АЛМАТИНСКИЙ ИНСТИТУТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ
Кафедра инженерной графики и прикладной механики
ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА
Программа, методические указания и контрольные задания
для студентов специальности 070841 – Экономика и управление на предприятиях связи заочно-очной формы обучения
Алматы 2006
СОСТАВИТЕЛЬ:
А.Д. Динасылов. Прикладная механика.
Программа, методические указания и
контрольные задания для студентов
специальности 070841 – Экономика и управление на
предприятиях связи заочно-очной формы обучения -
Алматы: АИЭС, 2006. – 32 с.
Дисциплина «Прикладная механика» относится к циклу базовых дисциплин для студентов специальности 070841 – Экономика и управление на предприятиях связи. В данной методической разработке приводятся программа курса, задания к контрольным работам, задания к курсовой работе, методические указания, примеры выполнения контрольной и курсовой работы для студентов, проходящих подготовку по заочно-очной форме обучения. Дается список рекомендуемой литературы, и по каждой теме имеются ссылки на основной литературный источник с указанием номеров страниц.
Ил. 20, табл. 6.
Рецензент: канд. техн. наук,
профессор С.А.Дюсенов.
Печатается по дополнительному плану
издания Алматинского института энергетики и связи на 2006 г.
© Алматинский институт энергетики и связи, 2006 г.
Содержание
|
|
|
|
|
Введение.
Цели и задачи дисциплины |
4 |
|
|
1 |
Программа
курса |
4 |
|
|
1.1 Содержание курса |
4 |
|
|
1.1.1 Лекции |
4 |
|
|
1.1.2 Вопросы, выносимые на самостоятельную проработку |
5 |
|
2 |
Темы
практических занятий |
5 |
|
3 |
Методические
указания к изучению дисциплины |
|
|
4 |
Контрольная работа |
6 |
|
|
4.1 Задача 1 – Равновесие
плоской системы сил |
6 |
|
|
4.2 Задача 2 – Кинематика точки |
9 |
|
5 |
Курсовая работа |
15 |
|
Приложение
А. Сталь прокатная угловая равнополочная по ГОСТ 8509-86 |
29 |
|
|
Список рекомендуемой литературы |
31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 Программа курса
1.1 Содержание курса
1.1.1 Введение в статику (всего
часов 18, лекции 4 часа)
1.1.1.1 Предмет, структура и задачи курса. Связь курса с общеинженерными и специальными дисциплинами [1, c. 4-6], [2, c. 5-8]. Статика. Основные понятия и аксиомы статики. Системы сходящихся сил [2, c. 9-30].
1.1.1.2 Момент силы относительно точки и относительно оси [2, c. 31-33, 72-77]. Пара сил [2, c. 33-37]. Приведение произвольной системы сил к простейшей системе. Условия равновесия [2, c. 37-52]. Теорема Вариньона о моменте равнодействующей [2, c. 40-41].
1.1.2 Кинематика точки и простейших движений твердого тела (всего часов 16)
1.1.2.1 Кинематика точки. Способы задания движения, скорость и ускорение точки [2, c.95-117].
1.1.2.2 Простейшие движения твердого тела: поступательное движение и вращение вокруг неподвижной оси [2, c.117-128].
1.1.3 Основные понятия динамики точки (всего часов 10)
1.1.3.1 Основные понятия и законы динамики. Дифференциальные уравнения движения материальной точки и их интегрирование [2, c.180-201].
1.1.3.2 Количество движения и импульс силы. Теоремы об изменении количества движения и об изменении момента количества движения материальной точки. Работа силы, мощность. Теорема об изменении кинетической энергии точки [2, c.201-219].
1.1.4 Растяжение-сжатие стержней (всего часов 10, лекции 4 часа)
1.1.2.1 Введение в сопротивление материалов. Реальный объект и расчетная схема. Метод сечений. Внутренние силовые факторы. Понятия о напряжениях и деформациях. Принцип независимости действия сил [4, c.4-22].
1.1.2.2 Напряжения при растяжении-сжатии. Эпюры продольных сил. Закон Гука. Модуль Юнга. Коэффициент Пуассона. Потенциальная энергия деформации. Температурные деформации. Диаграммы растяжения и сжатия [4, c.22-47]. Расчеты на прочность по методу допускаемых напряжений [4, c.47-78].
