4.1 Сурет

 

3. Табиғи тәсіл. Нүктенің траекториясы (4.2 суретті қара), траекториясындағы санақ басы мен санақ бағыты және келесі түрде қозғалыс заңы беріледі                                   .                                                     (4.3)

4.2 Нүктенің жылдамдығы  мен үдеуі

Нүктенің  жылдамдығы  векторының t  аргументі бойынша бірінші ретті туындысына тең екендігі дәлелденеді                    .                (4.4)             

 Нүктенің үдеуі жылдамдық векторының уақыт бойынша бірінші ретті туындысына, яғни нүктенің радиус-векторының екінші ретті туындысына тең.

                                     (4.5)

Қозғалыс координаттық тәсілмен берілген жағдайдағы нүктенің жылдамдығы мен үдеуін анықтау үшін келесі теореманы қолданамыз: вектордың туындысының қозғалмайтын өске проекциясы вектордың сол өске проекциясының туындысына тең.

Сонда жылдамдықтың проекциялары үшін келесі орын алады

                                           (4.6)

немесе                                   .                                         (4.7)

Үдеудің проекциялары үшін келесі болады

,     ,                        (4.8)

немесе                                          ,                                             (4.9)

яғни үдеудің координаттар өстеріне проекциялары  жылдамдықтың сәйкес проекцияларының уақыт бойынша бірінші ретті туындыларына немесе кординаттардың екінші ретті туындыларына тең.

Қозғалыс табиғи тәсілмен берілген жағдайда нүктенің жылдамдығы мен үдеуі олардың Мtnb табиғи үшжақтықтың өстеріне проекциялары арқылы табады. Өстердің бағыттары: Мt - s санағының оң бағытына сәйкес траекторияға жанама бойынша; Мn бас нормалі – траекториямен жанасу жазықтығында траекторияның ойыс жағына жүргізілген нормалі бойынша; Mb бинормалі – алдынғы екі өске перпендикуляр бойынша, олармен оң өстер жүйесін құрайтын болып, бағытталады.

Нүктенің жылдамдығын анықтаймыз

.                                         (4.10)

Жылдамдықтың нүкте траекториясының жанамасына проекциясы

      .                                                          (4.11)

Осыдан  және жылдамдықтың модулі    шығады.

Нүктенің үдеуі үшін

 .                     (4.12)

Мұнда   (ρ – қарастырылатын орнында нүктенің траекториясының қисықтық радиусы), сонда

,                                                    (4.13)

яғни  үдеу  векторы жанама және нормаль құраушыларының қосындысына тең

.                                                         (4.14)

 векторы жанасу жазықтығында, яғни Mtn жазықтығында жатады. (4.13) теңдігін Мt,  Мn  және Mb өстеріне проекциялап,  келесіге келеміз

 .                                        (4.15)

4.3 Қатты дененің ілгерілемелі қозғалысы және тұрақты өс төңірегіндегі айналмалы қозғалысы

АҚД-нің ілгерілемелі қозғалысы деп денеде жүргізілген кез келген түзу өзіне параллель болып қала беретін қозғалысты айтады, сонда дене нүктелерінің траекториялары кез келген сызық болулары мүмкін. Келесі теорема орын алады: ілгерілемелі қозғалыста дене нүктелері  бірдей траекторияларды сызады және әр уақыт мезгілінде модульдері мен бағыттары бірдей жылдамдықтар мен үдеулерге ие болады. Яғни, АҚД-нің кинематикасы нүктенің кинематикасына келтіріледі.

АҚД-нің тұрақты (қозғалмайтын) өс төңірегінде айналғанда, оның өсте жатқан нүктелері қозғалмайды (4.5 суреттегі АВ). Өс арқылы екі жазықтық жүргізейік – қозғалмайтын және денемен байланысқан қозғалатын. Олардың арасындағы екі жақтық j бұрышы (дененің бұрылу бұрышы) айналу өсінің оң бағыты жағынан қарағанда сағат тіліне қарсы болып көрінгенде, оң болып есептеледі. Қозғалыс заңы

j = j (t).                                       (4.16)

Бұрыштық жылдамдық j бұрышының уақыт өтуімен өзгеруін сипаттайды

w = dj/dt,  яғни  .                   (4.17)

Дененің бұрыштық жылдамдығын  векторымен кескіндеуге болады.

Бұрыштық үдеу ω-ның уақыт өтуімен өзгеруін сипаттайды

e = dw/dt  = d² j/dt²,     яғни  .                                    (4.18)

Қозғалыс кезінде w=const болса, айналу бірқалыпты деп аталады.  (4.17) формуласын  интегралдап, айналу заңын анықтаймыз

.                                                   (4.19)

Бірқалыпты айналу кезінде   болса, онда

.                                                     (4.20)

Қозғалыс кезінде бұрыштық үдеу тұрақты болса (e=const), айналу бірқалыпты айнымалы деп аталады, оның заңы келесі түрде жазылады

.                                          (4.21)

w  мен e  таңбалары бірдей болса, айналу – бірқалыпты үдемелі, әртүрлі болса, бірқалыпты кемімелі болады.

Айналатын дене нүктелерінің жылдамдықтары мен үдеулерін анықтаймыз (4.6 суретті қара).

Айналу кезінде М нүктесі радиусы h тең, жазықтығы айналу өсіне перпендикуляр және P центрі  өсте жататын шеңберді кескіндейді. dt уақыт ішінде дене dφ  бұрышына бұрылады, М  нүктесі ds = h∙dφ орын ауыстыру жасайды. Сонда

.                   (4.22)

Нүктенің үдеулерін анықтаймыз

.    (4.23)

 үдеуі траекторияға жанама бағытталады (үдемелі айналу кезінде айналу бағытына сәйкес және кемімелі айналу кезінде айналу бағытына қарсы),  үдеуі әрқашан МP радиусы бойымен өске қарай бағытталады. Нүктенің толық үдеуі

,                                          (4.24)

m  бұрышы (4.6 суретті қара) келесі тәуелдік арқылы анықталады

.                                                 (4.25)

 және  векторлары үшін келесі формулаларды шығаруға болады

                                ,                                                                     (4.26)

                       .                                                (4.27)

5  дәріс.  Қатты  дененің  жазық  параллель  қозғалысы.   Нүктенің күрделі қозғалысы

         Дәрістің мазмұны: дененің жазық параллель қозғалысының кинематикасы; нүктенің күрделі қозғалысы.

Дәрістің мақсаты: жазық параллель қозғалысының және нүктенің күрделі қозғалысының кинематикалық сипаттамаларын оқып үйрену.

5.1  Жазық параллель қозғалыстың теңдеулері және оны ілгерілемелі мен айналмалы қозғалыстарға жіктеу. Дене нүктелерінің жылдамдығы

АҚД-нің жазық параллель немесе жазық қозғалысы деп дененің барлық нүктелері бір қозғалмайтын жазықтыққа параллель жазықтарда орын ауыстыратын қозғалысты атайды (5.1 суретті қара).

Дене қозғалысын зерттеу үшін оның S қимасының Оху жазықтығында қозғалысын зерттеуге жеткілікті. S фигурасының орны АВ кесіндісінің орналасуымен анықталады (5.2 суретті қара). Қозғалыс заңын білу үшін келесі тәуелдіктерді білу қажет

.                                          (5.1)

Жазық қозғалысты полюспен бірдей ілгерілемелі қозғалысы және полюс төңірегіндегі айналмалы қозғалысының қосындысы ретінде қарастыруға болады. Енді жазық фигура нүктелерінің жылдамдықтарын және үдеулерін анықтайық. Кез келген B нүктесінің орны  радиус-векторымен анықталады (5.3 суретті қара) . Олай болса                                        .                  (5.2)

                      (5.3)

мұндағы w - фигураның бұрыштық  жылдамдығы.      

Кез келген қозғалыстағы АҚД нүктелерінің жылдамдықтарын анықтағанда келесі теореманы қолдануға болады: дененің екі нүктесінің жылдамдықтарының оларды қосатын түзуге проекциялары тең.

5.2  Жазық фигура нүктелерінің жылдамдықтарын жылдамдықтардың лездік центрін қолданумен анықтау

Жылдамдықтардың лездік центрін (ЖЛЦ) деп жылдамдығы қарастырылатын уақыт мезетінде нөлге тең жазық фигураның нүктесі аталады.

t  уақыт мезгілінде жазық фигураның А және В нүктелері бір-біріне параллель емес  және жылдамдықтарына ие болсын (5.4 суретті қара). Сонда  векторына жүргізілген Аа және векторына жүргізілген Вb перпендикулярларының қиылысу Р нүктесі жылдамдықтардың лездік центрі болады, өйткені = 0.  Егер t уақыт мезгілінде Р нүктесін полюс ретінде алса, онда (5.2) формуласы бойынша А нүктенің жылдамдығы былай табылады . Сонымен, қарастырылатын уақыт мезгілінде фигура нүктелерінің жылдамдықтары фигура қозғалысы ЖЛЦ төңірегіндегі айналмалы қозғалыс болғандай анықталады.   Сонда 

                             ,     .                                          (5.4)

(5.4) теңдігінен келесі шығады                          ,                                           (5.5)

яғни жазық фигура нүктелерінің жылдамдықтары олардың ЖЛЦ-не дейінгі қашықтықтарына пропорционал. Осыдан қорытындылар:

а) ЖЛЦ-нің орнын анықтау үшін  жазық фигураның кез келген екі А, В нүктелерінің ,  жылдамдықтарының бағыттарын білген жеткілікті; ЖЛЦ А және В нүктелерінен олардың жылдамдықтарына тұрғызылған перпендикуляр-лардың қиылысу нүктесінде орналасады;

б) жазық фигураның кез келген нүктесінің жылдамдығын анықтау үшін фигураның бір А нүктесінің жылдамдығының модулі мен бағытын және  оның басқа В нүктесінің жылдамдығының бағытын білген жеткілікті. Сонда А және В нүктелерінен  мен  бағыттарына перпендикулярлар тұрғызып, ЖЛЦ-н табамыз және  бағытымен фигураның айналу бағытын анықтаймыз. Содан кейін  белгілі болғандықтан, (5.5) бойынша жазық фигураның кез келген М нүктесінің  жылдамдығын таба аламыз. Сонда  векторы РМ-ға перпендикуляр фигураның айналу бағытына сәйкес бағытталады;

в) кез келген уақыт мезетінде  жазық фигураның w  бұрыштық жылдамдығы  фигура нүктесінің жылдамдығы мен оның ЖЛЦ-не дейінгі қашықтығының  қатынасына тең                                    .                                                               (5.6)

5.3 Жазық фигура нүктелерінің үдеулерін анықтау

Жазық фигураның кез келген B нүктесінің үдеуі ілгерілемелі және айналмалы қозғалыстарындағы  үдеулердің қосындысына тең

.                                      (5.7)

