АЛМАТЫ ЭНЕРГЕТИКА ЖӘНЕ БАЙЛАНЫС ИНСТИТУТЫ
Жоғары
математика кафедрасы
МАТЕМАТИКА 2
Өрістер теориясының
элементтері
Әдістемелік нұсқаулар және есептеу-графикалық жұмыстарға арналған тапсырмалар
(050718 -электр энергетика мамандығының күндізгі
бөлімде оқитын студенттері үшін)
Алматы 2005
ҚҰРАСТЫРУШЫЛАР: Э.С.Есботаева, Р.Е.Ким. Математика 2. Өрістер теориясының
элементтері . Есептеу-графикалық
жұмыстарға арналған тапсырмалар мен әдістемелік
нұсқаулар (050718 –Электр энергетика мамандығының күндізгі бөлімде
оқитын студенттері үшін). – Алматы: АЭжБИ, 2005. – 31 б.
Әдістемелік
нұсқаулар және есептеу-графикалық
жұмыстарының тапсырмалары АЭжБИ: 050718 -электр энергетика
мамандығының күндізгі бөлімде оқитын
студенттеріне арналған математика курсының екінші семестр
бағдарламасына сәйкес өрістер теориясының элементтері
бөлімін қамтиды. Бағдарламаның негізгі
сұрақтары келтірілген. Есептеу-графикалық тапсырмалар екі
деңгейге бөлінген. Бірінші деңгей үшін шешімі берілген.
Бұл
әдістемелік нұсқауларды 050717- жылу энергетика,
050719-радиотехника, электр энергетика және телекоммуникация
мамандықтарының студенттері екінші оқу семестрінде
«Математики 3» үшін ЕГЖ № 1 ретінде қолдануына болады.
Пікір
жазушы:физ.-мат.ғыл.канд.,АЭжБИ профессоры С.Е.Базарбаева
Алматы энергетика және байланыс институтының 2005ж. жоспары бойынша басылды.
© Алматы
энергетика және байланыс институты, 2005 ж.
Типтік тапсырма.
Өрістер теориясының элементтері
1 Теориялық
сұрақтар
1.1 Скаляр өріс
1.1.1 Беттік деңгей.
1.1.2 Бағыт бойынша туынды.
1.1.3 Скаляр өрістің градиенті.
1.2 Векторлық
өріс
1.2.1 Векторлық сызықтар.
1.2.2 Векторлық өрістің бет бойынша ағыны.
1.2.3 Векторлық өріс дивергенциясы. Остроградский-Гаусс формуласы.
1.2.4 Векторлық өріс циркуляциясы.
1.2.5 Векторлық өріс роторы (құйыны). Стокс формуласы.
1.2.6 Соленоидалды және потенциалды өрістер. Олардың қасиеттері.
2 Бірінші деңгейдің
тапсырмалары
1 - есеп.
2.1- кесте
Нұсқа |
|
|
1 |
|
(1,2,0) |
2 |
|
(0,-1,3) |
3 |
|
(1,2,3) |
4 |
|
(1,2,1) |
5 |
|
(3,0, |
6 |
|
(1,2,0) |
7 |
|
(1,0,-1) |
8 |
|
(5,7,0) |
9 |
|
(0,3,1) |
10 |
|
( |
11 |
|
(1,1,1) |
12 |
|
(0,1,2) |
13 |
|
(3,1,0) |
14 |
|
(0,2,1) |
15 |
|
(1,1,1) |
16 |
|
(4,2,2) |
17 |
|
(3,0,0) |
18 |
|
(-1,1,2) |
19 |
|
(2,1,0) |
20 |
|
(-1,1,3) |
21 |
|
(1,1,5) |
22 |
|
(0,2,1) |
23 |
|
(1,1,1) |
24 |
|
(2,2,0) |
25 |
|
(1,0,3) |
26 |
|
(1,0,4) |
27 |
|
(1,2,2) |
28 |
|
(2,8,0) |
29 |
|
(1,1,1) |
30 |
|
(2,1,4) |
2 - есеп.