1.1.5 Расчеты стержней на прочность и жесткость при кручении (всего часов 6)
1.1.5.1 Чистый сдвиг. Напряжения, закон Гука. Диаграмма сдвига. Расчеты на прочность при сдвиге [4, c.83-92].
1.1.5.2 Эпюры крутящих моментов. Напряжения и углы закручивания при кручении стержней круглого поперечного сечения [4, c.109-121].
1.1.6 Расчеты стержней на прочность и жесткость изгибе (всего часов 18)
1.1.6.1 Геометрические характеристики поперечных сечений стержней. Статические моменты плоских фигур. Центр тяжести. Моменты инерции плоских фигур [4, c.93-108].
1.1.6.2 Изгиб стержней. Внутренние силовые факторы при изгибе. Дифференциальные зависимости Журавского [4, c.132-146].
1.1.6.3 Напряжения в поперечных сечениях стержня при чистом и при поперечном изгибе. Формула Журавского для касательных напряжений. Расчеты на прочность при изгибе [4, c.146-160].
1.1.6.4 Перемещения при изгибе. Дифференциальное уравнение изогнутой оси и его интегрирование. Расчеты на жесткость при изгибе [4, c.164-168].
1.1.6.5 Понятия о расчетах на прочность при косом изгибе, внецентренном растяжении-сжатии, а также при совместном действии изгиба и растяжения (сжатия) [4, c.239-250].
1.1.7 Расчеты на прочность при сложном напряженном состоянии (всего часов 18)
1.1.7.1 Основы теории напряженного и деформированного состояний. Напряженное состояние в точке. Главные площадки и главные напряжения. Виды напряженных состояний. Деформированное состояние в точке. Обобщенный закон Гука [4, c.53-63].
1.1.7.2 Критерии пластичности и разрушения при сложном напряженном состоянии. Эквивалентные напряжения. Теории прочности: теория наибольших касательных напряжений, теория энергии формоизменения, теория прочности Мора [4, c.221-235].
1.1.7.3 Расчеты на прочность при сложном напряженном состоянии. Расчет стержней при совместном действии изгиба и кручения [4, c.253-259].
1.1.8 Расчет сжатых стержней на устойчивость (всего часов 8)
1.1.8.1 Устойчивость равновесия сжатых стержней. Формулы Эйлера и Ясинского для критической силы. Расчет сжатых стержней на устойчивость по коэффициенту снижения основного допускаемого напряжения [4, c.264-275].
2 Темы практических занятий
2.1 Системы сходящихся сил: определение равнодействующей, условия равновесия.
2.2 Равновесие плоских и пространственных систем сил. Определение реакций опор.
2.3 Кинематика точки.
2.4 Расчеты на прочность при растяжении- сжатии.
3 Методические указания к изучению дисциплины
Приступая к изучению дисциплины «Прикладная механика», необходимо прежде всего запастись необходимой учебной литературой. Список рекомендуемой литературы приведен в конце методических указаний.
После изучения разделов 1.1.1 и 1.1.2 программы курса можно приступать к решению задач, входящих в контрольную работу, а также к выполнению первых двух пунктов курсовой работы.
При изучении раздела 1.1.1 следует обратить особое внимание на то, что в зависимости от того, какая система сил рассматривается, уравнения равновесия будут иметь тот или иной вид. При изучении раздела 1.1.2 и решении задачи 2 из контрольной работы нужно обратить внимание на то, что движение точки начинается с момента времени t0, которое принимается равным нулю. Исключая время из уравнений движения, получают уравнение траектории точки. При этом если траектория не замкнута, то не вся кривая, описываемая полученным уравнением, является траекторией точки.
Остальные пункты задания на курсовую работу можно выполнять после изучения раздела 1.1.4 программы курса.
При изучении разделов, связанных с расчетами на прочность и жесткость, нужно различать три вида задач, которые можно решать с использованием условий прочности или жесткости: это задачи проверочного расчета, проектного расчета и определения предельной грузоподъемности.
Следует обратить внимание на то, что, если при растяжении-сжатии сечение стержня используется полностью, то при кручении или изгибе материал стержня, расположенный вблизи центра тяжести сечения, оказывается недогруженным. Поэтому рациональными сечениями при изгибе являются профили в виде двутавров, швеллеров и т.п. При конструировании различных машин, оборудования и т.д. нужно стремиться создавать равнопрочные конструкции, при этом будет достигаться экономия материала. Определенную трудность для студентов вызывает построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов при изгибе. Нужно уделить особое внимание этой теме.
