Некоммерческое
акционерное общество
АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ
Кафедра радиотехники
ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СВЯЗИ
Сборник
задач
для студентов специальности
5B071900 – Радиотехника,
электроника и телекоммуникации
Алматы 2014
Составители: Т.А.Павлова. Теория электрической связи. Сборник задач (для студентов специальности 5В071900 - Радиотехника, электроника и телекоммуникации). – Алматы: АУЭС, 2013.- 36с.
Данная разработка предназначена для студентов всех форм обучения специальности 5В071900 – Радиотехника, электроника и телекоммуникации.
Приводятся задачи по основным разделам курса теории электрической связи, в которых отражаются общие закономерности передачи информации по каналам связи. Отмечаются потенциальные возможности различных способов передачи и приема сигналов. В каждом разделе для одной задачи приводится подробное решение.
Ил.9, табл. 2, библиогр. - 5 назв.
Рецензент: канд. техн. наук, профессор АУЭС Байкенов А.С.
Печатается по плану издания некоммерческого акционерного общества «Алматинский университет энергетики и связи» на 2013 г.
Ó НАО «Алматинский университет энергетики и связи», 2014г
Введение
Предлагаемый сборник задач по курсу «Теория электрической связи» (ТЭС), изучение которого предусмотрено учебными планами для специальностей «Автоматическая электросвязь», «Многоканальная электросвязь», «Радиосвязь, радиовещание и телевидение» институтов связи.
При подготовке сборника задач автор использовала многолетний опыт преподавания курса «Теория электрической связи» в Алматинском университете энергетики и связи.
Согласно программе курса ТЭС в данный сборник задач, включены задачи по таким разделам как «Системы связи и способы передачи сообщений», раздел «Пространства сообщений и сигналов и материал «Основы теории помехоустойчивого кодирования». В сборнике задач задачи и решения.
Сборник задач содержит 5 глав, в которых приведено около 90 задач, иллюстрирующих общие закономерности передачи сообщений по каналам связи, потенциальные возможности способов передачи и приема сигналов. Каждый раздел имеет краткое теоретическое введение, в котором даны основные расчетные соотношения.
В сборнике задач приведены как простые, так и сложные задачи, решение которых может показаться затруднительным. В этих случаях потребуется квалифицированная помощь преподавателей. В сборник задач не вошли традиционные задачи по расчету вероятностных характеристик случайных величин и случайных процессов, которые содержатся, например, в [4, 7]. При решении ряда задач возникает необходимость использования микроЭВМ. В этом случае можно воспользоваться прикладными программами из [2, 6, 10].
Многие вероятностные задачи расчета отдельных звеньев систем передачи сообщений, которые стоят перед современными инженерами, занимающимися разработкой и эксплуатацией систем связи, требуют знаний, выходящих за пределы курса ТЭС. В этом случае следует обратиться к специальной литературе. Однако при этом необходимо овладеть основными идеями и методами расчета статистической теории связи. Именно с этой точки зрения сборник задач может оказаться полезным бакалаврам, изучающим системы передачи сообщений.
1 Системы связи и способы передачи сообщений
1.1 Сообщение и сигнал, система связи, канал связи
Задачи
1.1.1 Дискретный источник выдает последовательность 3-символьных сообщений Аi1, Аi2, Аi3 (первый индекс показывает значение элемента, а второй — его номер в последовательности), выбираемых из дискретного алфавита аi (i=0, К=1; К=8— объем алфавита источника). Сколько различных сообщений N может выдать такой источник? Выпишите реализации сообщений, у которых два первых символа а11, a72.
Решение
Поскольку каждый символ в 3-символьной последовательности может принимать одно из восьми значений, источник может выдать N = 83 = 512 различных сообщений. Реализации сообщений, у которых два первых символа а11а72, выглядят следующим образом:
.
1.1.2 Данные из ЭВМ выдаются в двоичном коде (т=2) кодовыми комбинациями, содержащими n=7 символов. Сколько таких сообщений может выдать источник? Напишите две реализации такого источника, принимая aik=0, 1.
1.1.3 Дискретные источники А и В выдают двоичные символы aik. bik∊0,1. Эти символы попарно отображаются (кодируются) новым символом cik. Сколько реализаций принимает символ cik?
Рисунок 1.1 - Изменение звукового давления
1.1.4 Изменение давления, создаваемого говорящим у микрофона за время T=100 мс, показано на рисунке 1.1. Уровень давления, измеряемый в децибелах, меняется в пределах 0,5... 3,5 дБ. Верхняя частота спектра сообщения Fмакс=4000 Гц. Сколькими реализациями можно описать сообщения источника при дискретном времени с шагом ∆t= 1/(2Fмакс) и квантовании уровней с шагом ∆Р= 1 дБ?
1.1.5 Три компоненты сигнала точки плоского цветного изображения В(х, у), R(x, у), G(x, у) меняются независимо. Число различимых точек кадра изображения N = 0,75∙(625)2 = 520000. Чему равно число различных кадров изображения, если сигнал яркости В(х, у) передавать с 16 градациями, а сигналы цветности R(x, у), G{x, у) с 8 градациями?
1.1.6 Определить, во сколько раз емкость телевизионного сигнала превосходит емкость радиовещательного сигнала (при одинаковой их длительности), если Fтв=6,5 МГц, и FРВ = 12 кГц (динамические диапазоны телевизионного и радиовещательного сигналов следует считать одинаковыми).
1.1.7 Текст из ста букв передается по телефонному каналу в течение 30 с. Тот же текст за то же время передается по телеграфному каналу пятизначным двоичным кодом. Приняв динамические диапазоны телефонного и телеграфного сигналов равными, определить, во сколько раз телеграфный сигнал экономичнее телефонного.
1.1.8 Канал связи с полосой FK=10 кГц предполагается использовать в течение 10 с. В канале действует шум с равномерной спектральной плотностью мощности N0= 10-4 мВт/Гц. Какова предельная мощность сигнала, который может быть передан по данному каналу, если объем канала VK = 106?
Кодирование и декодирование
Задачи
1.2.1 Источник сообщений выдает символы из ансамбля, имеющего объем К= 8. Записать кодовые комбинации примитивного равномерного двоичного кода, соответствующие символам данного источника. Построить граф кода (кодовое дерево). Согласно (1.10) 8=2n, откуда число разрядов n=log28=3.
Решение
Процедура кодирования и кодовые комбинации приведены в таблице 1.1. Граф кода приведен на рисунке 1.2.
Рисунок 1.2 - Граф кода
1.2.2 Какое число разрядов должен иметь равномерный примитивный код, предназначенный для кодирования 32-буквенного алфавита, при основании кода т=2; 8; 16; 32?
Т а б л и ц а 1.1
Символ |
Число |
Разложение числа по модулю 2 |
Кодовая комбинация |
a1 |
0 |
0·22 + 0·21 + 0·20 |
000 |
a2 |
1 |
0·22 + 0·21 + 1·20 |
001 |
a3 |
2 |
0·22 + 1·21 + 0·20 |
010 |
a4 |
3 |
0·22 + 1·21 + 1·20 |
011 |
a5 |
4 |
1·22 + 0·21 + 0·20 |
100 |
a6 |
5 |
1 ·22 + 0·21 + 1·20 |
101 |
a7 |
6 |
1·22+ 1·21 + 0·20 |
110 |
a8 |
7 |
1 ·22+ 1·21 + 1·20 |
111 |
1.2.3 Дискретный источник выдает символы из ансамбля {аi} с объемом К= 10. Какое минимальное число разрядов должны иметь кодовые комбинации равномерного двоичного кода, предназначенного для кодирования символов заданного ансамбля? Записать кодовые комбинации. Будет ли полученный код примитивным?
