АЛМАТИНСКИЙ ИНСТИТУТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ

 

Кафедра инженерной графики и прикладной механики

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М  Е Х А Н И К А .

 

РАСЧЕТ ПЛОСКИХ ДЕТАЛЕЙ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

В СИСТЕМЕ AUTOCAD MECHANICAL

 

Методические указания к лабораторной работе

(для студентов всех форм обучения по специальностям направлений

Электроэнергетика, Теплоэнергетика,  Электромеханика

и электротехническое оборудование)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Алматы 2003

СОСТАВИТЕЛЬ: А.Д. Динасылов. Механика. Расчет плоских деталей методом конечных элементов в системе AutoCAD Mechanical. Методические указания к лабораторной работе (для студентов всех форм обучения по специальностям направлений Электроэнергетика, Теплоэнергетика, Электромеханика и электротехническое оборудование).  -   Алматы:   АИЭС,  2004. – 32 с.

 

 

 

Лабораторный практикум по курсу «Механика» включает в себя изучение возможностей расчета и проектирования элементов и узлов механического оборудования с использованием компьютерной системы AutoCAD Mechanical и Mechanical Desktop и предназначен для студентов всех специальностей, изучающих дисциплину «Механика». Настоящая методическая разработка  содержит методические указания для выполнения лабораторной работы №3, в которой рассматривается расчет напряженно-деформированного состояния плоских деталей методом конечных элементов и возможность оптимизации конструкции деталей за счет рационального распределения напряжений в местах их концентрации

Ил. 19, библиогр. – 6 назв.

 

 

 

 

Рецензент: канд. техн. наук, доцент Э.А.Яхъяев

 

 

 

Печатается по плану издания Алматинского института энергетики и связи на 2004 г.                                              

 

 

 

© Алматинский институт энергетики и связи, 2004 г.

Содержание

		с.
	Лабораторная работа №3. Расчет плоских деталей методом конечных элементов.	4
1	Формулировка задачи	4
1.2	Задание к работе	4
1.3	Техническое и программное обеспечение	4
1.4	Некоторые сведения об используемом методе	4
2	Выполнение лабораторной работы	5
2.1	Предварительный расчет напряжений в детали	5
2.2	Уточнение решения	12
2.3	Улучшение конструкции детали (частичная оптимизация)	14
2.4	Обсуждение результатов	19
	Список литературы	20
	Приложение А. Основы метода конечных элементов	21

Лабораторная работа №3

Расчет плоских деталей методом конечных элементов

1 Формулировка ЗАДАЧИ

1.1 Цель работы

Отработать основные приемы работы по расчету напряженно-деформированного состояния плоской детали в системе Mechanical Desktop. Расчет производится в три этапа. На первом этапе вычисляются напряжения в детали с заданной геометрией. На втором - решение уточняется. На третьем -  вносятся изменения в геометрию детали с тем, чтобы получить более благоприятное с точки зрения прочности распределение напряжений в детали, и определяется деформированное состояние детали.

         1.2 Задание к работе

Выполнить расчет напряжений и перемещений для показанной на рисунке 1 детали, нагруженной силой, лежащей в той же плоскости. Материал детали - сталь SAE 950 по стандарту ANSI. Дать заключение о прочности детали и внести изменения в ее конструкцию с целью повышения прочности.

1.3 Техническое и программное  обеспечение

Работа выполняется на персональном компьютере с  установленной в среде Windows 9x системой Mechanical Desktop 6 Power Pack  (включающей в себя AutoCAD Mechanical 6 Power Pack), или с установленной в среде Windows 2000/XP системой Mechanical Desktop 2004 (включающей в себя AutoCAD Mechanical 2004).

1.4 Некоторые сведения об используемом методе

Чтобы определить степень прочности и долговечности деталей при различных нагруз­ках, необходимо знать напряжения и деформации, возникающие в них. Для расче­та деформаций и напряжений разработаны различные вычислительные методы, в том числе метод конечных элементов. Суть метода заключается в аппроксима­ции сплошной среды с бесконечным числом степеней свободы совокупностью простых элементов, имеющих конечное число степеней свободы и связанных меж­ду собой в узловых точках. Метод конечных элементов (МКЭ) предусматривает следующие основные этапы:

•  разбиение рассматриваемой области (тела) на конечные элементы;

• аппроксимацию зависимых переменных кусочно-полино­миальными функциями с неизвестными параметрами для каждого конечного элемента;

• подстановку аппроксимирующих функций в определяю­щие уравнения и их решение, вычисление значений пара­метров, полностью определяющих искомые функции внут­ри элемента через их значения в узловых точках.

С математической точки зрения МКЭ представляет собой обобщение метода Рэлея-Ритца-Галеркина, обеспечивающего минимизацию функционала потенциальной энергии путем отыскания линейной комбинации пробных функций. Кратко математические основы метода изложены в Приложении А.

В AutoCAD Mechanical 6 Power Pack  имеется процедура AMFEA2D, реализующая МКЭ для двумерной статической задачи теории упругости; процедура доступна также из среды Mechanical Desktop 6. Кроме того, в Mechanical Desktop 6 Power Pack имеется процедура AMFEA3D для решения трехмерной статической задачи теории упругости. Эти же процедуры имеются в AutoCAD Mechanical 2004 и Mechanical Desktop 2004.