4 Контрольная работа
Контрольная работа включает в себя выполнение двух задач: одну на статику (равновесие плоской системы сил) и вторую на кинематику точки. Сроки выполнения с 2-й по 7-ю недели.
Задания на обе контрольные работы
приведено в десяти схемах и десяти вариантах. Студент должен взять номер схемы
(рисунка) по последней цифре шифра зачетной книжки, а вариант с цифровыми
данными из соответствующей таблицы – по предпоследней цифре шифра. Так,
студент, зачетная книжка которого имеет шифр 96472, должен для каждой задачи
выбрать схему II и цифровые данные, соответствующие варианту 7. Если последняя
цифра шифра нуль, то следует взять десятую схему (Х), а если предпоследняя
цифра шифра нулевая, то цифровые данные из таблицы принимаются по варианту 10.
Выполненная контрольная работа должна включать в себя текстовый и графический материал. Текстовая часть, выполняемая чертежным шрифтом или четким почерком на листах белой бумаги формата А4, должна содержать титульный лист, задание, выполненные расчеты, список использованной литературы. Работа должна быть оформлена согласно принятым нормам (СТП 768-01-07-97); на листах текст должен быть только с одной стороны. Графические построения должны быть выполнены четко, и они должны иметь все необходимые обозначения. Как графическая, так и расчетная часть работы, а также текстовый материал могут быть выполнены с помощью компьютерных средств.
4.1 Задача 1 – Равновесие
плоской системы сил
Жесткая рама (рисунок
1) закреплена в точке А
шарнирно, а в точке В
прикреплена или к невесомому стержню ВВ1,
или к шарнирной опоре на катках; стержень прикреплен к раме и к неподвижной
опоре шарнирами.
На раму действуют пара
сил с моментом М = 100 Н·м и
две силы, значения, направления и точки приложения которых указаны в таблице 1
(например, в условиях варианта 2 на раму действуют сила F1 = 10 Н, приложенная в точке К под углом 30° к горизонтальной оси,
и сила F4 = 40 Н, приложенная в
точке Н под углом 60° к
горизонтальной оси).
Требуется определить
реакции связей в точках А и В, вызываемые заданными нагрузками.
При окончательных подсчетах принять l =
0,5 м.
Указания. Задача 1 является задачей
на равновесие тела под действием плоской системы сил. Составляя уравнения
равновесия, учесть, что уравнение моментов будет более простым (содержать
меньше неизвестных), если брать моменты относительно точки, где пересекаются
линии действия двух реакций связей (в данном случае относительно точки А). При
вычислении момента силы 
часто бывает удобным
разложение силы на составляющие 
и 
, для которых плечи легко вычисляются (в частности, на
составляющие, параллельные координатным осям) и использование теоремы Вариньона;
тогда 
.
Таблица 1
|
Сила |
F1=10H |
F2=20H |
F3=30H |
F4=40H |
||||
|
Номер условия |
Точка прилож. |
|
Точка прилож. |
|
Точка прилож. |
|
Точка прилож. |
|
|
1 |
– |
– |
D |
60 |
E |
45 |
– |
– |
|
2 |
K |
30 |
– |
– |
– |
– |
H |
60 |
|
3 |
– |
– |
H |
45 |
K |
30 |
– |
– |
|
4 |
D |
60 |
– |
– |
– |
– |
E |
30 |
|
5 |
– |
– |
K |
30 |
E |
60 |
– |
– |
|
6 |
H |
60 |
– |
– |
D |
30 |
– |
– |
|
7 |
– |
– |
E |
30 |
– |
– |
K |
45 |
|
8 |
D |
45 |
– |
– |
H |
60 |
– |
– |
|
9 |
– |
– |
H |
60 |
– |
– |
D |
30 |
|
10 |
E |
30 |
– |
– |
– |
– |
K |
60 |
Пример 1. Жесткая пластина ABCD (рисунок 2) имеет в точке А
неподвижную шарнирную опору, а в точке В – подвижную шарнирную опору на катках.
Все действующие нагрузки и размеры показаны на рисунке.
Дано: F=25 кH, α= 600, P=18 кH, γ=750, M=50 кH·м, β=300, l=0,5 м.
Определить: реакции в точках А и В,
вызываемые действующими нагрузками.
Решение:
а) рассмотрим равновесие пластины.