Есетерді шешу кезінде (5.7) теңдікті келесі түрде жазған ыңғайлы

            .                                                        (5.8)

5.4 Нүктенің күрделі қозғалысы. Жылдамдықтарды және үдеулерді қосу туралы теоремалар

Есептерді шешу кезінде нүктенің қозғалысын екі СЖ қатысты қарастырған қолайлы болады, олардың біреуі негізгі болып саналады (шартты қозғалмайтын), екіншісі – біріншісіне қатысты қозғалады. М нүктесінің қозғалатын  Oxyz СЖ-не қатысты қозғалысын қарастырайық, және осы Oxyz СЖ-сі қозғалмайтын О₁х₁у₁z₁ СЖ-не қатысты қозғалыста болсын (5.5 суретті қара). Келесі анықтамаларды енгіземіз:

а) М нүктесінің қозғалатын СЖ-не қатысты (Oxyz өстеріне қатысты) қозғалысы салыстырмалы қозғалыс деп аталады;

б) қозғалмайтын  О₁х₁у₁z₁ СЖ-не қатысты Oxyz СЖ-нің қозғалысы М нүктесі үшін  тасымал  қозғалыс  болады.  Охуz өстерімен өзгеріссіз байланысқан, қарастырылатын уақыт мезетінде  қозғалатын  М нүктесімен түйісетін  m нүктесінің жылдамдығы М нүктесінің сол уақыт мезгіліндегі тасымал жылдамдығы (), ал  m нүктенің үдеуі - М нүктесінің тасымал үдеуі деп аталады. Сонда

          ,         ;                (5.9)                                           в) М нүктесінің қозғалмайтын  О₁х₁у₁z₁ СЖ-не қатысты қозғалысы абсолют немесе күрделі қозғалыс деп аталады.

М нүктесінің күрделі қозғалысын қарастырайық. Нүкте  Dt=t₁-t уақыт аралығында АВ траекториясы бойымен  векторымен анықталатын салыстырмалы қозғалысын жасайтын болсын  (5.6,а суретті қара). АВ қисығы қозғалатын Oxyz өстерімен бірге қозғалып, сол уақыт аралығында жаңа A₁B₁ орнына келеді. Біржолы  АВ қисығының  t уақыт мезгілінде М нүктесімен түйісетін m нүктесі  тасымал орын ауыстыруын жасайды. Нәтижесінде М нүктесі М₁ орнына келіп, Dt уақыт ішінде абсолют орын ауыстыруын жасайды. Векторлық  Мm₁М₁ үшбұрышынан келесі шығады       .

Осы теңдіктің екі жағын Dt-ға бөліп, оны нөлге ұмтылдырып, шектерді қарастырғанда, келесіге келеміз .  Нәтижесінде келесі шығады                 .                                             (5.10)

 векторлары сәйкес траекторияларына жанама бағытталады  (5.6,б суретті қара). Сонымен, жылдамдықтарды қосу  теоремасын дәлелдедік: күрделі қозғалыста нүктенің абсолют жылдамдығы оның салыстырмалы және тасымал жылдамдықтарының векторлық қосындысына тең. Егер  мен  арасындағы бұрышы a болса,  онда абсолют жылдамдығының модулі

.                                      (5.11)

Салыстырмалы, тасымал және абсолют үдеулердің арасындағы тәуелдікті табайық. (5.10) теңдігінен келесі шығады

.                            (5.12)

Мұнда  мен  векторларының салыстырмалы қозғалыстағы өзгерістері 1 индексімен белгіленген, тасымал қозғалыстағы өзгерістері – 2 индексімен.

Анықтама бойынша салыстырмалы үдеу салыстырмалы жылдамдықтың тек қана салыстырмалы қозғалыста болатын өзгерісін сипаттайды, сонда Охуz өстерінің қозғалысы, яғни тасымал қозғалысы, есепке алынбайды. Сондықтан

 .                                                       (5.13)

Тасымал үдеу тасымал жылдамдықтың тек қана тасымал қозғалыстағы өзгерісін сипаттайды, өйткені , мұндағы m - Охуz өстерімен өзгеріссіз байланысқан нүкте, ол тек қана сол өстермен қозғалғанда, яғни тасымал қозғалыста үдеуге ие болады. Сондықтан

.                                                    (5.14)

Нәтижесінде (5.12) теңдігінен келесі шығады

 .                              (5.15)

Келесі белгіні енгізейік

.                                               (5.16)

Салыстырмалы жылдамдықтың тасымал қозғалыстағы өзгерісін және тасымал жылдамдықтың салыстырмалы қозғалыстағы өзгерісін сипаттайтын  шамасы нүктенің бұрынды немесе Кориолис үдеуі деп аталады. Нәтижесінде (5.15) теңдік келесі түрде жазылады

.                                               (5.17)

(5.17) формуласы үдеулерді қосу Кориолис теоремасын өрнектейді: нүктенің күрделі қозғалысында оның абсолют үдеуі үш үдеудің, яғни салыстырмалы, тасымал және кориолис үдеулерінің векторлық қосындысына тең.

Кориолис үдеуі келесі фомуламен анықталатыны дәлелденеді

.                                                    (5.18)

мен тапқан кезде олар да бірнеше құраушылардың қосындысы болуы мүмкін екенін есепке алу керек.

Тасымал қозғалыс ілгерілемелі болатын дербес жағдайында =0, сонда үдеулерді қосу теоремасы қарапайымдалады

.                                               (5.19)      

6 дәріс.  Нүкте динамикасы

Дәрістің мазмұны: кіріспе ұғымдар мен аксиомалар; нүкте қозғалысының дифференциалдық теңдеулері және жалпы теоремалары.

Дәрістің мақсаты: динамиканың ұғымдары мен нүкте қозғалысының дифференциалдық теңдеулерін қарастыру, нүкте динамикасының жалпы теоремаларын қолдану.

6.1 Динамика аксиомалары

Динамикада материялық денелердің, олардың инерциясын есепке алуымен күштер әсерінен пайда болатын қозғалысы қарастырылады. Инерция - материялық дененің өзінің қозғалыс немесе тыныштық қалпын күштер түспеген кезде сақтап қалу қасиеті. Ілгерілемелі қозғалыстағы дене инерциясының өлшемі  - дененің массасы m.

Нүкте динамикасы төмендегі 4 аксиомаға негізделеді.

1. Күштер түспейтін материялық нүкте (МН), оған күштер түсіп, қалпын өзгерткенге дейін тыныштықта немесе бірқалыпты түзу сызықты қозғалыста болады.  Күштер болмағандағы нүктенің қозғалысы инерциялық қозғалыс деп аталады. Инерция заңы орындалатын СЖ инерциялық СЖ деп аталады.

2. МН-нің үдеуі оған түсетін күшке пропорционал және сол күшпен бағыттас. Динамиканың негізгі теңдеуі              .                              (6.1)

3. Екі МН бір-біріне модульдері тең және нүктелерді қосатын түзу бойымен қарама-қарсы бағытталған күштермен әсер етеді.

4. Әр күш бөлек түскенде МН алатын үдеулердің векторлық қосындысы барлық күштер біржолы түскенде алатын үдеуіне тең              (6.2)

(6.2) теңдеуінің орнына (6.1) теңдеуін,  күші ретінде тең әсерлі күшті алып, қолдануға болады.

Ауырлық күш әсерінен денелер бірдей  үдеуіне ие болады, ол ауырлық күш үдеуі немесе еркін түсу үдеуі деп аталады. Егер  МН-ге тек қана ауырлық күші түсетін болса, онда (6.1) бойынша                .       (6.3)

Дененің массасы оның орналасуына және оған түсетін күштерге тәуелсіз, ал дененің салмағы дене орнының географикалық еніне және оның Жер орталығына дейінгі қашықтығына тәуелді.

6.2 Материялық нүкте қозғалысының дифференциалдық теңдеулері

МН {} күштер жүйесінің әсерінен (күштер арасына реакциялар да бар) Оxyz инерциялық СЖ-не қатысты қозғалатын болсын. (6.2) теңдеуін декарт координат өстеріне немесе табиғи өстерге проекциялап, қозғалысының дифференциалдық теңдеулерін (ҚДТ) аламыз

                          (6.4)

немесе                     ;                         (6.5)

ҚДТ нүкте динамикасының екі негізгі есебін шешу үшін қолданылады:

а) нүкте қозғалысы бойынша оған түсетін күшті анықтау;

б) нүктеге түсетін күштер бойынша оның қозғалысын анықтау.

6.3 Материялық нүктенің салыстырмалы қозғалысы

Динамика заңдары тек инерциялық СЖ-нде орындалады. МН-нің кейбір СЖ-не қатысты қозғалысын қарастырайық және осы СЖ басқа инерциялық СЖ-не қатысты еркінше қозғалатын болсын.   P  нүктесі {} күштер әсерінен қозғалатын болсын. Инерциялық СЖ-нде динамиканың негізгі (6.2) теңдеуі орындалады. Нүктенің абсолют үдеуі (5.17) формуласымен табылады

                                             (6.6)

(6.6) теңдігін (6.2) теңдігіне қойып, түрлендіреміз

                               (6.7)

Келесі белгілеулерді қабылдаймыз

                                               (6.8)

                                                                                         (6.9)

 және  тасымал және кориолис инерция күштері деп аталады.

(6.7) теңдігін келесі түрде жазуға болады

                                        (6.10)

(6.10) - теңдеуі МН-нің салыстырмалы қозғалысы динамикасының негізгі теңдеуі.

МН-нің салыстырмалы қозғалысы негізгі теңдеуінің дербес жағдайлары:

а) ілгерілемелі тасымал қозғалыс кезінде

                                        (6.11)

б) түзу сызықты бірқалыпты тасымал қозғалыс кезінде

                                              (6.12)

Мұнда (6.12) мен (6.2) бірдей болады, өйткені . Сондықтан, бұл СЖ инерциялық болады. Механикалық тәжірибелер арқылы СЖ тыныштықта екенін немесе ілгерілемелі бірқалыпты және түзу сызықты қозғалыста екенін анықтау мүмкін емес (Галилейдің салыстырмалылық принципі);

в) салыстырмалы тыныштық қалпында

                                            (6.13)

Бұл МН-нің салыстырмалы тепе-теңдігінің теңдеуі.

6.4. Нүктенің  қозғалыс мөлшерінің өзгеруі туралы теорема

Динамиканың көптеген есептерін шешу кезінде ҚДТ-н интегралдаудың орнына динамиканың жалпы теоремаларын қолданған тиімділеу болады.

