Некоммерческое акционерное общество
АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ
Кафедра радиотехники
ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СВЯЗИ

Сборник задач
для студентов специальности
5B071900 – Радиотехника, электроника и телекоммуникации

Алматы 2014

Составители: Т.А.Павлова. Теория электрической связи. Сборник задач (для студентов специальности 5В071900 - Радиотехника, электроника и телекоммуникации). – Алматы: АУЭС, 2013.-   36с.

Данная разработка  предназначена для студентов всех форм обучения специальности 5В071900 – Радиотехника, электроника и телекоммуникации.

Приводятся задачи по основным разделам курса теории электрической связи, в которых отражаются общие закономерности передачи информации по каналам связи. Отмечаются потенциальные возможности различных способов передачи и приема сигналов. В каждом разделе для одной задачи приводится подробное решение.

Ил.9, табл. 2, библиогр. -   5 назв.

Рецензент: канд. техн. наук, профессор АУЭС Байкенов А.С.

Печатается по плану издания некоммерческого акционерного общества «Алматинский университет энергетики и связи» на 2013 г.

Ó НАО «Алматинский университет энергетики и связи», 2014г

Введение

Предлагаемый сборник задач по курсу «Теория электрической связи» (ТЭС), изучение которого предусмотрено учебными планами для специальностей «Автоматическая электросвязь», «Многоканальная электросвязь», «Радиосвязь, радиовещание и телевидение» институтов связи.

При подготовке сборника задач автор использовала многолетний опыт преподавания курса «Теория электрической связи» в Алматинском университете энергетики и связи.

Согласно программе курса ТЭС в данный сборник задач, включены задачи по таким разделам как «Системы связи и способы передачи сообщений», раздел «Пространства сообщений и сигналов и материал «Основы теории помехоустойчивого кодирования». В сборнике задач задачи и решения.

Сборник задач содержит 5 глав, в которых приведено около 90 задач, иллюстрирующих общие закономерности передачи сообщений по каналам связи, потенциальные возможности способов передачи и приема сигналов. Каждый раздел имеет краткое теоретическое введение, в котором даны основные расчетные соотношения.

В сборнике задач приведены как простые, так и сложные задачи, решение которых может показаться затруднительным. В этих случаях потребуется квалифицированная помощь преподавателей. В сборник задач не вошли традиционные задачи по расчету вероятностных характеристик случайных величин и случайных процессов, которые содержатся, например, в [4, 7]. При решении ряда задач возникает необходимость использования микроЭВМ. В этом случае можно воспользоваться прикладными программами из [2, 6, 10].

 Многие вероятностные задачи расчета отдельных звеньев систем передачи сообщений, которые стоят перед современными инженерами, занимающимися разработкой и эксплуатацией систем связи, требуют знаний, выходящих за пределы курса ТЭС. В этом случае следует обратиться к специальной литературе. Однако при этом необходимо овладеть основными идеями и методами расчета статистической теории связи. Именно с этой точки зрения сборник задач может оказаться полезным бакалаврам, изучающим системы передачи сообщений.

1 Системы связи и способы передачи сообщений

1.1 Сообщение и сигнал, система связи, канал связи

Задачи

1.1.1 Дискретный источник выдает последовательность 3-символьных сообщений Аi1, Аi2, Аi3 (первый индекс показывает зна­чение элемента, а второй — его номер в последовательности), вы­бираемых из дискретного алфавита аi (i=0, К=1; К=8— объ­ем алфавита источника). Сколько различных сообщений N может выдать такой источник? Выпишите реализации сообщений, у которых два первых символа а11, a72.

Решение

Поскольку каждый символ в 3-символьной последова­тельности может принимать одно из восьми значений, источник может выдать N = 83 = 512 различных сообщений. Реализации со­общений, у которых два первых символа а11а72, выглядят следую­щим образом:

.

1.1.2    Данные из ЭВМ выдаются в двоичном коде (т=2) ко­довыми комбинациями, содержащими n=7 символов. Сколько таких сообщений может выдать источник? Напишите две реали­зации такого источника, принимая aik=0, 1.

1.1.3 Дискретные источники А и В выдают двоичные симво­лы aik. bik∊0,1. Эти символы попарно отображаются (кодируют­ся) новым символом cik. Сколько реализаций принимает сим­вол cik?

Рисунок 1.1 - Измене­ние звукового дав­ления

1.1.4    Изменение давления, создаваемого говорящим у микро­фона за время T=100 мс, показано на рисунке 1.1. Уровень давления, измеряемый в децибелах, меняется в пределах 0,5... 3,5 дБ. Верх­няя частота спектра сообщения Fмакс=4000 Гц. Сколькими реали­зациями можно описать сообщения источника при дискретном времени с шагом t= 1/(2Fмакс) и квантовании уровней с шагом ∆Р= 1 дБ?

1.1.5 Три компоненты сигнала точки плоского цветного изоб­ражения В(х, у), R(x, у), G(x, у) меняются независимо. Число различимых точек кадра изображения N = 0,75∙(625)2 = 520000. Чему равно число различных кадров изображения, если сигнал яр­кости В(х, у) передавать с 16 градациями, а сигналы цветности R(x, у), G{x, у) с 8 градациями?

1.1.6 Определить, во сколько раз емкость телевизионного сиг­нала превосходит емкость радиовещательного сигнала (при оди­наковой их длительности), если Fтв=6,5 МГц, и FРВ = 12 кГц (ди­намические диапазоны телевизионного и радиовещательного сиг­налов следует считать одинаковыми).

1.1.7 Текст из ста букв передается по телефонному каналу в течение 30 с. Тот же текст за то же время передается по телег­рафному каналу пятизначным двоичным кодом. Приняв динами­ческие диапазоны телефонного и телеграфного сигналов равны­ми, определить, во сколько раз телеграфный сигнал экономичнее телефонного.

1.1.8 Канал связи с полосой FK=10 кГц предполагается ис­пользовать в течение 10 с. В канале действует шум с равномер­ной спектральной плотностью мощности N0= 10-4 мВт/Гц. Како­ва предельная мощность сигнала, который может быть передан по данному каналу, если объем канала VK = 106?

Кодирование и декодирование

Задачи

1.2.1 Источник сообщений выдает символы из ансамбля, име­ющего объем К= 8. Записать кодовые комбинации примитивного равномерного двоичного кода, соответствующие символам данного источника. Построить граф кода (кодовое дерево). Согласно (1.10) 8=2n, откуда число разрядов n=log28=3.

Решение

Процедура кодирования и кодовые комбинации приведены в таблице 1.1. Граф кода приведен на рисунке 1.2.

Рисунок 1.2 -  Граф кода

1.2.2 Какое число разрядов должен иметь равномерный при­митивный код, предназначенный для кодирования 32-буквенного алфавита, при основании кода т=2; 8; 16; 32?

Т а б л и ц а 1.1

Сим­вол

Число

Разложение числа по модулю 2

Кодовая комби­нация

a1

0

0·22 + 0·21 + 0·20

000

a2

1

0·22 + 0·21 + 1·20

001

a3

2

0·22 + 1·21 + 0·20

010

a4

3

0·22 + 1·21 + 1·20

011

a5

4

1·22  + 0·21  + 0·20

100

a6

5

1 ·22 + 0·21 + 1·20

101

a7

6

1·22+ 1·21 + 0·20

110

a8

7

1 ·22+ 1·21 + 1·20

111

1.2.3 Дискретный источник выдает символы из ансамбля {аi} с объемом К= 10. Какое минимальное число разрядов должны иметь кодовые комбинации равномерного двоичного кода, предназ­наченного для кодирования символов заданного ансамбля? Записать кодовые комбинации. Будет ли полученный код прими­тивным?

