы:

1)    Что такое равнодействующая системы сил?

2)    Как определяется модуль равнодействующей пространственной системы сходящихся сил?

3)    Как вычисляется проекция вектора на координатную ось?

4)    Зависит ли равнодействующая системы сходящихся сил от выбора системы координат?

5)    В каком случае система сходящихся сил находится в равновесии?

6)     Как записываются уравнения равновесия плоской системы сходящихся сил?

 

2  Определение реакций связей составной конструкции

 

2.1  Цель лабораторной работы и задание

 

Целью данной лабораторной работы является закрепление знаний по темам «Произвольная плоская система сил» и «Равновесие системы тел»,  получение навыков составления уравнений равновесия и отработка приемов решения систем алгебраических уравнений в Mathcad.

Лабораторная работа выполняется на персональном компьютере с  установленной в среде Windows XP системой Mathcad.

В работе предусмотрено выполнение 3-х заданий.

Задание 1:  требуется определить реакции внешних и внутренних связей составной конструкции, изображенной на рисунке 9, при следующих данных: P1=10 кН, Р2=3 кН, М=20 кНм, q=2 кН/м.  Зазоры отсутствуют, при снятии внешних сил реакции внешних и внутренних связей обращаются в ноль. Решение провести с использованием  системы Mathcad.

Задание 2:  провести численный эксперимент, меняя в документе Mathcad значение одной из приложенных сил, и выяснить, какая из односторонних связей  работает в каждом из этих случаев:  а) q=30 кН/м; б) Р2=10кН.

Задание 3:  составить уравнения равновесия и в системе Mathcad  определить реакции связей  конструкции по указанному преподавателем варианту, выполнить проверку правильности решения.

 

2.2  Выполнение лабораторной работы

 

Задание 1. Заданная конструкция состоит из трех частей, внешними связями для нее являются шарнирно-неподвижные опоры в точках А и В. Направление реакций в этих точках заранее неизвестно, поэтому каждая реакция раскладывается на 2 составляющие по координатным осям:  и . Внутренними связями являются шарниры в точках С и D, эти связи являются двусторонними, поскольку направление усилий в этих точках может быть любым, поэтому их реакции раскладываются на две составляющие по координатным осям.   Внутренними являются также связи в точках касания Е и F, однако, эти связи являются односторонними, поскольку реакция в каждой из этих точек может иметь только одно направление, а именно: перпендикулярно к плоскости касания тел от связи к рассматриваемому телу. При этом из рисунка 9 видно, что в заданной конструкции ее средняя часть EFBD не может одновременно давить на верхнюю и нижнюю части конструкции, следовательно,  реакция может возникнуть только в одной из односторонних связей: в точке Е или в точке F.  

Рисунок 9

 

Расчленим конструкцию на три части и покажем реакции внешних и внутренних связей. Так как в условиях задачи отсутствует информация о том, в какой из односторонних связей (Е или F) возникает реакция, необходимо рассмотреть два случая.

Первый случай. RF = 0, Re >0, т.е. связь F "не работает",  а в точке Е части АЕС и ЕFВD давят друг на друга.

Составим уравнения равновесия для части АЕС  (см.рисунок 10):

Составим уравнения равновесия для части СD (см.рисунок 11):

Составим уравнения равновесия для части ЕFВD (см.рисунок 12):

 

           Рисунок 10                                           Рисунок 11

 

Учитывая, что по аксиоме о равенстве действия и противодействия   представим уравнения равновесия в виде следующей системы линейных алгебраических уравнений:

Это система 9 уравнений с 9 неизвестными, то есть задача является статически определимой. Полученная  система уравнений определяет значения искомых реакций при условии, что Re>0. Для проверки нужно составить дополнительное уравнение равновесия, например, уравнение проекций на ось y внешних сил, приложенных ко всей конструкции.

