ТЕОРИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ИНФОРМАЦИИ

 

 

АЛМАТИНСКИЙ ИНСТИТУТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ

КАФЕДРА «АВТОМАТИЧЕСКАЯ ЭЛЕКТРОСВЯЗЬ»

 

 

 

 

 

              

 

 

 

                   ЛЕКЦИЯ 1.

  Тема: Основные положения теории теле трафика. Потоки вызовов.

  Цель: освоить  основные термины теории, познакомиться с классификацией случайных потоков вызовов, определение потоков вызовов.

 

Вопросы:

1.Основные положения теории распределения информации.

2.Потоки вызовов.

 

      Появление и широкое распространение  в последней четверти XIX  в. ручных телефонных станций, а затем в начале XX в. автоматических привели к зарождению новой научной дисциплины – теории распределения информации.  Предметом ее изучения стали процессы обслуживания системами распределения информации поступающих потоков сообщений и их количественных характеристик. К системам распределения инфор-мации относится станция , коммутационный узел, сеть связи, а также их отдельные части, обслуживающие телефонные и другие виды сообщений по определенному алгоритму.

      Основы новой теории заложены в трудах датского математика, сотрудника Копенгагенской телефонной компании А.К.Эрланга. Сформулированный им принцип статистического равновесия и полученные на его основе формулы для расчета и сегодня являются базовыми в теории распределения информации и отделившейся от нее впоследствии теории массового обслуживания. В дальнейшем теория развивалась в работах многих отечественных и зарубежных ученых.

      Математическая модель процесса обслуживания, исследуемая в теории распределения информации, включает четыре основных элемента: поток поступающих сообщений, систему распределения информации (систему обслуживания), характеристики качества  и дисциплину обслуживания (ДО).

СИСТЕМА

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ИНФОРМАЦИИ

Стрелка вверх:   Д  О

ПОТОК ВЫЗОВ. ВЫЗОВОВВЫЗОВ ПОСТУПАЮЩИХ

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  ХАРАКТЕР-КИ                                                                                                                                                 КАЧ-ВА                                                                                                                                                                ОБСЛУ-Я

                                                                                                               

 

 

 

 

     

         

     Понятие потока сообщений  включает информацию о модели потока вызовов (требований на соединение), законе распределения длительности обслуживания (передачи) сообщений, множестве адресов источников и приемников сообщений канала, а также типе занимаемого  для передачи сообщений канала и способе передачи – аналоговом или дискретном. Система обслуживания  характеризуется  структурой  построения и набором структурных параметров.  Под дисциплиной обслуживания поступающих сообщений понимают: способ обслуживания ( с явными потерями, с ожиданием,  с повторением или комбинированный), порядок обслуживания (в порядке очередности, случайном порядке или с приоритетом), режим искания выходов коммутационной системы (свободный, групповой, или индивидуальный), а также другую информацию, характеризующую взаимодействие потока сообщений с системой обслуживания. К характеристикам качества обслуживания поступающих сообщений относятся вероятность явной или условной потери сообщения, среднее время задержки сообщения , вероятность потери поступившего вызова, интенсивность обслуженной нагрузки и др.

         Исторически первыми в теории распределения информации возникли и заняли доминирующее положение задачи анализа – определение характеристик качества обслуживания в зависимости от параметров и свойств входящего потока сообщений, параметров и структуры системы обслуживания и дисциплины обслуживания.

Наряду с этим часто решалась обратная задача – определение параметров системы обслуживания при ее заданной структуре в зависимости от параметров и свойств потока сообщений, дисциплины и качества  обслуживания.

        С появлением координатных, квазиэлектронных и электронных

на передний план выдвигаются задачи синтеза структуры коммутационной системы с оптимизацией ее параметров. Для станций  или узла определенной емкости требуется построить схему коммутационного поля таким образом, чтобы при заданных потоках, дисциплине и качестве обслуживания его стоимость была минимальной  либо минимальными потери вызовов при заданных потоках, дисциплине и стоимости коммутационного поля. При исследовании пропускной способности программно-управляемой АТС в математической модели появляются новые компоненты – время и алгоритм поиска пути.

          В последние годы заметно усилился интерес к задачам иного класса  - разработке математических моделей краткосрочного и долгосрочного прогнозов параметров потоков сообщений и исследованию свойств потоков в реальных системах. Это вызвано усложнением структуры сети, возросшими капиталовложениями на ее строительство и соответственно повышенными требованиями к ее экономичности. Нормирование и  оптимальное распределение по участкам сети  показателей качества обслуживания – еще один круг задач, решаемых в теории распределения информации.

           Математический аппарат теории распределения информации базируется на теории вероятностей, комбинаторике и математической статистике.

 

    

 

 1.1    Основными    терминами    теории распределения информации являются такие исходные понятия, как сообщение ,вызов ,занятие ,освобождение ,  поток     однородных  событий .  Рассмотрим их подробнее .

Сообщение – это совокупность   информации, имеющая признаки начала и конца и предназначенная  для передачи  через сеть связи или коммутационную систему.     Сообщение    характеризуется объемом, категорийностью ,   адресами  источника и приемника сообщений ,формой представления информации  - аналоговой или дискретной . Объемом сообщения определяются тип занимаемого канала связи и длительность занятия  - время передачи (обслуживания )сообщения . Сообщением могут быть телефонный разговор , телеграмма  ,   данные ЭВМ ,   программа      радио- и телевещания , передаваемая по каналам связи, сигналы телеизмерений и повреждений аппаратуры  и т.п.

       Сообщения подразделяются   на:

        обслуженное – переданное через сеть связи приемнику;

        потерянное  - поступившее в сеть связи  и не переданное  приемнику  вследствие занятости, повреждения  или недоступности  соединительных путей, а также  занятости и неответа  приемника;

        задержанное  - поступившее в сеть связи  и ожидающее начала  передачи;

        условно потерянное  - поступившее в сеть связи  и задержанное сверх допустимого срока,  даже если оно потом было передано.

        Вызов  - требование источника на установление соединения ,поступившее в сеть связи  ,коммутационную систему ,на вход ступени искания  , в управляющее устройство  с целью передачи сообщения . Вызов характеризуется только моментом поступления .

Вызовы также подразделяются на несколько видов:   

       обслуженный – получивший соединение в пределах рассматриваемого пучка линий,  группы приборов, коммутационной системы или сети связи; при этом вызов, получивший соединение с требуемым приемником следует считать полностью обслуженным, а вызов, получивший соединение только на конкретном участке сети связи или коммутационной системы, частично обслуженным;

       потерянный – получивший отказ сети связи  (коммутационной системы) в установлении соединения из-за отсутствия  в момент поступления  вызова свободных, доступных  и исправных линий  (приборов) или мест ожидания, а также занятости  или неответа  приемника. Вызов получившие неверное (ошибочное ) соединение ,также относятся к потерянным ;

задержанный- ожидающий начала установления соединения из-за отсутствия в момент поступления вызова свободных, доступных и исправных  линий;

    первичный  - первый для данного сообщения вызов сети связи;

    повторный -  поступивший в сеть связи  через случайный или детерминированный  промежуток времени после того, как был потерян предыдущий вызов, соответствующий тому же сообщению.

       Занятие – любое использование прибора, линии, устройства с целью установления соединения независимо от того, закончилось оно передачей сообщения или нет. Занятие характеризуется моментом и длительностью .

       Освобождение – возвращение прибора, линии, устройства  в исходное нерабочее состояние. Освобождение характеризуется  только моментом наступления .

