Лекция 3

3 АЛГОРИТМЫ И УСТРОЙСТВА ОПТИМАЛЬНОГО ОБНАРУЖЕНИЯ И РАЗЛИЧЕНИЯ СИГНАЛОВ

3.1 Обнаружение детерминированного сигнала

Процедура оптимального обнаружения полностью известного сигнала s(l) сводится к вычислению ОП l и сравнению его с соответствующими пороговыми значениями. Учитывая вид l для рассматриваемой задачи  и выбрав в качестве f[l) Inl, получим следующее решающее правило:

 

 

z ^>_<  z_n                                                                (3.1)

 

 

где z = ò y(t)s(t)dt—корреляционный интеграл или корреляция, определяющая степень сходства наблюдаемой реали­зации y(t) с ожидаемым сигналом s(t). При гипотезе Н₁ y(l) = s(t) + n(t) и корреляция в среднем будет больше, чем при гипотезе Н₀, когда у( t)=n(t). Это обстоятельство и используется при обнаружении. Входящий в (3.1) поро­говый уровень z„ зависит от принятого критерия обнару­жения. При общем байесовском подходе, согласно (2.12), z_n=0,5No(lnl_n+E/No). При ориентации на наиболее часто применяемый на практике критерий Неймана—Пир­сона z_n определяется заданным уровнем вероятности ложной тревоги р_лт. Структура устройства, называемого корреляционным приемником и реализующего алгоритм (3.1), приведена на рисунке 3.1, где обозначения Х, ò и ПУ отвечают перемножителю, интегратору и пороговому уст­ройству. Третий слева блок предназначен для взятия

 

 

Структура корреляционного приемника

Рисунок 3.1

отсчета (стробирования) текущего значения на выходе ин­тегратора в момент окончания наблюдений Т. Опорный сигнал коррелятора на рисунке 3.1—точная копия обнаруживаемого сигнала, форми­руемая автономным генератором в месте приема. Воспро­изведение сигнала в обнаружителе оказывается возможным вследствие полной детерминированности s(l).

Можно предложить другую техническую реализацию алгоритма (3.1), основываясь на том, что корреляцию z можно сформировать как отсчет в момент времени t = Т сигнала y_вых(t) на выходе фильтра, импульсная характерис­тика которого h(t)=s(T—t). Напомним, что такой фильтр называют согласованным. Структура обнаружителя, осно­ванного на использовании согласованного фильтра (СФ), и временные диаграммы, иллюстрирующие его работу для случая, когда обнаруживаемым сигналом является прямоугольный импульс, приведены на рисунках 3.2 и 3.3.

 

 

 

 

 

 

                  

Рисунок 3.2                                                          Рисунок 3.3

Реакция СФ на сигнал, с которым он согласован, имеет вид корреляционной функции пос­леднего , смещенной на время Т в сторону запазды­вания, т. е.

 

Следовательно, максимальное значение (амплитуда) сигна­ла после СФ

U_max=S_вых(Т)=К_S(0)=E. Диаграммы, отвечают случаю, когда порог превышен и принято решение Н_1.

Рассчитаем вероятности ошибок р_ЛТ, р_ПС в оптимальном обнаружителе детерминированного сигнала, пользуясь тем, что

р_ЛТ = Р(Н₁/Но) = P(z >=z_n/Hо) = ò W(z/Ho)dz;

р_ПС =P(H₀/H₁)=P(z<z_n/H₁)= òW(z/H₁)dz,

 

Графическая иллюстрация этих соотношений приведена на рисунке 3.4, где площади заштрихованных областей равны р_ЛТ (косая штриховка) и р_ПС (прямая штриховка). Так как z есть линейное преобразование нормального случайного процесса (умножение на фиксированную функцию s(t) и интегрирование), то W(z/H_i), где i= 0,1—одномерные нормальные ПВ. Остается найти лишь их параметры: среднее z и дисперсию D(z). При отсутствии сигнала

 

, так как среднее n(t)=0.