Эти процедуры не претендуют на полный анализ напряженно-деформированного состояния деталей, а позволяет лишь выполнить его предварительную оценку, и, возможно, изменить какие-либо конструктивные элементы с целью получения более благоприятного распределения напряжений или ограничения перемещений (деформаций). Для более детального анализа, в том числе и с учетом температурных деформаций, следует применять специализированные системы, такие, как, например, ANSYS или NASTRAN [6].

2 ВЫПОЛНЕНИЕ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ

         2.1 Предварительный расчет напряжений в детали

Сначала выполняется предварительный расчет напряжений в показанной на рисунке 1 детали. 

Вычертите контур детали с помощью команды AutoCAD создания полилинии:

Command: PLINE

Specify start point: (Задайте начальную точку:) – введите координаты 10,10 начальной точки.

Current line-width is 0.00

Specify next point or [Arc/Halfwidth/Length/Undo/Width]:

(Текущая ширина линии 0.00

(Задайте следующую точку или [Дуга/Полуширина/Длина/Отменить/

Ширина]:) – введите координаты 10,40 следующей точки.

Specify next point or [Arc/Close/Halfwidth/Length/Undo/Width]:

(Задайте следующую точку или [Дуга/Замкнуть/Полуширина/Длина/

Отменить/Ширина]:) – введите координаты 70,40 следующей точки.

Specify next point or [Arc/Close/Halfwidth/Length/Undo/Width]: – введите координаты 70,170 следующей точки.

Specify next point or [Arc/Close/Halfwidth/Length/Undo/Width]: – введите координаты 10,170 следующей точки.

Specify next point or [Arc/Close/Halfwidth/Length/Undo/Width]: – введите координаты 10,200 следующей точки.

Specify next point or [Arc/Close/Halfwidth/Length/Undo/Width]: – введите координаты 100,200 следующей точки.

Specify next point or [Arc/Close/Halfwidth/Length/Undo/Width]: – введите координаты 100,10 следующей точки.

Specify next point or Arc/Close/

Halfwidth/Length/Undo/Width]: – введите с, чтобы замкнуть полилинию.

Для расчета детали методом конечных элементов:

а) Введите в команд­ной строке команду AMFEA2D. Появится запрос:

Specify interior point:

(Определите внутреннюю точку)

б) Щелкните мышью в любой точке внутри контура детали. Откроется диалого­вое окно FEA 2D- Calculation (Расчет по МКЭ 2М), показанное на рисунке 2.

в) Задайте в поле Thickn. d= (Толщина) раздела Default (По умолчанию) тол­щину детали 5 мм.

г) Щелчком по кнопке Table... (Таблица…) вызовите диалоговое окно Select Standard for Material  (Выбрать стандарт для материала), приведенное на рисунке 3.

 

 

д) Выберите стандарт для материала. Щелкните по кнопке ANSI Material (Материал по стандарту ANSI). Развернется диалоговое окно Select Material Type (Выбор типа материала), изображенное на рисунке 4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е) Укажите в нем материал Steel SAE 950 (сталь SAE 950). Снова откроется диалоговое окно FEA 2D – Calculation, показанное на рисунке 2, но уже с ха­рактеристиками выбранного материала.

В разделе Loads and Forces (Нагрузки и силы) этого окна имеется шесть кно­пок для установки подвижных и неподвижных точечных и распределенных опор, а также точечных(сосредоточенных) и распределенных нагрузок:

Fixed support (Неподвижная опора) - предназначена для установки неподвижной опоры;

Fixed distributed support (Неподвижная распределенная опора) - по­зволяет задать неподвижную распределенную опору;

Float support (Подвижная опора) - служит для назначения подвижной опоры;

Float distributed support (Подвижная распределенная опора) - пред­назначена для определения подвижной распределенной опоры;

Concentrated load (Сосредоточенная нагрузка) - предоставляет воз­можность указать сосредоточенную нагрузку;

Distributed load (Распределенная нагрузка) - используется для выбо­ра распределенной нагрузки.

Для задания опор и нагрузок:

а) Щелкните по кнопке  в диалоговом окне FEA 2D - Calculation (Расчет по МКЭ 2М), чтобы задать распределенную неподвижную опору. Появится запрос:

Specify insertion point <Enter=Dialogbox>:

(Определите точку вставки <Ввод=Диалоговое окно)

б) Будем считать, что деталь имеет неподвижную опору по всей кромке. Задайте одну из двух крайних точек для распределенной неподвижной опоры, например 10,170 (можно воспользоваться объектной привязкой). Поступит предложение:

Specify endpoint:

(Определите конечную точку:)

в) Назначьте конечную точку вставки распределенной неподвижной опоры - 70,170 (можно также воспользоваться объектной привязкой). Появится запрос:

Specify side from endpoint:

(Определите сторону от конечной точки:)

г) Щелкните мышкой в любой точке, лежащей между двумя крайними точками опоры. Снова откроется диалоговое окно FEA 2D - Calcu­lation.

д) Щелкните по кнопке  , посредством которой задается сосредоточенная  нагрузка. Появится такой запрос:

Specify insertion point <Enter=Dialogbox>:

(Определите точку вставки<Enter=Диалоговое окно>:)

е) Определите точку действия сосредоточенной нагрузки на деталь 20,40. Получите запрос:

Enter a new value <1000 N>:

(Введите новое значение <1000 H>)

ж) Укажите значение сосредоточенной нагрузки 2000 (в ньюто­нах). Появится запрос:

Specify an rotation angle:

(Определите угол поворота)

з) Выберите угол направления действия сосредо­точенной нагрузки 90 (в градусах). Опять развернется диалоговое окно FEA 2D - Calculation.

