АЛМАТИНСКИЙ ИНСТИТУТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ
КАФЕДРА
ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
МАТЕМАТИКА 2
Тестовые вопросы.
(для студентов заочной формы обучения всех специальностей)
Алматы 2004
СОСТАВИТЕЛИ: С. Е. Базарбаева, С. А. Жуматаева. Математика 2. Тестовые вопросы (для студентов заочной формы обучения всех специальностей). - Алматы: АИЭС, 2004. – 32 с.
Представлены
тестовые задания по разделам курса «Математика 2»: дифференциальное исчисление функции нескольких
переменных, интегральное исчисление
функции одной и нескольких переменных,
которые изучаются студентами заочной формы обучения всех специальностей на
первом курсе.
Рецензент:
канд. физ. - мат. наук, доц. КазНТУ, С.
Б. Балкубаева.
Печатается
по плану издания Алматинского института энергетики и связи на 2004 г.
©
Алматинский институт энергетики и связи, 2004 г.
1
Программа- минимум для тестирования
студентов первого курса на оценку – удовлетворительно
Перечень базовых вопросов
1.1 Модуль 1.
Интегральное исчисление функции одной переменной
1 Определение первообразной. Определение неопределенного интеграла. Основные свойства неопределенного интеграла. Таблица неопределенных интегралов.
2 Основные методы
интегрирования: табличный метод, метод замены. Теорема о замене переменной в
неопределенном интеграле .
3 Интегрирование простейших
дробей, содержащих квадратный трехчлен.
4 Интегрирование
дробно-рациональной функции. Метод неопределенных коэффициентов.
5 Интегрирование некоторых
иррациональных функций.
6 Основные свойства
определенного интеграла. Оценки определенного интеграла. Теорема о среднем, геометрический смысл теоремы.
7
Формула
Ньютона-Лейбница.
8
Замена
переменной в определенном интеграле.
9
Интегрирование
по частям определенного интеграла.
10 Несобственный интеграл с
бесконечными пределами интегрирования
(первого рода). Признаки сходимости несобственного интеграла первого рода.
11 Несобственный интеграл от
неограниченной функции (второго рода). Признаки сходимости несобственного
интеграла второго рода.
12 Площадь плоской фигуры, если её
границы заданы в прямоугольной декартовой системе координат, в полярной системе
координат
13 Комплексные числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы числа. Действия с комплексными числами: сложение, умножение. Деление, возведение в степень (формула Муавра), извлечение из-под корня.
1.2 Модуль 2. Дифференциальное исчисление
функции нескольких переменных
1 Предел функции нескольких
переменных, непрерывность,
2 Частные и полные приращения функции нескольких переменных. Частные производные первого порядка.
3 Частные производные
высокого порядка. Смешанные производные.
4 Дифференцируемость функции
нескольких переменных.
5 Дифференциал функции
нескольких переменных. Геометрический смысл функции дифференциала и частных
производных. Касательная плоскость и нормаль.
6 Дифференцирование сложной
функции нескольких переменных.
7 Дифференцирование неявной
функции нескольких переменных.
8 Локальный безусловный
экстремум. Необходимое и достаточное условия.
9 Условный
экстремум. Метод множителей Лагранжа. Функция Лагранжа.
1.3 Модуль 3. «Интегральное исчисление функции нескольких переменных»
1 Понятия и свойства кратных
интегралов.
2 Понятие повторного
интеграла. Вычисление двойного интеграла по прямоугольной области.
3 Вычисление двойного
интеграла по криволинейной области. Вычисление
тройного интеграла.
4 Замена переменных в
кратных интегралах. Двойной интеграл в полярной системе координат.
5 Тройной интеграл в
цилиндрической и сферической системах координат.
2 Тестовые задания
1 Укажите, какой из
повторных интегралов соответствует двойному интегралу
Рисунок 1
Варианты ответов:
1
|
2
|
3 |
4 |
2 Чему равна площадь фигуры, изображенной на рисунке 1?
3 Чему равна частная
производная первого порядка по переменной
4 Чему равна частная
производная первого порядка по переменной у
5
Найдите неопределенный интеграл
6 Найдите неопределенный интеграл
7 Вычислите определенный
интеграл
8 Вычислите площадь
фигуры, ограниченной линиями:
9 Укажите замену, которую
надо проделать в интеграле
10 В интеграле
11 Какой
из указанных методов применяется к нахождению определенного интеграла
Варианты ответов:
11.1
Универсальная подстановка
11.2 Интегрирование по частям.