Нүктенің қозғалыс мөлшерінің өзгеруі туралы теоремасын қарастырайық. МН-нің қозғалыс мөлшері деп  шаманы айтады. Күштің элементар импульсі деп  шаманы айтады.  күшінің шекті t₁ уақыт ішіндегі  импульсі                .  Импульстің модулі мен бағытын проекциялар арқылы табуға болады

.                                  (6.14)

Динамиканың негізгі теңдеуін келесі түрде жазуға болады             

                  .                                                    (6.15)

Бұл дифференциалдық түрдегі нүктенің қозғалыс мөлшерінің өзгеруі туралы теорема: нүктенің қозғалыс мөлшерінің уақыт бойынша туындысы нүктеге түсетін күштердің векторлық қосындысына тең.  Шекті түрдегі сол теорема: нүктенің қозғалыс мөлшерінің кейбір уақыт аралығында өзгеруі оған түсетін күштердің сол уақыт аралықтағы импульстерінің векторлық қосындысына тең

.                                               (6.16)

Есептерді шешу кезінде әдетте теңдеулердің проекциялары қолданылады.

6.5 Нүктенің қозғалыс мөлшері моментінің өзгеруі туралы теорема

МН-нің қозғалыс мөлшерінің О центріне қатысты моменті деп келесі шаманы айтады

                                                     (6.17)

мұндағы  - қозғалыстағы нүктенің О центрінен жүргізілген радиус-векторы.

Сонда  векторы  және О центрі арқылы өтетін жазықтыққа перпендикуляр бағытталады, aл модулі .

Нүктенің қозғалыс мөлшерінің О центрінен өтетін  Оz өсіне қатысты моменті   векторының сол өске  проекциясына тең

                          (6.18)

мұндағы  g - векторы мен Оz өсі арасындағы бұрыш.

Теорема: нүктенің қозғалыс мөлшерінің кейбір қозғалмайтын центрге қатысты алынған моментінің уақыт бойынша туындысы әсер ететін күштің сол центрге қатысты векторлық моментіне тең

.                                          (6.19)

Өске қатысты моменттер теоремасы

.                                          (6.20)

(6.19) теңдеуінен  болса, болатыны шығады.

6.6 Күштің жұмысы. Күштің қуаты. Нүктенің кинетикалық энергиясының өзгеруі туралы теорема

М  нүктесіне түсетін күшінің (6.1 суретті қара) элементар жұмысы келесі

dW = F_t ∙ds                                                       (6.21)

мұндағы F_t  - күшінің М нүктесінің траекториясына нүктенің орын ауыстыру бағытымен жүргізілген Мt  жанамасына проекциясы;

ds -  нүктенің элементар орын ауыстыруының модулі.

ds=|d| болғандықтан (мұндағы d- нүктенің элементар орын ауыстыру векторы), (6.21) теңдігін келесі түрде жазуға болады

dW= .                                                   (6.23)

Сонымен,  күштің элементар жұмысы - күштің оның түсу нүктесінің орын ауыстыру векторына скаляр  көбейтіндісіне тең.   

Күштің шекті M₀M₁ орын ауыстыруындағы (6.1 суретті қара) жұмысы

,                                                (6.24)

 .                    ( 6.25)

Күштің қуаты - күштің уақыт бірлігінде жасайтын жұмысына тең шама

,                                   (6.26)

яғни қуат күштің жанама құраушысының жылдамдыққа көбейтіндісіне тең.

Нүктенің кинетикалық энер­гиясы (КЭ) деп  тең скаляр шаманы айтады. Теорема: нүкте КЭ-нің оның кейбір орын ауыстыру кезіндегі өзгерісі нүктеге түсетін барлық күштердің сол орын ауыстырудағы жұмыстарының алгебралық қосындысына тең

.                                     (6.27)

6.7 Нүкте үшін  Даламбер принципі

Массасы m материялық нүктеге актив күштер (тең әсерлісі  деп белгіленген) және байланыстың  реакциясы түсетін болсын. Осы күштер әсерінен нүкте инерциялық СЖ-не қатысты кейбір  үдеуімен қозғалады.

Келесі нүктенің инерция күші деп аталатын шаманы енгіземіз

,                                                          (6.28)

Сонда, егер кез келген уақыт мезгілінде нүктеге түсетін актив және реакция күштеріне инерция күшін қосса, алынған күштер жүйесі теңгеріледі, яғни

.                                                    (6.29)

Бұл МН үшін Даламбер принципін өрнектейді.

7 дәріс. Жүйе және қатты дене динамикасының негіздері

Дәрістің мазмұны: механикалық жүйе, оның  массасы, массалар центрі  және инерция моменттері; жүйе қозғалысының дифференциалдық теңдеулері; жүйе динамикасының жалпы теоремалары және Даламбер принципі.

Дәрістің мақсаты: жүйенің динамикалық сипаттамаларын, қозғалыс-тың дифференциалдық теңдеулерін, негізгі динамика теоремаларын зерттеу.

7.1 Механикалық жүйе. Масса, массалар центрі және инерция моменттері

Механикалық жүйе (МЖ) деп өзара әрекеттесетін МН-лердің немесе денелердің жиынтығы аталады. Материалық дене оны құрайтын бөлшектердің МЖ-сі болып келеді. Жүйенің нүктелеріне қарастырылып отырған жүйеге кірмейтін денелерден түсетін , k= 1,2 …,n күштері сыртқы күштер деп аталады. Ішкі күштер деп жүйе нүктелері бір- біріне түсіретін , k= 1,2 …,m күштері аталады. Ішкі күштер жүйесінің бас векторы мен бас моменті нөлге тең, бірақ жалпы жағдайда олар теңгерілмейді, өйткені олардың әсерінен жүйе нүктелерінің орын ауыстырулары болуы мүмкін (АҚД үшін теңгеріледі).

Жүйе массасы деп жүйе нүктелері массаларының қосындысын атайды

M=Σm_k.                                                     (7.1)

Жүйенің массалар центрінің (ЖМЦ) орны келесідей анықталады

                                                       ,                                             (7.2)

 .                     (7.3)

Дене үшін келесі болады   ,                                             (7.4)

 .                     (7.5)

         Біртекті гравитациялық өрісте массалар мен ауырлық центрлері түйіседі.

         МЖ-нің өске және нүктеге қатысты инерция моменттері келесі шамалар

J_l=Σm_k∙h_k².                                                    (7.6)

                                         J_O=Σm_k∙r_k²                                                    (7.7)

мұндағы h_k мен r_k – дененің массасы m_k  нүктесінің l өсіне дейінгі және O нүктесіне дейінгі қашықтықтары.

Қатты дене үшін өске және нүктеге қатысты инерция моменттері

,                                                 (7.8)

.                                                (7.9)

Декарт өстеріне және координаттар басына қатысты инерция моменттері

         J_x=Σm_k∙(y_k²+z_k²),    J_y=Σm_k∙(x_k²+z_k²),   J_z=Σm_k∙( x_k²+y_k²),              (7.10)

J_O=Σm_k∙r_k²=  Σm_k∙( x_k²+y_k²+z_k²).                                                    (7.11)                                                

Координаттық жазықтықтарға қатысты инерция моменттері келесіге тең

          J_xy=Σm_k∙ z_k²,    J_yz=Σm_k∙x_k²,   J_xz=Σm_k∙y_k².                   (7.12)            

Келесі тәуелдіктер орын алатынын дәлелдеуге болады

                                            2J_O= J_x+ J_y+ J_z,                                             (7.13)

J_O= J_xy+ J_yz+ J_xz.                                            (7.14)

Дене үшін инерция моменттері келесі интегралдармен анықталады

,   ,   .   (7.15)

Гюйгенс-Штейнер теоремасы: жүйенің кейбір z өсіне қатысты J_z инерция моменті сол өске параллель, массалар центрінен өтетін z_C өсіне қатысты жүйенің J_zC инерция моментінің және  жүйенің M массасының өстердің d арақашықтығының квадратына көбейтіндісінің қосындысына тең

.                                           (7.16)

Параллель өстер жиынтығы арасында массалар центрінен өтетін өске қатысты инерция моменті ең кіші болады.

7.2 Жүйе қозғалысының дифференциалдық теңдеулері. Жүйенің массалар центрі қозғалысы туралы теорема

МЖ-ге кіретін нүктелер үшін қозғалыстарының дифференциалдық теңдеулерін (ҚДТ) векторлық түрде жазуға болады

                                               (7.17)

(7.17) өстерге проекциялап, өске проекциялары түріндегі ҚДТ-н аламыз. Жүйе үшін динамиканың негізгі есебінің толық шешуі ҚДТ-н интегралдап, жүйенің әр нүктесінің қозғалыс теңдеулерін және байланыстардың реакцияларын анықтаудан тұрады. Бұны аналитикалық түрде тек дербес жағдайда ғана орындауға болады. Бірақ көптеген есептерді шешкенде жүйе қозғалысын жалпы анықтайтын кейбір сипаттамаларын табу жеткілікті болады.  (7.17) теңдеулерін қосып, келесіні аламыз

.                                     (7.18)

(7.2) формуласын есепке алып, келесіге келеміз

.                                        (7.19)

Бұл ЖМЦ қозғалысы туралы теорема: ЖМЦ массасы жүйенің массасына тең және оған жүйенің барлық сыртқы күштері түсетін МН секілді қозғалады. (7.19) теңдігін координаттық өстерге проекциялап, массалар центрі қозғалысының декарт координат жүйесі өстеріне проекцияларындағы дифференциалдық теңдеулерін табуға болады. (7.19) теңдігінен ілгерілемелі қозғалыстағы денені массасы дененің массасына тең МН секілді қарастыруға болатыны шығады. Қалған жағдайларда денені МН секілді тек дене қозғалысының айналмалы бөлігін ескермеуге болса ғана қарастыруға болады. МЖ-нің массалар центрі қозғалысының заңын анықтаған кезде белгісіз ішкі күштерді қарастырмауға болады. Теореманың салдары (ЖМЦ қозғалысының сақталу заңы): ішкі күштер ЖМЦ қозғалысын өзгертпейді.

7.3 Жүйенің қозғалыс мөлшерінің өзгеруі туралы теорема

Жүйенің қозғалыс мөлшері (ЖҚМ) деп келесі шаманы атайды

.                                            (7.20)

Мынаны көрсетуге болады

,                                                  (7.21)

яғни ЖҚМ жүйе массасының оның массалар центрінің жылдамдығына көбейтіндісіне тең. Егер жүйе қозғалысында оның массалар центрі қозғалмай тұрса, онда ЖҚМ нөлге тең (мысалы, дененің массалар центрінен өтетін тұрақты өсті айналатын дене). Егер дене қозғалысы күрделі болса, ЖҚМ-ң шамасы дененің массалар центрі төңірегіндегі айналмалы қозғалысына тәуелсіз (домалайтын дөңгелек үшін айналуына тәуелсіз ).

Дифференциалдық түрдегі ЖҚМ-нің өзгеруі туралы теоремасы: ЖҚМ-нің уақыт бойынша туындысы жүйенің барлық сыртқы күштерінің векторлық қосындысына тең

.                                             (7.22)

Интегралдық түрде: ЖҚМ-нің кейбір уақыт аралығында өзгерісі жүйеге түсетін  сыртқы күштердің сол уақыт аралығындағы импульстерінің векторлық қосындысына тең

                                                 .                                                         (7.23)

Салдары (ЖҚМ-нің сақталу заңы): ішкі күштер ЖҚМ-н өзгертпейді, сондықтан есептерді шешу кезінде ішкі күштерді қарастырмауға болады.

