АЛМАТЫ ЭНЕРГЕТИКА ЖӘНЕ БАЙЛАНЫС ИНСТИТУТЫ

Жоғары математика кафедрасы

Математика

Студенттердің өзіндік жұмыстарына арналған

әдістемелік нұсқаулар

(7-9 модульдер)

Алматы 2004

ҚҰРАСТЫРУШЫ: Ш.К.Айтчанова. Математика. Студенттердің өзіндік жұмысына арналған әдістемелік нұсқаулар (7–9модульдер) (күндізгі бөлімде оқитын барлық мамандықтардың студенттеріне арналған). – Алматы: АЭжБИ, 2004. – 39 6.

Әдістемелік нұсқаулар күндізгі бөлімдегі екінші курс студенттеріне "Жоғары математика" кафедрасы жүргізіп отырған аралық бақылау жұмыстарына дайындалу үшін берілген.

Библ. 3-атау

ПІКІР ЖАЗУШЫ: физ-мат. ғылым канд. доц. С. Е. Ералиев

Алматы энергетика және байланыс институтының 2004 жылғы жоспары бойынша басылады.

Кіріспе

Осы әдістемелік нұсқаулар Алматы энергетика және байланыс институтының екінші курс студенттерінің барлық мамандықтары үшін, үшінші семестрде өтетін "Жоғары математика" пәнінің семестр аралық бақылау жұмыстарына дайындалу үшін берілген. Үшінші семестрдің материалы үш модульге бөлінген,олардың әрқайсысында студент графикалық-есептеу тапсырмаларын (типтік есептер) орындауы қажет. Әрбір модульдың соңында аралық бақылау жұмысы өткізіледі. Бүл есептер "Жоғары математика" курсының көп есептерін шешуге негіз болады. Әрбір модуль бойынша негізгі теориялық сұрақтар берілген. Аралық бақылау жұмыстарына дайындалу үшін тапсырмалардың үлгілері мен оларды шешу жолдары мен жауаптары келтірілген.

Аралық бақылау жұмыстарына 25 минут уақыт беріледі. Барлық аралық бақылау жұмыстары үшінші семестрде мамандық бойынша кесте графигімен лекция кезінде жүргізіледі.

Қатарлар

7 Модулъ

Теориялық сұрақтар

1. Сандық қатарлар. Қатардың қосындысы және жинақтылығы.

Жинақтылықтың қажетті шарты.

2. Мүшелері он қатарлардың жинақтылығының жеткілікті белгілері. Салыстыру белгілері.

3. Даламбер белгісі.

4. Кошидің радикалдық белгісі.

5. Кошидің интегралдық белгісі.

6. Ауыспалы таңбалы қатарлар. Лейбниц теоремасы. Қатардың қалдығын бағалау.

7. Таңбалары айнымалы қатарлар. Қатарлардың абсолютті және шартты жинақтылығы.

8. Мүшелері комплекс сандар болатын қатарлар.

9. Функциялық қатарлар. Жинақтылық облысы.

10. Дұрыс жинақталатын қатарлар және олардың қасиеттері.

11. Дәрежелік қатарлар. Абель теоремасы. Дәрежелік қатарлардың жинақтылық аралығымен жинақтылық радиусы.

12. Тейлор қатары. Қарапайым функцияларды Тейлор-Маклорен қатарларына жіктеу ().

13. Фурье қатарлары. Фурье қатарының коэффициенттері. Дирихле теоремасы.

14 Периоды 2l функциялардың Фурье қатары.

15. Тақ, жұп және периодты емес функциялардың Фурье қатарлары.

1 –Тест

1) Жалпы мүшесі (а) -ге тең болатын сандық қатардың үш мүшесін құр.

2) (..) қатары берілген. Осы қатардың жалпы мүшесін

құрастыру керек.

3) 2-тапсырмадағы қатардың алғашқы n- мүшесінің қосындысы S-ді жазу керек.

4) 2-тапсырмадағы қатардың n - қалдығы r -ді жазу керек.

5) 2-тапсырмадағы қатар үшін жинақтылықтың қажетті белгісі орындала ма?

6) Алғашқы n- мүшесінің қосындысы S= болатын қатардың жинақтылығын анықтау керек. Егер қатар жинақты болса, онда оның қосындысын табу керек.

7) 2-тапсырмадағы қатарды жинақты деуге бола ма,болмай ма?

8) - қатарының жинақтылығын зерттеу үшін төмендегі қай белгіні пайдаланған жөн?

а) Жинақсыздықтың жеткілікті белгісі;

б) Салыстыру белгілері;

в) Даламбер белгісі;

г) Кошидің радикалдық белгісі;

д) Кошидің интегралдық белгісі.