Для решения в Mathcad запишем систему уравнений в матричном виде:   [A][X]=[B],  где матрица коэффициентов уравнений [A], вектор-столбец неизвестных [X] и вектор-столбец свободных членов [B]  имеют вид:

 

    

Образец решения системы уравнений в Mathcad  с помощью встроенной функции lsolve(A,B) и проверки правильности решения представлен на рисунке 13.

 

Рисунок 13

 

При вводе матриц и указания индексов элементов матриц необходимо использовать панель инструментов Матрица. Как видно из результатов расчета,  RE<0,  то есть при заданной нагрузке реакция в точке Е не возникает, поэтому надо рассмотреть случай возникновения связи в точке F.

Второй  случай. RЕ = 0, RF >0, т.е. связь Е "не работает", а в точке F части СFD и ЕFВD давят друг на друга.

Составим уравнения равновесия для части АС (см.рисунок 14):

Составим уравнения равновесия для части СFD  (см.рисунок 15):

Составим уравнения равновесия для части ЕFВD (см.рисунок 16):

                   Рисунок 14                                             Рисунок 15

 

Учитывая, что  

запишем систему уравнений равновесия в виде:

Данная система линейных алгебраических уравнений определяет истинные значения искомых сил при условии, что RF>0.

Для решения системы линейных алгебраических уравнений в Mathcad запишем эту систему в матричном виде:   [A1][X1]=[B], где матрица [A1] и вектор-столбец неизвестных [X1] имеют вид:

    

Продолжим документ Mathcad,  как показано на рисунке 17.  

 

Рисунок 17

 

Как видно из результатов расчета,  RF>0,  то есть при заданной нагрузке реакция возникает в связи F. Таким образом, реакции опор конструкции XA=10,57 кН, YA=1,67 кН, XB=-5,57 кН, YB=7,99 кН, реакции внутренних двусторонних связей XD=-10,57 кН, YD=4,88 кН, XC=-10,57 кН, YC=-1,67 кН. Реакция односторонней связи RF=9,55 кН, реакция в связи Е не возникает.  Знак -“ для реакций показывает, что их действительные направления противоположны  указанным на рисунках.

Задание 2.  Проведите численный эксперимент, меняя в документе Mathcad значение одной из приложенных сил:  а) q=30 кН/м;   б) Р2=10 кН.  Выясните, какая из односторонних связей  работает в каждом из этих случаев.    

Задание 3.  По указанному преподавателем варианту для схемы из рисунка 19 и данных из таблицы 2 сделайте в тетради расчетную схему и составьте уравнения равновесия балки с учетом ее веса Р. Определите реакции наложенных на нее связей  в  системе Mathcad  с помощью блока Given-Find.  Выполните проверку решения, составив дополнительное уравнение равновесия.

Пример выполнения задания  показан на рисунке 18 (расчетную схему изображать в документе Mathcad не надо).  Рассматриваемая балка находится в равновесии под действием плоской системы сил, для нее составлены два уравнения проекций сил на оси x, y  и уравнение моментов сил относительно точки А. При записи уравнений необходимо использовать знак равенства «=»  на панели инструментов Логический.  Для проверки составлено уравнение моментов относительно точки С.  

Рисунок 18

 

Как видно из рисунка 18, проверка выполнена.  Искомые реакции связей равны RA=-595Н, RВ=-1265Н, RС=509Н, отрицательные знаки реакций указывают на то, что их направления противоположны указанным на рисунке.

 

2.3 Варианты заданий

 

 

Рисунок 19

Продолжение рисунка 19

 

Т а б л и ц а  2

Вариант

Вес Р, H

F, H

а, м

b, м

c, м

α, º

β, º

γ, º

 

1

700

200

0,3

0,4

0,5

60

25

30

2

400

800

1,2

0,5

0,3

50

45

70

3

500

200

0,4

0,2

1,6

45

30

15

4

300

600

0,3

0,2

1,5

75

20

60

5

600

100

0,9

1,1

1,4

60

15

40

6

400

800

1,2

1,1

0,5

50

45

25

7

800

300

0,4

1,2

0,8

55

30

60

8

500

200

0,5

0,2

0,3

60

15

45

9

700

300

1,2

1,3

1,3

45

60

20

10

600

200

1,1

0,9

0,4

65

30

50

 

Ответьте на вопросы:

1)     Как записывается основная форма уравнений равновесия произвольной плоской системы сил?