1.2.4 Первичный непрерывный сигнал путем дискретизации во времени и квантования по уровню превращается в импульсную последовательность с числом уровней K=128. Уровни квантованного сигнала кодируются равномерным двоичным примитивным кодом. Найти число разрядов в кодовой комбинации.
1.2.5 Какое наименьшее число разрядов должны иметь кодовые комбинации двоичного и восьмеричного кодов, предназначенных для кодирования сообщений алфавита, имеющего объем К = 16; 128; 57; 10; 432?
1.2.6 Закодировать двоичным кодом следующие числа: 5; 7; 17; 31; 32; 33; 127; 128; 129.
1.2.7 Сообщения, выбираемые из ансамблей, имеющих объем K=8; 9; 16; 17; 32; 33; 256; 260, кодируются равномерным кодом с основанием т = 2; 3. В каких случаях величина будет точно выражать длину кодовой комбинации?
1.2.8 Чему должен быть равен объем алфавита К, который можно закодировать равномерным примитивным кодом с основанием т=2;3; 8 и n=2; 3; 5?
1.2.9 Технической скоростью передачи называется количество кодовых символов, передаваемых в единицу времени. Определить техническую скорость передачи для стартстопного телеграфного аппарата, передающего одну букву семью посылками: стартовой (20 мс), пятью кодовыми (20 мс каждая) и одной стоповой (30 мс).
1.2.10 Кодовые символы передаются посылками постоянного тока, имеющими длительность 5 мс. Чему равна техническая скорость передачи?
1.2.11 Какую длительность должны иметь кодовые посылки при технической скорости 50, 100, 200 Бод? (1 Бод соответствует передаче одной посылки в секунду).
1.2.12 Буквам русского алфавита А, В, Е, К, О, М, С соответствуют следующие кодовые комбинации 5-разрядного двоичного кода: 00000, 00011, 00101, 01001, 01011, 01100, 01111. Расшифруйте кодовые последовательности:
1) 011000101101111010010001100000;
2) 0111100101010010000001100;
3) 0110000000011110100100000.
1.3 Модуляция
Задачи
1.3.1 Напишите выражение для сигнала в системе ОМ—ФМ (в нижней ступени модуляции используется нижняя или верхняя боковая полоса). Индексы 1 и 2 припишите параметрам соответственно первой и второй системы модуляции. Определите ширину полосы сигнала, если первая поднесущая f1=100 кГц, верхняя частота сообщения Fмакс = 4 кГц, а индекс модуляции во второй системе β2= 15.
Решение
Воспользуемся соотношением (1.14) для ОМ-сигиала. Рассматривая его как модулирующий сигнал для системы ФМ, по формуле (1.15) получим
Так как верхняя граничная частота в спектре ОМ-сигнала f1+Fмакс=104 кГц, полоса частот сигнала ОМ—ФМ ∆f=2β2(f1+Fмакс) = 15-104= 1,56 МГц.
1.3.2 Напишите выражение для сигнала в системе ФМ—AM. Определите ширину полосы частот сигнала, если f1= 100 кГц, Fмакс =4 кГц, а индекс ФМ β1 = 15.
1.3.3 Напишите выражение для сигнала в системе ЧМ—ОМ (в верхней ступени используется нижняя боковая полоса). Определите ширину полосы частот сигнала, если Fмакс =4 кГц, индекс ЧМ равен β1= 15.
1.3.4 На рисунке 1.3 дана реализация сигнала при двоичной ФМ, содержащей 8 кодовых элементов. Напишите двоичный код, соответствующий этой реализации. Считаем, что первый элемент соответствует символу 1.
1.3.5 Нарисуйте реализацию сигнала при двоичной AM с пассивной паузой (символ 0 передается отсутствием излучения), соответствующую коду 10111001.
1.3.6 Приняв, что на рисунке 1.3 дана реализация сигнала при двоичной ОФМ, восстановите код, соответствующий этому сигналу, если:
а) символ 1 передается сменой фазы предыдущего элемента сигнала, а символ 0 — сигналом с той же фазой;
б) символ 0 передается сменой фазы предыдущего элемента сигнала, а символ 1 — сигналом с той же фазой.
Рисунок 1.3 - Реализация сигнала двоичной фазовой (относительной фазовой) модуляции
1.3.7 Определите полосу частот, необходимую для передачи сигнала при импульсной модуляции, если считать, что несущая образована последовательностью прямоугольных импульсов длительностью τ = 1 мкс, а ширина спектра определяется тремя первыми лепестками функции
1.3.9 Напишите выражение для сигнала АИМ—БМ. Какая полоса частот требуется для его передачи, если ширину спектра сигнала АИМ брать такую же, как в задаче 1.3.12?
1.3.10 Напишите выражение для сигнала ФИМ—БМ. Имеется ли различие в ширине спектра сигналов АИМ—БМ и ФИМ—БМ?
1.3.11 Найдите коэффициенты частотной избыточности для систем ОМ, БМ, ФМ, ЧМ (при заданном индексе модуляции р и /макс), АИМ и ФМ (при заданной длительности импульсов несущей) , ОМ—ЧМ и ЧМ—ЧМ.
2 Сообщения, сигналы, помехи
2.1 Сообщения, сигналы и помехи как случайные процессы
Задачи
2.1.1 Дискретный двоичный источник выдает последовательности из трех символов A(t1), A(t2), A(t3). Возможные реализации источника имеют вероятности
Р1 =P (01 02 03) = 0,1; Р5 = Р (01 02 13) = 0,15;
Р2 = Р (01 02 03) = 0,2 ; Р6 = Р (01 12 13) = 0,05 ;
Р3 = Р (11 02 03) = 0,05 ; Р7 = Р( 11 02 13) = 0,2 ;
P4 = Р(11 1203) = 0,15; Р8 = Р(11121з) = 0,1.
Найти: вероятности появления 2-символьных реализаций P(a i1ai2) и P(ai2ai3); безусловные вероятности Р(аi1), P(ai2), P(aiз); условные вероятности переходов Р(aiз│аi1ai2), Р(аi1ai2│ aiз), Р(aiз│ai2), Р(ai2│аi1).
Решение
Возможные 2-символьные реализации вида ; ,, , .
Вероятность 2-символьной реализации будет равна сумме вероятностей таких 3-символьных реализаций, у которых два первых символа — нули: P(0102) =p1+ p5= 0,25. Аналогичным образом находятся вероятности остальных 2-символьных реализаций:
,
,
Безусловные вероятности вида Р(аi1) равны сумме вероятностей 3-символьных реализаций, у которых первый символ аi1:
Рисунок 2.1 - Граф дискретного двоичного канала
.
Аналогично
;
;
;
.
Условные вероятности переходов находим согласно (2.1):
Аналогично найдем p(02/l1) =0,5, P(l2/01) =0,5, P(l2/l1) =0,5. Согласно (2.1)
Аналогичным образом можно найти и остальные интересующие нас вероятности.