 

 

Появление сигнала на входе приводит к

 

Из физических соображений ясно, что дисперсия , совпа­дающая с дисперсией помехи на выходе СФ, не зависит от присутствия на входе сигнала и с учетом и равна D(z)= N₀E/2. Таким образом, вероятности определятся соотношениями

 

 

 

 

 

Введя безразмерную переменную t=z(ÖNoE/2)^-1, получим

р_ЛТ= 1-Ф(h), р_ПС=Ф(h-q), р_ПО=1-Ф(h-q)                                   (3.2)

где интеграл вероятности;

       

 

h = z_n(N₀E/2)^-1 — нормированный пороговый уровень;

q=Ö2E/No—параметр обнаружения, равный отношению сигнал/шум на выходе фильтра, согласованного с обна­руживаемым сигналом s(t). График функции Ф(х) приведен на рисунке 3.5.

 

 

 

 

 

 

Рисунок 3.5

 

С помощью соотношений (3.2)  осуществляется расчет обнаружителя в соответствии с принятым критерием оптимальности. Так, при использовании критерия Нейма­на—Пирсона требуется минимизировать р_ПС при фиксиро­ванном значении р_ЛТ. Зависимости  р_ПО=1- р_ПС =Ф(q- h) = Ф(q –Ф^-1 (1-р_ЛТ ) )    (3.3)

от q при фиксированных значениях вероятности ложной тревоги называют характеристиками обнаружения . Зависимость р_ПО от q является монотонно возрастающей, асимптотически стремящейся к единице при q®¥.

При q=0 р_ПО =1 – Ф^-1(1-р_ЛТ )  = р_ЛТ .

Часто бывает необходимо рассчитать минимальное значение параметра q, при котором достигается требуемая верность обнаружения, т. е. заданные значения р_ПО и р_ЛТ.  Это минимальное значение q_min= Ф^-1(1-р_ЛТ ) + Ф^-1(1-р_ПС ) .

 

.

Характерис­тики обнаружения детерминированного сигнала (сплошные линии)

Рисунок  3.6

 

 3.2 Обнаружение сигнала со случайной начальной фазой  Рассмотрим сигнал, который не может считаться детерми­нированным, так как содержит случайный параметр—фазу j: S(t,Q)=S(t, j). В общем виде модель такого сигнала можно записать как

S(t, j) = S(t)cos [2pf_оt + g(t) + j]= Rе{S(t)ехр [i(2pf_оt + j ]}, (3.2.1)

 

где S(t) и g(t) известные законы амплитудной и угловой модуляции; f_о—известная центральная частота; j—слу­чайная начальная фаза с априорной ПВ Pо(j); S(t)= S(t)e^ig(t) —комплексная огибающая сигнала s(t), являю­щегося реализацией s(t; j) при j=0: s(t)=s(t;0).

(3.3)

Оптимальный обнаружитель должен формировать усредненное ОП и сравнивать его с порогом. Поскольку начальная фаза (j радиоимпульса является неэнергетическим параметром, т. е. Е(j)=Е=(1/2)òS²(t)dt, то

 

где z(j)=òy(t)s(t, j)dt. Пользуясь тем, что для любых функций

òu(t)v(t)dt= ò u^(t)v^(t)dt

(равенство Парсеваля для преобразования Гильберта), выражение для z(j) можно представить в виде

 

где y^.(t) и S^*(t, j)—аналитические сигналы, отвечающие y(t) и S(t; j) ;*—знак комплексного сопряжения.

Так как

 

(3.4)

 где Y(t)—комплексная огибающая входной реализа­ции y(t), то

 

 

 

Во многих задачах начальную фазу сигнала j можно считать равномерно распределенной на интервале [-p,]

P₀(j)=1/2, /j/<=p.  При этом интеграл (3.3) с учетом (3.4) имеет вид

 

Воспользовавшись интегральным представлением модифи­цированной функции Бесселя нулевого порядка

окончательно получим

 

	(3.5)
			(3.6)

 

 

Z=Öz₁²+z₂² , где

 

 

Таким образом, оптимальный обнаружитель сигнала со случайной начальной фазой должен вычислять длину Z вектора с декартовыми составляющими z₁ и z_2. Z является абсолютным значением корреляции  комплексных огибающих принятого коле­бания Y(t) и сигнала S(t). При этом, согласно (3.6), z₁ и z₂ есть корреляции принятой реализации y(t) с квадратур­ными составляющими сигнала детерминированными колеба­ниями, несущие которых сдвинуты по фазе на угол p/2.