 

и) Щелкните по кнопке Mesh (Сетка). Получите сообщение:

Delete - Working...

(Удаление - Выполнение...)

Generating Mesh - Working...

(Генерирование сетки - Выполнение...)

В замкнутом контуре детали будет сгенерирована сетка, как показано на рисунке 5.

Затем появится сообщение:

<Return>:

(Выйти)

к) Нажмите клавишу Enter. Снова откроется диалоговое окно FEA 2D - Calcu­lation (Расчет по МКЭ 2М).

л1) Щелкните в разделе Results (Результаты) по кнопке       , чтобы вы­звать диалоговое окно FEA 2D - Isolines [Isoareas] (Изолинии, изообласти), показан­ное на рисунке 6.

В разделе Results этого окна есть шесть переключателей для получения нуж­ного результата:

- Von Mises Stress (Напряжения по фон Мизесу);

- Stress in X-axis (Напряжения по оси X);

- Stress in Y-axis (Напряжения по оси Y);

- Stress in Z-axis (Напряжения по оси Z);

- Shear Stress (Напряжения сдвига);

- Deformation (Деформация).

м) Щелкните в разделе Graphic Representation (Графическое представление) по правой кнопке, обеспечивающей представление напряжений в виде изообластей, а затем по кнопке ОК. Поступит запрос:

Specify base point <Return = in boundary>:

(Определите базовую точку<Ввод = внутри контура>)

н) Определите базовую точку. Чтобы разместить изообласти внутри контура, нужно на­жать клавишу Enter. На экране отобразится контур детали с изообластями, построенными внутри него. Будет выведен запрос:

Insertion point:

(Точка вставки:)

о) Установите курсор в том месте, где удобно расположить таблицу напряжений. После этого появятся результаты расчета детали ме­тодом конечных элементов, как показано на рисунке 7.

Изообласти изображаются различными цве­тами. Каждый из цветов представляет опреде­ленный диапазон напряжений в детали под действием заданной нагрузки.

Дополнительную информацию после вы­полнения расчета можно получить в текстовом окне AutoCAD Text Window, которое вызыва­ется нажатием функциональной клавиши F2.

Применительно к нашей задаче можно уви­деть такой фрагмент:

Generate Nodes in middle of edges of triangles

(Генерирует конечные элементы в виде треугольников)

Search loads and supports

(Ищет нагрузки и опоры в детали)

Number of elements 246, Nodes 567

(Сгенерировано 246 конечных элементов и 567 узел)

Renumbering of Nodes

(Перенумерация узлов)

Allocation of memory for Equation System 733 kB

(Память,  выделяемая для систем уравнений,  составляет 733 Кбайт)

Preparation of Equation System

(Подготовка системы уравнений к решению)

Calculation of Equation System

(Расчет системы уравнений)

Calculation of Stresses

(Расчет напряжений)

Calculation of Inner Loads

(Расчет внутренних нагрузок)

Сохраните файл для отчета.

2.2 Уточнение решения

При анализе цветовых изообластей напряжений в рассматриваемой детали можно заметить, что наибольшие напряжения возникают в ее угловых внутренних облас­тях. Следовательно, чтобы получить более точные результаты в этих областях, не­обходимо дополнительно разбить их на более мелкие конечные элементы. С этой целью в разделе Refining (Переопределение) диалогового окна FEA 2D - Calcu­lation (рисунок 2) имеются две кнопки:

- для разбиения выбранной локальной области в виде кругового сег­мента;

- для разбиения выбранной локальной области в виде прямоугольного сегмента.

После получения результатов расчета методом конечных элементов в команд­ной строке выводится запрос:

<Return>:

Чтобы уточнить расчет методом конечных элементов в отдельных областях, выполните следующие действия:

а) В ответ на запрос нажмите клавишу Enter.

Откроется диалоговое окно FEA 2D - Calculation (Расчет по МКЭ 2М), пред­ставленное на рисунке 2.

б) Щелкните по кнопке в разделе Refining (Переопределение). Появится контур детали с разбивкой на конечные элементы и запрос:

Specify center point 1 <Return«Continue>s

(Определите центральную точку 1 <Выйти=Продолжить>)

в) Определите центральную точку первого конечного элемента (треугольника), щелкнув мышью рядом с внутренним верхним углом (углом с максимальными напряжениями). Снова поступит запрос:

Specify center point 2 <Return=Continue>:

(Определите центральную точку 2 <Выйти=Продолжить>)

г) Задайте центральную точку второго конечного элемента, также лежащего вблизи от внутреннего верхнего угла. Аналогичным образом задайте еще 7-8 точек около верхнего внутреннего угла контура, затем 9-10 точек вблизи нижнего внутреннего угла.

д) Нажмите на Enter. Получите сообщение:

Delete - Working...

(Удаление - Выполнение...)

Refining - Working...

(Усовершенствование - Выполнение...)

Сетка на контуре детали перегенерируется и примет вид как на рисунке 8.

Повторится такое сообщение:

<Return>:

е) Нажмите клавишу Enter и вернитесь к диалоговому окну FEA 2D - Calcu­lation.

ж) Щелкните в разделе Results (Результаты) по кнопке, предназначенной для построения изообластей напряжений. Откроется диалоговое окно FEA 2D - Isolines [Isoareas] (рисунок 2).

