ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫНЫҢ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ

«Алматы энергетика және байланыс университетінің»

Коммерциялық емес акционерлік қоғамы

А.Д. Дінасылов, Р.Қ. Қойлыбаева

ҚОЛДАНБАЛЫ МЕХАНИКА.

БЕРІКТІК ПЕН ҚАТАҢДЫҚҚА ЕСЕПТЕУ НЕГІЗДЕРІ

Оқу құралы

Алматы 2010

УДК 621.01(075.8)

ББК 32.12.я73

Д42. Қолданбалы механика. Беріктік пен қатаңдыққа есептеу негіздері: Оқу құралы /А.Д. Дінасылов, Р.Қ. Қойлыбаева. – Алматы: АЭжБИ, 2010. – 85 б.

Без. 65, кесте 2, әдеб.көрсеткіші - 9 атау.

ISBN 978-601-7098-76-6

Оқу құралына «Қолданбалы механика»/«Механика» элективтік пәндерінің «Материалдар кедергісі» бөлімі бойынша есептерді шешу мысалдары кірген. Алдында «Инженерлік графика және қолданбалы механика» кафедрасында осы пәндер бойынша дәріс жинақтары басылып шыққан, олардың көлемі шектелгендіктен теориялық материал есептерді шешу мысалдарымен аз қамтылған. Осы оқу құралында шығарылған мысалдардың саны «Материалдар кедергісі» бөлімінің дәріс жинақтарында берілген материалын жақсы игеруге және білім бақылаудың әр түріне, соның ішінде емтиханға дайындалуға жеткілікті болып келеді. Есептерді шешу алдында негізгі теориялық мәліметтер қысқаша түрде беріледі, мұндағы кейбір мәліметтер дәріс жинақтарына кірмегенмен, дәрістерде қарастырылады.

Оқу құралы 5В071700 - Жылуэнергетика мамандығының студенттеріне арналған, сонымен қатар «Механика» немесе «Қолданбалы механика» пәндерін оқитын басқа мамандықтардың студенттеріне де көмек бере алады.

ББК 32.12.я73

ПІКІР БЕРУШІЛЕР: АТУ, техн. ғыл. канд., доц. Н.М.Ержанов,

АЭжБУ, техн. ғыл. канд., доц. С.Н.Тойбаев.

ISBN 978-601-7098-76-6

«Алматы энергетика және байланыс институтының» коммерциялық емес акционерлік қоғамының 2010 ж. баспа жоспары бойынша басылады.

ã «Алматы энергетика және байланыс университеті» КЕАҚ, 2010 ж.

Мазмұны

Кіріспе	4
1 Созылу және сығылу	6
1.1 Бойлық күштердің эпюрлері	6
1.2 Созылу және сығылу кезіндегі негізгі арақатынастар	10
1.3 Беріктікке және қатаңдыққа есептеу	13
1.4 Статикалық түрде анықталмайтын жүйелерді есептеу	18
2 Бұралу	23
2.1 Бұраушы моменттердің эпюрлері	23
2.2 Жанама кернеулер. Бұралу бұрышы және деформацияның потенциалдық энергиясы	25
2.3 Қауіпсіз кернеулер әдісі бойынша беріктік пен қатаңдыққа есептеу	28
2.4 Статикалық түрде анықталмайтын жүйелер	30
3 Ығысу	31
4 Сырықтың көлденең қималарының геометриялық сипаттамалары	34
4.1 Қиманың статикалық моменттері	34
4.2 Қиманың инерция моменттері. Инерция радиустері	36
5 Тік иілу	40
5.1 Көлденең күштер мен июші моменттердің эпюрлері	41
5.2 Көлденең қималардағы кернеулер. Қауіпсіз кернеулер бойынша беріктікке есептеу	51
5.3 Иілу кезіндегі орын ауыстырулар және қатаңдыққа есептеу	57
6 Күрделі қарсыласу	61
6.1 Қиғаш иілу	62
6.2 Центрден тыс созылу (сығылу)	66
6.3 Иілу мен созылудың (сығылудың) біріккен әсері	70
6.4 Иілу мен бұралудың біріккен әсері	72
7 Бойлық иілу (сығылған сырықтардың орнықтылығы)	77
7.1 Эйлердің және Ясинскийдің формулаларымен сығылған сырықтарды есептеу	78
7.2 Бойлық иілу коэффициенті бойынша сығылған сырықтарды есептеу	80
Әдебиеттер тізімі	84

Кіріспе

Оқу құралында құрылым элементтерін әртүрлі жүктеу кезіндегі беріктік пен қатаңдыққа есептеудің қарапайым, ең типтік әдістері қарастырылады. Беріктік ретінде қатты денелердің сыртқы күштер (және т.б.факторлардың) әсерін қирамай қабылдау қабілетін түсінеді. Осымен қатар пластикалық деформациялар пайда болған жағдайда беріктік жойылады деп есептейді. Оқу құралында статикалық есептеудің мысалдары қарастырылады, яғни құрылымға түсірілген күштер нөлден бастап номиналды мәндеріне дейін өте ақырын өседі (инерция күштерін ескермеуге болатындай), содан кейін олар тұрақты болады немесе тап солай ақырын өзгереді.

Беріктікке есептеудің негізгі әдісі ретінде қауіпсіз кернеу бойынша есептеу болып келеді. Бұл әдіс бойынша кемінде бір нүктедегі есептік кернеу (жалпы жағдайда беріктік теориялардың біреумен анықталатын эквивалент кернеу) шекті мәніне жеткен жағдай бүкіл құрылымның беріктігі жойылатынын белгілейді. Келесі белгілеулерді қабылдайық: s - ең көп жүктелген (қауіпті) нүктедегі есептік (жалпы жағдайда эквивалент) кернеу; [s] – қауіпсіз кернеу, ол шекті кернеудің 1/[n] бөлігін құрайды; s_шек - қарастырылатын материал үшін шекті кернеу (статикалық жүктелу кезіндегі беріктік шегі немесе аққыштық шегі; [n] – беріктік кепілдігінің кажетті (нормативтік) коэффициенті; n - беріктік кепілдігінің шынайы (есептік) коэффициенті. Сонда беріктік шарты келесідей жазылады

немесе кейбір жағдайда келесі түрде

Сырықтың созылу, сығылу, таза иілу және бұралу секілді жүктелуінде беріктік көлденең, яғни сырық өсіне перпендикуляр қималарында орын алатын бір ғана кернеу арқылы анықталады (кернеулі күйдің бір құраушысы). Бірінші үш жағдайда есептеу тік кернеу s, ал бұралу кезінде – жанама кернеу t бойынша жүргізіледі. Соңғы жағдайда жоғарыда келтірілген формулаларда s орнына t қою керек. Жалпы жағдайда құрылым элементтерінде күрделі кернеулі күй орын алады, сонда есептік кернеу ретінде беріктік теорияларын қолданумен анықталатын эквивалент кернеуді алу керек.

Сырықтың жүктелу түрлерін реттеуді сырықтың көлденең қималарында орын алатын ішкі күш факторларына байланысты орындайды. Ішкі күш факторларын (ІКФ) анықтау үшін қималар әдісін қолданады (1-суретті қара). Бұл әдіс бойынша берілген сыртқы күш әсерінен тепе-теңдікте болатын сырықты кез келген көлденең қимасында ойша 2 бөлікке кесеміз (1,a суретті қара), сонда алып тастаған бөліктің қалған бөлікке әсерін белгісіз бір заңмен үлестірілетін ішкі күштермен ауыстыруға болады (1,б суретті қара). Статикадан кез келген күштер жүйесін бас вектор және бас моментке келтіруге болатыны белгілі. Көлденең қиманың ауырлық центрін келтіру центрі ретінде қабылдап, ішкі күштерді бас вектор мен бас момент -ге келтіреміз (1,в суретті қара). және векторларын х, у, z координаттық өстеріне проекциялап, алты ІКФ аламыз (1,г суретті қара). Өзара ортогоналды х, у, z өстері келесідей бағытталу керек: координаттық өстердің біреуі (бізде z өсі) – көлденең қимаға перпендикуляр; қалған екі координаттық өс қиманың бас инерция өстері деп аталатын өстермен түйісу керек (қиманың кемінде бір симметриялық өсі болған жағдайда координаттық өстердің біреуі сонымен түйісу керек).

Бүтін сырық тепе-теңдікте болғандықтан, оның бөліктері де тепе-теңдікте болу керек. Кез келген кесілген бөлік үшін тепе-теңдік шарттарын қолданып, берілген сыртқы күштер бойынша ІКФ анықтауға қиын емес.

Деректі жағдайда жүктелудің қай түрі болатынын анықтау үшін қарастырылатын сырықтың көлденең қималарында қандай ІКФ орын алатынын білу керек. Сырықтың әртүрлі қималарында ІКФ әртүрлі мәндерге ие болуы мүмкін. Әдетте ІКФ сырық өсі бойымен өзгеру заңын эпюр деп аталатын график түрінде көрсетеді. Эпюр өсінің формасы сырық өсін қайталайды; оған перпендикуляр қарастырылатын ІКФ-ң сәйкес көлденең қималардағы шамаларына пропорционалды кесінділерді, масштабты қолданумен (жуық шамамен рұқсат етіледі) тұрғызады. Эпюрді сырық өсіне перпендикуляр кесінділермен сызықтайды, сонда әр сызық эпюр өсіндегі нүктеге сәйкес келетін көлденең қимадағы қабылданған масштабта ІКФ шамасын білдіреді. Горизонталь тік сырық үшін эпюрлерді сырық сұлбасының астында тұрғызады.

Пластикалық материалдардан жасалған құрылымдардың статикалық жүктелуі кезінде қауіпсіз кернеу бойынша есептеуге қосымша шекті күй бойынша (яғни қираушы жүктеме бойынша, құрылымның көтергіш қабілеттілігі бойынша) есептеу жүргізіледі. Сол кезде шекті жүктеме ретінде, ол әрі қарай өсуі мүмкін емес жүктеме алынады, өйткені аққыштық шегіне тең кернеулер құрылымның бірнеше бөлек нүктелерінде емес, барлық көлденең қималарында орын алатынына байланысты құрылым геометриялық жағынан өзгермелі жүйеге айналады.

Құрылымды тексеру үшін немесе түсірілген жүктеме әсерінен пайда болатын орын ауыстырулар қауіпсіз мәндерден аспайтынын қанағаттандыратын құрылым өлшемдерін анықтау үшін қатаңдыққа есептеу жүргізіледі. Еске салайық: қатаңдық деп қатты денелердің жүктемені, өз өлшемдері мен формасын айтарлықтай өзгертпей қабылдау қабілеті аталады.

Деректі жағдайда есептеу мәселесі қалай қойылатынына байланысты әр есептеу әдісі есептердің үш түрін шешуге мүмкіншілік береді: тексеру есебін, жобалау есебін (элементтердің өлшемдерін анықтау), жүктеменің қауіпсіз мәнін анықтау.

1 Созылу және сығылу

Созылу деп сырықтың көлденең қималарында тек қана N бойлық күші орын алып, басқа ІКФ нөлге тең болатын сырықтың жүктелу түрін атайды. Формалды түрде сығылу созылудан тек қана N күшінің таңбасымен айырылады (созылу кезінде N күші сырықтың көлденең қимасының сыртқы нормалімен бірдей, ал сығылу кезінде – ішкі нормалімен бірдей бағытталады). Бірақ сонымен қатар сырықтың созылу және сығылу жағдайларында сапалы айырмашылықтар бар. Мысалы, ұзын сырықтардың сығылуы иілумен және орнықтылығынан айырылумен бірге орын алуы мүмкін. Біз осы бөлімде барлық қарастырылатын жағдайда сырықтың орнықтылығы камтамасыз етіледі деп есептейміз.

1.1 Бойлық күштердің эпюрлері

Қима әдісі бойынша сырықтың кез келген көлденең қимасында оның бір жағындағы сырық бөлігіне (яғни, осы қимамен кесілген сырықтың бір бөлігіне) түсірілген сыртқы күштердің бойлық z өсіне проекцияларының қосындысына тең

. (1.1)

Созылу кезінде N күші оң, ал сығылу кезінде – теріс болып есептеледі, сондықтан егер сыртқы күштің бойлық өсімен бағытталған құраушысы кесілген сырық бөлігінің сыртына қарай (яғни қимадан тыс) бағытталса, онда (1.1) өрнегінде сыртқы күштің проекциясы «+» таңбасымен алынады, егер кесілген сырық бөлігінің ішіне қарай (яғни қимаға қарай) бағытталса, оны «-» таңбасымен алу керек.

Әдетте түзу сызықты өсі бар сырықтардың созылуы сырық бойымен бағытталған сыртқы күш әсерінен пайда болады. Егер қадалған күштерден басқа, қарқындылығымен таралған бойлық күштер болса, онда (1.1) формуласына өрнегін қосу керек, мұндағы интегралдау таралған күштер түсірілген әр аралықтың ұзындығы бойынша жүргізіледі, ал қосу қарастырылатын қиманың бір жағында орналасқан аралықтар бойынша орындалады.

1 Мысал – 2а суретте көрсетілген сатылы-айнымалы қимасы бар сырық үшін бойлық күштер эпюрін тұрғызу керек. Сырық F₁ = 3 кН, F₂ = 7 кН және F₃= 14 кН күштерімен жүктеліп тұр, көлденең қималарының аудандары А₁= 10 см², A₂ = 20 см².

Шешуі. Қарастырылатын сырықтың 4 аралығы бар: ВС, CD, DE, ЕК. Аралықтардың шекаралары ретінде сыртқы күштер түсірілген немесе қималар ауданы секірмелі өзгеретін қималарды аламыз.

F₁, F₂, F₃ күштері сырық өсі бойымен бағытталғандықтан (сырық салмағы ескерілмейді), оның көлденең қималарында тек қана N бойлық күші пайда болады. Сырықтың К шеті қатты бекітіліп тұр. Барлық сыртқы күштер сырықтың z өсі бойымен бағытталғандықтан, тіректің R_K реакциясы тап сол өсі бойымен бағытталады (2,б-суретті қара). Барлық сыртқы күштердің z өсіне проекцияларының қосындысын нөлге теңестіріп, тепе-теңдік теңдеуін құрамыз

осыдан тіректің реакциясын табамыз

Енді бойлық күштерді анықтауға кіресеміз.

2 Сурет

Сырықтың ВС аралығының кез келген I-I қимасында бойлық күшті анықтайық. Ол үшін В және С арасында кез келген жерде жүргізілген I-I қимасымен сырықты ойша кесіп, оның сол жақ бөлігін ойша алып тастаймыз, қалған оң жақ бөлігіне I-I қимасында N₁ бойлық күшін түсіреміз (2,в суретті қара). (1.1) өрнегіне және таңбалар ережесіне сәйкес бойлық күшті келесідей анықтаймыз

ВС аралығының барлық қималары үшін бойлық күш тұрақты және 3 кН –ға тен.

CD аралығында N күшін табу үшін, оның кез келген жерінде II-II қимасын жүргізіп, сырықтың сол жақ бөлігін ойша алып тастаймыз (2,г суретті қара). Қалған оң жақ бөлігіне, оның тепе-теңдігі сақталу үшін N₂күшін қосу керек, оның мәнікелесіге тең болады

III-III қимасын жүргізіп және сырықтың сол жақ бөлігін ойша алып тастап (2,д суретті қара), DE аралығындағы N күшін анықтаймыз

N₃=N₂болатынын байқаймыз, яғни көлденең қима ауданының өзгеруі бойлық күшке әсерін тигізбейді, сонда екі CD мен DE аралығын бір СЕ аралығындай қарастыруға болатын еді.

ЕК аралығында N күшін анықтайық, ол үшін IV-IV қимасын жүргізіп, сол жақ бөлігін алып тастаймыз (2,е суретті қара)

Әр аралықта N күшін анықтағанда, сырықтың оң жақ бөлігін алып тастап, қалған сол жақ бөлігіне түсірілген күштерді қарастыруға да болатынын ескереміз. Мысалы, ЕК аралығы үшін (2,ж суретті қара)

N күшінің табылған мәндері бойынша оның эпюрін тұрғызамыз. Ол үшін сырық сұлбасының астында сырық өсіне параллель эпюрдің өсін жүргіземіз (2,и суретті қара), өске аралықтардың шекараларын проекциялаймыз және масштабты жуық шамамен ескеріп отырып, бойлық күштің шамаларына пропорционалды кесінділерді тұрғызамыз. Сонда өстен жоғары оң шамаларды, өстен төмен – теріс шамаларды тұрғызамыз. Қарастырыл-ған жағдайда әр аралықта N тұрақты, сондықтан әр аралықта эпюр өске параллель болып келеді. 2,в-ж суреттерде көрсетілгендей кесілген бөліктерді кескіндеу әлбетте емес екенін ескереміз, мұндағы ол көрнектілік үшін орындалды.

2 Мысал - 3,a суретте көрсетілген AG сырығы үшін N эпюрін тұрғызу керек. CD аралығында сырық тұрақты q қарқындылығымен таралған күштермен жүктеліп тұр.

Шешуі. Егер әрқашан қиманың тек қана оң жағындағы сырық бөлігі қарастырылатын болса, тірек реакциясын анықтамауға да болады.

N эпюрін тұрғызу үшін аралықтарды белгілейміз, сол кезде аралық шекаралары ретінде қадалған күштер түсірілген қималарды және таралған күш басталатын және аяқталатын қималарды аламыз. Әр аралықта кез келген қиманы жүргізіп (3,b-e суреттерді қара), N күшін анықтаймыз. Қима орнын z координатасы көмегімен белгілейміз, әр аралық үшін координат басы жеке алынуы мүмкін.

GE аралығы (0 £ z₁ £ 0,15 м): . GE аралығында бойлық күш жоқ.

ЕD аралығы (0,15 м £ z₂ £ 0,3 м): . ЕD аралығында бойлық күш тұрақты және теріс. Эпюрді тұрғызамыз (3,ж суретті қара).

DC аралығы (0,3 м £ z₃ £ 0,6 м): .

Осы аралықта бойлық күштің шамасы z₃ координатасымен анықталатын қиманың орнына тәуелді. Тәуелдік сызықты функция болғандықтан, эпюрді тұрғызу үшін шеткі қималарындағы N₃ мәндерін есептеу жеткілікті болады. Сонда z₃=0,3 м болғанда N₃=-F₂=-0,6 кН; z₃=0,6 м болғанда N₃=-F₂+q∙0,3=0,6 кН. Осы мәндерді сәйкес қималарда эпюр өсінен тұрғызып, екі нүктені түзумен қосамыз (3,ж суретті қара).

СВ аралығы (0,6м£ z₄ £ 0,8 м): N₄=-F₂+q×0,3 = 0,6 кН. Эпюр - өске параллель түзу, өйткені N₄ шамасы z₄ координатасына тәуелсіз.

ВА аралығы (0,8 м £ z₅ £ 0,9 м): N₅ = - F₂ + q∙0,3 +F₁ = 1,8 кН. Мұндағы да эпюр өзінің өсіне параллель болып келеді.

3 Мысал – Болаттан жасалған цилиндрлік және қимасы сатылы сырық 4,a суретте көрсетілгендей F = 100 H күшімен жүктеліп тұр. Сырық диаметрлері: D =0,2 м, d = 0,15м. Сырық салмағын ескеріп отырып, N эпюрін тұрғызу керек.

Шешуі. Қадалған F күшінен басқа сырық өз салмағынан пайда болатын таралған күштермен жүктеледі, олардын қарқындылығы: төменгі бөлікте q₁және үстінгі бөлікте - q₂ (4,а суретті қара). q₁ мен q₂ анықтаймыз

Н/м,

Н/м.

Мұндағы r - материалдың тығыздығы (болат үшін r = 7,8×10 кг/м³), g - еркін түсу үдеуі (g = 9,81 м/с²); А₁ және А₂ – сәйкес төменгі және жоғарғы аралықтағы көлденең қиманың ауданы.