11.3 Разложение подынтегральной функции на
простейшие дроби.
11.4 Выделение полного квадрата в квадратном
трехчлене, содержащемся в подынтегральной функции.
11.5 Требуемого метода среди
представленных вариантов нет.
12 Укажите формулы, которые определяют переход из
декартовой системы координат в полярную
систему координат.
13 Укажите формулы, которые
определяют переход из полярной системы в декартовую систему координат.
14 Найдите уравнение кривой
15 Представьте в тригонометрической форме комплексное число
16 Перейти в полярную систему координат в двойном интеграле
17 Найти
18 Найдите
19 Найдите
20 Найдите частную
производную второго порядка
21 Найдите объем тела вида:
22 Вычислите двойной
интеграл
23 Найдите
производную функции
24 Найдите полный
дифференциал
25 Укажите замену, которую
надо проделать в интеграле
26 Запишите выражение для
области
27 Чему равен якобиан
преобразования на плоскости:
28 Какая из указанных формул
соответствует формуле замены переменных в двойном интеграле?
Варианты ответов:
28.1
|
28.2
|
28.3
|
28.4
|
29 Найдите площадь области Д, изображенной на
рисунке 10.
30 Найдите
производную функции
31 Найдите количество точек
экстремума функции
32 Найдите координаты точки
экстремума функции
33 Найдите неопределенный
интеграл
34 Найдите неопределенный
интеграл
35 Вычислите определенный
интеграл
36 Вычислите площадь
фигуры, ограниченной линиями:
37 Укажите замену, которую
надо проделать в интеграле
38 В интеграле
39 Заданную
дробь
40 Перейти
в полярную систему координат в двойном интеграле
41 Найдите градиент функции
42 Найдите
43 Найдите
44 Найдите
45 Найдите частную производную второго порядка
46 Найдите частную производную
второго порядка
47 Найдите объем тела вида:
48 Вычислите двойной
интеграл
49
Найдите полный дифференциал
50 Укажите замену, которую
надо проделать в интеграле
51 Запишите выражение для
области
52 Чему равен якобиан
преобразования на плоскости:
53
Укажите, какой из повторных интегралов соответствует двойному интегралу
Варианты ответов:
53.1 |
53.2 |
53.3 |
53.4 |
54 Найдите площадь области
Д, изображённой на рисунке 2.
Рисунок 2
55Найдите количество точек
экстремума функции
56 Найдите неопределенный
интеграл
57 Найдите
неопределенный интеграл
58 Вычислите определенный
интеграл
59 Укажите замену, которую
надо проделать в интеграле
60 Представьте в
показательной форме комплексное число
61 Перейти в полярную
систему координат в двойном интеграле
62 Найдите градиент функции
63 Найдите
64
Найдите
65 Найдите
66 Найдите
67 Найдите частную
производную второго порядка (смешанную производную)
68 Вычислите двойной
интеграл
69 Найдите
производную
70 Найдите полный
дифференциал
71 Укажите замену, которую
надо проделать в интеграле
72 Запишите выражение для
области
73 Чему равен якобиан
преобразования на плоскости:
74 Какая из указанных формул
соответствует формуле перехода к полярной системе координат? Чему равен якобиан
в этом случае?
Варианты ответов:
74.1
74.2
74.3
74.4
75 Чему равна частная
производная первого порядка по переменной
76 Чему равна частная
производная первого порядка по переменной у
77
Найдите производную функции
78 Найдите количество точек
экстремума функции
79 Найдите координаты точки
экстремума функции
80 Найдите неопределенный
интеграл
81
Найдите неопределенный интеграл
82 Вычислите определенный интеграл
83 Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:*
84 Укажите замену, которую
надо проделать в интеграле
85 В интеграле
86 Какой из указанных методов
применяется к нахождению определенного интеграла
Варианты ответов:
86.1 Универсальная
подстановка
86.2 Интегрирование по
частям.
86.3 Разложение
подынтегральной функции на простейшие дроби.
86.4 Выделение полного
квадрата в квадратном трехчлене, содержащемся в подынтегральной функции.
86.5Требуемого метода среди
представленных вариантов нет.
87 Найдите уравнение кривой .