2)     Как вычисляется алгебраический момент силы относительно точки?

3)     Как применяется теорема Вариньона при вычислении момента силы?

4)     Какие задачи называются статически определимыми?

5)     Как применяется аксиома о равенстве действия и противодействия в составной конструкции?

 

3 Определение кинематических характеристик движения точки

 

3.1  Цель лабораторной работы и задание

 

Целью данной лабораторной работы является закрепление знаний по теме «Кинематика точки» и отработка приемов определения кинематических характеристик движения, построения их графиков и траектории точки, а также создания анимации движения точки.

Лабораторная работа выполняется на персональном компьютере с  установленной в среде Windows XP системой Mathcad.

В работе предусмотрено выполнение 3-х заданий.

Задание 1:  для точки М эллипсографа (см.рисунок 20) требуется составить уравнения движения в координатной форме при следующих данных: ОС=АС=СВ=l, AM=r=0,5l, l=50 см, φ=πt

В системе Mathcad:

а) определить скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории точки в момент времени t1=0,25 cек;

б) построить графики изменения ее скорости, полного, касательного и нормального ускорений, радиуса кривизны траектории на отрезке времени  от 0 до t2=2 сек;

в) построить траекторию точки, показать в момент времени t1 векторы скорости, полного, касательного и нормального ускорений;

г) создать анимацию движения точки с изображенными на ней векторами скорости и ускорений.

Задание 2:  провести численный эксперимент, рассмотрев случаи: а)r=1,5l; б) r=l; в) r=2lВыяснить для каждого случая траекторию точки, как меняются с течением времени скорость, ускорения точки и радиус кривизны ее траектории, в каком из этих случаев точка движется равномерно, в каком точка движется прямолинейно.

Задание 3:  в документе Mathcad изменить данные, приняв x(t), у(t), t1 и t2   согласно указанному преподавателем варианту, определить кинематические характеристики движения точки и создать анимацию движения точки.

 

3.2  Выполнение лабораторной работы

 

                  

Рисунок 20                                                Рисунок 21

 

Задание 1.  Составим уравнения движения точки, учитывая, что ∆ОАС равнобедренный (см.рисунок 21):

x=OM1=OC1+AC1-AM1 = OCcosφ+ACcosφ–rcosφ=(2l-r)cosπt;

y=MM1= rsinφ = rsin πt.

Уравнения движения точки являются также уравнениями траектории точки в параметрической форме. Исключив время из этих уравнений, получим уравнение траектории в координатной форме:

Это уравнение эллипса с полуосями, равными  a=2l-r  и  b=r, центр эллипса находится в начале координат.

При задании движения точки координатным способом модули и направления векторов скорости и ускорения точки определяются по формулам:

Касательное ускорение точки:

Нормальное ускорение точки и радиус кривизны траектории:

В документе Mathcad внесем данные и формулы, вычислим кинематические характеристики точки в момент времени t1, как показано на рисунке 23.

 

Рисунок 23

 

Для построения графиков скорости, ускорений и радиуса кривизны используем в выпадающем меню Добавить подменю Графики и затем X-Y график. Можно также с помощью кнопки  на панели Математика вызвать панель Графики и затем нажать кнопку   на этой  панели. После появления шаблона двумерного графика надо заполнить пустые поля на оси аргументов и оси ординат. В данном случае для первого графика на оси аргументов указываем t, на оси ординат через запятую v(t) и a(t), также укажем на оси аргументов границы изменения времени: слева 0, справа t2 (см. рисунок  24).  На оси ординат границы изменения величин не указываем. Затем надо щелкнуть мышью в свободном месте, график будет построен.