Әр аралықта N күшін анықтап, эпюрді тұрғызамыз (4,в суретті қара). Төменгі аралықтағы N күшін, жүргі-зілген қиманың астыңғы жағынан түсірілген күштердің қосындысы ретінде анықтаймыз, сонда z₁координатасының басын сырықтың төменгі шетіне орнатып, келесіні аламыз: ; сонда болғанда болғанда кН.

Ортаңғы аралықта (сырық қимасы сатылы өзгеретін қимадан бастап F күші түсірілген қимаға дейін) жүргізілген қимадан төмен орналасқан бөлікті қарастырамыз. Сол кезде z₂ координатасының басын z₁ басымен түйістіріп, келесіні жазамыз: м болғанда кН; м болғанда кН.

Жоғарғы аралықта м болғанда кН, м болғанда кН.

N эпюрін, 4,г және 4,д суреттерде көрсетілген сәйкес өз салмағынан және F күшінен бөлек тұрғызылған эпюрлердің қосындысы ретінде табуға болатынын айта кетейік.

1.2 Созылу және сығылу кезіндегі негізгі арақатынастар

Созылу және сығылу кезінде сырықтардың көлденең қималарында тік кернеулер s орын алады, олар қима бойымен бірқалыпты үлестіріледі және келесідей анықталады

(1.2)

мұндағы N - қарастырылатын қимадағы бойлық күш;

А - көлденең қиманың ауданы.

Сырық шеттерінде созу F күштерімен жүктелген, қимасы тұрақты біртекті сырықтың абсолют ұзаруы келесі формуламен анықталады (сырық материалы Гук заңына бағынатын болса)

(1.3)

мұндағы Е - материалдың 1-ші ретті серпімділік модулі (Юнг модулі).

Жалпы жағдайда келесідей анықталады

. (1.4)

Мұнда интегралдау аралық ұзындығы бойынша, қосу – аралықтар саны бойынша орындалады.

Сырықтағы серпімді деформацияның потенциалдық U энергиясының жалпы формуласы келесі түрде жазылады

(1.5)

мұндағы интегралдау және қосу (1.4) формуладағыдай орындалады.

Шеттерінде F күштерімен созылып немесе сығылып тұрған сырық үшін потенциалдық энергиясын сыртқы күштердің жұмысы арқылы келесідей анықтауға болады

. (1.6)

Статикалық түрде анықталатын топсалы-сырықты жүйелердегі орын ауыстыруларды анықтау келесі жолмен орындалады. Статика теңдеулерінен жүйе элементтеріндегі бойлық күштер анықталады және Гук заңымен элементтердің абсолют ұзаруы табылады. Деформация кезінде жүйе элементтері бір-бірінен ажырамайтын болғандықтан, доғалар әдісін қолданумен орын ауыстырулар арасындағы геометриялық байланыстарды анықтап, ізделетін орын ауыстыруларды табады. Сол кезде жүйе элементтері ұзаруы және топсадан айналуы мүмкін екенін ескеріп отыру керек. Сондықтан элементтің әр нүктесі сырық өсі бойымен және сәйкес радиусы бар шеңбер бойымен қозғалады. Орын ауыстырулардың кішілігіне байланысты сол доғаларды радиустерге перпендикуляр жүргізілген кескіндерге ауыстыруға болады.

Гук заңы бойынша созылу немесе сығылу кезіндегі салыстырмалы бойлық деформация

(1.7)

ал салыстырмалы көлденең деформация

(1.8)

мұндағы m - материалдың көлденең деформациясының коэффициенті (Пуассон коэффициенті).

Көлденең қима ауданының және сырық көлемінің салыстырмалы өзгерулерін келесі формулалармен анықтауға болады

, (1.9)

(1.10)

Шеттерінде F күштерімен созылып немесе сығылып тұрған сырық үшін аламыз

. (1.11)

4 Мысал - 1 мысалда қарастырылған сырық үшін σ тік кернеулер мен көлденең қималардың z өсі бойымен w орын ауыстыруларуының эпюрлерін тұрғызу керек және сырықта жинақталған U потенциалдық энергиясын анықтау керек. Сырық материалы – болат, оның серпімділк модулі E=2∙10⁵ МПа.

Шешуі. Сырықты және 1 мысалда тұрғызылған N эпюрін кескіндейміз (5,а,б суреттерді қара).

Әр аралықтағы кернеулер (1.2) формуласымен анықталады:

σ эпюрі 5,в суретте көрсетілген.

Орын ауыстырулар w эпюрін тұрғызуға кірісеміз (5,г суретті қара). Эпюр тұрғызуын сырықтың сол жақ шетінен бастаймыз. Сол жақ шеті бекітіліп тұрғандықтан, оның орын ауыстыруы нөлге тең. КЕ аралығында кез келген қима жүргіземіз, оның орнын z₁координатасымен анықтаймыз. Осы қиманың өс бойымен w₁орын ауыстыруыұзындығы z₁ сырық бөлігінің абсолют ұзаруына тең болатыны анық. N және A аралықта тұрақты, сондықтан Орын ауыстыру w₁ мен координата z₁арасында сызықты тәуелдік болғандықтан, орын ауыстырулардың эпюрі аралықта көлбеу түзу болып келеді. Аралықтың шеткі қималарында сәйкес мәндерді анықтаймыз: z₁=0 болғанда w₁=0; z₁=0,3 м болғанда .

ЕК аралығындағы орын ауыстырулар теріс, яғни сырық мұндағы сығылып тұр, оған сәйкес қысқару деформациясы орын алады және барлық қималар сол жаққа қозғалады.

ED аралығында w₂орын ауыстыру ұзындығы z₂сырық бөлігінің ұзаруына тең w₂орын ауыстырудың шамасы z₂ координатасының сызықты функциясы, сондықтан эпюр түзу болып келеді және аралықтың шеткі қималарында оның мәндері келесіге тең: z₂=0,3 м болғанда w₂=-0,6∙10^{-5 м}; z₂=0,5 м болғанда

Тап осылай қалған екі аралықтағы эпюрді тұрғызамыз.

DC аралығында: z₃=0,5 м болғанда w₃=0,4∙10^{-5 м}, z₃=0,65 м болғанда w₃=0,775∙10^{-5 м.}

CB аралығында: z₄=0,65 м болғанда w₄=0,775∙10^{-5 м, z}₄=0,9 м болғанда w₄=0,963∙10^{-5 м.}Сырықтың оң жақ шетінің орын ауыстыруы сырықтың толық ұзаруына тең болатыны анық.

Сырық деформациясының потенциалдық энергиясын (1.5) фомуласымен анықтаймыз:

5 Мысал - 6,а суретте көрсетілген жүйенің серпімді сырықтарында тік кернеулерді және күш түсірілген нүктенің орын ауыстыруын анықтау керек.

Шешуі. Түйіндерді ойып алу әдісін қолданып (6,б суретті қара), түйіннің тепе-теңдік теңдеулерін жазамыз

Теңдеулерді шешіп, сырықтардағы бойлық күштерді анықтаймыз: N₁=11,0 кН және N₂=13,5 кН.

Сырықтардағы тік кернеулер келесіге тең:

В нүктесінің d орын ауыстыруын табу үшін алдымен сырықтардың абсолют ұзаруын анықтаймыз

Содан кейін доғалар әдісін қолданамыз (6,в суретті қара), сол кезде доғаларды деформацияланбаған күйдегі сырық орындарына жүргізілген перпендикулярлармен ауыстырамыз. Жүйе деформацияланған соң күш түсірілген нүктесінің орны, сол перпендикулярлардың қиылысу нүктесі болып табылады (В' нүктесі); жүйенің деформацияланған күйі үзілмелі сызықпен көрсетіліп тұр. ' векторы В нүктесінің толық орын ауыстыру векторы болып келеді. Сол орын ауыстырудың шамасы мен бағытын оның x және y өстеріне проекциялары арқылы анықтаймыз. Аламыз

Сонда және

1.3 Беріктікке және қатаңдыққа есептеу

Қауіпсіз кернеулер әдісі бойынша созылу немесе сығылу кезіндегі беріктікке есептеу келесі формула бойынша жүргізіледі

(1.12)

Мұнда σ – көлденең қимадағы есептелетін кернеу, N – бойлық күш, A - көлденең қиманың ауданы, - қауіпсіз кернеу.

Қауіпсіз кернеу берілген материал үшін шекті кернеудің бөлігі болып алынады

. (1.13)

Пластикалық материалдар үшін шекті кернеу σ_шекретінде оның аққыштық шегі σ_ақ алынады (егер материал созылу мен сығылуды бірдей қабылдамайтын болса, онда сәйкес σ_ақ.соз - созылу кезіндегі аққыштық шегі және σ_ақ.сығ - сығылу кезіндегі аққыштық шегі), ал морт материалдар үшін – олардың беріктік шегі (яғни уақытша кедергісі) σ_б алынады; материал созылу мен сығылуды бірдей қабылдамайтын жағдайда, сәйкес σ_б.соз - созылу кезіндегі беріктік шегі және σ_б.сығ – сығылу кезіндегі беріктік шегі алынады. (1.13) формуласында [n] – беріктік кепілдігінің нормативтік коэффициенті, оның мәні қарастырылатын құрылым жұмысының шарттарына және жауапкершілігіне, есептеу сұлбасының нақтылығына және тағы басқа факторларға тәуелді.

Сырық қимасы тұрақты болған жағдайда есептеуді N бойлық күшінің модулі ең үлкен мәнге ие болатын қима үшін орындау жеткілікті болады. Сырық қимасы айнымалы болған жағдайда алдымен кернеулері ең үлкен болатын қауіпті қиманы анықтау керек, содан кейін есептеуді сол қима үшін жүргізу керек.

Егер беріктікті қамсыздандырудан басқа, жүйе нүктесінің немесе қимасының орын ауыстыруы қауіпсіз [δ] шамасынан аспау шарты қойылса, онда қатаңдыққа тексеру келесі шарт бойынша жүргізіледі

δ ≤ [δ] . (1.14)

6 Мысал - Болаттан жасалған BD сырығы С қимасында F күшімен жүктеледі (7,а суретті қара). [σ] = 200 МПа, А = 2 см², l =0,5 м, Е=2·10⁵ МПа және сырықтың оң жақ шетінің орын ауыстыруының қауіпсіз мәні [δ]_D = 0,3 мм қабылдап, қауіпсіз [F] күшін табу керек.

Шешуі. Сырықтың ВС аралығы созылу күйінде болады (N = F), CD аралығында бойлық күш жоқ; N эпюрі 7,б суретте көрсетілген. 7,в суретте сырық қималарының өс бойымен w орын ауыстыру эпюрі көрсетілген, сол кезде CD аралығында барлық қималардың орын ауыстырулары бірдей болып келеді. Беріктік шартынан

F күшінің қауіпсіз мәнін анықтаймыз

Қатаңдық шартынан

тағы F күшінің қауіпсіз мәнін анықтаймыз

[F] күшінің екі мәнін салыстыруы анықтаушы шарт ретінде қатаңдық шарты болатынын көрсетеді, яғни екі шартқа да қанағаттандыру үшін [F] = [F]_[_d_]= 12 кН алу керек; сол кезде w_D мәні [δ]_D тең болады, ал кернеулер [σ] мәнінен кіші болады.

7 Мысал – Келесі үш жағдайда тастан құрылған колоннаның көлемін анықтау керек: 1) қарапайым призмалық (немесе цилиндрлік) колонна (8,а суретті қара); 2) екі призмалық (немесе цилиндрлік) аралықтан құрылған колонна (8,б суретті қара); 3) бірқалыпты қарсыласу колоннасы, яғни барлық көлденең қималарында кернеулер тең болатын колонна (теңберіктік колонна). Сығу күші F=2,0 МН, колонна биіктігі h=30 м, материалдың тығыздығы ρ=1,5·10³ кг/м³, қауіпсіз кернеу [σ]=1,2 МПа.

Шешуі. 1) Бұл жағдайда беріктік шарты келесі түрде жазылады

осыдан

2) Колоннаның жоғарғы бөлігі үшін беріктік шарты келесі

осыдан

Астыңғы бөлік үшін жазылған беріктік шартынан

анықтаймыз

Сонда колонна көлемі

3) Екі шексіз жақын қимамен кесіліп алынған сырық элементін қарастырып (1.8 в, г суреттерді қара), тепе-теңдік теңдеуін келесі түрде жаза аламыз осыдан Осы өрнекті интегралдаған соң келесіні аламыз немесе . Сонда z=0 болғанда теңдеу жоғарғы көлденең қиманың A_min ауданын береді, ол тең болу керек, сондықтан тұрақты, бірқалыпты қарсыласатын сырық ауданының өзгеру заңы келесі болады Колонна табанындағы қима ауданы

Колоннаның көлемін табу үшін алдымен оның G салмағын анықтаймыз, ол астыңғы және жоғарғы қималардағы бойлық күштердің айырмашылығына тең:

Енді колонна көлемі

Барлық үш жағдайдағы колонна көлемін салыстырып, теңберікті колонна үшін ұтыс болатынын көреміз.

8 Мысал – 9,а суретте көрсетілген сырық жүйесі үшін F=40 кН, [σ_соз]=100 МПа, [σ_сығ]=60 МПа қабылдап, беріктік шартын тексеру керек.

Шешуі. Алдымен 1 және 2 сырықтағы бойлық күштерді анықтаймыз, ол үшін В түйінін ойып аламыз және алып тастаған бөліктердің әсерін олардың N₁және N₂ реакцияларымен ауыстырамыз. Жазық тоғысатын күштер жүйесі үшін тепе-теңдік теңдеулерін барлық күштердің x және y өстеріне проекцияларының қосындылары түрінде жазамыз

осы теңдеулерден келесі күштерді табамыз

Мұндағы «-» таңбасы N₂күштің шынайы бағыты алдында қабылданған бағытқа қарсы екенін білдіреді, яғни 2 сырық сығылады.

Сырықтар көлденең қималарының аудандарын анықтаймыз

Енді сырықтар көлденең қималарындағы тік кернеулерді анықтап, оларды қауіпсіз кернеулермен салыстырамыз

Осыдан беріктік шарты 2 сырық үшін орындалатынын, ал 1 сырық үшін орындалмайтынын көреміз. Сондықтан бүтін құрылым үшін беріктік шарты орындалмайды, яғни ол үлкен пластикалық деформация алуы немесе (және) қирауы мүмкін.

9 Мысал - АВ қатты білеуі А нүктесінде топса арқылы бекітілген және көлденең қимасы дөңгелек, болаттан жасалған CD сырығымен ұсталып тұр (10,а суретті қара). Беріктік шартынан CD сырығы көлденең қимасының диаметрін анықтау керек. Берілгені: , ,

Шешуі. АВ білеуін А нүктесінде байланыстан ойша босатып және CD сырығын қиып, алып тастаған байланыстардың әсерін белгісіз Н_А, V_A және N реакция күштерімен ауыстырамыз. Барлық үш реакция қарастырылатын жазық күштер жүйесі үшін жазуға болатын үш тепе-теңдік теңдеулерінен анықталуы мүмкін. Бірақ есепті шығару үшін тек қана N күшін білу керек, сондықтан бір теңдеуді құрамыз осыдан

Беріктік шартынан

аламыз м².

Сырық диаметрі келесі шартты қанағаттандыру керек

1.4 Статикалық түрде анықталмайтын жүйелерді есептеу

Статикалық түрде анықталмайтын жүйелер деп байланыстар реакцияларын және барлық элементтердегі ІКФ тек қана тепе-теңдік теңдеулерін қолданып, анықтауға болмайтын жүйелер аталады. Белгісіз шамалар мен статиканың тәуелсіз теңдеулер санының айырмашылығы жүйенің статикалық анықталмау дәрежесі деп аталады. Статикалық түрде анықталмайтын жүйелер шешудің жалпы жоспары келесідей:

а) статика теңдеулерін құрады және статикалық анықталмау дәрежесін анықтайды;

б) жүйенің деформацияланған жағдайын қарастырып, жеке элементтердің деформацияларын байланыстыратын теңдеулерді құрады (деформациялар теңдеулерін);

в) деформациялар теңдеулерінде деформациялардың (ұзарулардың) шамаларын Гук заңы бойынша күштер арқылы өрнектейді;

г) статика теңдеулері мен түрлендірілген деформациялар теңдеулерін бірге шешеді.

Статикалық түрде анықталмайтын жүйелер сырықтарының температурасы өзгергенде, сырықтың l ұзындығына, материалдың сызықтық кеңею α коэффициентіне және температураның ∆t өзгеруіне тәуелді температуралық деформациялар пайда болады. Осы деформациялар әдетте деформациялар теңдеулерін қанағаттандырмайды, сондықтан сырықтарда серпімді кернеулер және оларға сәйкес келетін серпімді деформациялар пайда болады. Қосынды деформациялар (серпімді және температуралық) деформациялар теңдеулерін қанағаттандыру керек. Температуралық кернеулер ескерумен есептерді шығару жоғарыда көрсетілген жалпы тәртіп бойынша орындалады, сол кезде сырықтың қосынды ұзаруы келесідей анықталады

(1.15)

мұндағы– сырықтың (1.3) немесе (1.4) формуламен анықталатын серпімді абсолют ұзаруы;

- сырықтың температуралық абсолют ұзаруы, ол келесі формуламен анықталады

(1.16)

Статикалық түрде анықталмайтын жүйелерді өндеу кезінде, сырықтарды шеттерімен біріктіруді күштер түсірілмей орындау керек, ол үшін сырықтар өлшемдері нақты болу керек. Керісінше жағдайда монтаждық, яғни бастапқы кернеулер орын алады. Монтаждық кернеулерді анықтау статика теңдеулері мен деформациялар теңдеулерін қолданумен орындалады. Сол кезде соңғы шарттарда жүйе элементтері ұзындықтарының берілген дәлсіздіктерін ескеру керек. Гук заңы бойынша жазылған ұзарулардың өрнектеріне шынайы емес, жобаланған ұзындықтарын қояды, өйткені олардың өзара айырмашылығы өте аз шама болып келеді.

Қауіпсіз кернеулер бойынша есептеу кезінде ең үлкен кернеуі бар сырықта шартының орындалуын қанағаттандыру керек. Егер қауіпсіз кернеу аққыштық шегі σ_ақ арқылы анықталатын болса, онда статикалық түрде анықталмайтын жүйелер үшін беріктік кепілдігінің шынайы мәні статикалық түрде анықталатын жүйелердегі кепілдігінен әрқашан артық болып шығады. Оны келесімен түсіндіруге болады: статикалық түрде анықталатын жүйелердің кемінде бір элементінде кернеу аққыштық шегіне жетуі сәйкес байланыс жоғалатынын білдіреді, сонда жүйе кинематикалық өзгеретін жүйеге айналады. Статикалық түрде анықталмайтын жүйелерде барлық элементтерінде кернеу аққыштық шегіне жеткенде ғана оның жүк көтергіш қабілеті жойылады, яғни аққыштық тізбекпен барлық сырықтарда орын алатын жағдайда ғана жүйе кинематикалық өзгеретін жүйеге айналады.

Прандтль диаграммасы

11 Сурет

Жүк көтергіш қабілеті бойынша (шекті жағдай бойынша) есептеу келесі жолмен орындалады. Сырық материалы идеал серпімді-пластикалық болатынын болжамдап (материал үшін 11 суретте көрсетілген Прандтль диаграммасы қабылданады), жүктеменің шекті мәні есептеледі. Сол кезде жүктеменің шекті мәні F_ақ тек қана тепе-теңдік теңдеулерінен анықталады (деформациялар теңдеуі керек емес), өйткені шекті жағдайда сырықтардағы бойлық күштері тең. Берілген [n] беріктік кепілдігі үшін [F] қауіпсіз күші тең.

