Коммерциялық емес акционерлік қоғам

АЛМАТЫ ЭНЕРГЕТИКА ЖӘНЕ БАЙЛАНЫС УНИВЕРСИТЕТІ

Инженерлік графика және қолданбалы механика кафедрасы

 

 

 

ҚОЛДАНБАЛЫ МЕХАНИКА

5B070200 – Автоматтандыру және басқару

мамандығы бойынша барлық оқу түрлерінде оқитын студенттерге арналған дәрістер жинағы

  

 

Алматы 2010

ҚҰРАСТЫРҒАН: А.Д.Дінасылов, Р.Қ.Қойлбаева. Қолданбалы механика. 5B070200 – Автоматтандыру және басқару мамандығы бойынша барлық оқу түрлерінде оқитын студенттерге арналған дәрістер жинағы. –Алматы: АЭжБУ, 2010. – 60 б. 

 

Дәрістер жинағында «Қолданбалы механика» пәні бойынша 5B070200 – Автоматтандыру және басқару  мамандығының студенттері үшін оқылатын дәрістерінің негізгі теориялық материалы келтірілген. 1–4 дәрістерде механикалық жүйелердің статикасы мен кинематика негіздері беріледі, 5 дәрісте механизмдер теориясының кейбір мәселелері қарастырылады, 6-7 дәрістерде динамикасының негіздері беріледі. 8-12 дәрістерде конструкциялардың элементтерін беріктікке және қатаңдыққа есептеудің негіздері қарастырылады.

Жинақтың көлемі шектелген соң біраз тұжырымдардың дәлелдеуі берілмеген, есептердің мысалдары  келтірілмеген, бірақ дәрістерді оқу кезінде материал толығырақ беріледі. Жинақта келтірілген мағлұматтар материалды толық игеру үшін жеткіліксіз, сондықтан студенттер пәнді оқып үйрену кезінде жинақтың соңында көрсетілген тізімдегі қосымша әдебиеттерді пайдаланғаны жөн.

Дәрістер жинағы «Механика» және «Қолданбалы механика» пәндерін оқитын  басқа мамандықтардың студентеріне де пайдалы болады деген ойдамыз.

 

 

Мазмұны 

1 дәріс. Кіріспе ұғымдар. Статиканың аксиомалары. Тоғысатын күштер

 4

2 дәріс. Күштің нүктеге және өске қатысты моменті. Күштер жұбы. Күштер жүйесін берілген центрге келтіру

 7

3 дәріс. Күштер жүйелерінің тепе-теңдік шарттары. Үйкеліс. Ауырлық центрі

 10

4 дәріс. Нүктенің  және дененің қарапайым қозғалыстарының кинематикасы.  Нүктенің күрделі қозғалысы

 14

5 дәріс. Машина мен механизмдер теориясының негізгі ұғымдары. Механизмдерді құрылымдық және кинематикалық талдау

 19

6 дәріс. Нүкте динамикасы

25

7 дәріс. Жүйе және қатты дене динамикасының негіздері

29

8 дәріс. Материалдар кедергісіне кіріспе. Материалдар кедергісінің есептер мен дәрістері

 33

9 дәріс.Сырықтардың  созылуы мен сығылуы

38

10 дәріс. Таза ығысу. Дөңгелек көлденең қималы сырықтың бұралуы

46

11 дәріс. Көлденең қималардың геометриялық сипаттамалары. Иілу кезіндегі ішкі күштер факторлары

 49

12 дәріс. Иілу кезіндегі беріктік және орын ауыстырулар

54

Әдебиеттер тізімі

59

 

 

1 дәріс. Кіріспе ұғымдар. Статиканың аксиомалары. Тоғысатын күштер

         Дәрістің мазмұны: механика техниканың теориялық базасы ретінде; кіріспе ұғымдар және статиканың аксиомалары; тоғысқан күштер жүйелері және олардың тепе-теңдігінің шарттары.

Дәрістің мақсаты: механиканың рөлін анықтау, статиканың негізгі ұғымдарын және аксиомаларын тұжырымдау, тоғысатын күштер жүйесін қарапайымдату және оның тепе-теңдік шарттарын қарастыру.

«Механика» - бакалаврларды жалпы техникалық дайындау негізіндегі пән. Механика машина жасау саласының теориялық негізі болып келеді, ол машиналар, механизмдер, приборлардың сенімділігін, жобалау сапасын және дұрыс қолдануын арттыруда үлкен рөл атқарады.

Теориялық механика (ТМ) – материялық денелер механикалық қозғалысының (МҚ) жалпы заңдары туралы ғылым. МҚ - денелердің кеңістіктегі салыстырмалы орналасуының уақыт өтуімен өзгеруі. МҚ дербес жағдайы – денелердің тепе-теңдігі, бұл олардың тек тыныштық қалпы емес, бірқалыпты түзу сызықты қозғалысы да. Механикада денелердің өзара механикалық әрекеттесуі қарастырылады, яғни нәтижесінде денелер қозғалысының өзгеруі немесе олардың деформациялануы болатын өзара әрекеттесуі. ТМ статика, кинематика және динамика бөлімдерінен тұрады. Статикада күштер жүйелерін түрлендіру әдістері және олардың тепе-теңдігінің шарттары зерттеледі. Денелердің қозғалысы кинематикада күштер ескерілмей қарастырылады, динамикада  - күштер ескеріліп, қарастырылады.

1.1 Статиканың негізгі ұғымдары мен аксиомалары. Үш күш туралы теорема

ТМ зерттеу объектілері ретінде денелердің модельдері алынады, олар материялық нүкте (МН), МН жүйесі және абсолют қатты дене (АҚД).

МН деп өлшемдерін ескермеуге болатын, массасы нүктеде жинақталыды деп есептелетін денені айтамыз. МН жүйесі деп орналасуы мен қозғалыстары өзара байланысудағы МН жиынтығын айтамыз. АҚД - кез келген нүктелері арасындағы қашықтықтары өзгермейтін дене. Шынында барлық денелер күштер әсерінен өз өлшемдерін және формасын өзгертеді (дефомацияланады). Көбінесе сол деформациялар аз болғандықтан, денені абсолют қатты дене деп деформацияларды есепке алмауға болады.

Дененің тепе-теңдік немесе қозғалыс қалпы оның басқа денелермен өзара механикалық әрекеттенуіне тәуелді, осының өлшемі - күш. Күш – вектор, ол сан шамасымен, бағытымен және түсу нүктесімен сипатталады. Графикалық түрде күш бағытталған түзудің кесіндісімен көрсетіледі. Күш бағыты бойындағы түзу күштің әсер ету сызығы (ӘС) деп аталады.  Күшті, мысалы деп белгілейміз, сонда ‌F= -‌‌ оның модулі. Қатты денеге немесе нүктеге түсетін күштер жиынтығы күштер жүйесі (КЖ) деп аталады. Оны деп белгілейміз.

Егер қатты денеге әсер ететін КЖ-н дененің тыныштық немесе қозғалыс қалпын өзгертпей, басқа КЖ-не ауыстыруға болса,  олар баламалы  күштер жүйелері  деп аталады ~. Егер берілген КЖ бір ғана күшке баламалы болса, сол күш қарастырылудағы КЖ-нің деп аталады. Оны * деп белгілесек, сонда *~. Кез келген КЖ-нде тең әсерлісі бола бермейді. КЖ денеге түскенде, ол дененің тыныштық немесе қозғалыс қалпын өзгертпейтін болса, КЖ теңгерілген деп аталады. Теңгерілген КЖ-нің әсері нөлге баламалы, яғни ~0. Егер күшті КЖ-не қосқанда, ол сонымен бірге нөлге баламалы жаңа КЖ-н құрса, күшті КЖ-н теңгеретін күш деп атайды.  Дененің бір нүктесіне түсетін күш қадалған күш деп аталады.

Статика төмендегі 6 аксиомаға негізделеді.

1. Денеге түсетін екі күш тепе-теңдікте болу үшін олардың шамалары тең болуы және күштер өздерінің түсу нүктелері арқылы өтетін түзу бойымен қарама-қарсы бағытталуы  қажетті де жеткілікті: F1 = F2, бірақ .

2. Күштер жүйесінің қатты денеге әсерін өзгертпей, соған теңгерілген КЖ-н қосуға немесе алып тастауға болады. Салдары: АҚД-ге түсетін күштің әсерін өзгертпей, оны ӘС бойымен дененің кез келген нүктесіне көшіруге болады, яғни күш - жылжымалы вектор.

3. Бір нүктеге түсетін екі күштің тең әсерлісі сол күштер қабырғалары болатын параллелограмның диагоналі ретінде анықталады, .

4. Екі дене бір-біріне шамалары тең және бір түзу бойымен қарама-қарсы бағытталған күштермен әсер етеді: F21 = F12, .

         5-аксиоманың алдында бірнеше ұғымды енгіземіз. Егер дененің кеңістікте кез келген орын ауыстыруы мүмкін болса,  ол еркін дене деп, керісінше - еркін емес деп аталады. Дене қозғалысының еркіндігін шектейтін шарттар байланыстар деп аталады. Дене түскен күштер әсерінен байланыс кедергілік жасап тұрған орын ауыстыруды орындауға тырысып, оған күш түсіреді. Біржолы байланыс та денеге модулі тап сондай, қарама-қарсы бағытталған байланыстың реакциясы деп аталатын күшті түсіреді. Реакциялардан басқа күштерді актив (пәрменді) күштер деп атаймыз. Байланыс реакциясының актив күштерден айырмашылығы – оның шамасы актив күштерге тәуелді және алдын ала белгісіз. Реакцияның бағыты - байланыс дененің қозғалысына кедергілік жасайтын бағытқа қарама-қарсы. Кейбір байланыстардың (тіректердің) реакцияларын қарастырайық:

а) тегіс бет (үйкеліс ескерілмейді) дененің бет үстінде жылжуына кедергілік жасамайды, ол тек қана бетке тік бағытпен қозғалуға кедергілік жасайды. Сондықтан оның реакциясы жанасып тұрған денелердің беттеріне ортақ нормаль бойымен  бағытталады және жанасу нүктесіне түседі;

б) икемді жіп (шынжыр); реакция жіп (шынжыр) бойымен бағытталады;

в) цилиндрлік топса (подшипник) немесе жылжымайтын топсалы тұғыр. Тесіктерінен өтетін білікпен қосылған екі дене топсалы қосылысты құрайды. Біліктің өстік сызығы топсаның өсі деп аталады. Дене топса өсіне перпендикуляр бағытта орын ауыстыра алмайды, бірақ ол өске қатысты айнала алады. Сондықтан реакциясы топса өсіне перпендикуляр жазықтықта кез келген бағытталуы мүмкін. Әдетте оны екі құраушы күшке жіктейді;

г) каток түріндегі тірек немесе жылжымалы топсалы тұғыр. Үйкеліс күші ескерілмесе, реакция домалау бетінің нормалі бойымен бағытталады;

д) сфералық топса және өкшелік. Мұндай байланыс дененің бір нүктесі ешқандай орын ауыстыру ала алмайтындай қылып бекітеді, ал сол нүктеге қатысты дене кеңістікте кез келген бағытта айналуы мүмкін. Реакция бекітілген нүкте арқылы өтеді, оны үш құраушы күшке жіктейді;

е) екі шетінде топсалармен бекітілген, салмағы ескерілмейтін сырық. Реакциялар топсалардың центрлерінен өтетін түзу бойымен бағытталады.

5. Еркін емес денені, байланыстарды алып тастап және олардың әсерін реакциялармен ауыстырып, еркін дене ретінде қарастыруға болады.

6. Қатаю аксиомасы. Деформацияланатын дененің КЖ-нің әсерінен болған тепе-теңдік қалпы, оған қосымша байланыстарды орнатса, тіпті денені қатайған (абсолют қатты) дене ретінде қарастырса да, өзгермейді.

Үш күш туралы теорема: егер дене бір жазықтықта орналасқан үш  параллель емес күш әсерінен тепе-теңдік қалпында болса, онда сол күштердің әсер ету сызықтары бір нүктеде қиылысады.

1.2 Тоғысатын күштер жүйесі

Күштер жүйеcі (КЖ) келесі түрлерде болуы мүмкін: тоғысатын, параллель және кез келген. Тоғысатын деп күштердің әсер ету сызықтары (ӘС) бір нүктеде қиылысатын КЖ-н атайды. Параллель деп ӘС өзара параллель КЖ-н атайды. Кез келген деп ӘС қиылыспайтын және параллель емес КЖ-сі аталады. Аталған күштер жүйелері жазық және кеңістік болуы мүмкін.  Егер барлық күштердің ӘС бір жазықтықта жатса, КЖ жазық деп, керісінше жағдайда кеңістік деп аталады.

Денеге А, В, С, D нүктелерінде түсірілген әсер ету сызықтары О нүктесінде қиылысатын  күштерін қарастырайық (1.1,а суретті қара). Күштерді олардың ӘС бойымен О нүктеге көшіріп, оларды тізбектеп күштер үшбұрышы ережесімен қосамыз (1.1,б суретті қара). Алдымен , күштерінің тең әсерлі күшін, сонан соң , күштерінің тең әсерлі  күшін, сөйтіп т.б. табамыз. Сонда: , , =. Күштер саны n болса,  онда

                                                                 (1.1)

 күшін былай да табуға болады: алдымен векторын тұрғызып, оның ұшынан векторын,  содан кейін векторының ұшынан  векторын және сөйтіп т.б. тұрғызамыз. Сонда  күші бірінші вектордың басын соңғы вектордың ұшымен қосады. Сонымен, тоғысатын КЖ-нің тең әсерлісін геометриялық тәсілімен  табу үшін күштердің қиылысу нүктесінде күш көпбұрышын тұрғызу керек; оның тұйықтаушысы болып келеді. 

Тоғысатын КЖ-нің тең әсерлі күшін аналитикалық тәсілмен анықталуын қарастырайық. Ол үшін (1.1) теңдеуін декарт координаттар жүйесінің өстеріне проекциялап, тең әсерлі күшінің проекцияларын анықтаймыз

,    .                                 (1.2)

Тең әсерлі күшінің модулі мен бағыты келесі формулалармен табылады

                                        (1.3)

,            ,            .      (1.4)

         Тоғысатын КЖ тепе-теңдікте болуы үшін , яғни  болуы керек (тепе-теңдік шартының векторлық түрдегі жазылуы). Геометриялық түрде: күш көпбұрышы тұйықталу керек. Аналитикалық түрде: барлық күштердің үш өске проекцияларының қосындылары нөлге тең болуы,

,   ,    .                                   (1.5)

Тоғысатын жазық КЖ үшін     ,   .                         (1.6)

 

2 дәріс.  Күштің нүктеге және өске қатысты моменті. Күштер жұбы. Күштер жүйесін берілген центрге келтіру

         Дәрістің мазмұны: күштің нүктеге және өске қатысты моменті; күштер жұбы, күштер жұбының қасиеттері, күштер жүйесін центрге келтіру.

Дәрістің мақсаты: күштің нүктеге және өске қатысты моментінің қасиеттерін, күштер жұбының қасиеттерін, күштер жұптары жүйесін қарапайымдатуды және оның тепе-теңдік шарттарын, кез келген күштер жүйесін қарапайым түрге келтіруін зерттеу.

2.1 Күштің нүктеге қатысты және өске қатысты моменті

 күшінің О нүктесіне қатысты моменті деп (2.1 суретті қара) О нүктесінде түсетін және төмендегі формуламен анықталатын  векторы аталады                                                                                       (2.1)

мұндағы  - О  нүктесінен күші түсетін А нүктесіне жүргізілген радиус-вектор.

 векторының модулі күштің F  модулі мен О  нүктесінен күштің әсер ету сызығына дейін ең қысқа қашықтығының, яғни күштің О нүктесіне қатысты иінінің көбейтіндісіне тең

=F∙h.       (2.2)

 моменті күшінің О нүктесіне қатысты айналдыру әсерін сипаттайды.  радиус-векторын О  нүктесінен күшінің ӘС-нда жатқан  кез келген нүктесіне жүргізуге болады. Егер О нүктесі күштің әсер ету сызығында жатса, онда  күштің О нүктесіне қатысты моменті нөлге тең (иіні нөлге тең).

Төмендегі вектор күштер жүйесі үшін О нүктесіне қатысты бас моменті деп аталады                                       (2.3)

Жазық күштер жүйесі үшін күштің нүктеге қатысты алгебралық моментін қолданған ыңғайлы, өйткені бұл жағдайда барлық күштердің векторлық моменттері бір- біріне параллель болады. Күштің нүктеге қатысты алгебралық моменті деп күш модулінің күш иініне көбейтіндісі аталады

.                                                 (2.4)

Күш денені сағат тілінің қозғалысына қарсы бағытта айналдыруға тырысса, алгебралық момент оң таңбамен, керісінше теріс таңбамен алынады.

 күшінің өске қатысты моменті деп оның  өсте жатқан кез келген нүктеге қатысты векторлық моментінің сол өске проекциясы аталады, яғни

.                          (2.5)

Басқаша: күшінің  өске қатысты моменті -  күштің өске перпендикуляр жазықтыққа  түсірілген проекциясының (2.2 суретті қара) жазықтық пен өстің қиылысу нүктесіне қатысты алгебралық моменті                   .            (2.6)

Күштің өске қатысты моменті күш пен өс бір жазықтықта орналасса нөлге тең.         Күштің координат жүйесінің басына қатысты моменті (2.1) формуласына сай мына формуламен анықталады

.


2.2 Параллель күштерді қосу

АҚД-ге түскен екі параллель және бір жаққа бағытталған күштің тең әсерлісінің модулі күштер модульдерінің қосындысына тең, оның бағыты күштерге параллель және осылармен бағыттас. Тең әсерлінің ӘС-ғы берілген күштердің ӘС арасындағы түзуді күштер модульдеріне кері пропорционал бөліктерге іш жағынан бөліп өтеді.   Керісінше, кез келген күшті екі параллель және сол күшке бағыттас күшке жіктеуге болады.

Өзара тең емес, параллель және қарсы бағытталған екі күштің тең әсерлісінің модулі күштер модульдерінің айырмашылығына тең  және  оның бағыты үлкен күштің бағытымен бірдей. Тең әсерлінің ӘС-ғы үлкен күштің ӘС сыртынан, күштердің ӘС арасындағы түзу сызықты кесіндіні күштер модульдеріне кері пропорционал бөліктерге сыртқы жағынан бөліп өтеді.