7.4 Қозғалыс мөлшерлерінің бас моментінің өзгеруі туралы теорема

Берілген О центріне қатысты жүйенің қозғалыс мөлшерлерінің бас моменті (ЖҚМБМ) немесе кинетикалық моменті деп жүйенің барлық нүктелерінің қозғалыс мөлшерлерінің сол центрге қатысты моменттерінің векторлық қосындысына тең шамасы аталады

.                                       (7.24)

Дәл солай координаттық өстерге қатысты қарастырамыз

,     ,    .    (7.25)

ЖҚМБМ-нің өзгеруі туралы теорема (моменттер теоремасы): кейбір қозғалмайтын центрге қатысты ЖҚМБМ-нің уақыт бойынша туындысы жүйенің барлық күштерінің сол центрге қатысты моменттерінің қосындысына тең                                                    .                                        (7.26)

Қозғалмайтын өстерге проекциялап, проекциялардағы теореманы аламыз.

Теорема дененің айналмалы қозғалысын және жүйенің жалпы жағдайда қозғалысын зерттеу үшін қолданылады, өйткені жалпы жағдайдағы қозғалыс ілгерілемелі және айналмалы қозғалыстардан тұрады. Егер полюс ретінде массалар центрі алынса, онда қозғалыстың ілгерілемелі бөлігін массалар центрі қозғалысы туралы теоремасын, ал айналмалы бөлігін моменттер теоремасын қолданумен зерттеуге болады. Сонда алдын ала белгісіз ішкі күштер қарастырылмайды.

Денемен бірге ілгерілемелі қозғалатын координаттар жүйесі үшін оның центріне қатысты моменттер теоремасы орын алады. Сонда теореманың түрі  қозғалмайтын центрге қатысты теоремасымен бірдей болады. Сондай жүйенің өстерге де қатысты моменттері үшін осыған ұқсас теңдеулер шығады.

Теореманың салдары (ЖҚМБМ-нің сақталу заңы): ішкі күштер ЖҚМБМ-н өзгертпейді. Сонда жүйе өзгермейтін жүйе болса, ол тұрақты бұрыштық жылдамдықпен айналады, ал өзгеретін болса, онда ішкі (немесе сыртқы) күштер әсерінен жүйе нүктелерінің өстен қашықтығы өзгеруі мүмкін, ал одан жүйенің бұрыштық жылдамдығының өзгерісі болады.

7.5 Жүйенің кинетикалық энергиясының өзгеруі туралы теорема 

Жүйенің кинетикалық энергиясы (КЭ) деп келесі скаляр шаманы атайды

.                                          (7.27)

КЭ жүйенің ілгерілемелі де, айналмалы да қозғалыстарын сипаттайды. Т шамасының  мен  шамаларынан айырмашылығы КЭ әрқашан оң скаляр шама болып келеді, оның өзгеруіне сыртқы да ішкі де күштер әсерін тигізеді.

Дененің ілгерілемелі,  айналмалы және жазық қозғалыстағы КЭ-сы:

                                               ,                                               (7.28)      

,                                              (7.29)      

.                        (7.30)      

Дифферен­циалдық түрдегі жүйенің КЭ-сы өзгеруі туралы теорема

.                                     (7.31)

Интегралдық түрдегі теорема: жүйенің КЭ-сы кейбір орын ауыстыру кезіндегі өзгерісі жүйеге түсірілген барлық сыртқы және ішкі күштердің сол орын ауыстырудағы жұмыстарының қосындысына тең

.                                     (7.32)

7.6  Жүйе үшін Даламбер принципі

МЖ-нің нүктелеріне түсетін инерция күштерін бас векторы мен бас моментіне келтіруге болады (O нүктесі – қозғалмайтын келтіру центрі). Сонда қозғалыстағы жүйені, оған әсер ететін күштерге  мен қосып, тыныштықтағы жүйе ретінде қарастыруға болады. Жүйенің кез келген қозғалысында   екенін дәлелдеуге болады. Егер АҚД оның Oxy материялық симметриялығы жазықтығында жазық параллель қозғалысын жасайтын болса, онда оның инерция күштерін С қозғалатын массалар центріне келтіруге болады. Сонда Cz өсі – дененің бас инерция өсі болады. Сол өске қатысты инерция моментін  арқылы және бұрыштық үдеуін ε арқылы белгілеп,  болатынын дәлелдеуге болады.

7.7 Айналмалы қозғалыстағы дене динамикасының негізгі теңдеуі

Қозғалмайтын өске қатысты айналу қозғалысын жасайтын дене үшін кеселіні аламыз                                                                                 (7.33)

                _{мұндағы Iz – дененің айналу өсіне қатысты инерция моменті;}

          _{ε  – дененің бұрыштық үдеуі;}

          _{Mz – сыртқы күштердің өске қатысты моменттерінің қосындысы.}

8 дәріс. Материалдар кедергісіне кіріспе. Материалдар кедергісінің есептері мен әдістері

Дәрістің мазмұны: материалдар кедергісінің есептері, есептеу сұлбасы, болжамдар; ішкі күштер факторлары, қималар әдісі; кернеулер, орын ауыстырулар, деформациялар мен есептеу әдістері жөнінде түсініктеме.

Дәрістің мақсаты: материалдар кедергісінің әдістерімен шешілетін есептер жиынын анықтау, негізгі үғымдарды игеру.

8.1 Материалдар кедергісінің мәселелері. Есептеу сұлбасы

Құрылыстар, машиналар, аппараттар мен аспаптар берік және қатаң болу керек. Беріктік - қатты денелердің күштер әсерін қирамай қабылдау қабілеті. Қатаңдық - қатты денелердің күштер әсерін өз өлшемдері мен формасын айтарлықтай өзгертпей (көп деформацияланбай) қабылдау қабілеті.  Конструкция элементтері берік және қатаң болуы үшін олар лайықты материалдан жасалу керек және олардың керекті өлшемдері болу керек. Материалдар кедергісі (МК) – конструкция элементтерінің беріктігі мен қатаңдығы туралы ғылым. МК-сінде денелердің деформациялану қасиеті ең маңызды болады. МК мақсаты – конструкциялардың типтік элементтерін есептеуге қарапайым әдістерді беру. МК-нде жарамды болжамдарға негізделген жуық әдістер қолданылады.

Есептер шешуі есептеу моделін, яғни есептеу сұлбасын (ЕС) тандаудан басталады. ЕС – бұл объектінің айтарлықтай емес факторларынан босатылған  сипаттамасы. Бір объект үшін қажетті нақтылыққа және құбылыстың қарастырылатын жағына тәуелді бірнеше ЕС-ны қолдануға болады. Екінші жақтан, бір ЕС-ға бірнеше объектілер келтірілуі мүмкін.

ЕС-ны тандау материалдар қасиеттерін модельдеуден басталады. Барлық материалдар біртекті тұтас орта ретінде қарастырылады.Тұтас ортаны серпімділік қасиеттке ие болғызады. Серпімділік - денелердің өлшемдері мен формасын өзгерткен сыртқы күштерді алып тастағанда, олардың бастапқы өлшемдері мен формасына қайта келу қабілеті. Есептердің көпшілігінде орта абсолют серпімді болып алынады. Әдетте МК-нде тұтас орта изотропты болып қарастырылады.

Объектінің геометриясы да қарапайымдалады, МК-нде ол сырық немесе қабықша сұлбасына келтіріледі. Сырық деп бір өлшемі (ұзындығы) басқа екі өлшемінен әлдеқайда үлкен денені атайды. (8.1 суретті қара).

Күштер жүйесі де қарапайымдалады. Мысалы, қадалған күш ұғымы енгізіледі. МК-нде күштер сыртқы және ішкі болып ажыратылады. Егер конструкция басқа денелерден бөлек қарастырылатын болса, соңғылардың конструкцияға әсері сыртқы күштерге жататын күштермен ауыстырылады. Сыртқы күштердің қатарына тек берілген (актив) күштер ғана емес, оларға қосылып, теңгерілетін күштер жүйесін құрайтын байланыстардың реакциялары да кіреді. Теңгерілетін (актив және реактив күштерден тұратын) күштер жүйесін жүктеме деп атайды. Сыртқы күштердің шамасы және олардың таралу түрі объект пен айналасындағы денелердің шекарасы қайда өтетіне тәуелді.  Күштер келесіге айырылады: статикалық, динамикалық, қайталымды-айналымды.

Объект бөліктерінің өзара әрекеттесуін сипаттайтын күштер ішкі күштерге жатады. Ішкі күштер тек қана объект бөліктерінің арасында емес, оның барлық іргелес бөлшектерінің арасында да объектінің жүктелуі кезінде пайда болады. 

8.2 Қималар әдісі. Сырықтың көлденең қималарындағы ішкі күштер факторлары

Сырыққа (8.2,а суретті қара) теңгерілген {F₁, F₂, …, F_n} жүктемесі түсетін болсын. Сырықта пайда болатын ішкі күштерді, оны екі бөлікке, мысалы А қимасымен кесіп, анықтауға болады (қималар әдісі). Сырықтың бөліктері арасындағы байланыстарды алып тастағандықтан, оның бір бөлігінің екінші бөлігіне әсерін қимадағы {F_А} ішкі күштер жүйесімен ауыстыру керек (8.2,б суретті қара). А' жазықтығындағы күштер жүйесінің шамалары А" жазықтығындағы күштер жүйесінің шамаларымен бірдей, ал таңбалары қарсы болады. Ішкі күштер қима бойымен кейбір күрделі түрде таралады. Сонда оң жақ және сол жақ бөліктері үшін тепе-теңдік шарттары бөлек орындалу керек. А қимасындағы ішкі күштердің бас векторы мен бас моментін кез келген бөліктің тепе-теңдік шарттарынан анықтауға болады.

 Тепе-теңдік теңдеулерінен ішкі күштердің қима бойымен таралу заңын емес, тек қана олардың статикалық эквиваленттерін анықтауға болады (сыртқы күштер белгілі жағдайда). Ішкі күштер жүйесін қиманың ауырлық центріне келтірейік. Нәтижесінде  бас векторы мен  бас моментін аламыз (8.3 суретті қара). z өсін қиманың сыртқы нормалімен бағыттап және х пен у өстерін қима жазықтығында орналастырып, координат жүйесін қабылдаймыз.  және  векторларын өстерге проекциялап, 6 құраушыны аламыз: үш күш пен үш момент, олар сырық қимасындағы ішкі күштер факторлары (ІКФ) деп аталады. N құраушысы бойлық немесе нормаль күш, Q_x пен Q_y – көлденең күштер, М_к моменті – бұраушы момент, ал М_х пен М_у моменттері – х пен у өстеріне қатысты июші моменттер деп аталады. Сыртқы күштер белгілі болғанда, барлық ІКФ кесілген бөлік үшін құрылған 6 тепе-теңдік теңдеуден табылады. 