9) - қатары берілген. Осы қатар үшін Даламбер белгісінің формуласын жазу керек.

10) 9-тапсырмадағы қатардың жинақтылығын анықтау керек.

11) қатары берілген. Осы қатарды Дирихле қатарыменсалыстыра отырып, салыстырудың 2-белгісі бойынша p-ның қаншаға тең болатынын анықтау керек.

12) 11 тапсырмадағы қатардың жинақтылығын анықтау керек.

13) (1) қатарына сәйкес мүшелері оң (*) қатарын құру керек.

14) 13-тапсырмадағы (*) қатарының жинақтылығын зерттеу керек.

15) 13-тапсырмадағы (1) -қатар үшін Лейбниц шарттарын жазу керек.

16) 13-тапсырмадағы (1)-қатардың шартты немесе абсолютті жинақтылығын, болмаса оның жинақсыздығын анықтау керек.

1 -тестін жауаптары және түсініктемелері

2) .

3) .

4) .

5) Егер, , болса, онда қатар жинақты болады; егер болса немесе шегі жоқ болса, онда қатар жинақсыз болады. , болғандықтан қатар жинақты болады және оның қосындысы .

Жинақтылықтың қажетті шарты: Егер қатар жинақты болса, онда болады.

Жинақсыздықтың жеткілікті шарты: Егер болса, онда қатар жинақсыз болады.

Егер , болса, онда бүл қатардың жинақтылығын анықтау үшін жинақтылықтың жеткілікті белгілерін пайдалану керек.

6) болғаңдықтан қатар жинақсыз.

7) Жинақсыз

8) б) қатарымен салыстыр.

9)-10) Даламбер белгісі бойынша , егер l>1 болса қатар жинақсыз, егер l <1 болса қатар жинақты болады.

9) -10) қатар жинақты.

11-12) р-ны былай анықтайды: егер , қатары берілсе, онда ; егер р >1, болса, онда қатар жинақты, егер , болса, онда жинақсыз болады.

11) Біздің жағдайда , сондықтан p=5-2=3. Яғни қатарымен салыстырамыз.

12) p=3, болғандықтан, берілген қатар жинақты болады.

13-16) (1) қатары үшін сәйкес мүшелері оң қатар:

(*). Лейбниц шарттары:

Егер (*) қатары жинақты болса, онда (1)- абсолютті жинақты; егер (*) жинақсыз болса, бірақ Лейбниц шарттары орындалса, онда (1)-шартты жинақты болады. Егер Лейбниц шарттары орындалмаса, онда (1)- жинақсыз болады.

13) .

14) , р =1, болғандықтан, салыстыру белгісі бойынша (*) жинақсыз қатар.

15) Лейбниц шарттары орындалады.

16) (*) жинақсыз қатар болғандықтан, берілген қатар шартты жинақты болады.

2 –Тест

1) Жалпы мүшесі -ге тең болатын сандық қатардың үш мүшесін кұру керек.

2) қатары берілген. Осы қатардың жалпы мүшесін құрастыру керек.

3) 2-тапсырмадағы қатардағы алғашқы n-мүшесінің қосындысы - ді жазу керек.

4) 2-тапсырмадағы қатардың n-қалдығы - ді жазу керек.

5) Алғашқы n- мүшесінің қосындысы болатын катардың жинақтылығын анықтау керек. Егер қатар жинақты болса, онда оның қосындысын табу керек.

6) қатары берілген. Осы қатар үшін жинақтылықтың қажетті белгісі орындала ма, орындалмай ма ?

7) 6-тапсырмадағы қатарды жинақты деуге бола ма, болмай ма?

8) қатарының жинақтылығын зерттеу үшін.төмендегі қай белгіні пайдаланған жөн?

а) Жинақтылықтың жеткілікті белгісі;

б) Салыстыру белгілері;

в) Даламбер белгісі;

г) Кошидің радикалдық белгісі;

д) Кошидің интегралдық белгісі.

9) қатары берілген. Осы қатар үшін. Коши белгісінің формуласын жазу керек.

10) 9-тапсырмадағы қатардың жинақтылығын анықтау керек.

11) қатары берілгсн. Осы қатарды Дирихле қатарымен салыстыра отырып, салыстырудың 2-белгісі бойынша р-ның қаншаға тең болатынын анықтау керек.

12) 11 -тапсырмадағы қатардың жинақтылығын анықтау керек.

13) (1) қатарына сәйкес мүшелері оң (*) қатарын құрұ керек.

14) 13-тапсырмадағы (*) қатарының жинақтылығын зерттеу керек.

15) 13-тапсырмадагы (1)-қатар үшін Лейбниц шарттарын жазу керек.

