Некоммерческое акционерное общество

АЛМАТИНСКИЙ ИНСТИТУТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ

Кафедра инженерной графики и прикладной механики

ИНЖЕНЕРНАЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ПОСТРОЕНИЯ ЧЕРТЕЖЕЙ

Методические указания и задания к выполнению расчетно-графических работ

для студентов всех форм обучения всех специальностей

Алматы 2009

СОСТАВИТЕЛЬ: М.Ш. Мукашев. Инженерная и компьютерная графика. Решение задач по теории построения чертежей. Методические указания и задания к выполнению расчетно–графических работ для студентов всех форм обучения всех специальностей - Алматы: АИЭС, 2009. - 37 с.

В данной разработке приведены рекомендации по решению геометрических задач, примеры решения типовых позиционных и метрических задач, а также задания для самостоятельной работы по данной теме. Ил. 31, библиогр. - 4 назв.

Содержание

Введение 4

1. Решение геометрических задач 5

1.1.Позиционные задачи 5

1.1.1.Задачи на взаимопринадлежность 5

1.1.2.Задачи на пересечение 14

1.1.3. Позиционные задачи, решаемые способами преобразования

ортогональных проекций 22

1.2. Метрические задачи 26

2.Задачи по начертательной геометрии для самостоятельной работы 37

Введение

В начертательной геометрии пространственные фигуры изучаются в виде их изображений на плоскости.

Изображение предмета, построенное по особым правилам при помощи чертежных инструментов в точной зависимости от истинных размеров и положения в пространстве соответствующих линий предмета, называют чертежом.

Изучение курса начертательной геометрии базируется на материале школьного курса элементарной геометрии. Основным методом, используемым в начертательной геометрии для решения геометрических задач, является графический метод, т.е. метод, при котором геометрические свойства фигур изучаются непосредственно по чертежу.

Данные методические указания призваны облегчить студентам изучение курса, развить навыки черчения.

Методические указания соответствуют программе курса начертательной геометрии и инженерной графики для технических ВУЗов, предназначена для студентов 1-го курса очной и заочной формы обучения всех специальностей АИЭС.

1. Решение геометрических задач

Геометрические задачи, решаемые в данном курсе можно условно разделить на позиционные и метрические. Позиционными называют задачи, в которых определяется взаимное расположение различных геометрических фигур друг относительно друга. К таким задачам, в частности, относятся задачи на взаимную принадлежность и задачи на пересечение. При решении позиционных задач важно представлять себе пространственное расположение геометрических фигур относительно плоскостей проекций и друг относительно друга.

Метрическими называются задачи, решение которых связано с нахождением линейных и угловых размеров геометрических фигур. Чисто метрические задачи встречаются редко, зачастую на производственных этапах решения приходится выяснять позиционные отношения между геометрическими фигурами.

1.1. Позиционные задачи

1.1.1. Задачи на взаимопринадлежность

К задачам на взаимнопринадлежность относятся взятые точки на линии или на поверхности, проведение линии на поверхности или поверхности через данные линии и т.д. При решении задач мы будем рассматривать простейшие геометрические фигуры: точки, прямые линии, плоскости.

Задача 1

По заданным координатам (смотрим таблицу 1) построить проекции точек А,В,С,Д,Е,К. Определить:

1. Какие точки лежат на плоскостях проекции?

2. Какая точка лежит на оси координат?

3. Какая точка находится выше всех остальных, т.е. наиболее удалена от плоскости p₁?

4. Какая точка наиболее удалена от плоскости p₂?

Таблица 1

Х_a	Y_a	Z_a	X_b	Y_b	Z_b	X_c	Y_c	Z_c	X_d	Y_d	Z_d	X_e	Y_e	Z_e	X_k	Y_k	Z_k
120	90	40	100	50	50	0	30	20	15	0	30	60	0	0	40	70	80

Решение

Построение проекций точек проиллюстрируем на примере точки “К” .

По оси X откладываем координату X_к=40 (смотрим рисунок 1) и проводим через полученную точку X_к вертикальную линию связи, на которой откладываем вниз (вдоль оси Y) отрезок Y_K=10 и получаем проекцию K₁. Отложив от точки K_x вверх (вдоль оси Z) координату K_z=80, получаем проекцию K₂ .

Аналогично строим проекции остальных точек (смотрим рисунок 2).

Анализируя положения точек в пространстве, можно ответить на остальные вопросы задачи.

1) Точка D лежит на плоскости p₂, т.к. ее координата Y_d=0. Точка С лежит на плоскости p₃, т.к. X_c=0;

2)

Рисунок 1

Точка Е лежит на оси X, т.к. у этой точки координаты У_е и Z_е равны нулю. Тогда две проекции этой точки находятся на оси X;

Рисунок 2

3) Выше всех точек находится точка K, у нее наибольшая координата по оси Z (Z_к);

4) Наиболее удалена от фронтальной плоскости p₂ точка А, т.к. у нее наибольшая координата по оси Y (Y_A).

Задача 2

Через точку А провести горизонтальную прямую длиной 40 мм, а через точку К - фронтально - проецирующую прямую длиной 50 мм.

Решение

По заданным координатам (смотрим таблицу 1) строим проекции точек А и К (смотрим рисунок 3).

Рисунок 3

Далее рассуждаем следующим образом.