        Множество последовательных моментов поступления вызовов  образует  поток вызовов.    Аналогично можно говорить об образовании  потока однородных событий , происходящих в последовательные моменты времени . При изучении свойств и различных математических моделей  потоков удобно для определенности рассматривать потоки вызовов  , подразумевая при этом потоки любых однородных событий  .

          Поток называется детерминированным, если последовательность моментов поступления вызовов  заранее определена, известна, и случайным, если данная последовательность случайна. Детерминированный поток вызовов можно задать следующими эквивалентными способами  :

1)     последовательностью моментов поступления вызовов;

2)     последовательностью промежутков между моментами поступления  вызовов;

3)     последовательностью моментов освобождения  вызовов.

         Детерминированные потоки редко встречаются  на практике, поскольку процесс поступления вызовов  на коммутационную систему  носит случайный характер. Примером  детерминированных потоков могут служить потоки моментов начала  и окончания передач программ радио и телевидения   по каналам связи. В основном  же в технике связи приходится иметь дело со случайными

потоками. Поэтому в дальнейшем рассматриваются только случайные потоки вызовов.

         Для задания случайных потоков используют вероятностные законы распределения следующих случайных величин: моментов поступления вызовов, промежутков между вызовами  и числа поступающих вызовов  в промежутке  [0,t).В общем случае требуется применение  многомерных законов распределения. Однако реально  используемые модели потоков обычно обладают рядом свойств, позволяющих значительно упростить описание потоков.

             

      1.2 Свойства и характеристики потоков вызовов.

           Случайные потоки вызовов классифицируются в зависимости от наличия или отсутствия  трех следующих свойств: стационарности, последействия и ординарности.

       Стационарность  означает что с течением времени вероятностные характеристики  потока меняются. Стационарность потока равносильна  постоянной  плотности  вероятности поступления вызовов в любой момент времени  , иначе говоря, для стационарного потока  вероятность поступления  i вызовов за промежуток времени  t зависит  только от величины промежутка времени и не зависит от его расположения  на оси времени .

      Последействие  означает зависимость вероятностных характеристик  потока от предыдущих событий.

      Ординарность  означает практическую невозможность группового поступления вызовов.

       К основным характеристикам случайного потока относят  ведущую функцию , параметр и интенсивность .Ведущая функция

случайного потока  есть математическое  ожидание  числа вызовов  в промежутке  [0,t).

Параметр  потока  l(t) в момент времени t  есть предел отношения вероятности поступления не менее  одного вызова  в промежутке 

[t, t) к величине этого промежутка при  :

 

                     l(t)= lim

 

                                 

Интенсивность  стационарного потока  m   есть математическое ожидание числа вызовов в единицу времени.

 

1.3  При рассмотрении конкретных математических моделей потоков удобно, используя признак последействия, распределить все изучаемые модели по трем классам:

1)     потоки без последействия;

2)     с простым последействием;

3)     с ограниченным последействием.

    В класс потоков без последействия входят : простейший, пуассоновский с переменным или случайным параметром, неординарный пуассоновский потоки.

   К потокам с простым последействием относятся                       примитивный, сглаженный и с повторными вызовами. Ограниченным последействием    обладают рекурентный поток, поток Пальма и поток Эрланга.

 

Вопросы:

1.     Потоки вызовов. Способы их задания.

2.     Свойства и характеристики потоков вызовов.

3.     Определение параметра и интенсивности потоков.

4.     Классификация потоков вызовов.

 

 

                             ЛЕКЦИЯ 2

Тема: Простейший поток вызовов. Потоки с простым после-                 действием.

Цель: усвоить формулу Пуассона, свойства и характеристики  простейшего потока, рассмотреть потоки с простым последействием, поток освобождений.

 

2.1 Простейший поток – это стационарный, ординарный поток без последействия. Для задания простейшего потока используется функция Рi(t) –вероятность поступления  i вызовов за отрезок времени t, где i- количество вызовов, t- интервал времени :

 

                            Рi(t)=   - формула Пуассона

 

l- параметр потока.

 Рассмотрим функцию Пуассона Pi(t):

 

При i lt  имеет место Pi-1(t)£ Pi(t) и при  i³lt – обратное соотношение. Следовательно, с ростом  i (числа занятых линий)

вероятность Pi(t) растет, пока сохраняется  условие I<lt, и начинает уменьшаться при  I>lt.Максимума функция  Pi(t)  достигает  при целом значении lt в двух точках  i=lt  и  i=lt-1, при дробном значении  lt в одной точке i=[lt], где [ ] означает целую часть числа.

          Наряду с распределением Пуассона Pi(t)при решении практических задач используют суммарные вероятности   поступления не менее i вызовов и  поступления не более i вызовов за промежуток времени t.

 

Значения этой формулы табулированы. Затем определяются значения функции :

Pi=

Например,

 

 

                                  

2.2 Свойства и характеристики простейшего потока.

 Распределение промежутка времени между соседними вызовами.

 Формула Пуассона является одним из возможных способов задания простейшего потока. Другим способом может служить распределение  промежутка между соседними  вызовами P(z<t)=1-     P(z>t). Вероятность  P(z>t)  равносильна вероятности того, что внутри промежутка длиной t не поступит ни одного вызова  P(z>t)=

= (t) . Тогда P(z<t) =1- (t) = 1- . Дифференцируя это выражение по t , находим плотность распределения   p(t)=l .Закон  распределения с плотностью p(t) называется экспоненциальным или показательным , а  l  -его параметром. Это распределение   является не только  необходимым, но и достаточным условием существования простейшего потока.

        

Следующей характеристикой простейшего потока являются математическое ожидание   Mi и дисперсия  Di  числа вызовов за промежуток времени t:

     Mi= = lt = lt;

   

     Di= .

Совпадение этих величин за промежуток t для простейшего потока на практике удобно использовать при проверке соответствия реального потока модели простейшего потока.

 

Объединение и разъединение простейших потоков.

       При объединении  нескольких независимых простейших потоков образуется также простейший поток  с параметром, равным сумме параметров исходных потоков. При разъединении поступающего простейшего потока с параметром  l на n направлений так, что каждый вызов исходного потока вероятностью pi( поступает на I направление, поток I-го   направления также будет простейшим потоком с параметром  lpi.

   

       Модель простейшего потока получила наибольшее по отношению ко всем другим моделям потоков распространение  в теории распределения информации. Объясняется это сравнительной простотой получаемых при ее использовании результатов, а также тем, что она удовлетворительно  для целей практики описывает процесс поступления вызовов от большой группы источников.

 

  2.3 Потоки  без последействия.

        К классу потоков без последействия относятся кроме простейшего еще нестационарный пуассоновский поток и неординарный пуассоновский поток.

        Нестационарный пуассоновский поток – это ординарный поток без последействия , для которогов любой момент времени t существует  предельный параметр l(t) , зависящий от момента t :

Неординарный пуассоновский поток – это стационарный неординарный поток без последействия. Характеризуется потоком вызывающих моментов и потоком вызовов. В каждый вызывающий момент поступает L вызовов  ( 1£L£r), L – характеристика неординарности .

 

    l=

- интенсивность поступления групп вызовов с l вызовами в каждой.

2.4 Потоки с простым последействием.

Следующим классом является поток с простым последействием.

К нему относятся  примитивный, сглаженный, с повторными вызовами.

s(t)- состояние системы в момент времени t. Если структура коммутационной системы такова,  что вероятность ее состояний  в любой момент времени  t зависит только от числа занятых входов , то исследование процесса обслуживания системы можно производить только с учетом макросостояний системы. В случае, если таких характеристик системы несколько рассматривают микросостояния системы ( сколько занятых входов, режим искания свободных выходов, какие именно заняты входы или выходы, дисциплины обслуживания поступающих вызовов и т.п.).