10 Мысал - АВ қатты денесі А топсалы тірегімен және екі болаттан жасалған 1 және 2 сырықтарымен ұсталып тұр (12,а суретті қара). Сырықтар көлденең қималарының аудандары А₁:А₂=1:3 қатынасымен байланысатынын қабылдап, олардың көлденең қималарының аудандарын беріктік шартынан таңдау керек. Есепте келесі берілген: σ_ақ=240 МПа, [n]=1,5, a=d=2 м, b=4,5 м, c=e=2,5 м,

Шешуі. Денеге әсер ететін барлық актив және реактив күштерін түсіріп (12,б суретті қара), тепе-теңдік теңдеулерін құрамыз

Үш тепе-теңдік теңдеуінде 4 белгісіз күш бар, сондықтан жүйе бір рет статикалық түрде анықталмайтын жүйе болып келеді.

12 Сурет

Орын ауыстырулардың (деформациялардың) теңдеуін құру үшін жүйенін бастапқы күйі мен оның деформацияланған күйін қарастырайық (12,в суретті қара). Сырықтардың ұзару нәтижесінде АВ денесі А топсадан түзу болып айналады. Орын ауыстырулардың кішілігіне байланысты АВ дененің барлық нүктелері вертикаль төмен қозғалады деп есептейміз. Сонда D топсаның орын ауыстыруы 1 сырықтың абсолют ұзаруына тең: 2 сырықтың ұзаруын, С нүктесінен сырықтың жаңа орнына перпендикуляр түсіріп аламыз, сонда қарастырып және β бұрышы кішкене деп, яғни φ бұрышы деформацияланған күйде бұрыңғыдай қалады деп алып, анықтаймыз ADD₁ және ACC₁ үшбұрыштарының ұқсастығынан аламыз немесе осыдан деформациялардың теңдеуін келесі түрде аламыз:

Гук заңы бойынша жазамыз оларды деформациялардың теңдеуіне қойып, табамыз

Осыдан А₂=3А₁ қатынасын ескеріп, аламыз Осы өрнекті соңғы тепе-теңдік теңдеуіне қойып, табамыз

және бойлық күштер қатынасынан

Қауіпсіз кернеу әдісі бойынша сырықтардың созылу кезіндегі беріктік шартынан () сырықтар көлденең қималарының аудандарын анықтаймыз

Бірақ көлденең қималардың аудандары А₂=3А₁берілген қатынасын да қанағаттандыру керек. Сондықтан бір жолата аламыз

Сол кезде сырықтардағы кернеулер келесіге тең болады

11 Мысал – 10 мысалда қарастырылған құрылым үшін табылған аудандарды және қабылдап, сырықтар температурасының өзгеру себебінен пайда болатын кернеулерді анықтау керек.

Шешуі. Егер D және C нүктелерінде сырық деформацияларына еш нәрсе кедергі жасамаса, онда температураның өзгеруіне байланысты олар сәйкес және шамаларына ұзаратын еді (12,г суретті қара). Болат үшін α = 1,25·10^-5 1/ºС. Жалпы жағдайда осы ұзарулар деформациялар теңдеуін қанағаттандырмайтын болғандықтан, сырықтарда және күштері пайда болады. Белгілілік үшін 1 сырық созылады, ал 2 сырық сығылады деп алайық, яғни AB денесі кейбір орнын алады дейміз, сонда нүктесі нүктесінен төмен, ал нүктесі нүктесінен жоғары орналасады. Егер есептеу нәтижесінде күштің таңбасы теріс шықса, онда оның шынайы бағыты қабылданған бағытқа қарсы болады.

Тепе-теңдік теңдеуін келесі түрде жазамыз осыдан

және үшбұрыштарының ұқсастығынан кішілігін ескеріп, аламыз СС₄=C₂C₃, және

Жоғарыда мен арасындағы алынған қатынасын осыған қойып және есептеулерді жүргізіп, аламыз

Сонымен 1 сырықта сығылу кернеулері 2 сырықта – созылу кернеулері орын алады.

12 Мысал - 10 мысалда қарастырылған құрылым үшін табылған аудандарды және қабылдап, 2 сырық жобаланған ұзындығынан 0,02% қысқа өнделгенін ескеріп, құрастырудан кейін пайда болатын кернеулерді анықтау керек.

Шешуі. Құрылымды құрастырған соң денесі 12,д суретте көрсетілгендей көлбеу орналасады. Сол кезде 1 сырық DD₁=Δl₁ шамасына қысқарады, ал 2 сырық C₂C₃₌ Δl₂ шамасына ұзарады, және күштерінің бағыттары бірден дұрыс анықталады. Сонда

Тепе-теңдік теңдеуін келесі түрде жазамыз

осыдан

және үшбұрыштарының ұқсастығын пайдаланып, деформациялар теңдеуін жазуға болады. Аламыз бірақ осыдан аламыз Ұзаруларды күштер арқылы өрнектеп, жазамыз

Осыған тепе-теңдік теңдеуінен алынған өрнегін қойып, түрлендіру мен есептеуді жүргізіп анықтаймыз Сонда сырықтардағы кернеулер келесіге тең болады

13 Мысал - 10 мысалдың шарты бойынша көлденең қималардың аудандарын шекті күйлер әдісін қолданып таңдау керек; екі жағдайдағы материал шығынын салыстыру керек.

Шешуі. Жүйенің шекті жағдайын қарастырып (12,е суретті қара), тепе-теңдік теңдеуін келесі түрде жазамыз

мұндағы F_шек- жүйенің шекті жүктемесі (жүк көтергіш қабілеті).

Осы теңдеуді [n] мәніне бөліп және алып, болатынын ескеріп, жазамыз , осыдан аламыз

Сырықты өндеу үшін G_қ қауіпсіз кернеу әдісімен және G_шек шекті күй әдісімен анықталатын материал шығынын салыстырамыз

Сонымен, шекті күй әдісі материалдың 5% тең үнемдігін береді.

2 Бұралу

Бұралу деп сырықтың көлденең қималарында тек қана бұраушы момент Т=М_z орын алып (1,г суретті қара), басқа ІКФ нөлге тең болатын сырықтың жүктелу түрі аталады.

2.1 Бұраушы моменттердің эпюрі

Қималар әдісі бойынша сырықтың кез келген көлденең қимасындағы бұраушы момент Т сырықтың кесілген бір бөлігіне түсірілген сыртқы күштердің бойлық өске қатысты моменттерінің алгебралық қосындысына тең

. (2.1)

Егер сырыққа күштер жұптары түсірілген болса, (2.1) формуласының оң жағына олардың да моменттері кіреді.

Егер байқаушы көлденең қимасының сыртқы нормалі ν жағынан қарағанда, бұраушы момент сағат тілінің жүрісіне қарсы бағытталатын болса, онда бұраушы момент Т шартты түрде оң (13 суретті қара), ал сағат тілінің жүрісіне бағыттас болса – теріс деп есептеледі (14 суретті қара).

Осыған сәйкес, егер байқаушы сыртқы күш немесе күштер жұбының моментін сағат тілінің жүрісіне бағыттас болатының көрсе, онда (2.1) өрнегінде сол моментті “+” таңбасымен, ал сағат тіліне қарсы бағытталатынын көрсе, онда «-» таңбасымен алу керек.

13 Сурет

14 Сурет

Түзу сызықты өсі бар сырықтардың бұралуы әдетте 13 және 14 суреттерде көрсетілгендей, өске перпендикуляр жазықтықтарда жататын күштер жұптарының әсерінен пайда болады. Егер осыған қосымша сырық бойымен m қарқындылығымен таралған сыртқы моменттер болса, онда (2.1) формуласы келесі түрде жазылады

. (2.2)

Сурет жазықтығына перпендикуляр жазықтықта жатқан күштер жұптарын көрсету үшін екі дөңгелек түрінде шартты кескін қолданылады, сол кезде нүктесі бар дөңгелек байқаушыға бағытталған күшті, ал крестісі бар дөңгелек – байқаушыдан әрі қарай бағытталған күшті білдіреді.

Бұраушы Т моменттерінің эпюрін тұрғызу мысалдарын қарастырамыз.

14 Мысал – 15 суретте көрсетілген сырық үшін Т эпюрін тұрғызу керек.

Шешуі. Сырықта 2 аралық бар. Екеуінде де бұраушы Т моментін анықтағанда, қиманың сол жағындағы сырық бөлігінің тепе-теңдігін қарастырамыз, сол кезде қатты бекітпенің реактивтік моментін анықтамауға болады.

1-ші аралықта (15,б суретті қара): 0£ z₁ £ a, T₁= = M.

2-ші аралықта (15,в суретті қара): а £ z₂ £ а+в, Т₂== М-3М =-2М.

Әр аралықта бұраушы момент тұрақты, Т эпюрі 15, г суретте келтірілген.

г)

16 Сурет

15 Сурет

15 Мысал - 16,а суретте көрсетілген сырық үшін Т эпюрін тұрғызу керек.

Шешуі. Реактивтік моментті анықтамай ақ, сырықтың оң жағынан бастап 3 аралықты бірінен соң қарастырамыз.

Рисунок 15

1-ші аралықта (16,б суретті қара): 0 £ z₁ £ 0,4 м, Т==0.

2-ші аралықта (16,в суретті қара): 0 £ z₂ £ 0,5, Т==-M=-5 кН·м.

3-ші аралықта (16,г суретті қара): 0 £ z₃ £ 0,5 м, Т==-M+m·z₃ . Бұл аралықта Т шамасы қиманың z₃координатасына сызықты тәуелді, сондықтан эпюр көлбеу түзу болып келеді. Аралықтың шекті қималарында Т мәндерін анықтаймыз: z₃=0 болғанда T=-5 кН·м, z₃=0,5 м болғанда Т=-5+14·0,5=2 кН·м.

Т эпюрі 16,д суретте көрсетілген.

2.2 Жанама кернеулер. Бұралу бұрышы және деформацияның потенциалдық энергиясы

Диаметрі d дөңгелек көлденең қимасы бар сырықтың бұралу кезінде оның көлденең қималарында τ жанама кернеулері пайда болады (17,а суретті қара), олар қарастырылатын нүктеден қиманың центріне дейін r арақашықтығына пропорционал болады:

(2.3)

мұндағы - дөңгелек қиманың полюстік инерция моменті.

Ең үлкен жанама кернеулер центрден ең үлкен қашықтықта орналасқан нүктелерде орын алады және олар келесіге тең

(2.4)

мұндағы - дөңгелек қиманың полюстік қарсыласу моменті.

Қимасы дөңгелек сырықтың l ұзындығымен аралықтың j бұралу бұрышын, Т және d тұрақты болған жағдайда келесі формуламен анықтайды

(2.5)

мұндағы - материалдың ығысу модулі.

Егер сырықтың бірнеше аралығы болса және Т мен d шамасы кез келген заңдылықпен өзгеретін болса, онда сырықтың толық бұралу бұрышы келесі формуламен анықталады

(2.6)

мұндағы интегралдау әр аралықтың ұзындығы бойынша, ал қосу – сырықтың барлық аралықтары бойынша орындалады.

Сақина түріндегі қима үшін жоғарыдағы формулаларды қолданады, сол кезде

, (2.7)

(2.8)

мұндағы D мен d – қиманың сәйкес сыртқы және ішкі диаметрлері.

Сырықтың қимасы дөңгелек емес жағдайда (2.4) - (2.6) формулаларында W_р және J_p орнына сәйкес W_б және J_б, яғни қиманың бұралу кезіндегі қарсыласу моментін және инерция моментін қою керек, олардың өрнектері қиманың әртүрлі формалары үшін оқулықтарда және анықтамалықтарда келтіріледі. Қималары дөңгелек және сақина тәрізді сырықтар үшін W_б=W_p, J_б=J_p.

Бұралу кезінде сырықта пайда болған потенциалдық энергиясы келесі формуламен анықталады

(2.9)

мұндағы интегралдау және қосу (2.6) формуласындағыдай орындалады.

16 Мысал - 18,а суретте көрсетілген білік үшін бұраушы моменттердің, кернеулердің және бұралу бұрыштардың эпюрлерін тұрғызу керек. Ығысу модулі G=8·10⁴ МПа. Сырықта жинақталған потенциялдық энергияны анықтау керек.

Шешуі. Қарастырылатын білік қимасының оң жағында түсірілген сыртқы моменттерді қосып, бұраушы моменттердің эпюрін тұрғызамыз (18,б суретті қара).

Әр аралықтағы максималды жанама кернеулер (2.4) формуласымен анықталады, сонда I аралық үшін см³, II және III аралық үшін см³.

Білік өсі бойымен τ_max өзгеру эпюрі 18,в суретте көрсетілген; үш аралық үшін радиус бойымен τ өзгеру эпюрі 18,г суретте көрсетілген.

Бұралу бұрыштардың j эпюрін j=0 болатын қатты бекітпеден бастап тұрғызамыз.

18 Сурет

АВ аралығында қатты бекітпеден z₁ қашықтығында орналасқан қиманың бұралу бұрышы мұндағы бұрышының z₁ координатасына тәуелділігі түзу сызықпен кескінделеді: болғанда z₁=0,6 м болғанда рад.

ВС аралығында осы бұрышқа келесі шама қосылады , мұндағы z₂ координатасы B қимасынан бастап алынады. СD аралығында j эпюрі тап осылай тұрғызылады.

Деформацияның потенциалдық энергиясы келесідей анықталады

2.3 Қауіпсіз кернеулер әдісі бойынша беріктік пен қатаңдыққа есептеу

Қауіпсіз кернеулер әдісі бойынша қимасы тұрақты сырықтың бұралу кезіндегі беріктікке есептелуі келесі формуламен орындалады

(2.10)

мұндағы Т_max – модулі ең үлкен бұраушы момент;

W_б – сырық көлденең қимасының бұралуға қарсыласу моменті, ол қимасы дөңгелек сырық үшін W_р полюстік қарсыласу моментіне тең;

- қауіпсіз жанама кернеу, ол сырық материалы үшін шекті кернеудің бір бөлігіне тең:

(2.11)

Пластикалық материалдар үшін t_шек ретінде ығысу кезіндегі аққыштық шегі t_ақ, ал морт материалдар үшін - ығысу кезіндегі беріктік шегі t_б алынады.

Кейбірде l ұзындығындағы j бұралу бұрышы [j] қауіпсіз бұралу бұрышынан аспау бойынша қосымша шарт қойылады. Осы жағдайда қатаңдыққа есептеу тұрақты қима және тұрақты бұраушы момент үшін келесі шарт бойынша орындалады

(2.12)

Кейбірде қатаңдық шартын салыстырмалы бұралу бұрышына қояды:

Айналатын біліктер үшін білік арқылы берілетін Р қуаты мен біліктегі момент (ол Т бұраушы моментіне тең) арасындағы тәуелдікті қолдану керек болады

Р=Т·ω (2.13)

мұндағы - біліктің бұрыштық жылдамдығы (рад/с),

n – біліктің бір минут ішінде жасайтын айналым саны (айналу жиілігі).

17 Мысал – Турбинаның қуыс білігі айналу жиілігі 100 айн/мин болғанда 5 МВт тең қуат береді. Біліктің ішкі d₁ диаметрі сыртқы диаметрдің жартысына d/2 тең, қауіпсіз кернеу 30 МПа, қауіпсіз салыстырмалы бұралу бұрышы [θ] =2 град/м, ығысу модулі G=8·10⁴МПа тең деп алып, біліктің d диаметрін анықтау керек.

Шешуі. Білік арқылы берілетін моментті анықтаймыз

МН·м.

Беріктік шартынан қиманың қажетті полюстік қарсыласу моментін анықтаймыз

м³.

(2.8) формуласы бойынша

осыдан

м = 442 мм.

Қатаңдық шартынан қиманың қажетті инерция моментін анықтаймыз

м⁴.

(2.7) формуласынан табамыз

м=48,1 мм.

Осыдан анықтаушы шарт ретінде беріктік шарты болатынын көреміз, сондықтан келесіні аламыз: d=442 мм, d₁=221 мм.

18 Мысал - 17 мысалдың шарттары үшін тұтас біліктің d_т диаметрін анықтап, екі жағдайдағы материал шығынын салыстыру керек.

Шешуі. 17 мысалда табылған W_p қажетті шамасы бойынша диаметрді анықтаймыз

м.

Қажетті J_p бойынша диаметрді табамыз

м.

Соңында d_т=443 мм аламыз, ал материал шығыны қима ауданына пропорционал болады, сонда

Сонымен, тұтас білік жағдайында материал шығыны 28% жоғары болады.

2.4 Статикалық түрде анықталмайтын жүйелер

Статикалық анықталмауды ашу статика теңдеулері мен деформациялар теңдеуін бірге шешуге келтіріледі. Мысалы, екі шеті қатты бекітілген, тек қана сыртқы күштер жұптарымен жүктелген және бірнеше түзу сызықты, өстері беттескен элементтерден тұратын жүйе үшін тепе-теңдік теңдеу барлық сыртқы актив және реактив күштер жұптарының алгебралық қосындысын нөлге теңестіру, ал деформациялар теңдеуі - барлық аралықтар-дың бұралу бұрыштарының алгебралық қосындысын нөлге теңестіру түрінде жазылады.

19 Мысал - 20,а суретте көрсетілген білік үшін t_ақ=200 МПа, [n]=1,5 , M=15кН·м , l=1 м тең деп алып, беріктік шартынан білік диаметрін анықтау керек. Максималды жанама кернеулердің және бұралу бұрыштардың эпюрлерін тұрғызу керек.

Шешуі. А және С қималарындағы белгісіз реактивтік моменттерді М_A және М_Cарқылы белгілеп(20,б суретті қара), тепе-теңдік теңдеулерін келесі түрде жазамыз

SМ_z=-М_А+М-М_С=0.

Деформациялар теңдеуін А және С қималары қозғалмайтындығынан аламыз

20 Сурет

.

Екі теңдеуді бірге шешіп, аламыз . Бұраушы моменттердің эпюрін тұрғызамыз (20,в суретті қара).

Беріктік шартынан ескеруімен біліктің диаметрін анықтаймыз

Диаметрдің мәнін сызықты өлшемдердің стандарт қатарындағы ең жақын мәніне дейін жуықтап алуға болады, сонда d=75 мм аламыз. Жуықтау кішірейту арқылы орындалғандықтан, білік жүктемесінің асыра тиілгендігі болады; кернеулер полюстік қарсыласу моменттеріне кері пропорционал, ал олар диаметрлердің үшінші дәрежесіне пропорционал, сонда жүктеменің асыра тиілгендігі келесіге тең және шамасы аз болғандықтан, оны қабылдауға болады.

Алынған диаметр үшін максималды жанама кернеулердің және бұралу бұрыштардың эпюрлері 20,г,д суреттерде көрсетілген.

3 Ығысу

Ығысу деп сырықтың көлденең қималарында тек қана көлденең күш (кесу күші) Q орын алып, басқа ІКФ нөлге тең болатын сырықтың жүктелу түрі аталады. Көптеген жағдайда осыған жақын жүктелуді машина немесе құрылым элементтерін біріктіруге арналған тетікбөлшектер алады - тойтармалар, штифттар, бұрандалар (саңылаусыз қойылған жағдайда) және т.б. (21 суретті қара).

21 Сурет

Аталып кеткен тетікбөлшектер жұмысының шынайы шарттары ығысудан күрделі болып келеді. Олар құрылымды өндеудің және құрастырудың технологиясына айтарлықтай тәуелді болады. Сол кезде элементтердің көлденең қималарында тек қана көлденең күш Q емес, қосымша июші момент М және соған байланысты тік кернеулер s пайда болады. Бірақ инженерлік практикада осы тетікбөлшектерді есептеу шартты түрде орындалады, ол келесі болжамдарға негізделеді:

а) көлденең қималарда бір ғана ІКФ орын алады – көлденең күш Q;

б) көлденең қималар бойымен жанама кернеулер бірқалыпты үлестіріледі, яғни t = Q/A;

в) егер біріктіру бірнеше бірдей біріктіру элементтері көмегімен орындалса (бұрандалар, тойтармалар және т.б.), онда жүктеме олардың арасында бірқалыпты үлестіріледі деп есептеледі (біріктірілетін тетікбөлшектердің жапсар жазықтығындағы күштер жұптарымен жүктелуден басқа жағдайларда).