· Если прямая проходит через точку, то ее проекции проходят через соответствующие проекции точки.

· Если прямая горизонтальная, т.е. параллельна плоскости p₁, то ее фронтальная проекция проходит параллельно оси X, а горизонтальная проекция по длине равна натуральной величине отрезка. Исходя из этого, построение начинаем с горизонтальной проекции. Через проекцию А₁ под произвольным углом проводим прямую M₁N₁ длиной 40 мм (M₁N₁=40). Затем через проекцию A₂ проводим прямую M₂N₂ параллельно оси X , причем точки M₂ и N₂ получены на пересечении фронтальной проекции прямой и линий связи, проведенных из точек M₁ и N₁. Можно провести горизонтальную прямую непосредственно выходящей из точки A, (такой способ проиллюстрирован на примере фронтально-проецирующей прямой KT), но это не принципиально.

Фронтально-проецирующая прямая проходит перпендикулярно плоскости p₂ . Это значит, что ее горизонтальная проекция T₁K₁ проходит перпендикулярно оси Х, а на фронтальной плоскости эта прямая проецируется в точку, причем эта точка сливается с проекцией K₂, т.е. T₂≡K₂. При этом К₁Т₁=|KT|=50.

Задача 3

Через точку A провести горизонтальную плоскость уровня γ, а через прямую BK - горизонтально-проецирующую плоскость b.

Рисунок 4

Решение

Строим проекции точки A и прямой BK (смотрим рисунок 4). Плоскости γ и b удобнее всего задать следами. У горизонтальной плоскости γ фронтальный след ƒ_0g проходит через проекцию точки A₂ параллельно оси Х. Горизонтального следа у плоскости g нет, т.к. она не пересекается с плоскостью проекций p₁ .

Горизонтально проецирующая плоскость b расположена перпендикулярно плоскости p₁ и проходит через прямую BK. Это значит, что ее горизонтальный след h_0b проходит через горизонтальную проекцию отрезка B₁K₁ , а фронтальный след плоскости ƒ_0b проходит перпендикулярно оси Х.

Задача 4

Через точку C провести прямую, параллельную прямой AB.

Решение

По заданным координатам строим проекции точки C и прямой AB (смотрим рисунок

5) Если две прямые параллельны между собой, то их одноименные проекции проходят параллельно друг к другу. Исходя из этого, через горизонтальную проекцию точки C₁ проводим прямую ℓ₁ параллельно проекции прямой A₁B₁ (ℓ₁║A₁B₁), а через фронтальную проекцию точки C₂ проводим прямую ℓ₂ параллельно фронтальной проекции прямой A₂B₂ (ℓ₂║A₂B₂). Прямая ℓ (с проекциями ℓ₁ и ℓ₂) проходит через точку C параллельно прямой AB .

Задача 5

Рисунок 5

Построить проекции точки T, лежащей в плоскости треугольника ABC, если известна ее фронтальная проекция T₂ .

Рисунок 6

Решение

По заданным координатам строим проекции плоскости ABC (смотрим рисунок 6,а). Для того чтобы точка лежала на плоскости, она должна лежать на прямой, принадлежащей плоскости. Поэтому, на плоскости p₂ через имеющуюся проекцию T₂ проводим произвольную прямую ℓ₂. Эта прямая пересекает стороны треугольника в точках 1₂ и 2₂ (смотрим рисунок 6,б). Горизонтальная проекция прямой ℓ₁ пройдет через точки 1₁ и 2₁. Прямая ℓ лежит в плоскости ABC, т.к. она проходит через две точки 1 и 2, лежащие в плоскости АВС.

Опустив по линии связи проекцию T₂ на проекцию прямой ℓ₁, находим горизонтальную проекцию точки T₁. Плоскость ABC не ограничивается рамками треугольника, она выходит и за его пределы. Так, точка M (с проекциями M₁ и M₂) также принадлежит плоскости ABC, т.к. она лежит на прямой ℓ (ℓ_1,ℓ₂), принадлежащей в свою очередь плоскости ABC.

Задача 6

Через точку A провести плоскость b, параллельную плоскости BKC.

Решение

Строим проекции точки A и треугольника BKC (смотрим рисунок 7). Плоскость b можно задать любым способом. Удобнее всего его задать двумя прямыми, пересекающимися в точке A. Для того чтобы плоскость b была параллельна плоскости ABC, эти две пересекающиеся прямые должны быть параллельны двум прямым, лежащим в плоскости ABC, например, сторонам треугольника BK и KC (m║BK , n║KC).

Рисунок 7

Задача 7

В плоскости AKC из точки A провести горизонталь h и фронталь ƒ.

Решение

Строим проекции плоскости AKC (смотрим рисунок 8). Как известно, у

горизонтали h фронтальная проекция h₂ проходит параллельно оси Х.

Поэтому, вначале проводим из точки A прямую h₂ . По условиям задачи

горизонталь h должна лежать в плоскости AKC, т.е. она должна иметь с

ней две общие точки. Одной точкой является точка A, другой - точка T,

лежащая на пересечении прямой h со стороной треугольника KC.

