ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ

Алматы энергетика және байланыс институты

С.Е. Ералиев

АМАЛДЫҚ ЕСЕПТЕУЛЕРДІҢ ЭЛЕМЕНТТЕРІ

Оқу құралы

Алматы 2004

ӘОК 378(075.8):51

Ералиев С. Е

ББК 22.1я7

Амалдық есептеулердің элементтері:

Оқу құралы Алматы: АЭжБИ, 2004. – 39 бет.

Бұл оқулық техникалық жоғары оқу орындарының бағдарламасына сәйкес жазылған. Мұнда, амалдық есептеудің негізгі анықтамалары мен қасиеттерін терең түсіну үшін, таңдалып алынған мысалдар қарастырылған. Әрі әрбір параграфтың соңында есептер берілген. Сондықтан бұл оқулықты есептер жинағы ретінде пайдалынуға болады.

Бұл оқулықты техникалық жоғары оқу орындарының студенттерімен қатар орта мектептің жоғары сыныптарында фактультативтік курс жүргізетін математика пәнінің мұғалімдері де пайдалана алады.

ПІКІР БЕРУШІЛЕР :Ұлттық мемлекеттік университетінің “Есептеу

математика”кафедрасының профессоры, физ.-мат.

ғылым. докторы Данаев Н.Т.

Алматы энергетика және байланыс институтының

жоғары математика кафедрасының меңгерушісі физ.-

мат. ғылым. кандидаты, професор Базарбаева С.Е.

Қазақстан Республикасының Білім және Ғылым министрлігі 2004 жылғы баспа жоспары бойынша басылады.

ISBN 9965-494-57-6

Кіріспе

Техникалық жоғары оқу орындарында амалдық есептеу курсының алатын орны ерекше. Өйткені оның тәсілдері сызықты дифференциалдық теңдеулерді, сызықты дифференциалдық теңдеулер жүйелерін, интегро-дифференциалдық теңдеулерді, математикалық физиканың кейбір есептерін және ауыспалы режимдегі сыртқы кернеуі емін еркін алынған күрделі электр тізбегінің кез келген процестерін есептеуге мүмкіндік береді. Сондықтан оның, жоғары математика курстарының бірі ретінде, жоғары оқу орындарында оқытылуы бекер емес.

Бұл оқулықта амалдық есептеу тәсілдерінің негізгі анықтамалары мен қасиеттерін жете түсіну үшін көптеген мысалдар қарастыралған. Соңғы параграфта амалдық есептеу тәсілдерін электротехниканың есептерін шығаруда қалай қолдануға болатындығы көрсетілген. Әр параграфтың соңында есептер беріліп, оқулықтың соңында бұл есептердің жауаптары келтірілген. Сондықтан бұл оқулықты есептер жинағы ретінде пайдалануға болады.

Амалдық есептеулердің элементтері

Бейнелер мен түптұсқаларды анықтау

функциясын түпнұсқа деп атаймыз, егер ол мынадай үш шартты қанағаттандырса:

а) болғанда функциясы үзіліссіз немесе бірінші текті үзіліссіз болса;

б) мәндерінде ;

в) , модулі көрсеткіштік функциядан аспай өсетін болса, яғни , (1)

мұндағы , және тұрақтылар.

(1) - теңсіздік орындалатын -ң төмендегі мәні , функциясының өсу көрсеткіші деп аталады.

1 - мысал. функциясының түпнұсқа болатындығын көрсету керек.

Шешуі. Берілген функция болғанда үзіліссіз функция.

2-шарт орындалады. себебі , .

Сондықтан берілген функция түпнұсқа болады.

функциясы Хевисайд функциясы деп аталады. Бұл функцияда түпнұсқа болады.

Сонымен, функциясы бірінші және үшінші шарттарды қанағаттандырса түпнұсқа болады.

1. Берілген функциялардың түпнұсқа болатындықтарын анықтау керек:

а)	;	б)	;

в)	;	г)	;

д)	;	е)	;

ж)	;	з)
и)	;	к)	;

Бұдан былай жазуды көбейтпес үшін берілген функцияларды функцияларына көбейтілген деп есептейміз.