1.2.4 Первичный непрерывный сигнал путем дискретизации во времени и квантования по уровню превращается в импульсную последовательность с числом уровней K=128. Уровни квантован­ного сигнала кодируются равномерным двоичным примитивным кодом. Найти число разрядов в кодовой комбинации.

1.2.5 Какое наименьшее число разрядов должны иметь кодо­вые комбинации двоичного и восьмеричного кодов, предназначен­ных для кодирования сообщений алфавита, имеющего объем К = 16; 128; 57; 10; 432?

1.2.6 Закодировать двоичным кодом следующие числа: 5; 7; 17; 31; 32; 33; 127; 128; 129.

1.2.7 Сообщения, выбираемые из ансамблей, имеющих объем K=8; 9; 16; 17; 32; 33; 256; 260, кодируются равномерным кодом с основанием т = 2; 3. В каких случаях величина  будет точно выражать длину кодовой комбинации?

1.2.8 Чему должен быть равен объем алфавита К, который можно закодировать равномерным примитивным кодом с осно­ванием т=2;3; 8 и n=2; 3; 5?

1.2.9 Технической скоростью передачи  называется количест­во кодовых символов, передаваемых в единицу времени. Опреде­лить техническую скорость передачи для стартстопного телеграф­ного аппарата, передающего одну букву семью посылками: стар­товой (20 мс), пятью кодовыми (20 мс каждая) и одной стопо­вой (30 мс).

1.2.10    Кодовые символы передаются посылками постоянного тока, имеющими длительность 5 мс. Чему равна техническая ско­рость передачи?

1.2.11    Какую длительность должны иметь кодовые посылки при технической скорости 50, 100, 200 Бод? (1 Бод соответствует передаче одной посылки в секунду).

1.2.12 Буквам русского алфавита А, В, Е, К, О, М, С соответ­ствуют следующие кодовые комбинации 5-разрядного двоичного кода: 00000, 00011, 00101, 01001, 01011, 01100, 01111. Расшифруй­те кодовые последовательности:

1) 011000101101111010010001100000;

2) 0111100101010010000001100;

3) 0110000000011110100100000.

1.3 Модуляция

Задачи

1.3.1    Напишите выражение для сигнала в системе ОМ—ФМ (в нижней ступени модуляции используется нижняя или верхняя боковая полоса). Индексы 1 и 2 припишите параметрам соответ­ственно первой и второй системы модуляции. Определите ширину полосы сигнала, если первая поднесущая f1=100 кГц, верхняя ча­стота сообщения Fмакс = 4 кГц, а индекс модуляции во второй сис­теме β2= 15.

Решение

Воспользуемся соотношением (1.14) для ОМ-сигиала. Рассматривая его как модулирующий сигнал для системы ФМ, по формуле (1.15) получим

Так как верхняя граничная частота в спектре ОМ-сигнала f1+Fмакс=104 кГц, полоса частот сигнала ОМ—ФМ f=2β2(f1+Fмакс) = 15-104= 1,56 МГц.

1.3.2    Напишите выражение для сигнала в системе ФМ—AM. Определите ширину полосы частот сигнала, если f1= 100 кГц, Fмакс =4 кГц, а индекс ФМ β1 = 15.

1.3.3    Напишите выражение для сигнала в системе ЧМ—ОМ (в верхней ступени используется нижняя боковая полоса). Опре­делите ширину полосы частот сигнала, если Fмакс =4 кГц, индекс ЧМ равен β1= 15.

1.3.4    На рисунке 1.3 дана реализация сигнала при двоичной ФМ, содержащей 8 кодовых элементов. Напишите двоичный код, соот­ветствующий этой реализации. Считаем, что первый элемент со­ответствует символу 1.

1.3.5    Нарисуйте реализацию сигнала при двоичной AM с пас­сивной паузой (символ 0 передается отсутствием излучения), со­ответствующую коду 10111001.

1.3.6    Приняв, что на рисунке 1.3 дана реализация сигнала при двоичной ОФМ, восстановите код, соответствующий этому сигна­лу, если:

а) символ 1 передается сменой фазы предыдущего эле­мента сигнала, а символ 0 — сигналом с той же фазой;

б) символ 0 передается сменой фазы предыдущего элемента сигнала, а сим­вол 1 — сигналом с той же фазой.

image2 

Рисунок 1.3 - Реализа­ция сигнала дво­ичной фазовой (от­носительной фазо­вой) модуляции

1.3.7    Определите полосу частот, необходимую для передачи сигнала при импульсной модуляции, если считать, что несущая образована последовательностью прямоугольных импульсов дли­тельностью τ = 1 мкс, а ширина спектра определяется тремя пер­выми лепестками функции  

1.3.9 Напишите выражение для сигнала АИМ—БМ. Какая полоса частот требуется для его передачи, если ширину спектра сигнала АИМ брать такую же, как в задаче 1.3.12?

1.3.10 Напишите выражение для сигнала ФИМ—БМ. Имеет­ся ли различие в ширине спектра сигналов АИМ—БМ и ФИМ—БМ?

1.3.11   Найдите коэффициенты частотной избыточности для си­стем ОМ, БМ, ФМ, ЧМ (при заданном индексе модуляции р и /макс), АИМ и ФМ (при заданной длительности импульсов несу­щей) , ОМ—ЧМ и ЧМ—ЧМ.

 

2 Сообщения, сигналы, помехи

2.1 Сообщения, сигналы и помехи как случайные процессы

Задачи

2.1.1    Дискретный двоичный источник выдает последователь­ности из трех символов A(t1), A(t2), A(t3). Возможные реализа­ции источника имеют вероятности

Р1 =P (01 02 03) = 0,1;                     Р5 = Р (01 02 13) = 0,15;

Р2 = Р (01 02 03) = 0,2 ;               Р6 = Р (01 12 13) = 0,05 ;

Р3 = Р (11 02 03) = 0,05 ;                    Р7 = Р( 11 02 13) = 0,2 ;

P4 = Р(11 1203) = 0,15;                 Р8 = Р(11121з) = 0,1.

Найти: вероятности появления 2-символьных реализаций P(a i1ai2) и P(ai2ai3); безусловные вероятности Р(аi1), P(ai2), P(aiз); условные вероятности переходов Р(aiз│аi1ai2), Рi1ai2│ aiз), Р(aiз│ai2), Р(ai2│аi1).

Решение

Возможные 2-символьные реализации вида ;  ,, , .

Вероятность 2-символьной реализации  будет равна сумме вероятностей таких 3-символьных реализаций, у которых два первых символа — нули: P(0102) =p1+ p5= 0,25. Аналогичным образом находятся вероят­ности остальных 2-символьных реализаций:

,

,

Безусловные вероятности вида Р(аi1) равны сумме вероятно­стей 3-символьных реализаций, у которых первый символ аi1:

Рисунок 2.1 - Граф дискретного двоичного канала

.

Аналогично

;

;

;

.

Условные вероятности переходов находим согласно (2.1):

Аналогично найдем p(02/l1) =0,5, P(l2/01) =0,5, P(l2/l1) =0,5. Согласно (2.1)

          Аналогичным образом можно найти и остальные интересую­щие нас вероятности.

2.1.2 Дискретный двоичный источник описывается простой цепью Маркова с матрицей переходных вероятностей

где P(ai|a j) —вероятность символа аi при условии, что ему пред­шествует символ aj.

Написать вероятности для всех 3-символьных реализаций ис­точника.