Рисунок 8

На пересечении h₂ с K₂C₂ находим проекцию T₂, затем - по линии связи на проекции K₁C₁ находим T₁. Тогда горизонтальная проекция h₁ пройдет через A₁ и T₁. Фронталь ƒ начинаем строить с горизонтальной проекции ƒ₁. Она пройдет из точки A₁ параллельно оси Х. Однако, такие пересечения ее с прямой K₂C₂ находятся за пределами чертежа. Поэтому, можно провести в плоскости AKC произвольную прямую ℓ (ℓ₁ и ℓ₂). На пересечении ℓ₁ с ƒ₁ находим точку N₁. Затем по линии связи на проекции ℓ₂ находим точку N₂. Фронтальная проекция фронтали ƒ₂ пройдет через точки A₂ и N₂ .

Задача 8

Построить следы прямой AB .

Решение

Строим проекции прямой AB (смотрим рисунок 9).

Построение начнем с горизонтального следа. Для его нахождения, продлеваем фронтальную проекцию прямой A₂B₂ до пересечения с осью Х (точка M₂), затем из этой точки проводим линию связи вертикально вниз до пересечения ее с горизонтальной проекцией прямой A₁B₁ и находим точку M₁. Эта точка и будет горизонтальным следом прямой AB (M₁≡M).

Рис₂≡N). Как видно из рисунка, точка N находится, ниже оси Х. Это значит, что прямая AB пересекает плоскость p₂ во второй октанте (т.е. точка N находится ниже плоскости p₁).

Задача 9

Построить следы плоскости g (ABK) .

Решение

Строим проекции плоскости ABK (смотрим рисунок 11).

Для построения следов плоскости достаточно построить следы двух любых прямых, лежащих в этой плоскости. Методика построения следов прямой показана в задаче 3.8. На рис.3.11 показано построение следов прямых BK (точки M и N) и AK (точки T и L). Соединив соответствующие следы этих прямых (фронтальные следы L и N, горизонтальные следы M и T) построим следы плоскости g (h₀g и f₀g). При правильном построении оба следа

Рисунок 10

плоскости должны пересекаться на оси Х (точка Xg). Следы любой другой прямой (например, AB), лежащей в плоскости ABK, также находятся на соответствующих следах плоскости.

1.1.2. Задачи на пересечение

К задачам на пересечение относятся задачи на определение точки пересечения прямой с плоскостью, двух плоскостей и т.д.

Задача 10

Построить точку пересечения прямой BK с горизонтальной плоскостью уровня g, проходящей через точку A. Показать видимость отрезков прямой на проекциях.

Решение

Строим проекции прямой BK и точки A (смотрим рисунок 11).

Плоскость g зададим следами. Ее фронтальный след f₀g проходит через проекцию A₂ параллельно оси Х. Горизонтальный след плоскости отсутствует, т.к. по условиям задачи плоскость g горизонтальная (т.е. проходит параллельно плоскости проекции p₁).

рис 11

На пересечении проекции B₂K₂ с фронтальным следом плоскости f₀g находим точку T₂. Опустив эту точку по линии связи на проекцию B₁K₁, находим точку T₁ . Точки T₁ и T₂ будут проекциями точки T пересечения прямой BK с плоскостью g.

Рисунок 11

Определим видимость прямой BK на проекциях. Из фронтальной проекции видно, что на участке KT прямая BK находится выше плоскости g. Значит на горизонтальной проекции (вид сверху) отрезок K₁T₁ изобразится видимым, а отрезок B₁K₁ соответственно, невидимым. На фронтальной плоскости проекции p₂ обе части прямой B₂K₂ изобразятся видимыми, т.к. плоскость g расположена горизонтально (т.е. перпендикулярно проецирующим лучам) и не закрывает видимость частей отрезка BK .

Задача 11

Построить точку пересечения прямой AE с горизонтально-проецирующей плоскостью b, проходящей через прямую BK. Показать видимость отрезков прямой на проекциях.

Решение

Строим проекции прямых AЕ и BK (смотрим рисунок 12). Затем проводим через прямую BK горизонтально-проецирующую плоскость b. Горизонтальный след этой плоскости h_0b проходит через горизонтальную проекцию прямой B₁K₁. Фронтальный след плоскости f_0b проходит перпендикулярно оси Х. На пересечении проекции A₁E₁ и h_0b находим точку T₁, которая будет горизонтальной проекцией точки пересечения прямой с плоскостью. Подняв по линии связи точку T₁ вверх, находим на проекции A₂E₂ точку T₂. Точки T₂ и T₁ будут соответственно фронтальной и горизонтальной проекцией точки T пересечения прямой AE с горизонтально-проецирующей плоскостью b. Определим теперь видимость отрезков прямой AE на проекциях. Как видно из чертежа, на участке AT прямая AE находится перед плоскостью b, т.е. на плоскости p₂ проекция A₂T₂ будет видимой. Соответственно участок T₂E₂ будет невидимым, т.к. он находится за плоскостью b. Проекция A₁E₁ будет вся видимая, т.к. плоскость b располагается вертикально и не закрывает на виде сверху ни одну из сторон отрезка AE.

Рисунок 12

Задача 12

Построить линию пересечения плоскости b (ABK) с горизонтальной плоскостью уровня g , проходящей через точку D. Показать видимость частей плоскости на проекциях.

Решение

Строим проекции плоскости ABK и точки D (смотрим рисунок 13).

Горизонтальную плоскость зададим фронтальным следом ƒ_0g.

Горизонтального следа плоскости g нет, т.к. эта плоскость параллельна плоскости проекции p₁ .