2.3 Күштер жұбы. Күштер жұбының моменті

АҚД-ге түсетін күштер жұбы деп модульдері тең, параллель, бір біріне қарсы бағытталған және бір түзуде жатпайтын екі күштің жүйесін атаймыз (2.3 суретті қара). Күштердің қосындысы нөлге тең, бірақ күштер жұбы теңгерілмейді. Күштердің ӘС арасындағы ең қысқа қашықтық жұптың иіні d деп, ал күштер орналасқан жазықтық жұптың әсер ету жазықтығы деп аталады. Денеге түсетін бірнеше жұптың жиынтығы  күштер жұптарының жүйесі деп аталады. Жұп тең әсерлі күшке келтірілмейді. Жұптың денеге әсері жұптың әсер ету жазықтығына перпендикуляр  векторлық моментімен сипатталады, бұл вектордың шамасы F∙d тең және вектордың ұшынан қарағанда, жұп денені сағат тіліне қарсы айналдыруға тырысатын болып  көрінеді. Күштер жұбын оның әсер ету жазықтығында және параллель жазықтыққа, күш модулі мен жұп иінін өзгертіп, бірақ жұп модулі мен оның денені айналдыруға тырысатын бағытын сақтап, көшіруге болады, яғни күштер жұбының векторлық моменті – еркін вектор.  

Векторлық моменттері бірдей екі жұп баламалы болады.

Егер күштер жұптары бір жазықтықта орналасса, олардың моменттерін алгебралық шамалар ретінде қарастыруға болады. Жұп денені сағат тіліне қарсы айналдыруға тырысса, оның моменті оң, керісінше теріс болып саналады.  Сонда  күштер жұптарының жазық жүйесі үшін

                                      (2.7)                         

Жұптарды қосу туралы теорема: күштер жұптарының жүйесі  векторлық моменті барлық жұптардың векторлық моменттерінің қосындысына тең бір жұпқа баламалы,яғни  және жұптар жүйесінің тепе-теңдік шарты

        .                                                  (2.8)

2.4 Күштерді параллель көшіру туралы теорема

АҚД-ге түсетін күшті, оның денеге әсерін өзгертпей, дененің кез келген басқа нүктесіне, күштер жұбын қосып, өзіне параллель көшіруге болады (2.4 суретті қара); жұптың моменті күштің сол нүктеге қатысты моментіне тең.

2.5 Күштер жүйесін берілген центрге келтіру

АҚД-ге әсер ететін кез келген КЖ-н  бір центрге келтіруге болады, сонда күштер жүйесі келтіру центріне түсетін жүйенің бас векторына тең бір күш пен  моменті жүйенің сол центрге қатысты бас моментіне тең бір жұпқа ауыстырылады (2.5 суретті қара); мындағы               

                                   (2.9)

.                      (2.10)

 шамасы келтіру центрінің таңдалуына тәуелсіз, ал  – тәуелді. 

АҚД-ге әсер ететін екі КЖ, олардың бас векторлары және бір нүктеге қатысты бас моменттері бірдей болғанда, баламалы.  

Вариньон теоремасы: егер КЖ-нің  тең әсерлісі болса, оның кез келген нүктеге немесе өске қатысты моменті жүйенің барлық күштерінің сол нүктеге немесе өске қатысты моменттерінің қосындысына тең.

 

3 дәріс. Күштер жүйелерінің тепе-теңдігі. Үйкеліс. Ауырлық центрі

         Дәрістің мазмұны:  күштер жүйелерінің тепе-теңдік шарттары, сырғанау үйкелісі мен домалау үйкелісі, қатты денелердің ауырлық центрі.

Дәрістің мақсаты: кеңістік және жазық күштер жүйелерінің тепе-теңдік шарттарын  анықтау, үйкеліс болғанда есептерді шешудің ерекшеліктерін қарастыру, дененің ауырлық центрін анықтауды үйрену.

3.1 Денеге түсірілген күштер жүйесінің тепе-теңдік шарттары

Кез келген КЖ тепе-теңдікте болу үшін мына теңдеулердің орындалуы қажетті де жеткілікті           ,                   (3.1)

Бұл шарттар келесі тепе-теңдіктің аналитикалық шарттарына баламалы      

     ,           ,          ,             

   ,   ,    ,                             (3.2)

яғни АҚД-ге әсер ететін  кез келген КЖ-нің тепе-теңдігі үшін барлық күштердің декарт координаттар жүйесінің үш өсіне проекцияларының қосындылары  және сол өстерге қатысты барлық күштер моменттерінің қосындылары нөлге тең болуы қажетті де жеткілікті.

Кеңістік параллель КЖ үшін (Oz өсі күштермен бағыттас)

       ,       ,       .      (3.3)

         Кез келген жазық КЖ-сі үшін: күштердің екі координат өсіне проекцияларының қосындылары  және кез келген центрге қатысты күштердің алгебралық моменттерінің қосындысы нөлге тең болуы қажетті де жеткілікті

       ,       ,     .       (3.4)

Екінші түрі:    

,           ,                        (3.5)

         мұнда  түзуі өсіне перпендикуляр емес болу керек.

Үшінші түрі:   

,      ,                  (3.6)

         мұнда  А, В, С  бір түзудің бойында жатпау керек.

         Жазық параллель күштер жүйесі үшін тепе-теңдік шарттары:

,                                      (3.7)

мұнда Ox өсі күштерге перпендикуляр болмау керек;  немесе

,                                 (3.8)

мұнда А мен В нүктелерінен өтетін түзу күштерге параллель болмау керек.

3.2 Денелер жүйесінің тепе-теңдігі. Статикалық түрде анықталатын және статикалық түрде анықталмайтын жүйелер

Денелер жүйесінің бөліктерін қосатын байланыстар ішкі байланыстар деп аталады. Егер сыртқы байланыстарды күштерге ауыстырса, тепе-теңдік шарттары оларды анықтау үшін жеткіліксіз болады. Есептерді шешу әдістері:

а) қосымша тепе-теңдік шарттарын құрады, мысалы, ішкі топсаға қатысты моменттерінің қосындысы түрінде;

б) конструкцияны, оның ішкі байланыстарын күштерге ауыстырып,  бөліктерге ойша жіктейді де әр бөлігі үшін тепе-теңдік теңдеулерін құрайды.

Егер байланыстар реакцияларының белгісіз құраушыларының саны тәуелсіз тепе-теңдік теңдеулерінің санына тең болса, қарастырылатын жүйе статикалық түрде анықталатын, одан артық болса  статикалық түрде анықталмайтын жүйе (САЖ) деп аталады. САЖ жүйелердегі реакцияларды АҚД үшін қолданатын әдістермен табу мүмкін емес.  Мұндай есептерді шешу үшін денелердің деформациялануын есепке алу керек.

3.3 Сырғанау үйкелісі. Тегіс емес беттің реакциясы

Сырғанау үйкелісінің Кулон – Амонтон заңдары:

1) бір денені басқа дененің үстінде жылжытуға тырысқан жағдайда олардың жанасу жазықтығында үйкеліс күші пайда болады, оның модулі 0F≤ Fmax . Денеге түсірілген үйкеліс күші күш түскен нүктесінің мүмкіндік жылдамдығына қарама-қарсы болады.

2) максималды үйкеліс күші  f  үйкеліс коэффициенті мен N  нормаль қысым күшінің көбейтіндісіне тең                        Fmax=f∙N.                            (3.9)

f  - жанасатын денелердің материалдары мен беттерінің қалпына (кедір-бұдырлығына, температурасына, ылғалдылығына және т.б.) тәуелді, ол тәжірибе арқылы анықталады. Мәндері: ағаш пен ағаш - 0,4-0,7; метал мен метал - 0,15-0,25; болат пен мұз - 0,027.

 Тыныштық үйкелісі мен сырғанау үйкелісі айыра танылады. Тыныштық үйкелісінің коэффициенті Fmax үйкеліс күші арқылы анықталады.  Әдетте ол сырғанау үйкелісінің коэффициентінен артық. Сырғанау жылдамдығының өсуімен сырғанау үйкелісінің коэффициенті басында  шамалы азаяды, содан кейін айтарлықтай өзгермейді.

3) максималды үйкеліс күші  жанасатын беттердің ауданына тәуелсіз.

Тегіс емес беттің реакциясы екі құраушы арқылы анықталады, олар  (модулі нормаль қысым күшіне тең) және  үйкеліс күші (3.1 суретті қара). Толық  реакциясы  нормаль бағыттан α бұрышына ауытқиды (tg α = F/N).

Горизонталь тегіс беттің үстінде тұрған денеге ауырлық күштен басқа сыртқы күш түспесе, онда F = 0, толық реакция R= = N  және ол тіреуіш бетіне перпендикуляр болады. Денеге шамасы аз күшін түсіріп, біз оны қозғалтуға тырыссақ, қозғалыс бола қалмайды, өйткені үйкеліс күші пайда болады, және F<Fmax.  күші артқан сайын үйкеліс күші де артады. F1 = Fmax болғанда тепе-теңдіктің шеткі қалпы орын алады, сонда толық реакция  вертикальдан үйкеліс бұрышы деп аталатын αmax бұрышына ауытқиды.  Оны φ арқылы белгілеп, мынаны анықтаймыз 

tg φ= Fmax/N=f .                                             (3.10)

Идеалды емес байланыстың реакциясының бағыты үйкеліс бұрышымен шеттеледі. Әдетте үйкеліс күші ескерілуімен денелер тепе-теңдігінің шеткі (үйкеліс күші максималды болғандағы) қалпы қарастырылады.

3.4 Домалау кезіндегі байланыстың реакциясы

 3.2,а суретте  домалау кезінде цилиндр тіреуші бетке жаншылып, онымен домалау бағыты жағына ығысқан  СD доғасымен кескінделетін бетпен әрекеттескені көрсетілген.  

Тіреуші беттің   толық реакциясы беттің деформациясынан туындаған таралған күштердің қосындысы ретінде цилиндрдің домалауына кедергі жасайды. Бір дененің басқа дененің бетінде домалау кезінде пайда болатын кедергі домалау үйкелісі деп аталады. Инженерлік есептеулер жүргізуде керегі – домалау үйкеліс күштерінің қарсыласу моменті (3.2,б суретті қара). Құбылыстың сұлбасын жасағанда, домалау деформацияланбайтын бетінде қарастырылады, ал толық   реакциясы А нүктеcінен δ шамасына ауытқыған В нүктесіне түсетін екі құраушы күш арқылы көрсетіледі (3.2,в суретті қара).  күші – сырғанау үйкеліс күші, ал - нормаль реакциясы. Онда        

N = P,  F = Q,  Qmax∙r = δ∙N.                                    (3.11)

δ∙N = кед)max көбейтіндісі домалауға кедергі моменті деп аталады. Q күші аз болса, N  күшінің ауытқуы да аз болады; Q  өсуімен ауытқу артады. Qmax болғанда цилиндр тепе-теңдіктің шеткі қалпына жетеді, сонда N вертикаль диаметрден  домалау үйкелісінің коэффициенті деп аталатын, δ  шеткі  қашықтығында өтеді. δ  коэффициенті жанасатын денелер материалдардың қасиеттеріне және беттерінің қалпына тәуелді, ол тәжірибелік түрде анықталады (рельс үстімен домалаған дөңгелек  δ = 0,005 см,  шарикті подшипникте δ = 0,001 см).

3.5 Қатты дененің ауырлық центрі

Дененің А1, A2 нүктелерінде түсетін екі параллель  және  күшті қарастырайық (3.3 суретті қара).  тең әсерлісінің әсер ету сызығы қосылатын күштерге параллель және  A1Aтүзуінде жатқан С нүктесінен өтеді. С нүктесінің орнын Вариньон теоремасын қолданып анықтай аламыз, онда         .                                       (3.12)

,  күштерін А1, А2 нүктелерінің айналасында бірдей α бұрышына бұрғанда, тең әсерлі күші де сол бағытта α  бұрышына бұрылады және дәл сол С нүктесіне түседі. С нүктесі параллель күштердің центрі деп аталады. Кез келген күштер саны үшін  де осылай болады.  

Дене бөлшектеріне түсетін , ,…,  ауырлық күштерінің  тең әсерлісін  деп белгілейік (3.4 суретті қара). Оның модулі (дененің салмағы) келесідей анықталады

.                                                             (3.13)

С  нүктесі параллель ауырлық күштерінің центрі болып келеді, ол дененің ауырлық центрі деп аталады. Сонымен, АҚД-нің ауырлық центрі – денемен өзгеріссіз байланысқан дененің  кеңістікте кез келген орналасуында дене бөлшектеріне түсетін ауырлық күштерінің тең әсерлі күшінің ӘС өтетін  нүкте; оның координаттары

   ,            ,              (3.14)     

мұндағы , , –   күштері түсетін нүктелердің  координаттары.

 

4 дәріс.   Нүктенің    және   дененің    қарапайым   қозғалыстарының кинематикасы. Нүктенің күрделі қозғалысы

         Дәрістің мазмұны: кинематиканың кіріспе ұғымдары, нүктенің траекториясы, жылдамдығы мен үдеуі; қатты дененің ілгерілемелі, айналмалы және жазық параллель қозғалыстары; нүктенің күрделі қозғалысы.

Дәрістің мақсаты: нүкте қозғалысының, қатты дененің қарапайым қозғалыстарының кинематикалық сипаттамаларын қарастыру.

4.1 Кинематикаға кіріспе. Нүкте қозғалысының берілу тәсілдері

Дененің қозғалысы ретінде оның санақ жүйесіне (СЖ) қатысты кеңістікте орналасуының уақыт өтуімен  өзгеруін түсінеді. СЖ басқа денелерден және осылармен байланысқан координат жүйесінен тұрады. Денелердің қозғалысы кеңістікте уақыт өтуімен  орындалады. Кеңістік үш өлшемді Евклид кеңістігі деп қарастырылады.   Кинематика есептерінде t уақыты аргумент болып алынады. Басқа айнымалылардың барлығы (арақашықтар, жылдамдықтар және т.б.) t -ның функциялары ретінде қарастырылады. Уақыт  бір бастапқы мезгілден есептеледі.

Есептерді шешу үшін дененің (нүктенің) қозғалысы кинематикалық түрде берілу керек, яғни дененің (нүктенің) кез келген уақыт мезгілінде берілген СЖ-не қатысты орналасуы берілу керек.  Қозғалысты зерттеу оның берілу тәсілдерін анықтаудан басталады. Кинематиканың мақсаты – нүктенің (дененің) қозғалыс заңын біле отырып, барлық кинематикалық шамаларды табу әдістерін анықтау.

Қозғалыстағы нүкте  берілген СЖ-не қатысты жасайтын сызық нүктенің траекториясы деп аталады (түзу және қисық сызықты қозғалыс).

Нүктенің қозғалысы үш тәсілдің біреуімен берілуі мүмкін.

1. Векторлық тәсіл. Нүктенің орны оның   радиус-векторымен (4.1 суретті қара) анықталады                         .                                                                   (4.1)

2. Координаттық тәсіл. Нүктенің орнын оның координаттарымен анықталады                    .                                             (4.2)

3. Табиғи тәсіл. Нүктенің траекториясы (4.2 суретті қара), траекториясындағы санақ басы мен санақ бағыты және келесі түрде қозғалыс заңы беріледі                                   .                                                     (4.3)

 

 

 

 

 

 


4.2 Нүктенің жылдамдығы  мен үдеуі

Нүктенің  жылдамдығы  векторының t  аргументі бойынша бірінші ретті туындысына тең екендігі дәлелденеді                    .                (4.4)             

                                                     

 

 

 

 

 

 

 

 

Нүктенің үдеуі жылдамдық векторының уақыт бойынша бірінші ретті туындысына, яғни нүктенің радиус-векторының екінші ретті туындысына тең

                                     (4.5)

Қозғалыс координаттық тәсілмен берілген жағдайдағы нүктенің жылдамдығы мен үдеуін анықтау үшін келесі теореманы қолданамыз: вектордың туындысының қозғалмайтын өске проекциясы вектордың сол өске проекциясының туындысына тең.

Сонда жылдамдықтың проекциялары үшін келесі орын алады

                                           (4.6)

немесе                                   .                                         (4.7)

Үдеудің проекциялары үшін келесі болады

,     ,                       (4.8)

немесе                                          ,                                             (4.9)

яғни үдеудің координаттар өстеріне проекциялары  жылдамдықтың сәйкес проекцияларының уақыт бойынша бірінші ретті туындыларына немесе кординаттардың екінші ретті туындыларына тең.

Қозғалыс табиғи тәсілмен берілген жағдайда нүктенің жылдамдығы мен үдеуі олардың Мtnb табиғи үшжақтықтың өстеріне проекциялары арқылы табады. Өстердің бағыттары: Мt - s санағының оң бағытына сәйкес траекторияға жанама бойынша; Мn бас нормалі – траекториямен жанасу жазықтығында траекторияның ойыс жағына жүргізілген нормалі бойынша; Mb бинормалі – алдынғы екі өске перпендикуляр бойынша, олармен оң өстер жүйесін құрайтын болып, бағытталады.

Нүктенің жылдамдығын анықтаймыз

.                                         (4.10)

Жылдамдықтың нүкте траекториясының жанамасына проекциясы

      .                                                          (4.11)

Осыдан  және жылдамдықтың модулі    шығады.

Нүктенің үдеуі үшін

 .                     (4.12)

Мұнда   (ρ – қарастырылатын орнында нүктенің траекториясының қисықтық радиусы), сонда

,                                                    (4.13)

яғни  үдеу  векторы жанама және нормаль құраушыларының қосындысына тең

.                                                         (4.14)

 векторы жанасу жазықтығында, яғни Mtn жазықтығында жатады. (4.13) теңдігін Мt,  Мn  және Mb өстеріне проекциялап,  келесіге келеміз

 .                                        (4.15)

4.3 Қатты дененің ілгерілемелі қозғалысы және тұрақты өс төңірегіндегі айналмалы қозғалысы

АҚД-нің ілгерілемелі қозғалысы деп денеде жүргізілген кез келген түзу өзіне параллель болып қала беретін қозғалысты айтады, сонда дене нүктелерінің траекториялары кез келген сызық болулары мүмкін. Келесі теорема орын алады: ілгерілемелі қозғалыста дене нүктелері  бірдей траекторияларды сызады және әр уақыт мезгілінде модульдері мен бағыттары бірдей жылдамдықтар мен үдеулерге ие болады. Яғни, АҚД-нің кинематикасы нүктенің кинематикасына келтіріледі.