Для форматирования графика можно вызвать контекстное меню правой кнопкой мыши и выбрать Формат… (или два раза щелкнуть левой кнопкой мыши в области графика), затем изменить на закладке Графики цвета и типы линий (см.рисунок 25).

Аналогично построим графики зависимости от времени касательного, нормального ускорений и радиуса кривизны траектории (см.рисунок 26).

 

 

                           Рисунок 25                                             Рисунок 26

Для анализа графиков в Mathcad имеются две полезные опции:  Увеличить и  Следить, которые можно задавать, нажимая соответствующую кнопку на панели инструментов График, или  выбирать из контекстного меню соответственно подменю Масштаб… и Трассировка.  При использовании опции Увеличить надо выделить фрагмент графика, а затем нажать кнопку  для увеличения этого фрагмента (см.рисунок 27). После этого можно использовать опцию Следить для снятия координат  графика (см.рисунок 28). При закрытии диалогового окна Масштаб X-Y необходимо вернуться к первоначальным размерам с помощью кнопки . Таким образом можно, например, выяснить максимальные и минимальные значения скорости, ускорений и радиуса кривизны.

 

Рисунок 27

 

Рисунок 28

 

Для построения траектории точки сначала укажем диапазон изменения времени от 0 до t2 c шагом 0.01 (для набора двух точек .. после 0.01 надо поставить символ <;>).  Используем шаблон двумерного графика, указав на оси аргументов x(t), а на оси ординат y(t), также установим на обеих осях границы изменения от -100 до 100 (см.рисунок 29)При этом необходимо  обеспечить одинаковый масштаб по обеим осям, для этого в контекстном меню надо выбрать Формат…, затем на вкладке Оси X-Y поставить флажок напротив Равные масштабы (см.рисунок 30).

 

     

                          Рисунок 29                                            Рисунок 30

 

Вид траектории показан на рисунке 31, это эллипс с полуосями, равными  75 см и 25 см.

Для изображения на траектории векторов скорости и ускорений точки используем пользовательскую функцию-подпрограмму vektor(x,y,Lx,Ly,m), где параметры означают: x,y координаты точки начала вектора, Lx,Ly проекции вектора на координатные оси,  m масштабный коэффициент.

При вводе функции-подпрограммы используем кнопку Add Line (Добавить линию) и стрелку , имеющиеся на панели Программирование. Зададим масштабы скорости и ускорения и переменные V, A, и An, как показано на рисунке 32.

Затем скопируем график с траекторией точки, копию разместим ниже и вызвав панель форматирования, на вкладке Графики установим для кривых Трассировка 1 - Трассировка 5 тип линии  сплошной и следующие цвета: красный, синий, зеленый, сиреневый, голубой. Затем дополним через запятую поля аргументов и ординат, в результате на траектории будут показаны в момент времени t1 векторы: скорости - синим, полного ускорения - зеленым, касательного ускорения - сиреневым и нормального ускорения – голубым цветом (см.рисунок  33). Как видно из рисунка 33, скорость точки направлена по касательной к траектории, касательное ускорение направлено так же, как скорость, т.е. в рассматриваемый момент времени движение точки ускоряется. Нормальное ускорение направлено по нормали к траектории в сторону ее вогнутости.

 

Рисунок 32

 

Рисунок 33

 

В Mathcad  имеется возможность создания анимационного клипа. Принцип анимации – кадровая анимация, т.е. анимационный клип – это последовательность кадров некоторого участка документа, который выделяется мышью. Номер кадра задается системной переменной FRAME, которая может принимать только натуральные значения.  Для создания анимации движения точки перед блоком с масштабами и переменными V, A, и An зададим   т.е. количество кадров 50, время t1 меняется от 0 до t2. Перед графиком с траекторией и векторами скорости и ускорений наберем t1=, система выдаст значение  t1=0. На траектории векторы скорости и ускорений будут показаны также для этого момента времени. Запустим команду создания анимационного клипа из меню Инструменты→Анимация→Запись…, в появившемся диалоговом окне  задаем для переменной FRAME начальное значение  0, конечное значение 50  и скорость отображения 10 кадров в секунду, т.е. продолжительность клипа составит 5 секунд. После этого выделим участок Mathcad-документа, как показано на рисунке 34.