Проведем координатные оси xy и изобразим действующие на пластину силы: силу 
, пару сил с моментом М, натяжение троса 
(по модулю Т = Р) и
реакции связей 
(реакцию неподвижной
шарнирной опоры А изображаем двумя ее составляющими, реакция шарнирной опоры на
катках направлена перпендикулярно опорной плоскости);
б) для полученной плоской системы
сил составим три уравнения равновесия. При вычислении момента силы 
относительно точки А
воспользуемся теоремой Вариньона, т.е. разложим силу 
на составляющие 
, 
и учтем, что 
. Получим
Подставив в эти уравнения числовые
значения заданных величин, решаем их и определяем искомые реакции.
Ответ: 
, 
, 
. Знаки указывают, что силы 
и 
направлены противоположно направлениям, показанным на рисунке
2.
4.2 Задача 2 – Кинематика точки
Точка В движется в плоскости xy (рисунок 3; здесь траектория точки показана условно). Закон движения точки задан уравнениями: x = f1(t), y = f2(t), где x и y выражены в сантиметрах, а t - в секундах.
Указания.
Задача 2 относится к теме «Кинематика точки» и решается с помощью формул, 
определяющих скорость и ускорение точки в декартовых
координатах, а также формул, определяющих нормальное и касательное ускорение
точки.
Найти
уравнение траектории точки; для момента
времени t = 1 с определить скорость и ускорение точки, а также касательное и
нормальное ускорение и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.
Вычертить в масштабе траекторию точки, показать ее начальное положение и
положение в заданный момент времени, показать на рисунке полные скорость и
ускорение точки, их проекции на координатные оси, касательное и нормальное
ускорение точки. Зависимость x = f1(t) указана непосредственно на
рисунке 3, а зависимость y = f2(t)
дана в таблице 1
(для схем I - III во втором столбце, для схем IV - VII в третьем
столбце, для схем VIII - X в четвертом столбце).
Таблица 2
|
Вариант |
I – III |
IV –VII |
VIII - X |
|
1 |
4 – 9
сos(p |
t2
- 2 |
- 4
cos(p |
|
2 |
2 – 3
cos(p |
8 cos(p |
10 sin(p |
|
3 |
4 – 6
cos2(p |
4 + 2 t2 |
12 sin2(p |
|
4 |
12 cos(p |
2 (t +
1) 2 |
2 – 4
sin(p |
|
5 |
9 cos(p |
2 +
2sin(p |
12 cos(p |
|
6 |
- 10
cos(p |
3 t2
- 2 |
3 sin(p |
|
7 |
8 cos(p |
(t +1)3 |
16 sin2(p |
|
8 |
- 9 cos2(p |
3 – 4
cos(p |
6 cos(p |
|
9 |
6 cos(p |
2 t3 |
4 – 9
sin(p |
|
10 |
2 – 2
cos(p |
2 sin(p |
8 cos(p |
)
)
)
)
)
)
)
)
)
) + 5
)
) + 13
)
)
) – 3
)
)
)
)
) – 4
)
)
)
) + 6
Пример 2. Даны уравнения движения точки в плоскости xy:
x = 4 – 8cos(p
); y = 12cos(p 
) + 13,
где x, y даны в сантиметрах, t - в секундах.
Выполнить решение по условиям задачи 2.
Решение:
а) для определения траектории точки
исключим время t из заданных уравнений движения. Поскольку t входит в аргументы
тригонометрических функций, где один аргумент вдвое больше другого, используем
формулу
cos2a = 2cos2a - 1 или cos(p
) = 2cos2(p
) – 1.
Из заданных
уравнений движения выражаем соответствующие
функции
cos(p
) = 
; cos(p
) = 
.
Подставляя
эти выражения в соотношения между
косинусами целого и половинного углов, получаем
= 2
-1
или у = 
(x-4)2+1.
Это уравнение параболы.
Траектория точки показана
на рисунке 4 –
это показанная сплошной линией часть параболы, соответствующей полученому
уравнению; в начальный момент времени t = 0 точка находится в положении M0,
а когда t =1 c – в положении M;
б) скорость точки найдем по ее проекциям на координатные оси:
vx = 
= 8 
sin(p
) = 
π sin(p
),
vy = 
= -12 
sin(p
) = - 4π sin(p
),
v = 
При t = 1 с
vx = 8 
sin(p
) = 2,09 см/c,
vy = -12 
sin(p
) = - 10,88 см/с,
v = 
см/с;
в) аналогично найдем ускорение точки
ax = 
= 
π 
cos(p
) = 
π
cos(p
),
ay = 
= -4 π 
cos(p
) = - 
π
cos(p
),
a
= 
.