2.1.3 Символы двоичного дискретного источника появляются независимо от символов, ранее переданных (P(aiúaj)=P(ai) источник без памяти), причем Р(1)=0,8; Р(0)=0,2. Написать ве­роятности для всех реализаций 3-символьных сочетаний источ­ника.

2.1.4 Одномерная интегральная функция распределения ампли­туды сигнала при замираниях определяется формулой F(U, t) = 1 - exp (U2/). Найти плотность вероятности амплитуды. Яв­ляется ли процесс U (t) стационарным?

2.1.5 Интегральная функция совместного распределения ампли­туд флуктуационной помехи в двух сечениях t1и t2 определяет­ся выражением

Покажите, что  Найдите совместную плотность вероятности помехи в двух сечениях. Покажите, что эти сечения независимы.

2.1.6 Совместная плотность вероятности мгновенных значений шума в двух сечениях t1  и t2 = t1+τ  определяется гауссовским за­коном:

где R(t) — нормированная корреляционная функция сечений;

σ21(t),  σ22(t) — соответственно дисперсии процесса в первом и втором сечениях.

Покажите, что в каждом сечении распределение гауссовское и при τ=0 случайный процесс независим в двух сечениях.

2.1.7 Покажите, что для гауссовского процесса (см. задачу 2.1.6) распределение пг при известном n определяется гауссовским законом:

2.1.8      Сечение дискретного случайного процесса при много­уровневой модуляции принимает пять значений: x1 =-2; х2=1; xз = 0, х4=1; x5 = 2 с вероятностями P(x1) =P(x5) =0,1; Р(х2) =  Р(х4) =0,2; Р(х3)=0,4. Найти математическое ожидание и дис­персию сечения процесса.

2.1.9 Найти корреляционную функцию случайного синхронного телеграфного сигнала, реализа­ции которого имеют случайный равномерно распределенный сдвиг ∆t относительно начала координат (см. рисунок 2.2), принимающего дискретные моменты вре­мени, кратные длительности Т, значения ±h с вероятностью 0,5 независимо от того, какое значение он имел на предыдущем участке. Определить интервал корреляции этого про­цесса.

Рисунок 2.2 - Реализация случайного синхронного телеграфного сигнала

2.1.10    Стационарный случайный сигнал имеет корреляционную функцию β(τ) =В(0)ехр(-β|τ|), β=10-2 с-1. Найти интервал корреляции τк методом эквивалентного прямоугольника, а также определив его как аргумент t, при котором В (τ) =0,1В(0).

2.1.11  Неопределенный интеграл  от стаци­онарного процесса N(t) с равномерным энергетическим спектром  нулевым математическим ожиданием ) называется процессом Винера. Докажите, что этот про­цесс нестационарен и имеет математическое ожидание , корреляционную функцию  и дисперсию

2.1.12   Найти усредненную по времени корреляционную функцию АМ-сигнала

 

если (t) — стационарный случайный процесс с корреляционной функцией Bx(t).

2.1.13   Найти усредненную по времени корреляционную функцию OМ-сигнала

,

где (t) — сопряжение по Гильберту от (t); (t) -  ста­ционарный случайный процесс с корреляционной функ­цией Bx(τ).

2.1.14   Найти усредненную по времени корреляционную функцию ФМ-сигнала

,

где (t) —  (t) -  ста­ционарный гауссовский случайный процесс с корреляционной функ­цией Bx(τ)= Bx(0) Rx(τ).

2.1.15   Показать, что нестационарная гауссовская плотность вероятности случайного процесса x(t) с математическим ожида­нием mx(t)=x0e-at и дисперсией  удов­летворяет уравнению Колмогорова — Фоккера — Планка (2.14) при коэффициентах сноса A1(t)=—amx(t) и диффузии A2(t) = = 22/.

2.1.16   В условиях предыдущей задачи, пользуясь уравнением (2.18), показать, что стационарная плотность вероятности

2.2 Спектры случайных процессов

Задачи

2.2.1 Найти энергетический спектр случайного синхронного те­леграфного сигнала (см. задачу (2.1.17). Определить ширину энер­гетического спектра Fэ и убедиться, что τkFэ1.

Решение

Подставив выражение корреляционной функции случайного синхронного телеграфного сигнала  в выражение спектральной плотности мощности центрированного стационарного случайного процесса (t)  ), получим

Интегрируя, находим, что

Ширину энергетического спектра найдем согласно (2.25), при­няв во внимание, что G0(f)=2G(f):

Произведение

Отметим, что на частотах, кратных значению 1/T, энергетиче­ский спектр синхронного случайного телеграфного сигнала имеет нулевые значения.

2.2.2Случайный стационарный процесс имеет равномерный энергетический спектр G(f)=No/2 (белый шум). Показать, что корреляционная функция этого процесса есть d-функция. а его дисперсия 2 = В(0) = . Учесть соотношение

2.2.3Найти корреляционную функцию шума, имеющего рав­номерную спектральную плотность, равную N0/2 в полосе (—F, +F) и нулю вне этой полосы. Показать, что сечения процесса, разнесенные на интервал , кратный величине 1 /2F, не коррелированы. Найти Fэ и интервал корреляции τк.

2.2.4Найти энергетический спектр стационарного марковского гауссовского шума с экспоненциальной корреляционной функцией B(τ) =В(0)е -β|τ| . Найти ширину энергетического спектра Fb v оценить величину τkFэ.

2.2.5Показать, что энергетический спектр случайного стаци­онарного процесса Y(t) с корреляционной функцией Ву(τ) =  Вх (τ) cos определяется на положительных частотах при foF3 (Fэ — ширина спектра процесса с корреляционной функ­цией Вх(t)) соотношением

Gy(f)0=Gx(f-f0),

где Gx(f) — энергетический спектр процесса X (t).

2.2.6 Найти усредненный энергетический спектр ОМ-сигнала

,

где (t) — сопряжение по Гильберту от (t); (t) -  ста­ционарный случайный процесс с корреляционной функ­цией Bx(τ).

2.2.7  Найти усредненный энергетический спектр ФМ-сигнала

,

где (t) —  (t) -  ста­ционарный гауссовский случайный процесс с корреляционной функ­цией Bx(τ)= Bx(0) Rx(τ). Упростить это выражение при к2ФМВх(0)1.

2.3 Огибающая, мгновенная фаза и частота узкополосного случайного процесса

Задачи

2.3.1    Найти огибающую, мгновенную фазу и мгновенную час­тоту для БМ-сигнала

u(t)=Umcos(ω0+Ω)t+Umcos(ω0-Ω)t.

Составить выражение для комплексного сигнала.

Решение

Приведем заданный сигнал u(t) к виду:

z(t) =x(t)cos a0t+y(t)sin a0t,

где x(t) и y(t) — квадратурные компоненты.

В этом случае квадратурная компонента x(t)=Umcos, а квадратурная компонента y(t) = 0.

В соответствии с формулами:  и  имеем для огибающей r(t) = и для мгновенной начальной фазы . Мгновенная фаза процесса u(t) . Мгно­венная частота 

Согласно формуле r(t) = r(t)ejφ(t) = x(t) + y(t) для комплексной огибающей получим

Подставляя это выражение в формулу получаем для комплекс­ного сигнала

2.3.2    Найти огибающую, мгновенную фазу и мгновенную час­тоту и составить выражение для комплексного сигнала, если про­цесс описывается выражением

2.3.3       Дан сигнала . Найти сопряженный сигнал (t), а также огибающую, мгновенную фазу и час­тоту.

2.3.4  Найти квадратурные компоненты АМ-сигнала

u(t)=U0(1+mcosΩt)cos(ω0t+φ0).