з) Щелкните в разделе Graphic Representation (Графическое представление) этого окна по правой кнопке, а затем по кнопке ОК. Увидите запрос:

Specify base point <Return = in boundary>:

(Определите базовую точку<Ввод = внутри контура>)

и) Для размещения изообластей внутри контура на­жмите клавишу Enter. Появится контур детали с изообластями, построенны­ми внутри него. Последует запрос:

Insertion point:

к) Установите курсор в том месте, где удобно расположить таблицу напряжений, например -60,10. После этого увидите результат уточненного расчета (рисунок 9).

Сопоставление результатов двух расчетов показывает, что уменьшение размеров сетки (размеров конечных элементов) привело к тому, что значение максимальных напряжений увеличилось с 215 до 350 МПа. У вас результат во втором случае может несколько отличаться от того, что приведен на рисунке 9.

Сохраните файл для отчета.

2.3 Улучшение конструкции детали (частичная оптимизация)

Как уже говорилось в предыдущем разделе, наибольшие напряжения возникают в угловых внутренних областях детали, а наименьшие - в угловых внешних. Уточненный расчет показывает, что в угловых точках имеет место очень высокая степень концентрации напряжений (в зависимости от того, как вы разобьете сетку, получите максимальное значение напряжений порядка 350…400 МПа).

Для уменьшения напряжений конструктивно оформим углы в виде скруглений, кото­рые представляют собой линии плавного перехода с одной кромки на другую с заданным радиусом, например равным 5 мм. Для этого в ответ на запрос

<Return>:

а) Нажмите клавишу Enter. Снова появится диалоговое окно FEA 2D - Calculation (Расчет по МКЭ 2М).

б) Щелкните в нем по кнопке Delete Results (Удалить результаты) в нижнем ряду кнопок.

в) Щелчком по кнопке Delete Solution (Удалить решение) вызовите диалоговое окно AutoCAD Question (Вопрос системы AutoCAD), показанное на рисунке 10.

г) Щелкните по кнопке Да (Yes). Откроется то же самое окно, но с новым воп­росом (рисунок 11):

Erase loads and supports as well?

(Удалить нагрузки и опоры?)

 

 

 

 

 

 

 

 

д) Щелкните по кнопке Да. Это связано с тем, что при скруглении углов с ради­усом 5 мм мы должны сместить начальную (левую) точку неподвижной распре­деленной опоры на 5 единиц вправо, а конечную (правую) точку – на 5 единиц влево. Поступит сообщение:

Existing solution

(Существующее решение)

Delete - Working...

(Удаление - Выполнение...)

Delete - Working...

е) Введите в командной строке команду AMFILLET2D для скругления углов. Будет выведен запрос:

(Dimension mode:  OFF)   (Trim mode)  Current fillet radius  = 2.5

(Режим установки размера:  Отключен)   (Режим усечения)  Текущий радиус сопряжения = 2.5)

Select first object or  [Polyline/Setup/Dimeneion]><Setup>

(Выберите первый объект или опцию    [Полилиния/Установка/ Размер]: <Установка>)

ж) Нажмите клавишу Enter. Развернется диалоговое окно Fillet Radius (Радиус сопряжения), изображенное на рисунке 12.

з) Установите в раскрывающемся списке значение радиуса скруглений 5 и щелкните по кнопке ОК. Запрос повторится:  .

(Dimension mode: OFF) (Trim mode) Current fillet radius = 5

Select first object or [Poliline/Setup/Dimension]: <Setup>

и) Введите опцию Р (Polyline - полилиния). Поступит предложение:

Select POLYLINE

(Выберите полилинию)

к) Выберите контур детали, наведя курсор на контур детали и щелкнув мышью. На экране появится преобразованный контур детали, как на рисунке 12.

л) Нажмите клавишу Esc.

м) Введите в командной строке команду AMFEA2D. Получите запрос:

Specify interior point:

(Определите внутреннюю точку)

н) Определите внутреннюю точку детали, щелкнув мышью в любой точке внутри контура детали. Еще раз откроется ди­алоговое окно FEA 2D – Calculation.

о) Снова задайте в поле Thickn. d- (Толщина) раздела Default (По умолчанию) тол­щину детали 5 мм.

п) Щелчком по кнопке Table... (Таблица) вызовите диалоговое окно Select Standard for Material (Выбор стандарта для материала) – рисунок 3.

р) Выберите стандарт для материала. Щелкните по кнопке, например ANSI Material (Материал по стандарту ANSI). Развернется диалоговое окно Select Material Type (Выбор типа материала) – рисунок 4.

с) Выберите в диалоговом окне Select Material Type тот же материал, Steel SAE 950 (сталь SAE 950). Снова увидите диалоговое окно FEA 2D - Calcu­lation с параметрами выбранного материала.

т) Щелкните в нем по кнопке, чтобы задать распределенную неподвижную опору. Появится запрос:

Specify insertion point <Enter=Dialogbox>:

(Определите внутреннюю точку <Enter=Диалоговое окно>)

у) Определите начальную точку вставки распределенной неподвижной опоры, например, левого конца 15,170 (по сравнению с первоначальным расположением опоры нужно сместить на 5 мм вправо, так как там будет скругление). Поступит запрос:

Specify endpoint:

(Определите конечную точку)

ф) Укажите конечную точку вставки распределенной неподвижной опоры, которая теперь будет имеет координаты 65,170 (нужно сместить на 5 мм влево, так как и здесь будет скругление). Поступит предложение:

Specify side from endpointt

(Определите сторону от конечной точки)

х) Задайте сторону от конечной точки. Щелкните мышью в любой точке между крайними точками опоры. В очередной раз раскроется диалоговое окно FEA 2D -Calculation.