Плоскость g пересекается со сторонами треугольника ABK на фронтальной проекции в точках 1₂ и 2₂. По линиям связи находим горизонтальные и проекции этих точек 1₁ и 2₁ .

рис 13

Прямая 1-2 и будет линией пересечения двух плоскостей. Определим теперь видимые и невидимые стороны плоскости b (ABK). Как видно из фронтальной проекции, часть треугольника A₂1₂2₂K₂ находится выше плоскости g. Поэтому на горизонтальной плоскости p₁ (вида сверху) часть проекции треугольника A₂1₂2₂K₂

Рисунок 13

изобразится видимым. Другая часть треугольника 1₁B₁2₁ будет невидимой, т.к. она находится под плоскостью g.

На фронтальной плоскости p₂ обе части проекции треугольника A₂B₂K₂ будут видимыми, т.к. плоскость g расположена перпендикулярно плоскости проекции p₂ и не закрывает собой плоскость b (ABK).

Задача 13

Построить линию пересечения плоскости b (AEC) с горизонтально-проецирующей плоскостью g, проходящей через прямую BK. Показать видимость на проекциях частей плоскости b.

Решение

Строим проекции плоскости b (AEC) и прямой BK (смотрим рисунок 14).

Горизонтальный след горизонтально проецирующей плоскости g (h_0g) пройдет через горизонтальную проекцию прямой B₁K₁.

Фронтальный след плоскости ƒ_0g пройдет перпендикулярно оси Х. Две плоскости пересекаются между собой по прямой линии. Для построения этой прямой необходимо найти две точки, лежащие одновременно на плоскостях b и g .

Рисунок 14 Такими точками могут быть точки

пересечения сторон треугольника AEC с плоскостью g. Например, точки 1₁ и 2₁ будут горизонтальными проекциями точек 1 и 2 пересечения плоскости g со сторонами треугольника AE и EC соответственно. По линиям связи на плоскости p₂ находим фронтальные проекции этих точек 1₂ и 2₂. Прямая 1-2 будет линией пересечения плоскостей b (AEC) и g. Определим видимость частей треугольника AEC на проекциях. Из горизонтальной проекции видно, что часть треугольника A₁ℓ₁2₁C₁ находится за плоскостью g. Это значит, что часть треугольника A₂1₂2₂C₂ на плоскости p₂ изобразится невидимой. Остальная часть треугольника (Е₂1₂2₂) будет видимой. На горизонтальной проекции обе части треугольника AEC будут видимыми, т.к. плоскость g расположена перпендикулярно плоскости проекций p₁ и не закрывает видимость треугольника на этой плоскости.

Задача 14

Построить точку пересечения прямой BK с плоскостью общего положения AEC . Показать видимость отрезков прямой BK на проекциях.

Решение

Построим проекции прямой BK и плоскости AEC (смотрим рисунок 15).

Проведем через прямую BK вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость b. Фронтальный след этой плоскости f₀b пройдет через фронтальную проекцию прямой B₂K₂ . Горизонтальный след плоскости h_0b пройдет перпендикулярно оси Х (его можно и не строить). Плоскость b пересечет плоскость AEC по линии 1-2 (смотрим задачу 13). На Рисунок 15 горизонтальной плоскости p₁ прямые 1₁2₁ и B₁K₁ пересекутся вточке T₁. По линии связи на фронтальной проекции прямой B₂K₂ (совпадающей с прямой 1₂2₂) находим проекцию T₂.

Точка T (T₁T₂) будет искомой точкой пересечения прямой BK с плоскостью AEC, т.к. она во-первых лежит на прямой BK, во-вторых, лежит на прямой 1-2, принадлежащей, в свою очередь, плоскости AEC.

Определим теперь видимые и невидимые стороны прямой BK на проекциях. Видимость определяем по методу конкурирующих точек (смотрим задачу 3.9).

В точке 3₁ скрещиваются две прямые - B₁K₁ и Е₁C₁. Однако, если сравнить эти две прямые по их фронтальным проекциям, то видно, что прямая BK расположена выше, чем прямая ЕC (сравни точки 3₂^' и 3₂'). Это значит, что прямая BK на этом участке проходит над плоскостью AEC, поэтому, на горизонтальной проекции участок прямой K₁T₁ будет видимым. Соответственно, на участке B₁T₁ прямая находится под плоскостью и эта часть проекции будет невидимой. (на участке от B₁ до проекции A₁E₁ прямая будет также видимой, т.к. она выходит здесь за пределы треугольника).

Рассмотрим фронтальную проекцию. В точке 2₂ скрещиваются проекции B₂K₂ и стороны треугольника A₂C₂ . Проведя линию связи из точки 2₂ на плоскость p₁ замечаем, что прямая AC расположена дальше от плоскости p₂ (ближе “к нам”), чем прямая BK. Это значит, что прямая на участке 2₂-T₂ закрыта треугольником и будет невидимой. Соответственно, на участке B₂ - T₂ прямая будет видимой.

Задача 15

Построить проекции линии пересечения плоскостей ATC и BKD. Определить видимость плоскостей на проекциях.

Решение

Строим проекции треугольников AEC и BKD (смотрим рисунок 16). Для построения прямой пересечения двух плоскостей, необходимо найти две точки, общие для обоих плоскостей.