2.3.5 Показать, что сигналы, сопряженные по Гильберту с сигналами z1(t)=Umcosω0t, z2(t)=Umsinω0(-T/2≤t≤T/2) рав­ны 1(t)=Umsinω0t, 2(t)=-Umcosω0t лишь при T. Пока­зать, что этот же результат следует из спектральных соотношений

2.3.6    Найти огибающую и мгновенную фазу по Гильберту для процесса z(t), имеющего спектральную плотность

2.3.7    Найти одномерную плотность вероятности огибающей уз­кополосного гауссовского случайного процесса, полагая, что ква­дратурные компоненты симметричны (σ2х= σ2y2).

2.3.8    Найти одномерную плотность вероятности огибающей узкополосного гауссовского случайного процесса, если квадра­турные компоненты симметричны (σ2х= σ2y2) и тху=0.

2.3.9    Найти одномерную плотность вероятности огибающей узкополосного гауссовского случайного процесса, если σ2х = 0, тху =0.

2.3.10   Найти одномерную плотность вероятности фазы узко­полосного гауссовского случайного процесса при условиях:

1) σ2х= σ2y2 , тху0;

2) σ2х= σ2y2 , тху0.

2.3.11   Показать, что при обобщенное распределение Рэлея можно приближенно представить в виде

2.4 Пространства сообщений и сигналов

Задачи

2.4.1 Финитный сигнал длительности Т со спектром, ограни­ченным полосой F, представляется усеченным рядом Фурье

причем L=FT. Найти норму вектора, представляющего сигнал в L-мерном пространстве Эвклида. Дать физическое толкование нормы этого вектора.

Решение

Норму вектора s в n-мерном пространстве Эвклида най­дем по формуле . В данном случае коэффициенты ряда Фурье, представляющего сигнал s(t), есть не что иное, как коор­динаты сигнала s(t) в пространстве, координатный базис которо­го образован функциями вида

Поэтому

где  и  — квадраты эффективных значений k-x членов разло­жения сигнала s(t). Это есть средняя мощность соответствующих слагаемых ряда. Сумма средних мощностей всех членов ряда да­ет полную среднюю мощность сигнала s(t). Таким образом, квад­рат нормы вектора имеет смысл средней мощности, а норма — смысл эффективного значения сигнала.

2.4.2 Два ортогональных сигнала S1(t) и S2(t), имеющих оди­наковые полосы частот F и длительности Т, дискретизированы по Котельникову. Написать выражение для координат суммарного сигнала в пространстве Эвклида. Найти норму суммарного сигна­ла и выразить ее через нормы исходных сигналов в общем случае и в случае равных норм исходных сигналов. Определить расстоя­ние между сигналами.

2.4.3 Два сигнала, заданных на интервале Т, описываются вы­ражениями

Определить координаты этих сигналов в пятимерном пространст­ве Эвклида и вычислить скалярное произведение. Найти расстоя­ние между сигналами  и .

2.4.4 В некоторой системе связи для передачи информации ис­пользуются сигналы  cos  и  cos  (k, l — целые числа), имеющие длительность Т. По­казать, что данная система сигналов является ортогональной в усиленном смысле. Найти расстояние между сигналами s1(t) и s2(t) в пространстве Гильберта.

2.4.5 Показать, что в системе связи с широкополосными сиг­налами, имеющими длительность Т=20 мс и занимающими по­лосу частот F = 10 кГц, можно создать:

а) ортогональную систему, содержащую 400 реализаций;

б) биортогональную систему — 800 реализаций;

в) ортогональную в усиленном смысле систему — 200 реализа­ций.

2.4.6 Показать, что расстояние между тремя произвольными сигналами s1(t),s2(t) и s3(t), имеющими длительность Т, удовлет­воряют условию

2.4.7 На вход приемника поступают сигналы  задан­ные на интервале (0, Т) в виде

 

где k — (произвольный коэффициент передачи; ψ — фазовый сдвиг в канале. Какими должны быть сигналы на передаче , чтобы сигналы были ортогональными?

2.4.8 По базисным функциям   составить выражения сигналов биортогонального ансамбля при М=4. Изобразить полученные сигналы в виде точек на плоскости. Найти расстояния между сигналами.

2.4.9 Даны три 8-разрядные двоичные ко­довые комбинации: b1 = 01011001; b2=01000110; b3= 10110010. Показать, что расстояния по Хэммингу между заданными комбинациями удовлетворяют условию

по Хэммингу между заданными комбинациями удовлетворяют условию

2.5 Основы теории дискретизации функций непрерывного аргумента. Теорема Котельникова

Задачи

2.5.1 Определить относительную погрешность dу при представ­лении сигнала   (колокольный импульс) рядом Котельникова, полагая, что полоса сигнала ограничивается в ре­зультате пропускания через идеальный фильтр нижних частот с полосой F. Найти интервал дискретизации , полагая, что   .

Решение

Найдем сначала спектральную плотность колокольного импульса

 

Поскольку полоса пропускания фильтра имеет величину F, опре­делим по формуле  относительную погрешность представле­ния колокольного импульса рядом Котельникова:

Умножая числитель и знаменатель этого выражения на  и принимая во внимание, что

находим

где Ф (z) — функция Крампа.

Если  = 10%, то из уравнения 0,1 = опре­деляем по таблицам аргумент функции Крампа: =2,4. При  = 20 и F= Гц интервал дискретизации в соответствии с (2.54)

2.5.2 Найти относительную погрешность представления слу­чайного синхронного двоичного сигнала рядом Котельникова при произвольной граничной частоте. Определить величину dу, если граничная частота выбрана равной Fэ и 2Fэ  (Fэ — ширина энер­гетического спектра, найденная по методу эквивалентного пря­моугольника).

2.5.3 Найти базу сигнала, представляющего собой последова­тельность из n=15 элементарных прямоугольных двоичных им­пульсов длительностью τи = 20 мс.

2.5.4 Случайный процесс с корреляционной функцией В(τ) = В(0)ехр(—a|τ|) дискретизирован с шагом ∆t. Найти погреш­ность представления такого процесса рядом Котельникова в за­висимости от параметров a и ∆t.

2.5.5 Для случайного процесса, имеющего нормированную кор­реляционную функцию , найти шаг равномер­ной дискретизации T, при котором обеспечивается заданная от­носительная погрешность воспроизведения dв.

3 Каналы связи

3.1 Модели каналов связи и их математическое описание

Задачи

3.1.1 Определить вероятность ошибочного приемa q символов в последовательности из n символов, передаваемой по двоичному однородному симметричному каналу без памяти и стирания, если вероятность ошибочного приема элементарного символа ро.

Решение

Под ошибкой кратности q понимают событие, состоящее в том, что какие-либо q символов из n переданных приняты оши­бочно, а остальные n-q символов приняты правильно. Вероят­ность такого события в рассматриваемом канале .

Так как q ошибок в цепочке из n символов могут появиться во взаимно несовместимых случаях, по правилу сложения вероятно­стей получаем

Находим  

(Суммирование выполнено от q = 1, так как при q = 0 член суммы равен нулю).

Поскольку

Последняя сумма, представляющая собой сумму вероятностей полной группы событий, равна единице. Следовательно, и , если принять . Покажем, что при  это имеет место. Рассмотрим величину . При   Поскольку .

3.1.2   Определить апостериорные вероятности передачи симво­лов P(bi|), P(bi|?) в дискретном однородном симметричном ка­нале без памяти со стиранием, заданном вероятностями перехода P(|bi)= 1—р1 при i=j; P(|bi)=p0 при ; P(|bi)= P(|bi)=pc при; p1=pc+(m—1)р0 (i=; ? —сим­вол стирания в месте приема, которому присвоен номер  = m + 1).