Нақты айнымалы функциясының бейнесі деп

(2)

формуласымен анықталатын комплекс айнымалы функциясын атайды.

түпнұсқасы мен бейнеленуі арасындағы сәйкестікті мына түрде жазамыз: немесе .

функциясы жарты жазықтығында анықталған әрі осы жарты жазықтықта аналитикалық функция болады.

2 - мысал. Анықтаманы пайдалана отырып функцияның бейнесін табу керек.

Шешуі. функциясы үшін . Сондықтан оның бейнесі , жарты жазықтығында анықталған әрі аналитикалық функция болады.

Сондықтан .

Сонымен, .

Анықтаманы пайдалана отырып, төмендегі функциялардың бейнелерін анықтау керек.

2.	.	3.	.

4.	.	5.	.

Лаплас түрлендіруінің қасиеттері

Түпнұсқаның жалғыз болуы туралы теорема.

Егер және екі түпнұсқаның бейнесі болса, онда бұл түпнұсқалар үзіліссіз болатын барлық нүктелерде бір-біріне тең болады.

1. 1 Сызықтық теоремасы. Кез келген нақты немесе комплекс тұрақтылар және үшін (3)

мұнда , .

Функциялардың бейнелерін табу керек.

6. . 7. . 8. . 9. 5t – sin3t. 10. t ²- 1/5

1. 2 Ұқсастық теоремасы. Кез келген тұрақты үшін

(4)

3 - мысал. Ұқсастық теоремасын қолданып функциясының бейнесін табу керек.

Шешуі. , Ұқсастық теоремасын қолданамыз:

Ұқсастық теоремасын пайдалана отырып функциялардың бейнелерін табу керек.

11.	12.	13.

14.	15.	16.

Сызықтық және ұқсастық теоремаларын пайдаланып функциялардың бейнелерін табу керек.

17.	.	18.	.

19.	.	20.	.

21.	.	22.

1. 3 Түпнұсқаның туындысы туралы теорема.

Егер функциялары түпнұсқалар әрі болса, онда

(5)

4 - мысал. Түпнұсқаның туындысы туралы теореманы пайдалана отырып, функциясының бейнесін табу керек.

Шешуі .

Сондықтан, ,

Бұдан , .

Түптұсқаның туындысы туралы теореманы пайдалана отырып, төмендегі функциялардың бейнелерін табу керек.

23.	24.	25.

26.	27.	28.

1. 4 Бейнені дифференциалдау туралы теорема

Егер болса, онда , (6)

яғни бейненің туындысын табу оның түпнұсқасын -ға көбейткенмен бірдей. Бұдан (7)

5 - мысал. функциясының бейнесін табу керек.

Шешуі. . Бейнені дифференциалдау теоремасы бойынша бұдан ; теореманы тағы да қолдансақ .

Функциялардың бейнелерін табу керек.

29.	30.	31.

32.	33.	34.

1.5 Түпнұсқаның интегралы туралы теорема.

Егер болса, онда . (8)

6 - мысал. функциясының бейнесін табу керек.

Шешуі. .

Түпнұсқаның интегралы туралы теорема бойынша .

Функциялардың бейнесін табу керек:

35.

36.

37.

38.

39.

40.

1.6 Бейнені интегралдау туралы теорема.

Егер интегралы жинақты болса, онда

(9)

7 - мысал. функциясының бейнесін табу керек.

Шешуі. .

Сондықтан

Төмендегі функциялардың бейнесін табу керек.

41. а) ; б) ; в) .

42. а) ; б) ; в) .

Бейнені интегралдау туралы теореманың көмегімен кейбір меншіксіз интегралдар жеңіл есептеледі.

және интегралы жинақты болсын.

Бұл жағдайда (10)

8 - мысал. интегралын есептеу керек.

Шешуі. . (10)-формула бойынша

Төмендегі интегралдарды есептеу керек:

43.	.
44.
45.
46.
47.

1. 7 Ығысу теоремасы.

Егер - кез келген комплекс сан және болса, онда

(11)

9 - мысал. түпнұсқасының бейнесін табу керек.

Шешуі.

10 - мысал. бейнесінің түпнұсқасын табу керек.

Шешуі.

Төмендегі функциялардың бейнесін табу керек.