Біріктіруші элементтердің беріктігі жеткіліксіз болғанда, олардың қирауы біріктірілетін тетікбөлшектер жапсарының беті бойымен орын алады. Сондықтан осы элементтер кесілуге жұмыс атқарады деп айтады, сол кезде көлденең қимадағы жанама кернеуді t_кес арқылы белгілейді.

Кесілу кернеулері бойынша беріктік шарты келесі түрде жазылады

(3.1)

мұндағы Q – көлденең күш; бірнеше бірдей элемент болғанда Q=F/i (F – жалпы жүктеме, i - элементтер саны);

A_кес – бір элементтің кесілу ауданы;

[t_кес] - кесілуге қауіпсіз кернеу (әдетте [t_кес] = (0,25...0,3)·s_ақ, мұндағы s_ақ- элемент материалының аққыштық шегі).

Кесілуге есептеу біріктіруші элементтердің беріктігін қамтамасыз еткен мен жалпы құрылымның сенімділігіне кепілдік бермейді. Егер қосылатын тетікбөлшектердің қалындығы кішкене болса, онда біріктіруші элементтері мен қосылатын тетікбөлшектер қабырғаларының арасындағы қысым себебінен соңғылардың жаншылуы орын алады, сонда біріктіру сенімділігінен айырылады. Элементтер мен қабырғалар арасындағы қысымдар жаншылу кернеулері деп аталады және s_жан арқылы белгіленеді. Тетікбөлшектер қабырғаларының жаншылуы болмау үшін жаншылуға есептеу келесі беріктік шарты бойынша орындалады

(3.2)

мұндағы F/i - бір біріктіруші элементке түсірілген жүктеме;

А_жан – жаншылудың есептік ауданы;

[s_жан] - жаншылуға қауіпсіз кернеу (аз көміртекті болаттар үшін [s_жан] = 100....120 МПа).

22 Сурет

Жаншылудың есептік ауданы ретінде жанасу жазықтықпен орын алғанда (21,д суретті қара) жанасу бетінің шынайы ауданы алынады, цилиндрлік бетімен орын алғанда – жанасу бетінің диаметрі арқылы өтетін жазықтыққа проекциясы алынады, яғни А_жан = d·d (диаметр мен қалындықтың көбейтіндісіне тең). Қосылатын тетік-бөлшектердің қалындығы әртүрлі болғанда, формулаға d_min қою керек.

Кесілу мен жаншылуға есептеуден басқа қосылатын тетікбөлшектерді бәсеңделген қимасы бойынша созылуға беріктігін тексеру керек және күштің әсер ету сызығы бойымен элемент бөлігін кесілуге есептеу керек (22 суретті қара). Барлық есептеу түрлері 20 мысалда қарастырылады.

20 Мысал - 1 және 2 тетікбөлшек өзара тесіктеріне салынған 3 сырық (штырь) арқылы қосылады (23 суретті қара) және F күштерімен жүктеледі. Қауіпсіз кернеулерді созылуға [s_соз] = 120 МПа, кесілуге [t_кес] = 80 МПа, жаншылуға [s_жан] = 210 МПа алып, F күштің қауіпсіз мәнін анықтау керек.

Шешуі. Қауіпсіз күш ретінде тетікбөлшектерді созылуға, қосатын сырықты кесілуге, тесіктер беттерін жаншылуға және олардың шеттерін опырылуға есептеу арқылы табылған күш мәндерінің ең кішісін алу керек.

1. 1 тетікбөлшекті созылуға есептеу арқылы табамыз:

а) I-I қимасы бойынша

F^I_{қауіпс.соз} = кН;

б) II-II қимасы бойынша

F^II_{қауіпс.соз} = [s_соз] ·2(b₁-d_ш)·d₁=46,1 кН.

2. 2 тетікбөлшекті созылуға есептеу арқылы табамыз:

а) III-III қимасы бойынша

F^III_{қауіпс.соз}=[s_соз] ·b₂·d₂ =43,2 кН;

б) II-II қимасы бойынша

F^IV_{қауіпс.соз} = [s_соз]·(D-d_ш)·d₂ =28,8 кН.

3. Қосатын сырықты кесілуге есептеуден табамыз

F_{қауіпс.кес} = [t_ср] кН.

4. Тесіктер беттерін жаншылуға есептеуден табамыз:

- 1 тетікбөлшек үшін: А^I_жан = 2d₁·d_ш = 320 мм²;

- 2 тетікбөлшек үшін: А^II_жан = d₂·d_ш = 240 мм².

Ең көп жүктеліп тұрған 2 тетікбөлшек, ол үшін жаншылу ауданы А_min = 240 мм². Осыдан

F_{қауіпс.жан} = [s_жан]×A^II_жан = 50,4 кН.

5. Тесік шеттерін опырылуға есептеу арқылы табамыз:

а) 1 тетікбөлшек тесігі үшін (ab=см=е₂ бойынша опырылу)

F^I_{қауіпс.оп.} = [t_кес]×2е₂×2d₁ = 58,9 кН;

б) 2 тетікбөлшек тесігі үшін (ак=се»е₁ бойынша опырылу)

F^II_{қауіпс.оп.} = [t_кес]×2е₁×d₂=38,4 кН.

Сонымен қауіпсіз күш F_{қауіпс.}=28,8 кН. Ол 2 тетікбөлшектің созылуға беріктігімен шектеледі.

4 Сырықтың көлденең қималарының геометриялық сипаттамалары

Иілу есептерін шешу кезінде сырық көлденең қималарының кейбір геометриялық сипаттамалары қолданылады; осы тарауда олардың анықтамалары, қасиеттері және есептеу әдістері қарастырылады.

4.1 Қиманың статикалық моменттері

Кез келген жазық фигураны x, y координат жүйесінде қарастырайық (24 суретті қара). Келесі интегралдар

, (4.1)

фигураның сәйкес x өсіне және y өсіне қатысты статикалық моменттері деп аталады. Мұнда А – қима ауданы, dA – ауданның шексіз аз элементі, x және y – осы элементтің координаттары.

Координат өстерін параллель көшіргенде статикалық моменттердің өзгеруін қарастырамыз (25 суретті қара). Мұнда x₂ = x₁- a; y₂ = y₁– b болатыны анық. Сонда

, . (4.2)

а мен b шамаларын және нөлге тең болатындай таңдауға болады (олар жалғыз ғана болып табылады). Оған қатысты статикалық момент нөлге тең болатын өс, центрлік өс деп аталады. Центрлік өстердің қиылысу нүктесі қиманың ауырлық центрі деп аталады.

(x₁, y₁) координат жүйесінде ауырлық центрдің координаттары келесідей анықталады

, . (4.3)

(4.3) формулалары бойынша кері есепті де шешуге болады – қиманың берілген ауданы мен ауырлық центрінің координаттары бойынша оның статикалық моменттерін анықтауға болады.

Қарапайым фигуралардан немесе қысыммен өнделген стандартталған профильдерден құрастырылған күрделі қималардың ауырлық центрін анықтау кезінде келесі формулаларды қолданады

, (4.4)

мұндағы А_i , x_i , y_i - құраушы i фигураның сәйкес ауданы мен оның ауырлық центрінің координаттары.

21 Мысал – Параболалық СОВ үшбұрышы ауырлық центрінің орнын анықтау керек (26 суретті қара), егер ОС=b, aл ОВ параболасы у=а·хⁿтеңдеумен сипатталатын болса.

Шешуі. Алдымен h биіктігін анықтаймыз, h=a·bⁿ. Содан кейін dА=у·dx=a×xⁿ×dx анықтап, ауданды табамыз

Фигураның у өске қатысты статикалық моменті (4.1) формуласымен анықтаймыз

S_x анықтау үшін dA элементін басқаша өрнектейміз, dA=(b-x)·dy=(b-x)·n·a·х^n-1·dx. Сонда (4.1) формуласымен аламыз

Ауырлық центрінің координаттарын (4.3) формулаларымен анықтаймыз

22 Мысал – 27 суретте көрсетілген күрделі құралған қиманың ауырлық центрінің орнын анықтау керек.

27 Сурет

Шешуі. Қиманы қарапайым фигураларға бөлеміз: үшбұрыш, тік төртбұрыш пен жарты дөңгелекке. х, у координат жүйесін қабылдап, құраушы фигуралардың ауырлық центрлерінің координаттарын анықтаймыз.

Үшбұрышта ауырлық центрі табанынан биіктіктің 1/3 бөлігіне тең қашықтықта орналасады; тік төртбұрышта – симметриялық өстерінің қиылысу нүктесінде; жарты дөңгелекте – симметриялық өсінде тік диаметрінен тең қашықтықта орналасады.

Құралған фигураның ауданы

Оның ауырлық центрінің координаттарын х, у координат жүйесінде (4.4) формулалары бойынша анықтаймыз

4.2 Қималардың инерция моменттері. Инерция радиустері

Кез келген жазық фигура үшін (24 суретті қара) келесі интегралдарды

, (4.5)

фигураның х және у өстеріне қатысты өстік инерция моменттері деп атайды, ал келесі анықталған интегралды

(4.6)

- қиманың өзара перпендикуляр х және у өстеріне қатысты өрістік (центрден тепкіш) инерция моменті деп атайды.

Центрлік х₀,у₀ өстерінен оларға параллель және олардан a мен b қашықтықтарында орналасқан x, y өстеріне көшкенде, фигураның инерция моменттері келесі формулалармен есептеледі

(4.7)

Кері жағдайда, яғни центрлік емес өстерден центрлік өстерге көшкенде, (4.7) өрнектерінде екінші қосылымның алдындағы “+” таңбалары “-” таңбаларына ауыстырылады.

Координат өстерін айналдырғанда (28 суретті қара) өстік және өрістік инерция моменттері келесі формулалармен есептеледі

(4.8)

Өстік инерция моменттері ең үлкен және ең кіші мәндерге ие болатын, ал өрістік инерция моменті нөлге тең болатын өстер бас инерция өстері, сол өстерге қатысты өстік инерция моменттері бас инерция моменттері деп аталады. Бас инерция өстерінің х,у координат жүйесіндегі орны келесі формуламен табылатын a₀бұрышы арқылы анықталады

(4.9)

Бас инерция моменттері деп бас инерция өстеріне қатысты өстік инерция моменттері аталады; олардың мәндері келесі формуламен анықталады

(4.10)

Қиманың ауырлық центрінен өтетін бас инерция өстері бас центрлік өстері, ал оларға қатысты инерция моменттері – бас центрлік инерция моменттері деп аталады.

Егер қиманың кемінде бір симметриялық өсі болса, сол өс және оған перпендикуляр, ауырлық центрінен өтетін өс бас центрлік өстері болып келеді.

Күрделі қималардың кез келген өстерге қатысты инерция моменттерін құраушы фигуралардың сол өстерге қатысты сәйкес инерция моментерін қосу арқылы анықтайды.

Төменде 29 суретте көрсетілген тік төртбұрыш, дөңгелек, сақина үшін бас центрлік инерция моменттерінің формулалары келтіріледі.

Тік төртбұрыш үшін

(4.11)

Дөңгелек үшін

. (4.12)

Сақина үшін

. (4.13)

Сақина мен дөңгелек үшін барлық центрлік өстер бас инерция өстері болып келеді және оларға қатысты инерция моменттері өзара тең болады. Осындай қасиетке кез келген екі бас центрлік моменті бірдей болатын қима ие болады (мысалы, квадрат немесе теңқабырғалы үшбұрыш).

Стандартталған профильдер (қоставрлар, швеллерлер, бұрыштар) үшін инерция моменттерінің мәндері анықтамалықтарда келтіріледі.

Жазық фигураның х өсіне қатысты инерция радиусы деп келесі шаманы атайды

(4.14)

мұндағы J_x - қарастырылатын х өсіне қатысты фигураның өстік инерция моменті;

А – фигураның ауданы.

23 Мысал - Жарты дөңгелек түріндегі қиманың (30 суретті қара) бас центрлік өстерінің орнын және бас центрлік инерция моменттерінің мәндерін анықтау керек.

Шешуі. Ауырлық центрдің орнын анықтаймыз. Ол симметриялық өсінде (у өсінде) орналасатыны анық. Көмекші х₁,у₁өстерін таңдаймыз; сонда , , dA=2R·cosa·dy₁, y₁=R·sina, dy₁=d(R·sina)=R·cosa∙dα және

Симметриялық у өсі және орны табылған х өсі бас центрлік инерция өстері болып келеді. Бас центрлік инерция моменттерінің мәндерін есептейміз

;

және, болғандықтан,

24 Мысал – 31 суретте көрсетілген қиманың бас центрлік инерция моменттерін есептеу керек.

Шешуі. Қиманың симметриялық өсі болғандықтан, оның ауырлық центрі сол өсте орналасады. Қиманы 3 тік төртбұрышқа жіктеп, табамыз

Қиманың х өсіне қатысты инерция моментін, тік төртбұрыш үшін (4.11) және көшіру (4.7) формулаларын қолданып, анықтаймыз

Қиманың у өсіне қатысты инерция моментін, у өсі бүтін қима үшін де, оны құраушы фигуралар үшін де центрлік өс болып келетінін ескеруімен табамыз. Сонда аламыз

25 Мысал - 32,а суретте көрсетілген қиманың бас центрлік инерция моменттерін анықтау керек.

Шешуі. 1) Ауырлық центрдің координаттарын анықтаймыз, ол үшін көмекші х₁ және у₁ өстерін қабылдаймыз. Қиманы құрайтын швеллер мен бұрыш үшін түржиын (сортамент) кестесінен қажетті деректерді жазып алып, 1 кестеге енгіземіз.

х_с және у_с координаттарын анықтаймыз

1 К е с т е

Фигуралар	Қиманың ауданы A, см²	Ауырлық центрінің орны z₀, см²	Өз өстеріне қатысты инерция моменттері, см⁴
Фигуралар	Қиманың ауданы A, см²	Ауырлық центрінің орны z₀, см²	горизонталь өске қатысты	вертикаль өске қатысты	J_{x0 (max)}	J_{y0 (min)}

Швеллер №20а	25,2	2,28	1670	139	-	-
Бұрыш 10010010	19,2	2,83	179	179	284	74,1

Содан кейін көмекші центрлік х және у өстерін жүргіземіз. Қиманың ауырлық центрі бұрыш пен швеллердің ауырлық центрлерін қосатын сызықта орналасу керек екенін айтып өтейік.

2) х және у өстеріне қатысты инерция моменттерін есептейміз

х және у өстеріне қатысты өрістік инерция моментін (4.7) формуласымен есептейміз. Швеллердің горизонталь өсі симметриялық өсі болғандықтан, швеллер үшін оның центрлік өстері x′, y′ бас инерция өстері болып келеді және Бұрыш үшін оның центрлік өстері х^″, у″ бас өстері болмайды. Ол үшін х₀, у₀бас инерция өстері болып келеді, өйткені х₀– симметриялық өсі (32,б суретті қара). (4.8)-ң үшінші формуласы бойынша болған кезде

см⁴.

Сонда бүтін қиманың х, y өстеріне қатысты өрістік инерция моменті келесіге тең

(4.9) формуласы бойынша бас өстерінің көлбеу бұрышын анықтаймыз

Осы бұрышты сағат тілінің жүрісіне қарсы тұрғызып, u және v бас центрлік инерция өстерін жүргіземіз.

4) Бас центрлік инерция моменттерін (4.10) формуласымен есептейміз:

см⁴.

Сондықтан J_max=2536 см⁴, J_min=476 см⁴ және, J_x>J_yболғандықтан, J_max – u өсіне қатысты инерция моменті, ал J_min – v өсіне қатысты инерция моменті болып табылады.

5 Тік иілу

Иілу деп сырықтың көлденең қималарында июші момент M орын алатын жүктелу түрі аталады. Егер июші момент жалғыз ІКФ болса, онда таза иілу орын алады. Көптеген жағдайда қимада июші моментпен қатар көлденең күш Q пайда болады, онда көлденең иілу орын алады.

33 Сурет

Иілуге жұмыс атқаратын сырықты әдетте арқалық деп атайды. Екі тірек арасындағы арқалық бөлігі оның аралығы деп аталады. Арысты (консольды) арқалық деп бір шеті қатты бекітілген, ал екінші шеті бекітілмеген арқалық аталады. Арыс (консоль) деп арқалық тіректерінен тыс тұрған арқалық бөлігі аталады (осы жағдайда арқалық ұзындығы аралық ұзындығынан көп болады). Сырықтың бас инерция жазықтығы ретінде көлденең қиманың бас центрлік инерция өстерінің біреуі мен сырықтың бойлық өсі арқылы өтетін жазықтықты түсінеді. Егер барлық сыртқы күштер (тірек реакцияларын қосқанда) бір ғана сырықтың бас инерция жазықтықтарының біреуіменен беттесетін жазықтықта орналасса, онда сырықтың майысқан өсі де сол жазықтықта орналасады, мұндай жағдайдағы иілу тік немесе жазық иілу деп аталады. Мысалы, егер барлық сыртқы күштер zy жазықтығында орналасса (33 суретті қара), онда сырықтың көлденең қималарында көлденең күш Q_y және июші момент M_x пайда болады. Егер бастапқы арқалық өсі түзу сызықты болса, ол майысады және майысқан өс тап сол zy жазықтығында орналасады. Арқалық талшықтары дөңес жағында ұзарады, ал ойыс жағында – қысқарады, сонда олардың арасында талшықтардың ұзындықтары өзгермейтін, тек қана майысатын қабат болады, ол бейтарап қабат деп аталады. Бейтарап қабаттың арқалықтың көлденең қимасымен қиылысу сызығы бейтарап сызық деп аталады. Тік иілу кезінде бейтарап сызық, күштердің әсер ету жазықтығына перпендикуляр орналасқан көлденең қиманың бас центрлік инерция өсімен беттеседі.

5.1 Көлденең күштер мен июші моменттердің эпюрлері

Көлденең күш Q_y деп қарастырылатын көлденең қимадағы ішкі күштердің тең әсерлі күшінің бас центрлік у өсіне проекциясы аталады (1,в суретті қара). Ол қарастырылатын қимамен кесілген сырық бөліктерінің біреуіне түсірілген барлық сыртқы күштердің у өске проекцияларының алгебралық қосындысына тең

. (5.1)

Егер көлденең күш, сырықтың кесілген бөлігін қиманың ауырлық центріне қатысты сағат тілінің жүрісіне бағыттас айналдыруға тырысса, ол оң деп есептеледі. Сонда (5.1) өрнегінде F_k күштерінің таңбаларын 33,б суретте көрсетілген ережемен алуға болады: сырықтың кесілген бөлігін қарастырылатын қиманың нүктесіне қатысты сағат тілінің жүрісіне бағыттас айналдыруға тырысатын сыртқы күш оң көлденең күшті пайда болғызады.

Июші момент M_x деп ішкі күштердің қарастырылатын көлденең қиманың ауырлық центріне қатысты бас моментінің x бас инерция өсіне проекциясы аталады (1,в суретті қара). Яғни, июші момент M_x қарастырылатын көлденең қимадағы ішкі күштердің көлденең қиманың x бас центрлік инерция өсіне қатысты қосынды моменті болып келеді. Ол қарастырылатын қимамен кесілген сырық бөліктерінің біреуіне түсірілген барлық сыртқы күштердің x өсіне қатысты моменттерінің алгебралық қосындыына тең

. (5.2)

Июші моменттердің эпюрін әдетте сығылған талшық үстінде тұрғызады. Сонда деформацияланбаған қалпында бойлық өсі горизонталь орналасқан арқалық үшін сыртқы күш моментінің (немесе сыртқы күштер жұбы моментінің) таңбасы келесі ереже бойынша алынады: егер сол күш (немесе күштер жұбы) қарастырылатын қимаға қатысты арқалық бөлігінің төмен жағын дөңес болғызып майыстыруға тырысса, оның моменті «+» таңбасымен алынады (эпюрдің оң ординаттары өстен жоғары тұрғызылатын шартта); керісінше жағдайда моменті «-» таңбасымен алу керек. Сәйкес ереже 33,в суретте көрсетілген. Сұлбаларда арқалық қалындығын әдетте көрсетпейді, сондықтан (5.2) өрнегінде орнына жазуға болады, мұндағы С –одан қарастырылатын қима өтетін, арқалық өсіндегі нүкте

. (5.2)

Тап осылай Q_x және M_y ұғымдары енгізіледі.