ІКФ-на сәйкес сырықтың жүктелуі түрлерге айырылады (созылу, сығылу, бұралу, иілу және т.б.). Жүктелудің түрін анықтау үшін қима әдісін қолданып, қималарда қандай ІКФ болатынын анықтау керек. Нәтижелер эпюрлер деп аталатын графиктермен кескінделеді.

8.3 Кернеулер, орын ауыстырулар және деформациялар туралы

Ішкі күштердің қимада таралуын сипаттау үшін кернеу ұғымы енгізіледі. S қимасының К нүктесіндегі толық кернеу векторы деп, келесі шама аталады

                                              (8.1)

мұндағы  - K нүктесі аймағындағы элементар аудан;

 - элементар ауданға түсетін ішкі күштердің тең әсерлісі.

Сонымен, кернеу - ауданның бірлігіне түсетін ішкі күш (паскальмен өлшенеді). р кернеуін 3 құраушыға жіктеуге болады: қиманың нормалі бойымен (тік s кернеуі) және қима жазықтығындағы екі өс бойымен (жанама t кернеулері). Егер К нүктесі арқылы басқа қию ауданды жүргізсе, жалпы жағдайда кернеудің шамасы басқа болады. Нүктеден жүргізілген барлық аудандардағы кернеулердің жиынтығы нүктедегі кернелген күйді құрайды.

Сыртқы күштер әсерінен барлық денелер де­формацияланады. Деформациялар әдетте аз болса да  ішкі күштердің дене бойымен таралуына айтарлықтай әсерін тигізеді. Деформациялану кезінде дене нүктелері кеңістікте өздерінің орнын ауыстырады.  Деформацияланбаған дене нүктесінен басталып, деформацияланған дененің дәл сол нүктесіне жүргізілген вектор нүктенің сызықты орын ауыстыру векторы деп аталады. Бұрыштық орын ауыстыру ұғымы келесідей енгізіледі: деформацияға дейін 2 жақын тұрған нүктенің арасындағы түзу кесінді  деформация болғаннан кейін кеңістікте кейбір бұрышқа бұрылады, ол да вектормен сипатталады.

Егер жүйеге, оның кеңістікте қатаң бүтін ретінде орын ауыстыруына ешқандай мүмкіншілік бермеуге жеткілікті байланыстар  енгізілген болса, онда жүйе кинематикалық өзгермейтін жүйе деп аталады. МК-нде әдетте тек сондай жүйелер қарастырылады. Керісінше жағдайда орын ауыстырулардың тек қана деформациялар себебінен бола-тын бөлігі қарастырылады.  Сонда көптеген жүйелер үшін кез келген нүктенің орын ауыстыруы дене өлшемдерімен салыстырғанда өте аз шама болады.  Сондықтан, статика теңдеулерін құрған кезде бастапқы өлшемдер принципі бойынша өлшемдердің өзгеруі есепке алынбайды (бұдан өзгешеліктер бар).

Дене өлшемдері мен формасының өзгеру қарқындылығын сипаттау үшін денені деформацияға дейін және деформация болғаннан кейін қарастырайық (8.4 суретті қара).  Келесі шама                                                                   (8.2)                                                               

 А нүктесінің АВ бағыты бойымен сызықтық деформациясы немесе жәй деформациясы деп аталады (оның реті 10^-3). Дәл сол нүктедегі басқа бағыты бойымен алынған деформация, жалпы айтқанда, басқа болады. х, у және z өстері бойымен деформацияларды e_х, e_у және e_z деп белгілейді.

Дене ішінде OD және ОС кесінділерімен жасалған тік бұрышты қарастырайық (8.4 суретті қара). Дене сыртқы күштермен жүктелген сон, бұл бұрыш өзгеріп, C'O'D' мәніне ие болады.  Келесі шама 

                                                 (8.3)

О нүктесіндегі COD жазықтығындағы бұрыштық деформация немесе ығысу бұрышы деп аталады. Координаттық жазықтықтарда ығысу бұрыштар g_уz, g_zx және g_ху арқылы белгіленеді. Нүктеден жүргізілген барлық түзулер бойымен алынған сызықтық деформациялар және барлық аудандардағы бұрыштық деформациялар жиынтығы нүктедегі деформацияланған күйді құрайды.

8.4 Гук заңы.  Күштер әсерінің тәуелсіздігі мен Сен-Венан принциптері

Көптеген жағдайда орын ауыстырулар кейбір шектерде әсер ететін күштерге пропорционал (Гук, 1660 ж.). Мұнда пропорционалдық коэффициенті материалдың физикалық қасиеттеріне және жүйенің геометриясына тәуелді. Қазіргі қарастыру бойынша Гук заңы кернеу мен деформация арасындағы сызықтық тәуелдігін анықтайды. Сонда пропорционалдық коэффициенттер материалдың тұрақтылары болып келеді.   Ал орын ауыстырулар мен күштер арасындағы сызықтық тәуелдік соның салдары ретінде  шығады. Тәуелдік күштер артқанда да, азайғанда да сақталады, демек, ол жүйенің серпімділік қасиеттерін сипаттайды.

Гук заңына бағынатын жүйелер үшін суперпозиция принципі (күштер әсерінің тәуелсіздігі принципі) орын алатынын дәлелдеуге болады, осыған сәйкес серпімді денедегі орын ауыстырулар мен ішкі күштер сыртқы күштердің түсу кезегіне тәуелсіз болады. Егер жүйеге бірнеше күш түсірілсе, алдымен әр күш бөлек түскен кезде орын алатын ішкі күштер, кернеулер, орын ауыстырулар мен деформацияларды анықтап, содан кейін барлық күштер әсерінің нәтижесін әр күш әсері нәтижелерінің қосындысы ретінде табуға болады.

МК есептерін шешу кезінде Сен-Венан принципі қолданылады. Егер денеге теңгерілетін күштер жүйесі әсер ететін болса, онда жүктеме түсірілетін орнынан алыстаған сайын кернеулер мен деформациялар шапшаң азаяды деп алынады. Бұл принципке сәйкес жүктеменің түсірілу тәсілі дененің деформациясына тек қана жүктеме түсірілген орнына жақын кіші көлемінде әсерін тигізеді, ал жүктеме түсірілген орнынан алыс жерде жүктеменің түсірілу тәсілі дененің деформациясына әсерін тигізбейді.

8.5 Конструкция элементтерін есептеудің жалпы принциптері

Конструкция оның беріктігіне, қатаңдығына, сенімділігіне қойылған талаптарды қанағаттандыра ма деген сұраққа жауап беру үшін алдымен есептеу әдісін таңдап алу керек.  Беріктікке есептеудің ең кеңінен таралған әдісі кернеулер бойынша есептеу болып табылады: мұнда конструкция сенімділігінің критерийі ретінде кернеу (кернелген күй) болады деп есептеледі. Сонда конструкция талдауының негізінде ең жоғары (есептеу) кернеулер анықталады. Сол кернеулер берілген материал үшін, алдын ала зертханалық сынау негізінде табылған шекті мәнімен салыстырылады. Салыстыру нәтижесінде конструк-цияның беріктігі жөнінде қорытынды жасалынады.

Егер конструкция өлшемдерінің және формасының өзгеруі аз болу керек болса, қауіпсіз орын ауыстырулар бойынша есептеу жүргізіледі (қатаңдыққа есептеу). Біржолы жүйені кернеулер бойынша беріктікке тексеру керек. Сапалық түрде айырылатын құбылыстармен, яғни орнықтылықпен, қайтармалы жүктемелердің әсерімен, динамикалық әсермен және т.б. байланысқан өзгеше әдістер қолданылады.  Конструкцияның нақты жағдайларындағы сенімділігі-нің дәрежесі туралы мәселе, машина бөлшектері курсында, турбома-шиналар динамикасы және беріктігі, химикалық өндірістегі аппараттар мен процестер және т.б. пәндерде қарастырылады. 

9 дәріс. Сырықтардың созылуы мен сығылуы

Дәрістің мазмұны: созылу (сығылу) кезіндегі бойлық күш, кернеулер мен деформациялар, орын ауыстырулар, деформацияның потенциалдық энергиясы, кернелген және деформациялық күйлер.

Дәрістің мақсаты: созылған (сығылған) сырықтардың механикасын игеру.

9.1 Бойлық күш және тік кернеулер

Созылу деп сырықтың  көлденең қималарында тек қана N бойлық күші орын алып, басқа ІКФ нөлге тең болатын сырықтың жүктелу түрін атайды.   Созылу кезінде N күшінің бағыты қарастырылатын қиманың сыртқы нормалімен бірдей болады. Сығылу созылудан формалды түрде тек қана N күшінің бағытымен айырылғанмен, онда айтарлықтай айырмашылықтар болуы мүмкін (ұзын сырықтар сығылған кезде олар иілуі мүмкін, созылу және сығылу кезіндегі қирау түрі әртүрлі болады). Әдетте созылу немесе сығылу сырық өсі бойымен бағытталған сыртқы күштер әсерінен пайда болады. N эпюрі қима әдісін қолданумен тұрғызылады, сонда N  күші  қарастырылатын қиманың бір жағындағы сырық бөлігіне түсетін сыртқы күштердің бойлық өсіне проекцияларының қосындысына тең                      N = ∑F_iz.                           (9.1)

Созатын N күші - оң, сығатын - теріс болып алынады. Сондықтан (9.1) формуласында сыртқы күш қимадан тыс бағытталса, оның проекциясы «+» таңбасымен, қимаға қарай бағытталса «-» таңбасымен алынады.  9.1 суретте N эпюрінің тұрғызу мысалы көрсетілген.

N күші көлденең қимадағы ішкі тік күштердің тең әсерлісі болып келеді, ол қимадағы тік кернеулермен келесі тәуелдікпен байланысады

                                                                                                       (9.2)

мұндағы σ – қиманың кез келген dA элементар ауданында жатқан нүктесіндегі тік кернеуі;

A – көлденең қиманың ауданы.

Қиманың әр нүктесіндегі σ кернеуін табу үшін оның қима бойымен таралу заңын білу керек. Көлденең қимасы тұрақты, біртекті материалдан жасалған және шеттерінде түсірілген созу F күштерімен жүктелген сырықты қарастырайық (9.2 суретті қара). Жүктелу алдында оның бетінде өске перпен-дикуляр түзу сызықтарды жүргізейік. Тәжірибе көрсеткендей, жүктелу кезінде  сол сызықтар түзу және өске перпендикуляр болып қала береді. Бұдан сырықтың жүктелу алдындағы жазық көлденең қималары жүктелу кезінде жазық  болып қала береді деп есептеуге болады (жазық қималар гипотезасы). Бірдей ұзаруларға сәйкес бірдей кернеулер болғандықтан, көлденең қимасының барлық нүктелерінде кернеулер бірдей болады, сонда

 бұдан                               (9.3)

Тік кернеу созылу кезінде оң, ал сығылу кезінде теріс болып есептеледі. Жоғарыдағы мысалда біртекті кернелген күй орын алады (сырықтың барлық нүктелеріндегі кернелген күй бірдей). Дәл солай жүктелген, қимасы айнымалы сырықта кернелген біртекті болмайды.