3.1.3  Для дискретного однородного канала без памяти со сти­ранием  = m + 1). найти среднюю (безусловную) вероятность правильного приема символов Рправ, безусловную вероятность ошибочного приема символов рош, безусловную вероятность стирания символов рст, если известны условные вероятности правильных переходов P(|bi), j—i, ошибочных переходов P(|bi), , и стирания P(|bi) =P(?|bi),  и безусловные вероят­ности передачи символов p(bi).

3.1.4 Задан двоичный однородный канал без стирания и с па­мятью, простирающейся на два соседних символа. Пусть ошибки в таком канале описываются простой цепью Маркова, причем ве­роятность того, что данный символ будет принят ошибочно, рав­на p1 при условии, что предшествующий символ принят верно, и р2, если предшествующий символ принят ошибочно. Найти для такого канала безусловную (среднюю) вероятность ошибки и объ­яснить, почему при заданной модели канала ошибки группируются при р21 и рассредоточиваются, при р12.

3.1.5 В дискретном канале переданная и принятая кодовые комбинации равны В[8] = 11000111, [8] = 11111111. Написать вектор ошибки. Чему равен его вес? Для какого канала характерен та­кой вектор ошибок: для симметричного или несимметричного ка­нала, с памятью или без памяти?

3.1.6 На вход дискретно-непрерывного канала на тактовом интервале Т поступают двоичные сигналы  или  (модуляция фазы на π). Колебание на выходе канала на интервале анализа Т можно представить в виде

 ,

где k(t), τ — коэффициент передачи канала и запаздывание сиг­нала в канале; n(t) — реализация нормального флуктуационного шума с равномерным энергетическим спектром.

Полагая, что все параметры сигнала известны точно в месте приема (модель канала с постоянными параметрами), а колеба­ние z(t) анализируется на интервале Т в дискретных сечениях tk, кратных величине  написать выражения для функций правдоподобия w(z|si) и w(z|s2).

3.1.7    Показать, что в дискретно-непрерывном канале сравне­ние величин апостериорных вероятностей передачи символов p(bi|z) с различными номерами для выбора наибольшей сводится к сравнению функций правдоподобия w(z|bi), умноженных на p(bi).

3.1.8    При передаче узкополосных сигналов ui(t) колебание на выходе канала можно часто представить в виде z,  , — сопряженный сигнал, a k и — коэффициент передачи и фазовый сдвиг в ка­нале.

Полагая, что n(t) — реализация стационарного аддитивного гауссовского белого шума cо спектральной плотностью мощности N0, а фаза сигнала случайна и имеет равномерное распределение на интервале —π, π (модель канала с неопределенной фазой), найти функционал правдоподобия.

3.2 Изменения формы сигналов, обусловленные характеристиками непрерывного канала

Задачи

3.2.1 Показать, что если параметры линейного канала не ме­няются во времени (канал стационарен), его системные характе­ристики удовлетворяют условиям:

Решение

На рисунке 3.1 показано несколько реализаций импульсной переходной характеристики линейного канала с переменными па­раметрами. Если свойства канала не меняются во времени (ка­нал с постоянными параметрами), то реализации упомянутой ха­рактеристики не должны зависеть от параметра t, т. е. Это означает, что реакция канала с постоянными пара­метрами на d-импульс зависит лишь от интервала между момен­том наблюдения t и моментом подачи сигнала на вход канала . Если , то, как следует из (3.10), передаточная функция канала от времени не зависит.

3.2.2 Если сигналы на выходе и входе канала связаны соотно­шением , где k, τс — известный коэффициент пере­дачи и запаздывание в канале, то говорят, что отсутствуют иска­жения формы сигнала. Показать, что в линейном канале искаже­ния сигнала отсутствуют, если системные характеристики канала удовлетворяют условиям:

т. е. импульсная переходная характеристика имеет вид d-функции (τР=0), амплитудно-частотная характеристика  не зависят от частоты, а фазочастотная характеристика φ(ω) меняется линейно с частотой.

image29


Рисунок 3 1 - Реализации импульсных переходных характерис-тик линейного канала со слу¬чайно меняющимися параметрами


Рисунок 3.2 - Модель линейного канала с постоянными параметрами">Пусть передаточная функция некоторого линейного кана­ла не зависит от частоты

3.2.3 Пусть некоторый линейный канал  с постоянными параметрами моделируется электрической схемой (четырехполюсни­ком), показанной на рисунке 3.2. Определить интервал временного рассеяния (память) такого канала по методу равновеликого прямоугольника, если R=100 Ом и С=100 мкФ.

3.2.4 Пусть передаточная функция некоторого линейного кана­ла не зависит от частоты .

Показать, что в таком канале импульсная переходная харак­теристика , а сигнал на выходе s(t) связан с сиг­налом на входе соотношением s(t)=k(t)u(t), т. е. канал представ­ляет собой безынерционный перемножителъ.

3.2.5 Для модели канала из предыдущей задачи найти интер­вал рассеяния но частоте, полагая, что

3.2.6 Пусть некоторый линейный канал описывается импульс­ной переходной характеристикой

    .

Найти коэффициент рассеяния такого канала.

3.2.7 По линейному каналу с передаточной функцией    передается узкополосный сигнал  .

Показать, что огибающая выходного сигнала Ar (t)=k(ω, t) ×A(t), а его фаза ,t) т. е. канал вносит допол­нительную модуляцию амплитуды и фазы.

3.2.8 Некоторый линейный канал моделируется неискажающей длинной линией с отводами, создающими запаз­дывание τi(t) и изменение уровня ki(t) (модель многопутевого или многолуче­вого распространения, рисунок 3.3). Соста­вить для заданной модели выражения для системных характеристик g(i,τ) и k(a,t). Записать соотношение для вы­ходного сигнала s(t).

Рисунок 3.3 - Модель многолучевого канала

3.2.9 Для линейного канала с постоянными пара­метрами, предназначенный для передачи сигналов в полосе час­тот (0, FMакс), имеет передаточную функцию

 ,

найдите коэффициент пере­дачи корректирующего четырехполюсника и постройте графики амплитудно-частотных и фазочастотных характеристик канала и корректирующего четырехполюсника для вариантов числовых зна­чений величин, заданных в таблице 3.1.

Таблица 3.1

Вариант

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Ао

0,07

0,07

0,02

0,08

0,05

0,03

0,05

0,01

0,07

0,09

0,09

0,02

α1, с

2

8

6

6

7

6

2

1

5

8

8

7

А, с2

10-7

10-6

10-8

10-9

10-8

10-9

10-6

10-7

10-8

10-6

10-5

10-8

α2, с2

10-6

10-8

10-7

10-8

10-6

10-6

10-6

10-7

10-7

10-6

10-5

10-6

Fмакс, Гц

400

900

400

900

700

500

200

900

1000

200

200

800

3.2.10    Пусть в некотором нелинейном звене канала связи сиг­налы на выходе и входе связаны соотношением

,1 .

Найти максимальный уровень входного воздействия, при котором относительное отклонение выходного сигнала от линейной зависи­мости не превышает 3%.

3.2.11 Амплитудная характеристика канала удовлетворительно аппроксимируется квадратичной зависимостью s(t)=au2(t).

Найти амплитудную характеристику корректирующего четы­рехполюсника.

3.3 Аддитивные помехи в непрерывном канале связи

Задачи

3.3.1    Показать, что плотность вероятности реализации гауссовского флуктуационного шума с анергией Еш и спектральной плотностью мощности N о больше плотности вероятности реализа­ции шума, имеющей нулевую энергию в ехр(-Еш/No) раз.