88 Представьте в
тригонометрической форме комплексное число
89 Заданную
дробь
90 Перейти
в полярную систему координат в двойном интеграле
91 Найдите градиент функции
92 Найдите
93 Найдите
94 Найдите частную
производную второго порядка
95 Найдите
объем тела вида:
96 Вычислите двойной
интеграл
97 Найдите
производную функции
98 Найдите полный
дифференциал
99 Укажите замену, которую
надо проделать в интеграле
100 Запишите выражение для
области
101 Чему
равен якобиан преобразования на плоскости:
102 Какая из указанных формул
соответствует формуле замены переменных в двойном интеграле в полярной системе
координат?
Варианты ответов:
102.1
102.2
102.3
102.4
103 Указать, какой из
повторных интегралов соответствует двойному интегралу
Варианты ответов:
103.1 |
103.2 |
103.3 |
103.4 |
Рисунок 3
104 Найдите площадь
области Д изображенной на рисунке 3.
105 Чему равна частная
производная первого порядка по переменной
106 Чему равна частная производная первого порядка
по переменной у
107 Найдите количество точек экстремума функции
108 Найдите неопределенный интеграл
109 Найдите неопределенный
интеграл
110 Вычислите определенный интеграл
111 Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
112 В интеграле
113 Представьте в тригонометрической форме
комплексное число
114 Заданную дробь
115 Перейти в полярную систему
координат в двойном интеграле
116 Найдите градиент функции
117 Найдите
118 Найдите
119 Найдите
120 Найдите
частную производную второго порядка
121
Найдите полный дифференциал
122 Укажите замену, которую
надо проделать в интеграле
123 Запишите выражение для
области
124 Чему равен якобиан преобразования на плоскости:
125 Какая из указанных формул
соответствует формуле перехода к цилиндрической системе координат? Чему равен якобиан преобразования в этом
случае?
Варианты ответов:
125.1
125.2
125.3
125.4
126 Найдите координаты точки
экстремума функции
127 Найдите неопределенный
интеграл
128 Найдите неопределенный
интеграл
129 Вычислите определенный
интеграл
130 Вычислите площадь
фигуры, ограниченной линиями:
131 Укажите формулы, которые
определяют переход из декартовой системы координат в полярную систему координат.
132 Укажите формулы, которые
определяют переход из полярной системы в декартовую систему координат.
133 Укажите уравнение кривой
r=5 в декартовой системе координат.
134 Укажите уравнение кривой
r=3 в декартовой системе координат.
135 Представьте в
тригонометрической форме комплексное число
136 Представьте в
показательной форме комплексное число
137 Заданную дробь
138 Перейти
в полярную систему координат в двойном интеграле
139 Найдите градиент функции
140 Найдите
141 Найдите частную производную второго порядка
(смешанную производную)
142 Найдите производную функции
143 Запишите выражение для области
144 Чему равен якобиан преобразования на плоскости:
145 Какая формула соответствует якобиану
преобразования при переходе к сферической системе координат?
Варианты ответов:
145.1
145.2
145.3
145.4
146 Найдите производную функции
147 Чему равна частная
производная первого порядка по переменной
148 Найдите производную
функции
149 Найдите координаты точки
экстремума функции
150 Найдите неопределенный
интеграл
151 Найдите неопределенный
интеграл
152 Вычислите определенный интеграл
153 Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
154 Представьте
в показательной форме комплексное число
155
Заданную дробь
156 Перейти
в полярную систему координат в двойном интеграле
157
Найдите
158 Найдите частную
производную второго порядка
159 Найдите частную
производную второго порядка (смешанную производную)
160 Найдите производную
функции
161 Найдите полный дифференциал
162 Укажите замену, которую
надо проделать в интеграле
163
Запишите выражение для области
164 Чему равен якобиан
преобразования на плоскости:
165 Какая
из указанных формул соответствует формуле перехода к сферической системе
координат?
Варианты ответов:
165.1
165.2
165.3
165.4
166 Чему равна частная
производная первого порядка по переменной у
167 Найдите координаты точки
экстремума функции
168 Найдите неопределенный
интеграл
169 Найдите неопределенный
интеграл
170 Вычислите определенный
интеграл
171 Вычислите площадь
фигуры, ограниченной линиями:
172 Заданную дробь
173 Перейти
в полярную систему координат в двойном интеграле
174 Найдите
175 Найдите
176 Найдите
частную производную второго порядка
177 Найдите частную
производную второго порядка
178 Найдите частную производную
второго порядка (смешанную производную)
179 Найдите объем тела вида:
180 Вычислите двойной интеграл
181 Найдите
производную функции
182 Найдите полный
дифференциал
183 Укажите замену, которую
надо проделать в интеграле
184 Запишите выражение для
области
185 Чему
равен якобиан преобразования на плоскости:
186
Указать какой из повторных интегралов соответствует двойному интегралу
Варианты ответов:
186.1 |
186.2 |
186.3 |
186.4 |
Рисунок 4
187 Найдите площадь области D, изображенной на рисунке 4.