2.1.2 Дискретный двоичный источник описывается простой цепью Маркова с матрицей переходных вероятностей
где P(ai|a j) —вероятность символа аi при условии, что ему предшествует символ aj.
Написать вероятности для всех 3-символьных реализаций источника.
2.1.3 Символы двоичного дискретного источника появляются независимо от символов, ранее переданных (P(aiúaj)=P(ai) — источник без памяти), причем Р(1)=0,8; Р(0)=0,2. Написать вероятности для всех реализаций 3-символьных сочетаний источника.
2.1.4 Одномерная интегральная функция распределения амплитуды сигнала при замираниях определяется формулой F(U, t) = 1 - exp (U2/). Найти плотность вероятности амплитуды. Является ли процесс U (t) стационарным?
2.1.5 Интегральная функция совместного распределения амплитуд флуктуационной помехи в двух сечениях t1и t2 определяется выражением
Покажите, что Найдите совместную плотность вероятности помехи в двух сечениях. Покажите, что эти сечения независимы.
2.1.6 Совместная плотность вероятности мгновенных значений шума в двух сечениях t1 и t2 = t1+τ определяется гауссовским законом:
где R(t) — нормированная корреляционная функция сечений;
σ21(t), σ22(t) — соответственно дисперсии процесса в первом и втором сечениях.
Покажите, что в каждом сечении распределение гауссовское и при τ=0 случайный процесс независим в двух сечениях.
2.1.7 Покажите, что для гауссовского процесса (см. задачу 2.1.6) распределение пг при известном n определяется гауссовским законом:
2.1.8 Сечение дискретного случайного процесса при многоуровневой модуляции принимает пять значений: x1 =-2; х2=1; xз = 0, х4=1; x5 = 2 с вероятностями P(x1) =P(x5) =0,1; Р(х2) = Р(х4) =0,2; Р(х3)=0,4. Найти математическое ожидание и дисперсию сечения процесса.
2.1.9 Найти корреляционную функцию случайного синхронного телеграфного сигнала, реализации которого имеют случайный равномерно распределенный сдвиг ∆t относительно начала координат (см. рисунок 2.2), принимающего дискретные моменты времени, кратные длительности Т, значения ±h с вероятностью 0,5 независимо от того, какое значение он имел на предыдущем участке. Определить интервал корреляции этого процесса.
Рисунок 2.2 - Реализация случайного синхронного телеграфного сигнала
2.1.10 Стационарный случайный сигнал имеет корреляционную функцию β(τ) =В(0)ехр(-β|τ|), β=10-2 с-1. Найти интервал корреляции τк методом эквивалентного прямоугольника, а также определив его как аргумент t, при котором В (τ) =0,1В(0).
2.1.11 Неопределенный интеграл от стационарного процесса N(t) с равномерным энергетическим спектром нулевым математическим ожиданием ) называется процессом Винера. Докажите, что этот процесс нестационарен и имеет математическое ожидание , корреляционную функцию и дисперсию
2.1.12 Найти усредненную по времени корреляционную функцию АМ-сигнала
если (t) — стационарный случайный процесс с корреляционной функцией Bx(t).
2.1.13 Найти усредненную по времени корреляционную функцию OМ-сигнала
,
где (t) — сопряжение по Гильберту от (t); (t) - стационарный случайный процесс с корреляционной функцией Bx(τ).
2.1.14 Найти усредненную по времени корреляционную функцию ФМ-сигнала
,
где (t) — (t) - стационарный гауссовский случайный процесс с корреляционной функцией Bx(τ)= Bx(0) Rx(τ).
2.1.15 Показать, что нестационарная гауссовская плотность вероятности случайного процесса x(t) с математическим ожиданием mx(t)=x0e-at и дисперсией удовлетворяет уравнению Колмогорова — Фоккера — Планка (2.14) при коэффициентах сноса A1(t)=—amx(t) и диффузии A2(t) = = 22/.
2.1.16 В условиях предыдущей задачи, пользуясь уравнением (2.18), показать, что стационарная плотность вероятности
2.2 Спектры случайных процессов
Задачи
2.2.1 Найти энергетический спектр случайного синхронного телеграфного сигнала (см. задачу (2.1.17). Определить ширину энергетического спектра Fэ и убедиться, что τkFэ1.
Решение
Подставив выражение корреляционной функции случайного синхронного телеграфного сигнала в выражение спектральной плотности мощности центрированного стационарного случайного процесса (t) ), получим
Интегрируя, находим, что
Ширину энергетического спектра найдем согласно (2.25), приняв во внимание, что G0(f)=2G(f):
Произведение
Отметим, что на частотах, кратных значению 1/T, энергетический спектр синхронного случайного телеграфного сигнала имеет нулевые значения.
2.2.2Случайный стационарный процесс имеет равномерный энергетический спектр G(f)=No/2 (белый шум). Показать, что корреляционная функция этого процесса есть d-функция. а его дисперсия 2 = В(0) = . Учесть соотношение
2.2.3Найти корреляционную функцию шума, имеющего равномерную спектральную плотность, равную N0/2 в полосе (—F, +F) и нулю вне этой полосы. Показать, что сечения процесса, разнесенные на интервал , кратный величине 1 /2F, не коррелированы. Найти Fэ и интервал корреляции τк.
2.2.4Найти энергетический спектр стационарного марковского гауссовского шума с экспоненциальной корреляционной функцией B(τ) =В(0)е -β|τ| . Найти ширину энергетического спектра Fb v оценить величину τkFэ.
2.2.5Показать, что энергетический спектр случайного стационарного процесса Y(t) с корреляционной функцией Ву(τ) = Вх (τ) cos определяется на положительных частотах при foF3 (Fэ — ширина спектра процесса с корреляционной функцией Вх(t)) соотношением
Gy(f)0=Gx(f-f0),
где Gx(f) — энергетический спектр процесса X (t).
2.2.6 Найти усредненный энергетический спектр ОМ-сигнала
,
где (t) — сопряжение по Гильберту от (t); (t) - стационарный случайный процесс с корреляционной функцией Bx(τ).
2.2.7 Найти усредненный энергетический спектр ФМ-сигнала
,
где (t) — (t) - стационарный гауссовский случайный процесс с корреляционной функцией Bx(τ)= Bx(0) Rx(τ). Упростить это выражение при к2ФМВх(0)1.
2.3 Огибающая, мгновенная фаза и частота узкополосного случайного процесса
Задачи
2.3.1 Найти огибающую, мгновенную фазу и мгновенную частоту для БМ-сигнала
u(t)=Umcos(ω0+Ω)t+Umcos(ω0-Ω)t.
Составить выражение для комплексного сигнала.
Решение
Приведем заданный сигнал u(t) к виду:
z(t) =x(t)cos a0t+y(t)sin a0t,
где x(t) и y(t) — квадратурные компоненты.
В этом случае квадратурная компонента x(t)=Umcos, а квадратурная компонента y(t) = 0.
В соответствии с формулами: и имеем для огибающей r(t) = и для мгновенной начальной фазы . Мгновенная фаза процесса u(t) . Мгновенная частота
Согласно формуле r(t) = r(t)ejφ(t) = x(t) + y(t) для комплексной огибающей получим
Подставляя это выражение в формулу получаем для комплексного сигнала
2.3.2 Найти огибающую, мгновенную фазу и мгновенную частоту и составить выражение для комплексного сигнала, если процесс описывается выражением
2.3.3 Дан сигнала . Найти сопряженный сигнал (t), а также огибающую, мгновенную фазу и частоту.
