Некоммерческое акционерное общество

АЛМАТИНСКИЙ ИНСТИТУТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ

Кафедра высшей математики

 

 

Математика 1

Методические указания и задания к выполнению расчетно-графических работ

для студентов всех форм обучения всех специальностей

 

Алматы 2008

           СОСТАВИТЕЛИ: Л.Н.Ким, Г.А.Ултаракова. Математика1.  Методические указания и задания к выполнению расчетно-графических   работ для студентов всех форм обучения всех специальностей. Ч.3.-  Алматы: АИЭС, 2008.- 25 с.

          Методические указания и задания к расчетно-графической работе содержат дополненное и переработанное издание типового расчета №3 программы первого семестра курса высшей математики для студентов всех специальностей дневного отделения АИЭС 2001 года. Приведены основные теоретические вопросы программы, варианты заданий и решение типового варианта. Расчетные задания разделены на два уровня сложности.

          Методические указания предназначены для студентов первого курса всех форм обучения всех специальностей.

          Введение

          Методические указания представляют собой программу, справочный материал  и задания  к  модулю 3  «Дифференциальное исчисление функции одной переменной»  Математики 1.  Задания состоят из  тридцати вариантов. Вторая цифра номера задания указывает вариант студента.

          Вариант задания  контрольной работы для студентов, обучающихся по заочной форме, определяется как остаток от деления номера зачетной книжки на 30. Например: номер зачетной книжки равен 080612. Это число представляется в виде: 080612=2687*30+2. Следовательно, студент должен выполнить задания варианта №2. Если остаток равен нулю, то студент выполняет вариант №30. 

          Контрольная работа должна быть решена в отдельной тетради, решение задач должно быть кратким и, в то же время, достаточно объяснено ссылками на теорию и сопровождено необходимыми рисунками. Примером для оформления контрольной работы может служить решение типового варианта, которое приведено в данном методическом указании.

 

          1  Методические указания к модулю «Дифференциальное исчисление функции одной переменной»

1.1    Правила дифференцирования    

1    . С- постоянное число.

2     .

3    .

4    .

6            .

6   ,

7    ,

           8   Если - сложная функция, то   , где  .

           1.2   Таблица производных основных элементарных функций

Та б л и ц а 1

1

        

2

3

4

5

6

7

8

              Окончание таблицы 1

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

 

1.3   Уравнения касательной и нормали к кривой

 

Уравнение касательной к кривой     в точке

   

                            Уравнение нормали к кривой    в точке 

 

1.4   Дифференциалы первого и высших порядков

 

  -  формула для приближенного вычисления

значений функции при малом приращении независимой переменной.

 

           1.5  Теоремы о среднем. Правило Лопиталя-Бернулли

 

1 Теорема Ролля. Если функция    непрерывна на отрезке,

дифференцируема внутри этого отрезка  и , то существует  по

крайней мере одна точка  ,  такая, что    

                  2  Теорема Лагранжа. Если функция    непрерывна на отрезке 

 и  дифференцируема внутри этого отрезка,  то существует  по  крайней мере одна точка  ,  такая, что    

           3  Теорема Коши. Если функции   и  непрерывны на отрезке   и  дифференцируема внутри него, причем  нигде при a<x<b, то найдется хотя бы одна точка 

такая, что  

                4  Правило Лопиталя-Бернулли  (для раскрытия неопределенностей вида .  

                Если функции  и  удовлетворяют условиям теоремы Коши в некоторой окрестности точки   стремятся к нулю (или) при  и существует    ,  то существует  также   

  и    

 

2  Типовой расчёт 3. Дифференциальное исчисление функции одной  переменной. Приложения

         

2.1  Теоретические вопросы

1  Понятие производной, её геометрический и физический смысл.

2  Производная суммы, произведения, частного.

3  Производные сложных и взаимообратных функций.

4  Производные основных элементарных функций. Таблица производных.

5  Логарифмическое дифференцирование.

6  Производные высших порядков.

7  Производные функций, заданных неявно и параметрически.

8  Уравнения касательной и нормали к графику функции.

9  Дифференциал, его применение в приближённых вычислениях.

10  Правило Лопиталя-Бернулли.

11  Возрастание и убывание функции. Экстремум. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

12  Выпуклость и вогнутость графика функции, точки перегиба.

13  Асимптоты графика функции.

14  Полное исследование функции и построение графика.