При
t = 1 с
ax =
π
cos(p
) = 1,90 см/c
,
ay =
- 
π
cos(p
) = - 6,58 см/c
.
a = 
= 6,85 cм/c
;
г) касательное ускорение найдем, дифференцируя по времени равенство
v
= v
+ v
.
Получаем 2v
Отсюда
a
= 
= 
.
Подставив
сюда числовые значения соответствующих величин при t = 1 с, найдем aτ= 6,82 cм/c
;
д) нормальное ускорение точки находим как
a
= 
= 
= 0,64 см/c;
е) радиус кривизны траектории определим из формулы
a
= 
,
откуда
= 
= 
= 192 см.
Ответ: при t = 1 c
v =
11,8 cм/c, a = 6,85 см/c
, a
= 064 см/c
, a
= 6,82 cм/c
, 
= 192
см.
На рисунке 4 показаны скорости и ускорения точки в положении M.
5 Курсовая работа
Тематика курсовой работы - «Проектный расчет плоской ферменной конструкции».
Задание на курсовую работу: по заданной схеме фермы и силам, приложенным к ней, требуется:
а) определить реакции опор фермы от заданной нагрузки, а также силы во всех ее стрежнях способом вырезания узлов;
б) определить силы в
стержнях фермы способом построения силовых многоугольников;
в) из условия прочности подобрать поперечные
сечения стержней в виде прокатных равнобоких уголков, приняв допускаемые
напряжения на растяжение 
= 160 МПа, на
сжатие 
=140 МПа; расчет выполнить по двум вариантам: I - сечение каждого стержня
выбирается по условию прочности для данного стержня; II - все сечения принимаются, как для
наиболее нагруженного стержня;
г) просчитать затраты на материал по двум вариантам, дать заключение.
Схема фермы показана
на рисунке 5.
Данные выбираются из таблицы 3 по
буквам фамилии студента следующим образом: первой букве фамилии соответствует
первый параметр a, второй букве – второй параметр α, третьей букве – группа параметров F1, F2, F3, F4, F5,
четвертой букве – β1 и
т.д.
Таблица 3
Параметр |
Буквы
фамилии студента
|
|||||||||||
|
Номер |
Обозначение |
А,Б |
В,Г |
Д,Е |
Ж,З, И,Й |
К,Л |
М,Н |
О,П |
РС |
Т,У, Ф,Х |
Ц,Ч,Ш,Щ |
Ы,Ь,ЭЮ,Я |
|
1 |
a,м |
1,0 |
1,1 |
1,2 |
1,3 |
1,4 |
1,5 |
1,6 |
1,7 |
1,8 |
1,9 |
2,0 |
|
2 |
α,град |
60 |
55 |
50 |
45 |
40 |
35 |
30 |
65 |
25 |
60 |
45 |
|
3 |
F1 F2 F3 F4 F5 |
0 20 0 40 60 |
10 0 30 0 50 |
25 30 0 40 0 |
0 20 60 0 40 |
50 0 40 30 0 |
35 25 0 0 40 |
0 0 50 25 35 |
40 0 0 35 25 |
50 40 30 0 0 |
25 35 0 50 0 |
0 20 30 60 0 |
|
4 |
β1 |
0 |
30 |
45 |
60 |
90 |
135 |
180 |
225 |
270 |
300 |
330 |
|
5 |
β2 |
60 |
90 |
135 |
180 |
225 |
270 |
300 |
330 |
0 |
30 |
45 |
|
6 |
β3 |
90 |
135 |
60 |
90 |
135 |
180 |
225 |
270 |
300 |
330 |
270 |
|
7 |
β4 |
270 |
30 |
45 |
0 |
30 |
45 |
60 |
90 |
60 |
90 |
135 |
|
8 |
β5 |
45 |
0 |
0 |
90 |
135 |
270 |
60 |
90 |
135 |
180 |
225 |
|
Примечания 1
Если количество букв фамилии студента превышает число
параметров чертежа, то лишние буквы отбрасываются, а если количество букв фамилии
недостаточно, - добавляются буквы имени и отчества. 2
Значения сил F1, F2, F3, F4, F5 даны в килоньютонах. |
||||||||||||
Сроки выполнения
курсовой работы с 1 по последнюю недели цикла.