Решение

Согласно формуле   , плотность вероятности реализации отрез­ков флуктуационного шума с энергией Еш можно представить так: . Если Еш=0, то =K. Отношение этих величин определяет искомый результат.

3.3.2  Найти отношение сигнал-шум  в полосе сигнала, полагая, что сигнал — узкополосный процесс со средним квадратом значе­ния огибающей , а флуктуационный шум порожден тепловым движением электронов при абсолютной температуре проводни­ка Т.

3.3.3 Узкополосный сигнал со средней мощностью РС=100 мкВт принимается на фоне гауссовского стационарного шума, ко­торый в полосе сигнала (f0—∆f, fo + ∆f) имеет равномерный энер­гетический спектр N0 = 10-8 Вт/Гц. Найти вероятность появления флувтуационной помехи рф.п, средняя мощность которой превы­шает пороговый уровень Рпор =с, при f=5 КГц.

 .

3.3.4 При каком соотношении между пороговым уровнем и по­лосой анализа сигнала F вероятность появления сосредоточенной помехи, превышающей порог, остается неизменной?

3.3.5 Пусть равновероятные символы А и Б двоичного источ­ника для повышения качества передаются с помощью N = 2k+1 независимых частотных каналов (частотно-разнесенная система связи — ЧРСС), причем при передаче символа А в каждом кана­ле передается 1, а при передаче символа Б — 0. Вероятность по­падания сосредоточенной помехи в одну ветвь разнесения рс.п =10-1.

В месте приема символы А и Б регистрируются на основе ма­жоритарного декодирования: если в большинстве частотных кана­лов зарегистрированы 1, принимается решение в пользу символа А, если же — 0, принимается решение в пользу Б. Найти вероят­ность правильного декодирования q, если N=5

3.3.6    Пусть прием информации в ЧРСС (задача 3.3.9) ведет­ся только по ветвям, свободным на данном интервале вре­мени от сосредоточенной помехи, причем до принятия решения в пользу символов А или Б сигналы отдельных ветвей складываются так, что вероятность ошибочного приема символов равна рп.

Примем, что когда все ветви разнесения окажутся «забитыми» сосредоточенной помехой, прекращается передача информации по команде, переданной по каналу обратной связи.

Определить вероятность перерывов в передаче информации по каналу, вероятность передачи информации по линии, среднюю ве­роятность ошибочного приема символа.

3.3.7   Пусть отрезок гармонического сигнала длительностью Т и с амплитудой Um вместе с импульсной помехой после входного блока с полосой f подвергается двустороннему ограничению по  напряжению с уровнем U0. Примем, что импульсная помеха не на­рушает качество связи, если ее энергия на входе решающего блока в 10 раз меньше энергии полезного сигнала . Пока­зать, что при U0 = Um качество связи не нарушается, если

3.3.8      Для борьбы с импульсной помехой при передаче двоич­ных равновероятных символов источника 1 и 0 использовано их N-кратное повторение (избыточное кодирование), а в месте прие­ма — мажоритарное декодирование. Полагая, что импульсные по­мехи попадают независимо в отдельные тактовые интервалы с ве­роятностью ри.п=0,01, вызывая при этом ошибочный переход, оп­ределить вероятность ошибочного приема символа при числе ветвей разнесения N=3. Определить, во сколько раз уменьшилась эта вероятность по сравнению с примитивным (без избыточным) кодированием.

3.4 Прохождение случайных воздействий через канал связи и его звенья

Задачи

3.4.1 Показать, что отклик произвольной линейной системы Y(t) на случайное входное воздействие X(t) можно представить суммой четырех независимых слагаемых

— отклик детерминированной системы с характеристи­кой g(t, τ) — G(t, т) или  k(jω, t)= на детерминированное воздействие mx(t)= 

Y2(t) - отклик системы с центрированной характеристикой (t,τ) или   на детерминированное воздействие mx(t); Y3(t) — отклик детерминированной системы с характеристикой g(t,t) или k(jω,t) на центрированное воздействие X(t); Y4 (t) — отклик системы с центрированной характеристикой (t, τ) или K(jω, t) на центрированное воздействие X(t).

Решение

Произвольный случайный процесс X(t) можно записать как сумму центрированного процесса X(t) и его математического ожидания: X(t)=X0(t)+mx(t). Аналогично представляются и системные характеристики произвольной линейной системы:

Рисунок 3.4 – общая схема канала прохождения случайных воздействий через линейную систему со случайно меняющимися параметрами

Рисунок 3.5 – Представление канала четырьмя параллельными ветвями

при прохождении случайных воздействий через линейную систему со случайно меняющимися параметрами

С учетом сказанного отклик произвольной линейной системы с характеристикой G(j,) или K на произвольное воздействие X(i) может быть определен суммой Y1(t)+Y2(t)+Y3(t)+Y4(t) (см. рисунки 3.4 и 3.5).

Независимость откликов Y1(t), Y2(t), Y3(t), Y4(t) следует из статистической независимости детерминированной и флуктуирующей частей любого случайного процесса, а также иа предположения независимости между входным воздействием X(t) и свойствами системы, через которую это воздействие проходит.

3.4.2 Показать, что для линейных систем, у которых переда­точная функция не зависит от частоты  (безынер­ционные линейные системы), корреляционная функция отклика связана с корреляционной функцией стационарного входного воз­действия соотношением

.

3.4.3 Последовательный колебательный контур с параметрами R, L, С находится под воздействием стационарного белого шума с энергетическим спектром N0. Найти энергетический спектр и корреляционную функцию напряжения на емкости контура.

3.4.4 На вход канала с рассеянием во времени и по частоте с корреляционной функцией

  

поступает гармонический сигнал с частотой f0 и случайной амп­литудой.

Найти энергетический спектр и корреляционную функцию вы­ходного процесса.

3.4.5 На вход идеальной длинной линии с линейно меняющей­ся во времени задержкой поступает стационарный случайный про­цесс с энергетическим спектром G(f). Найти корреляционную функцию и энергетический спектр выходного 'процесса.

3.4.6 На вход синхронного детектора (перемножитель, выходной про­дукт которого подвергается низкочас­тотной фильтрации) поступает случайный процесс

Z(t)=kАМb(t)cos(ω0t+φ0)+Xп(t)cos ω0t+ Yп(t)sin ω0t

который представляет собой аддитивную смесь БМ-сигнала и флуктуационного шума. Здесь ω0 — несущая частота; b(t) — модулирующий сигнал с нулевым математическим ожиданием и полосой частот Fc; Xп (t) и Yп — независимые, квадратурные компоненты гауссовского шума, у которых

 .

Опорный сигнал . Фильтр нижних час­тот в полосе Fc будем считать идеальным с единичным коэффи­циентом передачи. Определить:

¾     одномерное распределение выходного продукта Y(t), его мате­матическое ожидание my(t), дисперсию ;

¾     корреляционную функцию и энергетический спектр для флук­туирующей части Y(t);

¾     отношение сигнал-шум на входе вх и выходе вых детектора; выигрыш в отношении сигнал-шум g=вых/вх.

3.4.7    На вход безынерционного нелинейного устройства с ха­рактеристикой у=х2 поступает стационарный гауссовский шум с корреляционной функцией

Определить одномерную плотность вероятности выходного про­дукта Y(t), математическое ожидание my(t), корреляционную функцию By(t, t+τ) и энергетический спектр Gy (f).