2.2 - кесте
Нұсқа |
|
|
|
1 |
|
(1,-1,2) |
(3,4,-1) |
2 |
|
(2,1,-1) |
(4,-3,0) |
3 |
|
(-1,2,1) |
(3,1,-1) |
4 |
|
(0,0,0) |
(3,-4,2) |
5 |
|
(-2,3,-1) |
(2,1,-3) |
6 |
|
(1,1,1) |
(3,2,1) |
7 |
|
(1,1,1) |
(2,-1,3) |
8 |
|
(3,0,-2) |
(4,1,3) |
9 |
|
(1,2,2) |
(3,-1,4) |
10 |
|
(1,1,1) |
(9,-3,9) |
11 |
|
(1,2,2) |
(-3,2,-1) |
12 |
|
(3,1,-1) |
(-2,1,4) |
13 |
|
(1,-1,2) |
(5,-1,4) |
14 |
|
(1,1,1) |
(3,-5,1) |
15 |
|
(1,2,1) |
(-3,-2,6) |
16 |
|
(1,3,0) |
(-4,1,3) |
17 |
|
(-4,-5,0) |
(2,3,4) |
18 |
|
(2,2,-4) |
(1,0,-3) |
19 |
|
(-2,-3,1) |
(5,-2,0) |
20 |
|
(-5,0,2) |
(2,4,-3) |
21 |
|
(3,1,4) |
(1,-1,-1) |
22 |
|
(1,2,-1) |
(0,-1,3) |
23 |
|
(1,5,0) |
(3,7,-2) |
24 |
|
(0,-2,-1) |
(12,-5,0) |
25 |
|
(-1,2,-2) |
(2,0,1) |
26 |
|
(1,1,1) |
(5,-4,8) |
27 |
|
(-1,1,1) |
(2,3,4) |
28 |
|
(1,3,-5) |
(4,2,-2) |
29 |
|
(2,2,2) |
(-3,4,1) |
30 |
|
(1,0,3) |
(2,-4,5) |
3 – есеп.
2.3 - кесте
Нұсқа |
|
|
1 |
|
(0,1,-2) |
2 |
|
(2,0,2) |
3 |
|
(1,-1,0) |
4 |
|
(3,0,1) |
5 |
|
(-1,0,3) |
6 |
|
(2,1,0) |
7 |
|
(0,1,1) |
8 |
|
(0,-2,1) |
9 |
|
(0,1,2) |
10 |
|
(-1,0,1) |
11 |
|
(1,2,0) |
12 |
|
(-3,1,0) |
13 |
|
(1,0,4) |
14 |
|
(0,-1,2) |
15 |
|
(-1,0,1) |
16 |
|
(2,1,0) |
17 |
|
(0,1,1) |
18 |
|
(-1,1,0) |
19 |
|
(2,1,0) |
20 |
|
(-1,0,1) |
21 |
|
(0,2,-1) |
22 |
|
(1,2,0) |
23 |
|
(1,1,1) |
24 |
|
(-2,0,1) |
25 |
|
(1,-1,0) |
26 |
|
(0,-2,1) |
27 |
|
(1,0,2) |
28 |
|
(1,1,1) |
29 |
|
(0,1,2) |
30 |
|
(1,0,1) |
4-есеп.
2.4 - кесте
Нұсқа |
|
|
1 |
|
(0,1,-2) |
2 |
|
(2,0,3) |
3 |
|
(1,-2,0) |
4 |
|
(3,0,1) |
5 |
|
(-1,0,3) |
6 |
|
(2,1,-1) |
7 |
|
(-2,1,1) |
8 |
|
(0,1,1) |
9 |
|
(0,-2,1) |
10 |
|
(0,1,2) |
11 |
|
(-1,2,1) |
12 |
|
(1,-1,1) |
13 |
|
(2,1,0) |
14 |
|
(4,0,1) |
15 |
|
(-3,0,2) |
16 |
|
(1,0,4) |
17 |
|
(0,-1,4) |
18 |
|
(2,2,2) |
19 |
|
(4,1,-3) |
20 |
|
(-4,1,0) |
21 |
|
(3,0,1) |
22 |
|
(1,3,0) |
23 |
|
(1,-2,1) |
24 |
|
(0,0,1) |
25 |
|
(1,1,-2) |
26 |
|
(2,2,1) |
27 |
|
(-2,2,1) |
28 |
|
(-1,2,1) |
29 |
|
(0,2,-2) |
30 |
|
(1,-1,0) |
5-есеп.