 

Рисунок 34

 

В диалоговом окне нажмем кнопку Анимировать, после чего будет идти расчет кадров с отображением меняющегося времени t1 и векторов скорости и ускорений в это время. Затем появится окно с проигрывателем клипа Воспроизвести анимацию, запустив который можно наблюдать движение точки (см.рисунок 35).  Клип также можно записать в файл с помощью кнопки Сохранить как… в диалоговом окне Запись анимации.

 

Рисунок 35

 

Задание 2.  Проведите численный эксперимент, рассмотрев следующие случаи: а) r=1,5l; б) r=l; в) r=2l. При этом пересчет Mathcad-документа может занять некоторое время, надо подождать. В случае чересчур длительного построения графиков прервите пересчет с помощью  клавиши <Esc>,  удалите графики зависимости от времени скорости и ускорений, затем запустите пересчет с помощью клавиши F9.  Выясните для каждого случая траекторию точки,  а также как меняются с течением времени скорость, ускорения точки и радиус кривизны ее траектории. В каком из случаев точка движется равномерно? В каком из случаев точка движется прямолинейно?

Задание 3.  Измените данные, приняв x(t), у(t), t1 и t2 согласно указанному преподавателем варианту из таблицы 3. После внесения изменений прервите пересчет и нажмите F9 для проведения пересчета документа. Если изображение траектории слишком мелкое или, напротив, не помещается в область графика, измените границы графика на оси аргументов и оси ординат.  Если векторы скорости и ускорений слишком мелкие или слишком крупные, поменяйте их масштабные коэффициенты mV и mA.

Выясните, по какой траектории движется точка, а также каким является ее движение в момент времени t1 -  ускоренным или замедленным.

  

3.3 Варианты заданий

 

Т а б л и ц а 3

Вариант

x(t) , см

у(t), см

t1, c

t2, c

 

 

1

2t2

20sin(πt2/4)-20

1,25

4

2

40cos(πt2)

10sin(πt2/2)

0,75

2

3

10t+5

25t3-50

0,8

2

4

30cos(πt2)+10

15sin(πt2)-20

1,1

1,5

5

40cos(πt2/2)

10cos(πt2/4)

1,2

2

6

40sin(πt2/6)

20sin(πt2/3)

1

4

7

50sin(4πt2)

20t

0,5

1

8

10sin(πt2)+20

40cos(πt2)

0,75

1,5

9

20cos(πt3)

40sin(πt3)

0,5

1,5

10

50cos(2πt2)

30sin(πt2)

0,5

1,5

11

40sin(πt/2)-20

10cos(πt/2)

1,5

4

12

2t2

20sin(πt2)-10

0,5

2

 

Ответьте на вопросы:

1)     Как направлены касательное и нормальное ускорения точки?

2)     Что характеризует касательное ускорение точки?

3)     Когда касательное ускорение точки равно нулю?

4)     Что характеризует нормальное ускорение точки?

 

4  Определение абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки

 

4.1  Цель лабораторной работы и задание

 

Целью данной лабораторной работы является закрепление знаний по теме «Сложное движение точки» и отработка приемов определения абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки по заданным уравнениям ее переносного и относительного движений.

Лабораторная работа выполняется на персональном компьютере с  установленными в среде Windows XP системами Mathcad и AutoCAD.

В работе предусмотрено выполнение 3-х заданий.

Задание 1:  точка М (см.рисунок 36) совершает сложное движение: она движется по круговому желобу  тела К  по закону  а тело К, в свою очередь, вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости рисунка, по закону φ=πt/2.  Заданы размеры: OA=20 см, R=10 см. Найти  абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки M  в момент времени t1=1,05 cек с помощью теорем о сложении скоростей и о сложении ускорений аналитическим способом в Mathcad и графическим способом в AutoCAD.