ц) Щелкните по предпоследней кнопке в первом ряду диалогового окна, посред­ством которой устанавливается сосредоточенная нагрузка. Повторится запрос:

Specify insertion point <Enter-Dialogbox>:

ч) Определите координаты точки действия сосредоточенной нагрузки на деталь -  20,40. Получите запрос:

Enter a new value <1000 N>:

(Введите новое значение <1000 Н>)

ш) Введите прежнее значение сосредоточенной нагрузки 2000 (в ньюто­нах). Будет выведен запрос:

Specify an rotation angle:

(Определите угол поворота:)

щ) Укажите угол направления действия сосредоточенной нагрузки 90. Диалоговое окно FEA 2D - Calculation откроется вновь.

э) Щелкните по кнопке Mesh (Сеть). Появится сообщение:

Delete - Working... Generating Mesh - Working...

(Удаление – Выполнение…Генерирование сетки - Выполнение...)

Будет выведен результат разбиения усовершенствован­ного контура детали на конечные элементы. Снова поступит сообщение:

<Return>:

ю) Нажмите клавишу Enter. Снова появится диалоговое окно FEA 2D - Calculation. Чтобы сразу получить более точные результаты в опасных областях, не­обходимо дополнительно разбить их на более мелкие конечные элементы с помощью кнопки разбиения выбранной локальной области в виде кругового сег­мента в разделе Refining (Переопределение). Отвечая на запросы, задайте по 8-10 точек дополнительной разбивки около опасных точек.

я) Чтобы закончить Refining (Переопределение) в ответ на очередной запрос клавишу Enter. Еще раз появится диалоговое окно FEA 2D - Calculation.

я1) Щелкните в разделе Results (Результаты) по первой кнопке, которая предназначена для построения изообластей напряжений. Вновь увидите диалоговое окно FEA 2D - Isolines [Isoareas] (МКЭ двумерных тел - Изо­линии [Изообласти]) - рисунок  6.

я2) Щелкните в этом окне в разделе Graphic Representation (Графическое представление) по правой кнопке , а затем по кнопке ОК. Появится знакомый запрос:

Specify base point <Return = in boundary>:

я3) Определите базовую точку. Для размещения изообластей внутри контура на­жмите клавишу Enter. Будет отображен контур детали с изообластями, по­строенными внутри него. Поступит запрос:

Insertion point:

я4) Установите курсор в удобном месте для расположения таблицы напряжений, например -60,10. Получите сообщение:

<Return>:

я5) Нажмите клавишу Enter. Опять появится диалоговое окно FEA 2D - Calculation.

я6) Щелкните в разделе Results (Результаты) по третьей кнопке, посредством кото­рой строятся деформации. Увидите диалоговое окно FEA 2D - Deformed Mesh (МКЭ двумерных тел - Деформированная сетка), изображенное на рисунке 14.

я7) Щелкните в этом окне по кнопке ОК. Появится знакомый запрос:

Specify base point <Return = in boundary>:

я8) Определите базовую точку. Нажмите клавишу Enter. На экране будет пред­ставлен деформированный контур. Поступит запрос:

Insertion point:

я9) Установите курсор в удобном месте для расположения таблицы результатов рас­чета деформаций. В очередной раз появится сообщение:

<Return>:

После этого результат расчета напряжений и деформаций детали методом ко­нечного элемента будет выглядеть так, как на рисунке 15.

Сохраните файл для отчета.

2.4 Обсуждение результатов

В лаборатор­ной работе выпол­нен анализ напря­женно-деформиро­ванного состояния плоской детали (рассматривалась плоская задача тео­рии упругости, а именно, двухосное напряженное со­стояние).

Как показывают расчеты, в местах резкого изменения геометрии детали возникают повышенные  напряжения – имеет место так называемая концентрация напряжений. Снизить эти напряжения можно путем использования плавных переходов между участками с разной геометрией. Так, использование скруглений радиусом 5 мм позволило снизить максимальные напряжения от значения 400 МПа до 315 МПа. Очевидно, что максимальные напряжения при этом все равно близки к пределу текучести. То есть, если пластические деформации недопустимы в детали, то следует использовать другие мероприятия: увеличить радиус скруглений, ввести дополнительные опоры, увеличить толщину детали или использовать более прочный материал.

Максимальное смещение вследствие упругих деформаций получает левый нижний угол нижней полки детали – около 1 мм (преимущественно вдоль оси x). Чтобы убедиться в этом, можно вывести в текстовое окно AutoCAD’а вычисленные значения напряжений и перемещений в точках, щелкнув по кнопке at Point (В точке) диалогового окна FEA 2D – Calculation и, в ответ на запрос, указав опасные точки.

Список литературы

1.     Кудрявцев Е.М. Mechanical Desktop Power Pack. Основы работы в системе. – М.: ДМК Пресс, 2001. – 448 с.

2.     Механика. Расчеты на прочность и жесткость балок и валов в системе AutoCAD Mechanical. Методические указания к лабораторным работам/ А.Д.Динасылов. - Алматы:   АИЭС,  2003. – 30 с.

3.     Степин П.А. Сопротивление материалов: Учебник для вузов. – М.: Высшая школа, 1988. – 367 с.

4.     Биргер И.А., Мавлютов Р.Р. Сопротивление материалов: Учебное пособие. - М.: Наука, 1986. – 560 с.

5.     Костюк А.Г. Динамика и прочность турбомашин: Учебник для вузов. – М.: Издательство МЭИ, 2000. – 480 с.