188 Чему равна частная
производная первого порядка по переменной
189 Найдите производную
функции
190 Найдите количество точек
экстремума функции
191 Найдите неопределенный
интеграл
192 Найдите неопределенный
интеграл
193 Вычислите площадь
фигуры, ограниченной линиями:
194 Заданную дробь
195 Перейти в полярную
систему координат в двойном интеграле
196 Найдите
197 Найдите частную производную
второго порядка
198 Найдите производную функции
199 Найдите полный дифференциал
200 Укажите замену, которую надо проделать в
интеграле
201Запишите выражение для области
202 Чему равен якобиан
преобразования на плоскости:
203 Указать, какой из повторных интегралов
соответствует двойному интегралу
Варианты
ответов:
|
203.2
|
203.3
|
203.4
|
Рисунок 5
Рисунок 6
204 Найдите площадь
области D, изображенной на рисунке 5.
205Указать, какой из повторных интегралов
соответствует двойному интегралу
Варианты ответов:
205.1
|
205.2
|
205.3
|
205.4
|
206 Найдите площадь
области D, изображенной на рисунке в задании 6.
207 Вычислите определенный
интеграл
208 Вычислите площадь
фигуры, ограниченной линиями:
209 Укажите
замену, которую надо проделать в интеграле
210 В
интеграле
211 Представьте в
показательной форме комплексное число
212 Найдите объем тела вида:
213 Найдите производную
функции
214 Найдите полный
дифференциал
215 Укажите замену, которую
надо проделать в интеграле
216 Запишите выражение для
области
217 Чему
равен якобиан преобразования на плоскости:
218 Указать какой из повторных интегралов
соответствует двойному интегралу
Варианты ответов
|
218.2
|
218.3
|
218.4
|
Рисунок
7
219 Найти площадь области D,
изображенной на рисунке 7.
220 Чему равна частная
производная первого порядка по переменной у
221 Найдите неопределенный
интеграл
222 Вычислите площадь
фигуры, ограниченной линиями:
222 Заданную дробь
223 Найдите
224 Найдите частную производную второго порядка
(смешанную производную)
225 Найдите производную
функции
226 Найдите полный
дифференциал
227 Чему равен якобиан
преобразования на плоскости:
228 Указать, какой из повторных
интегралов соответствует двойному интегралу
Варианты ответов:
|
228.2
|
228.3
|
228.4
|
Рисунок 8
229 Чему равна площадь фигуры, изображенной на
рисунке 8?
230 Указать, какой из повторных интегралов
соответствует двойному интегралу
Варианты ответов:
230.1
|
230.2
|
|
230.4
|
Рисунок 9
|
231 Вычислите площадь фигуры, представленной на
рисунке 9.
232 Найдите неопределенный интеграл
233 Вычислите определенный интеграл
234 Заданную дробь
235 Найдите
236 Найдите производную функции
237 Указать, какой из повторных интегралов
соответствует двойному интегралу
Варианты ответов:
237..