АҚД-нің тұрақты (қозғалмайтын) өс төңірегінде айналғанда, оның өсте жатқан нүктелері қозғалмайды (4.5 суреттегі АВ). Өс арқылы екі жазықтық жүргізейік – қозғалмайтын және денемен байланысқан қозғалатын. Олардың арасындағы екі жақтық j бұрышы (дененің бұрылу бұрышы) айналу өсінің оң бағыты жағынан қарағанда сағат тіліне қарсы болып көрінгенде, оң болып есептеледі. Қозғалыс заңы

j = j (t).                                                           (4.16)

Бұрыштық жылдамдық j бұрышының уақыт өтуімен өзгеруін сипаттайды

w = dj/dt,  яғни  .                                        (4.17)

Дененің бұрыштық жылдамдығын векторымен кескіндеуге болады.

Бұрыштық үдеу ω-ның уақыт өтуімен өзгеруін сипаттайды

e = dw/dt  = d2 j/dt2,     яғни  .                                    (4.18)

Қозғалыс кезінде w=const болса, айналу бірқалыпты деп аталады.  (4.17) формуласын  интегралдап, айналу заңын анықтаймыз

.                                                   (4.19)

Бірқалыпты айналу кезінде  болса, онда

.                                                     (4.20)

Қозғалыс кезінде бұрыштық үдеу тұрақты болса (e=const), айналу бірқалыпты айнымалы деп аталады, оның заңы келесі түрде жазылады

.                                          (4.21)

w  мен e  таңбалары бірдей болса, айналу – бірқалыпты үдемелі, әртүрлі болса, бірқалыпты кемімелі болады.

Айналатын дене нүктелерінің жылдамдықтары мен үдеулерін анықтаймыз (4.6 суретті қара).

Айналу кезінде М нүктесі радиусы h тең, жазықтығы айналу өсіне перпендикуляр және P центрі  өсте жататын шеңберді кескіндейді. dt уақыт ішінде дене   бұрышына бұрылады, М  нүктесі ds = h∙dφ орын ауыстыру жасайды. Сонда

.                   (4.22)

Нүктенің үдеулерін анықтаймыз

.    (4.23)

 үдеуі траекторияға жанама бағытталады (үдемелі айналу кезінде айналу бағытына сәйкес және кемімелі айналу кезінде айналу бағытына қарсы),  үдеуі әрқашан МP радиусы бойымен өске қарай бағытталады. Нүктенің толық үдеуі

,                                          (4.24)

m  бұрышы (4.6 суретті қара) келесі тәуелдік арқылы анықталады

.                                                 (4.25)

4.4 Қатты  дененің  жазық  параллель  қозғалысы

АҚД-нің жазық параллель немесе жазық қозғалысы деп дененің барлық нүктелері бір қозғалмайтын жазықтыққа параллель жазықтарда орын ауыстыратын қозғалысты атайды (4.7 суретті қара).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дене қозғалысын зерттеу үшін оның S қимасының Оху жазықтығында қозғалысын зерттеуге жеткілікті. S фигурасының орны АВ кесіндісінің орналасуымен анықталады (4.8 суретті қара). Қозғалыс заңын білу үшін келесі тәуелдіктерді білу қажет           .                    (4.26)

Жазық қозғалысты полюспен бірдей ілгерілемелі қозғалысы және полюс төңірегіндегі айналмалы қозғалысының қосындысы ретінде қарастыруға болады. Енді жазық фигура нүктелерінің жылдамдықтарын және үдеулерін анықтайық. Кез келген B нүктесінің орны  радиус-векторымен анықталады (4.9 суретті қара) . Олай болса                                        .                (4.27)

                     (4.28)

мұндағы w - фигураның бұрыштық жылдамдығы.                                                    

Кез келген қозғалыстағы АҚД нүктелерінің жылдамдықтарын анықтағанда келесі теореманы қолдануға болады: дененің екі нүктесінің жылдамдықтарының оларды қосатын түзуге проекциялары тең.

Жазық фигураның кез келген B нүктесінің үдеуі ілгерілемелі және айналмалы қозғалыстарындағы  үдеулердің қосындысына тең          

                                .                                 (4.29)

Есетерді шешу кезінде (4.29) теңдікті келесі түрде жазған ыңғайлы

            .                                               (4.30)


4.3 Нүктенің күрделі қозғалысы. Жылдамдықтарды және үдеулерді қосу туралы теоремалар

Есептерді шешкенде нүктенің қозғалысын екі СЖ қатысты қарастырған қолайлы болады, олардың біреуі негізгі болып саналады (шартты қозғалмайтын), екіншісі – біріншісіне қатысты қозғалады. М нүктесінің қозғалатын  Oxyz СЖ-не қатысты қозғалысын қарастырайық, және осы Oxyz СЖ-сі қозғалмайтын О1х1у1z1 СЖ-не қатысты қозғалыста болсын (4.10 суретті қара). Анықтамаларды енгізейік:

а) М нүктесінің қозғалатын СЖ-не қатысты (Oxyz өстеріне қатысты) қозғалысы салыстырмалы қозғалыс деп аталады;

б) қозғалмайтын  О1х1у1z1 СЖ-не қатысты Oxyz СЖ-нің қозғалысы М нүктесі үшін  тасымал  қозғалыс  болады.  Охуz өстерімен өзгеріссіз байланысқан, қарастырылатын уақыт мезетінде  қозғалатын  М нүктесімен түйісетін  m нүктесінің жылдамдығы М нүктесінің сол уақыт мезгіліндегі тасымал жылдамдығы (), ал  m нүктенің үдеуі - М нүктесінің тасымал үдеуі деп аталады. Сонда

 ,         ;         (4.31)                                         в) М нүктесінің қозғалмайтын  О1х1у1z1 СЖ-не қатысты қозғалысы абсолют немесе күрделі қозғалыс деп аталады.

Күрделі қозғалыс кезінде келесі орындалатыны дәлелденеді

                  (4.32)

 векторлары сәйкес траекторияларына жанама бағытталады. Егер  мен  арасындағы бұрышы a болса,  онда

.                                      (4.33)

Үдеулер үшін келесі орындалады

.                                               (4.34)

(4.34) формуласы үдеулерді қосу Кориолис теоремасын өрнектейді: нүктенің күрделі қозғалысында оның абсолют үдеуі үш үдеудің, яғни салыстырмалы, тасымал және кориолис үдеулерінің векторлық қосындысына тең.

Кориолис үдеуі келесі фомуламен анықталатыны дәлелденеді

.                                                    (4.35)

Тасымал қозғалыс ілгерілемелі болатын дербес жағдайында =0, сонда үдеулерді қосу теоремасы қарапайымдалады

.                                               (4.36)     

 

5 дәріс. Машина мен механизмдер теориясының негізгі ұғымдары. Механизмдерді құрылымдық және кинематикалық талдау

Дәрістің мазмұны: машина мен механизмдер теориясының есептері,  негізгі ұғымдар, механизмдерді құрылымдық талдау; жазық рычагты механизмдерді графоаналитикалық әдіспен кинематикалық талдау.

Дәрістің мақсаты: машина мен механизмдер теориясының әдістерімен шешілетін есептер жиынын анықтау, механизмдер құрылымын талдауды және жазық рычагты механизмдердің кинематикасын графоаналитикалық әдіспен талдауды игеру.

5.1 Негізгі ұғымдар. Механизмдердің құрылымдық элементтері

Энергияны түрлендіретін және пайдалы жұмыс атқаратын жабдықтар машиналар деп аталады. Меха­низм  деп, бір немесе бірнеше дененің қозғалысын басқа денелердің керекті қозғалыстарына түрлендіруге арналған, өзара байланысқан денелерден тұратын машина бөлігін атайды. Механизм энергияның немесе қозғалыстың қозғалтқыштан машинаның жұмыс органдарына берілуін атқарады. Механизмдердің қозғалысын және жұмысын зерттеумен айналысатын ғылым - машина мен механизмдер теориясы (ММТ).

Кез келген механизм буындардан және кинематикалық жұптардан (КЖ) тұрады.  Буын деп механизмнің біртұтас қозғалатын бөлігін атайды. Буын қарапайым (бір бөлшектен тұратын) немесе күрделі (құрастырылған) болуы мүмкін. Буындар құрылымдық белгілері (білік, поршень және т.б.), деформациялану қабілеті (қатты немесе икемді буын) және қозғалыс түрі бойынша жіктеледі. Қозғалмайтын өсті толық айналып қозғалатын буын кривошип деп аталады; толық айналмайтын буын - күйенте; ілгерілемелі-қайтымды қозғалатын буын сырғақ деп аталады. КЖ деп екі буынның, бір- біріне салыстырмалы қозғалысына мүмкіншілік беретін қосылысын атайды. Механизмнің құрылуы КЖ арқылы орындалады. Кез келген КЖ конструкциясы  буындардың қосылатын бөліктерінің қозғалмалы беттесуі болып келеді, онда «күш ағымы» бір буыннан екінші буынға геометриялық тұйықталу немесе күш тұйықталуы арқылы беріледі. КЖ жүктеме мен қозғалысты береді және олар жиі механизм мен тұтас машинаның қызмет ету қабілетін және сенімділігін анықтайды. КЖ элементтерінің жанасу түріне байланысты олар төменгі жұптарға (беттерімен жанасатын) және жоғарғы жұптарға (нүкте арқылы немесе сызық арқылы жанасатын) бөлінеді. 

 Түсірілген байланыс шарттарының S саны немесе буындардың салыстырмалы қозғалысының Н еркіндік дәрежесі бойынша КЖ кластарға бөлінеді. Еркін дене кеңістікте 6 еркіндік дәрежеге ие бола алады, және  Н=6-S. S=1 болғанда КЖ-тың еркіндік дәрежесі 5 болады (бес козғалмалы), S=2 болғанда - 4 (төрт қозғалмалы) және т.б. 5.1 кестеде 5-класты КЖ мысалдары және олардың шартты кескіндері көрсетілген.

КЖ арқылы қосылған буындар жүйесі (5.1 суретті қара)  кинематикалық тізбек деп аталады (КТ). Тұйықталған және тұйықталмаған тізбектерді айырады. Тұйықталған КТ әр буыны кемінде екі КЖ кіреді, тұйықталмаған (ашық) КТ-те тек қана бір КЖ кіретін буындар болады. Сонымен, механизм - бір немесе бірнеше буындарының берілген қозғалысы кезінде барлық буындар  кез келген буынға қатысты белгілі бір қозғалыста болатын КТ. Тіреу деп, соған қатысты қозғалыс сипаттамалары (орын ауыстырулар, жылдамдықтар және т.б.)  бағаланатын, буын аталады, әдетте ол қозғалмайтын буын. КТ-те кіріс және шығыс буындар болады (бірнешеуі болуы мүмкін). Кіріс (жетекші) буын – қозғалысты қозғалтқыштан алатын буын, ал шығыс (жетектегі) буын –

8.1 К е с т е

Жұп класы

Байланыстың шарттар саны

Жұп аталуы, сурет

Шартты кескіні

V

 

 

 

 

5

 

V

 

 

 

 

5

 

механизмнің арналған қозғалысын орындайтын буын. КТ осымен қатар жазық және кеңістік, қарапайым және күрделі тізбектерге бөлінеді. Егер тізбектің әр буыны басқа буынмен бір немесе екі КЖ арқылы қосылса, онда КТ қарапайым деп аталады. Керісінше жағдайда ол күрделі деп аталады. Механизмнің құрылымы оның негізгі сипаттамала-рын анықтайды (қозғалыс түрлерін, еркіндік қозғалу дәрежесін және т.б.). Осыдан  механизмдердің құрылымдық талдауының есептері шығады: а) буындар қосылуының геометриялық формасына және олардың   санына   тәуелді   механизмдердің   еркіндік  дәрежесін    анықтау; б) механизмдерді құрылымдық топтарға жіктеу; в) буындар нүктелерінің берілген траекторияларын қамтамасыздандыру. Құрылымдық талдау үшін құрылымдық сұлба қолданылады, ол механизм жұмысының принципін сипаттайтын қарапайым есептеу моделі. Сұлбада механизм буындарының және КЖ-дың шартты кескіндері арқылы көрсетіледі.

 

 

 

 

 

 

 

5.2 Механизмдердің негізгі түрлері. Құрылымдық формулалар

Кинематикалық, құрылымдық және функционалдық қасиеттеріне сәйкес  меха­низмдер  бірнеше түрге (рычагты, жұдырықты, фрикциялық, тісті және т.б.) бөлінеді.

Құрылымдық формулалар КТ-тің еркіндік H дәрежесін және буындар санын, КЖ саны мен олардың түрлерін  байланыстырады. Егер механизмнің H еркіндік дәрежесі жалпыланған координаттар санымен бірдей болса, онда механизмнің барлық буындарының  орнын анықтайтын координаттардың жалпы саны мен сол координаттарды байланыстыратын тәуелсіз теңдеулердің санының айырмашылығы H-ты береді.

Әр бөлек алынған буынның кеңістікте 6 еркіндік дәрежесі бар, k буыны үшін жалпы еркіндік дәреже саны 6k болады. Буындардың КЖ арқылы қосылуы олардың салыстырмалы қозғалысына байланыс түсіреді. Сол шектеулер КЖ класына, яғни байланыс шарттарының санына  тәуелді. Егер әр класс үшін КЖ саны рn деп белгілесек (мұндағы n индексі класс нөмірін кескіндейді), онда жалпы жағдайда КТ  р1 - 1-і класс жұптар саны, р2 - 2-і класс жұптар саны және т.б. болады. Сондықтан еркін буындардың жалпы  6k еркіндік дәрежесінен КЖ арқылы тыйым салынатын еркіндік дәрежелерді алып тастау керек. Сонда кеңістік КТ-тің еркін дәрежесі келесіге тең болады

H = 6k - 5р5 - 4р4 - 3р3 - 2р2 - р1.                                     (5.1)

Егер КТ-тің бір буыны қозғалмайтын болса (тіреу), онда қозғалмайтын буынға қатысты  КТ-тің еркіндік дәрежесі

                         W = 6n - 5р5 - 4р4 - 3р3 - 2р2 - р1.                                      (5.2)

Егер механизмнің буындары бір жазықтықта қозғалатын болса (немесе параллель жазықтықтарда), механизм жазық болып келеді, ол үшін (5.2) құрылымдық формуласы   келесі түрге келтіріледі

W = 3n - 2р5 - р4.                                                     (5.3)

(5.2) мен (5.3) құрылымдық формулалары, барлық байланыс теңдеулері тәуелсіз деп алынды. Кейбір механизмдерде түсірілген байланыстар ішіне q артық (қайталымды) байланыстар кіруі мүмкін. Сонда (5.2) мен (5.3) келесі түрде жазылады

 W = 6n - 5р5 - 4р4 - 3р3 - 2р2 – р1+q,                                   (5.4)

W = 3n - 2р5 - р4 +q.                                                          (5.5)

Егер q=0 болса, онда механизм статикалық түрде анықталатын жүйе болып келеді, оның құрылуы  буындардың деформациясы болмай орындалады (өз бетінше  қалыптасатын механизм), ал q>0 болса – статикалық түрде аықталмайтын жүйе болады. Мұндай механизмнің құрылуы және қозғалысы оның буындары деформацияланып орындалады, өйткені буындардың өлшемдері абсолют дәлдікпен жасалуы мүмкін емес. 

5.3 Механизмнің құрылымдық талдауы мен синтезі жөнінде түсініктеме

Механизмнің құрылымдық талдауы деп оның буындар мен КЖ санын анықтау, КЖ классификациясын жүргізу, механизмнің еркіндік дәрежесін, класы мен реттілігін анықтауды атайды. Құрылымдық синтез деп қозғалмайтын және қозғалатын буындар мен КЖ-тардан тұратын механизмнің құрылымдық сұлбасын жобалауды атайды.

Механизмнің құрылымдық сұлбасын анықтау үшін жетекші буынға немесе негізгі механизмге Ассурдың құрылымдық топтарын қосу әдісі қолданылады. Ассур тобы деп, оны тіреуге сыртқы КЖ-тар элементтерімен қосқанда еркіндік дәрежесі нөлге тең болатын КТ-ті атайды. Ассур топтарының құрылымдық формулалары (5.3) формуласынан шығады: W=3n—2p5, осыдан p5 = 3n/2, мұндағы n – қозғалатын буындар саны. Осыдан топтағы 5-і класс КЖ саны міндетті түрде жұп саны болатыны анық. 5.2 суретте екі 2-буынды топтың жетекші буынға қосылудың мысалы көрсетілген.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Механизм класы мен реттілігі оған кіретін ең жоғарғы класты топ бойынша анықталады. Топ реттілігі оның негізгі механизмге қосылатын элементтер санына тең  (5.3 суретті қара). Топ класы оған кіретін ең жоғарғы класты контурының класы арқылы анықталады. Контур класы оның буындары кіретін КЖ санымен анықталады (5.4 суретті қара). Топ класының нөмері ішкі КЖ арқылы жасалған тұйық контурге кіретін КЖ санына тең, бұдан өзге 2-буынды топты шартты түрде екінші класқа жатқызады.

Механизмнің класы мен реттілігі оның жетекші буынына тәуелді. Топтардың қабатталып қосылуы буындары қатты дене болып табылатын механизмдер үшін қолданылады.

5.4 Жазық рычагты механизмдердің туралы жалпы мәліметтер

Рычагты механизмдер арасында ең кеңінен қолданылатын жазық төрт буынды механизмдер. Оларда төрт топса (топсалы төртбуын), үш топса мен бір ілгерілемелі жұп немесе екі топса мен екі ілгерілемелі жұп болуы мүмкін.

Буындар ұзындықтарының қатынасына байланысты (Грасгоф ережесі) 5.5,а,б,в суреттерінде көрсетілген  топсалы төртбуындар иінтіректі-күйентелі, екі иінтіректі немесе екі күйентелі механизм деп аталады. 5.5,г,д,е,ж суреттерінде көрсетілген механизмдер сәйкес центрлік емес, теңселетін цилиндрмен, центрлік, теңселетін кулисамен иінтіректі-жылжымалы механизм, ал 5.5,и суретте – синустік механизм деп аталады.