3.4.8       На вход линейного амплитудного детектора с характе­ристикой

поступает случайный процесс , который представляет собой аддитивную смесь АМ-сигнала и стационарного гауссовского шума с равно­мерным энергетическим спектром No в полосе частот канала FK = = 2FC. Определить при =0:

¾     отношение сигнал-шум вых на выходе идеального ФНЧ, под­ключенного к линейному детектору;

¾     отношение сигнал-шум на входе детектора вх;

¾         выигрыш в отношении сигнал-шум g=вых/вх.

4 Основы теории помехоустойчивого кодирования

4.1 Принципы помехоустойчивого кодирования

Задачи

4.1.1 Сообщения источника, имеющего алфавит с объемом К =32, кодируются двоичным блочным кодом. Число разрядов в каждой кодовой комбинации n = 8. Какое число информационных и проверочных символов содержится в каждой кодовой комбина­ции? Сколько разрешенных и запрещенных комбинаций в ис­пользуемом коде.

Решение

Число информационных символов согласно формуле NP=2k, k = log2Np=log2K=log232=5. Число проверочных символов r = n - k = 3. Используемый код содержит Np=K=32 разрешенных кодовых комбинаций и N—K=28—32=96 запрещенных кодовых комбинаций.

4.1.2 По условию задачи 4.1.1 определить избыточность и от­носительную скорость кода.

4.1.3 Комбинации n-разрядного двоичного блочного кода со­держат k информационных символов. Определите долю обнаружи­ваемых таким кодом ошибок из всех возможных ошибок.

4.1.4 Для кода из предыдущей задачи определите долю исправ­ляемых ошибок. При каком условии код может применяться в качестве исправляющего?

4.1.5 Показать, что код с расстоянием dмин позволяет обнару­жить  ошибок и исправить  ошибок.

4.1.6 Каждые 100 символов двоичного источника кодируются двоичной последовательностью, содержащей n=125 кодовых сим­волов. Определить избыточность кода хк Найти вероятность пра­вильного декодирования кодовой комбинации в канале с незави­симыми ошибками, если dмин = 6, вероятность ошибочной регист­рации кодового символа ро = 0,05, а декодирование осуществляется по минимуму расстояния по Хеммингу.

4.1.7 Символы двоичного источника А и В кодируются избы­точным 3-разрядным двоичным кодом с dмин = 3. Составить табли­цу возможных состояний на выходе декодера при декодировании по минимуму расстояния по Хеммингу в нестертых символах: с исправлением стираний и обнаружением ошибок; с исправлением ошибок и стираний; с обнаружением ошибок и исправлением ошибок и стираний.

5 Прием дискретных сообщений

5.1 Критерии оптимального приема. Алгоритмы оптимального приема при точно известном сигнале

Задачи

5.1.1 По каналу связи без памяти передаются двоичные сим­волы b1 и b2 с вероятностями P(b1)=0,6; Р(b2)=0,4, причем сим­вол b1 определяется в месте приема на интервале Т сигналом s1(t) =0, а символ b2— сигналом s2(t)=a (двоичная АИМ). В ка­нале действует гауссовский стационарный шум с дисперсией σ2 =  10-4 Вт. Сигналы s1(t) = 0 и s2(t) = 10-2 В известны точно в мес­те приема. Какой символ зарегистрирует приемник, оптимальный по критерию минимума средней вероятности ошибки, принимающий ре­шение по одному отсчету смеси z(t) =si(t)+n(t) на интервале Т, если в момент принятия решения z = 0,008 В? Изобразите струк­турную схему этого приемника.

Решение

Функции правдоподобия передачи символов b1 и b2 при заданном отсчете z(t) определяются одномерными плотностями вероятности:

w (z/b1) = ехр (- z2/2s2)/Ö 2ps2 ,

w (z/b2) = ехр (- (z - a)2/2s2)/Ö 2ps2.

В условиях задачи алгоритм 

 

можно записать так:

Р (b1) ехр (- z2/2s2) < P(b2) ехр (-(z- а)2/2s2).                             (5.1)

Подставляя сюда значения P(b1), P(b2), z, а, s2, находим Р(b1)ехр(-z2/2s2) =0,435; Р (b2)ехр (— (z—а)2/2s2) =0,392.

Следовательно, приемник примет решение в пользу символа bi и зарегистрирует его.

После логарифмирования соотношение (5.1) можно записать так:

-z2/2s2 + In Р(b1) < - (z-a)2/2s2 + InP (b2).                                 (5.2)

После элементарных преобразований алгоритм приема примет вид

Z < U0,                                                                  (5.3)

где — пороговый уровень, при превышении которого отсчетом z(t) регистрируется символ b2, а в противном случае — b1; U0

Структурные схемы приемника, реализующего алгоритм (6.3), показаны на рисунках 5.1 и 5.2. Они содержат следующие блоки:

Г — генератор очень коротких тактовых импульсов с частотой следова­ния 1/Т, которые осуществляют выборку отсчетов входной смеси z(t);

К — ключ, осуществляющий квантование во времени входной смеси;

 ССВ — схема сравнения с порогом U0 и выбора реше­ния (если z>U0 регистрируется символ b2, в противном слу­чае — b1);

УП — устройство памяти (хранения) регистрируемых элементарных символов;

Дек — декодирующее устройство.

5.1.2         Приемник по одному отсчету выносит решение в пользу символа b1, если отсчет принимаемой реализации z(t) больше по­рога Uо, в противном случае выносится решение в пользу символа b2. Определить пороговое значение U0 для приемника, оптимально­го по критерию минимума средней вероятности ошибки, если пере­даваемым двоичным символам b1 и b2, имеющим априорные веро­ятности Р(b1) и Р(b2), соответствуют канальные сигналы s1 = a и s2 = —а, а в канале без памяти имеется гауссовский стационарный шум с дисперсией σ2.

5.1.3    Двоичные сигналы и канал те же, что в задаче 5.1.2. При­емное устройство принимает решение о переданном символе по трем независимым отсчетам z1, z2 и z3 принимаемой смеси (в точ­ках t1 = T/3, t2 = 2T/3, t3 = T).

Найти алгоритм работы приемника, оптимального по критерию минимума средней вероятности ошибки, и изобразить его струк­турную схему. Чему равен оптимальный порог U0 при равноверо­ятных символах?

5.1.4    Символам  с вероятностью Р(bi) соответству­ют известные точно в месте приема сигналы si(t), определенные на интервале (0, Т). В канале имеется стационарный белый шум с энергетическим спектром N0.

Показать, что при отсутствии межсимвольной интерференции и анализе принимаемого колебания (сигнал + шум) на всем интер­вале (0, Т) алгоритм работы приемника, минимизирующего сред­нюю вероятность ошибки (приемника Котельникова), может быть записан в виде

.      (5.4)

Показать возможность реализации алгоритма (6.4) с помощью не­линейной схемы, содержащей квадраторы.

5.1.5 Показать, что в условиях задачи 5.1.4 алгоритм оптималь­ного приема может быть записан в виде

,

где  — энергия сигнала si(t), и реализован с помощью корреляционной схемы. Какие возможны упрощения в реализации оптимального приемника, если реализации сигналов si(t) имеют равные энергии и равные вероятности?

5.1.6 Покажите, что если в условиях задачи 5.1.5 для передачи используются двоичные символы 1 и 0 с вероятностями Р(1) и Р(0), то алгоритм оптимального приема может быть записан так:

                                        (5.5)

и реализуется одноканальной схемой. Чему равен оптимальный по­рог Uо, если Р(1)=Р(0) и используются двоичные системы: с пассивной паузой (AM); с активной паузой (Ei = E2); с активной паузой и противоположными сигналами s1(t) =  —s2(t) (например, ФМ с изменением фазы на π)?