9.2 Сырықтың ұзаруы және Гук заңы

Созылған сырықтың өлшемдері түсірілген күштерге тәуелді өзгереді. Мысалы, 9.2 суретте көрсетілген сырық сырықтың абсолют (толық) ұзаруы деп аталатын ∆l шамасына ұзарады. Мұнда біртекті кернелген күй болғандықтан, сызықтық деформация (яғни салыстырмалы ұзару) барлық нүктелерде бірдей және келесіге тең                          .                         (9.4)  Біртекті емес кернелген күй жағдайында         .                    (9.5)

         Аз ε шектерінде көптеген материалдар үшін Гук заңы орындалады (σ  мен ε арасындағы сызықтық тәуелдік)

σ=Е∙ε                                                     (9.6)

мұндағы  E –Юнг модулі (I ретті серпімділік модулі), ол тәжірибе арқылы анықталады.       

(9.5) формуласын (9.3) және (9.4) ескеруімен интегралдаудан соң келесіге келеміз                              .                                               (9.7)

         Көлденең қимасы тұрақты және шеттерінде F күштерімен жүктелген сырық үшін N=F=const болады, сонда абсолют ұзару келесіге тең

                                .                                               (9.8)

         Мұнда E∙А – сырықтың созылу-сығылу кезіндегі қатаңдығы.

Егер серпімді деформациялармен қатар температуралық деформация-ларды есепке алу керек болса, онда қосынды деформация осылай анықталады

                                            (9.9)

         мұндағы α – материалдың температуралық ұлғаю коэффициенті;

         ∆t – температураның өсімі.

Сырықтың баяу (статикалық) жүктелуі кезінде сыртқы күштердің жұмысы толығымен деформацияның U потенциялық энергиясына  айналады, ол Гук заңы орындалғанда келесі түрде жазылады  

_.                                              (9.10)

9.3 Созылу-сығылу кезіндегі статикалық түрде анықталмайтын жүйелер

9.3,а суретте екі сырықтан құрылған кронштейн көрсетілген. Сырықтардағы бойлық күштерді түйіндерді қиып алу әдісін қолданумен анықтауға болады, сонда тепе-теңдік теңдеулері 2 координаттық өске күштер проекцияларының қосындылары түрінде жазылады, одан N₁ мен N₂ күштер табылады. Егер конструкцияға тағы бір сырықты қосса (9.3,б суретті қара), онда оның беріктігі мен қатаңдығы артады, бірақ N₁, N₂ және N₃ күштері тек қана  статика теңдеулерінен табылмайды: белгісіздер саны 3, ал статика теңдеу-лерінің саны алдынғыдай  2 (1 рет статикалық түрде анықталмайтын жүйе бола-ды). 9.4,в суретте көрсетілген жүйе 2 рет статикалық анықталмаған. Статикалық анықталмау дәрежесі (САД) деп байланыстар саны мен тәуелсіз тепе-теңдік теңдеулерінің саны арасындағы айырмашылықты атайды. Барлық белгісіз күштерді анықтауы (статикалық түрде анықталмауын шешуі) қосымша теңдеулерді (орын ауыстырулар теңдеулерін) қолданумен орындалады.

9.1 мысал - 9.4,а суретте екі шеті бекітілген және F күшімен жүктелген сырық көрсетілген; R_A мен R_B реакцияларын табу керек.

Шешуі. Мұнда тек қана бір тепе-теңдік теңдеуін құруға болады

                       .                                                 (9.11)

R_A мен R_B реакцияларын табу үшін тағы бір теңдеуді қолдану керек (САД=1). Ол үшін оң жақтағы қатты бекітпені алып тастап, оның сырыққа әсерін  R_B реакциясына ауыстырамыз. Енді тек F күші түседі, ал R_B күші жоқ деп алайық. Онда F күшінің әсерінен сырықтың тек қана  а ұзындығымен сол жақ аралығы деформацияланады, соның нәтижесінде күш түсірілген қима ∆l_F=F∙a/(E∙A) шамасына оқ жаққа  орын ауыстырады.   Сонда b ұзындығымен оң жақ аралығы деформацияланбайды, ол тек қана қатты дене секілді дәл сол ∆l_F шамасына оң жаққа орын ауыстырады. Енді тек қана R_B күші түседі, ал F күші жоқ дейік. R_B күші әсерінен сырық толығымен деформацияланады, оның нәтижесінде сырықтың оң жақ шеті ∆l_RB= R_B∙l/(E∙A) шамасына сол жаққа орын ауыстырады. Шындығында, сырықтың оң жақ шеті бекітілген соң, ол орын ауыстырмайды. Сонымен, оның F күші әсерінен болған оң жаққа орын ауыстыруы  R_B күші әсерінен болған сол жаққа орын ауыстыруына тең болу керек

                                        ∆l_F - ∆l_RB = 0,       (9.12)

яғни                          .                   (9.13)

(9.13) пен (9.11) теңдеулер жүйесінен R_A және R_B табылады. Содан кейін N эпюрін тұрғызу, кернеулерді, деформацияларды және орын ауыстыруларды анықтауы статикалық түрде анықталатын есепте секілді орындалады.

Статикалық түрде анықталатын жүйелер элементтерінде ІКФ мен кернеулер тек қана сыртқы күштер әсерінен пайда болады, ал статикалық түрде анықталмайтын жүйелер элементтерінде олар сыртқы күштер болмаса да (температураның өзгерісі, тіректер орнынан ауытқуы және конструкцияның кейбір элементтері дәл өлшемдерімен жасалмауы себебінен).

9.4 Созылу кезіндегі кернелген және деформацияланған күйлер

Сырықтың көлденең қимасымен α бұрышын жасайтын көлбеу қимала-рындағы кернеулерді қарастырайық (9.5,а суретті қара). Егер көлденең қимасының ауданы A болса,  онда көлбеу қимасының ауданы A/cosα болады.

9.5,б суреттен p∙A_α = F және F=σ∙A болатыны көрінеді, сондықтан

                                      р = F/ A_α = σ∙cosα.                                        (9.14)

р кернеуін σ_α және τ_α құраушыларына жіктеп (9.5,в суретті қара), келесіні аламыз

 σ_α= р∙cosα = σ∙cos²α,                                   (9.15)

 τ_α= р∙sinα = σ∙sin2α.                                (9.16)

Осыдан келесі орын алады:

а) α=0 болғанда (көлденең қималарында) σ_α= σ_, τ_α=0;

б) α=90ْ (бойлық қималарында) σ_α= 0_, τ_α=0, яғни бойлық қабаттар өзара әрекеттеспейді;

в) α=45ْ  болғанда τ кернеуі ең жоғары мәніне ие болады  τ_max= σ/2;

г) α және (α+90ْ) бұрыштарымен орналасқан қималарда τ шамасының абсолют мәні бірдей; бұл жанама кернеулердің жұптылық заңы, ол әрқашанда орындалады.

Созылу кезіндегі деформацияларды қарастырайық. Тәжірибе көрсеткендей, кейбір шектерде сырықтың бойлық ұзаруымен қатар біржолы оған пропорционал көлденең жіңішкеруі болады (9.6 суретті қара). Көлденең деформация ε´=∆а/а және

                      ε´=- µ∙ε                              (9.17)

мұндағы µ - көлденең деформациясының коэффициенті (Пуассон коэф-фициенті); оның мәні металлдар үшін µ= 0,25… 0,35.

         Сырықта осымен қатар γ_α бұрыштық деформациялар орын алады (9.7 суретті қара). Сонда γ_α ығысу бұрышы сәйкес аудандағы τ_α жанама кернеуіне пропорционал болатынын дәлелдеуге болады. Бұл – ығысу кезіндегі Гук заңы

τ=G∙γ                         (9.18)

         мұнда G – ығысу модулі немесе II ретті серпімділік модулі.

         Материал серпімділігінің Е, G және µ параметрлері арасында келесі өзара тәуелдігі орын алады

                .                (9.19)

10 дәріс. Созылу және сығылу кезіндегі материалдардың механикалық қасиеттері

Дәрістің мазмұны: сынаулардың мақсаты, созылу және сығылу диаг-раммалары, материалдар беріктігі мен пластикалық қасиетінің сипаттамалары, мығымдау, температура мен уақыттың қасиеттерге әсері, жылыстау.

Дәрістің мақсаты: материалдарды созылуға және сығылуға сынауларын жүргізу әдістемелерімен танысу, материалдардың негізгі механикалық сипаттамаларын игеру.

Материалдар қасиеттерін зерттеу үшін және шекті кернеулердің мәндерін анықтау үшін материал үлгілерінің сынауларын оларды сындыруға дейін жүргізеді. Сынаулар арнаулы машиналарда стандартталған шарттарға сәйкес жүргізеді.

10.1 Созылу диаграммалары

Ең кеңінен таралған сынаулар – статикалық жүктеме әсерінен созылуға сы-наулар, өйткені олар ең қарапайым болып келеді және материал деформацияның басқа түрлерін қалай қабылдайтыны туралы айтуға мүмкіншілік береді.

Сынаулар үшін цилиндрлік және жазық үлгілер қолданылады (10.1 сурет). Әдетте цилиндрлік үлгілердің өлшемдері d₀=20 мм және l₀=10d₀  немесе l₀=5d₀ болып алынады. 

Сынау кезінде созатын F күші мен үлгінің Δl ұзаруы арасындағы тәуелдіктің диаграммасы жазылып отырады. Әртүрлі өлшемдерімен алынған үлгілер бойынша сынау нәтижелерін салыстыруға мүмкіншілік болу үшін F-Δl диаграммасының σ-ε диаграммасы ретінде қарастырады. Бұл нақты емес, өйткені σ=F/A₀ және ε=∆l/l₀ болып алынады (A₀, l₀ – үлгінің көлденең қимасының бастапқы ауданы мен оның бастапқы ұзындығы). Нақты σ мен ε A және l шамаларының ағымды мәндері арқылы анықталуы керек болғандықтан, бұл σ-ε диаграммасын шартты созылу диаграммасы деп атайды.

10.2 суретте үздіксіз сызықпен аз көміртекті болаттың шартты созылу диаграммасы көрсетілген. ОА аралығында кейбір пропорционалдық шегі деп аталатын σ_пц шамасына дейін ε деформациясы σ кернеуіне пропорционал өседі, яғни Гук заңы орындалады (Ст3 болат үшін σ_пц≈ 200 МПа). Содан кейін диаграмма қисық сызықтыққа айналады, сонда серпімділік шегі деп аталатын, σ_сер шамасына дейін материал өзінің серпімділік қасиетін сақтайды. σ_пц және σ_сер арасындағы айырмашылығы аз болғандықтан (Ст3 үшін σ_сер≈ 210 МПа), оларды қолдану кезінде айырмайды.