Примитивный поток – это ординарный поток , параметр которого  пропорционален числу свободных источников N в состоянии обслуживающей системы i:

    

           =a(N-i),

   где N- общее число источников, i –число занятых источников,

a- параметр источника в свободном состоянии.

Сглаженный поток – это поток , пропущенный через j (j=1,2,…) ступеней искания и поступающий на (j+1)-ю ступень коммутационной системы, называется сглаженным. Любой пучок линий пропускает на следующую ступень искания все поступающие вызовы до тех пор, пока хотя бы одна линия пучка свободна и закрывается при занятости всех линий. Поэтому, если на пучок поступает  простейший поток  с параметром  , параметр потока на выходе будет иметь одно из значений -l или 0. Если ступень искания состоит из N одинаковых пучков, емкостью V линий и на каждый пучок поступает простейший поток с параметром l, тогда сглаженный поток на выходе ступени будет иметь параметр :

  = l(N-i), где i – число пучков, в которых заняты все линии.

 Поток с повторными вызовами – этот поток состоит из потока первичных вызовов и потока повторных вызовов. Параметр потока повторных вызовов определяется числом  источников, повторяющих  

вызовы и равен произведению числа таких источников на интенсивность одного источника :

 

             ,

где i-число источников, занятых обслуживанием;

       b- интенсивность источника повторных вызовов;

       j- число источников, повторяющих вызовы;

       a- интенсивность свободного источника.

 2.5 Поток освобождений

Поток освобождений – это последовательность моментов окончания обслуживания вызовов. Свойства потока освобождений зависит от свойств поступающего потока, качества работы коммутационной системы  и закона распределения  времени обслуживания. Время обслуживания поступившего вызова может быть детерминированным или случайным. Детерминированное время задается последовательностью величин t , характеризующих длительность обслуживания k вызова, при t = t – время обслуживания называется постоянным. Постоянная длительность обслуживания характерна при обслуживании маркеров, микропроцессоров, АТС с программным управлением. В остальных случаях величина случайная. Случайное время обслуживания задается законом или плотностью распределения. Наиболее простым и распространенным является показательный закон распределения:                   F(t) = 1 – e ,  h – среднее время обслуживания.

         Если в коммутационной системе занято k линий, то вероятность освобождения i линий  за промежуток времени t можно рассматривать как i успешных испытаний среди общего числа k независимых испытаний  и определить согласно распределению Бернулли :     P(i, k, t) = ,

где р- вероятность освобождения одной конкретной линии за промежуток времени t и определяется по следующей формуле:            Р= 1 - е (при показательном времени обслуживания). Тогда:

 

 P(i, k, t) = .

       Вероятность того, что за время t не освободится ни одна из занятых линий  - P(0, k, t) = e , а вероятность того,что освободится хотя бы одна линия :

  P(i³1, k, t) = 1 – P( 0, k, t) = 1 – e .  

 

 Потоки с ограниченным действием.

       Ординарный поток промежутки между вызовами в котором z1,z2,… zk  образует последовательность взаимно независимых случайных величин, называется потоком с ограниченным действием.

Для однозначного описания данного потока достаточно задать семейство функций  распределения случайных величин zk :

Fk(t) = P(zk<t). У потока с ограниченным последействием вероятность поступления нового вызова в промежуток времени d зависит только от расположения этого промежутка d по отношению к моменту поступления последнего вызова  и не зависит от времени поступления всех остальных вызовов. Для этих потоков в момент поступления  вызова будущее не зависит от прошлого и все последействие  ограничивается величиной промежутка времени  между вызовами.

         Особое место среди потоков с ограниченным последействием занимают реккурентные потоки, у которых все промежутки между вызовами , включая первый, имеют одинаковое распределение Fk(t)=F(t) при k³1, и  реккурентные потоки  с запаздыванием, у которых только первый промежуток имеет распределение, отличное от других. Реккурентные потоки с запаздыванием задаются соответственно двумя функциями  распределения  F1(t)  и F(t)=Fk(t) при k³2. Функция  F1(t) характеризует распеределение промежутка времени  о произвольного выбранного начала отсчета t 0 до момента поступления  первого вызова.

       Можно показать, что стационарный реккурентный поток будет простейшим. Стационарный реккурентный поток с запаздыванием называют потоком Пальма. Поток Пальма задается условной вероятностью (t) отсутствия  вызовов в промежутке длиной t, если в начальный момент этого промежутка поступил вызов. Тогда :

P(z 1<t) = ;    P(zk<t) = 1- (t) , k³2.

Здесь l - параметр, или интенсивность, потока Пальма, l=1/z. Потк Пальма является обобщением простейшего потока. При (t)=e-lt получается простейший поток , поскольку все промежутки, включая первый, распределены по показательному закону. Модель потока Пальма хорошо описывает  поток необслуженных вызовов.

        Понятие «поток Пальма» объединяет широкий класс потоков, отличающихся друг от друга используемым законом распределения промежутков между вызовами. Одним из примеров потока Пальма является поток Эрланга, образуемый просеиванием  простейшего потока.  Если из последнего выбросить каждый второй вызов, оставшиеся потоки образуют поток Эрланга второго порядка. Поток Эрланга  третьего порядка получится, если сохранить в простейшем потоке  каждый третий вызов. Поток Эрланга   n-го порядка  называется поток , получаемый из простейшего, если сохранить каждый n-й вызов, остальные выбросить. Очевидно, простейший поток можно рассматривать как поток Эрланга первого порядка.

 

  ,

распределение с плотностью pn  есть  закон Эрланга n-го порядка.

При n=1 он превращается в известный показательный закон.

      Математическое ожидание и дисперсию величины zn удобно определить в соответствии с теоремой сложения математических ожиданий и дисперсий независимых случайных величин, т.е. промежутков исходного простейшего потока : Mzn=nMz1=n/l ,

Dzn=nDz1=n/l2. Параметр потока Эрланга n-го порядка n=1/Mzn=l/n. Следовательно, с ростом n увеличиваются математическое ожидание и  дисперсия промежутка zn , а параметр потока падает.

 

1.     Простейший поток вызовов. Формула Пуассона.

2.     Свойства простейшего потока вызовов.

3.     Какие потоки вызовов относятся к классу потоков без последействия?

4.     Потоки вызовов с простым последействием.

5.     Поток освобождений. Как рассчитывают вероятность освобождения линий (выходов) коммутационной системы?

6.     Какие потоки вызовов относятся к классу потоков с ограниченным последействием?

 

 

 

 

 

 

                        ЛЕКЦИЯ 3

Тема : Нагрузка и характеристики качества обслуживания.                      

Цель: освоить понятия поступающей, обслуженной и потерянной

            нагрузки, усвоить формулу нагрузки, расчета основных        

            параметров нагрузки, единицы измерения нагрузки и    

            интенсивности нагрузки, методику определения ЧНН, ко-

            эффициенты нагрузки. Познакомиться с основными

            методами исследования пропускной способности.

   Для характеристики процесса обслуживания вызовов коммутационной системой используются понятия нагрузки и работы. Нагрузка, а точнее обслуживаемая в момент времени t нагрузка , есть числоi(t) одновременно обслуживаемых вызовов или, что то же, число занятых линий, приборов, входов или выходов          коммутационной системы в момент времени t. Для коммутационной системы следует различать нагрузку входов и выходов, так как из-за разного числа и разной длительности занятий нагрузка входа как правило, больше нагрузки выходов.