16) 13-тапсырмадағы (1) - қатардың шартты немесе абсолютті жинақтылығын, болмаса_,оның жинақсыздығын анықтау керек.

2 - тестің жауаптары

1) 9) .

2) . 10) , қатар жинақты.

3) . 11) .

4) . 12) Қатар жинақты.

5) Жинақсыз, . 13) .

6) Орындалады. 14) Жинақты қатар.

7) Жинақты . 15)

8) в) Даламбер белгісі. 16) Қатар абсолютті жинақты.

3 –Тест

(1) қатары берілген

1) (1) қатардың жалпы мүшесінің формуласын құрыңыз.

2) Қатардың n - дербес қосындысы - ты жазыңыз.

3) Қатардың қалдығы -ты жазу керек.

4) х=0 болғандағы (1) қатардың дербес жағдайы болатын сандық қатарды құрастыру керек.

5) 4- тапсырмадағы сандық қатардың жинақтылығын зерттеу керек.

6) қатары [-1;1] аралығында жинақты болсын. қатарының қандай аралықта жинақты болатынын анықтау керек.

7) қатары берілген. Қатардың коэффициентін жазу керек.

8) Дәрежелік қатардың жинақтылық радиусы R -дің формуласын жазу керек.

9) 7-тапсырмадағы қатардың жинақтылық радиусы R -ді анықта.

10) 7-тапсырмадағы қатардың x = -1 нүктесіндегі жинақтылығын зерттеу керек.

11) 7-тапсырмадағы қатардың х = 1 нүктесіндегі жинақтылығын зерттеу керек.

12) Қатардың жинақтылық облысын анықтау керек.

13) Белгілі жіктелісті пайдалана отырып, функциясыньң Тейлор қатарына жіктелісін анықтау керек.

14) функциясының Тейлор қатарына жіктелісінің нүктесінің маңайындағы екінші мүшесін анықтау керек.

15) функциясының [-4;4] аралығындагы Фурье қатарының коэффициентін (есептеусіз) жазу керек.

16) болғандағы, [- 3;3] аралығында анықталған, f(x) функциясының Фурье қатарын жазу керек.

3-тестің жауаптары және түсініктемелері

1) . 2) .

3) .

4) болғанда төмендегі сандық қатар шығады

5) Кошидың радикалдық белгісі бойынша: болғандықтан қатар жинақталады.

6) Егер қатары аралығында жинақталса, онда

қатары яғни [4;6] аралығында жинақталады.

7) . 8) немесе .

9) .

10) x = -3 болғанда қатары шығады. Оған сәйкес мүшелері оң қатар жинақсыз.(Дирихле қатары, p=1) шартты жинақты, өйткені бұл қатар үшін Лейбниц белгісі орындалады.

11) x = 1 болғанда қатары шығады. Бұл қатар жинақсыз.

12) (-3; 1).

13)sinx=x-болғандықтан, .

14) f(x) –тың нүктесінің аймағындағы Тейлор қатарына жіктелісі:

болғандықтан, жіктелістің екінші мүшесі төмендегіше анықталады:

15)-16)

16) ( )

4 -Тест

1) Алғашқы n- мүшесінің қосындысы S= болатын қатардың жинақтылығын анықта. Егер қатар жинақты болса, онда оның қосындысын табу керек.

2) - қатарының жинақтылығын зерттеу үшін төмендегі қай белгіні пайдаланған жөн?

а) Жинақсыздықтың жеткілікті белгісі;

б) Салыстыру белгілері;

в) Даламбер белгісі;

г) Кошидің радикалдық белгісі;

д) Кошидің интегралдық белгісі.

3-4) Берілген қатарлардың ішінде жинақты қатарларды табу керек

(1) (2) (3) .

5-6) Берілген қатарлардың ішінде абсолютті жинақты қатарларды табу керек

(1) (2) (3) .

7) . Берілген қатар қалай аталады?

а) мүшелері оң сандық қатар;

б) айнымалы таңбалы сандық қатар;

в) ауыспалы таңбалы сандық қатар;

г) дәрежелік қатар;

д) Фурье қатары . (1) қатары берілген.

8) 1) қатардың жалпы мүшесінің формуласын құрыңыз.

9) Қатардың n - дербес қосындысы - ты жазыңыз.

10) Қатардың қалдығы -ты жазыңыз.

11) х= -1 болғандағы (1) қатардың дербес жағдайы болатын сандық қатарды құрастырып, жинақтылығын зерттеу керек.

6) қатары [-1;1] аралығында жинақты болсын. қатарының қандай аралықта жинақты болатынын анықтау керек.

12-15) дәрежелік қатары берілген.

12) Қатардың коэффициентін жазу керек.