Көлденең күштер мен июші моменттердің эпюрлерін тұрғызу кезінде әдетте әр аралықтағы Q мен M өрнектерін құрастырады, сонда аралықтар шекаралары ретінде шеткі қималар, сыртқы күштер мен күштер жұптары (сыртқы моменттер) түсірілген қималар, қарқындылығы q белгілі бір заңмен өзгеретін таралған күштердін басталатын және аяқталатын қималары алынады. Жылдамырақ эпюрлерді мінездемелік нүктелер бойынша тұрғызуға болады, сол кезде жалпы заңдылықтарды, соның ішінде июші момент M , көлденең күш Q және таралған күштердің қарқындылығы q арасындағы тәуелдіктерді, ескеріп отыру керек. Бұл тәуелдіктер келесідей:

, (5.3) . (5.4)

Төменде Q және M эпюрлері үшін негізгі заңдылықтар келтіріледі:

а) қадалған сыртқы күш түсірілген арқалық қимасында Q эпюрінде сол күштің шамасына тең секіріс орын алады, ал M эпюрінде жанаманың көлбеу бұрышы өзгереді (яғни сынық орын алады);

б) сыртқы күштер жұбы (сыртқы момент) түсірілген арқалық қимасында M эпюрінде сол моменттің шамасына тең секіріс орын алады;

в) таралған күштер жоқ арқалық аралығында көлденең күш тұрақты, ал июші моменттің эпюрі сызықты болады (Q эпюрі абсцисс өсіне параллель түзумен, ал M эпюрі – көлбеу түзумен шектеледі);

г) бір қалыпты таралған күштермен жүктелген арқалық аралығында көлденең күш сызықты заңмен, ал июші момент M – квадратты заңмен өзгереді (Q эпюрі көлбеу түзумен, ал M эпюрі - квадратты параболамен шектеледі);

д) Q эпюрі абсцисса өсін қиып өтетін (нөлден өтетін) қимада, июші момент экстремалды мәніне ие болады;

е) егер таралған күштер төменге қарай бағытталса (q<0), M эпюрі дөңес жағы жоғарыда болатын параболамен кескінделеді;

ж) аралықтың екі қима арасындағы июші момент мәндерінің өзгерісі сол екі қима арасындағы көлденең күш эпюрінің ауданына тең болады.

25 Мысал – Берілген арқалық үшін (34,а суретті қара) Q және M эпюрлерін тұрғызу керек.

Шешуі. Q және M эпюрлерін тұрғызу алдында тірек реакцияларын анықтау керек. Тіректерді ойша алып тастап, олардың әсерін реакция күштерімен ауыстырамыз.

34 Сурет

B нүктесінде топсалы-жылжымалы тірек орналасқан, оның реакциясы тірек бетіне әрқашан перпендикуляр болады, мұнда оны жоғары қарай бағыттаймыз (34,б суретті қара). A нүктесінде топсалы жылжымайтын тірек орналасқан, оның реакциясы жалпы жағдайда жазықтықта кез келген бағытталуы мүмкін, яғни реакциясының 2 құраушысы болады. Қарастырылатын жағдайда басқа барлық күштер вертикаль болғандықтан, A тіректің реакциясы да вертикаль болады, оны да жоғары қарай бағыттаймыз. Тепе-теңдік теңдеулерін A және B нүктелеріне қатысты барлық күштер моменттерінің қосындылары түрінде жазамыз

Осыдан, берілген мәндерді қойып, табамыз

Тепе-теңдік теңдеуін барлық күштердің y өсіне проекцияларының қосындысы түрінде жазып, реакциялар дұрыс табылғанын көреміз

Эпюрлерді тұрғызуға көшеміз. Арқалықтың 5 аралығы бар.

I аралықта кез келген қима жүргізіп, кесілген арқалықтың сол жақ бөлігін қарастырамыз (34,в суретті қара); кез келген қиманың орнын z₁ координатасы арқылы анықтаймыз . Сонда (5.1) формуласы бойынша таңбалар ережесін ескерумен аламыз Мұнда Q₁шамасы z₁координатасына сызықты тәуелді, сондықтан Q₁ эпюрі көлбеу түзу болып келеді. Сол түзуді тұрғызу үшін Q₁ мәндерін шекаралық қималарда есептейміз: z₁=0 болғанда ; z₁=a болғанда . эпюрінде (34,и суретті қара) сәйкес мәндерді тұрғызып, түзу жүргіземіз.

(5.2) формуласы бойынша таңбалар ережесін ескерумен июші моментті анықтаймыз: . шамасы z₁координатасының квадратты функциясы болып келеді, сондықтан М эпюрі квадратты параболамен кескінделеді. Қарастырылатын аралықта параболаның төбесі болуы мүмкін. Оны білу үшін (5.3) өрнегін қарастырамыз, одан параболаның төбесі болатын қимада орын алатыны анық. Біздің жағдайымызда параболаның төбесі қимада орын алады. Сонымен қарастырылатын аралықта мәндерін тек қана оның шекаралық қималарында анықтаған жеткілікті болады: z₁=0 болғанда , z₁=a болғанда . Эпюр 34,к суретте көрсетілген; оның дөңес жағы (5.4) формуласына сәйкес белгілейтін нұсқамаларға қарсы бағытталады.

ІІ аралықта эпюрлерді тұрғызамыз, ол үшін ІІ аралықта кез келген қима жүргіземіз. Кесілген арқалықтың сол жақ бөлігін қарастырамыз; кез келген қиманың орнын z₂ координатасы арқылы анықтаймыз, оның басын арқалықтың сол жақ шетіне орналастырған ыңғайлы болады (34,г суретті қара). Сонда : - мұнда Q₂ шамасы координатасына сызықты тәуелді; Q₂ эпюрі – түзу; болғанда ; болғанда . эпюрін ІІ аралықта тұрғызамыз (34,и суретті қара).

ІІ аралықта июші моменттің өрнегін жазамыз: - бұл координатасына квадратты тәуелдік; эпюр – парабола; нөлден өтпейтін болғандықтан, мәндерін тек қана шекаралық қималарда анықтаған жеткілікті болады:

z₂=a болғанда ;

z₂=a+b болғанда

Табылған мәндер бойынша эпюрін ІІ аралықта тұрғызамыз (34,к суретті қара).

ІІІ аралықты қарастырамыз. Арқалықты осы аралықтағы кез келген қимасымен екі бөлікке кесеміз. Алдынғыдай арқалықтың сол жақ бөлігін қарастырамыз, кез келген қима орнын координатасы арқылы анықтаймыз, оның басын ІІІ аралықтың сол шақ шетіне орналастырамыз (34,д суретті қара). координатасы келесі шектерде өзгереді: . Көлденең күштің өрнегін жазамыз: . Бұл - координатасына сызықты тәуелдік; эпюрі – түзу; болғанда ; z₃=c-b болғанда

Табылған мәндер бойынша эпюрін ІІІ аралықта тұрғызамыз (34,и суретті қара).

Июші моменттің үшінші аралықтағы өрнегін жазамыз: . Бұл - координатасына квадратты тәуелдік; эпюр – парабола болып табылады. Аралықта нөлден өтетін болғандықтан, июші моменттің максималды мәніне сәйкес келетін параболаның төбесі болады (өйткені шамасы оң таңбадан теріс таңбаға ауысады); сәйкес мәнін өрнегін нөлге теңестіріп табамыз: ; осыдан .

Июші моменттің үш нүктедегі мәндері келесі болады:

z₃=0 болғанда ;

z₃=2,15 м болғанда ;

z₃=3 м болғанда . .

Табылған мәндер бойынша эпюрін ІІІ аралықта тұрғызамыз (34,к суретті қара).

IV және V аралық үшін қималардың оң жағында орналасқан арқалық бөліктерін қарастырамыз.

34,е суретте V аралықта Q және эпюрлерін тұрғызу үшін қиманың оң жағындағы арқалық бөлігі көрсетілген; кез келген қима орны координатасымен анықталады, оның басы арқалықтың оң шетімен түйістірілген .

Сонда - координатасына тәуелсіз; эпюр – абсцисса өсіне параллель түзу болып келеді.

- ол координатасына сызықты тәуелді, эпюр – көлбеу түзу; z₅=0 болғанда ; z₃=l-d болғанда . M эпюрі 34,к суретте көрсетілген.

34,ж суретте IV аралықта Q және эпюрлерін тұрғызу үшін қиманың оң жағындағы арқалық бөлігі көрсетілген; кез келген қима орны, басы арқалықтың оң шетінде орналасатын z₄ координатасымен анықталады .

Сонда - z₄ координатасына тәуелсіз; эпюр – абсцисса өсіне параллель, тап сол V аралықтағы түзудің жалғасы болып келеді (34,и суретті қара). Июші моменттің өрнегі: - ол z₄ координатасына сызықты тәуелді, эпюр – көлбеу түзу; z₄= l - d болғанда ;

z₄= l - c болғанда .

M эпюрі 34,к суретте көрсетілген.

26 Мысал – 35,а суретте көрсетілген арқалық үшін M₀=16 кНм, M₁=4 кНм, F=30 кН, q=10 кН/м, a=b=2 м, с=4 м болғанда Q және M эпюрлерін тұрғызу керек.

Шешуі. Тірек реакцияларын анықтаудан бастаймыз, ол үшін тепе-теңдік теңдеулерін құрастырамыз (реакция күштері 35,а суретте үзілмелі сызықпен көрсетілген).

осыдан

«-» таңбасы реакция бағыты алдында қабылданған бағытқа қарсы болатынын көрсетеді; 35,б суретте реакциялардың шынайы бағыттары көрсетілген.

Тексеру теңдеуі реакциялар дұрыс табылғанын көрсетеді

Эпюрлерді мінездемелік нүктелер бойынша тұрғызамыз.

І аралықта (35,б суретті қара) Q_I тұрақты (таралған күштер жоқ болғандықтан), оның модулі R_A=3,5 кН тең және таңбасы теріс (І аралықтағы кез келген қиманың сол жағында төмен бағытталады) – 35,в суреттегі эпюрді тұрғызамыз. Июші моменттің эпюрі мұнда сызықты, кемитын болады (Q_I теріс болғандықтан), аралықтың сол жақ шетінде мәнінен басталады, ал оң жақ шетінде келесіге тең (мұндағы R_A мәнін «+» таңбасымен алдық, өйткені өрнегінде біз реакцияның шынайы бағытын ескердік). Эпюр 35,г суретте көрсетілген.

ІІ аралықта Q_II эпюрінің түрі І аралықтағыдай болады: Июші момент сызықты заңмен өзгереді және аралықтың сол жақ шетінде мәніне ие болады ( мәніне жоғары қарай секіріс болады); оң жақ шетінде .

36 Сурет

35 Сурет

ІІІ аралықта көлденең күш сызықты заңмен өзгереді (аралықта бірқалыпты таралған күштер болғандықтан). ІІІ аралықтың сол жақ шетінде эпюрде шамасына тең секіріс болады: . Оң жақ шетінде, арқалықтың сол жақ бөлігін қарастыратын болсақ, . Егер оң жақ бөлігін қарастырсақ, онда шамалары бірдей шықты. Июші момент ІІІ аралықта квадратты заңымен өзгереді. Эпюр сол жақ шетінде мәнінен басталады, аралықтың бір жерінде максималды шамасына ие болады ( эпюрі нөлден өтетін қимада) және оң жақ шетінде нөлге тең болу керек. Соңғысын тексереміз: . Енді июші моменттің аралықтағы максималды мәнін іздейміз. эпюрін құрайтын үшбұрыштар ұқсастығынан аламыз , осыдан . Аралықтың сол жақ шеті мен максималды момент болатын қима арасындағы июші момент мәндерінің өзгерісі оң және сол екі қима арасындағы көлденең күш эпюрінің ауданына тең болғандықтан, аламыз .

27 Мысал - 36,а суретте көрсетілген арқалық үшін эпюрлерді тұрғызу керек.

Шешуі. Арқалықта екі аралық бар. Қатты бекітпедегі R реакциясы мен M_R реактивтік моментін анықтамау үшін, екі аралықта да қимамен кесілген оң жақ бөлікті қарастырамыз.

I аралықта : , ол z₁ координатасына тәуелсіз; - бұл түзудің теңдеуі; сонда болғанда , болғанда .

II аралықта : - түзудің теңдеуі; болғанда ; z₂=a болғанда . Июші момент - бұл параболаның теңдеуі; аралықта Q₂таңбасын өзгертпейтін болғандықтан, параболаның төбесі болмайды; болғанда ; болғанда . Эпюрлер 36,б,в суреттерде көрсетілген.

28 Мысал - ABC арқалығы үшін модулі максималды июші моментті анықтау керек (37,а суретті қара).

Шешуі. ABC аралығына үстіндегі DCE арқалығының тіректері арқылы жүктеме түсіріледі, оны анықтау үшін DCE арқалығын бөлек қарастырамыз (37,б суретті қара). Тепе-теңдік теңдеулерін жазып, тіректердің R_D және R_Cреакцияларын анықтаймыз

, , осыдан

, .

R_D теріс болып шықты, яғни D нүктесіндегі DCE арқалығына ABC арқалығынан түскен күш төменге бағытталады.

Енді ABC арқалығын қарастырамыз (37,в суретті қара). D нүктесінде түсірілген күш , және жоғарыға бағытталады. C нүктесінде әсер ететін күш , және төмен бағытталады. R_A және R_B реакцияларын жоғарыға бағыттап, оларды тепе-теңдік теңдеулерінен анықтаймыз.

, осыдан ;

, осыдан

R_Aреакциясы алдында қабылданған бағытқа қарсы болып шықты. 36,в суретте бастапқы бағыты сызылып, қасында шынайы бағыты көрсетілген. Вертикаль өске барлық күштердің проекцияларының қосындысы нөлге тең болатынын тексеруге қиын емес.

Максималды июші моментті анықтау үшін, M эпюрін тұрғызамыз. Қарастырылатын жағдайда Q эпюрін тұрғызбауға болады, өйткені таралған күштер жоқ, сондықтан аралықтар ішінде июші моменттің экстремалды мәндері орын алмайды – әр аралықта M эпюрі бір сарынды.

A тірегінің үстінде июші момент нөлге тең; D қимасында ол R_A күшінің моментімен анықталады, яғни . C қимасында июші момент нөлге тең, ал B тірегінің үстінде табамыз .

Сонымен, июші моменттің максималды модулі

29 Мысал - 38,а суретте көрсетілген арқалық үшін Q және M эпюрлерін тұрғызу керек.

Шешуі. Үшбұрыш заңымен таралған күштердің тең әсерлі күші сол үшбұрыштың ауданына тең болатынын және оның әсер ету сызығы үшбұрыштың ауырлық центрінен өтетінін ескеріп, тепе-теңдік теңдеулерінен тірек реакцияларын анықтаймыз:

, осыдан ;

, осыдан .

Барлық күштердің вертикаль өске проекцияларының қосындысын тексеріп, реакциялар дұрыс табылғанын көреміз:

Арқалықтың бір ғана аралығы бар. Сол жақ тірегінен кез келген z қашықтығында қима жүргізіп, арқалықты екі бөлікке кесеміз және сол жақ бөлігін қарастырамыз: ; мұндағы q_z=q₀∙z/l болғандықтан, - бұл параболаның теңдеуі. Q туындысы z=0 болғанда нөлге тең, сондықтан эпюрдің төбесі z=0 қимасында орын алады, содан кейін ол бір сарынды кемиді, өйткені q<0. Эпюрдің қисықтығы теріс, өйткені . Эпюрді тұрғызамыз (38,б суретті қара): z=0 болғанда z=l болғанда . Q=0 болатын z* координатасын анықтаймыз. өрнегінен аламыз . Мұнда тек қана оң мәнінің мағынасы бар, яғни

Июші моменттердің эпюрін тұрғызамыз (38,в суретті қара). A және B тіректерінде M=0 болатыны анық. z қимасындағы июші моменттің өрнегін келесідей жазамыз

Содан кейін Q=0 болатын қимада максималды июші моментті анықтаймыз

39 Сурет

38 Сурет

30 Мысал – Берілген июші моменттер эпюрі бойынша (39,а суретті қара) көлденең күштердің эпюрін тұрғызу керек және сол эпюрді туындататын жүктемені анықтау керек.

Шешуі. Эпюрді 4 аралыққа бөлеміз. Эпюрге жүргізілген жанаманың көлбеу бұрышының тангенсі сәйкес қимадағы көлденең күшті береді. Әр аралықта жанаманың көлбеу бұрыштары тұрақты болып тұр.

І аралықта:

ІІ аралықта:

ІІІ аралықта:

IV аралықта:

Табылған мәндер бойынша көлденең күштердің эпюрін тұрғызамыз (39,б суретті қара). Аралықтарда көлденең күштер әртүрлі болғандықтан, арқалық A, B, C, D, E қималарында қадалған күштермен жүктеледі. Сол күштерге Q эпюрінде секірістер және M эпюрінде сынықтар сәйкес келеді. Осыдан басқа D қимасында арқалық M₀=5F∙a/6 қадалған моментпен (күштер жұбымен) жүктеледі.

Арқалықтың жүктелу сұлбасы 39,в суретте көрсетілген.

5.2 Көлденең қималардағы кернеулер. Қауіпсіз кернеулер бойынша беріктікке есептеу

Көлденең иілу кезінде арқалықтың көлденең қималарында тік және жанама кернеулер орын алады (40 суретті қара).

Көлденең қиманың кез келген нүктесіндегі тік кернеулер келесі формуламен анықталады

(5.5)

мұндағы M – қарастырылатын қимадағы июші момент;

J_x– иілу yz жазықтығында болған жағдайда x бас центрлік инерция өсімен беттесетін бейтарап сызыққа қатысты инерция моменті;

y – кернеулер есептелетін нүктеден бейтарап сызыққа дейін қашықтық.

40 Сурет

Арқалықтың көлденең қимасында тік кернеулер сызықты заңмен үлестіріледі, олардың ең үлкен мәндері бейтарап сызықтан ең алыс қашықтықта орналасқан нүктелерде орын алады (40,б суретті қара). Арқалықтың қимасы тұрақты болғанда, тік кернеулер ен үлкен мәніне июші момент максималды болатын қимада жетеді, ол келесі формуламен анықталады

(5.6)

Келесі қатынас

(5.7)

қиманың иілу кезіндегі x өсіне қатысты қарсыласу моменті немесе өстік қарсыласу моменті деп аталады; оның өлшем бірлігі - үшінші дәрежедегі ұзындық; ол көлденең қиманың геометриялық сипаттамасы болып келеді, яғни ол тек қана қиманың өлшемдері мен пішініне тәуелді.

29 суретте көрсетілген қималар үшін өстік қарсыласу моменттері келесі формулалармен есептеледі:

тік төртбұрыш үшін

, ; (5.8)

шеңбер үшін

(5.9)

сақина үшін

, . (5.10)

Қимасы тұрақты және созылу мен сығылуға бірдей қарсыласатын материалдан жасалған арқалықты қауіпсіз кернеу әдісімен беріктікке есептеуі келесі беріктік шарты бойынша орындалады

(5.11)

мұндағы - июші моменттің абсолют шамасымен алынған максималды мәні,

[σ] – қауіпсіз кернеу.

Көлденең қималардың ең үнемді пішіндері – материал шығыны ең аз кезде ең үлкен өстік қарсыласу моменті болатын пішіндер. Сондай тиімді қималарға жататын – стандартталған қоставр мен швеллер профильдері, жұқа қабырғалы қорап және сақина тәрізді қималар. Стандартты профильдердің өстік қарсыласу моменттері әр типтік өлшемдер үшін алдын ала есептеліп, кестелерде келтіріледі.