        Поскольку нагрузка – величина случайная, при теоретических исследованиях и расчетах используют ее математическое    ожидание и дисперсию . Математическое ожидание нагрузки Y(t)=Mi(t)= называют интенсивностью нагрузки в момент времени t. Здесь Pi(t) – вероятность занятия i линийв момент времени t в пучке емкостью v линий. При постоянной вероятности Рi  в пределах некоторого промежутка  интенсивность нагрузки также будет постоянной   Y= .

       Существует три основных вида нагрузки : поступающая , обслуженная и потерянная.

Поступающая – это потенциальная нагрузка (ее можно только прогнозировать) в случае ,если бы каждойпоступающей заявке тотчас же было предоставлено соединение (идеальная система без потерь). Обслуженная нагрузка – это суммарное время занятия всех выходов коммутационной системы.

Потерянная нагрузка – это разность между поступающей и обслуженной нагрузки. Введем следующие обозначения:

А – поступающая нагрузка ;

Y – обслуженная нагрузка ;

Yп - потерянная нагрузка.

    Для расчетов используются следующие формулы:

А=     ;    Y= , где ti  - время занятия i-й линии ;

Yп = А- Y

Потерянная нагрузка – это разность между поступающей и потерянной нагрузками.

Единицы измерения нагрузки.

    Нагрузка измеряется в часо-занятиях. Нагрузка в одно часо-занятие – это нагрузка , обслуженная одной линией  при непрерывном занятии в течении часа. Интенсивность нагрузки  и змеряется в Эрлангах . 1 Эрл – это нагрузка в 1 часозанятие за 1 час.

Работа –это произведение средней интенсивности нагрузки на величину промежутка времени (измеряется в часозанятиях).

         Изменение интенсивности нагрузки .

Влияют на нагрузку время суток , район (структурный состав абонентов, режим городской жизни .


При исследовании суточного распределения интенсивности нагрузки выделяют промежутки длиной в час , когда оно достигает максимального значения – час наибольшей нагрузки (ЧНН) и период

наибольшей нагрузки ( 3 часа)  - ПНН.

 

 

900-1000

915-1015

930-1030

1100-120

1

15,88

19,15*

17,94

 

 

18,23

2

19,67

17,18

19,69*

 

 

13,54

3

24,03*

20,16

21,49

 

 

16,58

 

.

.

 

.

.

 

 

.

.

 

.

.

 

.

.

 

.

.

 

.

.

 

.

.

 

.

.

 

.

.

 

.

.

 

.

.

 

.

.

 

.

.

25

16,15

17,19

20,34*

 

 

19,12

19,16

18,00

21,15*

 

 

15,79

 

    

 

Yij – интенсивность нагрузки в i час  j-го дня

 

=

=max

  

   Расчет интенсивности поступающей нагрузки

 

Расчет интенсивности поступающей нагрузки производят по следующей формуле :

 

            A = N Ct

N – число абонентов

C – среднее число вызовов от 1 –го абонента

T – средняя длительность одного занятия

 

Категории абонентов :

Nкв – абоненты квартирного сектора

Nнх – абоненты народнохозяйственного сектора

Nт – абоненты таксофонов

Nсл – абоненты от соединительных линий учрежденческих станций

 

 

  =

 

 

Виды занятий.

Занятия бывают успешные и неуспешные. К успешным относятся занятия , окончившиеся разговором. К неуспешным относятся занятия , которые не окончились разговором.

Неуспешные занятия происходят из-за следующих причин:

1)     из-за занятости вызываемого абонента ;

2)     из-за нетовета вызываемого абонента;

3)     из-за ошибки при наборе номера вызываемого абонента;

4)     по техническим причинам ( неисправное состояние прибора, линии связи  ).

Обозначим через р – соответственно доли этих занятий от общего числа поступающих вызовов, т.е –

рр – доля занятий , окончившихся разговором

рз- доля занятий, неокончившихся разговором из-за занятости вызываемого абонента

рно – доля занятий ,неокончившихся разговором из-за неответа вызываемого абонента

рош – доля занятий, неокончившихся разговором из-за ошибки при наборе

ртехн – доля занятий , неокончившихся разговором по техническим причинам.

По статистическим данным в среднем имеют место следующие соотношения : рр – 0,4-0,5 ; рз – 0,15-0,3 ; рно – 0,1 –0,2 ; рош – 0,01-0,03 ; ртехн – 0,01-0,02

 Обозначим через tр , tз , tно , ,tош ,tтехн  - соответствующие средние длительности занятий .

 

1.Среднюю длительность занятия , когда разговор состоялся расчитывают по следующей формуле :

 

 tр = tос + tус +tпв +Т +t0 ,

где tос – сигнал «ответ станции» (для расчетов tос= 3сек)

tус – время для установки соединения (tус=1,5*m+2,5сек,где m – число цифр набираемого номера);

tпв – сигнал «посылка вызова» (tпв=7 сек);

Т – продолжительность разговора ;

tо – отбой  (для ДШ АТС -1сек, для АТСК- 0 сек).

 

2.Средняя длительность занятия , когда разговор не состоялся из-за занятости вызываемого абонента :

 

tз= tос+tус+tз+t0,

 

где tз продолжительность сигнала «занято» ( tз =5 сек).

 

3.Средняя длительность занятия , когда разговор не состоялся из-за

“неответа” вызываемого абонента :

 

tно=tос+tус+tно+tо ,

 где tно –продолжительность сигнала «неответа» (tно=30сек)

 

7.     Средняя длительность занятия , когда разговор не состоялся из-за ошибки при наборе tош =7 сек.

8.     Средняя длительность занятия , когда разговор  не состоялся по технически причинам tтехн =7сек.

 

 Тогда общая средняя длительность занятия t расчитывается по следующей формуле :

  t= tррр+tррр+tнорно+tошрош+tтехнртехн. .

После чего можно рассчитать поступающую нагрузку.

В практических расчетах пользуются упрощенным выражением для определения средней длительности занятия :

   t= α ррtр  , где α – коэффициент непроизводительного занятия коммутационной системы , зависящий от Т(длительности разговора) и  рр ( доля занятий ,окончившихся разговором).


 

 

 

 

 

 


         Пропускная способность выходов системы.

 

        Эффективность работы коммутационной системы можно определить с помощью  характеристик качества обслуживания . К ним относятся вероятность потери поступившего   вызова , вероятность потерь по времени, вероятность потерь по нагрузке- для дисциплины обслуживания с потерями ; вероятность ожидания для задержанных вызовов,средняя длина очереди,среднее время ожидания-для дисциплины обслуживания с ожиданием.

        Для сравнения коммутационных систем используют понятие пропускной способности системы . Под пропускной способностью системы понимают интенсивность обслуженной этой системой нагрузки в рассматриваемый промежуток времени при заданном качестве обслуживания. Пропускная способность зависит от свойств поступающего потока  вызовов, структуры и емкости коммутационной системы, дисциплины обслуживания .Занятие выходов в системе может быть упорядоченным или случайным. При упорядоченном занятии первым всегда   занимается любой из свободных выходов и рассчитывается по формуле:

 

                               η  = ,

где Y – обслуженная нагрузка всей системой ;

 

         V   - емкость системы.

      

Пропускная способность i-го выхода при упорядоченном занятии можно определить как разницу между избыточными нагрузками :

 

 

                ,

где А- поступающая нагрузка , Еi (A) –первое распределение Эрланга.    Причем имеет место соотношение :

          η1 >  η2 >  …>ηi-1 > ηi >  ηi+1 > ….>ηv-1 > ηv

(пропускная способность первого выхода самая большая).