Выполненная курсовая работа должна содержать: титульный лист, задание, схему фермы, все необходимые расчетные формулы и графические построения, результаты расчетов, сопоставление результатов расчета по двум вариантам, выводы и заключение, список использованной литературы, содержание. Работа должна быть оформлена согласно принятым нормам (ФС РК 10352-1910-У-е-001-2002); на листах текст должен быть только с одной стороны; объем работы – 12-14 листов формата А4.
Пример выполнения задания. Дано:
схема фермы (рисунок 5); F1=20 кН, F2=0, F3=40 кН, F4=10 кН, F5=40 кН, а=2,0 м; α=30°.
Решение
1. Определение реакций опор.
Покажем внешние силы, приложенные к ферме: активные (задаваемые) силы F1, F3, F4,
F5 и реакции опор А и В (рисунок 6).
Так как линия действия реакции
опоры А неизвестна, будем определять ее составляющие по координатным осям HA и VA.
Опора В – стержневая; линия
действия ее реакции известна – она направлена вдоль опорного стержня.
Составим уравнения равновесия сил,
приложенных к ферме:
Эти уравнения запишутся следующим
образом:
Отсюда находим RB= 92,32 кН, HА = 19,05 кН, VА=71,59 кН.
Выполним
проверку, используя уравнения
,
Подставляя
сюда численные значения реакций, убеждаемся, что они определены верно.
2. Определение сил в стержнях фермы
способом вырезания узлов. Стержни,
сходящиеся в узле фермы, являются для узлового соединения связями. Отбросим
мысленно связи и заменим их действие на узлы продольными (нормальными) силами.
Первоначально все неизвестные продольные силы будем считать растягивающими.
Если в результате расчета численное значение силы будет иметь отрицательный
знак, это будет означать, что действительное направление продольной силы
противоположно первоначально принятому направлению, то есть в действительности
стержень испытывает сжатие.
Для
каждого узла будем составлять два уравнения равновесия:
(2)
Так как рассматриваемая ферма статически определима, то
продольные усилия во всех стержнях могут быть определены с использованием
только этих уравнений равновесия. Последовательно рассмотрим каждый узел,
причем рассматривать будем в таком порядке, чтобы в узлах было не более двух
неизвестных сил.
Нетрудно убедиться, что из этих уравнений можно определить
не только все силы, но и реакции опор, так что предварительное определение
реакций опор не является необходимым. Действительно, количество узлов семь (А,
В, С, D, E, G,
Н), следовательно, количество уравнений четырнадцать, а неизвестных тоже
четырнадцать, то есть одиннадцать усилий в стержнях и три составляющих опорных
реакций. Ранее найденные реакции опор могут служить для проверки решения.
Узел Н (рисунок 7).
Принимая направления продольных сил в стержнях 10 и 11
соответствующими растяжению, составим уравнения равновесия для узла в виде
Отсюда находим
кН, 
кН.
Отрицательный знак силы N11
указывает, что стержень 11 сжат. На рисунке 7 первоначально принятое
направление силы N11 перечеркнуто и рядом пунктиром
показано действительное направление.
Узел G
(рисунок 8).
Здесь показано действительное направление силы N11 , а неизвестные силы N8 и N9 , подлежащие определению, приняты
растягивающими.
Уравнения равновесия имеют вид
Получаем
кН, 
кН.
Стержень 8 оказался сжатым, поэтому на рисунке его
действительное направление показано пунктиром рядом с предварительно принятым
направлением.
Узел E
(рисунок 9).
Из уравнений равновесия
получаем
кН (стержень сжат), 
кН.
Узел D
(рисунок 10). Здесь продольные силы в стержнях 7 и 8 показаны в соответствии с
действительными направлениями.
Уравнения равновесия имеют вид
Отсюда находим
кН (сжат),
кН.
Узел C (рисунок 11). Здесь появляется
угол γ, который определяется следующим образом:
, 
.
Из уравнений
равновесия
находим
кН (сжат),
кН.
Узел B (рисунок 12).
Составим уравнения равновесия для узла в виде
Отсюда находим
кН, 
кН (сжат).
Узел A
(рисунок 13).
Из уравнений
равновесия
находим реакции
кН,
кН.
Сопоставляя значения
реакций со значениями, найденными в пункте 1, видим, что они совпадают.
В таблице 4 приведены
значения продольных сил в стержнях и указаны знаки сил.