Егер арқалықтың материалы созылу мен сығылуға әртүрлі қарсыласатын болса, келесі жағдай орын алуы мүмкін (қимасы тұрақты арқалық үшін): арқалық қимасы бейтарап сызыққа қатысты симметриялық болып келеді және июші моменттердің эпюрі арқалық ұзындығы бойымен таңбасын сақтайды; осы жағдайда беріктікке есептеу (5.11) шарты бойынша орындалады, сол кезде [σ] ретінде созылуға қауіпсіз кернеу [σ_соз] мен сығылуға қауіпсіз кернеу [σ_сығ] ішінен ең кішісі алынады. Қалған жағдайларда есептеуді максималды созылу кернеуі де, максималды сығылу кернеуі де бойынша орындау керек, сол кезде июші моменттердің эпюрі таңбасын сақтамаса және қима бейтарап сызыққа қатысты симметриялық болмаса, онда есептеуді тек қана максималды модулімен алынған июші момент емес, таңбасы қарсы максималды июші момент үшін да орындау керек.

Арқалық көлденең қимасының кез келген нүктесіндегі жанама кернеу (40 суретті қара) Журавскийдің формуласымен анықталады

(5.12)

мұндағы Q_y – қарастырылатын қимадағы көлденең күш;

- бейтарап сызықтан y қашықтығында нүкте үстінен бейтарап сызыққа параллель жүргізілген түзуден жоғары орналасқан қима бөлігінің бейтарап сызыққа қатысты статикалық моменті (40 суретті қара);

J_x– көлденең қиманың бейтарап сызыққа қатысты инерция моменті;

b – көлденең қиманың қарастырылатын нүкте деңгейіндегі ені.

Көпшілік жағдайда жанама кернеулер онша үлкен емес және оларды беріктікке есептеу кезінде ескермейді. Ерекшелік ретінде үлкен қадалған күштермен жүктелген жұқа қабырғалы арқалықтарды және өте қысқа арқалықтарды атап өту керек. Осы жағдайда тік кернеулер бойынша есептеумен қатар ең үлкен жанама кернеулер бойынша келесі шартты қолданумен орындайды

. (5.13)

Егер көлденең қима нүктелерінде біржолы реті бірдей тік және жанама кернеулер орын алатын болса, онда есептеуді эквивалент кернеу бойынша беріктік теорияларының біреуін қолданып, орындайды.

31 Мысал - 34,а суретте көрсетілген арқалықтың беріктігін тексеру керек, егер оның көлденең қимасы қабырғалары 100х180 мм тік төртбұрыш болса және қауіпсіз кернеулерді [σ]=200 МПа, [τ]=110 МПа алса.

Шешуі. Алдымен Q және M эпюрлерін тұрғызу керек. 25 мысалда біз оларды тұрғызғанбыз (34,и,к суреттерді қара). Арқалықтың екі, I мен II орналасу жағдайын арастырамыз.

I жағдай. Тік төртбұрыштың ұзын қабырғасы yz иілу жазықтығына параллель болсын. Қималар иілу кезінде x өсінен айналады (40,а суретті қара), сонда b=100 мм, h=180 мм аламыз; өстік қарсыласу моменті (5.8) формуласымен анықталады

41 Сурет

Есептік июші момент ретінде эпюрдегі модулі максималды июші моментті (34,к суретті қара) аламыз: M_max=102,4 кН∙м.

Тік кернеулер бойынша (5.11) беріктік шартын тексереміз - беріктік шарты орындалады. Көлденең қима бойымен σ үлестірілуі 41,б суретте көрсетілген.

Жанама кернеулер бойынша беріктік шартын тексеру үшін (5.12) формуласын қолданып, τ_max мәнін анықтаймыз. Тік төртбұрышты қима үшін b=const, сондықтан ең үлкен жанама кернеулер максималды статикалық моментіне сәйкес келетін нүктелерде орын алады. Ол бейтарап сызықта жататын нүктелер болатыны анық, олар үшін , сонда .

Бейтарап сызықтан ең алыс орналасқан қима нүктелерінде S_x=0, сондықтан τ=0.

Максималды жанама кернеулерді көлденең күш ең үлкен мәнін алатын қима үшін анықтаймыз (34,и суретте А қиманың сәл ғана оң жағындағы қима үшін, яғни Q=39,5 кН):

Жанама кернеулердің қима бойымен үлестірілуі 41,в суретте көрсетілген.

Сонымен, қарастырылатын жағдайда беріктік шарты тік кернеулер бойынша да, жанама кернеулер бойынша да орындалады, сол кезде жанама кернеулердің шамалары өте аз.

II жағдай. Тік төртбұрыштың қысқа қабырғасы yz иілу жазықтығына параллель (41,г суретті қара). Сонда , , , - тік кернеулер бойынша беріктік шарты орындалмайды. τ_max мәні өзгермейді, кернеулердің эпюрлері 41,д,е суреттерде көрсетілген.

32 Мысал - ABC арқалығының (42,а суретті қара) көлденең қимасы, орналасуы 42,б суретте көрсетілгендей тавр. алып, арқалықтың беріктігін тексеру керек.

Шешуі. Тепе-теңдік теңдеулерінен тірек реакцияларын анықтаймыз:

, осыдан

- тексеру шықты.

Q және M эпюрлерін тұрғызамыз (42,г,д суреттерді қара).

Қима ауырлық центрінің О орнын, х бейтарап сызығына қатысты инерция моментін және одан ең қашық орналасқан нүктелердің y₁ мен y₂ координаттарын анықтаймыз (42,в суретті қара):

, .

42 Сурет

Кернеулерді (5.5) формуласымен есептейміз.

Максималды оң июші момент орын алатын D қимасында аламыз , . Максималды теріс июші момент орын алатын B қимасында : . Беріктік шарты орындалады, өйткені және

Егер арқалық қимасының тақшасы төмен қарап тұрса, беріктік шарты орындалмайды, өйткені бұл жағдайда .

33 Мысал - 35,а суретте көрсетілген арқалық үшін [σ] = 160 МПа қабылдап, қоставр түріндегі қиманы таңдау керек.

Шешуі. Тірек реакцияларын анықтап, M эпюрін 26 мысалдағыдай тұрғызамыз (Q эпюрі бұл жағдайда көмекші рөлін атқарады – ол таралған күштермен жүктелген аралықтарда июші моменттер экстремалды мәндеріне ие болатын қималар бар-жоғын көрсетеді).

35,г суретте көрсетілген эпюрден модулі максималды июші моментті анықтаймыз M_max=26 кНм. Жобалау есебі болғандықтан, (5.11) беріктік шартынан қиманың геометриялық сипаттамасын, яғни өстік қарсыласу моментін өрнектейміз . [1-3] оқулықтар қосымшаларында келтірілген түржиын кестесін қолданумен ГОСТ 8239-72 бойынша №18а қоставрды таңдаймыз, ол үшін . Сол кезде арқалықта асыра тиелгендігі орын алады, өйткені , бірақ оның шамасы , бұл онша көп емес, сондықтан осыны қабылдауға болады.

34 Мысал - 43,а суретте көрсетілген арқалыққа түсірілген таралған күштердің q қарқындылығының қауіпсіз мәнін анықтау керек. Арқалық қимасы 43,б суретте көрсетілген, қауіпсіз кернеу .

Шешуі. Июші моменттердің эпюрін, оның мінездемелік ординаттарын q мен a арқылы өрнектеп, тұрғызамыз. Максималды июші момент . Оны қауіпсіз июші моментке теңестіреміз, соңғысы (5.11) беріктік шартынан өрнектеледі . Осыдан Дөңгелек қима үшін , сонымен

35 Мысал – Желімдеп ағаштан құрастырылған арқалықтың беріктігін тексеру керек (44,а,б суреттерді қара), егер , болса.

Шешуі. Көлденең күштер мен июші моменттердің эпюрлері 44,в,г суреттерде көрсетілген.

Көлденең қиманың инерция моменті мен өстік қарсыласу моментін есептейміз

Арқалық көлденең қимасындағы ең үлкен тік кернеу:

Максималды жанама кернеулер статикалық моменті максималды болатын x өсіндегі нүктелерде орын алады. Есептейміз . Сонда .

Желімделген орнының беріктігін тексереміз. Бойлық желімделген жазықтықтардағы жанама кернеулер жұптылық заңына бағынады (44,д суретті қара) және келесіге тең мұндағы - тақшаның бейтарап сызыққа қатысты статикалық моменті.

Сонда

Сонымен, арқалық беріктігі қамсыздандырылады.

44 Сурет

5.3 Иілу кезіндегі орын ауыстырулар және қатаңдыққа есептеу

Арқалықтар көлденең қималарының орын ауыстырулары ойысулар мен айналу бұрыштары арқылы сипатталады (45 суретті қара). v ойысулары деп көлденең қималардың ауырлық центрлерінің арқалықтың геометриялық өсіне перпендикуляр бағыттағы сызықты орын ауыстыруларын атайды. θ бұрылу бұрыштары деп көлденең қималардың бейтарап сызық айналасындағы бұрыштық орын ауыстыруларын атайды. Арқалық өсі бойымен қималардың орын ауыстырулары ескерілмеуге болатындай өте аз.

Қималардың ойысулары мен бұрылу бұрыштарын әртүрлі әдістермен анықтауға болады. Мысалы, оларды арқалықтың майысқан өсінің (ол арқалықтың серпімді сызығы деп те аталады) теңдеуі белгілі болғанда анықтауға болады. Иілу yz жазықтығында болғанда (45 суретті қара) майысқан өстің теңдеуін білу, z координатасымен орны анықталатын кез келген қиманың v ойысуын және θ бұрылу бұрышын анықтауға жеткілікті болады (мұндағы z өсі арқалықтың деформацияланбаған өсі бойымен бағытталады), өйткені ойысулар аз болғандықтан келесі теңдіктер орын алатыны анық

, . (5.14)

Арқалықтың майысқан өсінің теңдеуі әртүрлі тәсілдермен алынуы мүмкін, соның ішінде майысқан өстің дифференциалдық теңдеуін тікелей интегралдау арқылы; майысқан өстің дифференциалдық теңдеуі келесідей жазылады

(5.15)

мұндағы M - июші момент;

E – серпімділік модулі;

J_x – көлденең қиманың бейтарап сызыққа қатысты инерция моменті.

көбейтіндісі сырықтың (арқалықтың) иілу кезіндегі қатаңдығы деп аталады. Егер арқалықта бірнеше аралық болса, онда әр аралық үшін M(z) және (z) өздік теңдеулерімен сипатталады; (5.15) теңдеуін интегралдау кезінде әр аралық үшін екі тұрақты пайда болады. Соңғылары келесі шекаралық шарттарынан табылады: арқалықтың бекітілу шарттарына сәйкес келетін шекаралық шарттарынан (қатты бекітпеде қиманың ойысуы мен бұрылу бұрышы нөлге тең, топсалы тіректерде ойысулар нөлге тең) және көрші аралықтар шекараларында майысқан өсінің үздіксіз және біртіндеп жалғасу шарттарынан (көрші аралықтардың шекаралық қималарының ойысулары мен бұрылу бұрыштары тең болу керек).

Орын ауыстыруларды анықтаудың қарастырылған әдісінде көлденең күштің әсері ескерілмейтінін айтып өтейік, өйткені ол тек қана өте қысқа арқалықтар үшін айтарлықтай болып келеді.

Орын ауыстыруларды анықтау иілу кезіндегі қатаңдыққа есептеуді жүргізу үшін керек, қатаңдық шарты келесі түрде жазылады

(5.17)

мұндағы f_max – максималды ойысу;

[f] – қауіпсіз ойысу, оның мәні құрылымның пайдалануына тәуелді және әдетте l аралық ұзындығының бір бөлігі болып алынады, мысалы, l/200 немесе l/1000.

Сырғанау мойынтіректерінің және роликті домалау мойынтіректерінің дұрыс жұмысын қамсыздандыру үшін кейбірде қосымша қатаңдық шарты қойылады, ол тірек қималарының бұрылу бұрыштарын шектейді (0,001 рад)

(5.18)

Төмендегі мысалдарда арқалықтардың қатаңдықтары тұрақты болып есептеледі.

36 Мысал – Бір қалыпты таралған күштермен жүктелген консольды арқалықтың бекітілмеген шетінің ойысуы мен бұрылу бұрышын анықтау керек (36 суретті қара).

Шешуі. Координаттар басын қатты бекітпеде орнатып, одан z қашықтықта орналасқан кез келген қимадағы июші моменттің өрнегін жазамыз

Майысқан өстің дифференциалдық теңдеуі (5.15) формуласы бойынша келесі түрде жазылады

Осы теңдеуді екі рет интегралдап, ойысулар мен бұрылу бұрыштарының теңдеулерін аламыз

Интегралдау кезінде пайда болатын C₁ мен C₂ тұрақтыларын қатты бекітпедегі шекаралық шарттарынан анықтаймыз. z=0 болғанда y=0; осыдан ойысулар теңдеуін қолданып, аламыз C₂=0. z=0 болғанда y′=0; осыдан бұрылу бұрыштарының теңдеуін қолданып, табамыз C₁=0.

Сонымен келесі теңдеулерді аламыз:

- ойысулар үшін ;

- бұрылу бұрыштары үшін .

Осыларға z=a мәнін қойып, арқалықтың бос шетінің f ойысуын және θ бұрылу бұрышын табамыз

37 Мысал – Шеттерінен a және b қашықтығында F күшімен жүктелген, топсалы бекітілген арқалықтың серпімді сызығының теңдеуін анықтау және оны талдау керек (46 суретті қара).

Шешуі. Тепе-теңдік теңдеулерінен тірек реакцияларын анықтаймыз, олар келесіге тең: .

Екі аралықтағы июші моменттердің өрнектерін жазамыз:

;

Майысқан өстің дифференциалдық теңдеуін жазып, оларды екі рет интегралдаймыз. Аламыз

Интегралдау кезінде пайда болған C₁, C₂, C₃, C₄ тұрақтыларын келесі шарттардан анықтаймыз:

1) z=a қимасында арқалық майысқан өсінің екі бөлігінің бұрылу бұрыштары өзара тең болу керек;

2) z=a қимасында арқалықтың екі бөлігінің ойысулары өзара тең;

3) z=0 қимасында ойысу нөлге тең;

4) z=l қимасында ойысу нөлге тең.

Бірінші шарттан C₁=C₃, екінші шарттан C₂=C₄аламыз. Үшінші шарттан C₂=0 (сондықтан C₄=0) , төртінші шарт келесіні береді: .

Сонымен , C₂=C₄=0.

Осы мәндерді ескеріп, арқалықтың майысқан өсінің теңдеуін табамыз

;

Қималардың бұрылу бұрыштары келесі формулалармен анықталады

;

Соңғы өрнектерден кез келген қиманың бұрылу бұрышын табуға болады, сонда арқалықтың A және B шеттерінде

Арқалықтың максималды ойысуы f_max оның серпімді сызығына жүргізілген жанама горизонталь болатын қимасында орын алады, яғни бұрылу бұрышы нөлге тең болатын қимасында. Егер a≥b болса, онда f_max максималды ойысу AC аралығында, керісінше жағдайда - CB аралығында орын алады. нөлге теңестіріп, ойысу максималды мәніне ие болатын қиманың координатасын анықтауға болады (a≥b болған жағдайда). Сонымен күш түсірілген С қимасының орнын арқалық ортасынан (b=l/2) оң жақ тірегіне дейін (тірекке өте жақын орынға дейін, яғни b≈0) көшіргенде, ең үлкен ойысу болатын қиманың координатасы 0,5l шамасынан шамасына дейін өзгереді.

координатасына сәйкес келетін максималды ойысудың мәні келесіге тең (a>b болғанда), ал арқалық ортасындағы қиманың ойысуы келесідей болады (a≥b болғанда).

Шекті, яғни b→0 жағдайда, f_max шамасы f(l/2) шамасынан тек қана 3% айырылады, басқа жағдайларда айырмашылық одан да аз болады. Ол жуық шамамен f_max ≈f(l/2) алуға болатынын білдіреді.

Күш арқалықтың тап ортасында түсірілген жағдайда (a=b=l/2), аламыз .

38 Мысал – 47 суретте көрсетілген арқалық үшін қатаңдық шарттарының орындалуын тексеру керек, егер максималды ойысу [f]=0,8 мм аспау, ал тірек үстіндегі қималардың бұрылу бұрыштары [θ]=10^-3 рад аспау керек болса. Юнг модулі Е=2,1∙10⁵ МПа.

Шешуі. Алдымен өстік инерция моментін анықтаймыз. Көлденең қима дөңгелек болғандықтан,

f_max максималды ойысуды табу үшін алдынғы мысалда табылған формуланы, a<b ескерумен пайдаланамыз. Аламыз

Алдыңғы мысалда тірек үстіндегі қималардың бұрылу бұрыштары үшін табылған формулаларын пайдаланып, оларды табамыз

A тірегі үстіндегі қиманың бұрылу бұрышы артық екені анық, сондықтан қатаңдық шартының орындалуын сол бойынша тексереміз. Аламыз

Сонымен, екі қатаңдық шарты да орындалады.

6 Күрделі қарсыласу

Күрделу қарсыласу ретінде сырықтың қарапайым деформацияларының әртүрлі жиынтығын түсінеді – созылудың (немесе сығылудың), ығысудың, бұралудың және иілудің. Күштер әсерінің тәуелсіздік принципі негізінде күрделу қарсыласу кезінде сырықтағы кернеулер мен деформациялар әр ішкі күш факторынан бөлек пайда болатын кернеулер мен деформацияларды қосу арқылы анықтайды. Бұл принципті, тек қана серпімді деформациялар орын алғанда және материал Гук заңына бағынғанда ғана, қолдануға болатынын еске салайық. Көлденең күштерден пайда болатын жанама кернеулерді ескермейді. Алдында біз көлденең иілу кезінде жанама кернеулер тік кернеулермен салыстырғанда әдетте өте аз болатынын көрдік. Сондықтан мұнда беріктік тік кернеулермен және бұралу болса, одан пайда болатын жанама кернеулермен де анықталатыны есептеледі. Сол кезде ішкі күш факторларын деформацияларды ескермей анықтауға болады.

6.1 Қиғаш иілу

48 Сурет

Қиғаш иілу жазық және кеңістіктік иілуге бөлінеді. Қимасы тұрақты арқалық жағдайында, барлық түсірілген күштер көлденең қимасының бас инерция өсінен өтпейтін жазықтықта (күштер жазықтығы) орналасатын болса, онда жазық қиғаш иілу орын алады. Сол кезде арқалықтың бастапқы түзу сызықты болған өсі майысады және күштер жазықтығымен беттеспейтін жазықтықта орналасатын жазық кисық сызық болып келеді. Егер арқалыққа түсірілген күштер бір жазықтықта орналаспайтын болса, онда кеңістіктік қиғаш иілу орын алады, сол кезде арқалықтың майысқан өсі кеңістіктік қисық сызық болып келеді.

Қиғаш иілу кезінде беріктікке және қатаңдыққа есептеу үшін сыртқы күштерді бас инерция өстері бойынша құраушы күштерге жіктейді, содан кейін екі жазықтықтағы M_x және M_y июші моменттерінің эпюрлерін тұрғызады. Жазық қиғаш иілу кезінде толық июші моменттің эпюрін тұрғызып, құраушы моменттерді келесідей анықтауға болады (48,а суретті қара)

(6.1)

мұндағы α – x өсі мен июші моменттің арасындағы бұрыш (48,б суретті қара).

x және y координаттары бар нүктедегі (48,б суретті қара) тік кернеу келесі формуламен анықталады

(6.2)

мұндағы J_x, J_y – арқалық көлденең қимасының сәйкес x және y бас өстеріне қатысты инерция моменттері.

Тік кернеу нүкте мен теңдеуі төменде жазылған бейтарап сызығының арақашықтығына тура пропорционал

. (6.3)

Қиғаш иілу кезінде бейтарап сызық июші моменттің әсер ету жазықтығына перепендикуляр емес, өйткені J_x≠J_y, яғни сырық июші моменттің жазықтығында емес, басқа бір, иілуге қатаңдығы кіші болатын жазықтықта иіледі. Егер J_x=J_y болса (мысалы, дөңгелек немесе квадрат қима үшін), онда кез келген центрлік өс бас инерция өсі болып келеді, сондықтан тік иілу орын алады.