48. 49.

50. 51. 52.

53. функциясының түпнұсқасын табу керек.

1. 8 Кешігу теоремасы. түпнұсқасын қарастырамыз. Мына функциясының графигін өсінің бойымен оңға шамасына жылжыту арқылы аламыз. (1-сурет, а, б).

0 t 0 t

(а) (б)

1-сурет.

Хевисайд бірлік функциясы арқылы кешігу функциясын былай жазуға болады: ,

өйткені үшін , ал болғанда .

Теорема. Егер -оң сан және болса, онда

. (12)

Кешігу теоремасын әр аралықта әр түрлі аналитикалық өрнектермен берілген түпнұсқалардың бейнелерін анықтауда пайдалану ыңғайлы.

11 - мысал. түпнұсқасының бейнесін табу керек. Мұнда болуы себепті,

(12) - формула арқылы былай жазамыз: .

Егер болса, онда түпнұсқада кешігу болмайды. Бұл жағдайда

Түпнұсқалардың бейнесін табу керек:

54.	.	55.

56.		57.

12 - мысал. Төмендегі графикпен берілген функциясының бейнесін табу керек (2-сурет):

0 1 2 t

2-сурет

Шешуі. функциясының теңдеуін құрамыз.

а) (0, 1) интервалында ,

б) (1, 2) интервалында ,

в) (2, +) интервалында .

функциясы -ң нөлден үлкен барлық мәндерінде формуласымен берілген деп, мәндерінде функциясын алу үшін оған қандай функциясын қосу керектігін анықтаймыз:

, .

Ендігі жерде мәндерінде функциясын алу үшін функциясына қандай функциясын қосу керектігін анықтаймыз: , .

Сонымен, .

Бейнесіне көшсек: .

13 - мысал. Түпнұсқаның бейнесін табу керек:

Шешуі. функциясын -ң және -ң дәрежелері арқылы өрнектейміз:

Сондықтан, функциясын төмендегі түрде жазуға болады:

Бейнесіне көшеміз:

Графиктері арқылы берілген, төмендегі функциялардың бейнелерін табу керек:

58.

0 1 2 t

59.

0 1 2 3 t

-1

60.

0 1 t

61.

0 1 t

62.

0 1 2 t

63.

0 1 2 t

-1

64.

0 1 2 t

-1

65.

0 1 2 3 4

-1

Егер функциясы периоды Т -ға тең түпнұсқа болса, онда оның бейнесі (13) формуласымен анықталады.

14 - мысал. Графикпен берілген периодты функциясының бейнесін табу керек. (3-сурет).

0 1 2 3 4

3-сурет

Шешуі. функциясының периоды ,

(13) -теңдеудегі функциясының орнына -ны қоямыз:

Төмендегі периодты функциялардың бейнелерін табу керек.

66.

0 1 2 3 4 t

67. .

68.

69.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 t

Егер болса, онда (14)

формуласымен анықталады.

1. 9 Көбейту теоремасы. (үйірткі туралы теорема). және бейнелерінің көбейтіндісі де бейне болады, әрі

(15)

Бұндағы интеграл түпнұсқа болады да, және функция-ларының үйірткісі деп аталып, * символымен белгіленеді.

15 - мысал. функциясының бейнесін табу керек.

Шешуі. функциясы және функциясының үйірткісі болады. Сондықтан көбейту теоремасы бойынша

16 - мысал. бейнесі бойынша оның түпнұсқасын табу керек.

Шешуі. Былай деп жаза аламыз , бұдан

болғандықтан, (15) - формула бойынша

Келесі функциялардың бейнесін табу керек:

70.		71.

72.		73.

74.		75.

76. бейнесінің түпнұсқасын табу керек.

77. бейнесінің түпнұсқасын табу керек.

2 Жіктеу теоремалары.

2.1 Бірінші жіктеу теоремасы.

Егер функциясы нүктесінің аймағында нөлге тең аналитикалық функция болса, әрі бұл функцияның нүктесінің аймағындағы Лоран қатары (1)

болса, онда оның түпнұсқасы -нің кез келген мәнінде жинақты болатын

(2)

формуласымен анықталады.