13) Қатардың жинақтылық радиусы R -ді анықтау керек.

14-15) Қатардың жинақтылық облысын анықтау керек.

16) Белгілі жіктелісті пайдалана отырып, функциясыньң Тейлор-Маклорен қатарына жіктелісін анықтау керек.

17) f(x)=х+2 функциясының [-3;3] аралығындагы Фурье қатарының коэффициентін (есептеусіз) жаз.

18) болғандағы, [-1; 1] аралығында анықталған f(x) функциясының Фурье қатарын жаз.

4-тестің жауаптары

1) , S= -4/5, қатар жинақты.

2) б) Салыстыру белгілері. 3-4) (1), (3).

5-6) (2). 7) б) айнымалы таңбалы сандық қатар.

8) . 9) .

10) .

11) , жинақты. 12) [ 4, 6].

13) . 14-15) R=4.

16) .

17) .

18) .

5-Тест

1) Алғашқы n- мүшесінің қосындысы S= болатын қатардың жинақтылығын анықта. Егер қатар жинақты болса, онда оның қосындысын тап.

2) - қатарының жинақтылығын зерттеу үшін төмендегі қай белгіні пайдаланған жөн?

а) Жинақсыздықтың жеткілікті белгісі;

б) Салыстыру белгілері;

в) Даламбер белгісі;

г) Кошидің радикалдық белгісі.

д) Кошидің интегралдық белгісі.

3) Берілген қатарлардың ішінде жинақсыз қатарларды табу керек

(1) (2) (3) .

4-5) Берілген қатарлардың ішінде шартты жинақты қатарларды табу керек (1) (2) (3) .

6) Берілген қатар қалай аталады?

а) мүшелері оң сандық қатар;

б) айнымалы таңбалы сандық қатар;

в) ауыспалы таңбалы сандық қатар;

г) дәрежелік қатар;

д) Фурье қатары. 7-10) (1) қатары берілген.

7) (1) қатардың жалпы мүшесінің формуласын құрыңыз,.

8) Қатардың қалдығы -ты жазыңыз.

9) х= 1 болғандағы (1) қатардың дербес жағдайы болатын сандық қатарды құрастырып, жинақтылығын зерттеу керек.

10) қатары [-1;1] аралығында жинақты болсын. қатары қандай аралықта жинақты болады?

11-14) дәрежелік қатары берілген.

11) Қатардың коэффициентін жазу керек.

12) Қатардың жинақтылық радиусы R -ді анықтау керек.

13) Қатардың жинақтылық аралығын анықтау керек.

14) Қатардың жинақтылық облысын анықтау керек.

15) функциясының Тейлор қатарына жіктелісінің нүктесінің маңайындағы екінші мүшесін анықтау керек.

16) Белгілі жіктелісті пайдалана отырып функциясыньң Тейлор-Маклорен қатарына жіктелісін анықтау керек.

17) f(x)=sinх функциясының [-3;3] аралығындагы Фурье қатарының коэффициентін (есептеусіз) жаз.

18) болғандағы, аралығында анықталған f(x) функциясының Фурье қатарын жаз.

5-тестің жауаптары.

1) , S= 7/20, қатар жинақты. 2) а) Жинақсыздықтың жеткілікті белгісі. 3) (1), (3).

4-5) (1). 6) в) ауыспалы таңбалы сандық қатар.

7) .

8) .

9) , жинақсыз. 10) [ 4, 6].

11) . 12) R=2.

13) (-3, 1). 14) [-3, 1).

15) .

16) .

17) .

18) .

6 -Тест

1-2) қатары берілген.

1) Осы қатардың жалпы мүшесін құрастыру керек.

2) Қатардың n-қалдығы - ді жазу керек.

3) Алғашқы n- мүшесінің қосындысы болатын катардың жинақтылығын анықта. Қатар жинақты болса, қосындысын табу керек.

4) қатары берілген. Осы қатар үшін жинақтылықтың қажетті белгісі орындала ма,орындалмай ма? 4-тапсырмадағы қатарды жинақты деуге бола ма,болмай ма?

5) қатарының жинақтылығын зерттеу үшін.төмендегі қай белгіні пайдаланған жөн?

а) Жинақтылықтың жеткілікті белгісі;

б) Салыстыру белгілері;

в) Даламбер белгісі;

г) Кошидің радикалдық белгісі;

д) Кошидің интегралдық белгісі.

6) қатары берілген. Коши белгісінің формуласын жазып, қатардың жинақтылығын зерттеу керек.

7) қатары берілген. Осы қатарды Дирихле қатарымен салыстыра отырып, салыстырудың 2-белгісі бойынша р-ның қаншаға тең болатынын анықтап, жинақтылығын зерттеу керек.