Сырық көлденең қимасының кез келген нүктесінде тік кернеу бейтарап сызығына дейін қашықтыққа тура пропорционал (48,б суретті қара) және максималды мәндеріне бейтарап сызығынан ең үлкен қашықтықта орналасқан нүктелерде жетеді. Ұзын және көлденең қимасы тұтас сырықтардың қиғаш иілу кезіндегі жанама кернеулері ескерілмеуге болатындай өте аз.

Егер максималды кернеу бас инерция өстерінің екеуінен де ең алыс орналасқан нүктеде орын алатын болса, онда беріктік шарты келесі түрде жазылады

(6.4)

мұндағы W_x,W_y – көлденең қиманың сәйкес x және y өстеріне қатысты иілуге қарыласу моменттері;

[σ] – қауіпсіз кернеу.

Прокат профильдерді (қоставрды немесе швеллерді) таңдау есебі таңдау және қателер әдісімен келесі өрнек бойынша орындалады

(6.5)

мұндағы ; қоставрлар үшін с мәні 6 мен 15 арасында болады.

Қиғаш ілу кезінде кез келген қиманың ойысуын және бұрылу бұрышын екі бас инерция жазықтықтарындағы ойысулар мен бұрылу бұрыштарының геометриялық қосындысы түрінде анықтайды

, (6.6)

мұндағы f_x және f_y – x және y өстері бойынша ойысулар;

θ_xz және θ_yz – қималардың xz және yz жазықтығындағы бұрылу бұрыштары.

39 Мысал –Арқалықтың тік төртбұрышты қимасын (49 суретті қара) h = 2b, [σ]=160 МПа, P=60 кН, α=30°, l=2,8 м шартында таңдау керек

Шешуі. Арқалық көлденең қимасының бас өстері бойынша Р күшін екі құраушы күштерге жіктеп алып, тірек реакцияларын анықтаймыз және M_x, М_уиюші моменттерінің эпюрлерін тұрғызамыз (50 суретті қара).

Ең үлкен моменттер арқалық ортасындағы қимада орын алады, онда сондықтан осы қима қауіпті болады.

Қауіпті нүктенін орнын анықтау үшін арқалық көлденең қимасының бұрышты нүктелерінде σ(M_x) және σ(М_у) таңбаларын қойып шығамыз (50 суретті қара). M_x әсерінен А және D нүктелерінде оң (созылу) кернеулері, ал С және В нүктелерінде – теріс (сығылу) кернеулері пайда болады. М_у әсерінен А және С нүктелерінде оң, ал В және D нүктелерінде - теріс кернеулері пайда болады. Көлденең қиманың А және В нүктелерінде таңбалары бірдей тік кернеулер орын алады, сондықтан олар қауіпті болып табылады және солар үшін беріктік шарты жазылу керек.

Есептің шартынан арқалық пластикалық материалдан жасалғаны анық ([σ]=160 МПа), яғни ол созылуға да, сығылуға да бірдей қарсыласады. Сонымен А мен В нүктелері тең қауіпті болады және олар үшін бір беріктік шарты (6.4) қолданылады. Көлденең қиманың қарсыласу моменттерін биіктік пен енінің берілген қатынасы үшін өрнектейміз Осы өрнектерді (6.4) беріктік шартына қойып, одан қиманың енін анықтаймыз

Соңында аламыз b=90 мм, h=2b=180 мм.

40 Мысал – Вертикаль жазықтықта жұмыс атқаруға арналған №60 қоставрлы арқалықты (W_x=2560 см³, W_y=182 см³) тіректерге орнату кезінде қате жіберіліп, қоставр қабырғасының вертикальдан φ= 1° бұрышына ауытқуы орын алды. Ең үлкен тік кернеулердің осы себептен пайда болған артқан шамасын анықтау керек.

Шешуі: Қоставр у өсінің вертикальдан ауытқуы қиғаш иілуді және М_xпен М_y июші моменттерін туындатты (51 суретті қара)

М_y=М∙ sinφ = M∙sin1° =0,0175М, М_x=М∙ cosφ = M∙cos1°= =0,9998М.

Қиғаш иілу кезіндегі максималды кернеулер келесіге тең

және М_x≈М болғандықтан, .

Арқалық дұрыс орнатылған кезде F күші арқалықтың вертикаль у өсімен беттесетін еді және тік иілу орын алатын еді. Июші момент М мәніне тең болатын еді, ал кернеулер

Сонымен, вертикальдан шамалы ғана φ=1° ауытқу бұрышы максималды кернеулердің 24,6% өсуіне келтірді.

41 Мысал – Қиғаш иілудегі арқалықтың қауіпті қимасындағы максималды тік кернеулерді анықтау керек (52,а суретті қара). Қима пішіні – тік төртбұрыш, b = 6 см, h = 12 см. Арқалық бос шетінің орын ауыстыруын қалай есептеуге болатынын көрсетіңіз.

Шешуі. 52,б,г суреттерде арқалықтың вертикаль және горизонталь жазықтықтарында жүктелу сұлбасы көрсетілген, 52,в,д суреттерде – сәйкес М_х, М_y июші моменттердің эпюрлері. Эпюрлерден қауіпті қима қатты бекітпеде болатыны анық, онда М_х = -20 кН∙м, М_у= 5 кН∙м. Тік төртбұрышты қима үшін J_x = b∙h³/12, J_y = h∙b³/12, және бейтарап сызықтың (6.3) теңдеуі қауіпті қима үшін келесі түрге келтіріледі: х - у = 0 .

Бейтарап сызықтың орналасуы (52,е суретті қара) қиманың ең қауіпті нүктелері ретінде одан ең үлкен қашықтықта орналасқан В және С нүктелері болады. Олардың координаттарын (6.2) формуласына қойып, осы нүктелердегі кернеулерді есептейміз

52,е суретте бейтарап сызыққа перпендикуляр бағытта тік кернеулердің өзгеруін сипаттайтын эпюр көрсетіледі.

Арқалық бос шетінің орын ауыстыруын келесі әдіспен анықтауға болады. Алдымен бөлек вертикаль және горизонталь жазықтықтарындағы орын ауыстыруларды анықтайды, содан кейін оларды геометриялық тәсілмен қосады.

52 Сурет

Вертикаль жазықтықтағы орын ауыстыруды 36 мысалда табылған формуласымен анықтауға болады. Горизонталь жазықтықтағы орын ауыстыруды, бос шетінде қадалған күшпен жүктелген консольды арқалық үшін формуланы қолданып анықтауға болады. Бұл формуланы 36 мысалдағыдай, арқалықтың майысқан өсінің дифференциалдық теңдеуін тікелей интегралдау арқылы табуға болады. Қарастырылатын мысал үшін осы формула келесі түрде жазылады

Соңында толық орын ауыстыруды формуласымен табамыз, толық орын ауыстыру векторы x өсімен φ бұрышын жасайды, ол келесі формула арқылы анықталады .

6.2 Центрден тыс созылу (сығылу)

Центрден тыс созылу (сығылу) деп екі созушы (сығушы), әсер ету сызықтары сырық өсінен бір қашықтықта орналасатын күштермен жүктелу жағдайын атайды (53,а суретті қара). Күш түсірілген нүктесін полюс деп атаймыз және күшті P арқылы белгілейміз.

Сырық көлденең қималарындағы ІКФ бойлық күш пен екі июші моментке келтіріледі

(6.7)

мұндағы N – бойлық күш;

M_x, M_y– бас центрлік x және y өстеріне қатысты июші моменттер;

e_x, e_y– полюстен x және y өстеріне дейін қашықтығы (эксцентриситеттер).

53 Сурет

Көлденең қиманың кез келген нүктесіндегі тік кернеу күштер әсерінің тәуелсіздік принципі бойынша, олар жеке түсірілген жағдайдағы нәтижелерінің қосындысы болып табылады

. (6.8)

(6.8) өрнегінің оң жақ қосындысындағы таңбалар июші моменттер бірінші квадрантта туындататын кернеулердің таңбаларына тәуелді болғандықтан, x және y өстерін, полюс бірінші квадрантта болатындай таңдаймыз. Осы жағдайда қосындыда «+» таңбалары тұрады, сонда (6.7) және (6.8) өрнектерінде күшті өз таңбасымен алса, онда кернеулер де сәйкес таңбаларымен шығады.

(6.8) теңдіктен бейтарап сызықтың теңдеуі көлденең қиманың жазықтығындағы түзудің теңдеуі түрінде жазылады

(6.9)

немесе түзудің кесінділер арқылы теңдеуі түрінде жазылады

(6.10)

мұндағы a және b – x және y өстерінде бейтарап сызықпен қиылатын кесінділер

(6.11)

мұндағы , - қиманың x және y өстеріне қатысты инерция радиустері.

(6.11) теңдіктері бейтарап сызық әрқашан полюс орналасатын квадрантқа қарама-қарсы квадрант арқылы өтетінін көрсетеді (52,б суретті қара). Сол кезде бейтарап сызық көлденең қиманы қиып өтуі да, қимай өтуі да мүмкін. Екінші жағдайда қиманың барлық нүктелерінде кернеулердің таңбасы күштің таңбасымен бірдей болады.

Соңғысы, мысалы, кірпіш және тас колонналарды есептеу кезінде өте маңызды болып келеді, өйткені морт материалдардың созылуға қарсыласу қабілеті өте төмен. Кернеулер қиманың барлық нүктелерінде сығылу кернеулері болу үшін, сыртқы сығушы күш қиманың ауырлық центріне жақын нүктеде түсірілу керек.

Сырық көлденең қимасының ауырлық центрінің айналасында қима өзегі деп аталатын аймақты анықтауға болады. Егер полюс (яғни күштің ізі) қима өзегінің ішінде болса, онда қиманың барлық нүктелеріндегі кернеулер күштің таңбасын алады. Қима өзегін анықтау үшін бейтарап сызық қима жиегін домалап шығады деп елестеу керек, сонда полюс қима өзегінің шекарасын сызып береді; сол кезде координат басынан (6.10) теңдеуімен сипатталатын бейтарап сызыққа дейін арақашықты анықтайтын келесі формуланы пайдалану керек

. (6.12)

Көлденең қиманың кез келген нүктесіндегі тік кернеу нүктеден бейтарап сызыққа дейін арақашықтығына тура пропорционал (52,в суретті қара) және ең үлкен мәндеріне бейтарап сызықтан ең алыс орналасқан нүктелерде ие болады.

Бас центрлік өстерінің екеуінен де біржолы ең алыс орналасқан нүктелері бар симметриялық қималар үшін максималды кернеулер сол нүктелерде орын алады. Олар үшін беріктік шарты келесі түрде жазылады

. (6.13)

55 Сурет

54 Сурет

42 Мысал - 54,а,б суреттерде көрсетілген екі сырықтардың қайсысы, пластикалық деформацияларды туындатпай жоғары жүктемені қабылдай алатынын анықтау керек.

Шешуі. Екі жағдайдағы максималды кернеулерді салыстырамыз.

(а) жағдайында

(б) жағдайында .

Сонымен, (а) жағдайында сырық көлденең қимасының ауданы артық болған мен, оның беріктігі (б) жағдайымен салыстырғанда төмен болып шықты.

43 Мысал - Көлденең қимасы радиусы r дөңгелек сырық үшін қима өзегін анықтау керек (55 суретті қара).

Шешуі. Симметриялық шартынан қима өзегі дөңгелек болатыны анық, оның радиусын r₀арқылы белгілейміз. Полюс y өсінде орналасатын болсын, ал бейтарап сызық қима жиегімен беттесетін болсын. Сонда Инерция радиусы , сонда (6.12) бойынша аламыз осыдан анықтаймыз

44 Мысал – Көлденең қимасы 56,а суретте көрсетілген қатаң сырық бойлық сығушы, ізі D нүктесімен түйесетін F=100 кН күшімен жүктеледі. Бейтарап сызықтың орнын, ең үлкен созылу және сығылу кернеулерін анықтау керек, кернеулер эпюрі мен қима өзегін тұрғызу керек.

Шешуі. x және y өстерін, полюс бірінші квадрантта болатындай бағыттаймыз (56,б суретті қара). Осы жағдайда

56 Сурет

Бейтарап сызықтың теңдеуі келесі түрде жазылады немесе кесінділер арқылы келесі болады .

Ең үлкен сығылу кернеулері D нүктесінде орын алады, оның координаттары , ал ең үлкен созылу кернеулері – E нүктесінде ; оларды анықтаймыз

Кернеулер эпюрі 55,б суретте көрсетілген.

Қима өзегін тұрғызамыз. Алдымен өзек шекарасының өспен қиылысу нүктесін анықтаймыз (55,в суретті қара). Бейтарап сызық тік төртбұрыштың оң жақ қабырғасымен беттескенде (OC=30 см), полюс A нүктесінде болады.

(6.12) формуласымен анықтаймыз осыдан

Тап осылай D нүктесі үшін табамыз

Тік төртбұрышқа іштей сызылған кез келген қима үшін (тік төртбұрыштың төбелері қима төбелерімен түйісу керек, мысалы, қоставр, швеллер және т.б.) қима өзегі төртбұрыш болатынын көрсетуге болады.

Қарастырылатын мысал үшін қима өзегі 56,в суретте көрсетілген.

6.3 Иілу мен созылудың (сығылудың) біріккен әсері

Сырықтың тік иілуі мен созылуын (сығылуын) біржолы туындататын күштер әсерінен оның көлденең қималарында үш ІКФ пайда болады: бойлық күш N, июші момент M, көлденең күш Q. Осындай жүктелу жағдайы 57 суретте көрсетілген. Мұнда көлденең күштің эпюрі көрсетілмеген, өйткені оны беріктікке және қатаңдыққа есептеу кезінде ескермейді.

57 Сурет

Көлденең қиманың кез келген нүктесінде тік кернеу келесі формуламен анықталады

. (6.14)

Қиғаш иілу мен созылудың (сығылудың) біріккен әсерінде сырықтың көлденең қималарында біржолы бес ІКФ пайда болады – N, M_x, M_y, Q_x, Q_y. Олардың ішінен үшеуі есепке алынады - N, M_x, M_y. Сонда кернеулер келесі формуламен анықталады

(6.15)

(6.14) және (6.15) формулаларында қосылым таңбаларын сырық деформациясы бойынша тікелей анықтаған тиімді болады.

Беріктікке есептеуді орындау үшін қауіпті қиманың орнын анықтап, сол қимадағы қауіпті нүктені табу керек. Егер ІКФ ең үлкен мәндері әртүрлі көлденең қималарда орын алатын болса, онда есептеуді екі немесе одан да артық қималар үшін орындау керек.

Сырық материалы созылу мен сығылуға бірдей қарсыласатын жағдайда, егер оның көлденең қималарында бас центрлік өстерінің екеуінен де біржолы ең алыс жатқан нүктелер болса, онда қауіпті нүкте ретінде бұрышты нүктелер арасындағы, барлық ІКФ бойынша кернеулердің таңбалары бірдей нүкте болады. Осы жағдайда беріктік шарты келесі түрде жазылады

(6.16)

Сырық материалы созылу мен сығылуға бірдей қарсыласпайтын жағдайда есептеуді максималды созылу және максималды сығылу кернеулері бойынша орындау керек.

45 Мысал - Болат құбыр бөліктерін В қимасында пісіріп өнделген рамадағы максималды созылу және максималды сығылу кернеулерін анықтау керек (58,а суретті қара). Құбырдың сыртқы диаметрі 60 мм, ішкі диаметрі – 50 мм тең,

Шешуі. Тірек реакциялары R_A= R_C және F/2 тең болатыны анық.

58 Сурет

Құбырлардың горизонтальмен жасайтын бұрышын α арқылы белгілеп, реакцияларды құраушы күштерге жіктейміз. Мұндағығы

Көлденең қималарда R׳ әсерінен сығатын бойлық күш N=- R′, ал R′′ әсерінен – июші момент пайда болады (эпюрлер 58,б суретте көрсетілген), оның максималды мәні B қимасында орын алады және тең. Осы көлденең қиманың шеткі нүктелерінде кернеулер келесіге тең

Сонымен,

46 Мысал – Тұрақты дөңгелек қимасы бар ілмектің AB және СD қималарында кернеулерді анықтау керек (59 суретті қара), егер күш F=3 кН болса, ілмектің өлшемдері суретте миллиметрмен берілген.

Шешуі. Қималар әдісін қолданып, AB қимасында тек қана бойлық күш N=F пайда болатынын көреміз. Осы қимада ілмек тек қана созылуға жұмыс атқарады, сол кездегі тік кернеулер келесідей анықталады

σ_AB=N/A=4F/π∙d²=4∙3∙10³/(3,14∙24²∙10^-6)=6,64∙10⁶ Па=6,64 МПа.

СD қимасында созылу мен иілудің біріккен әсері орын алады. Сол кездегі максималды кернеу келесіге тең: σ_CD=N/A+F∙e/W_x. W_x= π∙d³/32 болғандықтан, аламыз

σ_СD=N/A+ 32F∙e/π∙d³=6,64∙10⁶ +32∙3∙10³∙55∙10^-3/(3,14∙24³∙10^-9)=1,26∙10⁸ Па=126 МПа.

6.4 Иілу мен бұралудың біріккен әсері

Иілу мен бұралудың біріккен әсерін сыртқы жанама және радиалды күштерді қабылдайтын машина біліктерін есептеу кезінде ескеру керек. Иілу мен бұралудың біріккен әсері тағы да кеңістік рамаларда, буынды біліктерде және құрылғылардың басқа элементтерінде орын алады.

Жоғарыда сырық көлденең қималарында тек қана тік кернеулер ескерілетін және сол себептен бір өсті кернеулі күй орын алатын күрделі қарсыласудың жағдайлары қарастырылды (қиғаш иілу, центрден тыс созылу немесе сығылу, иілу мен созылудың немесе сығылудың біріккен әсері). Есептеу формулаларын шығарғанда, осы жағдай қиманың кез келген формасын қолдануға мүмкіншілік берді.

60 Сурет

Иілу мен бұралудың біріккен жағдайында бұраушы момент әсерінен сырықтың көлденең қималарында жанама кернеулер пайда болады, оларды беріктікке есептеу кезінде ескеру керек. Ең қарапайым есептеу қимасы дөңгелек сырық үшін орындалады, төменде сол жағдай ғана қарастырылады.

Дөңгелек сырықтың көлденең қимасында (59,а суретті қара) екі июші момент M_xжәне М_yорын алады, оларды М_∑ қосынды моментке келтіруге болады, өйткені дөңгелектің барлық центрлік өстері бас инерция өстері болып келеді

. (6.17)

М_∑әсерінен пайда болатын тік кернеулер максималды мәніне А нүктесінде (оң σ) немесе В нүктесінде (теріс σ) жетеді. Кернеу таңбаларын деформация түріне байланысты анықтайды.

Осыдан басқа сырықтың көлденең қимасында бұраушы момент орын алады (М_бур=М_z). М_бур әсерінен пайда болатын жанама кернеулер максималды мәніне қима жиегінің нүктелерінде жетеді. Сондықтан, А (немесе В) нүктесі қауіпті болады және беріктік шартын сол нүкте үшін құрады.

A нүктесінде келесі кернеулер орын алады

. (6.18)

Сол кезде дөңгелек қималардың қарсыласу моменттері келесідей анықталады

(6.19)

Талдау көрсеткендей (59,б суретті қара), осы жағдайда қарапайымдалған жазық кернеулі күй орын алады, сонда беріктікке есептеуді беріктік болжамдарының (теорияларының) біреуі бойынша орындау керек. Пластикалық материалдар үшін ең үлкен жанама кернеулер болжамын (III) немесе энергетикалық болжамын (IV) қолданады.