6.     Шимкович Д.Г. Расчет конструкций в MSC/NASTRAN for Windows. – М.: ДМК Пресс, 2001. – 554 с.

Приложение А

Основы метода конечных элементов

Метод конечных элементов (МКЭ) представляет собой эффективный численный метод решения инженерных и физических задач. Область его применения простирается от анализа напряжений в элементах конструкций в статике и динамике до расчета таких сложных систем как атомные электростанции. С его помощью исследуют движение жидкости по трубам, через плотины, в пористых средах, течение сжимаемого газа, решают задачи электростатики и электродинамики. Иначе говоря, любая задача, описываемая в дифференциальных уравнениях, может быть решена с помощью МКЭ.

Особенности метода применительно к задачам теории упругости. Применение метода конечных элементов к решению задач о напряженно-деформированном состоянии элементов конструкций основано на следующих положениях.

а) Деталь (рисунок А.1) разбивают на конечные элементы произвольной (как правило, простой) формы: призмы, тетраэдры, шестигранники или другие многогранники; на элементы в виде стержней, пластин и т.д. (рисунок А.2).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) Смещения  а_m в некоторых точках элемента, называемых узлами, принимают в качестве неизвестных искомых величин. Смещения могут быть линейными или угловыми, т.е. а_m - это обобщенные смещения в узловых точках. Число смещений  а_m для каждого конечного элемента равно количеству степеней свободы z, оставляемых в конечном элементе (m - номер степени свободы, т.е. m = 1, 2, 3, ..., z). Так, для плоской дета­ли, представленной на рисунке А.1, обычно используются призматические треугольные элементы типа показанного на рисунке А.2 а. Такой элемент имеет шесть независимых смещений в плоскости чертежа: по два смещения в каждом из трех узлов. Элемент, показанный на рисунке А.2 б, - пространственный, и он имеет 12 степеней свободы: по три сме­щения в каждом из четырех узлов.

в) Смещения  u_k (k= 1,2, 3) в пределах конечного элемента принимают в виде соотношений

                                    (А.1)

где  - функции текущих координат x_k (координатные функции), которые должны удовлетворять условиям непрерывности смеще­ний (иногда и их производных) на границах смежных элементов.

Из выражения (А.1) вычисляют деформации в конечном элементе по формулам Коши

                                       (А.2)

Для определения деформации в конечных элементах в форме стерж­ня или пластины используют известные зависимости теории изгиба стержней или пластин. В любом случае из формулы (А.1) простым дифференцированием можно найти деформации в конечном элементе. Эти деформации будут линейными функциями смещений а_m

                                                         (А.3)

где A_klm - известные величины или функции координат.

г) По деформированному состоянию конечного элемента, используя законы деформирования, находят его напряженное состояние. Для упругих задач напряжения определяют по обобщенному закону Гука. В дальнейшем ограничимся только упругими задачами. В этих случа­ях напряжения в конечном элементе также будут линейными функциями смещений а_n (n = 1, 2, ..., z) вида

                                                                   (А.4)

где B_kln - известные величины или функции координат x_k.

д) По выражениям для смещений (А.1), деформаций (А.3) и напря­жений (А.4) можно найти функционалы: потенциальную энергию П_r, кинетическую энергию Т_r, кинетическую функцию К_r для каждого конеч­ного элемента (суммирование по k, l, принимающим значения 1, 2, 3):

                              (А.5)

Интегралы вычисляют по объему V_r конечного элемента, которому присвоен номер r (r = 1, 2, 3, ..., R, где R - общее число конечных элемен­тов в детали).

Смещения u_k, деформации e_kl и напряжения s_kl согласно (А.1), (А.3) и (А.4) являются однородными линейными функциями узловых смещений а_m. При этом условии потенциальная энергия П_r и кинетиче­ская функция К_r согласно (А.5) являются однородными функциями вто­рой степени (квадратичными формами) от смещений а_m, а кинетическая энергия Т_r - квадратичной формой от скоростей в узловых точках.

Потенциальную энергию П, кинетическую энергию Т и кинетиче­скую функцию К для всей детали определяют суммированием соответ­ствующих количеств (А.5) по всем конечным элементам

                                             (А.6)

Затем производят сквозную нумерацию смещения в узловых точках конечных элементов по всем степеням свободы для всей детали. Пусть а_i есть смещение в некоторой узловой точке некоторого элемента и ин­декс i означает номер степени свободы, изменяющийся от 1 до N (где N - полное число степеней свободы всей детали). Теперь функ­ционалы (А.6) можно представить в виде квадратичных форм смеще­ний а_i или скоростей а_i в следующем виде:

                                  (А.7)

где С_ij - коэффициенты жесткости системы (детали);

       М_ij - коэффициенты инерции (приведенные массы) системы.

Определение функционалов в виде (А.7) позволяет для решения различных задач динамики конструкций применять методы, основанные на вариационных принципах.

Для нахождения статических напряжений и деформаций в конструк­ции (рисунок А.1) можно применить принцип Лагранжа, т.е. принцип минимума полной энергии системы.

Расчет собственных колебаний (частот и форм) производят по уравнениям метода Ритца.

На основе уравнений Лагранжа второго рода можно получить общие уравнения движения рассматриваемой конструкции. Во всех случаях система уравнений относительно смещений а_i в узловых точках и их производных по времени линейная. Решая эту систему, получают значе­ния a_i, после чего по формулам (А.1), (А.3) и (А.4) находят все необходимые величины.