5.5 Механизмдердің кинематикалық талдауы

Механизмнің кинематикалық талдауының мақсаты кіріс (жетекші) буын қозғалысының берілген заңы бойынша механизм буындары қозғалыстарының сипаттамаларын (орын ауыстырулар, жылдамдықтар мен үдеулерді) анықтау болып келеді. Буындар орналасуы мен олардың нүктелерінің траекторияларын талдауынан механизм жұмысының дұрыстығын, жұмыс органы нүктелері траекторияларының технологиялық процестеріне сәйкестігін және механизмді қондыруға қажетті кеңістікті анықтауға болады.   Буындар жылдамдықтары (бұрыштық және сызықтық) динамика есептерін шешу кезінде механизмнің кинетикалық энергиясын анықтау үшін және машинадағы жұмыс процесінің шарттарын бағалау үшін қолданылады. Буындардың үдеулері арқылы (бұрыштық және сызықтық) оларға түсірілген инерция жүктемелері табылады, ал олар буындар беріктігін бағалау үшін қолданылады.

Кинематикалық талдау буындардың өлшемдері көрсетілген механизмнің кинематикалық сұлбасы бойынша орындалады. Кинематикалық талдау аналитикалық, графикалық және тәжірибелік әдістермен орындала-ды. Төменде тек графикалық әдісі қарастырылады, оның нақтылығы төмен болғаны мен, ол көрнекі болып келеді.  Графикалық әдісте сәйкес масштабтар қолдануымен орналасулар планы, жылдамдықтар планы және үдеулер планы тұрғызылады.

Механизмнің орналасулар планы деп таңдалған уақыт мезгілдеріне сәйкес буындардың өзара орналасуының графикалық бейнесін атайды. Орналасулар планы қолдануымен механизмнің буындары мен нүктелерінің қозғалысын көрнекі байқап отыруға  болады. Мысал ретінде иінтіректі-жылжымалы меха­низмнің (5.6 суретті қара) орналасулар планы көрсетілген, мұндағы 1 - кривошип, 2 - бұлғақ, 3 - сырғақ. Бұлғақта С нүктесінің орны АС және СВ кесінділерімен анықталады. А, В және С нүктелерінің траекторияларын анықтау үшін механизмнің тізбектелген орналасулар қатарын тұрғызу керек. Бір атаулы нүкте орындарынан өткізілген сазды сызық нүктенің траекториясы болып келеді.

Буын қозғалысының бір бағытта саналуы басталған орны бастапқы немесе шеткі деп аталады. Кривошип пен бұлғақ бір түзуде орналасқан жағдайда орналасуы өлі деп аталады. Жылдамдықтар мен үдеулер пландарын тұрғызу қозғалыстың векторлық теңдеулерін графикалық шешуіне негізделеді. Оларды тұрғызу үшін механизмнің кинематикалық сұлбасы және жетекші буын қозғалысының заңы берілу керек.

 

6 дәріс.  Нүкте динамикасы

Дәрістің мазмұны: кіріспе ұғымдар мен аксиомалар; нүкте қозғалысының дифференциалдық теңдеулері және жалпы теоремалары.

Дәрістің мақсаты: динамиканың ұғымдары мен нүкте қозғалысының дифференциалдық теңдеулерін қарастыру, нүкте динамикасының жалпы теоремаларын қолдану.

6.1 Динамика аксиомалары

Динамикада материялық денелердің, олардың инерциясын есепке алуымен күштер әсерінен пайда болатын қозғалысы қарастырылады. Инерция - материялық дененің өзінің қозғалыс немесе тыныштық қалпын күштер түспеген кезде сақтап қалу қасиеті. Ілгерілемелі қозғалыстағы дене инерциясының өлшемі  - дененің массасы m.

Нүкте динамикасы төмендегі 4 аксиомаға негізделеді.

1. Күштер түспейтін материялық нүкте (МН), оған күштер түсіп, қалпын өзгерткенге дейін тыныштықта немесе бірқалыпты түзу сызықты қозғалыста болады.  Күштер болмағандағы нүктенің қозғалысы инерциялық қозғалыс деп аталады. Инерция заңы орындалатын СЖ инерциялық СЖ деп аталады.

2. МН-нің үдеуі оған түсетін күшке пропорционал және сол күшпен бағыттас. Динамиканың негізгі теңдеуі              .                              (6.1)

3. Екі МН бір-біріне модульдері тең және нүктелерді қосатын түзу бойымен қарама-қарсы бағытталған күштермен әсер етеді.

4. Әр күш бөлек түскенде МН алатын үдеулердің векторлық қосындысы барлық күштер біржолы түскенде алатын үдеуіне тең              (6.2)

(6.2) теңдеуінің орнына (6.1) теңдеуін,  күші ретінде тең әсерлі күшті алып, қолдануға болады.

Ауырлық күш әсерінен денелер бірдей  үдеуіне ие болады, ол ауырлық күш үдеуі немесе еркін түсу үдеуі деп аталады. Егер  МН-ге тек қана ауырлық күші түсетін болса, онда (6.1) бойынша                .       (6.3)

Дененің массасы оның орналасуына және оған түсетін күштерге тәуелсіз, ал дененің салмағы дене орнының географикалық еніне және оның Жер орталығына дейінгі қашықтығына тәуелді.

6.2 Материялық нүкте қозғалысының дифференциалдық теңдеулері

МН {} күштер жүйесінің әсерінен (күштер арасына реакциялар да бар) Оxyz инерциялық СЖ-не қатысты қозғалатын болсын. (6.2) теңдеуін декарт координат өстеріне немесе табиғи өстерге проекциялап, қозғалысының дифференциалдық теңдеулерін (ҚДТ) аламыз

                          (6.4)

немесе                     ;                         (6.5)

ҚДТ нүкте динамикасының екі негізгі есебін шешу үшін қолданылады:

а) нүкте қозғалысы бойынша оған түсетін күшті анықтау;

б) нүктеге түсетін күштер бойынша оның қозғалысын анықтау.

6.3 Материялық нүктенің салыстырмалы қозғалысы

Динамика заңдары тек инерциялық СЖ-нде орындалады. МН-нің кейбір СЖ-не қатысты қозғалысын қарастырайық және осы СЖ басқа инерциялық СЖ-не қатысты еркінше қозғалатын болсын.   P  нүктесі {} күштер әсерінен қозғалатын болсын. Инерциялық СЖ-нде динамиканың негізгі (6.2) теңдеуі орындалады. Нүктенің абсолют үдеуі (5.17) формуласымен табылады

                                             (6.6)

(6.6) теңдігін (6.2) теңдігіне қойып, түрлендіреміз

                               (6.7)

Келесі белгілеулерді қабылдаймыз

                                               (6.8)

                                                                                         (6.9)

 және  тасымал және кориолис инерция күштері деп аталады.

(6.7) теңдігін келесі түрде жазуға болады

                                        (6.10)

(6.10) - теңдеуі МН-нің салыстырмалы қозғалысы динамикасының негізгі теңдеуі.

МН-нің салыстырмалы қозғалысы негізгі теңдеуінің дербес жағдайлары:

а) ілгерілемелі тасымал қозғалыс кезінде

                                        (6.11)

б) түзу сызықты бірқалыпты тасымал қозғалыс кезінде

                                              (6.12)

Мұнда (6.12) мен (6.2) бірдей болады, өйткені . Сондықтан, бұл СЖ инерциялық болады. Механикалық тәжірибелер арқылы СЖ тыныштықта екенін немесе ілгерілемелі бірқалыпты және түзу сызықты қозғалыста екенін анықтау мүмкін емес (Галилейдің салыстырмалылық принципі);

в) салыстырмалы тыныштық қалпында

                                            (6.13)

Бұл МН-нің салыстырмалы тепе-теңдігінің теңдеуі.

6.4. Нүктенің  қозғалыс мөлшерінің өзгеруі туралы теорема

Динамиканың көптеген есептерін шешу кезінде ҚДТ-н интегралдаудың орнына динамиканың жалпы теоремаларын қолданған тиімділеу болады.

Нүктенің қозғалыс мөлшерінің өзгеруі туралы теоремасын қарастырайық. МН-нің қозғалыс мөлшері деп шаманы айтады. Күштің элементар импульсі деп  шаманы айтады. күшінің шекті t1 уақыт ішіндегі  импульсі                .  Импульстің модулі мен бағытын проекциялар арқылы табуға болады

.                                 (6.14)

Динамиканың негізгі теңдеуін келесі түрде жазуға болады             

                  .                                                    (6.15)

Бұл дифференциалдық түрдегі нүктенің қозғалыс мөлшерінің өзгеруі туралы теорема: нүктенің қозғалыс мөлшерінің уақыт бойынша туындысы нүктеге түсетін күштердің векторлық қосындысына тең.  Шекті түрдегі сол теорема: нүктенің қозғалыс мөлшерінің кейбір уақыт аралығында өзгеруі оған түсетін күштердің сол уақыт аралықтағы импульстерінің векторлық қосындысына тең

.                                               (6.16)

Есептерді шешу кезінде әдетте теңдеулердің проекциялары қолданылады.

6.5 Нүктенің қозғалыс мөлшері моментінің өзгеруі туралы теорема

МН-нің қозғалыс мөлшерінің О центріне қатысты моменті деп келесі шаманы айтады

                                                     (6.17)

мұндағы  - қозғалыстағы нүктенің О центрінен жүргізілген радиус-векторы.

Сонда векторы  және О центрі арқылы өтетін жазықтыққа перпендикуляр бағытталады, aл модулі .

Нүктенің қозғалыс мөлшерінің О центрінен өтетін  Оz өсіне қатысты моменті  векторының сол өске  проекциясына тең

                         (6.18)

мұндағы  g - векторы мен Оz өсі арасындағы бұрыш.

Теорема: нүктенің қозғалыс мөлшерінің кейбір қозғалмайтын центрге қатысты алынған моментінің уақыт бойынша туындысы әсер ететін күштің сол центрге қатысты векторлық моментіне тең

.                                          (6.19)

Өске қатысты моменттер теоремасы

.                                          (6.20)

(6.19) теңдеуінен  болса, болатыны шығады.

6.6 Күштің жұмысы. Күштің қуаты. Нүктенің кинетикалық энергиясының өзгеруі туралы теорема

М  нүктесіне түсетін күшінің (6.1 суретті қара) элементар жұмысы келесі

dW = Ft ∙ds                                                       (6.21)

мұндағы Ft  - күшінің М нүктесінің траекториясына нүктенің орын ауыстыру бағытымен жүргізілген Мt  жанамасына проекциясы;

ds -  нүктенің элементар орын ауыстыруының модулі.

ds=|d| болғандықтан (мұндағы d- нүктенің элементар орын ауыстыру векторы), (6.21) теңдігін келесі түрде жазуға болады

dW= .                                                   (6.23)

Сонымен,  күштің элементар жұмысы - күштің оның түсу нүктесінің орын ауыстыру векторына скаляр  көбейтіндісіне тең.   

Күштің шекті M0M1 орын ауыстыруындағы (6.1 суретті қара) жұмысы

,                                                (6.24)

 .                    ( 6.25)

Күштің қуаты - күштің уақыт бірлігінде жасайтын жұмысына тең шама

,                                   (6.26)

яғни қуат күштің жанама құраушысының жылдамдыққа көбейтіндісіне тең.

Нүктенің кинетикалық энер­гиясы (КЭ) деп  тең скаляр шаманы айтады. Теорема: нүкте КЭ-нің оның кейбір орын ауыстыру кезіндегі өзгерісі нүктеге түсетін барлық күштердің сол орын ауыстырудағы жұмыстарының алгебралық қосындысына тең

.                                     (6.27)

6.7 Нүкте үшін  Даламбер принципі

Массасы m материялық нүктеге актив күштер (тең әсерлісі  деп белгіленген) және байланыстың реакциясы түсетін болсын. Осы күштер әсерінен нүкте инерциялық СЖ-не қатысты кейбір  үдеуімен қозғалады.

Келесі нүктенің инерция күші деп аталатын шаманы енгіземіз

,                                                          (6.28)

Сонда, егер кез келген уақыт мезгілінде нүктеге түсетін актив және реакция күштеріне инерция күшін қосса, алынған күштер жүйесі теңгеріледі, яғни

.                                                    (6.29)

Бұл МН үшін Даламбер принципін өрнектейді.

 

7 дәріс. Жүйе және қатты дене динамикасының негіздері

Дәрістің мазмұны: механикалық жүйе, оның  массасы, массалар центрі  және инерция моменттері; жүйе қозғалысының дифференциалдық теңдеулері; жүйе динамикасының жалпы теоремалары және Даламбер принципі.

Дәрістің мақсаты: жүйенің динамикалық сипаттамаларын, қозғалыс-тың дифференциалдық теңдеулерін, негізгі динамика теоремаларын зерттеу.

7.1 Механикалық жүйе. Масса, массалар центрі және инерция моменттері

Механикалық жүйе (МЖ) деп өзара әрекеттесетін МН-лердің немесе денелердің жиынтығы аталады. Материалық дене оны құрайтын бөлшектердің МЖ-сі болып келеді. Жүйенің нүктелеріне қарастырылып отырған жүйеге кірмейтін денелерден түсетін , k= 1,2 …,n күштері сыртқы күштер деп аталады. Ішкі күштер деп жүйе нүктелері бір- біріне түсіретін , k= 1,2 …,m күштері аталады. Ішкі күштер жүйесінің бас векторы мен бас моменті нөлге тең, бірақ жалпы жағдайда олар теңгерілмейді, өйткені олардың әсерінен жүйе нүктелерінің орын ауыстырулары болуы мүмкін (АҚД үшін теңгеріледі).

Жүйе массасы деп жүйе нүктелері массаларының қосындысын атайды

M=Σmk.                                                     (7.1)

Жүйенің массалар центрінің (ЖМЦ) орны келесідей анықталады

                                                       ,                                             (7.2)

 .                     (7.3)

Дене үшін келесі болады   ,                                            (7.4)

 .                     (7.5)

         Біртекті гравитациялық өрісте массалар мен ауырлық центрлері түйіседі.

         МЖ-нің өске және нүктеге қатысты инерция моменттері келесі шамалар

Jl=Σmk∙hk2.                                                    (7.6)

                                         JO=Σmk∙rk2                                                    (7.7)

мұндағы hk мен rk – дененің массасы mk  нүктесінің l өсіне дейінгі және O нүктесіне дейінгі қашықтықтары.

Қатты дене үшін өске және нүктеге қатысты инерция моменттері

,                                                 (7.8)

.                                                (7.9)

Декарт өстеріне және координаттар басына қатысты инерция моменттері

         Jx=Σmk∙(yk2+zk2),    Jy=Σmk∙(xk2+zk2),   Jz=Σmk∙( xk2+yk2),              (7.10)

JO=Σmk∙rk2=  Σmk∙( xk2+yk2+zk2).                                                    (7.11)                                                

Координаттық жазықтықтарға қатысты инерция моменттері келесіге тең

          Jxy=Σmk∙ zk2,    Jyz=Σmk∙xk2,   Jxz=Σmk∙yk2.                   (7.12)            

Келесі тәуелдіктер орын алатынын дәлелдеуге болады

                                            2JO= Jx+ Jy+ Jz,                                             (7.13)

JO= Jxy+ Jyz+ Jxz.                                            (7.14)

Дене үшін инерция моменттері келесі интегралдармен анықталады

,   ,   .   (7.15)

Гюйгенс-Штейнер теоремасы: жүйенің кейбір z өсіне қатысты Jz инерция моменті сол өске параллель, массалар центрінен өтетін zC өсіне қатысты жүйенің JzC инерция моментінің және  жүйенің M массасының өстердің d арақашықтығының квадратына көбейтіндісінің қосындысына тең

.                                           (7.16)

Параллель өстер жиынтығы арасында массалар центрінен өтетін өске қатысты инерция моменті ең кіші болады.

7.2 Жүйе қозғалысының дифференциалдық теңдеулері. Жүйенің массалар центрі қозғалысы туралы теорема

МЖ-ге кіретін нүктелер үшін қозғалыстарының дифференциалдық теңдеулерін (ҚДТ) векторлық түрде жазуға болады

                                               (7.17)

(7.17) өстерге проекциялап, өске проекциялары түріндегі ҚДТ-н аламыз. Жүйе үшін динамиканың негізгі есебінің толық шешуі ҚДТ-н интегралдап, жүйенің әр нүктесінің қозғалыс теңдеулерін және байланыстардың реакцияларын анықтаудан тұрады. Бұны аналитикалық түрде тек дербес жағдайда ғана орындауға болады. Бірақ көптеген есептерді шешкенде жүйе қозғалысын жалпы анықтайтын кейбір сипаттамаларын табу жеткілікті болады.  (7.17) теңдеулерін қосып, келесіні аламыз

.                                    (7.18)

(7.2) формуласын есепке алып, келесіге келеміз

.                                        (7.19)

Бұл ЖМЦ қозғалысы туралы теорема: ЖМЦ массасы жүйенің массасына тең және оған жүйенің барлық сыртқы күштері түсетін МН секілді қозғалады. (7.19) теңдігін координаттық өстерге проекциялап, массалар центрі қозғалысының декарт координат жүйесі өстеріне проекцияларындағы дифференциалдық теңдеулерін табуға болады. (7.19) теңдігінен ілгерілемелі қозғалыстағы денені массасы дененің массасына тең МН секілді қарастыруға болатыны шығады. Қалған жағдайларда денені МН секілді тек дене қозғалысының айналмалы бөлігін ескермеуге болса ғана қарастыруға болады. МЖ-нің массалар центрі қозғалысының заңын анықтаған кезде белгісіз ішкі күштерді қарастырмауға болады. Теореманың салдары (ЖМЦ қозғалысының сақталу заңы): ішкі күштер ЖМЦ қозғалысын өзгертпейді.