рис 16

Такими точками могут быть точки пересечения прямых, принадлежащих одной плоскости, с другой плоскостью. Таким образом, задача сводится к построению точки пересечения прямой с плоскостью точку пересечения прямой BK с плоскостью AEC мы уже находим (смотрим задачу 13). Повторим эти построения и отметим точку T (T₂T₁). Другую точку M (M₂M₁) найдем на пересечении прямой BD с плоскостью AEC. Методом конкурирующих точек определяем видимые и невидимые части плоскостей на проекциях.

Рисунок 16

Задача 16

Построить проекции точки пересечения прямой BK с плоскостью общего положения b, заданной следами. линии M₁N₁ пересекается в точке T₁ с горизонтальной

Решение

Построим проекции прямой BK и плоскости b (смотрим рисунок 17).Проведем через прямую BK вспомогательную, фронтально-проецирующую плоскость g. Фронтальный след этой плоскости ƒ_0g пройдет через проекцию прямой B₂K₂ , а горизонтальный след перпендикулярно оси Х.

На пересечении следов этих плоскостей находим точки M и N. Соединив эти точки получаем проекции линии пересечения плоскостей b и g (M₁N₁ и M₂N₂). Горизонтальная проекция этой проекцией прямой B₁K₁(фронтальные проекции B₂K₂ и M₂N₂ совпадают). По линии связи на плоскости p₂ находим проекцию T₂. Точка T будет точкой пересечения прямой BK с плоскостью b. Методом конкурирующих точек определяем видимость прямой на проекциях.

Рисунок 17

1.1.3 Позиционные задачи, решаемые способами преобразования ортогональных проекций

Задача 17

Построить проекции точки пересечения двух профильных прямых AB и CD (смотрим рисунок 18).

Рисунок 18

Решение

Задача решается способом замены плоскостей проекций. Заменим плоскость p₂ на новую плоскость p₄^p₁, расположенную под произвольным углом к плоскости p₂ . Построим проекции прямых A₄B₄ и C₄D₄ на плоскости p₄. На пересечении этих проекций находим точку K₄. Затем сносим эту точку на плоскость p₁ и находим проекцию K₁. Проекцию K₂ найдем, отмерив по линии связи от оси X₁₂ расстояние, равное расстоянию от проекции K₄ до оси X₁₄ (K₄K_X14=K₂K_X12).

Задача 18

Построить проекции точки пересечения прямой AB и плоскости b, заданной следами (смотрим рисунок 19,а).

Рисунок 19

Решение

Заменим плоскость p₂ на p₄ (рис.19,б) так, чтобы плоскость p₄ была перпендикулярна плоскости b (p₄^b). Тогда ось X₁₄, пройдет перпендикулярно следу h_0b (X₁₄^h_0b). Затем на фронтальном следе плоскости ƒ_0b берем точку M (M₂,M₁) и определяем ее проекцию M₄. Тогда новый фронтальный след плоскости ƒ_0b пройдет через эту проекцию и точку пересечения следа h_0b с осью X₁₄. Точка пересечения проекций A₄B₄ со следом ƒ^'_0b (K₄) будет искомой точкой.

По линиям связи в обратном порядке на проекциях A₁B₁ и A₂B₂находим проекции K₁ и K₂. Далее определяем видимость прямой AB на проекциях.

Задача 19

Построить проекции точки пересечения прямой AB с плоскостью b (DEK) (смотрим рисунок 20,а).

Рисунок 20

Решение

Задачу можно решить способом замены плоскостей проекций. Заменим плоскость p₂ на p₄ (смотрим рисунок 20,б). При этом плоскость p₄ расположим так, чтобы она была перпендикулярна плоскости b (DEK). Для этого ось X₁₄ проведем перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали h₁, проведенной в плоскости b (X₁₄^h₁). Спроецируем прямую AB и плоскость b (DEK) на плоскость p₄. Треугольник DEK спроецируется в виде прямой D₄E₄K₄. На пересечении ее с проекцией прямой A₄B₄ находим искомую точку T₄. По линиям связи в обратном порядке на соответствующих проекциях прямой A₁B₁ и A₂B₂ находим проекции точки T₁ и T₂. Точка T будет искомой точкой пересечения прямой AB с плоскостью b (DEK). Затем определяем видимость сторон прямой AB на проекциях.

Задача 20

Построить проекции линии пересечения плоскостей b (ABC) и g (DEK) (смотрим рисунок 21,а).

Рисунок 21

Решение

Решим задачу способом замены плоскостей проекций (смотрим рисунок 21,б). Проведем в одной из плоскостей (например DEK) горизонталь h (h₂, h₁). Если ось X₁₄ провести перпендикулярно h₁, то плоскость p₄ расположится перпендикулярно плоскости DEK. Значит, на плоскости p₄ треугольник DEK спроецируется в прямую линию. Плоскость b (ABC) по отношению к плоскости p₄ займет общее положение. Прямая D₄E₄K₄ пересечет стороны треугольника A₄B₄C₄ в двух точках - L₄ и M₄. Далее снесем эти точки по линиям связи в обратном порядке на плоскости p₁ и p₂. Проекции прямой L₁M₁ и L₂M₂ будут проекциями линии пересечения двух плоскостей.

Методом конкурирующих точек определяем видимые и невидимые стороны треугольников на проекциях.