 

ВОПРОСЫ :

1.Нагрузка,ее параметры,интенсивность нагрузки. Поступающая,обслуженная и потерянная нагрузки.

2.Изменение интенсивности нагрузки во времени. Что такое час наибольшей нагрузки(ЧНН)? Как оценивается степень концентрации нагрузки в час наибольшей нагрузки?

3.Единицы измерения нагрузки и интенсивности нагрузки.

4.Параметры нагрузки. Расчет поступающей нагрузки.

5.Понятие о потерях.

6.Пропускная способность. Какие факторы влияют на пропускную способность коммутационной системы?

 

 

 

 

                                  

 

 

 

 

 

                   Лекция 4.

 

Общие понятия об исследованиях процессов обслуживания вызовов.

Характеристики качества обслуживания .

 

Цель: познакомиться с основыми методами исследования пропускной способности , процессов обслуживания поступающих потоков вызовов коммутационными системами с учетом их структуры, способа объединения выходов, дисциплины обслуживания вызовов, а также их качественных показателей.

 

 

 

           Структура коммутационной системы характеризуется большим количеством  параметров : числом звеньев, числом и емкостью коммутаторов в каждом звене,способом связи коммутаторов в каждом звене, способом связи коммутаторов соседних звеньев между собой   и т.д. Способ включения выходов коммутационной системы может быть полнодоступным и неполнодоступным. Неполнодоступное включение, в свою очередь, характеризуется доступностью, числом нагрузочных групп, способом занятия линий.

            Поступающие потоки вызовов(сообщений) могут обслуживаться без потерь и с потерями. В первом случае для передачи каждого сообщения немедленно предоставляется требуемое соединение, а во втором – часть сообщений получает отказ в обслуживании или обслуживание их задерживается на некоторое время. По экономичным соображениям реальные коммутационные системы  обычно проектируют с потерями. Потери сообщений бывают явные и условные.

       Обслуживание с явными потерями  предполагает, что сообщение и соответствующий ему вызов при получении отказа в немедленном соединении полностью теряется и на обслуживание больше не поступают, по крайней мере, в данную коммутационную

систему.

         Условные потери  выражаются в задержке передачи сообщения сверх допустимого срока. Обслуживание с условными потерями  может быть организовано по системе с ожиданием соединения  и с повторением вызовов. В первом случае задержанные источники становятся в очередь и обслуживаются по мере освобождения соединительных устройств. Очередь может быть общая или индивидуальная к каждому приборов(входов). Выбор источников  из очереди может происходить в порядке поступления вызовов (упорядоченная очередь), в обратном порядке (реверсивная очередь), в случайном порядке ( случайная очередь) и с приоритетами для некоторых категорий вызовов ( относительный приоритет). Возможен также абсолютный приоритет, когда поступивший вызов при занятости всех доступных ему соединительных устройств прерывает обслуживание вызова более низкого приоритета и занимает  его соединительный путь. Например, междугорнодний вызов может прервать установленное местное соединение. Обслуживание с повторением вызовов является определенным обобщением дисциплины обслуживания с ожиданием.

            Наряду с основными дисциплинами   обслуживания – с явными  и условными потерями – возможен ряд комбинированных. В системе с ожиданием часто ограничиваются время  пребывания источника в очереди или длина очереди. Тогда часть поступающих сообщений обслуживается с ожиданием, а часть – с повторением или с явными потерями.

    

        Для каждой дисциплины обслуживания вызовов характерны свои основные и вспомогательные показатели качества обслуживания. В системе с явными потерями сообщений основной характеристикой  качества обслуживания является вероятность потери поступившего вызова , а вспомогательными – вероятность потерь по времени и по нагрузке.

        Вероятность  потери вызова  Рв (t1, t2), поступившего в промежутке времени (t1,t2 ), есть соотношение средних интенсивностей потоков потерянных и поступивших вызовов или равносильное соотношение интенсивностей избыточной и поступившей  нагрузок в этом промежутке. Вероятность Рв(t1,t2)  совпадает  с вероятностью явной потери  поступившего сообщения.

      Вероятность потери по времени  Рt(t1,t2) в промежутке времени есть вероятность занятости в этом промежутке доступных источнику соединительных путей в требуемом направлении. Подобное состояние, когда заняты все доступные пути, называют состоянием насыщения, или «опасным временем» системы. Вероятность Рt (t1,t2) характеризует потенциальную возможность потери вызова в промежутке [t1,t2).

     Вероятность потерь по нагрузке Рн(t1,t2) в промежутке [t1,t2) есть соотношение интенсивностей потерянной и и потенциальных нагрузок в этом промежутке. При равенстве интенсивностей потенциальной и поступающей  нагрузок Рв(t1,t2) =Pн(t1,t2).

         При теоретических исследованиях указанные характеристики определяют как для конечных, так и для бесконечных интервалов времени. При измерениях на реальных системах  вычисляют частное значение потерь вызовов как долю потерянных за определенный промежуток времени и частное значение потерь по времени как долю рассматриваемого промежутка, когда заняты все доступные источнику соединительные пути в требуемом направлении.

        В системе с ожиданием основными характеристиками являются  вероятность ожидания Р(γ>0), вероятность ожидания свыше допустимого времени Р(γ>td) ,среднее время ожидания ко всем поступившим вызовам и по отношению только задержанным, средняя длина очереди .

     Методы исследования.

        Основным инструментом исследования в теории распределения информации  все еще остается метод уравнений вероятностей состояний, основанный на принципе статистического равновесия. Для системы обслуживания вводится понятие состояния. В простейшем случае состояние системы характеризуется одной случайной переменной, например числом занятых линий или вызовов, находящихся на обслуживании  и в очереди. Однако в большинстве случаев для описания процесса обслуживания поступающих  сообщений одной переменной оказывается недостаточно –необходима более подробная информация о функционировании системы. Например, в полнодоступной системе    c повторением используют две переменные: одна соответствует числу занятых линий, а вторая – числу источников, повторяющих вызовы. В неполнодоступных и звеньевых системах только для описания возможных состояний, обусловленных структурой  схемы, требуется от трех до нескольких десятков случайных переменных. Кроме того, часто необходимы дополнительные переменные для отображения особенностей потока вызовов и закона распределения времени обслуживания.

          Состояния определяемые одной переменной, принято называть макросостояниями системы, а двумя и больше  - микросостояния-ми.  Используя тот или иной общий признак, можно для удобства анализа использовать   микросостояния объединять в классы – макросостояния. При поступлении очереднего вызова, окончании обслуживания сообщения  или изменении фазы работы управляющего устройства система меняет  свое состояние. Интенсивности перехода из одного состояния в другое обычно известны на основании свойств потоков вызовов и освобождений. Это позволяет для каждого микросостояния системы составить уравнение, связывающее между собой вероятности соседних состояний. Решение системы таких    уравнений  дает точное решение задачи в пределах принятой математической модели. Систему можно решить аналитически или численно. Примером аналитического решения  являются распределения Эрланга, Энгсета, Бернулли и Пуассона.

          При отсутствии аналитического решения в ряде случаев удается построить вычислительный алгоритм на основе рекурентных соотношений, получаемых непосредственно  из системы уравнений.

      При невозможности решения задачи аналитически или рекурентным методом используют методы вычислительной математики, в частности итерационный  метод решения систем уравнений. Этим методом можно пользоваться при расчете несложных неполнодоступных схем, элементов сети связи с обходными направлениями, некоторых систем с повторением.