 

          2.2   Расчётные задания первого уровня

 

1        Для заданных функций найти производные первого порядка

 Т а б л и ц а  2 - № варианта и задание для 1

1.1

а)

б)

в)

1.2

а)

б)

в)

1.3

а)

б)

в)

          Продолжение таблицы 2

1.4

а)

б)

в)

1.5

а)

б)

в)

1.6

а)

б)

в)

1.7

а)

б)

в)

1.8

а)

б)

в)

1.9

a)

б)

в)

1.10

а)

б)

в)

1.11

а)

б)

в)

1.12

а)

б)

в)

1.13

а)

б)

в)

1.14

а)

б)

в)

1.15

а)

б)

в)

1.16

а)

б)

в)

1.17

а)

б)

в)

1.18

а)

б)

в)

1.19

а)

б)

в)

1.20

а)

б)

в)

1.21

a)

б)

в)

 

        Окончание таблицы 2

1.22

а)

б)

в)

 

1.23

а)

б)

в)

 

1.24

а)

б)

в)

1.25

а)

б)

в)

1.26

а)

б)

в)

1.27

а)

б)

в)

1.28

а)

б)

в)

1.29

а)

б)

в)

1.30

а)

б)

в)

 

          2   Для заданных  функций найти дифференциал.

 

     Т а б л и ц а  3 - № варианта и задание для 2

2.1   

a)

б)

2.2

а)

б)

2.3

а)

б)

 

2.4   

а)

б)

2.5     

а)

б)

2.6   а)

б)

 

2.7

а)

б)

2.8    

а)

б)

2.9    

а)

б)

 

         

         Продолжение таблицы 3

2.10   

 а)

б)

2.11

а)

б)

2.12    а)

б)

 

2.13

а)

б)

2.14    

а)

б)

2.15    

а)

б)

2.16   

а)

б)

2.17   

 а)

б)

2.18  

а)

б)

2.19   а)

б)

2.20     а)

б)

2.21    а)  

б)

2.22    

а)

б)

2.23   

 а)

б)

2.24    

а)

б)

2.25    а)

б)

2.26   

 а)

б)

2.27  

а)

б)

2.28

а)

б)

2.29

а)

б)

2.30

 а)

б)

 

             3  Для заданных функций найти производные методом  логарифми-ческого  дифференцирования.

            Т а б л и ц а 4 - № варианта и задание для 3

3.1    

 

3.2

  

3.3    

3.4 

3.5

3.6

               Продолжение таблицы 4

 3.7

3.8

3.9

    

3.10

 

3.11

3.12

3.13

3.14

3.15

3.16

3.17

3.18

3.19

3.20

3.21

3.22

3.23

3.24

3.25

3.26

3.27

3.28

3.29

3.30

 

          4   Найти производные  функций, заданных неявно.

          Т а б л и ц а  5-  № варианта и задание для 4

4.1    x – y + arctg y = 0

4.2 

4.3    

4.4    y = cos xy

4.5     xy = ln(1 + y)

4.6   x – y +3sin y = 0

4.7  

4.8   x – y + 4sin y = 0

4.9     

4.10      

4.11   

4.12      xy =

4.13    

4.14       y + = 0

4.15     x = ln(x + y)

4.16    y - = 0

4.17    - ln xy = 0

4.18     x + y =

4.19      y = sin xy

4.20   + x = cos xy

4.21      xy = ln xy

4.22    x + y= tg(x + y)

4.23        y=

4.24  + sin(x + y) = 0

4.25   + cos(x + y) = 0

4.26 

   xy + sin(x + y) = 0

4.27    

   xy + cos(x + y) = 0

4.28  t   g y = 4y – 5x

4.29      xy = ctg y

4.30     xy – 6 = cos y

 

           5    Найти производные функций, заданных параметрически.

 

5.1

5.2

5.3

5.4

5.5

5.6

5.7

5.8

5.9

5.10

5.11

5.12

5.13

5.14

5.15

5.16

5.17

5.18

5.19

5.20

5.21

5.22

5.23

5.24

5.25

5.26

5.27

5.28

5.29

5.30

 

 

 

           6   Вычислить значение второй производной функции в точке  ().

      Т а б л и ц а  6 -    № варианта и задание для 6

      

   

     

   

6.1

   

6.2

6.3

6.4

6.5

6.6

6.7

6.8

6.9

6.10

6.11

6.12

6.13

6.14

6.15

6.16

6.17

 

6.18

6.19

6.20

6.21

6.22

6.23

6.24

6.25

6.26

6.27

6.28

6.29

6.30

 

          7   Составить уравнения касательной и нормали к данной кривой в

точке с абсциссой  .

      Т а б л и ц а  7-    № варианта и задание для 7

    

      

7.1

   2

7.2

  -2

7.3

   -1

7.4

  4

7.5

 

   1

7.6

  -8

7.7

   4

7.8

  16

7.9

  1

7.10

  3

7.11

 1

7.12

  2

7.13

  -1

7.14

  64

7.15

  1

7.16

  1

7.17

   1

7.18

  1

7.19

   1

7.20

  2

7.21

   -2

7.22

  3

7.23

  1

7.24

  1

7.25

  1

7.26

  1

7.27

   1

7.28

  1

7.29

  2

7.30

  4

 

          8   Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке.