1.2 Метрические задачи

В данной главе рассматриваются задачи на определение расстоянии между двумя точками в пространстве, между точкой и прямой, между прямыми, точкой и плоскостью, определение натуральной величины плоской фигуры и т.д.

Поскольку многие геометрические параметры фигур на проекциях получаются искаженными, то при решении задач широко используются способы преобразования ортогональных проекций.

Задача 21

Определить натуральную величину отрезка AB и углы наклона его к плоскостям p₁ и p₂ способом замены плоскостей проекций (смотрим рисунок 22,а).

Рисунок 22

Решение

Пусть заданы проекции прямой AB (смотрим рисунок 22,б). Эта прямая общего положения, т.е. ни одна из его проекций не равна натуральной величине отрезка. Прямая проецируется на плоскость в натуральную величину тогда, когда она расположена параллельно ей. Поэтому, производим замену плоскостей проекции, причем новую плоскость проекций (например, p₄) проводим параллельно прямой AB и перпендикулярно плоскости p₁. Тогда новая ось проекций X₁₄ (линия пересечения плоскостей p₁ и p₄ или, что то же самое, след плоскости p₄ на плоскости π₁) расположится параллельно проекции A₁B₁ (X₁₄||A₁B₁). Построение проекции прямой A₄B₄ сводится к построению проекции точек A₄ и B₄ на плоскости p₄. Для построения проекции A₄ проводим из точки A₁ линию связи, перпендикулярно оси X₁₄ (A₁A₄^X₁₄) и откладываем на ней от оси X₁₄ расстояние, равное расстоянию от точки A₂ до оси X₁₂ (A₄A_X14=A₂A_X12). Аналогично находим проекцию B₄. Таким образом, в результате замены плоскости p₂ на новую плоскость p₄ получаем новую систему плоскостей p₁ - p₄, на которой проекция A₄B₄ будет равна натуральной величине прямой AB (A₄B₄=|AB|, угол g₁ между проекцией A₄B₄ и осью X₁₄ равен углу между прямой AB и плоскостью p₁.

рис 22

Аналогично, можно заменить плоскость p₁ на плоскость p₅, которая пройдет параллельно прямой AB и перпендикулярно плоскости p₂ (p₅||AB, p₅^p₂). Тогда проекция A₅B₅ будет равна натуральной величине отрезка AB (A₅B₅=|AB|). Угол g₂ между проекцией A₅B₅ и осью X₂₅ будет равен углу между прямой AB и плоскостью p₂.

Задача 22

Определить натуральную величину отрезка AB способом вращения (смотрим рисунок 23,а).

Рисунок 23

Решение

Задачу, аналогичную задаче 22, можно решить также способом вращения. За ось вращения возьмем горизонтально-проецирующую прямую ℓ, проходящую через точку B (ℓ₂^X, ℓ₁ºB₁). Тогда задача значительно облегчается, т.к. точка B, при вращении отрезка, остается на месте (смотрим рисунок 23,б).

Повернем точку A вокруг оси ℓ на угол b таким образом, чтобы прямая AB расположилась параллельно плоскости p₂. При этом точка A₁ займет положение A₁^' (A₁^'B₁||X), а точка A₂ переместится по прямой, параллельной оси X. Проведя из точки A₁' вертикально вверх линию связи, находим положение проекции A₂'. Тогда проекция B₂A₂', будет равна натуральной величине отрезка AB. Угол g₁ будет равен углу наклона прямой AB к плоскости p₁.

Задача 23

Определить расстояние от точки A до плоскости BCD способом замены плоскостей проекций (смотрим рисунок 24,а).

Рисунок 24

Решение

Для решения задачи необходимо произвести замену плоскостей проекций так, чтобы новая плоскость p₄ прошла перпендикулярно плоскости BCD (смотрим рисунок 24.б). Тогда на эту плоскость треугольник BCD спроецируется в прямую линию B₄C₄D₄. Для того, чтобы плоскость p₄ была перпендикулярна плоскости BCD, она должна быть перпендикулярна прямой, лежащей в этой плоскости. В качестве такой прямой выбираем горизонталь h, лежащую в плоскости BCD.

Таким образом, порядок построения будет следующим.

1. Cтроим проекции плоскости BCD и точки A.

2. В плоскости BCD проведем горизонталь h (h₂, h₁).

3. Проведем ось X₁₄^h₁.

4. Строим на плоскости p₄ проекции треугольника B₄C₄D₄ и точки A₄. При правильном построении точки B₄C₄D₄ расположатся вдоль прямой линии.

5. Расстояние от точки A₄ до прямой B₄C₄D₄ и будет искомым расстоянием от точки A до плоскости BCD.

Задача 24

Даны проекции прямой AB и фронтальная проекция точки T (T₂). Построить горизонтальную проекцию точки T если известно, что она равноудалена от точек A и B (смотрим рисунок 25,а).

Рисунок 25

Решение

Задача решается способом замены плоскостей проекций (смотрим рисунок 25,б). Новую плоскость p₄ проводим параллельно прямой AB, для чего ось X₁₄ проводим параллельно проекции A₁B₁. На плоскости p₄ строим проекции A₄B₄. Она будет равна натуральной величине отрезка AB. По условиям задачи, точка T равноудалена от концов отрезка AB. Значит, она должна лежать на перпендикуляре “m”, проведенном через точку L, середину отрезка A₄B₄ (A₄L=B₄L). Поскольку известна фронтальная проекция точки T₂, то проекция этой точки T₄ должна лежать на расстоянии от оси X₁₄, равном расстоянию от точки T₂ до оси X₁₂ (ℓ=T₂T_X2).