5.1.7 При заданной реализации принимаемой смеси z(t) (сиг­нал + шум) апостериорные вероятности передаваемых символов 1 и 0 P(l|z)=0,6 и Р(0|z)=0,4. Какой символ зарегистрирует приемник, оптимальный по критерию идеального наблюдателя?

5.1.8   Символам b1 и b2, имеющим априорные вероятности P(b1) и Р(b2), соответствуют на интервале (0, Т) принимаемые сигналы s1(t) и s2(t), заданные в виде точек s1 и s2 функциональ­ного пространства с метрикой Гильберта. В этом же пространстве точками z определены реализации принимаемой смеси z(t). Раз­бить пространство сигналов на две непересекающиеся области A1 и A2, приписываемые решениям соответственно в пользу симво­лов b1 и b2 (собственные области) в предположении того, что сиг­налы в месте приема известны точно, в канале без памяти имеет­ся стационарный гауссовский белый шум с энергетическим спект­ром No, принимаемое колебание анализируется на интервале (0, Т) оптимальным приемником Котельникова, минимизирующим среднюю вероятность ошибки. Как будет проходить граница меж­ду собственными областями, если символы будут равновероятны?

5.1.9      Независимым и равновероятным двоичным символам 1 и 0 при ФМ с изменением фазы на n соответствуют в канале с па­мятью (L = 1) ожидаемые элементарные сигналы

; ,                   (5.6)

где g1(t) —сигнал, определенный на интервале (0, T);

g2(t) — сигнал, определенный на интервале (Т, 2T) (см. рисунок 5.3);

Рисунок  5.3 – Сигналы ФМ на входе и выходе канала с памятью.

Сигналы g1(t) и g2(t) известны точно в месте приема. Определить алгоритм оптимального приема на интервале Tа = 2T при флуктуационном шуме с энергетическим спектром N0 по критерию идеаль­ного наблюдателя. Наметить структурную схему приемника, реа­лизующего этот алгоритм.

5.1.10      Найти алгоритм оптимального приема в условиях задачи 5.1.9, полагая, что имеется «идеальная» обратная связь по реше­нию (можно восстановить сигнал g0CT(t) по зарегистрированным символам). Какова структурная схема приемного устройства?

5.1.11 Найти алгоритм оптимального приема в условиях задачи 5.1.10, полагая, что анализ принимаемой смеси z(t) ведется на ин­тервале Та = Т (D=0). Какой схемой можно его реализовать?

5.2 Реализация алгоритма оптимального приема при точно известном сигнале на основе согласованных фильтров

Задачи

5.2.1 Сигнал s(t) задается функцией

Построить график импульсной переходной характеристики фильт­ра, согласованного с сигналом s(t), при условии t0 = T.

Решение

Согласно формуле   , импульсная переходная характеристика согласованного фильтра является зеркальным отражением сигна­ла относительно точки tо. Следовательно, в данном случае

g(t)=k(T—t), 0 < t < T.

График этой функции показан на рисунке 5.4.

5.2.2 Двоичные равновероятные символы передаются по каналу без памяти сигналами s1(t) =А и s2(t) =0 на тактовом интервале T. В канале действует аддитивный стационарный белый шум. По­строить структурную схему приемника на основе согласованного фильтра.

5.2.3 Двоичные равновероятные символы передаются посредст­вом ЧМ в канале без памяти. В месте приема на интервале ана­лиза Та = Т им соответствуют сигналы  и .

В канале действует стационарный белый шум. Изобразить схему оптимального приемника на базе согласо­ванных фильтров.

Рисунок 5.4 – Импульсная переходная характеристика фильтра, согласованного с линейно нарастающим сигналом

5.2.4 Показать, что согласованный фильтр для сигналов про­извольной формы, в принципе, можно построить на основе неискажающей линии задержки на время Т (Т — длительность сигнала).

5.2.5 Составить схему согласованного фильтра на базе длин­ной линии с отводами и построить графики импульсной переход­ной характеристики и отклика для однополярного и двуполярного сигналов, заданных следующими двоичными последовательнос­тями:

1) 1010101; 2) 1110011; 3) 1101101;

4) 0110110; 5) 0001100; 6) 0010010;

7) 1111000; 8) 0001111; 9) 0001000;

10) 1110111; 11) 0100010; 12) 1100011;

13) 1000001; 14) 0111110; 15) 0011001.

5.2.6 Показать, что результат для согласованного фильтра в момент to при флуктуационной помехе типа «бе­лый шум» обеспечивает на выходе максимально возможное отношение пиковой мощности сигнала к средней мощности шума , справедлив для любой ли­нейной системы, для которой выходной процесс определяется соотношением

5.2.7 Какой выигрыш в отношении сигнал-шум может дать фильтр, согласованный с сигналом, имеющим длительность Т  = 20 мс и полосу частот F=10 кГц?

Список литературы

1.       Кловский Д.Д., Шилкин В.А. Теория электрической связи. Сборник задач и упражнений. – М.: «Радио и связь», 1990. – 280 с.

2.       Теория электрической связи. Под редакцией профессора Д.Д. Кловского. - М.: «Радио и связь», 1999.

3.       Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. - М.: Высшая школа, 2003.

4.       Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. Руководство к решению задач. - М.: Высшая школа, 2002.

5.       Панфилов И.П., Дырда В.Е. Теория электрической связи - М.: «Радио и связь», 1991.

6.       Скляр Б. Цифровая связь - М., С-П., К., 2003.

7.       Румянцев К.Е. Прием и обработка сигналов - М.: «Радио и связь», 2006.

8.       Умняшкин С.В. Теоретические основы цифровой обработки и представления сигналов - М.: Высшая школа, 2006.

9.       Борисов В.И., Зинчук В.М. Помехозащищенность систем радиосвязи. - М.: Высшая школа, 2008.

Содержание

Введение

3

1 Системы связи и способы передачи сообщений

1.1 Сообщение и сигнал, система связи, канал связи

4

4

1.2 Кодирование и декодирование

1.3 Модуляция

2 Сообщения, сигналы, помехи

2.1 Сообщения, сигналы и помехи как случайные процессы

2.2 Спектры случайных процессов

2.3 Огибающая, мгновенная фаза и частота узкополосного случайного процесса

2.4 Пространства сообщений и сигналов

5

7

8

8

12

14

16

2.5 Основы теории дискретизации функций непрерывного аргумента. Теорема Котельникова

3 Каналы связи

3.1 Модели каналов связи и их математическое описание

3.2 Изменения формы сигналов, обусловленные характеристиками непрерывного канала

3.3 Аддитивные помехи в непрерывном канале связи

3.4 Прохождение случайных воздействий через канал связи и его звенья

4 Основы теории помехоустойчивого кодирования

4.1 Принципы помехоустойчивого кодирования

5 Прием дискретных сообщений

5.1 Критерии оптимального приема. Алгоритмы оптимального приема при точно известном сигнале

5.2 Реализация алгоритма оптимального приема при точно известном сигнале на основе согласованных фильтров

Список литературы

18

19

19

21

24

26

29

29

30

30

34

36

Сводный план 2013 г., поз. 106   

Павлова Татьяна Александровна

ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СВЯЗИ
Сборник задач
для студентов специальности
5В071900 – Радиотехника, электроника и телекоммуникации

Редактор Н. М. Голева
Специалист по стандартизации Н. К. Молдабекова

Подписано в печать
Формат 60x84  1/16.
Тираж 50 экз.
Бумага типографская №1.
Объем 2,4 уч.-изд.л.
Заказ №              Цена 1200 тенге.

Копировально-множительное бюро
Некоммерческого акционерного общества
«Алматинский университет энергетики и связи»
050013, Алматы, Байтурсынова, 126