       Т а б л и ц а  8 -     № варианта и задание для 8

     

       

8.1

8.2

        Продолжение таблицы 8

8.3

8.4

8.5

8.6

8.7

8.8

8.9

8.10

8.11

8.12

8.13

8.14

8.15

8.16

8.17

8.18

8.19

8.20

8.21

8.22

8.23

8.24

8.25

8.26

 

8.27

8.28

8.29

8.30

 

          9   Дана  функция  .

          Найти:

          a) область определения и точки разрыва ;

          б) асимптоты графика функции;

          в) точки пересечения графика с осями координат;

          г) четность или нечетность;

          д) интервалы монотонности , точки экстремума;

          е) интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба;

          ж) построить график на основании полного исследования функции.

      Т а б л и ц а  9 -    № варианта и задание для 9

      

     

    

9.1

9.2

9.3

9.4

9.5

9.6

9.7

9.8

9.9

9.10

9.11

9.12

9.13

9.14

9.15

9.16

9.17

9.18

9.19

9.20

9.21

9.22

9.23

9.24

9.25

9.26

9.27

9.28

9.29

9.30

 

          10    Найти пределы по правилу  Лопиталя -Бернулли.

10.1

10.2

10.3

10.4

10.5

10.6

10.7

10.8

10.9

10.10

10.11

10.12

10.13

10.14

10.15

10.16

10.17

10.18

10.19

10.20

10.21

10.22

10.23

10.24

10.25

10.26

10.27

10.28

10.29

10.30

 

          2.3  Расчетные задания второго уровня

          11.  Найти производную второго порядка   от функции, заданной параметрически.

             

11.1

11.2

11.3

11.4

11.5

11.6

11.7

11.8

11.9

11.10

11.11

11.12

11.13

11.14

11.15

11.16

11.17

11.18

11.19

11.20

11.21

11.22

11.23

11.24

11.25

11.26

11.27

11.28

11.29

11.30

 

          12   С помощью дифференциала вычислить приближенно значение функции.

         Т а б л и ц а  10 -     № варианта и задание для 12

 

12.1

7,76

12.2

1,012

 

12.3

0,98

12.4

27,54

 

12.5

0,08

12.6

0,97

 

12.7

26,46

12.8

1,97

 

12.9

1,021

12.10

1,21

 

12.11

0,998

12.12

1,03

 

12.13

2,01

12.14

8,24

 

12.15

1,996

12.16

7,64

 

12.17

2,56

12.18

1,016

 

12.19

8,36

12.20

4,16

 

12.21

2,002

12.22

1,78

 

12.23

0,98

12.24

2,997

 

12.25

1,03

12.26

3,998

 

12.27

0,01

12.28

0,01

 

12.29

1,02

12.30

1,97

 

13   Найти пределы по правилу Лопиталя- Бернулли.

Т а б л и ц а  11 - № варианта и задание для 13

13.1

 

13.2

13.3

13.4

13.5

13.6

13.7

13.8

13.9

13.10

13.11

13.12

 

13.13

13.14

 

 

 

 

 

 

 

 

          Продолжение таблицы 11

13.15

13.16

13.17

13.18

13.19

13.20

13.21

13.22

13.23

13.24

13.25

13.26

13.27

13.28

13.29

13.30

 

 

2.4   Решение типового варианта

          1   Найти производные функций:

          а) ;

          б) ;

          в) .

          Решение:

          а) при решении следует использовать формулу производной степенной функции  и формулы  ,

(с- константа),  . Запишем функцию в виде , затем найдём ;

          б) используя таблицу производных и формулу производной произведения , получим: .

          в)  используя таблицу производных и формулу производной частного , получим:

=.

          2   Найти дифференциал функций:

          а);

          б) .

Решение:

a)     используем правило нахождения производной сложной функции.

           Если , то  или .

 Для данной функции .

Теперь по правилу нахождения производной сложной функции имеем: . По определению дифференциалом  функции y = f(x) является выражение .

          Производная функции    найдена, поэтому её дифференциал равен   ;

          б)  представление данной функции в виде цепочки элементарных функций следующее . Используя таблицу производных и основные правила дифференцирования, получим: .

          По определению дифференциалом  функции y = f(x) является выражение , поэтому её дифференциал равен   .

 

          3  Найти производную функции методом логарифмического дифференцирования:

          а)

          б) .

          Решение:

          а) сначала прологарифмируем функцию по основанию числа е: . Затем дифференцируем полученное выражение, определяя производную  lny  как производную сложной функции: . Из последнего равенства находим  ;

          б) применяя метод логарифмического дифференцирования, последовательно  находим: ;

;; .