2.5 - кесте
Нұсқа |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
6 |
|
7 |
|
8 |
|
9 |
|
10 |
|
11 |
|
12 |
|
13 |
|
14 |
|
15 |
|
16 |
|
17 |
|
18 |
|
19 |
|
20 |
|
21 |
|
22 |
|
23 |
|
24 |
|
25 |
|
26 |
|
27 |
|
28 |
|
29 |
|
30 |
|
6-есеп. Стокс формуласын пайдаланып,
2.6 - кесте
Нұсқа |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
6 |
|
|
7 |
|
|
8 |
|
|
9 |
|
|
10 |
|
|
11 |
|
|
12 |
|
|
13 |
|
|
14 |
|
|
15 |
|
|
16 |
|
|
17 |
|
|
18 |
|
|
19 |
|
|
20 |
|
|
21 |
|
|
22 |
|
|
23 |
|
|
24 |
|
|
25 |
|
|
26 |
|
|
27 |
|
|
28 |
|
|
29 |
|
|
30 |
|
|
7-есеп. Параметрлік түрде берілген L:
2.7 - кесте
Нұсқа |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
4 |
4 |
|
3 |
|
|
5 |
|
|
|
2 |
6 |
|
|
1 |
|
7 |
|
|
2 |
|
8 |
|
5 |
|
|
9 |
|
|
1 |
|
10 |
|
2 |
|
|
11 |
|
|
5 |
|
12 |
|
2 |
|
|
13 |
|
|
|
2 |
14 |
|
4 |
|
|
15 |
|
|
|
2 |
16 |
|
|
|
|
17 |
|
|
|
7 |
18 |
|
|
1 |
|
19 |
|
|
3 |
|
20 |
|
5 |
|
|
21 |
|
|
|
2 |
22 |
|
|
|
2 |
23 |
|
|
2 |
|
24 |
|
2 |
|
|
25 |
|
|
|
2 |
26 |
|
2 |
|
|
27 |
|
|
3 |
|
28 |
|
4 |
|
|
29 |
|
|
|
2 |
30 |
|
|
5 |
|
8-есеп.
2.8 - кесте
Нұсқа |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
6 |
|
|
7 |
|
|
8 |
|
|
9 |
|
|
10 |
|
|
11 |
|
|
12 |
|
|
13 |
|
|
14 |
|
|
15 |
|
|
16 |
|
|
17 |
|
|
18 |
|
|
19 |
|
|
20 |
|
|
21 |
|
|
22 |
|
|
23 |
|
|
24 |
|
|
25 |
|
|
26 |
|
|
27 |
|
|
28 |
|
|
29 |
|
|
30 |
|
|
9-есеп. Остроградский- Гаусс формуласын
пайдаланып,
2.9 - кесте
Нұсқа |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
6 |
|
|
7 |
|
|
8 |
|
|
9 |
|
|
10 |
|
|
11 |
|
|
12 |
|
|
13 |
|
|
14 |
|
|
15 |
|
|
16 |
|
|
17 |
|
|
18 |
|
|
19 |
|
|
20 |
|
|
21 |
|
|
22 |
|
|
23 |
|
|
24 |
|
|
25 |
|
|
26 |
|
|
27 |
|
|
28 |
|
|
29 |
|
|
30 |
|
|
10 - есеп.
потенциалды табу керек .
2.10 - кесте
Нұсқа |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
6 |
|
7 |
|
8 |
|
9 |
|
10 |
|
11 |
|
12 |
|
13 |
|
14 |
|
15 |
|
16 |
|
17 |
|
18 |
|
19 |
|
20 |
|
21 |
|
22 |
|
23 |
|
24 |
|
25 |
|
26 |
|
27 |
|
28 |
|
29 |
|
30 |
|
3 Екінші деңгейдің тапсырмалары
1 - есеп.