Қарапайымдалған жазық кернеулі күй жағдайында III және IV беріктік болжамы бойынша беріктік шарты келесі түрде жазылады

Қарастырылатын жағдайда беріктік шартын келесі түрде жазуға болады

(6.20)

мұндағы М_есеп – есептік момент, ол үшінші беріктік теориясы бойынша келесідей

(6.21)

ал төртінші беріктік теориясы бойынша осылай анықталады

. (6.22)

Морт материалдар үшін Мордың беріктік болжамы қолдануы мүмкін (оны шартты түрде V теория деп белгілейік), ол бойынша

(6.23)

мұндағы k – материалдың созылу кезіндегі беріктік шегінің сығылу кезіндегі беріктік шегіне қатынасы, яғни (егер беріктік шектері берілмей, қауіпсіз кернеулері берілсе, онда осы қатынасты қауіпсіз кернеулер арқылы өрнектеуге болады).

Тап осылай қуыс (қимасы сақина тәрізді) біліктің есептеуін орындауға болады.

47 Мысал – Тісті беріліс білігінің беріктігін тексеру керек (61,а суретті қара), білік Ст4 болаттан жасалған, оның аққыштық шегі σ_ақ=260 МПа.

Білік P=40 кВт қуат береді және n=100 айн/мин жиілігімен айналады, нормативтік беріктік кепілдігі [n]=2,8, білік диаметрі d=35 мм. Есептеуді үшінші беріктік теориясымен орындау керек, өлшемдер 60 суретте миллиметрмен берілген. Тісті берілістегі жанама F_t және радиалды F_r күштер арасындағы тәуелдік F_r=0,36F_t түрінде берілген.

Шешуі. Біліктің бұрыштық жылдамдығын анықтап ω=π∙n/30=3,14∙1000/30=104,7 рад/c , білік беретін айналдырушы моментті табамыз T=P/ ω=40∙10³/104,7=382,2 Н∙м.

Айналдырушы момент жанама күшпен келесі тәуелдік бойынша байланысады T=F_t∙D/2, осыдан F_t=2T/D=2∙382,2/0,3=2548 Н. Сонда радиалды күш F_r=0,36F_t=0,36∙2548=917,2 Н.

Біліктің есептеу сұлбасын 61,б суреттегідей кескіндейміз.

Бұраушы моменттің эпюрін (61,в суретті қара) және екі жазықтықтағы июші моменттердің эпюрлерін (61,г,д суретті қара) тұрғызамыз. Эпюрлерден қауіпті қима тісті дөңгелектің ортасынан сәл оң жағында орналасатыны көрінеді. Үшінші беріктік теориясын қолданып, беріктік шартының орындалуын тексереміз

Беріктік кепілдігін анықтаймыз n=σ_ак/ σ_экв=260/ 111,3=2,34<[n]=2,8.

Сонымен, білік беріктігі жеткілікті емес.

61 Сурет

48 Мысал – Білікке (62,а суретті қара) екі вертикаль мен бір горизонталь күш және үш айналдырушы момент әсер етеді. Білік материалы – болат 45, ол үшін σ_ақ=360 МПа. Беріктік кепілдігін 2,2 тең деп алып, білік диаметрін статикалық беріктік шартынан 4-ші беріктік теориясын қолданумен анықтау керек.

62 Сурет

Шешуі. Қауіпсіз кернеуді анықтаймыз [σ]= σ_ақ/[n] = 360/2,2= =164 МПа.

Тірек реакция-ларын анықтап, M_вер июші моменттердің эпюрін тұрғызамыз (62,б суретті қара). Тап осылай горизонталь жазықтықтағы М_гор июші моменттердің эпюрін тұрғызамыз (62,в суретті қара). Содан кейін М_бұр бұрайшы моменттердің эпюрін тұрғызамыз (62,г суретті қара).

Қауіпті (ең көп жүктелген) қима С қимасының сәл оң жағында болады, сондықтан есептік эквивиалент момент (6.22) формуласы арқылы келесідей анықталады

(6.20) беріктік шартынан қиманың өстік қарсыласу моментін өрнектейміз Білік диаметрін (5.8) формуласымен анықтаймыз Соңында білік диаметрін 100 мм тең алуға болады.

50 Мысал – Өлшемі l=800 мм білікте (63,а суретті қара) диаметрлері D₁=300 мм және D₂=600 мм тең екі шкив орнатылған. Белдікті беріліске түсірілген күштер S₁=2S₂ тәуелдігімен байланысады, сол кезде S₁′=8 кН, S₁′′=4 кН. Қауіпсіз кернеуді [σ]=200 МПа қабылдап, үшінші беріктік теориясы бойынша есептеуден ең көп жүктелген білік бөлігіндегі білік диаметрін анықтау керек.

Шешуі. Есеп шартында белдікті берілістің берілмеген күштерін анықтаймыз S₂′=4 кН, S₂′′=2 кН.

Күштерді білік өсіне келтіреміз, сонда айналдыратын моменттер және білікке түсірілген қысым күштері пайда болады.

Біліктің есептеу сұлбасы 63,б суретте көрсетілген.

Бұраушы моменттердің эпюрін тұрғызамыз (63,в суретті қара).

Содан кейін вертикаль жазықтықтағы июші моменттердің эпюрін тұрғызамыз (62,г суретті қара), ол үшін алдында тепе-теңдік теңдеулерінен тірек реакцияларын анықтаймыз Y_А=9 кН, Y_B=3 кН.

63,д суретте горизонталь жазықтытағы июші моменттердің эпюрі көрсетілген, оны тұрғызу үшін алдында горизонталь жазықтықтағы тірек реакцияларын табу керек болды, сонда X_А=1,5 кН, X_B=4,5 кН.

Қауіпті қима диаметрі D₁шкив ортасының сәл оң жағында болатыны анық; максималды есептік момент (6.21) формуласы бойынша анықтаймыз

(6.20) беріктік шартынан өстік қарсыласу моментін өрнектейміз

Білік диаметрін (5.8) формуласымен анықтаймыз

Егер білік диаметрін 45 мм тең алсақ, онда жуық шамамен ≈7% тең артық жүктелу орын алады, оны қабылдауға болмайды.

Соңында білік диаметрін 48 мм тең аламыз.

63 Сурет

7 Бойлық иілу (сығылған сырықтардың орнықтылығы)

Сығушы F күшімен жүктелген сырықтың бастапқы түзу сызықты формасы (64 суретті қара), күш бір мәніне жеткенше дейін орнықты болады.

Дағдарыс (аумалы) F_д күш деп сырықтың түзу сызықты тепе-теңдік формасының орнықтылығынан айыратын күштің ең кіші мәні аталады (сырық орнықтылығын жоятын күш). Күштің мәні дағдарыс күштен артық болғанда сырықтың кейбір қисық сызықты формасы орнықты болады (үзілме сызықпен 64 суретте көрсетілген), сонда жаңа тепе-теңдік формасына ауысуы сырықтың үлкен ойыстарымен бірге орын алады, сондықтан сырықтың көлденең қималарында июші момент пайда болады (бойлық күш әсерінен иілу) және кернеулер тез үлкейеді.

Практикада сығушы күш дағдарыс мәніне жеткенде, сырық істен шығады. Сондықтан қауіпсіз жүктеме дағдарыс жүктемеден кіші болу керек. Орнықтылық шарты келесі түрде жазылады

немесе (7.1)

мұндағы n_ор және [n_ор] – шынайы және қажетті (нормативтік) орнықтылық кепілдігі.

[n_ор] мәні сырықтың пайдалануына және оның материалына тәуелді; құрылыста пайдаланатын болат құрылымдар үшін [n_ор]=1,75…2,0; машина жасау саласында пайдаланатын болат құрылымдар үшін - 3,5…5,0; шойыннан жасалған құрылымдар үшін – орташа 5,0; ағаштан жасалған құрылымдар үшін - 3,0.

64 Сурет

7.1. Эйлердің және Ясинскийдің формулаларымен сығылған сырықтарды есептеу

Егер қимасы тұрақты сырықтың орнықтылығы серпімді жағдайда жойылатын болса, онда дағдарыс күштің мәнін Эйлердің формуласымен анықтайды

(7.2)

мұндағы E – сырық материалының серпімділік модулі;

J_min – көлденең қиманың минималды бас центрлік инерция моменті;

l – сырық ұзындығы;

μ – ұзындықты келтіру коэффициенті, ол сырық шеттерінің бекітілу тәсілдеріне тәуелді (64 суретті қара), m=1/k;

k – орнықтылық жойылғанда сырық иілетін синусоиданың жарты толқындар саны.

Көлденең қимадағы дағдарыс кернеу деп аталатын кернеудің сәйкес мәні келесі формула бойынша есептеледі

(7.3)

мұндағы A – көлденең қиманың ауданы;

λ – сырықтың икемділігі, ол келесіге тең

; (7.4)

i_min - көлденең қиманың минималды инерция радиусы

(7.2) мен (7.3) формулалары келесі жағдайда ғана орын алады: дағдарыс кернеу материалдың σ_пц пропорционалдық шегінен аспаса, яғни сырық икемділігі бір межелік икемділіктен аспаса

. (7.5)

λ_меж мәндері келесі: Ст.3 болат үшін - 100, Ст.5 болат үшін - 85, сұр шойын үшін - 80, ағаш үшін – 70 және т.б.

Егер орнықтылықтың жойылуы пропорционал шегінен асатын кернеулер кезінде орын алатын болса, онда дағдарыс кернеулерді тәжірибеден алынған Ясинскийдің формуласы бойынша анықтайды

(7.6)

мұндағы a, b және с – сырық материалына тәуелді коэффициентер.

Ст.3 болат үшін: a=310 МПа, b=11,4 МПа, с=0.

Ст.5 болат үшін: a=464 МПа, b=3,62 МПа, с=0.

СЧ4 шойын үшін: a=776 МПа, b=12 МПа, с=0,053 МПа.

Ағаш үшін (талшық бойымен): a=29,3 МПа, b=0,194 МПа, с=0.

Егер сырық икемділігі өте аз болса (қатаң сырықтар), онда орнықтылыққа есептеу жүргізілмейді, сырық тек қана сығылуға есептеледі.

51 Мысал - 64,а суретте көрсетілгендей бекітілген және бойлық өс бойымен сығылған сырық №40 қоставрлы профильден өңделген, оның ұзындығы 12 м. Сырық үшін дағдарыс күшті есептеу керек..

Шешуі. Түржиын кестесінен №40 қоставр үшін минималды инерция радиусын табамыз және (7.4) формуласы бойынша, сырық бекітілуінің қарастырылатын сұлбасында m=2 ескерумен сырық икемділігін анықтаймыз. Сонда . Мұндағы λ>λ_меж=100 (Ст3 болат үшін) болғандықтан, дағдарыс күштің мәнін Эйлердің формуласымен табамыз, оның алдында кестеден анықтап аламыз. Сонда

52 Мысал – Ұзындығы 5 м, болат (Ст3) құбырдан өнделген колонна 64,в суретте көрсетілгендей бекітіліп тұр, құбырдың сыртқы диаметрі d=120 мм, ішкі диаметрі d₁=100 мм. Орнықтылық кепілдігін [n_ор]=3,0 алып, сығушы күштің қауіпсіз мәнін анықтау керек.

Шешуі. Көлденең қиманың минималды инерция радиусын анықтаймыз .

Қарастырылатын жағдайда қиманың кез келген центрлік өсі оның бас инерция өсі болып келеді және қиманың барлық центрлік инерция моменттері өзара тең.

Содан кейін колоннаның икемділігін анықтаймыз .

Дағдарыс кернеу үшін Ясинскийдің (7.6) формуласын қолданып, дағдарыс күшті табамыз

Сығу күшінің қауіпсіз мәнін келесідей аламыз

53 Мысал – Жіңішке сырықтың екі шеті де қозғалмайтын топсалармен бекітіліп тұр. Сырық температурасының қандай шамаға өсуінде сырық орнықтылығынан айырылатынын анықтау керек (материал серпімді және оның температуралық кеңею коэффициенті мен серпімділік модулі тұрақты жағдайда).

Шешуі. Сырық температурасы өскенде топсалы тіректерде температуралық деформацияны теңгеру үшін сырықты сығатын реакциялар пайда болады. Сырықтың орнықтылығынан айырылуы сығушы күш дағдарыс мәніне жеткенде орын алады.

Осыдан .

7.2 Бойлық иілу коэффициенті бойынша сығылған сырықтарды есептеу

Кейбір құрылымдардың, көтеріп-тасымалдағыш машиналардың және басқа да бір қатар құрылғылардың металл құрылымдарының сығылған сырықтарын орнықтылыққа есептеуі келесі шарт бойынша орындайды

(7.7)

мұндағы [σ_ор], [σ_сығ] – сәйкес орнықтылыққа және сығылуға қауіпсіз кернеулер;

φ – бойлық иілу коэффициенті, ол негізгі қауіпсіз кернеуді кеміту коэффициенті деп де аталады.

(7.7) шарты бойынша орнықтылыққа есептеу сығылуға есептеумен ұқсас екенін көреміз. φ коэффициенті сырық материалына және оның икемділігіне тәуелді, оның мәндері 2 кестеде көрсетілген.

Тексеру есебін немесе қауіпсіз жүктемені анықтау есебін шығарғанда, (7.7) шарты бойынша есептеу қиыншылық туындырмайды.

Жобалау есебін жүргізгенде тізбектеп жуықтау әдісін қолдану керек. Сол кезде материалдың үнемді шығынына тырысу керек. Материал қасиеттері теңдік орындалғанда ең толығымен пайдаланылады. Сонда (7.7) өрнегінен келесі шығады

. (7.8)

Бірақ алдын ала қима ауданы белгісіз болса, λ сырық икемділігі мен φ коэффициентінің анықталуы мүмкін емес. Сондықтан, φ мәнін қабылдап, қиманың ауданын анықтайды, содан кейін φ коэффициентінің шынайы мәнін есептейді, сонда оның алдын ала қабылданған мәніне жақын болуына тырысу керек.

Кейбір материалдардың сығылу кезіндегі қауіпсіз кернеулерінің орташа мәндерін келтіреміз: Ст.3, Ст.4 болаттар үшін - , Ст.5 болат үшін - 175 МПа; шойын үшін - 140 МПа; ағаш үшін - 10 МПа.

2 К е с т е - Бойлық иілу коэффициенті

Икемділік, λ	Материал
Икемділік, λ	Болат Ст.2, Ст.3, Ст.4.	Болат Ст.5	Шойын	Ағаш

0	1,00	1,00	1,00	1,00
10	0,99	0,98	0,97	0,99
20	0,96	0,95	0,91	0,97
30	0,94	0,92	0,81	0,93
40	0,92	0,89	0,89	0,87
50	0,89	0,86	0,57	0,80
60	0,86	0,82	0,44	0,71
70	0,81	0,76	0,34	0,60
80	0,75	0,70	0,26	0,48
90	0,69	0,62	0,20	0,38
100	0,60	0,51	0,16	0,31
110	0,52	0,43	-	0,15
120	0,45	0,37	-	0,22
130	0,40	0,36	-	0,18
140	0,36	0,29	-	0,16
150	0,32	0,26	-	0,14
160	0,29	0,24	-	0,12
170	0,26	0,21	-	0,11
180	0,23	0,19	-	0,10
190	0,21	0,17	-	0,09
200	0,19	0,16	-	0,08

54 Мысал - 64,г суретте көрсетілгендей жүктелген қимасы дөңгелек болат тіреудің диаметрін таңдау керек. Берілгені: F=300 кН, l=2,4 м, [σ]=160 МПа (материал – Ст3 болат).

Шешуі. Берілген бекітілу шарттары үшін ұзындықты келтіру коэффициенті . Қиманың ауданын тізбектеп жуықтау әдісімен орындаймыз.

Бірінші жуықтау кезінде бойлық иілу коэффициентінің мәнін қабылдаймыз. Сонда сырық көлденең қимасының ауданы

Көлденең қиманың диаметрін анықтаймыз .

Дөңгелек қима үшін

Сырық икемділігі

2 кесте бойынша Ст3 болат және үшін коэффициент , яғни оның мәні алдында қабылданған мәніне жақын емес.

Екінші жуықтау кезінде аламыз .

Сонда

2 кестеден үшін; үшін мәндерін анықтаймыз.

Интерполяция арқылы табамыз

Бұл алдында алынған φ₂ мәніне жақын. Енді алған нәтижені тексереміз. Көлденең қиманың ауданы Шынайы кернеу Орнықтылыққа қауіпсіз кернеу сонда сырықтың кем жүктелуі келесіге тең

Орнықтылықтан айырылу дағдарыс кернеуін анықтаймыз. λ<λ_меж=100 (Ст3 болат үшін) болғандықтан, Ясинскийдің формуласымен келесіні аламыз Сонда орнықтылық кепілдігінің коэффициенті Сонымен, бір жолата d=56,4 мм алуға болады.

55 Мысал – Екі швеллерден құрылған колонна үшін (65 суретті қара) швеллер нөмерін, колоннаның орнықтылығы бас инерция өстері бағыттарында бірдей болатындай таңдау керек. Профильдер қабырғаларының арақашықтығын және орнықтылық кепілдігінің коэффициентін анықтау керек, егер F=200 кН, l=5 м, [σ_сығ]=160 МПа болса.

Шешуі. Сырықтың бекітілу шарттары бойынша .

Қабылдаймыз . Сонда . Швеллер ауданы осының жартысына тең немесе одан артық болу керек . ГОСТ 8240–72 кестесі бойынша №12 швеллерді таңдаймыз, оның ауданы А=13,3 см².

Икемділікті анықтау үшін минималды инерция радиусын білу керек. Жеке алынған швеллер үшін болғандықтан, құрама сырықтың бас инерция өстері бағыттарымен тең орнықтылығын қамтамасыз ету үшін екі швеллерді бір бірінен i_y =i_x болатындай (с қашықтығына) алыстату керек екені анық; сонда , шамасын түржиын кестесінен анықтаймыз.

№12 швеллер үшін , сонда сырық икемділігі Осы мәнге сәйкес келеді (2 кесте), ол қабылданған мәніне жақын емес, сондықтан есептеуді қайта жүргіземіз.

Аламыз . Сонда А=23,6 см², А_шв=11,8 см² - қайтадан №12 швеллерді қабылдаймыз. Екінші жағдайда біріншімен бірдей нәтиже шыққандықтан, бір жолата сырық үшін екі №12 швеллерді аламыз.

Сырық икемділігі λ> λ_меж болғандықтан, Эйлердің формуласымен дағдарыс күшті анықтаймыз .

Орнықтылық кепілдігінің коэффициенті .

Швеллер қабырғаларының арақашықтығын, құрама қиманың x_O және y_O бас центрлік инерция өстеріне қатысты инерция моменттерінің тең болу шартынан анықтаймыз (64 суретті қара)

, осыдан .

Әдебиеттер тізімі

1. Степин П.А. Сопротивление материалов: Учебник для нема-шиностроит. спец. вузов. – М.: Высш. шк., 1989. – 367 с.

2. Буланов Э.А. Решение задач по сопротивлению материалов. – М.: Высш. шк., 1994. – 206 с.

3. М.Ф.Үркімбаев, С.Жүнісбеков. Материалдар кедергісі теорияла-рының негіздері. –Алматы: Мектеп, 1986. –224 б.

4. С.Д.Тәжібаев. Қолданбалы механика. – Алматы: Білім, 1974. –336 б.

5. А.Д.Динасылов. Механика. Дәрістер жинағы. – Алматы: АЭжБУ, 2010. – 72 б.

6. Қолданбалы механика. Дәрістер жинағы /А.Д.Динасылов, Р.Қ.Қой-лыбаева. – Алматы: АЭжБИ, 2009. – 84 б.

7. Механика. Есептеу-графикалық жұмыстарды орындауға әдістемелік нұсқаулар және тапсырмалар.– Алматы: АЭжБИ, 2006. – 42 б.

8. Қолданбалы механика. Есептеу-графикалық жұмыстарды орындауға әдістемелік нұсқаулар және тапсырмалар.– Алматы: АЭжБИ, 2006. –44 б.

9. А.Д.Дінасылов, Ә.Жолшараев. Материалдар механикасы атаулары-ның орысша-қазақша түсіндірме сөздігі. –Алматы: РБК, 1994. –99 б.