 Структура такого обнаружителя показана на рисунке 3.7.

 

 

 

Структура обнаружителя сигнала со случайной начальной фазой

Рисунок 3.7

 

Отличие обнаружителя рисунке 3.7 от приведенного на рисунке 3.1 состоит в наличии второго коррелятора и принятии решения по статистике Z, объединяющей выходные эффек­ты обоих каналов. Если бы сигнал со случайной фазой s(t,j) обнаруживался как детерминированный, то при ,j=±п/2 схема рис. 3.1 «не замечала» бы s(t,j,) из-за слабой корреляции последнего с опорным сигналом кор­релятора s(t). Благодаря тому что на рис. 3.7 опорные сигналы корреляторов находятся в квадратуре, статистика Z не зависит от ,j, в результате чего устраняется вредное влияние случайности начальной фазы.

Иная реализация оптимального обнаружителя возмож­на при использовании фильтра, у которого комплексная огибающая импульсной характеристики    H(t)= S*(T—t). Подобный фильтр согласован с сигналом s(t ,j), имеющим некоторое фиксированное значение j, например ,j = 0 [в этом случае фильтр согласован с первой из квадратурных составляющих сигнала]. Огибающая на выходе этого СФ Yвых, при воздействии y(t) на входе можно найти с помощью комплексного интеграла Дюамеля:

 

При равенстве нулю сигнала за пределами интервала наблюдения (О, Т), Y_вых(t)=Z. Таким образом, статистика Z может быть интерпрети­рована как значение огибающей на выходе СФ в момент времени t = Т. Структурная схема обнаружителя на основе СФ приведена на рисунке 3.8.

 

Структура обнаружителя сигнла со случайной

начальной фазой на основе СФ

Рисунок 3.8

Заметим, что вместо линейного детектора (ЛД) можно использовать любой, лишь бы его амплитудная характеристика была монотонной функцией огибающей входного процесса.

Для того чтобы рассчитать р_ПС , р_ЛТ  в рассматриваемом случае, достаточно вспомнить, что отсчеты огибающей узкополосного нормального шума с дисперсией распределены по закону Рэлея.

р_ЛТ=exp(-h²/2) , р_ПС = Q(h,q)                                                          (3.9)

 

где q=Ö(2Е/N₀) -  параметр обнаружения.

 

-  интегральное распределение Релея-Райса

 

Для определения порогового сигнала нужно решить уравнение

q_min=Q(Ö-2lnp_ЛТ ,q) относительно q.

q_min=Q₂^-1(Ö-2lnp_ЛТ ,р_ПС) , где Q₂^-1—функция, обратная (Q функции по втором) аргументу.

Потери в пороговом сигнале, связанные со случайным характером фазы, характеризуются показателем x, равным

где q_1min(р_лт, р_пс) и q_2min(р_лт, р_пс) - пороговые отношения сигнал/шум, необходимые для обнаружения с заданными вероятностями соответственно детерминированного сигнала и сиг­нала со случайной начальной фазой. Величина  x показы­вает, во сколько раз следует увеличить энергию сигнала (т.е. его среднюю мощность при T=const или длительность Т при P_ср=const),  чтобы скомпенсировать снижение  верности, обусловленное случай­ностью начальной фазы. Обычно величину x как и другие анало­гичные характеристики, выража­ют в децибелах: x дБ=10lgx . Зави­симость для несколь­ких значений р_лт приведена на рисунке  3.9.                            

Как видно из приведенных кривых, значение потерь зависит от заданных вероятностей ошибок, снижаясь с уменьшением значений р_пс . Благодаря малым значениям t, при малых р_лт и р_пс ориентировочный расчет порогового отношения сигнал/шум для модели сигнала со случайной фазой нередко проводят по формуле, полученной для модели детерминированного сигнала.