2.3.4 Найти квадратурные компоненты АМ-сигнала
u(t)=U0(1+mcosΩt)cos(ω0t+φ0).
2.3.5 Показать, что сигналы, сопряженные по Гильберту с сигналами z1(t)=Umcosω0t, z2(t)=Umsinω0t (-T/2≤t≤T/2) равны 1(t)=Umsinω0t, 2(t)=-Umcosω0t лишь при T. Показать, что этот же результат следует из спектральных соотношений
2.3.6 Найти огибающую и мгновенную фазу по Гильберту для процесса z(t), имеющего спектральную плотность
2.3.7 Найти одномерную плотность вероятности огибающей узкополосного гауссовского случайного процесса, полагая, что квадратурные компоненты симметричны (σ2х= σ2y =σ2).
2.3.8 Найти одномерную плотность вероятности огибающей узкополосного гауссовского случайного процесса, если квадратурные компоненты симметричны (σ2х= σ2y =σ2) и тх=ту=0.
2.3.9 Найти одномерную плотность вероятности огибающей узкополосного гауссовского случайного процесса, если σ2х = 0, тх=ту =0.
2.3.10 Найти одномерную плотность вероятности фазы узкополосного гауссовского случайного процесса при условиях:
1) σ2х= σ2y =σ2 , тх=ту0;
2) σ2х= σ2y =σ2 , тх=ту0.
2.3.11 Показать, что при обобщенное распределение Рэлея можно приближенно представить в виде
2.4 Пространства сообщений и сигналов
Задачи
2.4.1 Финитный сигнал длительности Т со спектром, ограниченным полосой F, представляется усеченным рядом Фурье
причем L=FT. Найти норму вектора, представляющего сигнал в L-мерном пространстве Эвклида. Дать физическое толкование нормы этого вектора.
Решение
Норму вектора s в n-мерном пространстве Эвклида найдем по формуле . В данном случае коэффициенты ряда Фурье, представляющего сигнал s(t), есть не что иное, как координаты сигнала s(t) в пространстве, координатный базис которого образован функциями вида
Поэтому
где и — квадраты эффективных значений k-x членов разложения сигнала s(t). Это есть средняя мощность соответствующих слагаемых ряда. Сумма средних мощностей всех членов ряда дает полную среднюю мощность сигнала s(t). Таким образом, квадрат нормы вектора имеет смысл средней мощности, а норма — смысл эффективного значения сигнала.
2.4.2 Два ортогональных сигнала S1(t) и S2(t), имеющих одинаковые полосы частот F и длительности Т, дискретизированы по Котельникову. Написать выражение для координат суммарного сигнала в пространстве Эвклида. Найти норму суммарного сигнала и выразить ее через нормы исходных сигналов в общем случае и в случае равных норм исходных сигналов. Определить расстояние между сигналами.
2.4.3 Два сигнала, заданных на интервале Т, описываются выражениями
Определить координаты этих сигналов в пятимерном пространстве Эвклида и вычислить скалярное произведение. Найти расстояние между сигналами и .
2.4.4 В некоторой системе связи для передачи информации используются сигналы cos и cos (k, l — целые числа), имеющие длительность Т. Показать, что данная система сигналов является ортогональной в усиленном смысле. Найти расстояние между сигналами s1(t) и s2(t) в пространстве Гильберта.
2.4.5 Показать, что в системе связи с широкополосными сигналами, имеющими длительность Т=20 мс и занимающими полосу частот F = 10 кГц, можно создать:
а) ортогональную систему, содержащую 400 реализаций;
б) биортогональную систему — 800 реализаций;
в) ортогональную в усиленном смысле систему — 200 реализаций.
2.4.6 Показать, что расстояние между тремя произвольными сигналами s1(t),s2(t) и s3(t), имеющими длительность Т, удовлетворяют условию
2.4.7 На вход приемника поступают сигналы заданные на интервале (0, Т) в виде
где k — (произвольный коэффициент передачи; ψ — фазовый сдвиг в канале. Какими должны быть сигналы на передаче , чтобы сигналы были ортогональными?
2.4.8 По базисным функциям составить выражения сигналов биортогонального ансамбля при М=4. Изобразить полученные сигналы в виде точек на плоскости. Найти расстояния между сигналами.
2.4.9 Даны три 8-разрядные двоичные кодовые комбинации: b1 = 01011001; b2=01000110; b3= 10110010. Показать, что расстояния по Хэммингу между заданными комбинациями удовлетворяют условию
по Хэммингу между заданными комбинациями удовлетворяют условию
2.5 Основы теории дискретизации функций непрерывного аргумента. Теорема Котельникова
Задачи
2.5.1 Определить относительную погрешность dу при представлении сигнала (колокольный импульс) рядом Котельникова, полагая, что полоса сигнала ограничивается в результате пропускания через идеальный фильтр нижних частот с полосой F. Найти интервал дискретизации , полагая, что .
Решение
Найдем сначала спектральную плотность колокольного импульса
Поскольку полоса пропускания фильтра имеет величину F, определим по формуле относительную погрешность представления колокольного импульса рядом Котельникова:
Умножая числитель и знаменатель этого выражения на и принимая во внимание, что
находим
где Ф (z) — функция Крампа.
Если = 10%, то из уравнения 0,1 = определяем по таблицам аргумент функции Крампа: =2,4. При = 20 и F= Гц интервал дискретизации в соответствии с (2.54)
2.5.2 Найти относительную погрешность представления случайного синхронного двоичного сигнала рядом Котельникова при произвольной граничной частоте. Определить величину dу, если граничная частота выбрана равной Fэ и 2Fэ (Fэ — ширина энергетического спектра, найденная по методу эквивалентного прямоугольника).
2.5.3 Найти базу сигнала, представляющего собой последовательность из n=15 элементарных прямоугольных двоичных импульсов длительностью τи = 20 мс.
2.5.4 Случайный процесс с корреляционной функцией В(τ) = В(0)ехр(—a|τ|) дискретизирован с шагом ∆t. Найти погрешность представления такого процесса рядом Котельникова в зависимости от параметров a и ∆t.
2.5.5 Для случайного процесса, имеющего нормированную корреляционную функцию , найти шаг равномерной дискретизации ∆T, при котором обеспечивается заданная относительная погрешность воспроизведения dв.
3.1 Модели каналов связи и их математическое описание
Задачи
3.1.1 Определить вероятность ошибочного приемa q символов в последовательности из n символов, передаваемой по двоичному однородному симметричному каналу без памяти и стирания, если вероятность ошибочного приема элементарного символа ро.
Решение
Под ошибкой кратности q понимают событие, состоящее в том, что какие-либо q символов из n переданных приняты ошибочно, а остальные n-q символов приняты правильно. Вероятность такого события в рассматриваемом канале .
Так как q ошибок в цепочке из n символов могут появиться во взаимно несовместимых случаях, по правилу сложения вероятностей получаем
Находим
(Суммирование выполнено от q = 1, так как при q = 0 член суммы равен нулю).
Поскольку
Последняя сумма, представляющая собой сумму вероятностей полной группы событий, равна единице. Следовательно, и , если принять . Покажем, что при это имеет место. Рассмотрим величину . При Поскольку .