8) қатары берілген. Осы қатар үшін Лейбниц шарттарын жазу керек.

9) 8-тапсырмадағы қатардың шартты немесе абсолютті жинақтылығын, немесеоның жинақсыздығын анықтау керек.

10-12) қатары берілген. 10) Қатардың коэффициентін жазу керек.

11) Қатардың жинақтылық радиусын анықтау керек.

12) Қатардың жинақтылық аралығын анықтау керек.

13) Белгілі жіктелісті пайдалана отырып cos3x функциясыньң Тейлор қатарына жіктелісін анықтау керек.

14) функциясының Тейлор қатарына жіктелісінің нүктесінің маңайындағы үшінші мүшесін анықтау керек.

15) функциясының -аралығындагы Фурье қатарының коэффициентін табу керек.

16) болғандағы, [-5; 5] аралығында анықталған, f(x) функциясының Фурье қатарын жазу керек.

6- тестің жауаптары

1) . 2) . 3) Жинақсыз, . 4) Орындалады. Жинақсыз қатар. 5) в) Даламбер белгісі.

6) . 7) , қатар жинақсыз.

8) 9) Қатар шартты жинақты.

10 ) . 11) . 12) .

13) .

14) .

15) - жұп функция болғандықтан .

16) .

Операциялық (амалдық) есептеу

8 Модуль

Теориялық сұрақтар

1. Лаплас түрлендіруі. Оригинал (түп нүсқа) жөне бейне. Хевисайд функциясы.

2.Сызықтык, ұксастық, ығысу, кешігу теоремалары.

3.Түп нұсқа мен бейнені дифференциалдау жөне интегралдау теоремалары.

4.Функциялардың үйірткісі. Көбейту теоремасы. (Үйірткінің бейнесі туралы теорема) Дюамель формуласы.

5.Қайтымдау және жіктеу теоремалары. Белгілі бейне бойынша түп нұсқаны анықтау.

6.Лаплас түрлендіруін дифференциалдық теңдеулер мен тендеулер жүйелерін шешуге қолдану.

1 –Тест

1) функциясы түп нүсқа бола ала ма?

2) Төмендегі формулалардың қайсысы f(t) функциясының Лаплас

түрлендіруі болады ?

a) b)

c) d) .

3) F(t) = функциясының Ғ(p) бейнесін табатьн формуланы анықтамасы бойынша құру керек.

4)-6) Сызықтық, ұқсастық, ығысу теоремаларын пайдалана отырып, төмендегі функциялардың бейнесін анықтау керек.

4) 5) ; 6) .

7)-9) Түп нүсқа мен бейнені дифференциалдау немесе интегралдау теоремаларын қолданып, төмендегі функциялардың бейнелерін анықтау керек.

7) 8); 9).

10) Кешігу теоремасын пайдалана отырып функциясының бейнесін табу керек.

11) және sh3t функцияларының үйірткісін жазу керек. (есептемей).

12) Жәй бөлшектерге жіктеу арқылы . функциясының түп нұсқасын табу керек.

13) Көбейту теоремасын қолданып, 12-тапсырмадағы функцияның түп нұсқасын табу керек.

14)-16) х' - 2х = t, х(0) = 1 Коши есебі берілген.

14) Бейнелік (операторлық) тендеуді жазу керек.

15) Шешімнің бейнесін табу керек.

16) Коши есебін шешу керек.

1-тестің жауаптары мен түсініктемелері

1) Егер төмендегі үш шарт орындалса, онда нақты t аргументінің функциясы f(t) түп нұсқа деп аталады.

а) t < 0 болғанда f(t) = 0 және де f( 0 = f(+0);

б) t - болғанда f(t) бөлікті үзіліссіз;

в) - тұрақтылар

Біздің жағдайда барлық үш шарт орындалады. Сондықтан, берілген функция түп нұсқа болады.

2) с.

3) .

(сызықтық теоремасын пайдаландық) =

ұқсастық теоремасын пайдаландық.

(сызықтық теоремасы, түп нұсқалар мен бейнелер кестесін пайдаландық).

6)=

(сызықтық және ығысу теоремалары).

7) f(t)=t cos3t, бейнені дифференциалдау теоремасын қолдансақ, сонымен, .

8) Бейнені интегралдау теоремасын қолдансақ,

сонымен, .

9) Бейнені дифференциалдау теоремасын қолдансақ,

10) ;

кешігу теоремасы бойынша

сондықтан,

11)

12)

Сонымен, .

13) Көбейту теоремасы бойынша, егер болса онда Сондықтан,

14) х' - 2х=1, x(0)=1

cондықтан операторлық теңдеуді түрінде жазуға болады.