Проведя на расстоянии ℓ линию, параллельную оси X₁₄, найдем на ее пересечении с перпендикуляром ”m” точку T₄. Далее, проведем из точки T₄ линию связи перпендикулярно оси X₁₄, а из точки T₂ - линию связи перпендикулярно оси X₁₂. На пересечении этих двух линий связи находим горизонтальную проекцию точки T₁.

Задача 25

На прямой CD найти точку T, равноудаленную от точек A и B (смотрим рисунок 26,а).

Рисунок 26

Решение

Задача решается аналогично задаче 25

1. Производим замену плоскостей проекций (смотрим рисунок 26,б). Новую плоскость p₄ проводим параллельно прямой AB, для чего ось проекции A₁B₁ (X₁₄||A₁B₁) строим на плоскости p₄ проекции A₄B₄ и C₄D₄.

2. Через середину проекции A₄B₄ (точку L) проводим перпендикуляр m к ней (A₄L=B₄L, m^A₄B₄).

3. Любая точка на этом перпендикуляре равноудалена от точек A и B. Тогда на пересечении этого перпендикуляра с проекцией C₄D₄ находим точку T₄, которая удовлетворяет условиям задачи.

4. По линиям связи, в обратном порядке, находим проекции этой точки T₁ и T₂.

Задача 26

Определить расстояние между параллельными плоскостями b и g. Плоскости заданы следами (смотрим рисунок 27,а).

Рисунок 27

Решение

Если плоскости b и g параллельны между собой, то их следы также параллельны между собой. Порядок решения следующий (смотрим рисунок 27,б).

1. Производим замену плоскостей проекций. Новую плоскость p₄ проведем перпендикулярно плоскостям b и g , для чего ось X₁₄ должна пройти перпендикулярно горизонтальным следам плоскостей h_0g и h_0b.

2. Для построения фронтального следа плоскости g (ƒ_0g) возьмем на следе этой плоскости ƒ_0g произвольную точку T (T₂T₁) и найдем ее проекцию на плоскости p₄ (T₄). Тогда новый фронтальный след плоскости ƒ_0g пройдет через эту точку. Фронтальный след плоскости b (ƒ'_0b) пройдет параллельно следу ƒ'_0g (ƒ'_0g||ƒ_0b). Расстояние ℓ между этими следами и будет расстоянием между параллельными плоскостями g и b.

Задача 27

Определить расстояние от точки A до прямой BC (смотрим рисунок 28,а).

Рисунок 28

Решение

Задача решается двойной заменой плоскостей проекций (смотрим рисунок 28,б). Вначале заменяем плоскость p₂ на p₄. Горизонтально-проецирующую плоскость p₄ проводим параллельно прямой AB (X₁₄||A₁B₁). Получаем новые проекции прямой B₄C₄ и точки A₄. Заменяем теперь плоскость p₁ на p₅. Эту плоскость проводим перпендикулярно прямой BC (X₄₅^B₄C₄). В результате двойной замены плоскостей проекций прямая BC спроецировалась в точку (B₅≡C₅). Расстояние ℓ между проекциями A₅ и B₅C₅ будет искомым расстоянием между точкой A и прямой BC.

Задача 28

Определить расстояние между параллельными прямыми AB и CD (смотрим рисунок 29,а).

Рисунок 29

Решение

Задача решается аналогично предыдущей задаче, двойной заменой плоскостей проекций (смотрим рисунок 29,б).

Вначале заменяем плоскость p₂ на p₄, при этом p₄ проведем параллельно прямым AB и CD (X₁₄||A₁B₁, X₁₄||C₁P₁). Получаем проекции прямых A₄B₄ и C₄P₄. Затем заменяем плоскость p₁ на p₅, при этом p₅^AB, p₅^CP (X₄₅^A₄B₄, X₄₅^CP). В результате двойной замены плоскостей проекций обе параллельные между собой прямые спроецировались в точку. Расстояние ℓ и будет искомым расстоянием между прямыми AB и CD.

Задача 29

Определить расстояние между скрещивающимися прямыми AB и CD (смотрим рисунок 30,а).

Рисунок 30

Решение

Задача также решается двойной заменой плоскостей проекций (смотрим рисунок 30,б). В результате этих замен одна из прямых (например, AB) должна занять проецирующее положение (т.е. спроецироваться на плоскость p₅ в точку). Первую плоскость p₄ проведем параллельно AB (X₁₄||A₁B₁). Получаем проекции прямых A₄B₄ затем подставляем новую плоскость проекций p₅^AB (X₄₅^A₄B₄). В результате этих замен прямая AB спроецировалась в точку (A₅ºB₅), а проекция прямой C₅D₅ займет некоторое общее положение. Тогда расстояние ℓ будет искомым расстоянием между прямыми AB и CD.

Задача 30

Определить натуральную величину плоской фигуры b (ABC) (смотрим рисунок 31,а).

Рисунок 31

Решение

Плоскость b (ABC) спроецируется в натуральную величину в том случае, если она будет параллельна плоскости проекций (смотрим рисунок 31,б). Однако, сразу построить плоскость проекции параллельно плоскости ABC нельзя, т.к. она сама будет плоскостью общего положения. Поэтому замену плоскостей проекций произведем поэтапно.