1 - мысал. функциясының түпнұсқасын табу керек.

Шешуі. функциясы нүктесінің аймағында аналитикалық функция болады және оның Лоран қатары төмендегіше анықталады:

;

Бұдан , екендігін көреміз. Бұл белгілі нәтижеге тура келеді.

2. 2 Жіктелудің екінші теоремасы.

Белгілі бір шарттар орындалғанда функциясының түпнұсқасы

, (3)

формуласымен анықталады. Мұнда қалындының қосындысы функциясының барлық ерекше нүктелерінде алынады.

Дербес жағдайда, егер дұрыс рационал бөлшек болса, онда оның түпнұсқасы

(4)

формуласымен анықталады. Мұндағы - полюстар, ал еселіктер. (19) - формулада қосынды функциясының барлық полюстарында алынады.

Егер функциясының барлық полюстары жай полюстар болса, онда (19) - формуладан (5)

формуласы шығады.

2 - мысал. бейнесінің түпнұсқасын табу керек.

Шешуі. Бұл жағдайда .

Барлығы жай түбірлер: .

Есептейміз: .

Демек, (20)- формула бойынша .

3 - мысал. бейнесінің түпнұсқасын табу керек.

Шешуі. функциясы үшін, нүктесі екінші ретті, ал , жәй полюстар болады. (18) -формула бойынша түпнұсқасын табу үшін осы полюстарда функциясының қалындысын есептейміз: ,

, .

Бұдан .

4 - мысал. бейнесінің түпнұсқасын табу керек.

Шешуі. функциясы үшін , , екінші ретті полюстар. (19) -формула бойынша

2. 3 Белгілі бейненің түпнұсқасын анықтау.

бейнесінің түпнұсқасын анықтау үшін келесі амалдар қолданылады:

1. Егер дұрыс рационал бөлшек болса, онда бұл бөлшекті қарапайым (элементар) бөлшектерге жіктеп, §1. 1-9 қасиеттерін пайдалана отырып, олардың әрқайсысының түпнұсқаларын табу керек.

5 - мысал. бейнесінің түпнұсқасын табу керек.

Шешуі. функциясын элементар бөлшектерге жіктейміз:

. А, В, С, Д коэффициенттерін

тауып орнына қоямыз: .

Бұл теңдеудің оң жағындағы жай бөлшектердің түпнұсқалары белгілі. Сондықтан сызықтық теоремасы бойынша бейненің түпнұсқасы

2. Егер болса (мұндағы - дұрыс рационал бөлшек, - нақты сан), онда бейненің түпнұсқасын табу үшін кешігу теоремасын қолдану керек.

6 - мысал. бейнесінің түпнұсқасын табу керек.

Шешуі. Мұнда сондықтан

Берілген бейнелердің түпнұсқаларын табу керек:

78.		79.

80.		81.

82.		83.

84.		85.

86.		87.

88.		89.

90.		91.

92.		93.

94.		95.

96.		97.

98.		99.

100.

3 Коэффициенттері тұрақты сызықты

дифференциалдық теңдеулерді интегралдау.

(1)

біртексіз, сызықты, коэффициенттері тұрақты, -ретті дифференциалдық теңдеу. функцияларын және -ң қарастырылатын барлық туындыларын түпнұсқалар болсын делік.

(2)

алғашқы шарттарын қанағаттандыратын (1)- теңдеудің шешуін табу керек: және деп алып, §1.3. тегі (5) - формуламен (2) алғашқы шарттарын пайдалансақ:

Бейненің сызықтық қасиетін пайдалана отырып (2) - алғашқы шарттарын қанағаттандыратын (1) - теңдеудің (Коши есебінің) операторлық теңдеуін аламыз:

Соңғы теңдеуді (3)

түрінде жазуға болады.

Мұндағы және сәйкесінше дәрежелері -ге және -ге тең көпмүшеліктер. Соңғы теңдеуден (4)

Бұл операторлық теңдеудің шешуі. Осы (4) - функцияның түпнұсқасы

Коши есебінің шешімі болады.

Лаплас түрлендіруінің көмегімен Коши есебін шешу схемасы.