Таблица 4
|
Номер стержня |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
|
Знак силы |
- |
+ |
- |
- |
- |
+ |
- |
- |
+ |
+ |
- |
|
Сила, кН |
53,31 |
106,61 |
24,19 |
3,21 |
38,97 |
65,23 |
8,66 |
15,71 |
8,66 |
56,57 |
20,71 |
3. Определение сил в
стержнях фермы способом построения силовых многоугольников. Для проверки расчета для каждого узла
построим многоугольник
сил, согласно
векторному уравнению ∑Fi =
0.
Для узла Н (рисунок 14) нужно
отложить в масштабе силу F3 под
углом 45° к горизонтальной линии и провести через конец и начало этого вектора
направления продольных сил N11 и N10 до их взаимного пересечения. Стрелки векторов N11 и N10 должны быть расставлены так, чтобы силовой треугольник
был замкнут. Для этого на рисунке 14 стрелку вектора
N11 пришлось
направить в сторону, противоположную
показанной на рисунке 7, что соответствует знаку минус в аналитическом
решении. На рисунке 14 построения выполнены в AutoCAD с соблюдением всех углов
и масштаба. Измерения выполнены строго с использованием объектной привязки.
Аналогично определяются продольные силы во всех остальных
стержнях фермы, а также опорные реакции (рисунки 15 - 19).
Сопоставление значений и знаков
продольных сил во всех 11 стержнях, а также значений и направлений опорных
реакций, определенных способом вырезания узлов и способом построения силовых
многоугольников, показывает полное совпадение результатов.
4. Подбор поперечных сечений
стержней из условия прочности. Так
как стержни фермы под действием заданной нагрузки работают на растяжение или
сжатие, то для подбора поперечных сечений стержней следует воспользоваться
условием прочности при растяжении-сжатии
где
σ – расчетное напряжение в поперечном сечении стержня;
N
– нормальная (продольная) сила;
А – площадь
поперечного сечения;
[σ] – допускаемое напряжение.
Так как решается задача проектного
расчета (задача подбора сечений), то из условия прочности нужно выразить
геометрическую характеристику поперечного сечения стержня, в данном случае это
площадь поперечного сечения стержня.
Материал стержней (сталь Ст.3 по ГОСТ 380-88) имеет
одинаковые значения пределов текучести при растяжении и при сжатии, однако
заданные в задании значения допускаемых напряжений на растяжение и сжатие
различны. Это сделано для того, чтобы для сжатых стержней обеспечить не только
прочность, но и устойчивость. Поэтому для расчета необходимых значений площадей
поперечных сечений стержней будем пользоваться следующими соотношениями:
-
для растянутых стержней
;
-
для сжатых стержней
,
где
- допускаемое
напряжение при растяжении:
- допускаемое
напряжение при сжатии.
Результаты
расчетов необходимых значений площадей поперечных сечений для каждого стержня
приведены в таблице 5. Там же показаны номера профилей, выбранных по таблицам
сортамента, приведенным в приложении А к данным методическим указаниям), а
также площади поперечных сечений для них.
Длина стержней определяется
следующим образом
l4= l8= l11= a=200 см, l2= l6= l10= l7= a/cosα=231 см, l9= a/tgα=215,5 см,
l5= 2a∙tgα=231 см, l1= 3a∙tgα=346,5 см, l3= l5/sinγ=305,6 см.
Объем
стержней определяется как
Vi=li∙Aуг I,
а их масса
как
mi=Vi∙ρ,
где плотность ρ
для малоуглеродистой стали Ст.3 принята равной 7,8∙103 кг/м3.
Длины стержней, их объем и масса также приведены в таблице
5.
Суммарная масса всех 11 стержней
составляет 54,764 кг. Принимая стоимость проката, равной 80 тг/кг, получим, что
при назначении для каждого уголка своего номера профиля (при соблюдении
принципа равнопрочности – вариант I) расходы на материал для
изготовления фермы составляют 4 380,8 тенге.
При выборе номера профиля для всех
стержней по наиболее нагруженному стержню (вариант II) в таблице 5 видим, что наиболее
нагруженным является стержень 2. Тогда для всех стержней принимаем профиль 70х5
с площадью поперечного сечения 6,86 см2. Суммарная длина всех 11
стержней составляет 2522,6 см, и суммарный объем – 17 305 см3.
Тогда суммарная масса всех стержней составляет 135,0 кг и расходы на материал
составляют 10 800 тенге.