           Наиболее универсальным, пригодным для решения задач практически любой сложности, является метод статистического моделирования. Математическая модель процесса при этом реализуется в виде программы для ЭВМ. Моделирование позволяет получить численные характеристики качества обслуживания при конкретных   параметрах потока и схемы и заданной дисциплины обслуживания. Результаты моделирования используют для проверки гипотез и предположений, уточнения эмпирических коэффициентов. При моделировании получают приближенную оценку характеристик качества обслуживания, однако, за счет времени, а также применения специальных  методов моделирования достигается требуемая точность.

         Особое место в теории занимают приближенные инженерные

Методы. Появление их обусловлено необходимостью быстрой  оценки пропускной способности коммутационных систем и сетей  связи сложной структуры при отсутствии в настоящее время точных методов расчета. К инженерным методам относятся, например, формулы О”Делла и Пальма-Якобеуса для неполнодоступных включений, методы эффективной доступности, графов и комбинаторный для звеньевых схем, методы эквивалентных замен для сетей связи. Инженерные методы применяют при расчете оборудования проектируемых станций или числа линий в сети связи, когда в виду невысокой точности исходных данных (в основном параметров нагрузки) допустима некоторая погрешность  в определении пропускной способности. Они также применяются для предварительной  оценки структуры и параметров разрабатываемой  коммутационной системы. Однако их нецелесообразно использовать для решения задач оптимизации и окончательного выбора варианта построения схемы, поскольку в этом случае требуется большая точность расчетов. Для этой цели обычно применяют численные методы и статистическое моделирование.

 

 

Вопросы:

1.Основные дисциплины обслуживания коммутационных систем.

2. Характеристики качества обслуживания.

3. Как влияет дисциплина обслуживания на характеристики качества обслуживания?

4.Основные методы исследования процессов обслуживания вызовов (сообщений).

5. Статистичекое моделирование. Область применения.

 

 

 

Лекция 5.

 

МЕТОДЫ РАСЧЕТА ОДНОЗВЕННОЙ ПОЛНОДОСТУПНОЙ КОММУТАЦИОННОЙ СИСТТЕМЫ С ЯВНВЫМИ ПОТЕРЯМИ.

 

Цель: усвоить методику составления уравнений состояния полнодоступного пучка при обслуживании простейшего и примитивного потоков. Проанализировать результаты решения уравнений формулы Эрланга и формулы Энгсета.

 

 

  Полнодоступная коммутационная система с потерями при обслуживании простейшего потока.

 

Обозначение Кендалла:      М / М / V

1.М- поступающий поток (простейший), G –случайный поток;

2.М- по какому закону распределяется длительность обслуживания поступающего вызова: М – по показательному закону, D-при постоянной длительности обслуживания всех заявок;

3.V- число линий в пучке , если V=1, то система однолинейная.

 

 

Постановка задачи.

Рассматривается следующая математическая модель. На неблокируемую коммутационную систему, имеющую V полнодоступно включенных выходов, поступает  простейший поток вызовов. Время обслуживания одного вызова – случайная величина, распределеннная по показательному закону со средним значением, принятым за единицу времени (h=1 у.е.в.). Дисциплина обслуживания – с явными потерями сообщений. Число занятых выходов i (i=0,v) назовем состоянием исследуемой системы. Параметр потока вызовов λi выражен в выз/у.е.в. (Эрл); его можно также трактовать как интенсивность поступающей нагрузки в состоянии системы i. При поступлении вызова или окончании его обслуживания система скачкообразно переходит из одного состояния в другое. Причем, для марковских процессов рождения (занятия линий) и гибели (освобождения линий) характерно, что непосредственный переход возможен только в соседнее состояние, т.е. из  в  или  либо по-прежнему останется в состоянии    ( - освобождение линии, - занятие линии).

 Допустим, в момент времени t=0 известно состояние i системы либо распределение вероятностей состояний Рi (0). Возникает задача: найти распределение вероятностей Рi(t) в момент t, а также вероятность потерь.

 

       Для вывода формулы нахождения вероятностей различных состояний и потерь необходимо рассмотреть марковский процесс “рождения и гибели”.

- состояние системы,когда занято x лиинй из V;

р(x) – вероятность пребывания системы в состоянии

 

  λ   λ         λ     λ                    λ

                                 (марковская цепь)

   (1)          (x)-ν                           (V)

 

- интенсивность перехода в более высокое состояние.

-  интенсивность перехода в более низкое состояние.

 λ- параметр занятий (для простейшего потока λ=const);

 ν- параметр освобождений (обратные переходы) зависят от того, сколько линий занято в данный момент( параметр освобождений ν=x+1 ).

 

Условие статистического равновесия.

 

 

 

λ*р(x-1) = x*р(x)

λ – параметр занятий

ν – параметр освобождений, в данном случае ν=x

Интенсивность перехода в более высокое состояние, взвешенное (умноженное) вероятностью пребывания системы в этом состоянии численно равно интенсивности перехода в более низкое состояние,взвешенное(умноженное) вероятностью пребывания системы в этом состоянии.

 

 

Для вывода формулы нахождения вероятности различных состояний коммутационной системы из уравнения статистического равновесия получим рекуррентную зависимость:

 

        Р(x)  = Р(x-1),

       где X=0,1,2,…,V :

Р(0) – нельзя найти из рекуррентной зависимости

Р(1)  = Р(0)

 

Р(2) = Р(1) = Р(0) =

 

 

Р(3) = Р(2)= Р(0) = Р(0)

 

                                                         

 

 

 

(*) Р(x)  = Р(0)    -   вероятность, что в системе занято x линий,   

                    однако нам неизвестно Р(0)  

           

 

Р(V) = Р(0)

____________________________________ (проссумируем левые и правые           

                                                                                                  части  полученных выражений      )                                                                                                 

  

 = Р(0)                            - к левой и правой частям прибавим р(0 )

 

 

Р(0) + = Р(0) + Р(0) =

/ Р(0)+ = =/формула полной вероятности/= 1/

левая часть нашего выражения

 

   

1= Р(0) + Р(0) = Р(0) ( 1+ ) = / сделаем следующие

 

преобразования : -индекс суммы изменился /=

 

=Р(0)

 

Р(0) =    (**)

 

Если мы вернемся к началу нашего вывода формулы, то Р(0) нам было неизвестно(см.(*)) . С учетом (**) мы имеем :

 

 

Р(x) =  ,  x=        

 

 

-формула для расчета вероятности различных состояний системы, когда занято x линий (x= )

 

Потери Р в полнодоступной системе возникают, когда заняты все V линии. Следовательно,    Р=Р(v) –потери в коммутационной системе:

 

 

Р = Р(V) =      -Распределение Эрланга

 

 При решении практических задач А=λ (А=λ/h, h=1у.e.в.)

(А- поступающая нагрузка)

Тогда мы имеем:

Р=Р(V) =  = ЕV (A)   -1 ФОРМУЛА ЭРЛАНГА

 

для расчета вероятности потерь в полнодоступной системе, если заданы поступающая нагрузка А и емкость V,т.е. Р=f(А,V)

Эта формула табулирована.

 

С помощью первой формулы Эрланга можно рассчитывать и вероятности состояний системы, когда занято X- линий:

 

 Еi(А) =  ,  x= -1 распределение Эрланга

Еi(А) – вероятность, что в системе  занято i линий из V .

Например, Е20(8) – в системе занято 20 линий при поступающей нагрузке 8 Эрланг.

Для вычисления Еi(A) при больших значениях V используют рекуррентную формулу Эрланга :

 

Е0(А) = 1;

Еi(А) =  , i=

 

                Характеристики качества обслуживания.