7.3 Жүйенің қозғалыс мөлшерінің өзгеруі туралы теорема

Жүйенің қозғалыс мөлшері (ЖҚМ) деп келесі шаманы атайды

.                                            (7.20)

Мынаны көрсетуге болады     ,                                                     (7.21)    

яғни ЖҚМ жүйе массасы мен оның массалар центрінің жылдамдығының көбейтіндісіне тең. Егер жүйе қозғалысында оның массалар центрі қозғалмай тұрса, онда ЖҚМ нөлге тең (мысалы, дененің массалар центрінен өтетін тұрақты өсті айналатын дене). Егер дене қозғалысы күрделі болса, ЖҚМ-ң шамасы дененің массалар центрі төңірегіндегі айналмалы қозғалысына тәуелсіз (домалайтын дөңгелек үшін айналуына тәуелсіз ).

Дифференциалдық түрдегі ЖҚМ-нің өзгеруі туралы теоремасы: ЖҚМ-нің уақыт бойынша туындысы жүйенің барлық сыртқы күштерінің векторлық қосындысына тең                         .                                                              (7.22)

Интегралдық түрде: ЖҚМ-нің кейбір уақыт аралығында өзгерісі жүйеге түсетін  сыртқы күштердің сол уақыт аралығындағы импульстерінің векторлық қосындысына тең                 .                               (7.23)                            

Салдары (ЖҚМ-нің сақталу заңы): ішкі күштер ЖҚМ-н өзгертпейді, сондықтан есептерді шешу кезінде ішкі күштерді қарастырмауға болады.

7.4 Қозғалыс мөлшерлерінің бас моментінің өзгеруі туралы теорема

Берілген О центріне қатысты жүйенің қозғалыс мөлшерлерінің бас моменті (ЖҚМБМ) немесе кинетикалық моменті деп жүйенің барлық нүктелерінің қозғалыс мөлшерлерінің сол центрге қатысты моменттерінің векторлық қосындысына тең шамасы аталады    

                                                                             (7.24)

Дәл солай координаттық өстерге қатысты қарастырамыз

,     ,    .    (7.25)

ЖҚМБМ-нің өзгеруі туралы теорема (моменттер теоремасы): кейбір қозғалмайтын центрге қатысты ЖҚМБМ-нің уақыт бойынша туындысы жүйенің барлық күштерінің сол центрге қатысты моменттерінің қосындысына тең                                                    .                                        (7.26)

Қозғалмайтын өстерге проекциялап, проекциялардағы теореманы аламыз. Теорема дененің айналмалы қозғалысын және жүйенің жалпы жағдайда қозғалысын зерттеу үшін қолданылады, өйткені жалпы жағдайдағы қозғалыс ілгерілемелі және айналмалы қозғалыстардан тұрады. Егер полюс ретінде массалар центрі алынса, онда қозғалыстың ілгерілемелі бөлігін массалар центрі қозғалысы туралы теоремасын, ал айналмалы бөлігін моменттер теоремасын қолданумен зерттеуге болады. Сонда алдын ала белгісіз ішкі күштер қарастырылмайды.

Денемен бірге ілгерілемелі қозғалатын координаттар жүйесі үшін оның центріне қатысты моменттер теоремасы орын алады. Сонда теореманың түрі  қозғалмайтын центрге қатысты теоремасымен бірдей болады. Сондай жүйенің өстерге де қатысты моменттері үшін осыған ұқсас теңдеулер шығады.

Теореманың салдары (ЖҚМБМ-нің сақталу заңы): ішкі күштер ЖҚМБМ-н өзгертпейді. Сонда жүйе өзгермейтін жүйе болса, ол тұрақты бұрыштық жылдамдықпен айналады, ал өзгеретін болса, онда ішкі (немесе сыртқы) күштер әсерінен жүйе нүктелерінің өстен қашықтығы өзгеруі мүмкін, ал одан жүйенің бұрыштық жылдамдығының өзгерісі болады.

7.5 Жүйенің кинетикалық энергиясының өзгеруі туралы теорема 

Жүйенің кинетикалық энергиясы (КЭ) деп келесі скаляр шаманы атайды

.                                          (7.27)

КЭ жүйенің ілгерілемелі де, айналмалы да қозғалыстарын сипаттайды. Т шамасының  мен  шамаларынан айырмашылығы КЭ әрқашан оң скаляр шама болып келеді, оның өзгеруіне сыртқы да ішкі де күштер әсерін тигізеді.

Дененің ілгерілемелі,  айналмалы және жазық қозғалыстағы КЭ-сы:

                                               ,                                               (7.28)      

,                                              (7.29)      

.                        (7.30)      

Дифферен­циалдық түрдегі жүйенің КЭ-сы өзгеруі туралы теорема

.                             (7.31)

Интегралдық түрдегі теорема: жүйенің КЭ-сы кейбір орын ауыстыру кезіндегі өзгерісі жүйеге түсірілген барлық сыртқы және ішкі күштердің сол орын ауыстырудағы жұмыстарының қосындысына тең

.                                     (7.32)


7.6  Жүйе үшін Даламбер принципі

МЖ-нің нүктелеріне түсетін инерция күштерін бас векторы мен бас моментіне келтіруге болады (O нүктесі – қозғалмайтын келтіру центрі). Сонда қозғалыстағы жүйені, оған әсер ететін күштерге  мен қосып, тыныштықтағы жүйе ретінде қарастыруға болады. Жүйенің кез келген қозғалысында   екенін дәлелдеуге болады. Егер АҚД оның Oxy материялық симметриялығы жазықтығында жазық параллель қозғалысын жасайтын болса, онда оның инерция күштерін С қозғалатын массалар центріне келтіруге болады. Сонда Cz өсі – дененің бас инерция өсі болады. Сол өске қатысты инерция моментін  арқылы және бұрыштық үдеуін ε арқылы белгілеп,  болатынын дәлелдеуге болады.

7.7 Айналмалы қозғалыстағы дене динамикасының негізгі теңдеуі

Қозғалмайтын өске қатысты айналу қозғалысын жасайтын дене үшін келесіні аламыз                                                                                 (7.33)

         мұндағы Iz – дененің айналу өсіне қатысты инерция моменті;

          ε  – дененің бұрыштық үдеуі;

          Mz – сыртқы күштердің өске қатысты моменттерінің қосындысы.

 

8 дәріс. Материалдар кедергісіне кіріспе. Материалдар кедергісінің есептері мен әдістері

Дәрістің мазмұны: материалдар кедергісінің есептері, есептеу сұлбасы, болжамдар; ішкі күштер факторлары, қималар әдісі; кернеулер, орын ауыстырулар, деформациялар мен есептеу әдістері жөнінде түсініктеме.

Дәрістің мақсаты: материалдар кедергісінің әдістерімен шешілетін есептер жиынын анықтау, негізгі ұғымдарды игеру.

8.1 Материалдар кедергісінің мәселелері. Есептеу сұлбасы

Құрылыстар, машиналар, аппараттар мен аспаптар берік және қатаң болу керек. Беріктік - қатты денелердің күштер әсерін қирамай қабылдау қабілеті. Қатаңдық - қатты денелердің күштер әсерін өз өлшемдері мен формасын айтарлықтай өзгертпей (көп деформацияланбай) қабылдау қабілеті.  Конструкция элементтері берік және қатаң болуы үшін олар лайықты материалдан жасалу керек және олардың керекті өлшемдері болу керек. Материалдар кедергісі (МК) – конструкция элементтерінің беріктігі мен қатаңдығы туралы ғылым. МК-сінде денелердің деформациялану қасиеті ең маңызды болады. МК мақсаты – конструкциялардың типтік элементтерін есептеуге қарапайым әдістерді беру. МК-нде жарамды болжамдарға негізделген жуық әдістер қолданылады.

Есептер шешуі есептеу моделін, яғни есептеу сұлбасын (ЕС) тандаудан басталады. ЕС – бұл объектінің айтарлықтай емес факторларынан босатылған  сипаттамасы. Бір объект үшін қажетті нақтылыққа және құбылыстың қарастырылатын жағына тәуелді бірнеше ЕС-ны қолдануға болады. Екінші жақтан, бір ЕС-ға бірнеше объектілер келтірілуі мүмкін.

ЕС-ны тандау материалдар қасиеттерін модельдеуден басталады. Барлық материалдар біртекті тұтас орта ретінде қарастырылады.Тұтас ортаны серпімділік қасиетке ие болғызады. Серпімділік - денелердің өлшемдері мен формасын өзгерткен сыртқы күштерді алып тастағанда, олардың бастапқы өлшемдері мен формасына қайта келу қабілеті. Есептердің көпшілігінде орта абсолют серпімді болып алынады. Әдетте МК-нде тұтас орта изотропты болып қарастырылады.

Объектінің геометриясы да қарапайымдалады, МК-нде ол сырық немесе қабықша сұлбасына келтіріледі. Сырық деп бір өлшемі (ұзындығы) басқа екі өлшемінен әлдеқайда үлкен денені атайды. (8.1 суретті қара).

Күштер жүйесі де қарапайымдалады. Мысалы, қадалған күш ұғымы енгізіледі. МК-нде күштер сыртқы және ішкі болып ажыратылады. Егер конструкция басқа денелерден бөлек қарастырылатын болса, соңғылардың конструкцияға әсері сыртқы күштерге жататын күштермен ауыстырылады. Сыртқы күштердің қатарына тек берілген (актив) күштер ғана емес, оларға қосылып, теңгерілетін күштер жүйесін құрайтын байланыстардың реакциялары да кіреді. Теңгерілетін (актив және реактив күштерден тұратын) күштер жүйесін жүктеме деп атайды. Сыртқы күштердің шамасы және олардың таралу түрі объект пен айналасындағы денелердің шекарасы қайда өтетіне тәуелді.  Күштер келесіге айырылады: статикалық, динамикалық, қайталымды-айналымды.

Объект бөліктерінің өзара әрекеттесуін сипаттайтын күштер ішкі күштерге жатады. Ішкі күштер тек қана объект бөліктерінің арасында емес, оның барлық іргелес бөлшектерінің арасында да объектінің жүктелуі кезінде пайда болады. 

8.2 Қималар әдісі. Сырықтың көлденең қималарындағы ішкі күштер факторлары

Сырыққа (8.2,а суретті қара) теңгерілген {F1, F2, …, Fn} жүктемесі түсетін болсын. Сырықта пайда болатын ішкі күштерді, оны екі бөлікке, мысалы А қимасымен кесіп, анықтауға болады (қималар әдісі). Сырықтың бөліктері арасындағы байланыстарды алып тастағандықтан, оның бір бөлігінің екінші бөлігіне әсерін қимадағы {FА} ішкі күштер жүйесімен ауыстыру керек (8.2,б суретті қара). А' жазықтығындағы күштер жүйесінің шамалары А" жазықтығындағы күштер жүйесінің шамаларымен бірдей, ал таңбалары қарсы болады. Ішкі күштер қима бойымен кейбір күрделі түрде таралады. Сонда оң жақ және сол жақ бөліктері үшін тепе-теңдік шарттары бөлек орындалу керек. А қимасындағы ішкі күштердің бас векторы мен бас моментін кез келген бөліктің тепе-теңдік шарттарынан анықтауға болады.

 Тепе-теңдік теңдеулерінен ішкі күштердің қима бойымен таралу заңын емес, тек қана олардың статикалық эквиваленттерін анықтауға болады (сыртқы күштер белгілі жағдайда). Ішкі күштер жүйесін қиманың ауырлық центріне келтірейік. Нәтижесінде бас векторы мен бас моментін аламыз (8.3 суретті қара). z өсін қиманың сыртқы нормалімен бағыттап және х пен у өстерін қима жазықтығында орналастырып, координат жүйесін қабылдаймыз.  және  векторларын өстерге проекциялап, 6 құраушыны аламыз: үш күш пен үш момент, олар сырық қимасындағы ішкі күштер факторлары (ІКФ) деп аталады. N құраушысы бойлық немесе нормаль күш, Qx пен Qy – көлденең күштер, Мк моменті – бұраушы момент, ал Мх пен Му моменттері – х пен у өстеріне қатысты июші моменттер деп аталады. Сыртқы күштер белгілі болғанда, барлық ІКФ кесілген бөлік үшін құрылған 6 тепе-теңдік теңдеуден табылады. 

ІКФ-на сәйкес сырықтың жүктелуі түрлерге айырылады (созылу, сығылу, бұралу, иілу және т.б.). Жүктелудің түрін анықтау үшін қима әдісін қолданып, қималарда қандай ІКФ болатынын анықтау керек. Нәтижелер эпюрлер деп аталатын графиктермен кескінделеді.

8.3 Кернеулер, орын ауыстырулар және деформациялар туралы

Ішкі күштердің қимада таралуын сипаттау үшін кернеу ұғымы енгізіледі. S қимасының К нүктесіндегі толық кернеу векторы деп, келесі шама аталады

                                              (8.1)

мұндағы  - K нүктесі аймағындағы элементар аудан;

 - элементар ауданға түсетін ішкі күштердің тең әсерлісі.

Сонымен, кернеу - ауданның бірлігіне түсетін ішкі күш (паскальмен өлшенеді). р кернеуін 3 құраушыға жіктеуге болады: қиманың нормалі бойымен (тік s кернеуі) және қима жазықтығындағы екі өс бойымен (жанама t кернеулері). Егер К нүктесі арқылы басқа қию ауданды жүргізсе, жалпы жағдайда кернеудің шамасы басқа болады. Нүктеден жүргізілген барлық аудандардағы кернеулердің жиынтығы нүктедегі кернелген күйді құрайды.

Сыртқы күштер әсерінен барлық денелер де­формацияланады. Деформациялар әдетте аз болса да  ішкі күштердің дене бойымен таралуына айтарлықтай әсерін тигізеді. Деформациялану кезінде дене нүктелері кеңістікте өздерінің орнын ауыстырады.  Деформацияланбаған дене нүктесінен басталып, деформацияланған дененің дәл сол нүктесіне жүргізілген вектор нүктенің сызықты орын ауыстыру векторы деп аталады. Бұрыштық орын ауыстыру ұғымы келесідей енгізіледі: деформацияға дейін 2 жақын тұрған нүктенің арасындағы түзу кесінді  деформация болғаннан кейін кеңістікте кейбір бұрышқа бұрылады, ол да вектормен сипатталады.

Егер жүйеге, оның кеңістікте қатаң бүтін ретінде орын ауыстыруына ешқандай мүмкіншілік бермеуге жеткілікті байланыстар  енгізілген болса, онда жүйе кинематикалық өзгермейтін жүйе деп аталады. МК-нде әдетте тек сондай жүйелер қарастырылады. Керісінше жағдайда орын ауыстырулардың тек қана деформациялар себебінен бола-тын бөлігі қарастырылады.  Сонда көптеген жүйелер үшін кез келген нүктенің орын ауыстыруы дене өлшемдерімен салыстырғанда өте аз шама болады.  Сондықтан, статика теңдеулерін құрған кезде бастапқы өлшемдер принципі бойынша өлшемдердің өзгеруі есепке алынбайды (бұдан өзгешеліктер бар).

Дене өлшемдері мен формасының өзгеру қарқындылығын сипаттау үшін денені деформацияға дейін және деформация болғаннан кейін қарастырайық (8.4 суретті қара).  Келесі шама                                                                   (8.2)                                                               

 А нүктесінің АВ бағыты бойымен сызықтық деформациясы немесе жәй деформациясы деп аталады (оның реті 10-3). Дәл сол нүктедегі басқа бағыты бойымен алынған деформация, жалпы айтқанда, басқа болады. х, у және z өстері бойымен деформацияларды eх, eу және ez деп белгілейді.

Дене ішінде OD және ОС кесінділерімен жасалған тік бұрышты қарастырайық (8.4 суретті қара). Дене сыртқы күштермен жүктелген сон, бұл бұрыш өзгеріп, C'O'D' мәніне ие болады.  Келесі шама 

                                                 (8.3)

О нүктесіндегі COD жазықтығындағы бұрыштық деформация немесе ығысу бұрышы деп аталады. Координаттық жазықтықтарда ығысу бұрыштар gуz, gzx және gху арқылы белгіленеді. Нүктеден жүргізілген барлық түзулер бойымен алынған сызықтық деформациялар және барлық аудандардағы бұрыштық деформациялар жиынтығы нүктедегі деформацияланған күйді құрайды.


8.4 Гук заңы.  Күштер әсерінің тәуелсіздігі мен Сен-Венан принциптері

Көптеген жағдайда орын ауыстырулар кейбір шектерде әсер ететін күштерге пропорционал (Гук, 1660 ж.). Мұнда пропорционалдық коэффициенті материалдың физикалық қасиеттеріне және жүйенің геометриясына тәуелді. Қазіргі қарастыру бойынша Гук заңы кернеу мен деформация арасындағы сызықтық тәуелдігін анықтайды. Сонда пропорционалдық коэффициенттер материалдың тұрақтылары болып келеді.   Ал орын ауыстырулар мен күштер арасындағы сызықтық тәуелдік соның салдары ретінде  шығады. Тәуелдік күштер артқанда да, азайғанда да сақталады, демек, ол жүйенің серпімділік қасиеттерін сипаттайды.

Гук заңына бағынатын жүйелер үшін суперпозиция принципі (күштер әсерінің тәуелсіздігі принципі) орын алатынын дәлелдеуге болады, осыған сәйкес серпімді денедегі орын ауыстырулар мен ішкі күштер сыртқы күштердің түсу кезегіне тәуелсіз болады. Егер жүйеге бірнеше күш түсірілсе, алдымен әр күш бөлек түскен кезде орын алатын ішкі күштер, кернеулер, орын ауыстырулар мен деформацияларды анықтап, содан кейін барлық күштер әсерінің нәтижесін әр күш әсері нәтижелерінің қосындысы ретінде табуға болады.

МК есептерін шешу кезінде Сен-Венан принципі қолданылады. Егер денеге теңгерілетін күштер жүйесі әсер ететін болса, онда жүктеме түсірілетін орнынан алыстаған сайын кернеулер мен деформациялар шапшаң азаяды деп алынады. Бұл принципке сәйкес жүктеменің түсірілу тәсілі дененің деформациясына тек қана жүктеме түсірілген орнына жақын кіші көлемінде әсерін тигізеді, ал жүктеме түсірілген орнынан алыс жерде жүктеменің түсірілу тәсілі дененің деформациясына әсерін тигізбейді.