                   

Рисунок 36

 

Задание 2: необходимо составить уравнения движения точки М в неподвижной системе координат Оху и в системе Mathcad выполнить следующее:

а)  определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени  t1=1,05 c  и сравнить полученные результаты с полученными выше;

б) построить траекторию точки, показать в момент времени t1  векторы скорости, полного, касательного и нормального ускорений;

в) создать анимацию движения точки.

Задание 3:  определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М  по указанному преподавателем варианту с помощью теорем о сложении скоростей и о сложении ускорений (аналитическим способом),  проверить полученное решение в Mathcad с использованием координатного способа изучения.

 

4.2  Выполнение лабораторной работы

 

Задание 1.  По теореме о сложении скоростей вектор абсолютной скорости равен векторной сумме векторов относительной и переносной скоростей:   По теореме о сложении ускорений (теореме Кориолиса)  вектор абсолютного ускорения равен векторной сумме векторов относительного, переносного и кориолисова  ускорений: .

Свяжем с телом К систему координат Оξη и определим положение тела К и точки М в момент времени t1.  При t1=1,05 cек имеем угол поворота тела К  φ=π·1,05/2=0,525π рад= =0,525π·180/π=94,5º. Найдем в этот момент времени центральный угол, определяющий  положение точки М на теле К:

Изобразим тело К и точку М в рассматриваемый момент времени, как показано на рисунке 37. Движение точки М по отношению к неподвижной системе координат Оху является абсолютным. Движение точки М по отношению к подвижной системе координат  Оξη (движение точки по круговому желобу тела К) является относительным. Движение точки М вместе с телом К (вращение вокруг оси, проходящей через точку О) является переносным.

Рассмотрим вначале относительное движение точки М. Траекторией относительного движения является окружность радиуса R с центром в точке С. Закон относительного движения  тогда относительная скорость, относительное касательное и относительное нормальное ускорения находятся по формулам:

 

В момент времени t1=1,05 cек имеем:

Так как значения относительной скорости и относительного касательного ускорения положительны, то векторы  и   направлены по касательной к траектории в сторону положительного отсчета расстояния s (см.рисунки 38,39). Относительное нормальное ускорение точки направлено по нормали в сторону вогнутости траектории, т.е.  к центру окружности (см.рисунок 39).

Рассмотрим переносное движение. При вращении тела К по заданному закону φ=πt/2  точка тела, с которой в рассматриваемый момент времени совпадает точка М, движется по окружности радиуса r=ОМ с центром в точке О.  Ее скорость и ускорение равны переносной скорости и переносному ускорению точки М. Найдем угловую скорость и угловое ускорение вращающего тела К :   

Таким образом, тело К вращается равномерно. Так как угловая скорость положительна, направление вращения покажем круговой стрелкой в сторону положительного отсчета угла поворота φ (см.рисунок 38).

Найдем из OCM  расстояние r=OM  по теореме косинусов:

Найдем угол β по теореме синусов:

Тогда β = arcsin(0,328) = 19,1º.

Найдем переносную скорость, переносное касательное и переносное нормальное ускорение в момент времени t1=1,05 cек:

Покажем вектор переносной скорости перпендикулярно ОМ в сторону вращения тела, вектор переносного нормального ускорения к оси вращения, т.е. к точке О.

 

    

Рисунок 38                                           Рисунок 39

 

Модуль кориолисова ускорения точки найдем по формуле:

Направление кориолисова ускорения можно найти по правилу Жуковского. Вектор относительной скорости лежит в плоскости, перпендикулярной оси переносного вращения,  остается только повернуть его в этой плоскости на 90º в сторону вращения. Получаем для кориолисова ускорения направление, указанное на рисунке 39 (от М к С).