3.1.2 Определить апостериорные вероятности передачи символов P(bi|), P(bi|?) в дискретном однородном симметричном канале без памяти со стиранием, заданном вероятностями перехода P(|bi)= 1—р1 при i=j; P(|bi)=p0 при ; P(|bi)= P(|bi)=pc при; p1=pc+(m—1)р0 (i=; ? —символ стирания в месте приема, которому присвоен номер = m + 1).
3.1.3 Для дискретного однородного канала без памяти со стиранием = m + 1). найти среднюю (безусловную) вероятность правильного приема символов Рправ, безусловную вероятность ошибочного приема символов рош, безусловную вероятность стирания символов рст, если известны условные вероятности правильных переходов P(|bi), j—i, ошибочных переходов P(|bi), , и стирания P(|bi) =P(?|bi), и безусловные вероятности передачи символов p(bi).
3.1.4 Задан двоичный однородный канал без стирания и с памятью, простирающейся на два соседних символа. Пусть ошибки в таком канале описываются простой цепью Маркова, причем вероятность того, что данный символ будет принят ошибочно, равна p1 при условии, что предшествующий символ принят верно, и р2, если предшествующий символ принят ошибочно. Найти для такого канала безусловную (среднюю) вероятность ошибки и объяснить, почему при заданной модели канала ошибки группируются при р2>р1 и рассредоточиваются, при р1>р2.
3.1.5 В дискретном канале переданная и принятая кодовые комбинации равны В[8] = 11000111, [8] = 11111111. Написать вектор ошибки. Чему равен его вес? Для какого канала характерен такой вектор ошибок: для симметричного или несимметричного канала, с памятью или без памяти?
3.1.6 На вход дискретно-непрерывного канала на тактовом интервале Т поступают двоичные сигналы или (модуляция фазы на π). Колебание на выходе канала на интервале анализа Т можно представить в виде
,
где k(t), τ — коэффициент передачи канала и запаздывание сигнала в канале; n(t) — реализация нормального флуктуационного шума с равномерным энергетическим спектром.
Полагая, что все параметры сигнала известны точно в месте приема (модель канала с постоянными параметрами), а колебание z(t) анализируется на интервале Т в дискретных сечениях tk, кратных величине написать выражения для функций правдоподобия w(z|si) и w(z|s2).
3.1.7 Показать, что в дискретно-непрерывном канале сравнение величин апостериорных вероятностей передачи символов p(bi|z) с различными номерами для выбора наибольшей сводится к сравнению функций правдоподобия w(z|bi), умноженных на p(bi).
3.1.8 При передаче узкополосных сигналов ui(t) колебание на выходе канала можно часто представить в виде z, , — сопряженный сигнал, a k и — коэффициент передачи и фазовый сдвиг в канале.
Полагая, что n(t) — реализация стационарного аддитивного гауссовского белого шума cо спектральной плотностью мощности N0, а фаза сигнала случайна и имеет равномерное распределение на интервале —π, π (модель канала с неопределенной фазой), найти функционал правдоподобия.
3.2 Изменения формы сигналов, обусловленные характеристиками непрерывного канала
Задачи
3.2.1 Показать, что если параметры линейного канала не меняются во времени (канал стационарен), его системные характеристики удовлетворяют условиям:
Решение
На рисунке 3.1 показано несколько реализаций импульсной переходной характеристики линейного канала с переменными параметрами. Если свойства канала не меняются во времени (канал с постоянными параметрами), то реализации упомянутой характеристики не должны зависеть от параметра t, т. е. Это означает, что реакция канала с постоянными параметрами на d-импульс зависит лишь от интервала между моментом наблюдения t и моментом подачи сигнала на вход канала . Если , то, как следует из (3.10), передаточная функция канала от времени не зависит.
3.2.2 Если сигналы на выходе и входе канала связаны соотношением , где k, τс — известный коэффициент передачи и запаздывание в канале, то говорят, что отсутствуют искажения формы сигнала. Показать, что в линейном канале искажения сигнала отсутствуют, если системные характеристики канала удовлетворяют условиям:
т. е. импульсная переходная характеристика имеет вид d-функции (τР=0), амплитудно-частотная характеристика не зависят от частоты, а фазочастотная характеристика φ(ω) меняется линейно с частотой.
Рисунок 3 1 - Реализации импульсных переходных характерис-тик линейного канала со слу¬чайно меняющимися параметрами
Рисунок 3.2 - Модель линейного канала с постоянными параметрами">Пусть передаточная функция некоторого линейного канала не зависит от частоты
3.2.3 Пусть некоторый линейный канал с постоянными параметрами моделируется электрической схемой (четырехполюсником), показанной на рисунке 3.2. Определить интервал временного рассеяния (память) такого канала по методу равновеликого прямоугольника, если R=100 Ом и С=100 мкФ.
3.2.4 Пусть передаточная функция некоторого линейного канала не зависит от частоты .
Показать, что в таком канале импульсная переходная характеристика , а сигнал на выходе s(t) связан с сигналом на входе соотношением s(t)=k(t)u(t), т. е. канал представляет собой безынерционный перемножителъ.
3.2.5 Для модели канала из предыдущей задачи найти интервал рассеяния но частоте, полагая, что
3.2.6 Пусть некоторый линейный канал описывается импульсной переходной характеристикой
.
Найти коэффициент рассеяния такого канала.
3.2.7 По линейному каналу с передаточной функцией передается узкополосный сигнал .
Показать, что огибающая выходного сигнала Ar (t)=k(ω, t) ×A(t), а его фаза ,t) т. е. канал вносит дополнительную модуляцию амплитуды и фазы.
3.2.8 Некоторый линейный канал моделируется неискажающей длинной линией с отводами, создающими запаздывание τi(t) и изменение уровня ki(t) (модель многопутевого или многолучевого распространения, рисунок 3.3). Составить для заданной модели выражения для системных характеристик g(i,τ) и k(a,t). Записать соотношение для выходного сигнала s(t).
Рисунок 3.3 - Модель многолучевого канала
3.2.9 Для линейного канала с постоянными параметрами, предназначенный для передачи сигналов в полосе частот (0, FMакс), имеет передаточную функцию
,
найдите коэффициент передачи корректирующего четырехполюсника и постройте графики амплитудно-частотных и фазочастотных характеристик канала и корректирующего четырехполюсника для вариантов числовых значений величин, заданных в таблице 3.1.
Таблица 3.1
|
3.2.10 Пусть в некотором нелинейном звене канала связи сигналы на выходе и входе связаны соотношением
,1 .
Найти максимальный уровень входного воздействия, при котором относительное отклонение выходного сигнала от линейной зависимости не превышает 3%.
3.2.11 Амплитудная характеристика канала удовлетворительно аппроксимируется квадратичной зависимостью s(t)=au2(t).
Найти амплитудную характеристику корректирующего четырехполюсника.
3.3 Аддитивные помехи в непрерывном канале связи
Задачи
3.3.1 Показать, что плотность вероятности реализации гауссовского флуктуационного шума с анергией Еш и спектральной плотностью мощности N о больше плотности вероятности реализации шума, имеющей нулевую энергию в ехр(-Еш/No) раз.
Решение
Согласно формуле , плотность вероятности реализации отрезков флуктуационного шума с энергией Еш можно представить так: . Если Еш=0, то =K. Отношение этих величин определяет искомый результат.