|
237.2
|
237.3
|
237.4
|
238 Представьте в тригонометрической форме
комплексное число
Рисунок 10
239 Заданную дробь
240 Перейти в полярную систему координат в двойном
интеграле
241 Найдите градиент функции
242 Найдите частную производную второго порядка
243 Укажите замену, которую надо проделать в
интеграле
3. Образец экзаменационного теста
Задание
|
Варианты
ответов |
||||||||
1
Найдите неопределенный интеграл |
1 |
2 |
|||||||
3 |
4 |
||||||||
2
Вычислите определенный интеграл |
1 8 |
2. |
|||||||
3. |
4. |
||||||||
3
Укажите замену, которую надо проде-лать в интеграле |
1 |
2 |
|||||||
3
2x-4=t |
4 |
||||||||
4
Найдите неопределенный интеграл |
1 |
2 |
|||||||
3 |
4 |
||||||||
5
Представьте в показательной форме комплексное число |
1 |
2
|
|||||||
3 |
4
|
||||||||
6 В интеграле |
1 |
2 |
|||||||
3 |
4 |
||||||||
7
Представьте в тригонометрической форме комплексное число |
1 |
2
|
|||||||
3
|
4
|
||||||||
8
Заданную дробь |
1
|
2 |
|||||||
3 |
4
|
||||||||
|
|||||||||
Задание |
Варианты
ответов |
||||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
||||||
9
Вычислите площадь фигуры,
ограни-ченной линиями: |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||
1 |
2 |
|
6 |
||||||
10 Вычислите определенный интеграл |
2 |
3 |
1 |
8 |
|||||
11
Найдите неопределенный интеграл |
|
|
|
|
|||||
12 Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: |
|
|
|
8 |
|||||
13
Укажите замену, которую надо проде-лать в интеграле |
|
|
|
|
|||||
14 Перейти в полярную систему
координат в двойном интеграле
Варианты
ответов:
1
|
2
|
3 |
4
|
15 Какая из указанных формул соответствует формуле
перехода к цилиндри-ческой системе координат? Чему равен якобиан преобразования в этом случае? |
Варианты ответов:
1
|
2
|
3
|
4
|
Задания |
Варианты
ответов |
|||
16 Найдите координаты
точки экстремума функции, если она
существует, |
1 (1, -1) |
2 (1, 1) |
||
3 (-1,0) |
4 (-1, 1) |
|||
17 Найдите неопределенный
интеграл |
1 |
2 |
||
3 |
4 |
|||
18 Найдите частную производную
второго порядка |
1 4y+1 |
2
4 |
||
3
2x+4 |
4
2x+4y+1 |
|||
19 Представьте в
показательной фор-ме комплексное число |
1 |
2 |
||
3 |
4 |
|||
20 Найдите |
1 |
2 |
||
3
|
4
3 |
|||
21 Найдите частную
производную второго порядка (смешанную производную) |
1
6x+8y+3x |
2
6+8y, |
||
3
3 |
4
0 |
|||
22 Найдите объем тела вида: |
1 4 |
2 8 |
||
3 1 |
4 |
|||
23 Заданную
дробь
Варианты ответов:
1 |
2
|
3
|
4
|
24 Перейдите в полярную систему координат в двойном
интеграле
Варианты ответов:
1 |
2 |
3 |
4 |
25 Перейдите
к полярной системе координат для области вида:
Варианты ответов:
1 |
2 |
3 |
4 |
Задания |
Варианты
ответов |
|
26
Вычислите площадь фигуры,
ограниченной линиями: у=0, |
1 2 |
2 0 |
3 1 |
4 е |
|
27
Вычислите двойной интеграл |
1 |
2 |
3 64 |
4 |
|
28
Укажите замену, которую надо проделать в интеграле |
1. |
2. |
3. |
|
|
29
Найдите производную функции |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
30
Найдите полный дифференциал |
1 |
|
2 |
||
3 |
4 0 |
Список литературы
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное
исчисление для втузов. –М.: Наука, 1964-1975.
2. Высшая математика для экономистов: Учеб. пособие
для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера– М.: Банки и биржа,
ЮНИТИ, 1997. – 439 с.
3. Шипачев В.С. Высшая математика. – М.: В Ш, 1985.
–369 с. или любое другое более позднее издание: основы высшей математики,
математический анализ и др.
4. Сборник задач по математике для втузов /Под ред.
А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича. – М.: Наука, 1986 . – 464 с. Ч. 1.
5. Сборник задач по математике для втузов /Под ред.
А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича. – М.: Наука, 1986 . – 464 с.- Ч. 2.
6. Гусак А.А. Справочное пособие к решению задач:
Математический анализ и дифференциальные уравнения. – Минск: ТетраСистемс, 1998. – 287 с.
Содержание
1 Программа-минимум для тестирования студентов первого курса на оценку
– удовлетворительно…………………………………….. ………………………….3
2
Тестовые
вопросы………………………………………………………………4
3
Образец
экзаменационного теста……………………………………………..26
Список литературы………………………………………………………………..30
Сводный план 2004 г., поз.128
Сауле Ермурзаевна Базарбаева
Светлана Абановна Жуматаева
МАТЕМАТИКА 2
Тестовые вопросы
(для студентов заочной формы обучения всех специальностей)
Редактор Ж. М. Сыздыкова
Специалист по стандартизации Н. М. Голева
Подписано
в печать_____________ Формат
60х84 1/16
Тираж
500 экз. Бумага
типографская № 1
Объем
2,0 печ. л. Заказ______Цена
_________
Копировально-множительное бюро
Алматинского института
энергетики и связи
480013 Алматы, Байтурсынова
126