В изложенной постановке МКЭ является разновидностью метода Ритца. Отличие МКЭ от классического метода Ритца заключено только в способе выбора координатных функций j_m в представлении (А.1). В МКЭ применяют универсальные координатные функции для детали любой формы, их выбор зависит только от типа (формы) конечного эле­мента, а в классическом методе Ритца их выбирают отдельно для каж­дой конкретной детали, причем они должны удовлетворять граничным условиям, что, как правило, сопряжено с большими трудностями опре­деления координатных функций. Это является первым важным преимуществом МКЭ.

Второе преиму­щество МКЭ состоит в том, что смещения u_k в пределах каждого конеч­ного элемента зависят от смещений а_i в близко расположенных узлах и не зависят от смещений в удаленных точках. В результате матрицы коэффициентов С_ij, М_ij содержат много нулевых членов, что существен­но упрощает решения соответствующих систем линейных уравнений. Во многих случаях матрицы коэффициентов С_ij, М_ij являются ленточ­ными, т.е. такими, у которых только члены на главной диагонали и око­ло нее отличны от нуля, а остальные члены (большинство) равны нулю. Операции с ленточными матрицами, в частности обращение матриц, как правило, выполнить проще, а расчет получается точнее, чем при опера­циях с полными матрицами.

Третьим преимуществом МКЭ является простота учета условий за­крепления детали - граничных условий. В МКЭ граничные условия не влияют на выбор координат­ных функций, и их реализация определяется заданием смещений или их комбинаций в узлах, расположенных на границе детали, что существенно упрощает решение.

Указанные преимущества, а также возможность решения на ЭВМ систем уравнений высокого порядка (несколько сотен) предопределяют широкое использование МКЭ в расчетной практике, в частности в рас­четах деталей турбомашин.

Применение МКЭ для расчета напряжений и деформаций дета­лей в статических условиях. Согласно принципу Лагранжа, в состоя­нии равновесия системы работа всех сил (внутренних и внешних) на возможных перемещениях равна нулю. Для конструкции (рисунок А.1) принимаем, что поверхностные F_i и объемные Х_i силы приложены в уз­лах. Придадим смещениям а_i всех узлов возможные приращения (вариа­ции dа_i), составим приращение dЭ полной энергии Э системы и прирав­няем его нулю. В результате получим

                                         (А.8)

Вычислим приращение потенциальной энергии П при вариациях  смещений в виде

.                (А.9)

Подставляя (А.9) в (А.8), имеем

.                                   (А.10)

Вариации  произвольны, поэтому из (А.10) следует, что выраже­ния, стоящие в скобках, должны обращаться в нуль, т.е.

         .                                                (А.11)

Вычислим , использовав (А.7), тогда

.                  (А.12)

Для упругих консервативных конструкций, как известно, коэффици­енты жесткости обладают симметрией, поэтому С_ij = С_ji что учтено при выводе (А.12).

Подставляя (А.12) в (А.11), получаем систему уравнений для опре­деления смещений а_i в виде

,                                           (А.13)

где i=1,2, 3, ...,N.

Порядок системы равен числу степеней свободы рассматриваемой конструкции. Решение системы (А.13) дает значения узловых смеще­ний а_j, после чего можно найти значения u_k, e_kl и s_kl по зависимостям (А.1), (А.3) и (А.4), т.е. решить поставленную задачу.

Координатные функции для треугольного конечного элемента. Для элемента, показанного на рисунок А.1,а,  принимают закон смещений в виде

,     (k= 1,2;  m =1,2,3),                         (А.14)

где a_k - смещение в /и-м узле треугольника в направлении k-ой оси ко­ординат;

       φ_m - координатные функции, которые выбирают в  виде  линей­ных  функций            координат в виде

,                                           (А.15)
b_ms=∆_ms/∆  (s = 0,1,2),                                        (А.16)

,                                                             (А.17)

где ∆_ms - алгебраическое дополнение в определителе к элементу, нахо­дящемуся               на пересечении m-ой  строки и  (s + 1)-го столбца  (s = 0 соответ­ствует первому столбцу, s = 2 - третьему столбцу);

      - координата m-го узла треугольника по k-й координатной оси (рисунок                  А.3);

       F - площадь треугольника.

Координатные функции φ_m удовлетворяют следующим условиям:

                                                     (А.18)

Таким образом, функция φ_m  обращается в единицу в узле номера m и равна нулю в остальных двух узлах треугольного элемента. Это свойство следует из (А.15) при подстановке в правую часть координат узловых точек  

Вследствие линейности функций φ_m смещения u_k удовлетворяют условиям непрерывности смещений на границе двух смежных элементов. Это следует из того, что вдоль любой границы элемента r (например, по границе 1-2 на рисунке А.3), смещения изменяются по линейному закону, а на концах границы, т.е. в узлах 1 и 2, они равны узловым смещениям и . Для смежного элемента r+1 справедливы те же рассуждения, следовательно, на их общей границе смещения одинаковы, т.е. удовлетворяют условиям непрерывности на границе смежных элементов.

Деформации в треугольном конечном элементе. По формуле (А.2) найдем деформации в конечном элементе

                                  (А.19)  

В развернутом виде

                                                                (А.20)

                (А.21)

                                                               (А.22)

Зависимости (А.20 - А.22) представим в матричной записи

                                                             (А.23)

где черта под греческой буквой здесь и далее обозначает матрицу-столбец.

В (А.23) обозначено

    (А.24)                            (А.25)

                                        (А.26)

Матрица-столбец а_r составлена из узловых смещений конечного элемента, расположенных в определенной последовательности. Можно перенумеровать их сквозным счетом от первого до шестого (А.26).