8.5 Конструкция элементтерін есептеудің жалпы принциптері

Конструкция оның беріктігіне, қатаңдығына, сенімділігіне қойылған талаптарды қанағаттандыра ма деген сұраққа жауап беру үшін алдымен есептеу әдісін таңдап алу керек.  Беріктікке есептеудің ең кеңінен таралған әдісі кернеулер бойынша есептеу болып табылады: мұнда конструкция сенімділігінің критерийі ретінде кернеу (кернелген күй) болады деп есептеледі. Сонда конструкция талдауының негізінде ең жоғары (есептеу) кернеулер анықталады. Сол кернеулер берілген материал үшін, алдын ала зертханалық сынау негізінде табылған шекті мәнімен салыстырылады. Салыстыру нәтижесінде конструк-цияның беріктігі жөнінде қорытынды жасалынады.

Егер конструкция өлшемдерінің және формасының өзгеруі аз болу керек болса, қауіпсіз орын ауыстырулар бойынша есептеу жүргізіледі (қатаңдыққа есептеу). Біржолы жүйені кернеулер бойынша беріктікке тексеру керек. Сапалық түрде айырылатын құбылыстармен, яғни орнықтылықпен, қайтармалы жүктемелердің әсерімен, динамикалық әсермен және т.б. байланысқан өзгеше әдістер қолданылады.  Конструкцияның нақты жағдайларындағы сенімділігі-нің дәрежесі туралы мәселе, машина бөлшектері курсында, турбома-шиналар динамикасы және беріктігі, химикалық өндірістегі аппараттар мен процестер және т.б. пәндерде қарастырылады. 

9 дәріс. Сырықтардың созылуы мен сығылуы

Дәрістің мазмұны: созылу (сығылу) кезіндегі бойлық күш, кернеулер мен деформациялар, орын ауыстырулар, деформацияның потенциалдық энергиясы, кернелген және деформациялық күйлер, созылу және сығылу диаграммалары, созылу-сығылу кезіндегі беріктік шарты.

Дәрістің мақсаты: созылған (сығылған) сырықтардың механикасын игеру, материалдарды созылуға және сығылуға сынауларын жүргізу әдістемелерімен танысу, материалдардың негізгі механикалық сипаттамаларын игеру, созылу-сығылу кезіндегі беріктікке есептуді үйрену.

9.1 Бойлық күш және тік кернеулер

Созылу деп сырықтың  көлденең қималарында тек қана N бойлық күші орын алып, басқа ІКФ нөлге тең болатын сырықтың жүктелу түрін атайды.   Созылу кезінде N күшінің бағыты қарастырылатын қиманың сыртқы нормалімен бірдей болады. Сығылу созылудан формалды түрде тек қана N күшінің бағытымен айырылғанмен, онда айтарлықтай айырмашылықтар болуы мүмкін (ұзын сырықтар сығылған кезде олар иілуі мүмкін, созылу және сығылу кезіндегі қирау түрі әртүрлі болады). Әдетте созылу немесе сығылу сырық өсі бойымен бағытталған сыртқы күштер әсерінен пайда болады. N эпюрі қима әдісін қолданумен тұрғызылады, сонда N  күші  қарастырылатын қиманың бір жағындағы сырық бөлігіне түсетін сыртқы күштердің бойлық өсіне проекцияларының қосындысына тең            N = ∑Fiz.                           (9.1)

Созатын N күші - оң, сығатын - теріс болып алынады. Сондықтан (9.1) формуласында сыртқы күш қимадан тыс бағытталса, оның проекциясы «+» таңбасымен, қимаға қарай бағытталса «-» таңбасымен алынады. 

N күші көлденең қимадағы ішкі тік күштердің тең әсерлісі болып келеді, ол қимадағы тік кернеулермен келесі тәуелдікпен байланысады

                                                                                                          (9.2)

мұндағы σ – қиманың кез келген dA элементар ауданында жатқан нүктесіндегі тік кернеуі;

A – көлденең қиманың ауданы.

Қиманың әр нүктесіндегі σ кернеуін табу үшін оның қима бойымен таралу заңын білу керек. Көлденең қимасы тұрақты, біртекті материалдан жасалған және шеттерінде түсірілген созу F күштерімен жүктелген сырықты қарастырайық (9.1 суретті қара). Жүктелу алдында оның бетінде өске перпен-дикуляр түзу сызықтарды жүргізейік. Тәжірибе көрсеткендей, жүктелу кезінде  сол сызықтар түзу және өске перпендикуляр болып қала береді. Бұдан сырықтың жүктелу алдындағы жазық көлденең қималары жүктелу кезінде жазық  болып қала береді деп есептеуге болады (жазық қималар гипотезасы). Бірдей ұзаруларға сәйкес бірдей кернеулер болғандықтан, көлденең қимасының барлық нүктелерінде кернеулер бірдей болады, сонда

 бұдан                               (9.3)

Тік кернеу созылу кезінде оң, ал сығылу кезінде теріс болып есептеледі. Жоғарыдағы мысалда біртекті кернелген күй орын алады (сырықтың барлық нүктелеріндегі кернелген күй бірдей). Дәл солай жүктелген, қимасы айнымалы сырықта кернелген біртекті болмайды.

9.2 Сырықтың ұзаруы және Гук заңы

Созылған сырықтың өлшемдері түсірілген күштерге тәуелді өзгереді. Мысалы, 9.2 суретте көрсетілген сырық сырықтың абсолют (толық) ұзаруы деп аталатын ∆l шамасына ұзарады. Мұнда біртекті кернелген күй болғандықтан, сызықтық деформация (яғни салыстырмалы ұзару) барлық нүктелерде бірдей және келесіге тең                          .                         (9.4)  Біртекті емес кернелген күй жағдайында         .                    (9.5)

         Аз ε шектерінде көптеген материалдар үшін Гук заңы орындалады (σ  мен ε арасындағы сызықтық тәуелдік)                            σ=Е∙ε                    (9.6)

мұндағы  E –Юнг модулі (I ретті серпімділік модулі), ол тәжірибе арқылы анықталады.       

(9.5) формуласын (9.3) және (9.4) ескеруімен интегралдаудан соң келесіге келеміз                              .                                               (9.7)

         Көлденең қимасы тұрақты және шеттерінде F күштерімен жүктелген сырық үшін N=F=const болады, сонда абсолют ұзару келесіге тең

                                .                                               (9.8)

         Мұнда E∙А – сырықтың созылу-сығылу кезіндегі қатаңдығы.

Егер серпімді деформациялармен қатар температуралық деформация-ларды есепке алу керек болса, онда қосынды деформация осылай анықталады

                                            (9.9)

         мұндағы α – материалдың температуралық ұлғаю коэффициенті;

         ∆t – температураның өсімі.

Сырықтың баяу (статикалық) жүктелуі кезінде сыртқы күштердің жұмысы толығымен деформацияның U потенциялық энергиясына  айналады, ол Гук заңы орындалғанда келесі түрде жазылады     .                (9.10)                      9.3 Созылу-сығылу кезіндегі статикалық түрде анықталмайтын жүйелер

9.2,а суретте екі сырықтан құрылған кронштейн көрсетілген. Сырықтардағы бойлық күштерді түйіндерді қиып алу әдісін қолданумен анықтауға болады, сонда тепе-теңдік теңдеулері 2 координаттық өске күштер проекцияларының қосындылары түрінде жазылады, одан N1 мен N2 күштер табылады. Егер конструкцияға тағы бір сырықты қосса (9.2,б суретті қара), онда оның беріктігі мен қатаңдығы артады, бірақ N1, N2 және N3 күштері тек қана  статика теңдеулерінен табылмайды: белгісіздер саны 3, ал статика теңдеулерінің саны алдынғыдай  2 (1 рет статикалық түрде анықталмайтын жүйе болады). 9.2,в суретте көрсетілген жүйе 2 рет статикалық анықталмаған. Статикалық анықталмау дәрежесі (САД) деп байланыстар саны мен тәуелсіз тепе-теңдік теңдеулерінің саны арасындағы айырмашылықты атайды. Барлық белгісіз күштерді анықтауы (статикалық түрде анықталмауын шешуі) қосымша теңдеулерді (орын ауыстырулар теңдеулерін) қолданумен орындалады.

            Статикалық түрде анықталатын жүйелер элементтерінде ІКФ мен кернеулер тек қана сыртқы күштер әсерінен пайда болады, ал статикалық түрде анықталмайтын жүйелер элементтерінде олар сыртқы күштер болмаса да (температураның өзгерісі, тіректер орнынан ауытқуы және конструкцияның кейбір элементтері дәл өлшемдерімен жасалмауы себебінен).

9.4 Созылу кезіндегі кернелген және деформацияланған күйлер

Сырықтың көлденең қимасымен α бұрышын жасайтын көлбеу қимала-рындағы кернеулерді қарастырайық (9.3,а суретті қара). Егер көлденең қимасының ауданы A болса,  онда көлбеу қимасының ауданы A/cosα болады.

9.3,б суреттен p∙Aα = F және F=σ∙A болатыны көрінеді, сондықтан

                                      р = F/ Aα = σ∙cosα.                                        (9.11)

р кернеуін σα және τα құраушыларына жіктеп (9.5,в суретті қара), келесіні аламыз

 σα= р∙cosα = σ∙cos2α,                                   (9.12)

 τα= р∙sinα = σ∙sin2α.                                (9.13)

Осыдан келесі орын алады:

а) α=0 болғанда (көлденең қималарында) σα= σ, τα=0;

б) α=90ْ (бойлық қималарында) σα= 0, τα=0, яғни бойлық қабаттар өзара әрекеттеспейді;

в) α=45ْ  болғанда τ кернеуі ең жоғары мәніне ие болады  τmax= σ/2;

г) α және (α+90ْ) бұрыштарымен орналасқан қималарда τ шамасының абсолют мәні бірдей; бұл жанама кернеулердің жұптылық заңы, ол әрқашанда орындалады.

Созылу кезіндегі деформацияларды қарастырайық. Тәжірибе көрсеткендей, кейбір шектерде сырықтың бойлық ұзаруымен қатар біржолы оған пропорционал көлденең жіңішкеруі болады (9.4 суретті қара). Көлденең деформация ε´=∆а/а және                                     ε´=- µ∙ε                              (9.14)

мұндағы µ - көлденең деформациясының коэффициенті (Пуассон коэф-фициенті); оның мәні металлдар үшін µ= 0,25… 0,35.

         Сырықта осымен қатар γα бұрыштық деформациялар орын алады (9.5 суретті қара). Сонда γα ығысу бұрышы сәйкес аудандағы τα жанама кернеуіне пропорционал болатынын дәлелдеуге болады. Бұл – ығысу кезіндегі Гук заңы

τ=G∙γ                         (9.15)

         мұнда G – ығысу модулі немесе II ретті серпімділік модулі.

         Материал серпімділігінің Е, G және µ параметрлері арасында келесі өзара тәуелдігі орын алады

                .                (9.16)

9.5 Созылу диаграммалары

Материалдар қасиеттерін зерттеу үшін және шекті кернеулердің мәндерін анықтау үшін материал үлгілерінің сынауларын оларды сындыруға дейін жүргізеді. Сынаулар арнаулы машиналарда стандартталған шарттарға сәйкес жүргізеді. Ең кеңінен таралған сынаулар – статикалық жүктеме әсерінен созылуға сынаулар, өйткені олар ең қарапайым болып келеді және материал деформацияның басқа түрлерін қалай қабылдайтыны туралы айтуға мүмкіншілік береді.

Сынаулар үшін цилиндрлік (9.6 суретті қара) және жазық үлгілер қолданылады. Әдетте цилиндрлік үлгілердің өлшемдері d0=20 мм және l0=10d0  немесе l0=5d0 болып алынады.  Сынау кезінде созатын F күші мен үлгінің Δl ұзаруы арасындағы тәуелдіктің диаграммасы жазылып отырады. Әртүрлі өлшемдерімен алынған үлгілер бойынша сынау нәтижелерін салыстыруға мүмкіншілік болу үшін F-Δl диаграммасының σ-ε диаграммасы ретінде қарастырады. Бұл нақты емес, өйткені σ=F/A0 және ε=∆l/l0 болып алынады (A0, l0 – үлгінің көлденең қимасының бастапқы ауданы мен оның бастапқы ұзындығы). Нақты σ мен ε A және l шамаларының ағымды мәндері арқылы анықталуы керек болғандықтан, бұл σ-ε диаграммасын шартты созылу диаграммасы деп атайды.

9.7 суретте үздіксіз сызықпен аз көміртекті болаттың шартты созылу диаграммасы көрсетілген. ОА аралығында кейбір пропорционалдық шегі деп аталатын σпц шамасына дейін ε деформациясы σ кернеуіне пропорционал өседі, яғни Гук заңы орындалады (Ст3 болат үшін σпц200 МПа). Содан кейін диаграмма қисық сызықтыққа айналады, сонда серпімділік шегі деп аталатын, σсер шамасына дейін материал өзінің серпімділік қасиетін сақтайды. σпц және σсер арасындағы айырмашылығы аз болғандықтан (Ст3 үшін σсер210 МПа), оларды қолдану кезінде айырмайды.

Жүктемені әрі қарай өсіріп тұрғанда, бір мезгілде  (С нүктесінде) жүктеме өспесе де деформация өсе береді. Горизонталь СD аралығы жұмсару (немесе аққыштық) ауданы деп, ал сәйкес кернеу - жұмсару (немесе аққыштық) шегі σжұм деп аталады (Ст3  үшін 240…400 МПа).

Содан кейін диаграмма жоғары кетеді, материал созуға қарсыласу қабілетіне қайта ие болады. Е нүктесінде ең жоғары шартты кернеуге жетеміз, ол беріктік шегі σбер деп немесе уақытша қарсыласу деп аталады (Ст3 үшін σб=400…500 МПа). Сонда үлгіде мойнақ деп аталатын жергілікті жіңішкеру орын алады. Үлгі мойнағындағы қимасының ауданы тез азаяды, соның себебінен күш пен σ шамалары төмен түседі. Үлгінің үзілуі ең кіші қимасы бойымен болады.  Беріктік шегі үлгі үзілетін кездегі кернеуге тең емес. Егер созатын күштің A0 ауданына емес, мойын ауданына қатынасын тапсақ, онда үзілу алдында (S нүктесінде) мойындағы σшын кернеуі σбер кернеуінен айтарлықтай жоғары болады. 

Материал беріктігінің қарастырылған сипаттамаларымен қатар сынау арқылы үлгі үзілгендегі δ салыстырмалы қалдық ұзаруын  анықтайды, ол материалдың пластикалық қасиетінің сипаттамасы болып келеді

                                             (9.17)

мұндағы l0 – үлгінің бастапқы есептеу ұзындығы;

l1– үлгі үзілгеннен кейінгі есептеу ұзындығы.

Ст3 үшін δ ≥24%, жоғары берікті болаттар үшін δ=(7…10)%. Бұл ұзаруы орташа алынады, шынайы ұзаруы үзілген жерде орын алады.

Айтарлықтай үлкен пластикалық деформацияларды зерттеу үшін шынайы созу диаграммасын білу қажет (9.7 суреттегі OCS қисығы).

Қарастырылған созылу диаграммасы пластикалық материалдарды, яғни қирамай тұрғанда айтарлықтай қалдық деформацияларға ие бола алатын мате-риалдарды сипаттайды. Пластикалық қасиеті жоғары материалдарға мыс, алюминий, латунь, аз көміртекті болат және т.б. жатады, пластикалық қасиеті аз материалдарға – легирленген болаттардың көпшілігі. Кейбір пластикалық  материалдардың созылу диаграммаларында аққыштық ауданы болмайды; олар үшін шартты аққыштық шегі қолданылады - ол қалдық деформациясының кейбір шамасына сәйкес келетін кернеу. σ0,2 шартты аққыштық шегі  0,2% тең қалдық деформациясына сәйкес болады.

Пластикалық қасиетіне керісінше морт қасиеті бар. Морт материалдар үшін  δ шамасы 2-5%-дан аспайды. Морт материалдарға шойын, инструменттік болат, тас, бетон, шыны және т.б. жатады.  Пластикалық және морт материалдарға бөлу шартты екенін айта кету керек, өйткені сынау шарттарына (жүктелу жылдамдығына, температураға) және кернелген күйіне тәуелді морт материалдардың бейімділігі пластикалық материалдар секілді, ал пластикалық материалдардың беімділігі морт материалдар секілді болуы мүмкін. Мысалы, шойыннан жасалған үлгі жанжақты сығу кезінде пластикалық қасиетіне ие болады. Ал болаттан жасалған қырнауы бар үлгі, оның  δ қалдық деформациясы салыстырмалы кішкене болғанда сынады.

Морт материалдардан жасалған үлгілердің созылу диаграммаларының бір қатар ерешеліктері болады (9.8 суретті қара). Мұнда  Гук заңынан ауытқуы өте ерте басталады. Үзілу  өте аз деформациялар кезінде мойыны болмай аяқ астынан келіп қалады. Сынау кезінде тек қана σб беріктік шегін анықтайды. Есептеу жүргізгенде қисық сызықты диаграммасын түзу сызықты диаграммасына ауыстырып, Гук заңынан ауытқуы ескерілмейді.  σб шамасына үлгінің өлшемдері байқалатын әсерін тигізеді, ол масштаб коэффициенті арқылы бағаланады.

9.6 Сығылуға сынаулардың ерешеліктері

Мұнда үлгілер текше немесе биік емес цилиндрлер (h≤3d) немесе куб түрінде алынады, керісінше иілу пайда болуы мүмкін. Өте қысқа үлгілерді де пайдалануға болмайды, өйткені шеткі беттеріндегі үйкеліс күштері  бірталай әсерін тигізеді.

Морт материалдар үшін сығылу диаграм-масының түрі созу диаграммасымен бірдей болады. Диаграмма бойынша  σб мен δ анықталады; сығылу кезіндегі беріктік шегі созылу кезіндегі беріктік шегінен әдетте артық.

9.9 суретте пластикалық материалдың типтік сығылу диаграммасы көрсетілген. Басында ол созу диаграммасымен бірдей болады, кейін тікшіл көтеріледі, үлгі жалпаяды және қирамайды. Пластикалық материалдар үшін созылу және сығылу кезіндегі жұмсару шектері көптеген жағдайда бірдей болады.

9.7 Созылу-сығылу кезіндегі беріктік шарты. Есептердің үш түрі

Созылуға және сығылуға сынаулары нәтижесінде алынған мате-риалдардың механикалық қасиеттерін конструкция элементтерін есептеу кезінде қалай қолдануға болатынын қарастырайық.