3.3.2 Найти отношение сигнал-шум в полосе сигнала, полагая, что сигнал — узкополосный процесс со средним квадратом значения огибающей , а флуктуационный шум порожден тепловым движением электронов при абсолютной температуре проводника Т.
3.3.3 Узкополосный сигнал со средней мощностью РС=100 мкВт принимается на фоне гауссовского стационарного шума, который в полосе сигнала (f0—∆f, fo + ∆f) имеет равномерный энергетический спектр N0 = 10-8 Вт/Гц. Найти вероятность появления флувтуационной помехи рф.п, средняя мощность которой превышает пороговый уровень Рпор = 4Рс, при ∆f=5 КГц.
.
3.3.4 При каком соотношении между пороговым уровнем и полосой анализа сигнала F вероятность появления сосредоточенной помехи, превышающей порог, остается неизменной?
3.3.5 Пусть равновероятные символы А и Б двоичного источника для повышения качества передаются с помощью N = 2k+1 независимых частотных каналов (частотно-разнесенная система связи — ЧРСС), причем при передаче символа А в каждом канале передается 1, а при передаче символа Б — 0. Вероятность попадания сосредоточенной помехи в одну ветвь разнесения рс.п =10-1.
В месте приема символы А и Б регистрируются на основе мажоритарного декодирования: если в большинстве частотных каналов зарегистрированы 1, принимается решение в пользу символа А, если же — 0, принимается решение в пользу Б. Найти вероятность правильного декодирования q, если N=5
3.3.6 Пусть прием информации в ЧРСС (задача 3.3.9) ведется только по ветвям, свободным на данном интервале времени от сосредоточенной помехи, причем до принятия решения в пользу символов А или Б сигналы отдельных ветвей складываются так, что вероятность ошибочного приема символов равна рп.
Примем, что когда все ветви разнесения окажутся «забитыми» сосредоточенной помехой, прекращается передача информации по команде, переданной по каналу обратной связи.
Определить вероятность перерывов в передаче информации по каналу, вероятность передачи информации по линии, среднюю вероятность ошибочного приема символа.
3.3.7 Пусть отрезок гармонического сигнала длительностью Т и с амплитудой Um вместе с импульсной помехой после входного блока с полосой ∆f подвергается двустороннему ограничению по напряжению с уровнем U0. Примем, что импульсная помеха не нарушает качество связи, если ее энергия на входе решающего блока в 10 раз меньше энергии полезного сигнала . Показать, что при U0 = Um качество связи не нарушается, если
3.3.8 Для борьбы с импульсной помехой при передаче двоичных равновероятных символов источника 1 и 0 использовано их N-кратное повторение (избыточное кодирование), а в месте приема — мажоритарное декодирование. Полагая, что импульсные помехи попадают независимо в отдельные тактовые интервалы с вероятностью ри.п=0,01, вызывая при этом ошибочный переход, определить вероятность ошибочного приема символа при числе ветвей разнесения N=3. Определить, во сколько раз уменьшилась эта вероятность по сравнению с примитивным (без избыточным) кодированием.
3.4 Прохождение случайных воздействий через канал связи и его звенья
Задачи
3.4.1 Показать, что отклик произвольной линейной системы Y(t) на случайное входное воздействие X(t) можно представить суммой четырех независимых слагаемых
— отклик детерминированной системы с характеристикой g(t, τ) — G(t, т) или k(jω, t)= на детерминированное воздействие mx(t)=
Y2(t) - отклик системы с центрированной характеристикой (t,τ) или на детерминированное воздействие mx(t); Y3(t) — отклик детерминированной системы с характеристикой g(t,t) или k(jω,t) на центрированное воздействие X(t); Y4 (t) — отклик системы с центрированной характеристикой (t, τ) или K(jω, t) на центрированное воздействие X(t).
Решение
Произвольный случайный процесс X(t) можно записать как сумму центрированного процесса X(t) и его математического ожидания: X(t)=X0(t)+mx(t). Аналогично представляются и системные характеристики произвольной линейной системы:
Рисунок 3.4 – общая схема канала прохождения случайных воздействий через линейную систему со случайно меняющимися параметрами
Рисунок 3.5 – Представление канала четырьмя параллельными ветвями
при прохождении случайных воздействий через линейную систему со случайно меняющимися параметрами
С учетом сказанного отклик произвольной линейной системы с характеристикой G(j,) или K на произвольное воздействие X(i) может быть определен суммой Y1(t)+Y2(t)+Y3(t)+Y4(t) (см. рисунки 3.4 и 3.5).
Независимость откликов Y1(t), Y2(t), Y3(t), Y4(t) следует из статистической независимости детерминированной и флуктуирующей частей любого случайного процесса, а также иа предположения независимости между входным воздействием X(t) и свойствами системы, через которую это воздействие проходит.
3.4.2 Показать, что для линейных систем, у которых передаточная функция не зависит от частоты (безынерционные линейные системы), корреляционная функция отклика связана с корреляционной функцией стационарного входного воздействия соотношением
.
3.4.3 Последовательный колебательный контур с параметрами R, L, С находится под воздействием стационарного белого шума с энергетическим спектром N0. Найти энергетический спектр и корреляционную функцию напряжения на емкости контура.
3.4.4 На вход канала с рассеянием во времени и по частоте с корреляционной функцией
поступает гармонический сигнал с частотой f0 и случайной амплитудой.
Найти энергетический спектр и корреляционную функцию выходного процесса.
3.4.5 На вход идеальной длинной линии с линейно меняющейся во времени задержкой поступает стационарный случайный процесс с энергетическим спектром G(f). Найти корреляционную функцию и энергетический спектр выходного 'процесса.
3.4.6 На вход синхронного детектора (перемножитель, выходной продукт которого подвергается низкочастотной фильтрации) поступает случайный процесс
Z(t)=kАМb(t)cos(ω0t+φ0)+Xп(t)cos ω0t+ Yп(t)sin ω0t
который представляет собой аддитивную смесь БМ-сигнала и флуктуационного шума. Здесь ω0 — несущая частота; b(t) — модулирующий сигнал с нулевым математическим ожиданием и полосой частот Fc; Xп (t) и Yп — независимые, квадратурные компоненты гауссовского шума, у которых
.
Опорный сигнал . Фильтр нижних частот в полосе Fc будем считать идеальным с единичным коэффициентом передачи. Определить:
¾ одномерное распределение выходного продукта Y(t), его математическое ожидание my(t), дисперсию ;
¾ корреляционную функцию и энергетический спектр для флуктуирующей части Y(t);
¾ отношение сигнал-шум на входе вх и выходе вых детектора; выигрыш в отношении сигнал-шум g=вых/вх.
3.4.7 На вход безынерционного нелинейного устройства с характеристикой у=х2 поступает стационарный гауссовский шум с корреляционной функцией
Определить одномерную плотность вероятности выходного продукта Y(t), математическое ожидание my(t), корреляционную функцию By(t, t+τ) и энергетический спектр Gy (f).
3.4.8 На вход линейного амплитудного детектора с характеристикой
поступает случайный процесс , который представляет собой аддитивную смесь АМ-сигнала и стационарного гауссовского шума с равномерным энергетическим спектром No в полосе частот канала FK = = 2FC. Определить при =0:
¾ отношение сигнал-шум вых на выходе идеального ФНЧ, подключенного к линейному детектору;
¾ отношение сигнал-шум на входе детектора вх;
¾ выигрыш в отношении сигнал-шум g=вых/вх.