        

 

1.     При обслуживании простейшего потока параметр занятий является постоянной величиной :

             λ = const

2.     Вероятность потерь по времени в соответствии с определением Рi

для полнодоступной системы:

 

          Рt =Pv = = Ev(A)

 

3.Вероятность потери вызова:

 

    РВ = Апот/А =А РV  /А = ЕV (А).

Таким образом, верояность потери вызова совпадает с вероятностью потерь по времени.

 

3.     Интенсивность обслуженной нагрузки :

Y = = A = A =A ( 1- Pv) =A (1- Ev(A))

4.     Интенсивность потерянной нагрузки:

 

        Yпот  = А Р =А Еv(А)

 

5.Связь поступающей и обслуженной нагрузки через вероятность потерь:

                     А = Y + Yпот =Y + A P   

                     

                    Y= A – A P = A (1- P )   

                   

                         A =

 

 

6.Пропускная способность отдельных выходов системы:

  

     η =  - при случайном занятии пропускная способность выходов      одинакова.

 

hi=А(  Еi-1(A) –  Ei(A)),

 

где Еi(А) – 1 распеределение Эрланга- для расчета при фиксированном занятии выходов (максимальная пропускная способность в этом случае у первого выхода, затем начинает уменьшаться)

 

7. Вероятность занятия фиксированного i-выхода:

     

                    Нi =         

 

      Для марковских процессов характерны следующие вероятности состояний:

 ;      (*)

   Для простейшего потока параметр занятий l=const, т.е.

l1 = l2 =….= lv        (**)

(распределение Эрланга)

Рассмотрим теперь обслуживание примитивного потока.

Постановка задачи: на неблокируемую коммутационную систему поступает примитивный поток. Дисциплина обслуживания – с потерями. Длительность обслуживания распределена по показательному закону : F(t)=1 - ebt . Требуется найти :

Рi  -вероятность ,что в системе занято i линий;

Рt –вероятность потерь по времени;

Рв –вероятность потерь по вызовам;

Рн  -вероятность потерь по нагрузке.

     Для примитивного потока: li =(n-i)a ,

a - параметр источника в свободном состоянии

n – о бщее число источников ;

i – число занятых источников

li – параметр примитивного потока.

 

С использованием (*) будем иметь:

 

 

(**)

 

 

(l 0 =na ;  l 1 =(n-1)a ;      …. ;  l i-1 =(n-i+1)a )

Используем следующее преобразование:

 

(***)

 

С использованием (***) в (**) получим :

 

      , ФОРМУЛА ЭНГСЕТА

`- число сочетаний из n по i

определяет вероятность того, что в полнодоступном пучке,имеющем v линий в любой момент времени t занято точно i линий.

 

Рассмотрим систему, работающую без потерь, т.е. n=v. Достаточно рассмотреть n=v=1( в такой системе каждый источник обслуживается независимо от других).

 

 ,  

а – нагрузка от 1-го источника , численно ее можно приравнять к р1 –вероятности,что в системе занято 1 линия (т.к. р1  - есть доля времени, когда занят 1 источник)     

   

            

 

= / с использованием бинома Ньютона/

=          

 - распределение Бернулли

 

 

 Характеристики качества обслуживания при обслуживании примитивного потока.

 

1.

Pt=Pv=e (N, v, a) – вероятность потерь по времени совпадает с вероятностью занятости всех выходов системы .

 

2.

 

Pв= e (N -1, v, a) – вероятность потерь по вызовам ,эта формула табулирована.

3.  - обслуженная нагрузка

5.     А= Nа  - поступающая нагрузка

6.      - вероятность потерь по нагрузке

7. Рн <  Рв < Рt   = Pv

 

 

 Сравнение пропускной способности полнодоступного пучка, обслуживающего вызовы примитивного и простейшего потоков.

           Характер зависимости величины потсупающей нагрузки na пучка линий v, который обслуживает вызовы примитивного потока, поступающие от фиксированного числа источников n, такой же , как при обслуживании вызовов простейшего потока. Однако на пропускную способность  пучка влияет  число источников вызовов n: в области малых потерь с уменьшением n увеличивается пропускная способность  пучка, т.е. с точки зрения обслуживаемой нагрузки  примитивный поток «лучше» простейшего потока вызовов.

 

Вопросы:

1.Уравнение (условие ) статистического равновесия.

 

2.Запишите формулу Эрланга для определения вероятности того, что в полнодоступном пучке, обслуживающем вызовы простейшего потока, занято точно i линий.

 

3.Проведите логический анализ функции Эрланга Еi,v(A).

 

4.Приведите первую формулу Эрланга для определения вероятностей потерь по времени, вызовам и нагрузке.

 

5.Как определяется рекуррентное соотношение первой формулы Эрланга?

 

6.Поясните характер зависимостей удельной поступающей нагрузки от емкости полнодоступного пучка линий при заданном качестве обслуживания. Проиллюстрируйте это численными примерами.

 

7.Поясните характер зависимости удельной поступающей нагрузки от потерь при постоянной емкости полнодоступного пучка линий. Приведите количественные оценки

8. Формула Энгсета, Бернулли.

9.Харктериcтики качества обслуживания при обслуживании примитивного потока.       

 

 

 

 

 

 

 

                              ЛЕКЦИЯ 6

 

МЕТОДЫ РАСЧЕТА ОДНОЗВЕННОЙ НЕПОЛНОДОСТУПНОЙ  КОММУТАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ С ЯВНЫМИ ПОТЕРЯМИ.

 

Цель: ознакомиться  со структурой неполнодоступного включения. Усвоить два способа неполнодоступного включения – ступенчатый и равномерный. Знать основные требования предъявляемые к ним и основные понятия такие, как доступность, емкость пучка линий, число нагрузочных групп. Оптимальные неполнодоступные схемы, ознакомиться с методикой построения таблиц цилиндров. Освоить практическое построение схем неполнодоступных включений (НВ).Освоить аналитический метод расчета НВ. Третье распределение Эрланга, приближенные методы расчета пропускной способности. Неполнодоступных включений (Пальма-Якобеуса, О”Делла).

         

         Неполнодоступная схема  (НПД) – это схема с таким включением выходов, при котором каждому входу доступны не все, а лишь некоторая часть выходов( d – определяет количество доступных выходов, при этом d<v), хотя в совокупности все входы могут использовать все выходы.Главная особенность неполнодоступных схем состоит в том, что при одних и тех же параметрах можно построить множество различных схем, отличающихся пропускной способностью.

Основными параметрами НПД схемы являются: v- число линий (выходов),g-  число нагрузочных групп, d- доступность.

Нагрузочная группа (g)- это группа источников нагрузки, которым доступны одни и те же d-соединительных линий.                                                                                 

Доступность (d) – число линий (выходов) , доступных отдельному входу из общего числа v  линий.

      НПД схемы бывают трех видов: ступенчатые, равномерные, идеально-симметричные.

Ступенчатые – в этих схемах число нагрузочных групп (g) , обслуживаемых одной линией увеличивается с номером выхода, в  которую включена эта линия.

Равномерные – это схема, в которой любая  линия обслуживает одно и то же число нагрузочных групп или отличаться на  1.

 Идеально-симметричной  называют схему, которая при числе выходов v, доступности d и случайном равновероятном искании свободного выхода имеет число групп g, равное

 

                                       , (6.1)

где - число сочетаний из v по d.