Ең кең таралған әдіс – кернеулер бойынша беріктікке есептеу әдісі. Осы әдісте есептеу конструкцияда орын алатын кернеулердің ең үлкен кернеуі   бойынша жүргізіледі, максималды кернеу материал үшін шекті шамасынан аспау керек σmaxшек, сонда беріктіктің кейбір кепілдігі ескерілу қажет, сондықтан беріктік шарты келесі  түрде орындалу керек

σmax≤[σ].                                                  (9.18)

Мұнда [σ] – қауіпсіз кернеу, ол шекті кернеудің кейбір бөлігі ретінде анықталады                                                                                       (9.19)

мұндағы [n] – беріктік кепілдігінің нормативтік мәні, ол конструкция жауапкершілігінің дәрежесіне, есептеу сұлбасының нақтылығына, жобалау тәжірибесіне, конструкция жұмысының шарттарына тәуелді беріледі. Сонда әрқашан [n] >1,0 , оның мәндері конструкцияның әртүрлі элементтері үшін нормативтік құжаттарда беріледі.

Конструкцияда білінетін қалдық деформациялар болмауы үшін пластикалық материалдардан жасалған конструкция элементтеріне σшек мәні созылған жағдайда  , сығылған жағдайда  тең деп алынады. Морт материалдарға және кейбір жағдайда орташа пластикалық материалдарға σшек ретінде созылу немесе сығылу кезіндегі сәйкес  немесе беріктік шегі алынады. 

Осы әдіс бойынша беріктік шартының басқа түрі

n≥[n]                                                    (9.20)

мұндағы n – шынайы (есептеу) беріктік кепілдігі, ол n=σшекmax формуласымен анықталады.

Сонымен, созылу-сығылу кезіндегі (9.21) беріктік шарты келесі түрге келтіріледі                                              .                                     (9.21)

Беріктік шартын қолданып, келесі есептерді шешуге болады:

а) тексеру есептері. Мұнда берілген жүктеме мен сырықтың көлденең қимасының өлшемдері бойынша шынайы кернеулерді анықтап, оларды қауіпсіз кернеулермен салыстырады, сонда тікелей (9.21) шартының орындалуы тексеріледі. Кернеулер асып кетсе, беріктік қамсыздандырыл-майды, сондықтан мұндай жағдайға тыйым салынады, ал кернеулер аз болуы материалдың артық шығынына алып келеді;

б) жобалау есептері. Берілген жүктеме мен қауіпсіз кернеу бойынша беріктік шартын қанағаттандыратын сырықтардың көлденең қималарының өлшемдерін анықтайды

;                                                 (9.22)

в) жүк көтеру шегін (жүк көтеру қабілетін) анықтау есептері. Мұнда сы-рық көлденең қимасының берілген өлшемдері мен берілген қауіпсіз кернеу бойынша қауіпсіз бойлық күшті анықтайды

,                                              (9.23)

содан кейін бойлық күш пен жүктеме арасындағы байланысты анықтап (статиканың тепе-теңдік теңдеулерден),  қауіпсіз жүктемені табуға болады.

Сығылған сырықтар беріктікке есептелуімен қатар орнықтылыққа да есептелу керек екенін айтқан жөн, өйткені сығушы күштің кейбір мәнінде сырық иіліп кетуі мүмкін (орнықтылықтан айырылу).

Қауіпсіз кернеу әдісіндегі қабылданған критерий (нүктедегі кернеу) конструкция қирауының шарттарын кейбір жағдайларда сипаттамайтынын айтып кету керек. Онда критерий ретінде жүйе қирамай және формасын айтарлықтай өзгертпей, көтере алатын шекті жүктемені алған дұрыс.

9.8 Кернеулердің шоғырлынуы

Көлденең қимасы айнымалы сырықтардың есептелуі қимасы тұрақты сырықтардың есептелуімен бірдей жүргізіледі. Көлденең қималарында тек қана бірқалыпты таралған тік кернеулер орын алады, ал бойлық қималар кернеуден бос деп есептеледі.

Сырықтың қимасы кенет өзгеретін жағдайда (ойық, қуыс, тесік  және т.б. қасында), кернеулердің таралуы қарапайым созылуға сәйкес болмайды (9.13 суретті қара). Қарапайым созылу кезінде орын алатын кернеулердің бірқалыпты таралу заңынан қөлденең қиманың кенет өзгеретін орнының қасындағы ауытқу кернеулердің шоғырлануы деп аталады. Кернеулердің шоғырлануы келесі арқылы білінеді:

а) көлденең қималарда σ таралуы бірқалыпты емес, олар қима өзгеретін орнының қасында ең үлкен мәндеріне ие болады;

б) көлденең және бойлық қималарында σ да, τ да болады.

Шоғырландырғыштардағы кернеулердің таралу заңын анықтау үшін серпімділік теориясының әдістері мен тәжірибелік әдістер қолданылады. Әдетте теориялық шоғырлану коэффициентін анықтайды α=σmax0, ол қимадағы ең үлкен кернеу номинал σ0=F/Aнетто кернеуден неше есе артық екенін көрсетеді. α мәндері анықтамаларда беріледі (ол тек шоғырландырғыштың геометриясына тәуелді).

 α коэффициентін білу бөлшекті беріктікке есептеу үшін жеткіліксіз болады. Егер материал Гук заңына қирауға дейін бағынып тұратын болса, онда беріктігі α есе төмендейтін еді; бірақ практикада – α-дан аз есе төмендейді. Сондықтан тәжірибелік түрде тиімді шоғырлану коэффициенті анықталады, ол шоғырландырғышы бар үлгінің беріктік шегі  шоғырландырғышсыз үлгінің беріктік шегінен неше есе аз болатынын көрсе-теді kσ = σббш. Пластикалық материалдан жасалған сырықтың статикалық жүктеме жағдайында беріктігін есептеу кезінде кернеулер шоғырлануы ескерілмейді, яғни kσ =1 алынады және беріктік шарты осылай жазылады . Бұл пластикалық материалдың жүк көтеру қабілетінің тек қиманың барлық нүктелеріндегі кернеу σақ мәніне жеткенде ғана жойыла-тынына байланысты. F күші жәймендеп өскенде максималды кернеу σақ мәніне жеткеннен кейін, тесіктің қасындағы кернеулер, аққыштық ауданы өтілмей өсе алмайды, ал бойлық талшықтар  еркін жағдайда секілді ұзара алмайды, өйткені олар қысылыңқы болады. Жүктеме өсуімен бойлық күш те өсу керек – ол σ < σақ болатын талшықтардағы кернеулердің өсуі арқылы орындалады, сонда аққыштық аймағы, барлық нүктелерде  σ=σақ болғанға дейін артады, сонда шекті қалпында жалпы аққыштық басталады. Сонымен, шекті қалпының шынайы жағдайы кернеулер шоғырлануының болмаған жағдайдағы қалпымен бірдей болады.

Морт материалдар үшін кернеулердің шоғырлануы бөлшектердің беріктігін біраз төмендетеді (мысалы, шыны  кесу кезінде шыны кескіштің қалдырған сызығы шоғырландырғыш болып келеді).

 

10 дәріс. Таза ығысу. Дөңгелек көлденең қималы сырықтың бұралуы

Дәрістің мазмұны: таза ығысу, бұраушы момент, бұралу кезіндегі кернеулер мен деформациялар, беріктікке және қатаңдыққа есептеу.

Дәрістің мақсаты: таза ығысудың ерекшеліктерін, дөңгелек және сақина тәрізді көлденең қималы сырықтардың бұралуы механикасын игеру, беріктікке және қатаңдыққа есептеу формулаларын алу.

            10.1 Таза ығысу кезіндегі кернеулер мен деформациялар

Таза ығысу – денеден бөліп алынған элементтің беттерінде тек t жанама кернеулері болатын кернелген күй  (10.1,а суретті қара). Біртекті таза ығысу жұқа қабырғалы цилиндрдің бұралу кезінде орын алады.

Егер  таза  ығысудағы элементтен оның беттерімен 45º жасайтын беттері бар элементті қиып алсақ, оның беттерінде жанама кернеулер жоқ болып, тек қана тік кернеулер орын алатынын дәлелдеуге болады (10.1,б суретті қара). Сонда қарама-қарсы беттерінің бір жұбында кернеулер созушы (σ’=t), екінші жұбында сығушы (σ”=-t) болады.

         Алдында айтылғандай, t жанама кернеуі мен γ бұрыштық деформациясы Гук заңы бойынша байланысады                   t=G∙γ.            (10.1)

         Таза ығысу кезінде элементтердің қабырғаларының ұзындықтары өзгермейтінін және элемент қөлемінің өзгерісі де нөлге тең екенін дәлелдеуге болады. 

         Материалдарды созылу мен сығылуға сынаулары секілді таза ығысуға да сынау жүргізіледі. Ол үшін моменттермен бұралатын жұқа қабырғалы құбыр тәрізді үлгілер қолданылады. Нәтижесінде t мен γ координаттарындағы шартты ығысу диаграммасын алады, ол созу диаграммасына ұқсас болып келеді, сонда пластикалық металдар үшін аққыштық шегі tақ=(0,5…0,55)σақ.

         Таза ығысуға жақын кернелген күй шегендерде, саңылаусыз қойылатын болттарда, шпонкаларда, шлицаларда, пісірілмелі біріктірмелерде орын алады.

10.2 Дөңгелек көлденең қималы сырықтың бұралуы

Бұралу - сырықтың көлденең қималарында тек қана Мбұр бұраушы моменті орын алып, басқа ІКФ нөлге тең болатын сырықтың жүктелу түрі. Бұралу әдетте сырық, әсер ету жазықтықтары сырықтың өсіне перпендикуляр күштер жұптарымен (бұрайтын моменттермен) жүктелген кезде  орын алады. Бұраушы моменттердің эпюрін қималар әдісін қолданумен тұрғызады, сонда Мбұр қарастырлатын қиманың бір жағындағы бөлікке түсірілген күштер жұптарының сырықтың бойлық өсіне қатысты моменттерінің қосындысына тең болады                                             Мбұр = ∑Mi.                                         (10.2)

Таңбалар ережесі: егер қиманың сыртқы нормалі жағынан қарағанда Мбұр сағат тілінің қозғалысына қарсы бағытталса, ол оң, керісінше теріс болып есептеледі. Сонда (10.2) формуласының оң жағындағы сыртқы моменттер қарсы ережемен алыну керек.

 

 
         Сырықты (білікті) есептеуінде әдетте сыртқы моменттердің шамаларына тәуелді кернеулер мен бұрыштық орын ауыстыруларды анықтау керек. МК-нің әдістерімен тек көлденең қималарының пішіні дөңгелек немесе сақина тәрізді сырық үшін (біз тек осы жағдайды қарастырамыз) және жұқа қабырғалы сырықтар үшін шешім табылады. Сырықтың көлденең қимасы дөңгелек болатын жағдайда оның әр көлденең қимасы өзінің жазықтығында қатты диск секілді кейбір бұрышқа бұрылады деп есептейміз (жазық қималар гипотезасы).

Шеттеріне M моменттері түсірілген, көлденең қимасының пішіні дөңгелек сырықты қарастырайық (10.2,а суретті қара). Оның көлденең қималарында тұрақты Мбұр=M бұраушы момент орын алады. Екі көлденең қима арқылы сырықтан ұзындығы dz элементті қиып аламыз, ал одан r және (r + dr) радиустерімен екі цилиндрлік беттер арқылы, элементар сақинаны қиып аламыз (10.2,в суретті қара). Бұралу нәтижесінде сақинаның оң жақ қимасы бұрышына бұрылады. Сонда цилиндрдің АВ жасаушысы g бұрышына бұрылып, АВ ¢ орнын алады.  ¢ доғасы бірінші жақтан r ∙dj тең, екінші жақтан - g dz тең. Сондықтан           .                                  (10.3)

g бұрышы - цилиндрлік беттің t  жанама кернеулері әсерінен туындайтын ығысу бұрышы болып келеді.  Келесі шама

       (10.4)

салыстырмалы бұралу бұрышы деп аталады. Бұл екі қиманың өзара бұрылу бұрышының олардың арақашықтығына қатынасы.

(10.3) және (10.4) формулаларынан келесі алынады

g = r∙θ.                                  (10.5)

Ығысу кезіндегі Гук заңы бойынша

τ=G r∙θ                                 (10.6)

мұндағы t - сырықтың көлденең қимасындағы жанама кернеулер. Оларға жұпталатын кернеулер бойлық жазықтарда орын алады  (10.4,г суретті қара).      

Келесі тәуелдік болатыны анық (10.3 суретті қара) . (10.6) ескерумен  аламыз. Мұндағы интеграл  қиманың тек геометриялық сипаттамасы болып келеді, ол қиманың полюстік инерция моменті деп аталады            .                      (10.7

 

Сонымен,   немесе             .                          (10.8)

шамасы сырықтың бұралу кезіндегі қатаңдығы деп аталады.

 (10.8) формуласынан (10.4) ескеруімен мынаны аламыз

         .                                              (10.12)

Егер Мбұр мен сырық бойымен тұрақты болса, онда (10.12) формуласынан келесіге келеміз                 .                                (10.10)

(10.8) формуласын  (10.6)-ға қойып, кернеулердің өрнегін аламыз

.                                             (10.11)

Сонымен, жанама кернеулер радиус бойымен сызықты заңмен таралады, олардың максималды мәндері центрден ең алыста жатқан нүктелерінде болады. Сонда              немесе .                        (10.10)

Келесі шама                                                                     (10.13)

сырықтың көлденең қимасының полюстік қарсыласу моменті деп аталады. (10.10), (10.12) дөңгелек және сақина тәрізді қималар үшін орындалады.

Дөңгелек қиманың полюстік инерция моментін (10.7) қолдануымен,  элементар ауданы dA=2π∙ρ∙dρ тең деп алып, таба аламыз (10.4 суретті қара). Сонда                немесе .                 (10.14)

Дөңгелек қиманың полюстік қарсыласу моментін табамыз 

 .                                            (10.15)

Сақина тәрізді қима үшін (сыртқы диаметрі D және ішкі диаметрі d болса) келесіні аламыз                    .                                  (10.16)

.                    (10.17)

Бұралу кезіндегі беріктік және қатаңдық шарттары келесі түрде жазылады

,                                          (10.18)

 немесе                          (10.19)

мұндағы [τ], [φ], [θ] – сәйкес қауіпсіз жанама кернеу, қауіпсіз толық және қауіпсіз салыстырмалы бұралу бұрыштары.

 

11 дәріс. Көлденең қималардың геометриялық сипаттамалары. Иілу кезіндегі ішкі күштер факторлары

Дәрістің мазмұны: жазық фигуралардың статикалық моменттері, ауырлық центрі, инерция моменттері, бас инерция өстері мен бас инерция моменттері; иілу кезіндегі ішкі күштер факторлары.

Дәрістің мақсаты: сырық көлденең қималарының иілу теориясында қолданылатын геометриялық сипаттамаларын игеру; июші моменттер мен көлденең күштердің эпюрлерін тұрғызу ерекшеліктерін игеру.

11.1 Жазық фигуралардың статикалық моменттері мен оның ауырлық центрі

Кейбір жазық фигураны x, y координат жүйесінде қарастырайық (11.1 суретті қара). Келесі интегралдар        фигураның сәйкес x және y өстеріне қатысты ста-тикалық моменттері деп аталады

                             ,        .           (  11.1)

Координаттық өстерді параллель орын ауыстырса, қиманың статикалық моменттері қалай өзгеретінін анықтайық (11.2 суретті қара).

x2 = x- a; y2 = y– b болатыны айқын.  Сонда

,     .

         а мен b шамаларын, мен  статикалық моменттері нөлге тең болатындай, таңдап алуға болады (тек бір ғана ретімен). Центрлік өс деп оған қатысты статикалық момент нөлге тең болатын өсті атайды. Центрлік өстерінің қиылысу нүктесі қиманың ауырлық центрі деп аталады.

(x1, y1) координат жүйесінде ауырлық центрінің координаттары осыған тең                  

,    .                                  (11.2)

Құрама қиманың статикалық моменті оны құраушы аймақтарының статикалық моменттерінің қосындысына тең екенін айтып өтейік.

11.2 Қиманың инерция моменттері

11.1 суретке қайта оралып, келесі үш интегралды қарастырайық

,                                (11.3)

,                                (11.4)

.                            (11.5)

Алдыңғы екі интеграл қиманың сәйкес x және y өстеріне қатысты өстік инерция моменттері, ал үшіншісі - центрден тепкіш (немесе өрістік) инерция моменті деп аталады. Өстік инерция моменттері әрқашан оң шама, ал центр-ден тепкіш момент оң да, теріс та болуы мүмкін.

Координаттық өстерді параллель орын ауыстырса (11.2 суретті қара), инерция моменттері келесі формулаларға сәйкес өзгереді

,                                        (11.6)

,                                        (11.7)

 .                      (11.8)

Егер x1 мен y1 - цен­трлік өстер болса, онда  және

,                                            (11.9)

,                                           (11.10)

  .                                   (11.11)

Сонымен, өсті параллель орын ауыстырғанда, олардың біреуі центрлік өс болса, өстік инерция моменті ауданның өстер арақашықтығының квадратына көбейтінсіне тең шамаға өзгереді. Сонда параллель өстер жиыны үшін центрлік өске қатысты инерция моменті минималды мәніне ие болады. 

11.1 мысал – Тік төртбұрыштың x1, y1 және x, y  өстеріне қатысты өстік инерция моменттерін анықтау керек (11.3 суретті қара). 

Шешуі. Элементар dA ауданы ретінде b енімен және dy биіктігімен тік төртбұрышты алайық. Сонда

.

            (11.9) формуласы бойынша

.                                   (11.12)

Дәл солай келесіні анықтаймыз , . Мұнда x пен y  симметриялық өстері болғандықтан, сәйкес центрден тепкіш инерция моменті нөлге тең , ал  x1 мен y1 өстеріне қатысты .

Құрама қиманың инерция моменті оны құраушы аймақтарының инерция моменттерінің қосындысына тең екенін айтып өтейік.