15) Операторлық теңдеуден X(p)-ны оңай табуға болады Х(р)- іздеп отырған түп нұсқаның бейнесі.

16) Лаплас түрлендіруінің қасиеттерін және сәйкестік (бейнелер мен түп нұсқалар) кестесін пайдаланып, табылған бейненің түп нұсқасын анықтаймыз.

Сонымен, Коши есебінің шешімі: .

2 –Тест

1) функциясы түп нұсқа бола ала ма?

2) Төмендегі формулалардың қайсысы f(t) функциясының Лаплас

түрлендіруі болады ?

a) b)

c) d) .

3) f(t) = функциясының Ғ(p) бейнесін табатьн формуланы анықтамасы бойынша құру керек.

4) ; 5) ; 6) .

7) 8) ; 9).

10) Кешігу теоремасын пайдалана отырып функциясының бейнесін табу керек.

11) және сh3t функцияларының үйірткісін жазу керек (есептемей).

12) Жәй бөлшектерге жіктеу арқылы функциясының түп нұсқасын табу керек.

13) Көбейту теоремасын қолданып, 12-тапсырмадағы функцияның түп нұсқасын табу керек.

14)-16) , х(0) = 0, Коши есебі берілген.

14) Бейнелік (операторлық) тендеуді жазу керек.

15) Шешімнің бейнесін табу керек.

16) Коши есебін шешу керек.

2-тестің жауаптары

1) Берілген функция түп нұсқа болмайды, себебі 2-ші ретті үзіліс бар.

2) d.

3).

4) .

5) .

6) .

7) , .

8) .

9) .

10) .

11)

12)

13) .

14). 15) .

16) .

3-Тест

1) функциясы түп нүсқа бола ала ма?

2) f(t) =sh5t функциясының Ғ(p) бейнесін табатын формуланы анықтамасы бойынша құру керек.

3) Төмендегі формулалардың қайсысы бейнені дифференциалдау формуласы болады ? ( )

a); b) ;

c) d) .

4) 5) ; 6) .

7) 8) ; 9) .

10) Кешігу теоремасын пайдалана отырып функциясының бейнесін табу керек.

11) sin2t және cos3t функцияларының үйірткісін жазу керек. (есептемей).

12) Жәй бөлшектерге жіктеу арқылы функциясының түп нұсқасын табу керек.

13) Көбейту теоремасын қолданып, 12-тапсырмадағы функцияның түп нұсқасын табу керек.

14)-16) Коши есебі берілген.

14) Бейнелік (операторлық) тендеуді жазу керек.

15) Шешімнің бейнесін табу керек.

16) Коши есебін шешу керек.

3-тестің жауаптары

1) Берілген функция түп нұсқа болмайды, себебі в) шарты ( - тұрақтылар) орындалмайды.

3) a).

2).

3) a).

4). .

5) .

6) .

7) .

8) .

9) .

10) .

11) .

12) ,

13) .

14) . 15) .

16) .

Ықтималдықтар теориясы

9 модуль

Теориялық сұрақтар

1. Жиындар теориясының негізгі ұғымдары.

2. Орналастырулар, алмастырулар, терулер.

3. Кездейсоқ оқиғалар, оқиғаларға қолданылатын амалдар. Оқиғалар алгебрасы.

4. Жиілік. Жиіліктер қасиеттері. Ықтималдықтың классикалық және статистикалық анықтамалары.

5. Ықтималдықтарды қосу және көбейту теоремалары. Ең болмағанда бір оқиғаның пайда болуының ықтималдығы туралы теорема.

6. Толық ықтималдықтар формуласы. Бейес формуласы.

7. Тәуелсіз сынақтар тізбегі. Бернулли формуласы.

8. Муавр-Лапластың локалдық және интегралдық теоремалары. Пуассон формуласы.

9. Кездейсоқ шамалар. Дискретті кездейсоқ шамалар. Дискретті кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамалары.

10. Үзіліссіз кездейсоқ шамалар. Үлестірім функциясы және үлестірім тығыздығы.

11. Үзіліссіз кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамалары.

12. Кейбір үлестірім заңдары. (бірқалыпты үлестірім, көрсеткіштік үлестірім заңы, қалыпты үлестірім заңы)

13. Кездейсоқ шамалардың жүйелері.

14. Үлкен сандар заңы.

1- Тест

1) 7 цифрларының көмегімен цифрлары әртүрлі үш орынды қанша сан жазуға болады?

2) Мылтықтан 160 атыс жүргізілді. Сонда нысанаға тию жиілігі 0,75- тең болды. Оқ қанша рет нысанаға тиді?

3) Жәшікте 7 ақ және 5 қара шарлар бар. Жәшіктен кез-келген ретпен шар алынды. Қара шар болу ықтималдығы неге тең?