Түпнұсқалар кеңіс-тігіндегі Коши есебі

Коши есебінің шешуі

L^-1

Бейнелер кеңістігіндегі операторлық теңдеу

Операторлық теңдеудің шешуі

III

Мұндағы L Коши есебі I-ге Лаплас түрлендіруі қолданылатын-дығын, A - операторлық теңдеу II-нің шешуін, L^-1- операторлық теңдеу III-ке кері Лаплас түрлендіруі қолданылатындығын көрсетеді.

1 - мысал. Коши есебін шешу керек:

Шешуі.

болғандықтан, Коши есебінің операторлық теңдеуі

Бұдан . -ң түпнұсқасын табамыз. Ол

үшін алғаш - ң бірінші қосылғышын элементар бөлшектерге

жіктейміз: . A, B, C, D коэффициент-

терін тауып орнына қоямыз:

яғни .

- ң түпнұсқасы .

2 - мысал. , . шарттарын қанағат-тандыратын теңдеуінің шешуін табу керек.

Шешуі. Теңдеудің бейнесі болады. Бұдан

Жіктеудің бірінші теоремасын пайдаланып, мынаны аламыз: .

Төмендегі Коши есептерін шешу керек:

101.		102.

103.		104.

105.		106.

107.		108.

109.		110.

111.

112.

113.

114.

115.

116.

117.

118.

119.

120.

Ендігі жерде

мұнда (5)

алғашқы шарттарын қанағаттандыратын

(6)

коэффициенттері тұрақты екінші ретті теңдеудің шешуін табу керек:

Сонда , және (6) -теңдеумен

(5) шарттарын (7)

(8)

түрінде жазуға болады. Бұл нүктесінде алғашқы шарттары анықталған Коши есебі.

3 - мысал. алғашқы шарттарын қанағаттандыр-атын теңдеуінің шешуін табу керек.

Шешуі. алсақ, онда , ал

(9)

Соңғы теңдеудің операторлық теңдеуін құрастырамыз: болса, онда , .

Сондықтан . Бұдан .

Бейненің түпнұсқасы . - ң орнына қойсақ, онда Коши есебінің шешуін аламыз: .

Төмендегі Коши есептерін шешу керек:

121.

122.

123.

4 - мысал. ; Коши есебін шешу керек. Мұндағы функциясы төмендегі графикпен берілген:

0 1 2

-1

Шешуі. Мұндағы , сондықтан

формуласын пайдалансақ

. Коши есебінің операторлық теңдеуі

, бұдан .

Бейненің түпнұсқасы

немесе

Төмендегі Коши есептерін шешу керек:

124.

0 1 2 3

125.

0 1 2 3

4 Коэффициенттері айнымалы кейбір сызықты

дифференциалдық теңдеулердің шешімдері.

Коэффициенттері, дәрежелері m-ге тең немесе одан кіші t айнымалы-сының көпмүшеліктері болатын, біртексіз n - дәрежелі сызықты

(1)

теңдеуі берілсін. Бұл теңдеу үшін Коши есебінің шешуі бар болсын.

, ал бейнені дифференциалдау теоремасы бойынша

Мұндағы деп отырғанымыз функцияның бейнесі.

Сонымен, (1) - теңдеудің екі бөлігінеде Лаплас түрлендіруін қолданып, функциясының бейнесі функцияның m - ретті дифференциалдық теңдеуін аламыз.

Егер болса, онда (1) - теңдеудің шешуін табу жеңілдейді.

Мысал. теңдеуінің жалпы шешуін табу керек.

Шешуі. , ,

Сондықтан (1) - теңдеудің операторлық теңдеуі

, немесе .

Бұл теңдеу біртексіз сызықты дифференциалдық теңдеу. Оның шешуі

, бұдан . Бұл бастапқы теңдеудің жалпы шешімі.

Төмендегі дифференциалдық теңдеулердің шешуін табу керек:

126.		127.

128.

129.