 

В НПД схемах используют соледующие типы кроссировок: прямое, перехваченное и со сдвигом. При прямом включении объединяются одноименные выходы соседних нагрузочных групп. При перехваченном  включении выходы каждой нагрузочной группы соединяются по возможности с одноимееными выходами остальных нагрузочных групп. При включении со сдвигом выходы одной нагрузочной группы соединяются с разноименными выходами других нагрузочныых групп (см.рисунок 6.1).

               

 


    1                    v1                                               v2                                                                                                                                                            

                             v3                                           v4

d=2                                                             d=2    v3                            v4   

     

  

а) прямое включение                   б) перехваченное

 

 

 

 

 

 

                1              2                      3                4=g

 

              v1                    v2                 v3                     v4

1         

 

 


2=d

 

 

 

в) со сдвигом

 

                                   Рисунок 6.1

 

 

 

При построении схем часто используют циклические схемы- цилиндры. Цилиндр- это элементарная равномерная схема, у которой обязательно выполняется условие v=g  (число выходов  совпадает с числом нагрузочных групп).Размер цилиндра d представляет собой число охватываемых выходов каждой нагрузочной группы. Цилиндр размера d называется d-шаговым. Кроме размера каждый цилиндр характеризуется наклоном. На рисунке 6.2 представлен цилиндр имеющий параметры v=4 , g=4 , d=4 , i=2 (наклон )

 

 

 

 

                                1              2                              3                              4=g

 

                1

 

 

 


     d=2

 

 

                                   i=2

 

                           Рисунок 6.2

 

Матрица связности – квадратная (gxg) , симметричная относительно главной диагонали ( по диагонали стоит d- доступность) , элементы матрицы связности показывают число связей между нагрузочными группами ( например, g13- между 1 и 3 нагрузочными группами).

Для цилиндра изображенного на рисунке 6.2 матрица связности

будет иметь вид:

 

 

                   2        0        1        1

                   0        2        0        1

G  =            1        0        2        0                                                                           1        1        0          2

 

 

Достаточно использовать только первую строку матрицы связности, т.к.  остальные получаются циклическим сдвигом на одну позицию.

 

    При выборе структуры НПД схемы преследует несколько целей. Среди них: получение максимальной пропускной способности при заданных параметрах  схемы; уменьшение чувствительности к асимметрии нагрузки по нагрузочным группам; достижение гибкости при изменении параметров схемы; сокращение времени , необходимого на выбор структуры и ее осуществления , и др.

 

      Алгоритм построения оптимальной равномерной НПД схемы.

Для оптимальности равномерной схемы необходимо , чтобы элементы матрицы связности были однородными или отличались не более, чем на единицу. Этого можно достичь путем подбора наклонов цилиндров ( используя таблицы цилиндров) таким образом, чтобы суммарная матрица связности была оптимальной.

Для построения необходимо , чтобы параметры схемы v,g,d  были заданы. Далее нужно рассчитать из каких цилиндров будет состоять схема:

1)     размер цилиндра определяется по формуле:

 

                                     ,              (6.2)

где  - обозначает целую часть числа , полученного при делении;

2) схема будет состоять из r   и  r+1 шаговых цилиндров ( это необходимо для равномерного распределения входов схемы);

3)определяем общее количество цилиндров по формуле:

 

                                                      (6.3)

(возможно округление числа как в большую, так и в меньшую сторону);

4)определяем количество r-шаговых цилиндров:

                                (6.4)

5) опреедляем количество r+1 шаговых цилиндров:

                           (6.5)

6)теперь определяем наклон цилиндров. Наклон цилиндров определяется с помощью таблиц. Однако, необходимо подобрать такую последовательность цилиндров ( с выбранными наклонами), чтобы число связей между нагрузочными группами было одинаковым или отличались не более ,чем на единицу. Для этого строится матрица связности;

7) возможна такая ситуация , когда количество цилиндров больше или меньше, чем доступность ( ), т.е. количество линий, необходимое для построения цилиндров не совпадает с доступностью. Схему нужно строить только на d-линиях, указанных в исходных данных. В таких случаях применяют кроссировку (исключение или добавление выходов) (см.рисунок 6.3)

 

 


                                v1                           v2                v3                        v4

                               

 

 

 

 

 


                                                                                    V5     

а)добавление выходов

 

 

                                  v1                                               v2                     v3          

 

 

 

 

 

 

 

 

 


б)исключение выходов.

 

После всех проведенных расчетов строится схема.

                                  

     Методы расчета в НПД схемах.

1.Упрощенная формула Эрланга.

.

где Y- обслуженная нагрузка всей НПД схемой,

y0 – нагрузка, обслуженная одной линией

 

 

     1            2           3                         d            d+1               v

                                                                       

 

  y0               y0          y0                          y0      y0                    y0

 

 


Y=y0*V

 

Предполагается, что вероятность занятости одной линии совпадает численно с нагрузкой на одну линию.

 


 

 

     У0=0,5 Эрл.- это означает, что линия за 1 час будет     занята 30 минут, т.е половину времени (1/2 от часа), следовательно вызовы, поступившие в этот момент времени будут потеряны  и тогда вероятность потерь тоже будет равна ½. Отсюда можно сделать вывод , что чем больше нагрузка, тем больше и потери.

Далее рассматривая процесс занятия линий, как независимые события,имеем:

Р1= y0   - вероятность, что занята 1 линия

P2=y0y0=(y0)2   - вероятность,что занято 2 линии

Р3=y0y0y0=(y0)3 – вероятность,что занято 3 линии

………………….

Рd=(y0)d – вероятность, что в системе занято d линий.

Потери в неполнодоступной схеме возникают, когда заняты d- линий,

доступных одной нагрузочной группе,т.е.

 

                        

Этот метод применяется для оценочных «оптимистичных» вычислений, т.к. дает заниженные результаты вероятности потерь вызовов. Используется для задания начальных значений вероятности потерь.

 

2. Формула Пальма-Якобеуса

 

    При расчете данным методом вероятность потерь принимается за вероятность занятия d  фиксированных линий, доступных определенной нагрузочной группе с использованием 1 распределения Эрланга:

              .                     (6.7)

Дает точные результаты в области малых потерь (1-2%), в области высоких потерь  данный метод дает завышенные результаты.

 

3.Модифицированная формула Пальма-Якобеуса.

 

                               (6.8)

 

Так как  формула Пальма-Якобеуса дает завышенные значения , то для получения более точных результатов проводят некоторую его модификацию. Модификация заключается в занижении реально-поступающей нагрузки, т.е. используют численно несколько меньшую нагрузку. - фиктивная поступающая нагрузка, численно меньшая по сравнению с реальной.

Дает результаты близкие к реальным в широком диапозоне потерь.

 

4.Метод О/Делла

  Согласно принципу О/Делла интенсивность обслуженной неполнодоступной системой нагрузки  можно представить  как сумму:

                                (6.9)

Здесь YD – интенсивность нагрузки, обслуженной полнодоступной системой на D выходов при заданных потерях; hv-D – среднее использование одного из оставшихся   v-D устройств. Для расчетов используют hv-D= . Отсюда имеем:

 

                      

                                                                                              (6.10)             

Значения коэффициента a= в зависимости от D и Р находятся по таблицам.

 

 

Контрольные вопросы

1.Какие виды НПД схем вы знаете?

2.Типы кроссировок.

3.Основные параметры НПД схем.

5.     Цилиндры. Параметры цилиндров.

6.     Область применения цилиндров.

7.     Для чего строится матрица связности?

8.     Условие оптимальности для равномерных НПД схем.

9.     Основные методы расчета в НПД схемах. Недостатки и преимущества этих методов, область применения.