Из (А.23) следует, что в пределах каждого конечного элемента деформации постоянны.

Напряжения в треугольном конечном элементе. Для плоского напряженного состояния закон Гука также представим в матричной форме

                                                         (А.27)

 

                                                       (А.28)

 

.                                          (А.29)

Для плоского деформированного состояния (e₃₃=0) справедливо соотношение (А.27), но матрица [D] имеет вид

.                                  (А.30)

Подставляя (А.23) в (А.27), получаем

                                                     (А.31)

Напряжения в конечном элементе постоянны по всему его объему.

Потенциальная энергия треугольного конечного элемента. По первой формуле (А.5) имеем

                                 (А.32)

где - матрица-строка

.                                               (А.33)

Подставляя напряжения (А.31) и деформации (А.23) в соотношение (А.32), после преобразований получаем

                                                              (А.34)

                                                              (А.35)

где [B]* -транспонированная матрица [В] по формуле (А.25);

V_r - объем ко­нечного элемента, V_r = Fd;

d   - толщина детали.

Напомним, что по повторяющемуся индексу, данному в скобках, суммирование не производится.

Матричное  соотношение (А.35) запишем в развернутом виде

 

(А.36)

Здесь [С]_r - матрица жесткости r-го конечного элемента.

Потенциальная энергия всей конструкции. Определяется она пу­тем суммирования потенциальных энергий всех конечных элементов. Согласно (А.6) и (А.34) имеем

2П = а_r*[С]_га_г = а₁^*[С]₁а₁ + а₂*[С]₂а₂ + ... + а_R*[С]_Rа_R,                (А.37)

где а_r - матрица-столбец смещений в узлах элемента номера r.

Соотношение (А.37) можно представить так

                                    (А.38)

где   - матрица-столбец из узловых смещений всех элементов детали;

[Ф] - квазидиагональная матрица, составленная из матриц жесткости всех элементов.

Матрица-столбец и квазидиагональная матрица имеют вид

                      (А.39)

Введем матрицу-столбец а, составленную из смещений в узлах всей конструкции. Число элементов этой матрицы равно числу степеней свободы N конструкции. Очевидно, матрица а не тождественна матрице ; в последнюю некоторые смещения входят по несколько раз, так как большинство узлов относится не к одному, а к нескольким элементам. Для каждой конструкции можно установить связь между матрицами  и а в виде

                  (А.40)

где [H] - некоторая булева матрица.

Построение матрицы [H] легче уяснить на примере. На рисунке А.4 представлена плоская деталь, состоящая из трех конечных элементов, и  указаны узловые смещения. Для этой конструкции соотношение (А.40) имеет следующий вид

 

                             (А.41)

 

В матрице-столбце  представлены последовательно смещения в узлах всех конечных элементов, а в столбце а – те же смещения, но пересчитанные по сквозной нумерации по всем степеням свободы всей конструкции. Все незаполненные клетки таблицы [H] имеют нулевые значения составляющих. Подставляя выражение (А.40) в (А.38), имеем

                                                             (А.42)

                                                     (А.43)

где [C] – матрица жесткости всей системы, имеющая размер N*N. Компоненты этой матрицы C_ij и есть искомые коэффициенты жесткости всей системы, входящие в выражение потенциальной энергии (А.6) и используемые в уравнениях движения равновесия.

Граничные условия. В точках жесткого закрепления конструкции смешения равны нулю. Учесть граничные условия можно на заключи­тельном этапе после вычисления матриц [С] и [М], для чего в выраже­ниях для П и К (А.7) следует соответствующие значения смещений положить равными нулю. Соответствующие им коэффициенты жестко­сти инерции будут исключены и при расчете не понадобятся. Это равнозначно вычеркиванию в матрицах [С] (А.43) строк и столбцов, связанных с элементами, обращающимися в нуль вследст­вие применения граничных условий. Например для конструкции, показанной на рисунке А.4, по условиям ее закрепления а₁ = а₂ = а₅ = а₆ = 0. В матрице [С] следует вычеркнуть строки и столбцы соответствующих номе­ров, в результате получатся матрицы меньшего порядка - шестого вме­сто десятого. Удобнее в некоторых случаях заранее положить равными нулю смещения в закрепленных узлах и вычеркнуть соответствующие строки и столбцы в матрице [Ф], а также в столбцах  и а. При этом  уменьшится  также  порядок булевой матрицы [H].

         В настоящее время имеется большое число компьютерных программ, реализующих МКЭ для решения широкого круга задач механики деформируемого твердого тела (статических и динамических), гидромеханики, теплопроводности и конвекции, теории поля.

                                                                                            Сводный план 2004 г., поз.

 

 

Алмас Даменович Динасылов

 

 

 

МЕХАНИКА.

РАСЧЕТ ПЛОСКИХ ДЕТАЛЕЙ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В

AUTOCAD MECHANICAL

Методические указания к лабораторной работе

(для студентов всех форм обучения по специальностям направлений

Электроэнергетика, Теплоэнергетика, Электромеханика

и электротехническое оборудование)

 

 

 

Редактор В.В.Шилина

 

Подписано в печать    . 0  . 2004 г.  Тираж 200 экз.  Формат 60х84  1/16 Объем – 2,0 уч.-изд. л.

Бумага типографская N1 Заказ       . Цена 64 тенге

 

 

 

 

 

 

Копировально-множительное бюро Алматинского института энергетики и связи

480013, Алматы, ул. Байтурсынова, 126