4 Основы теории помехоустойчивого кодирования
4.1 Принципы помехоустойчивого кодирования
Задачи
4.1.1 Сообщения источника, имеющего алфавит с объемом К =32, кодируются двоичным блочным кодом. Число разрядов в каждой кодовой комбинации n = 8. Какое число информационных и проверочных символов содержится в каждой кодовой комбинации? Сколько разрешенных и запрещенных комбинаций в используемом коде.
Решение
Число информационных символов согласно формуле NP=2k, k = log2Np=log2K=log232=5. Число проверочных символов r = n - k = 3. Используемый код содержит Np=K=32 разрешенных кодовых комбинаций и N—K=28—32=96 запрещенных кодовых комбинаций.
4.1.2 По условию задачи 4.1.1 определить избыточность и относительную скорость кода.
4.1.3 Комбинации n-разрядного двоичного блочного кода содержат k информационных символов. Определите долю обнаруживаемых таким кодом ошибок из всех возможных ошибок.
4.1.4 Для кода из предыдущей задачи определите долю исправляемых ошибок. При каком условии код может применяться в качестве исправляющего?
4.1.5 Показать, что код с расстоянием dмин позволяет обнаружить ошибок и исправить ошибок.
4.1.6 Каждые 100 символов двоичного источника кодируются двоичной последовательностью, содержащей n=125 кодовых символов. Определить избыточность кода хк Найти вероятность правильного декодирования кодовой комбинации в канале с независимыми ошибками, если dмин = 6, вероятность ошибочной регистрации кодового символа ро = 0,05, а декодирование осуществляется по минимуму расстояния по Хеммингу.
4.1.7 Символы двоичного источника А и В кодируются избыточным 3-разрядным двоичным кодом с dмин = 3. Составить таблицу возможных состояний на выходе декодера при декодировании по минимуму расстояния по Хеммингу в нестертых символах: с исправлением стираний и обнаружением ошибок; с исправлением ошибок и стираний; с обнаружением ошибок и исправлением ошибок и стираний.
5 Прием дискретных сообщений
5.1 Критерии оптимального приема. Алгоритмы оптимального приема при точно известном сигнале
Задачи
5.1.1 По каналу связи без памяти передаются двоичные символы b1 и b2 с вероятностями P(b1)=0,6; Р(b2)=0,4, причем символ b1 определяется в месте приема на интервале Т сигналом s1(t) =0, а символ b2— сигналом s2(t)=a (двоичная АИМ). В канале действует гауссовский стационарный шум с дисперсией σ2 = 10-4 Вт. Сигналы s1(t) = 0 и s2(t) = 10-2 В известны точно в месте приема. Какой символ зарегистрирует приемник, оптимальный по критерию минимума средней вероятности ошибки, принимающий решение по одному отсчету смеси z(t) =si(t)+n(t) на интервале Т, если в момент принятия решения z = 0,008 В? Изобразите структурную схему этого приемника.
Решение
Функции правдоподобия передачи символов b1 и b2 при заданном отсчете z(t) определяются одномерными плотностями вероятности:
w (z/b1) = ехр (- z2/2s2)/Ö 2ps2 ,
w (z/b2) = ехр (- (z - a)2/2s2)/Ö 2ps2.
В условиях задачи алгоритм
можно записать так:
Р (b1) ехр (- z2/2s2) < P(b2) ехр (-(z- а)2/2s2). (5.1)
Подставляя сюда значения P(b1), P(b2), z, а, s2, находим Р(b1)ехр(-z2/2s2) =0,435; Р (b2)ехр (— (z—а)2/2s2) =0,392.
Следовательно, приемник примет решение в пользу символа bi и зарегистрирует его.
После логарифмирования соотношение (5.1) можно записать так:
-z2/2s2 + In Р(b1) < - (z-a)2/2s2 + InP (b2). (5.2)
После элементарных преобразований алгоритм приема примет вид
Z < U0, (5.3)
где Uо — пороговый уровень, при превышении которого отсчетом z(t) регистрируется символ b2, а в противном случае — b1; U0
Структурные схемы приемника, реализующего алгоритм (6.3), показаны на рисунках 5.1 и 5.2. Они содержат следующие блоки:
Г — генератор очень коротких тактовых импульсов с частотой следования 1/Т, которые осуществляют выборку отсчетов входной смеси z(t);
К — ключ, осуществляющий квантование во времени входной смеси;
ССВ — схема сравнения с порогом U0 и выбора решения (если z>U0 регистрируется символ b2, в противном случае — b1);
УП — устройство памяти (хранения) регистрируемых элементарных символов;
Дек — декодирующее устройство.
5.1.2 Приемник по одному отсчету выносит решение в пользу символа b1, если отсчет принимаемой реализации z(t) больше порога Uо, в противном случае выносится решение в пользу символа b2. Определить пороговое значение U0 для приемника, оптимального по критерию минимума средней вероятности ошибки, если передаваемым двоичным символам b1 и b2, имеющим априорные вероятности Р(b1) и Р(b2), соответствуют канальные сигналы s1 = a и s2 = —а, а в канале без памяти имеется гауссовский стационарный шум с дисперсией σ2.
5.1.3 Двоичные сигналы и канал те же, что в задаче 5.1.2. Приемное устройство принимает решение о переданном символе по трем независимым отсчетам z1, z2 и z3 принимаемой смеси (в точках t1 = T/3, t2 = 2T/3, t3 = T).
Найти алгоритм работы приемника, оптимального по критерию минимума средней вероятности ошибки, и изобразить его структурную схему. Чему равен оптимальный порог U0 при равновероятных символах?
5.1.4 Символам с вероятностью Р(bi) соответствуют известные точно в месте приема сигналы si(t), определенные на интервале (0, Т). В канале имеется стационарный белый шум с энергетическим спектром N0.
Показать, что при отсутствии межсимвольной интерференции и анализе принимаемого колебания (сигнал + шум) на всем интервале (0, Т) алгоритм работы приемника, минимизирующего среднюю вероятность ошибки (приемника Котельникова), может быть записан в виде
. (5.4)
Показать возможность реализации алгоритма (6.4) с помощью нелинейной схемы, содержащей квадраторы.
5.1.5 Показать, что в условиях задачи 5.1.4 алгоритм оптимального приема может быть записан в виде
,
где — энергия сигнала si(t), и реализован с помощью корреляционной схемы. Какие возможны упрощения в реализации оптимального приемника, если реализации сигналов si(t) имеют равные энергии и равные вероятности?
5.1.6 Покажите, что если в условиях задачи 5.1.5 для передачи используются двоичные символы 1 и 0 с вероятностями Р(1) и Р(0), то алгоритм оптимального приема может быть записан так:
(5.5)
и реализуется одноканальной схемой. Чему равен оптимальный порог Uо, если Р(1)=Р(0) и используются двоичные системы: с пассивной паузой (AM); с активной паузой (Ei = E2); с активной паузой и противоположными сигналами s1(t) = —s2(t) (например, ФМ с изменением фазы на π)?
5.1.7 При заданной реализации принимаемой смеси z(t) (сигнал + шум) апостериорные вероятности передаваемых символов 1 и 0 P(l|z)=0,6 и Р(0|z)=0,4. Какой символ зарегистрирует приемник, оптимальный по критерию идеального наблюдателя?