Жүктемені әрі қарай өсіріп тұрғанда, бір мезгілде  (С нүктесінде) жүктеме өспесе де деформация өсе береді. Горизонталь СD аралығы жұмсару (немесе аққыштық) ауданы деп, ал сәйкес кернеу - жұмсару (немесе аққыштық) шегі σ_жұм деп аталады (Ст3  үшін 240…400 МПа).

Содан кейін диаграмма жоғары кетеді, материал созуға қарсыласу қабілетіне қайта ие болады. Е нүктесінде ең жоғары шартты кернеуге жетеміз, ол беріктік шегі σ_бер деп немесе уақытша қарсыласу деп аталады (Ст3 үшін σ_б=400…500 МПа). Сонда үлгіде мойнақ деп аталатын жергілікті жіңішкеру орын алады (10.3,б суретті қара). Үлгі мойнағындағы қимасының ауданы тез азаяды, соның себебінен күш пен σ шамалары төмен түседі. Үлгінің үзілуі ең кіші қимасы бойымен болады.  Беріктік шегі үлгі үзілетін кездегі кернеуге тең емес. Егер созатын күштің A₀ ауданына емес, мойын ауданына қатынасын тапсақ, онда үзілу алдында (S нүктесінде) мойындағы σ_шын кернеуі σ_бер кернеуінен айтарлықтай жоғары болады. 

Материал беріктігінің қарастырылған сипаттамаларымен қатар сынау арқылы үлгі үзілгендегі δ салыстырмалы қалдық ұзаруын  анықтайды, ол материалдың пластикалық қасиетінің сипаттамасы болып келеді

                                             (10.1)

мұндағы l₀ – үлгінің бастапқы есептеу ұзындығы;

l₁– үлгі үзілгеннен кейінгі есептеу ұзындығы.

Ст3 үшін δ ≥24%, жоғары берікті болаттар үшін δ=(7…10)%. Бұл ұзаруы орташа алынады, шынайы ұзаруы үзілген жерде орын алады.

Айтарлықтай үлкен пластикалық деформацияларды зерттеу үшін шынайы созу диаграммасын білу қажет (10.2 суреттегі OCS қисығы).

Қарастырылған созылу диаграммасы пластикалық материалдарды, яғни қирамай тұрғанда айтарлықтай қалдық деформацияларға ие бола алатын мате-риалдарды сипаттайды. Пластикалық қасиеті жоғары материалдарға мыс, алюминий, латунь, аз көміртекті болат және т.б. жатады, пластикалық қасиеті аз материалдарға – легирленген болаттардың көпшілігі. Кейбір пластикалық  материалдардың созылу диаграммаларында аққыштық ауданы болмайды; олар үшін шартты аққыштық шегі қолданылады - ол қалдық деформациясының кейбір шамасына сәйкес келетін кернеу. σ_0,2 шартты аққыштық шегі  0,2% тең қалдық деформациясына сәйкес болады.

Пластикалық қасиетіне керісінше морт қасиеті бар. Морт материалдар үшін  δ шамасы 2-5%-дан аспайды. Морт материалдарға шойын, инструменттік болат, тас, бетон, шыны және т.б. жатады.  Пластикалық және морт материалдарға бөлу шартты екенін айта кету керек, өйткені сынау шарттарына (жүктелу жылдамдығына, температураға) және кернелген күйіне тәуелді морт материалдардың биімділігі пластикалық материалдар секілді, ал пластикалық материалдардың биімділігі морт материалдар секілді болуы мүмкін. Мысалы, шойыннан жасалған үлгі жанжақты сығу кезінде пластикалық қасиетіне ие болады. Ал болаттан жасалған қырнауы бар үлгі, оның  δ қалдық деформациясы салыстырмалы кішкене болғанда сынады.

Морт материалдардан жасалған үлгілердің созылу диаграммаларының бір қатар ерешеліктері болады (10.4 суретті қара). Мұнда  Гук заңынан ауытқуы өте ерте басталады. Үзілу  өте аз деформациялар кезінде мойыны болмай аяқ астынан келіп қалады. Сынау кезінде тек қана σ_б беріктік шегін анықтайды. Есептеу жүргізгенде қисық сызықты диаграммасын түзу сызықты диаграммасына ауыстырып, Гук заңынан ауытқуы ескерілмейді.  σ_б шамасына үлгінің өлшемдері байқалатын әсерін тигізеді, ол масштаб коэффициенті арқылы бағаланады.

10.2 суреттегі диаграммасын қайта қарастырайық. Егер үлгі жүктел-генде σ_сер кернеуі асырылмаса, жүктемені алғаннан кейін деформациялар толығымен жойылады. Содан кейін үлгі қайта жүктелсе, үлгі алдыңғы жағдайдағыдай болады. Егер үлгі жүктелуінде кернеу σ_сер кернеуінен артық болып кетсе, мысалы үлгі К нүктесіне дейін жүктелсе, онда жүктемеден босатылу   ОА-ға параллель КL түзуімен орындалады. Деформацияның сер-пімді бөлігі (LM кесіндісі) жойылады, ал пластикалық бөлігі (OL кесіндісі) қалады. Енді үлгі қайта жүктелсе, созу диаграммасы LK түзу бойымен K нүктесіне дейін жетіп, әрі қарай KEN сызығы бойымен үлгі үзілгенге дейін жүргізіледі. Үзілу кезіндегі LR ұзаруы  ОR шамасынан кіші болады. Сонымен, алдын ала σ_сер кернеуінен асатын кернеулерге дейін созылған үлгіге қайта жүктемені түсірсе, оның пропорционалдық шегі алдыңғы жүктелу кезіндегі кернеулер деңгейіне дейін өседі. Бұны - жүктемені алып қайта түсіру заңы, ал  құбылысты мығымдау деп атайды.

11. 2 Сығылуға сынаулардың ерешеліктері

Мұнда үлгілер текше немесе биік емес цилиндрлер (h≤3d) немесе куб түрінде алынады, керісінше иілу пайда болуы мүмкін. Өте қысқа үлгілерді де пайдалануға болмайды, өйткені шеткі беттеріндегі үйкеліс күштері  бірталай әсерін тигізеді.

Морт материалдар үшін сығылу диаграм-масының түрі созу диаграммасымен бірдей болады. Диаграмма бойынша  σ_б мен δ анықталады; сығылу кезіндегі беріктік шегі созылу кезіндегі беріктік шегінен әдетте артық.

10.5 суретте пластикалық материалдың типтік сығылу диаграммасы көрсетілген. Басында ол созу диаграммасымен бірдей болады, кейін тікшіл көтеріледі, үлгі жалпаяды және қирамайды. Пластикалық материалдар үшін созылу және сығылу кезіндегі жұмсару шектері көптеген жағдайда бірдей болады.

10.3 Температура мен уақыттың материалдар қасиеттеріне әсері

tº температура мен t уақыт факторларының материалдардың қасиеттеріне әсерін зерттеу өте күрделі мәселе болып келеді, сондықтан тек дербес жағдайлар қарастырылады.

10.6 суретте аз көміртекті болат үшін Е серпімділік модулі, σ_жұм жұмсару шегі, σ_бер беріктік шегі мен үзілгендегі δ ұзаруының tº-ға тәуелділіктері көрсетілген. tº температурасының 0…300ºС аралығында серпімділік модулі шамалы ғана кемиді. Одан айтарлықтай көбірек σ_бер мен δ өзгереді, сонда морт қасиеттеріне ие болу  орын алады – үзілу кезіндегі ұзаруы кемиді. tº  әрі қарай өскенде, болаттың пластикалық қасиеттері қайта оралады, ал беріктігі бірталай төмендейді. Жоғары tº кезіндегі морт қасиеттеріне ие болу аз көміртекті болаттарға тән. Легирленген болаттар және түсті қорытпалар δ шамасының бір сарынды өсуін  және σ_бер мен σ_жұм  азаюын көрсетеді.

Жоғары tº  болған кезде (органикалық материалдар үшін төмен tº кезінде де)  жүктелген бөлшекте кернеулер мен деформациялар уақыт өтуімен өзгереді, бұл құбылыс жылыстау деп аталады.

Жылыстаудың дербес білінуі – зардап, яғни тұрақты кернеу кезіндегі жойылмайтын деформациялардың өсуі. Мысалы: центрден тепкіш күштер және жоғары   tº әсерінен бу және газ турбиналарының дискілері мен қалақшалары өлшемдерінің өсуі. Жылыстау қасиетінің тағы бір дербес білінуі – релаксация, ол тұрақты деформациялар кезіндегі уақыт өтуімен кернеулердің өзінен-өзі өзгеруі, мысалы, жоғары tº кезінде қосылыстардағы болттардың бұрап тартылуының босауы.

Жылыстау кезіндегі материалдың негізгі сипаттамалары келесі:

а) ұзақ беріктіктің шегі – бұл созылған үлгінің берілген уақыт өткеннен кейін қирау болғызатын жүктеменің қиманың бастапқы ауданына қатынасы;

б) жылыстау шегі – берілген уақыт аралығында пластикалық дефор-мацияны берілген шамаға жеткізетін кернеу.

11 дәріс.  Созылу-сығылу кезіндегі беріктікке есептеу. Кернеулер шоғырлануы

Дәрістің мазмұны: қауіпсіз кернеулер, беріктік кепілдігі, созылу-сығылу кезіндегі беріктік шарты, кернеулер шоғырлануы.

Дәрістің мақсаты: созылу-сығылу кезіндегі беріктікке есептеудің әдістемесін игеру.

11.1 Созылу-сығылу кезіндегі беріктік шарты. Есептердің үш түрі

Созылуға және сығылуға сынаулары нәтижесінде алынған мате-риалдардың механикалық қасиеттерін конструкция элементтерін есептеу кезінде қалай қолдануға болатынын қарастырайық.

Ең кең таралған әдіс – кернеулер бойынша беріктікке есептеу әдісі. Осы әдісте есептеу конструкцияда орын алатын кернеулердің ең үлкен кернеуі   бойынша жүргізіледі, максималды кернеу материал үшін шекті шамасынан аспау керек σ_max<σ_шек, сонда беріктіктің кейбір кепілдігі ескерілу қажет, сондықтан беріктік шарты келесі  түрде орындалу керек

σ_max≤[σ].                                                  (11.1)

Мұнда [σ] – қауіпсіз кернеу, ол шекті кернеудің кейбір бөлігі ретінде анықталады                                                                                       (11.2)

мұндағы [n] – беріктік кепілдігінің нормативтік мәні, ол конструкция жауапкершілігінің дәрежесіне, есептеу сұлбасының нақтылығына, жобалау тәжірибесіне, конструкция жұмысының шарттарына тәуелді беріледі. Сонда әрқашан [n] >1,0 , оның мәндері конструкцияның әртүрлі элементтері үшін нормативтік құжаттарда беріледі.