5 Дюамель интегралы

Егер функциясы аралығында үзіліссіз болса, ал функциясы осы аралықта үзіліссіз дифференциалданса және болса, онда . Бұдан түпнұсқаны дифференциалдау теоремасы бойынша

(1)

Бұл теңдеу Дюамель формуласы деп аталады да коэффициенттері тұрақты сызықты n - ретті дифференциалдық теңдеулерді шешуде пайдаланылады. Соны қарастырайық шарттарын қанағаттандыр-атын (2)

теңдеуінің шешуін табу керек. Ол үшін сол жақтары бірдей, ал оң жағы 1-ге тең (3)

теңдеуін қарастырамыз. Осы теңдеудің нөлдік алғашқы шарттарды, яғни

теңдіктерін қанағаттандыратын шешуін іздейміз. (2) - және (3) - теңдеулердің бейнелік теңдеулерін мынадай түрде жазуға болады: ;

. Бұдан , , мұндағы . Осы екі теңдеуден мынаны табамыз . Енді осыған Дюамель формуласын қолданып, (2) - диф-ференциалдық теңдеудің шешуін табамыз:

Сонымен, берілген теңдеумен сол жағы бірдей, ал оң жағы бірге тең алғашқы шарттары нөлдік теңдеудің шешуі белгілі болса, онда Дюамель интегралы арқылы теңдеудің шешуін табуға болады.

1 - мысал. Алғашқы шарттары болатын теңдеуінің шешуін табу керек.

Шешуі. Алдымен шарттарын қанағаттандыратын теңдеуін шешейік. Оның бейнелік теңдеуі . Бұдан . Сонда .

Берілген теңдеудің шешуін табу үшін Дюамель формуласын қолданамыз: болғандықтан .

Жоғарыда қарастырылған (2) - теңдеуді шешуде алғашқы шарттарының нөлдік болуы міндетті емес. Оны келесі мысалдан көруге болады: шарттарын қанағаттандыратын

(4) теңдеуінің шешімін табу керек.

Ол үшін (5)

деп аламыз. Сонда болады да, (4) - теңдеуді мына түрде жазуға болады: , мұндағы .

(5) - теңдеуден . Сонымен, келесі Коши есебін аламыз: , .

2 - мысал. Дюамель формуласының көмегімен келесі Коши есебінің шешуін табу керек: .

Шешуі. деп аламыз. Сонда , болады да, берілген Коши есебін мына түрде жазуға болады.

, мұнда .

Соңғы есепті Дюамель формуласының көмегімен шешсек .

Ал .

Дюамель формуласының көмегімен Коши есептерінің шешуін табу керек:

130.		131.

132.		133.

134.		135.

6 Сызықтық теңдеулер жүйесін интегралдау

Сызықтық теңдеулер жүйесін интегралдау тәсілі бір теңдеуді интегралдау тәсіліне ұқсас.

Мысал. (1)

шарттарын қанағаттандыратын

(2)

екінші ретті сызықты дифференциалдық теңдеулер жүйесін шешу керек. және функцияларының бейнелерін сәйкесінше және деп алып, Коши есебінің операторлық теңдеулер жүйесіне көшеміз:

, (3)

Бұл жүйеден -ды тауып алып, олардың түпнұсқалары , ; табамыз. Бұлар алғашқы шарттары (1) болатын (2) - жүйенің шешуі болады.

Мысал. .

жүйесінің шешуін табу керек.

Шешуі. , , ,

болғандықтан оның операторлық жүйесі

болады. Бұдан

Бұл бейнелердің түпнұсқалары берілген жүйенің шешуі болады.

11111

Келесі жүйелерді шешу керек.

136.	.

137.	.

138.	.

139.

140.	.

141.

142.

143.
144	x'-2x-4y = cost y'+x+2y = sint. x(0) = y(0) =0
145	x' = 2y+z y' = x+z x(0) = 1, y(0) = z(0) = 0 z' = x+y

7 Амалдық есептеулерді электротехниканың есептерін шығаруда қолдану.

Амалдық есептеулердің тәсілдері ауыспалы режимдегі сыртқы кернеуі емін еркін алынған күрделі электр тізбегінің кез келген процестерін есептеуге мүмкіндік береді.

Мысал. R

e е(t) L

i(t)

4-сурет

4-суретте сызықты электр тізбегі берілген, мұндағы L-индуктивтілік, R-кедергісі, C-контурдыњ т±раќты сыйымдылығы, ал –уақыттың функциясы түрінде берілген электр қозғауыш күші (Э.Қ.К). Бастапқы уақытта тізбектегі ток және конденсатордағы кернеу нөлге тең:

Ауыспалы режимдегі тогын есептеу керек.