По теореме о сложении скоростей вектор абсолютной скорости равен векторной сумме векторов относительной и переносной скоростей:

По теореме о сложении ускорений (теорема Кориолиса)  вектор абсолютного ускорения равен векторной сумме векторов относительного, переносного и кориолисова  ускорений:

   или   

Найдем абсолютную скорость и абсолютное ускорение аналитическим способом (способом проекций). Удобно проектировать векторные равенства для абсолютной скорости и абсолютного ускорения на оси ξ и η. Получаем:

 

Вычислим модуль абсолютной скорости  и модуль абсолютного ускорения

Найдем абсолютную скорость и абсолютное ускорение графическим способом в системе AutoCAD. Для этого вначале построим отрезок ОС, указав для второй точки отрезка @30< 94.5 (т.е. указываем длину отрезка и его угол с осью х).  Аналогично строим отрезок СМ, указав для второй точки отрезка @10<193.5 (угол с осью х получается сложением углов:  94.5+99+90=193.5). Соединив начальную и конечную точки, получаем отрезок ОМ. Проверим построение, измерив длину полученного отрезка  и углы, как показано на рисунке 40.

              

                                 Рисунок 40                                     Рисунок 41

 

Построим векторы относительной и переносной скоростей, выбрав для удобства такой масштаб: 1 мм соответствует 2 см/с.  Тогда для второй точки вектора относительной скорости  надо указать @16.1<283.5 (угол с осью х равен сумме углов: 94.5+99+90=283.5). Для второй точки вектора переносной скорости  укажем  @23.65<203.6 (угол с осью х равен сумме углов: 94.5+ +19.1+90=203.6). Построим стрелки и тогда изображение примет вид, указанный на рисунке 41.

Вектор абсолютной скорости можно построить по правилу треугольника или по правилу параллелограмма. На рисунке 42 показано построение по правилу параллелограмма, при построении сторон параллелограмма надо использовать объектную привязку   (привязку к параллельной линии). Измерив длину вектора абсолютной скорости и используя масштаб, получаем модуль абсолютной скорости  .

Выберем масштаб для построения векторов ускорений:  1 мм соответствует 2 см/с2.  Построим векторы относительного касательного и относительного нормального ускорений, указывая для вторых точек отрезков соответственно  @15.7<283.5 и  @54.4<13.5  (угол с осью х для относительного нормального ускорения равен разности: 283.5-270=13.5). Построим векторы переносного нормального и кориолисова ускорений, указывая для вторых точек отрезков соответственно  @37.1<293.6 и @50.55<13.5.  После построения стрелок векторов изображение примет вид, показанный на рисунке 43. 

Построим  вектор абсолютного ускорения по правилу многоугольника, перенося векторы ускорений, и измерим его длину, как показано на рисунке 44. С использованием масштаба получаем модуль абсолютного ускорения 

 

    

                         Рисунок 42                                     Рисунок 43

 

Рисунок 44

 

Как видно, результаты, полученные аналитическим и графическим способами, совпадают.

Задание 2. Для составления уравнений движения точки М в неподвижной системе координат Оху проведем вспомогательные линии СМ, ММ1, ММ2, СС1, СС2, СС3 и обозначим угол  <BCM (см.рисунок 45). Центральный угол α, опирающийся на дугу  окружности, равен отношению длины дуги к радиусу, т.е.  (в радианах). Координаты точки М находятся следующим образом:

x=OM1=OC1 + СC= (OА+R) cosφ + R cos(α+φ);

y=OM2=OC2 + C3M =(OА+R) sinφ + R sin(α+φ).

Подставив сюда зависимости от времени φ и α, получим уравнения движения точки:

x=OM1=OC1 + СC= (OА+R) cos(πt/2) + R cos(0,5 πt2+ πt/2);

y=OM2=OC2 + C3M =(OА+R) sin(πt/2) + R sin(0,5 πt2+ πt/2).

Эти уравнения являются также уравнениями траектории точки М в параметрической форме.

Рисунок 45

 

В системе Mathcad внесем данные и вычислим кинематические характеристики точки для момента времени t1, как показано на рисунке 46.

Для построения траектории точки с изображением векторов скорости и ускорений используем пользовательскую функцию-подпрограмму     vektor(x,y,Lx,Ly,m), показанную на рисунке  32.