4) Қорапта бірдей 8 бұйым бар. Оның төртеуі боялған. Қораптан кез-келген 3-бұйым алынды. Алынған үш бұйымның үшеуі де боялған бұйым болуының ықтималдығын табу керек.

5) Жәшіктегі 10 деталдің 6-ы жарамсыз. Жұмысшы 3 деталь алды. Алынған үш детальдің ең болмағанда біреуі жарамсыз екендігінің ықтималдығын табу керек.

6) Тәуелсіз сынақтардағы оқиғаның пайда болу ықтималдығы 0,7- ге тең. 50 сынақта оқиғаның пайда болуының ең ықтимал санын табу керек.

7-11) Дискретті кездейсоқ шаманың үлестірімдік заңы берілген.

x -2 1 2 5

p 0,2 0,1 0,3 0,4

Табу керек:

7) Үлестірімділік функциясын;

8) Математикалық үмітті;

9) Дисперсияны;

10) Орта квадрат ауытқыуын;

11) Моданы;

12-16) Үзіліссіз кездейсоқ шаманың үлестірімдік функциясы берілген

Табу керек:

12) Үлестірімділік тығыздығын;

13) Математикалық үмітті;

14) Дисперсияны;

15) (1; 3) интервалда пайда болу ықтималдығын;

16) Үлестірімділік тығыздығының графигін салу керек.

1 тестің жауаптары және түсініктемелері

1) N=P=3!=6 (P- орналастырулар саны).

2) P*(A) = - оқиғаның n сынақта m рет пайда болуының салыстырмалы жиілігі.

m = P*(A).

3) P (A)=; A- алынған шар қара. P(A)== .

4) p- бұйым боянған болуының ықтималдығы p=. Бернулли формуласы бойынша P,

q = 1 - p = 1 - = , n = 6 ; k = 3 .

5) Ең болмағанда бір оқиғаның (A) пайда болуының ықтималдығы туралы теореманы пайдаланамыз

P(A) =1- q, = 1- ; .

6) Ең ықтимал сан келесі теңсіздіктен анықталады :

7) болғандықтан

8) .

10) (x)=.

11) M (ықтималдықтың ең үлкен мәні кездейсоқ шама X 5-ке тең болғанда кабылданады).

12) Үлестірімділік тығыздығы , .

13) =

14) = .

15) P (a<x<b) = F(b)-F(a),

f(x)

P (2<x<3) = F(3) – F(2)=.

16)

2 - Тест

1) Әрбір Ғ, А, Р, Ы, Ш әріптері бөлек карталарға жазылған. Карталарды араластырып кез-келген ретпен үш карта алынып бір қатарға орналастырылған. Сонда «ШАР» сөзінің пайда болуының ықтималдығы қандай?

2) 120 деталдің ішінде 15 деталь жарамсыз. Деталдің жарамсыз болуының салыстырмалы жиілігін табу керек.

3-6) Келесі әрбір есепті шығару үшін қандай формула қолдану керектігін көрсет. (формуланың атын анықтау керек).

A) ; F) ;

B) ;

C) ;

D) ;

E) .

3) Тәуелсіз 500 сынақтардан тұрақты р=0,4 ықтималдықпен пайда болатын оқиғаның тура 200 рет пайда болуының ықтималдығын табу керек.

4) Атқыштың нысанаға тигізуінің ықтималдығы 0,8 ге тең. 10 атыста атқыш нысанаға 60 тан кем емес, 75 тен артық емес рет дәл тигізуінің ықтималдығын табу керек.

5) Тәуелсіз сынақта оқиға тұрақты р=0,6 ықтималдықпен пайда болады. 8 сынақтың ішінде оқиғаның тура 5 рет пайда болуының ықтималдығын табу керек.

6) Бірінші жәшікте 10 ақ және 40 қызыл шар бар. Екінші жәшікте 20 ақ және 30 қызыл шар бар. Бірінші жәшіктен кез келген бір шар алынып екінші жәшікке салынған. Содан кейін екінші жәшіктен кез келген бір шар алынды. Екінші жәшіктен алынған шар ақ болуының ықтималдығын табу керек.

7-10) Дискретті кездейсоқ шаманың үлестірімдік заңы берілген.

x -3 - 1 1 4

p 0,2 0,1 0,4 0,3

Табу керек:

7) Үлестірімділік функциясын;

8) Математикалық үмітті;

9) Дисперсияны;

10) Орта квадрат ауытқуын;

11-16) Үзіліссіз кездейсоқ шаманың үлестірімдік тығыздығы берілген

Табу керек:

11) а коэффициентін;

12) Үлестірімділік функциясын;

13) Математиқалық үмітті;

14) Дисперсияны;

15) (1;1,5) интервалда пайда болу ықтималдығын;

16) Медиананы.