          4   Найти производную функции   , заданной  неявно.

          Решение

          Дифференцируем данную функцию, имея в виду, что у есть функция от

х:    . Из последнего равенства находим .

          5   Найти производную функции,  заданной  параметрически.

          Решение

          Производная функции, заданной параметрически, находится по формуле   .  Так как , то .

          6    Вычислить , если .

          Решение

          ;=

. =.

 

          7   Составить уравнение касательной и нормали к кривой  в точке с абсциссой .

          Решение

          Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке  имеет вид: , a  уравнение нормали-

.  Найдём

          Итак, уравнение касательной:     y - 6 = -11(x + 1) или 11x + y + 5 = 0,

а уравнение нормали :   y - 6 = 1/11(x + 1),  или   x - 11y + 67 = 0.

 

          8   Найти наименьшее и наибольшее значения функции     на отрезке .

          Решение

          Найдём критические точки, лежащие внутри отрезка : Все критические точки лежат внутри данного отрезка, поэтому определяем значения функции в этих точках и на концах отрезка: у(0) = 3, у(-1) = 2,

у(1) = 2, у(-3) = 66, у(2) = 11. Выбираем из этих значений самое маленькое и самое большое: .

          9   Дана функция . Найти:

          а) область определения и точки разрыва;

б) асимптоты графика функции;

в) точки пересечения графика с осями координат;

г) чётность и нечётность;

д) интервалы монотонности, точки экстремума;

е) интервалы выпуклости, вогнутости. Точки перегиба;

          ж) построить график функции.

          Решение:

          а) область определения D(f) – это множество таких значений х, при которых знаменатель . Таким образом, D(f):. Точки –2 и 2 являются точками разрыва;

          б) так как точки –2 и 2 являются точками разрыва функции второго рода, то прямые х = -2 и х = 2 – вертикальные асимптоты. Поведение функции вблизи вертикальных асимптот: ; . Найдём наклонные асимптоты по формуле:y = kx + b, где  , .

          Таким образом, существует одна наклонная асимптота у = х;

          в) точки пересечения графика функции с осями координат:

с  осью ОХ: ,

с осью ОУ: ;

          г) так как , то функция нечётная;

          д)  исследуем функцию на возрастание, убывание и экстремум:

          . Из  следует , откуда - критические точки. Результаты исследования сведём в таблицу:

 

x

-2

(-2,2)

2

+

0

-

0

-

0

-

0

+

y

 

 

 

 

 

max

 

 

 

 

 

min

 

                ж) исследуем функцию на выпуклость, вогнутость и определим точки перегиба: . Из  следует , откуда х = 0. Результаты исследования сведём в таблицу:

x

  

-2

   

0

   

2

   

-

 

+

0

-

 

+

y

 

0

 

 

Точка (0, 0) – точка перегиба. Построим график функции: 

         

 

 

Рисунок 1

 

10   Найти пределы по правилу  Лопиталя -Бернулли:

          а) ;                                                       

          б) .

          Решение:

          Правило Лопиталя: . Поэтому имеем:

          а)  =  =  = 2;

          б)  =  =  =  =  =

 =1/2.

Список литературы

 

          1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч.- М.: Высш. Шк., 1986. – Ч.1-352 с.

          2. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: В 3 ч

./ А.П.Рябушко, В.В.Бархатов и др./ Под редакцией А.П.Рябушко.- Минск: Вышэйшая школа, 1991.-Ч.2-351 с.

          3. Кузнецов А.А. Сборник заданий по высшей математике: Типовые расчеты.-М.: Высш.шк., 1983.-176 с.

          4. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть.-М.: Айрис-пресс, 2003.-256 с.

          5. Хасеинов К.А. Каноны математики. Учебник – Алматы: 2003.-686 с.

          6. Математика 1. Конспект лекций для студентов всех форм обучения всех специальностей. Алматинский институт энергетики и связи: 2007.

Содержание

Введение…………………………………………………………………………….3

 

1  Методические указания к модулю «Дифференциальное исчисление функции одной переменной»……..3

1.1  Правила дифференцирования………………………………………………...3

1.2  Таблица производных основных элементарных функций…………….........3

1.3  Уравнения касательной и нормали к кривой………………………………...4

1.4  Дифференциалы первого и высших порядков………………………………4

1.5  Теоремы о среднем. Правило Лопиталя-Бернулли………………………….4

2  Типовой расчет 3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Приложения…….5

2.1  Теоретические вопросы……………………………………………………….5

2.2  Расчетные задания первого уровня…………………………………………..5

2.3  Расчетные задания второго уровня…………………………………………15

2.4  Решение типового варианта…………………………………………………19

Список литературы……………………………………………………………….24