Зададим масштаб скорости mV:=0.2 и ускорения mA:=0.1, введем переменные V, A, и An (см.рисунок 32).

Рисунок 46

 

Перед построением укажем диапазон изменения времени от 0 до t2 c шагом 0.02 (для набора после 0.02 двух точек .. надо поставить символ <;>).  Используем шаблон двумерного графика, указав на оси аргументов x(t), а на оси ординат y(t), также установим на обеих осях границы изменения от -50 до 50.  При этом необходимо  обеспечить одинаковый масштаб по обеим осям.

В результате будет построена траектория с изображенными на ней векторами скорости и ускорений, как показано на рисунке 47.  Можно также создать анимацию движения точки.

Таким образом, в момент времени t1=1,05 cек абсолютная скорость точки равна v=62,1 см/с, абсолютное ускорение  a=248,3 см/с2 (см.рисунок 46),  направления векторов скорости и ускорения показаны на рисунке 47.

Сравнение полученных результатов показывает незначительное отличие в значениях абсолютной скорости и абсолютного ускорения, что связано с округлениями значений расстояния r, углов α и β  при использовании теорем о сложении скоростей и о сложении ускорений.  Направления векторов абсолютной скорости и абсолютного ускорения также совпадают (сравните рисунки 47, 42 и 44).

Задание 3.  Для схемы (см.рисунок 48) и данных из таблицы 4 согласно указанному преподавателем варианту, найдите абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М с помощью теорем о сложении скоростей и о сложении ускорений, проверьте полученное решение в Mathcad с использованием координатного способа изучения движения.

 

4.3 Варианты заданий

Рисунок 48

Продолжение рисунка 48

 

Т а б л и ц а 4

Вариант

φ = φ(t) , рад

OM=s= s(t), см

t1, c

t2, c

 

1

πt2

40sin(πt/3)

0,5

1,5

2

0,5πt2

60cos(πt/2)

0,5

2

3

3πt2

60t2

1/3

1

4

π(2t2-t)

50sin(πt)-20

0,5

1,5

5

3π(t-t2)

80cos(πt/2)

0,5

1,5

6

πt2/6

50t2-20t

1

3

7

πt2/3

40sin(πt/6)

1

2,5

8

0,5π(2t2-t)

70cos(πt/2)

0,5

1,5

9

πt2/4

10t2+20t

1

3

10

π(2t2-t)/4

80sin(πt/2)-30

1

4

 

Ответьте на вопросы:

1)           Какое движение точки называется сложным?

2)           Какое движение называется относительным движением точки?

3)           Какое движение называется переносным движением точки?

4)           Как определяется абсолютная скорость точки?

5)           Как определяется величина и направление кориолисова ускорения точки?

6)           В каких случаях кориолисово ускорение точки равно нулю?

7)           Как определяется абсолютное ускорение точки?

 

 

Список литературы 

1.   Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике: Учебное пособие для технических вузов / Под ред. проф. А.А.Яблонского. –15-е изд., стереотипное. – М.: Интеграл-Пресс, 2006. – 384.

2.   Добронравов В.В., Никитин Н.Н. Курс теоретической механики. - М.: Высш.шк., 1983.

3.   Бертяев В.Д. Теоретическая механика на базе Mathcad. Практикум. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 752 с.

4.   Охорзин В.А. Прикладная математика в системе MATHCAD: Учебное пособие. 2-е изд, испр.и доп. – СПб.: Издательство «Лань», 2008. – 352 с.

5.   Динасылов А.Д. Инженерная и компьютерная графика. Введение в компьютерную графическую систему AutoCAD. – Алматы: АИЭС, 2003.

 

 

Содержание 

1 Определение равнодействующей системы сходящихся сил

3

2  Определение реакций связей составной конструкции                                                                    

8

3  Определение кинематических характеристик движения точки

16

4  Определение абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки

25

Список литературы

35

 

Св.план 2012 г., поз. 237