11.3 Бас инерция өстері мен бас инерция моменттері

x пен y координаттық өстерін  u мен v орнына келтіріп бұрғанда, жазық қиманың инерция моменттері қалай өзгертінін қарастырайық. 11.4 суреттен келесіні анықтай аламыз  u = y∙ sin a + x  cos a;  v = y∙  cos a - x∙  sin a .     (11.13)

Осы өрнектерді ,                ,                      ескерілуімен түрлендіріп,  келесіге келеміз

,      (11.14)

,      (11.15)

.               (11.16)

Алдыңғы екі теңдеуді қосып, келесіні аламыз

   (11.17)                   

Сонымен, өзара перпендикуляр өстерге қатысты өстік инерция моменттерінің қосындысы өстер бұрылғанда тұрақты болып қалады және ол жазық фигураның полюстік инерция моментіне тең.

(11.17) қолдануымен дөңгелек қиманың диаметріне қатысты өстік инерция моментін анықтауға болады. Симметрия себебінен , сонда

                            (11.18)

a  бұрышы өзгеруімен  және  өзгереді, ал олардың қосындысы тұрақты болады, сондықтан олардың біреуін  немесе , өзінің максимал-ды мәніне, екіншісін минималды мәніне ие болдыратын  бұрыштың a=a0 мәнін табуға болады. a0  табу үшін  немесе  экстремумге зерттейміз. Сонда келесі табылады              .                                         (11.19)

a=a0  болғанда біржолы центрден тепкіш инерция моменті нөлге тең болатынын көрсетуге болады. Егер өстерге қатысты центрден тепкіш инерция моменті нөлге тең, ал өстік инерция моменттері экстремалды мәндерін алатын болса, онда сол өстер бас инерция өстері деп аталады. Бас инерция өстеріне қатысты өстік инерция моменттері бас инерция моменттері деп аталады. Олар (11.14), (11.15) және (11.19) қолдануымен келесідей табылады

         .                      (11.20)

Жазық фигураның  кез келген l өсіне қатысты инерция радиусы деп келесі формуламен анықталатын шаманы атайды       .         (11.21)

11.4  Иілу. Иілу кезіндегі ішкі күштер факторлары

Иілу деп көлденең қималарында июші момент M пайда болатын сырықтың жүктелу түрін атайды. Егер сонда барлық ІКФ нөлге тең болса, онда таза иілу орын алады дейміз. Жиі M июші моментімен қатар Q көлденең күші болады, сонда көлденең иілу орын алады.

Иілу есептерін шешуінде ішкі күштер факторларының эпюрлерін тұрғызуды білу керек. Ол үшін қималар әдісі қолданылады. Деформацияға дейін өсі горизонталь орналасқан сырықтың оған түсірілген актив күштер вертикаль  (yz) жазықтығында жататын жағдайдағы иілуін қарастырайық.

Арқалықтың кез келген қимасындағы көлденең күш қиманың бір жағындағы (арқалықтың қарастырыла-тын қимамен кесіліп алынған бір бөлігіне түсірілген) сыртқы күштердің вертикаль өсіне проекцияларының қосындысына тең болады    .           (11.22)

 

 
Көлденең күш үшін таңбалар ережесі: егер қиманың сол жағындағы сыртқы күштердің тең әсерлі күші төменнен жоғары қарай бағытталса (11.5,а суретті қара), онда Q оң шама, керісінше жағдайда теріс шама болады. Оң жақтағы бөлік үшін ереже қарсы болады.

         Июші момент қиманың бір жағындағы (арқалықтың қарастырылатын қимамен кесіліп алынған бір бөлігіне түсірілген) сыртқы күштердің сол қиманың көлденең өсіне қатысты моменттерінің қосындысына тең болады

.                                      (11.23)

Июші момент үшін таңбалар ережесі: M эпюрін сығылған талшық жағынан тұрғызады, яғни M ординатасын сырықтың серпімді сызығының ойыс жағына қарай  көрсетеді (11.5,б суретті қара). Егер сыртқы күш (немесе күштер жұбы) сырықты дөңес жағымен төмен қарай майыстыруға тырысса, онда оның моментін (11.23) формуласында оң таңбасымен алу керек, керісінше жағдайда – теріс таңбасымен.

11.2 мысал - 11.6,а суретте көрсетілген сырық үшін эпюрлерді тұрғызуын қарастырайық. Есеп шешуін сыртқы күштердің толық жүйесін анықтаудан бастаймыз. Ол үшін тіректерді алып тастап, оларды сәйкес реакцияларына ауыстырамыз ( 11.5,б суретті қара).

         Тепе-теңдік шарттарынан тіректердегі реакцияларды анықтаймыз , .

            Сол жақ тірегінен z қашықты-ғында С қимасын жүргізіп, ойша сырықты екі бөлікке айрамыз да, сол жақ бөлігін қарастырамыз. Сонда алып тастаған бөліктің әсерін Q күші мен M моментіне ауыстырамыз.  (11.22) мен (11.23) бойынша келесіні табамыз

   , .

            Оң жақ аралығы үшін келесі шығады

   , .

            11.7 суретте бірінші аралық үшін (£ z £ a) және екінші аралық үшін (£ z £ a + b) табылған өрнектері бойынша тұрғызылған эппюрлер көрсетіледі.

11.5  Журавскийдің  дифференциалдық тәуелдіктері

q(z) қарқындылығымен таралған күшпен жүктелген (11.8,а суретті қара) сырықты қарастырайық. Көрсетілген q бағытын оң деп есептейміз. Сырықтан қиып алған dz элементі үшін (11.8,б суретті қара) тепе-теңдік теңдеулерін құрып және одан екінші ретті шексіз аз шамаларын алып тастап,   таралған күш қарқындылығы, көлденең күш пен июші момент арасындағы Журавскийдің дифференциалдық тәуелдіктерін аламыз

 ,        ,       .                      (11.24)

         (11.24) өрнектерінен келесі қорытындылар шығады. Дербес жағдайда, егер q = const болса, онда Q  z аргументінің сызықтық функциясы, ал M - екінші дәрежелі функциясы болады. Егер сырықтың кейбір аралығында таралған күш болмаса (q = 0), онда Q = const, ал M - z аргументінің сызықтық функциясы болады.

         Қадалған күш түсірілген қимада Q эпюрінде сыртқы күштің шамасына тең үзік орын алады. Егер аралықта Q таңбасы өзгеретін болса, онда Q нөлге тең болатын қимада M функциясы экстремалды мәніне ие болады. Сыртқы момент түсірілген қимада M эпюрінде сыртқы моменттің шамасына тең үзік орын алады.

 

12 дәріс.  Иілу кезіндегі беріктік және орын ауыстырулар

Дәрістің мазмұны: таза және көлденең иілу кезіндегі кернеулер және беріктікке есептеу; иілу кезіндегі орын ауыстырулар.

Дәрістің мақсаты: иілу кезіндегі беріктік шартын анықтау; күрделі қарсыласу кезіндегі беріктікке есептеуін қарастыру; сырықтың майысқан  өсінің теңдеуін алу.

12.1 Таза иілу кезіндегі кернеулер

Таза иілу кезінде Q=0, M=const. M әсерінен сырық майысады. Біртекті сырық жағдайында барлық аралықтардың қисықтығының өзгеруі бірдей болады. Сонда жазық қималар гипотезасы орындалады: сырық жүктелу алдында жазық және сырықтың деформацияланбаған өсіне перпендикуляр болған  көлденең қималар сырық жүктелгеннен кейін жазық және сырықтың деформацияланған өсіне перпендикуляр болып қала береді. Сонда таза иілу кезіндегі деформацияларды көлденең қималардың бір біріне қарағандағы бұрылудың нәтижесі ретінде қарастыруға болады (12.1 суретті қара).

Бір-бірінен dz қашықтығында орналасқан екі қиманы қарастырайық. Оң жақтағы көлденең қимасының сол жақ қимасына карағандағы бұрышына бұрылу нәтижесінде үстіңгі  қабаттар ұзарады, астыңғы қабаттар қысқарады. Сонда ұзаруы да, қысқаруы да болмайтын бейтарап CD қабаты табылады. Сонда  ρ  бейтарап қабаттың қисықтық радиусы,   бұрышы мен dz  ұзындығы арасында келесі тәуелдік орын алады dz= ρ∙dθdz ұзындығымен алынған кез келген AB кесіндісінің деформациясы осыған тең

.                                (12.1)

        

 

 

 

 ук заңы бойынша                     .                                    (12.2)

         Сонымен, таза иілу кезінде кернеулер көлденең қима бойымен сызықтық заң бойынша таралады. Бейтарап сызық (БС) дегеніміз σ=0 болатын нүктелердің геометриялық орны; ол майысқан сырық қисықтығының жазықтығына перепендикуляр болатыны айқын.

Таза иілу кезінде  болғандықтан, болады, яғни БС көлденең қиманың ауырлық центрінен өтеді. Біз иілудің дербес жағдайын, сырықтың майысқан өсі M моментінің әсер ету жазықты-ғында жатқан жағдайын қарастырып отырмыз. Сонда

,                    (12.3)

.                    (12.4)

         (12.4) теңдігінен  болады, яғни сырық қисықтығының M жазық-тығында өзгеруі  M жазықтығы қиманың бас инерция өстерінің біреуінен өтсе орын алады. Мұндай иілу тік иілу деп аталады, ал қиғаш иілу кезінде M жазықтығы мен сырық қисықтығының жазықтығы бір-бірімен түйіспейді.

         (12.3) теңдігінен сырық қисықтығы үшін келесі формуланы аламыз

.                                                 (12.5)

         Мұнда  - июші момент жазықтығына перпендикуляр, центрлік бас инерция өсіне қатысты қиманың инерция моменті.  шамасы сырықтың иілу кезіндегі қатаңдығы деп аталады.

         (12.5) теңдігін (12.2) теңдігіне қойып, σ кернеудің өрнегіне келеміз

.                                                (12.6)

Максималды кернеулер бейтарап сызықтан ең үлкен қашықтықта орналасқан нүктелерінде орын алады, олар келесіге тең             (12.7)

         мұндағы  - қиманың иілуге қарсыласу моменті деп аталады.

Таза иілу кезіндегі беріктік шарты келесі түрде жазылады

                                            (12.8)

мұндағы - қауіпсіз кернеу.

Сырықтың материалы созылу мен сығылуға бірдей қарсыласатын болмаса, беріктікке есептеуін максималды созылу және максималды сығылу кернеулері бойынша жүргізу керек екенін айтып өтейік. Көлденең қималарының ең тиімді формалары ретінде, аудандары бірдей жағдайда  қарсыласу моментінің мәндері ең үлкен болатын формалары болады - бұл, мысалы, қоставр, швеллер түріндегі прокатты стандарт профильдері (12.2 суретті қара).

12.2 Көлденең иілу кезіндегі кернеулер

Көлденең иілу кезінде Q≠0, M=vary, сонда көлденең қималарында тек қана σ тік кернеулері емес, τ жанама кернеулері де пайда болады. τ болған кезде γ бұрыштық деформациясы да болады, сонда  τ мен γ қима бойымен бірқалыпты таралмаған соң, сырықтың көлденең қималары жазық болып қала бермейді. Бірақ бұл σ мәндеріне айтарлықтай әсерін тигізбейді, сонда (12.5) пен (12.6) жеткілікті нақтылықпен орындалады деп есептеуге болады.

         Көлденең қимада b ені бойынша τ бірқалыпты таралады деп алып, оларды бейтарап сызықтан y  қашықтығында орналасқан бойлық қимадағы  жұптық кернеулер арқылы табуға ыңғайлы болады (12.3 суретті қара).

Ұзындығы dz  элементінен бойлық қимамен кесіп алған бөлік үшін тепе-теңдік теңдеулерін жазып, жанама кернеулер үшін Журавскийдің формуласын аламыз                                                                                              (12.9)

мұндағы  - бойлық қимасынан жоғары алынған қөлденең қимасы бөлігінің x өсіне қатысты статикалық моменті.

Көптеген жағдайда τ сырықтардың беріктігіне әсерін тигізбейді (жұқа қабырғалы және қысқа сырықтардан басқасы үшін). Сонда көлденең қимасы тұрақты, созылу мен сығылуға бірдей қарсылысатын материалдан жасалған  сырық үшін көлденең иілу кезіндегі беріктік шарты келесі түрде жазылады

 

                                           (12.10)

 

 

 

 

12.1 мысал – Қимасы тік төртбұрыш тәріздес арқалықтың (12.10) бойынша беріктігін тексеру және жанама кернеулердің арқалық беріктігіне әсерінің талдау керек (12.4 суретті қара). Берілгені: F= 4 кН, l=1.2 м, b= 40 мм, h= 60 мм, [σ]= 160 МПа.

Шешуі. Көлденең күш пен июші моменттерінің эпюрлерін тұрғызамыз. Көлденең күш арқалық бойымен тұрақты болады, ал июші моменттің ең үлкен мәні қатаң бекітпеде болады (қауіпті қима), =F∙l=4.8 кН∙м. Қиманың иілуге қарсыласу моменті Wx=b∙h2/6=2.4∙104мм3. Беріктік шартын тексереміз:

  МПа  > [σ]= 160 МПа – беріктік шарты орындалмайды.

            σ тік кернеуінің көлденең қима бойымен таралу эпюрі 12.4,в суретте көрсетілген, қауіпті қимада . Енді τ жанама кернеуінің арқалық беріктігіне әсерін бағалайық, ол үшін алдымен  табамыз. Жанама кернеуді (12.9) бойынша табамыз , τ эпюрі 12.4,г суретте көрсетілген. Жанама кернеудің ең үлкен мәні БС-та болады, БС нүктелерінде , ал σ нөлге тең. БС-тан ең үлкен қашықтықта орналасқан нүктелерде σ максималды, ал τ нөлге тең. Сонда келесі қатынасты анықтауға болады =4l/h, яғни ұзын арқалық үшін жанама кернеулер тік кернеулерден өте аз, сондықтан беріктікке есептеу кезінде оларды ескермеуге болады.

12.3 Сырықтың майысқан  өсінің дифференциалдық теңдеуі және оны интегралдау

Жазық иілу кезінде арқалықтың майысқан  өсі көлденең жүктемелер жатқан жазығындағы қисық сызық болып келеді. Өстің нүктелері көлденең бағытта орын ауыстырады және көлденең қималар бейтарап сызыққа қатысты бұрылады. Сызықтық орын ауыстыруларды (ойысуларды) v деп және бұрыштық орын ауыстыруларды θ деп белгілейік. θ бұрышы майысқан  өске жүргізілген жанамамен сырықтың бастапкы өсі жасайтын бұрышқа тең (12.5 суретті қара).  v мен θ шамалары z координаттың функциясы болып табылады; оларды қатаңдыққа есептеуді жүргізу үшін білу қажет. zy координаттар жүйесінің басын арқалықтың сол жақтағы шетімен біріктіріп, мынаған көз жеткіземіз: v(z)=y(z), tgθ(z)=y′(z), мұндағы y(z) – арқалықтың майысқан  өсінің теңдеуі. θ бұрышы аз шама болғандықтан, tgθθ, демек, θ(z)=y′(z).

Сонымен v мен θ шамаларын табу есебі арқалықтың майысқан  өсінің y(z) теңдеуін табу есебіне келтірілді. (12.5) тәуелділігі орындалады деп есептейміз. y(z) сызығының қисықтығы былай өрнектеледі

     .    

<<1 болғандықтан, . Осыны ескере отырып, сырықтың майысқан  өсінің дифференциалдық теңдеуін мына түрде аламыз

                                        .                                                       (12.11)

Бұл теңдеу аналитикалық түрде тек қарапайым жағдайларда ғана интегралданады. Интегралдаудан шығатын тұрақтылар шекаралық шарттардан табылады.

 


Әдебиеттер тізімі

1. Курс теоретической механики: Учебник для вузов / В. И. Дронг, B. В. Дубинин, М. М. Ильин и др.; Под общ. ред. К. С. Колесникова. - М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2005.

2. Никитин Н.Н. Курс теоретической механики: Учебник для машиностр. и приборостроит. спец. вузов - М.: Высш. шк., 1990.

3. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики: Учебник для студентов технических вузов - М.: Высш. шк., 2007.

4. Аркуша А.И. Техническая механика. Теоретическая механика и сопротивление материалов. - М.: Высш. шк., 2003.

5. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов: Учебник для вузов. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2000.

6. Степин П.А. Сопротивление материалов: Учебник для немашиностроительных специальностей вузов. – М.: Высш. шк., 1989.

7. Зозуля В.В., Мартыненко А.В., Лукин А.Н. Механика материалов. – Харьков: Изд-во Нац. ун-та внутр. дел, 2001.

8. Горшков А. Г., Трошин В. Н., Шалашилин В. И. Сопротивление материалов: Учеб. пособие. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

9. Агамиров Л.В. Сопротивление материалов: Краткий курс. Для студентов вузов. – М.: ООО «Издательство Астрель», 2003.

10. Олофинская В.П. Техническая механика. Курс лекций с вариантами практических и тестовых заданий. – М.: Форум: Инфра-М, 2007.

11. Иосилевич Г.Б., Строганов Г.Б., Маслов Г.М. Прикладная механика. - М.: Высш.шк.,1989.

12. Механика. Есептеу–графикалық жұмыстарды орындауға арналған әдістемелік нұсқаулар және тапсырмалар /Дінасылов А.Д., Тойбаев С.Н. - Алматы: АЭжБИ, 2006.

13. М.Ф.Үркімбаев, С.Жүнісбеков. Материалдар кедергісі теория-ларының негіздері – Алматы: Мектеп, 1986.

12. М.Шыныбаев. Теориялық механика. – Алматы: РБК, 1994.

15. А.Д.Дінасылов, Ә.Жолшараев Созылу, сығылу, бұралу және ығысу кезіндегі беріктік пен қатаңдыққа есептеу мысалдары. – Алматы: АЭИ,  1990.

16. А.Д.Дінасылов, Ә.Жолшараев. Иілу кезіндегі беріктік пен қатаңдыққа есептеуге мысалдар. – Алматы: АЭИ, 1991.

17. А.Д.Дінасылов, Ә.Жолшараев. Материалдар механикасы атауларының орысша-қазақша түсіндірме сөздігі. - Алматы: РБК, 1994.

18. А.Д.Динасылов. Прикладная механика. Основы расчетов на прочность и жесткость: Учебное пособие. – Алматы: АИЭС, 2009.

         19. Буланов Э.А. Решение задач по сопротивлению материалов. – М.: Высш. шк., 1994. – 206 с.