2 - тестің жауаптары

1) N= A = 60.

2) P*(A)=15/20.

3) F) Муавр- Лапластың локалдық формуласы.

4 E) Муавр- Лапластың интегралдық формуласы.

5 C) Бернулли формуласы.

6 A) Толық ықтималдықтың формуласы.

7) .

8) М (Х) = 0,9.

9) D(Х)= 6,29.

10) .

11) a =1/2.

12) .

13) .

14) .

15) P(1<X<1.5)= F(1.5) –F(1)= .

16) .

3-Тест

1) Атқыш нысанаға 3 рет оқ атты. -і-ші атқанда нысанаға тигізуі.

(і=1,2,3), A - бір рет қана тигізді – оқиғаны оқиғалары арқылы өрнектеу керек.

2) Студент 100 сұрақтың 80-ін біледі. Әрбір билет 3 сұрақтан тұрады

Алған билеттегі үш сұрақты да білетіндігінің ықтималдығын табу керек.

3-6) Келесі әрбір есепті шығару үшін қандай формула қолдану керектігін көрсет. (формуланың атын анықтау керек)

F) .

3) Оқиғаның тәуелсіз 200 сынақтарда тұрақты пайда болуының ықтималдығы 0,4-ке тең. Оқиғаның пайда болуы 150-ден кем болмайтындығының ықтималдығын табу керек.

4) Жанұядағы 5 баланың үшеуі ұл болуының ықтималдығын табу керек.

5) Телефон станциясында әрбір тапсырыс қабылдағанда қата жіберу ықтималдығы 0,005-ке тең. Станция 1000 тапсырыс қабылдады. 16 тапсырысты қате қабылдауының ықтималдығы қандай?

6) Прибордың құрамындағы 3 радиошамының жанып кетуінің сәйкес ықтималдықтары 0,1; 0,2; 0,15. Екі шам жанып кетті. Жанып кеткен бірінші және екінші шамдар екендігінің ықтималдығын табу керек.

7-10) Дискретті кездейсоқ шаманың үлестірімдік заңы берілген.

x -2 0 3 5

p 0,4 0,2 0,1

Табу керек:

7) - ті;

8) Математикалық үмітті;

9) Дисперсияны;

10) Үлестірімділік функциясын.

11-16) Үзіліссіз кездейсоқ шаманың үлестірімдік тығыздығы берілген

Табу керек:

11) c коэффициентін;

12) Үлестірімділік функциясын;

13) Математикалық үмітті;

14) Дисперсияны;

15) (0; 4) интервалында пайда болу ықтималдығын;

16) Үлестірімділік тығыздығының графигін салу керек.

3 - тестің жауаптары

1) .

2) P=.

3 Е), Муавр-Лапластың интегралдық формуласы.

4 С), Бернулли формуласы.

5 D), Пуассон формуласы.

6 В), Бейес формуласы.

7) .

8) М (Х)=-20,4 +0 0,2 + 3 0,1 + 5 0,3=1.

9) .

10) .

11) .

12) .

13) (берілген үлестірім – бірқалыпты үлестірім).

14) .

15) .

16)

Әдебиеттер тізімі

1. Данко П.Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2 ч. - М.: Высш. шк., 1986.- Ч.2 - 415с.

2. Индивидуальные задания по высшей математике: В 3ч./A.П. Рябушко, В.В.Барханов др. / Под ред. А. П. Рябушко - Минск: Высшая школа, 1991. - Ч.3 - 351с.

3. Қазешев А., Әбенов.М., Қойлышов Ү. Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика бойынша есептер жинағы.- Алматы: Респ. баспа кабинеті, 1999.-172б.

Мазмұны

Кіріспе………………………………………………………………………3

7 Модуль ………………………………………………………...................4

8 Модуль ……………………………………………………….................19

9 Модуль ……………………………………………………….................28

Әдебиеттер тізімі ……………………………………………..................38

2004 ж.жиынтық жоспары, реті 95

Шолпан Каримуллақызы Айтчанова

Математика

Студенттердің өзіндік жұмысына арналған

әдістемелік нұсқаулар

(күндізгі бөлімде оқитын барлық мамандықтардың

студенттеріне арналған)

(7-9 модульдер)

Редакторы Ж.А. Байбураева

Басуға қол қойылды Пішімі

Тиражы 500 дана №1 типография қағазы

Көлемі 2,0 оқу - басп.т. Тапсырыс ____

Бағасы тг.

Алматы энергетика және байланыс институтының көшірмелі - көбейткіш бюросы

480013 Алматы, А. Байтұрсынов к., 126