Шешуі: Кирхгофтың екінші заңы бойынша контурдың бойындағы кернеулердің алгебралық қосындысы осы контурдағы электр қозғауыш күштерінің алгебралық қосындысына тең болады:

(1)

мұнда

(2)

(2) теңдіктерді ескерсек (1)-теңдеуді төмендегідегі т‰рде жазуға болады:

(3)

Бұл теңдеу – тоѓының тербеліс контурындағы интегро-дифференциялдық теңдеуі.

Операторлық ток және операторлық кернеу

Түпнұсқаны дифференциялдау теоремасы бойынша

себебі

ал түпнұсқаны интегралдау теоремасы бойынша

Жоғарыдағыларды ескере отырып (3)-теңдеудің операторлық теңдеуін аламыз:

бұдан

(4)

мұндағы - контурдың операторлық кернеуі.

(4)-теңдеу операторлыќ түрдегі Ом заңы деп аталады. Ендігі жерде бейнені түпнұсқаға айналдыру теоремасы бойынша тоғын анықтаймыз:

Ескерту: Мәндері берілген есептерде кестелер немесе жіктеу формуласы қолданылады.

Жауаптары

1. а) болады, б) болады, в) болмайды, г) болады, д) болады, е) болмайды, ж) болмайды, з) болады , и) болады , к) болады.

2. 3. 4. 5. 6. 7.

8. 9. 10. 11. 12.

13. 14. 15. 16. 17. 18. 19.

20. 21.

22. 23. 25. 27.

28. 29. 30. 31. 32.

33. 34. 35. 36.

37. 38. 39. 40. 41. а)

42. а) 43. 44. 45.

46. 47. 48. а) 49.

50. 52. 54. 56.

58. 59. 62.

63. 64.

65. 69. 70.

72. 74.

76. 80. 82.

86. 88.

90. 92. 94.

96. 98.

100. 102. 104.

106. 108. 110.

112. 114.

116. 118.

120. 122.

125.

126. 128. 132.

134.

136. 138.

140.

142.

144.

145.

Қосымша

Негізгі түпнұсқалар және олардың бейнелері.

түпнұсқасы

бейнесі.

Әдебиеттер тізімі

1. Араманович И.Г., Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. – Москва: Наука, 1968

2. Шостак Р.Я. Операционное исчисление. – Москва: Высшая школа, 1970

3. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. – Москва: Наука, 1981

4. Шелковников Ф.А., Гакайшвили К.Г. Сборник упражнений по операционному исчислению. – Москва: Высшая школа, 1976

5. Ефимов А.В. Математический анализ (специальные разделы) ч.1. – Москва: Высшая школа, 1980

Мазмұны

Кіріспе 3

1 Бейнелер мен түпнұсқаларды анықтау 4

2 Жіктеу теоремалары 16

3 Коэффициенттері тұрақты сызықты дифференциалдық

теңдеулерді интегралдау 20

4 Коэффициенттері айнымалы кейбір сызықты

дифференциалдық теңдеулердің шешімдері 25

5 Дюамель интегралы 26

6 Сызықты дифференциалдық тендеулер жүйесін интегралдау 28

7 Амалдық есептеулерді электромеханиканың есептерін

шығаруда қолдану 30

Жауаптары 32

Қосымша 35

Әдебиеттер тізімі 37

2004ж., реті _______

Сайлаубек Ералыұлы Ералы

Амалдық есептеулердің элементтері

Оқу құралы

Редакторы Ж.А. Байбураева

Стандарттау жөніндегі маман Н.М. Голова

Теруге берілген күні ____________

Пішімі 60х84 1/16

Типография қағазы №2

Оқу-баспа таб. -2,5. Таралымы 100 дана. Тапсырыс _______. Бағасы ______теңге.

Басуға қол қойылды.

Алматы энергетика және байланыс

институтының көшірмелі-көбейткіш бюросы

480013 Алматы, А. Байтұрсынұлы көшесі, 126 үй.