Вначале заменяем плоскость p₂ на p₄, при этом p₄ проведем перпендикулярно плоскости b (ABC) (X₁₄^h₁). В результате этой замены плоскость b (ABC) спроецировалась в прямую линию A₄B₄C₄. Затем заменяем плоскость p₁ на p₅, при этом p₅ проведем параллельно плоскости b (X₄₅|| A₄B₄C₄). В результате второй замены получаем проекцию плоскости A₅B₅C₅ которая равна натуральной величине плоскости b (ABC).

2. Задачи по начертательной геометрии для самостоятельной работы

1. По заданным координатам (смотрим таблицу 2) построить две проекции точек A, B, C, D, E, K

2. Из точки А построить прямую АТ длиной 50 мм, перпендикулярно прямой АВ

3. В плоскости из точки А провести горизонталь , из точки С – фронталь

4. Построить следы прямой АВ

5. Построить следы плоскости

6. Построить точку пересечения прямой DK с плоскостью . Определить видимость сторон прямой на проекциях.

7. Построить проекции линии пересечения плоскостей и . Определить видимость частей плоскостей на проекциях.

8. Определить натуральную величину прямой АВ двумя способами: способом замены плоскостей проекций и способом вращения.

9. Определить расстояние от точки D до плоскости .

10. Определить расстояние от точки А до прямой ВС

11. Определить расстояние между скрещивающимися прямыми АВ и СD.

12. Определить натуральную величину плоскости .

13. Определить натуральную величину сечения пирамиды АВСD горизонтально – проецирующей плоскостью , проходящей через середину ребра АВ и параллельно ребру ВС.

Таблица 2 - Координаты точек

№
1	117	90	9	52	25	79	0	83	48	68	110	85	135	19	36	14	52	0
2	120	90	10	50	25	80	0	85	50	70	110	85	135	20	35	15	50	0
3	115	90	10	52	25	80	0	80	45	65	105	80	130	18	35	12	50	0
4	120	92	10	50	20	75	0	80	46	70	115	85	135	20	32	10	50	0
5	117	9	90	52	79	25	0	48	83	68	85	110	135	36	19	14	0	52
6	115	7	85	50	80	25	0	50	85	70	85	110	135	40	20	15	0	69
7	120	10	90	48	82	20	0	52	82	65	80	110	130	38	20	15	0	52
8	116	8	88	50	78	25	0	46	80	70	85	108	135	36	20	15	0	52
9	115	10	92	50	80	25	0	50	85	70	85	110	135	35	20	15	0	50
10	18	10	90	83	79	25	135	48	83	67	85	110	0	36	19	121	0	52
11	20	12	92	85	80	25	135	50	85	70	85	110	0	35	20	120	0	52
12	15	10	85	80	80	20	130	50	80	70	80	108	0	35	20	120	0	52
13	16	12	88	85	80	25	130	50	80	75	85	110	0	30	15	120	0	50
14	18	12	85	85	80	25	135	50	80	70	85	110	0	35	20	121	0	50
15	18	90	10	83	25	79	135	83	48	67	110	85	0	19	36	121	52	0
16	18	40	75	83	117	6	135	47	38	67	20	0	0	111	48	121	78	86
17	18	75	40	83	6	107	135	38	47	67	0	20	0	48	111	121	86	78
18	117	75	15	52	6	107	0	38	47	67	0	20	135	48	111	15	86	78
19	117	40	75	52	107	6	0	47	38	15	20	0	68	111	90	135	78	80
20	120	38	75	50	108	5	0	45	40	15	20	0	70	110	95	135	80	78
21	122	38	75	50	110	8	0	50	40	20	20	0	70	110	90	140	80	80
22	20	40	10	85	110	80	135	48	48	70	20	85	0	110	35	120	80	0
23	20	10	40	85	80	110	135	48	48	70	85	20	0	35	110	120	0	80
24	117	40	10	50	110	80	0	48	48	70	70	20	135	110	35	15	80	0
25	120	10	40	50	80	110	0	50	50	70	80	20	135	35	110	15	0	80
26	18	40	10	80	110	80	135	50	50	70	20	80	0	110	35	121	80	0
27	17	12	92	85	80	25	135	50	85	70	85	110	0	35	20	115	0	50
28	15	10	80	88	80	20	130	45	80	65	80	108	0	32	19	120	0	52
29	16	14	88	85	75	25	135	50	75	75	85	110	0	30	20	121	0	50
30	18	12	85	85	80	25	135	50	80	70	82	105	0	35	20	121	0	55

Список литературы

1. Мукашев М.Ш. Инженерная графика. Часть 1. Начертательная геометрия. Лекции и методические указания к выполнению самостоятельных работ - Алматы: АИЭС, 1999 - 180 с.

2. Гордон В.О., Семенцов - Огиевский М.А. Курс начертательной геометрии: Учеб. пособие для вузов. М.: Высшая школа, 1998-272 с.

3. Левицкий В.С. Машиностроительное черчение. Учебник для вузов - М.: Высшая школа, 1988.-351 с.

4. Фролов С.А. Начертательная геометрия. Учебник для вузов - М.: Машиностроение, 1983-240 с.