5.1.8 Символам b1 и b2, имеющим априорные вероятности P(b1) и Р(b2), соответствуют на интервале (0, Т) принимаемые сигналы s1(t) и s2(t), заданные в виде точек s1 и s2 функционального пространства с метрикой Гильберта. В этом же пространстве точками z определены реализации принимаемой смеси z(t). Разбить пространство сигналов на две непересекающиеся области A1 и A2, приписываемые решениям соответственно в пользу символов b1 и b2 (собственные области) в предположении того, что сигналы в месте приема известны точно, в канале без памяти имеется стационарный гауссовский белый шум с энергетическим спектром No, принимаемое колебание анализируется на интервале (0, Т) оптимальным приемником Котельникова, минимизирующим среднюю вероятность ошибки. Как будет проходить граница между собственными областями, если символы будут равновероятны?
5.1.9 Независимым и равновероятным двоичным символам 1 и 0 при ФМ с изменением фазы на n соответствуют в канале с памятью (L = 1) ожидаемые элементарные сигналы
; , (5.6)
где g1(t) —сигнал, определенный на интервале (0, T);
g2(t) — сигнал, определенный на интервале (Т, 2T) (см. рисунок 5.3);
Сигналы g1(t) и g2(t) известны точно в месте приема. Определить алгоритм оптимального приема на интервале Tа = 2T при флуктуационном шуме с энергетическим спектром N0 по критерию идеального наблюдателя. Наметить структурную схему приемника, реализующего этот алгоритм.
5.1.10 Найти алгоритм оптимального приема в условиях задачи 5.1.9, полагая, что имеется «идеальная» обратная связь по решению (можно восстановить сигнал g0CT(t) по зарегистрированным символам). Какова структурная схема приемного устройства?
5.1.11 Найти алгоритм оптимального приема в условиях задачи 5.1.10, полагая, что анализ принимаемой смеси z(t) ведется на интервале Та = Т (D=0). Какой схемой можно его реализовать?
5.2 Реализация алгоритма оптимального приема при точно известном сигнале на основе согласованных фильтров
Задачи
5.2.1 Сигнал s(t) задается функцией
Построить график импульсной переходной характеристики фильтра, согласованного с сигналом s(t), при условии t0 = T.
Решение
Согласно формуле , импульсная переходная характеристика согласованного фильтра является зеркальным отражением сигнала относительно точки tо. Следовательно, в данном случае
g(t)=k(T—t), 0 < t < T.
График этой функции показан на рисунке 5.4.
5.2.2 Двоичные равновероятные символы передаются по каналу без памяти сигналами s1(t) =А и s2(t) =0 на тактовом интервале T. В канале действует аддитивный стационарный белый шум. Построить структурную схему приемника на основе согласованного фильтра.
5.2.3 Двоичные равновероятные символы передаются посредством ЧМ в канале без памяти. В месте приема на интервале анализа Та = Т им соответствуют сигналы и .
В канале действует стационарный белый шум. Изобразить схему оптимального приемника на базе согласованных фильтров.
Рисунок 5.4 – Импульсная переходная характеристика фильтра, согласованного с линейно нарастающим сигналом
5.2.4 Показать, что согласованный фильтр для сигналов произвольной формы, в принципе, можно построить на основе неискажающей линии задержки на время Т (Т — длительность сигнала).
5.2.5 Составить схему согласованного фильтра на базе длинной линии с отводами и построить графики импульсной переходной характеристики и отклика для однополярного и двуполярного сигналов, заданных следующими двоичными последовательностями:
1) 1010101; 2) 1110011; 3) 1101101;
4) 0110110; 5) 0001100; 6) 0010010;
7) 1111000; 8) 0001111; 9) 0001000;
10) 1110111; 11) 0100010; 12) 1100011;
13) 1000001; 14) 0111110; 15) 0011001.
5.2.6 Показать, что результат для согласованного фильтра в момент to при флуктуационной помехе типа «белый шум» обеспечивает на выходе максимально возможное отношение пиковой мощности сигнала к средней мощности шума , справедлив для любой линейной системы, для которой выходной процесс определяется соотношением
5.2.7 Какой выигрыш в отношении сигнал-шум может дать фильтр, согласованный с сигналом, имеющим длительность Т = 20 мс и полосу частот F=10 кГц?
Список литературы
1. Кловский Д.Д., Шилкин В.А. Теория электрической связи. Сборник задач и упражнений. – М.: «Радио и связь», 1990. – 280 с.
2. Теория электрической связи. Под редакцией профессора Д.Д. Кловского. - М.: «Радио и связь», 1999.
3. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. - М.: Высшая школа, 2003.
4. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. Руководство к решению задач. - М.: Высшая школа, 2002.
5. Панфилов И.П., Дырда В.Е. Теория электрической связи - М.: «Радио и связь», 1991.
6. Скляр Б. Цифровая связь - М., С-П., К., 2003.
7. Румянцев К.Е. Прием и обработка сигналов - М.: «Радио и связь», 2006.
8. Умняшкин С.В. Теоретические основы цифровой обработки и представления сигналов - М.: Высшая школа, 2006.
9. Борисов В.И., Зинчук В.М. Помехозащищенность систем радиосвязи. - М.: Высшая школа, 2008.
Содержание
Введение |
3 |
1 Системы связи и способы передачи сообщений 1.1 Сообщение и сигнал, система связи, канал связи |
4 4 |
1.2 Кодирование и декодирование 1.3 Модуляция 2 Сообщения, сигналы, помехи 2.1 Сообщения, сигналы и помехи как случайные процессы 2.2 Спектры случайных процессов 2.3 Огибающая, мгновенная фаза и частота узкополосного случайного процесса 2.4 Пространства сообщений и сигналов |
5 7 8 8 12 14 16 |
2.5 Основы теории дискретизации функций непрерывного аргумента. Теорема Котельникова 3 Каналы связи 3.1 Модели каналов связи и их математическое описание 3.2 Изменения формы сигналов, обусловленные характеристиками непрерывного канала 3.3 Аддитивные помехи в непрерывном канале связи 3.4 Прохождение случайных воздействий через канал связи и его звенья 4 Основы теории помехоустойчивого кодирования 4.1 Принципы помехоустойчивого кодирования 5 Прием дискретных сообщений 5.1 Критерии оптимального приема. Алгоритмы оптимального приема при точно известном сигнале 5.2 Реализация алгоритма оптимального приема при точно известном сигнале на основе согласованных фильтров Список литературы |
18 19 19 21 24 26 29 29 30 30 34 36 |
Сводный план 2013 г., поз. 106
Павлова Татьяна Александровна
ТЕОРИЯ
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СВЯЗИ
Сборник задач
для студентов
специальности
5В071900 –
Радиотехника, электроника и телекоммуникации
Редактор
Н. М.
Голева
Специалист
по стандартизации Н. К. Молдабекова
Подписано
в печать
Формат
60x84 1/16.
Тираж
50 экз.
Бумага
типографская №1.
Объем
2,4 уч.-изд.л.
Заказ
№ Цена 1200 тенге.
Копировально-множительное
бюро
Некоммерческого
акционерного общества
«Алматинский
университет энергетики и связи»
050013, Алматы,
Байтурсынова, 126