Конструкцияда білінетін қалдық деформациялар болмауы үшін пластикалық материалдардан жасалған конструкция элементтеріне σ_шек мәні созылған жағдайда  , сығылған жағдайда  тең деп алынады. Морт материалдарға және кейбір жағдайда орташа пластикалық материалдарға σ_шек ретінде созылу немесе сығылу кезіндегі сәйкес  немесе беріктік шегі алынады. 

Осы әдіс бойынша беріктік шартының басқа түрі

n≥[n]                                                    (11.3)

мұндағы n – шынайы (есептеу) беріктік кепілдігі, ол n=σ_шек/σ_max формуласымен анықталады.

Сонымен, созылу-сығылу кезіндегі (11.1) беріктік шарты келесі түрге келтіріледі                                              .                                     (11.4)

Беріктік шартын қолданып, келесі есептерді шешуге болады:

а) тексеру есептері. Мұнда берілген жүктеме мен сырықтың көлденең қимасының өлшемдері бойынша шынайы кернеулерді анықтап, оларды қауіпсіз кернеулермен салыстырады, сонда тікелей (11.4) шартының орындалуы тексеріледі. Кернеулер асып кетсе, беріктік қамсыздандырыл-майды, сондықтан мұндай жағдайға тыйым салынады, ал кернеулер аз болуы материалдың артық шығынына алып келеді;

б) жобалау есептері. Берілген жүктеме мен қауіпсіз кернеу бойынша беріктік шартын қанағаттандыратын сырықтардың көлденең қималарының өлшемдерін анықтайды

;                                                 (11.5)

в) жүк көтеру шегін (жүк көтеру қабілетін) анықтау есептері. Мұнда сы-рық көлденең қимасының берілген өлшемдері мен берілген қауіпсіз кернеу бойынша қауіпсіз бойлық күшті анықтайды

,                                              (11.5)

содан кейін бойлық күш пен жүктеме арасындағы байланысты анықтап (статиканың тепе-теңдік теңдеулерін қолданумен),  қауіпсіз жүктемені табуға болады.

Сығылған сырықтар беріктікке есептелуімен қатар орнықтылыққа да есептелу керек екенін айтқан жөн, өйткені сығушы күштің кейбір мәнінде сырық иіліп кетуі мүмкін (орнықтылықтан айырылу).

Қауіпсіз кернеу әдісіндегі қабылданған критерий (нүктедегі кернеу) конструкция қирауының шарттарын кейбір жағдайларда сипаттамайтынын айтып кету керек. Сол жағдайларда критерий ретінде жүйе қирамай және формасын айтарлықтай өзгертпей, көтере алатын шекті жүктемені алған дұрыс.

11.1 мысал – Қимасының ауданы А=4 см² шойын сырық үшін (10.1 суретті қара), созылу кезіндегі қауіпсіз кернеуді  [σ_соз] = 30 МПа  және сығылу кезіндегі қауіпсіз кернеуді  [σ_сығ] = 100 МПа  қабылдап, беріктік шартының орындалуын тексеру керек.

Шешуі. Сырықтың сол жақ аралығында сығылу, басқа екі аралығында – созылу орын алады. Сырық қимасы тұрақты, орташа аралығында  N  бойлық күші басқа екі аралықтағы бойлық күштен артық және мұнда созылу орын алып тұр.  [σ_соз] кернеуі [σ_сығ]-дан аз болғандықтан, беріктік шартын тек қана орташа аралық үшін тексерген жеткілікті болады. Сонда σ=N/A=5∙10³/4∙10²=12,5 МПа<[σ_соз]=30 МПа, сондықтан сырық үшін беріктік шарты орындалып тұр.

11.2 Кернеулердің шоғырлынуы

Көлденең қимасы айнымалы сырықтардың есептелуі қимасы тұрақты сырықтардың есептелуімен бірдей жүргізіледі. Көлденең қималарында тек қана бірқалыпты таралған тік кернеулер орын алады, ал бойлық қималар кернеуден бос деп есептеледі.

Сырықтың қимасы кенет өзгеретін жағдайда (ойық, қуыс, тесік  және т.б. қасында), кернеулердің таралуы қарапайым созылуға сәйкес болмайды (11.1 суретті қара). Қарапайым созылу кезінде орын алатын кернеулердің бірқалыпты таралу заңынан қөлденең қиманың кенет өзгеретін орнының қасындағы ауытқу кернеулердің шоғырлануы деп аталады. Кернеулердің шоғырлануы келесі арқылы білінеді:

а) көлденең қималарда σ таралуы бірқалыпты емес, олар қима өзгеретін орнының қасында ең үлкен мәндеріне ие болады;

б) көлденең және бойлық қималарында σ да, τ да болады.

Шоғырландырғыштардағы кернеулердің таралу заңын анықтау үшін серпімділік теориясының әдістері мен тәжірибелік әдістер қолданылады. Әдетте теориялық шоғырлану коэффициентін анықтайды α=σ_max/σ₀, ол қимадағы ең үлкен кернеу номинал σ₀=F/A_нетто кернеуден неше есе артық екенін көрсетеді. α мәндері анықтамаларда беріледі (ол тек шоғырландырғыштың геометриясына тәуелді).

 α коэффициентін білу бөлшекті беріктікке есептеу үшін жеткіліксіз болады. Егер материал Гук заңына қирауға дейін бағынып тұратын болса, онда беріктігі α есе төмендейтін еді; бірақ практикада – α-дан аз есе төмендейді. Сондықтан тәжірибелік түрде тиімді шоғырлану коэффициенті анықталады, ол шоғырландырғышы бар үлгінің беріктік шегі  шоғырландырғышсыз үлгінің беріктік шегінен неше есе аз болатынын көрсе-теді k_σ = σ_б/σ_бш. Пластикалық материалдан жасалған сырықтың статикалық жүктеме жағдайында беріктігін есептеу кезінде кернеулер шоғырлануы ескерілмейді, яғни k_σ =1 алынады және беріктік шарты осылай жазылады . Бұл пластикалық материалдың жүк көтеру қабілетінің тек қиманың барлық нүктелеріндегі кернеу σ_ақ мәніне жеткенде ғана жойыла-тынына байланысты. F күші жәймендеп өскенде максималды кернеу σ_ақ мәніне жеткеннен кейін, тесіктің қасындағы кернеулер, аққыштық ауданы өтілмей өсе алмайды, ал бойлық талшықтар  еркін жағдайда секілді ұзара алмайды, өйткені олар қысылыңқы болады. Жүктеме өсуімен бойлық күш те өсу керек – ол σ < σ_ақ болатын талшықтардағы кернеулердің өсуі арқылы орындалады, сонда аққыштық аймағы, барлық нүктелерде  σ=σ_ақ болғанға дейін артады, сонда шекті қалпында жалпы аққыштық басталады. Сонымен, шекті қалпының шынайы жағдайы кернеулер шоғырлануының болмаған жағдайдағы қалпымен бірдей болады.

Морт материалдар үшін кернеулердің шоғырлануы бөлшектердің беріктігін біраз төмендетеді (мысалы, шыны  кесу кезінде шыны кескіштің қалдырған сызығы шоғырландырғыш болып келеді).

12 дәріс. Таза ығысу. Дөңгелек көлденең қималы сырықтың бұралуы

Дәрістің мазмұны: таза ығысу, бұраушы момент, бұралу кезіндегі кернеулер мен деформациялар, беріктікке және қатаңдыққа есептеу.

Дәрістің мақсаты: таза ығысудың ерекшеліктерін, дөңгелек және сақина тәрізді көлденең қималы сырықтардың бұралуы механикасын игеру, беріктікке және қатаңдыққа есептеу формулаларын алу.

            12.1 Таза ығысу кезіндегі кернеулер мен деформациялар

Таза ығысу – денеден бөліп алынған элементтің беттерінде тек қана t жанама кернеулері болатын кернелген күй  (12.1,а суретті қара). Біртекті таза ығысу жұқа қабырғалы цилиндрдің бұралу кезінде орын алады (12.2 суретті қара).

         Егер таза ығысудағы эле-менттен оның беттерімен 45º жасайтын беттері бар элементті қиып алсақ, оның беттерінде жанама кернеулер жоқ болып, тек қана тік кернеулер орын алатынын дәлелдеуге болады (12.1,б суретті қара). Сонда қарама-қарсы беттерінің бір жұбында кернеулер созушы (σ’=t), екінші жұбында сығушы (σ”=-t) болады.

         Алдында айтылғандай, t жанама кернеуі мен γ бұрыштық деформациясы Гук заңы бойынша байланысады

t=G∙γ.                                                 (12.1)

         Таза ығысу кезінде элементтердің қабырғаларының ұзындықтары өзгермейтінін және элемент қөлемінің өзгерісі де нөлге тең екенін дәлелдеуге болады. 

         Материалдарды созылу мен сығылуға сынаулары секілді таза ығысуға да сынау жүргізіледі. Ол үшін моменттермен бұралатын жұқа қабырғалы құбыр тәрізді үлгілер қолданылады. Нәтижесінде t мен γ координаттарындағы шартты ығысу диаграммасын алады, ол созу диаграммасына ұқсас болып келеді, сонда пластикалық металдар үшін аққыштық шегі t_ақ=(0,5…0,55)σ_ақ.

         Таза ығысуға жақын кернелген күй шегендерде, саңылаусыз қойылатын болттарда, шпонкаларда, шлицаларда, пісірілмелі біріктірмелерде орын алады.

12.2 Дөңгелек көлденең қималы сырықтың бұралуы

Бұралу - сырықтың көлденең қималарында тек қана М_бұр бұраушы моменті орын алып, басқа ІКФ нөлге тең болатын сырықтың жүктелу түрі. Бұралу әдетте сырық, әсер ету жазықтықтары сырықтың өсіне перпендикуляр күштер жұптарымен (бұрайтын моменттермен) жүктелген кезде  орын алады. Бұраушы моменттердің эпюрін қималар әдісін қолданумен тұрғызады, сонда М_бұр  қарастырлатын қиманың бір жағындағы бөлікке түсірілген күштер жұптарының сырықтың бойлық өсіне қатысты моменттерінің қосындысына тең болады                         М_бұр = ∑M_i.                                         (12.2)

Таңбалар ережесі: егер қиманың сыртқы нормалі жағынан қарағанда М_бұр сағат тілінің қозғалысына қарсы бағытталса, ол оң, керісінше теріс болып есептеледі. Сонда (12.2) формуласының оң жағындағы сыртқы моменттер қарсы ережемен алыну керек. 12.3 суретте М_бұр эпюрін тұрғызу мысалы көрсетілген.