3.1 - кесте
Нұсқа |
|
|
|
1 |
|
|
(1,1,1) |
2 |
|
|
(2,4,4) |
3 |
|
|
(1,1,1) |
4 |
|
|
|
5 |
|
|
(2,2,4) |
6 |
|
|
(2,1,1) |
7 |
|
|
(1,1,1) |
8 |
|
|
(2,2,-1) |
9 |
|
|
(1,-2,4) |
10 |
|
|
(3,4,1) |
11 |
|
|
(1,1,-2) |
12 |
|
|
(1,1,0) |
13 |
|
|
(0,-3,4) |
14 |
|
|
(3,0,-4) |
15 |
|
|
(1,1,1) |
16 |
|
|
(2,2,4) |
17 |
|
|
(3,4,1) |
18 |
|
|
(3,2,1) |
19 |
|
|
(1,1,-2) |
20 |
|
|
(1,1,0) |
21 |
|
|
( |
22 |
|
|
(1,1,2) |
23 |
|
|
(3,4,1) |
24 |
|
|
(2,2,-1) |
25 |
|
|
(2,1,1) |
26 |
|
|
(1,1,1) |
27 |
|
|
(1,1,0) |
28 |
|
|
(2,2,4) |
29 |
|
|
(2,1,1) |
30 |
|
|
(1,1,0) |
2 - есеп. Остроградский формуласын пайдаланып,
3.2 - кесте
Нұсқа |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
6 |
|
|
7 |
|
|
8 |
|
|
9 |
|
|
10 |
|
|
11 |
|
|
12 |
|
|
13 |
|
|
14 |
|
|
15 |
|
|
16 |
|
|
17 |
|
|
18 |
|
|
19 |
|
|
20 |
|
|
21 |
|
|
22 |
|
|
23 |
|
|
24 |
|
|
25 |
|
|
26 |
|
|
27 |
|
|
28 |
|
|
29 |
|
|
30 |
|
|
3-есеп. L сызығының бойындағы M нүктесінен N нүктесіне
орын ауысқандағы
3.3 - кесте
Нұсқа |
|
L |
M |
N |
1 |
|
M N кесіндісі |
(-4,0) |
(0,2) |
2 |
|
M N кесіндісі |
(-4,0) |
(0,2) |
3 |
|
|
(-4,0) |
(0,2) |
4 |
|
|
(2,0) |
(-2,0) |
5 |
|
|
(2,0) |
(0,2) |
6 |
|
|
(-1,1) |
(1,1) |
7 |
|
M N кесіндісі |
(-1,0) |
(0,1) |
8 |
|
|
(3,0) |
(-3,0) |
9 |
|
|
(1,0) |
(0,3) |
10 |
|
|
(1,0) |
(-1,0) |
11 |
|
|
(2,0) |
(0,0) |
12 |
|
|
|
|
13 |
|
|
(1,0) |
(0,1) |
14 |
|
|
|
|
15 |
|
|
(R,0) |
(-R,0) |
16 |
|
|
(1,0) |
(-1,0) |
17 |
|
|
(2,0) |
(0,2) |
18 |
|
|
(4,0) |
(0,4) |
19 |
|
|
(3,0) |
(0,3) |
20 |
|
M N кесіндісі |
(1,0) |
(0,1) |
21 |
|
M N кесіндісі |
(2,0) |
(0,2) |
22 |
|
|
(3,0) |
(0,3) |
23 |
|
|
(3,0) |
(-3,0) |
24 |
|
|
|
(0,0) |
25 |
|
|
(0,0) |
(1,2) |
26 |
|
M N кесіндісі |
(1,0) |
(0,3) |
27 |
|
|
(0,0) |
(1,2) |
28 |
|
|
(1,0) |
(0,3) |
29 |
|
|
(0,0) |
(2,8) |
30 |
|
|
(3,0) |
(-3,0) |
4 - есеп. Г контуры бойынша
3.4 - кесте
Нұсқа |
|
Г |
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
6 |
|
|
7 |
|
|
8 |
|
|
9 |
|
|
10 |
|
|
11 |
|
|
12 |
|
|
13 |
|
|
14 |
|
|
15 |
|
|
16 |
|
|
17 |
|
|
18 |
|
|
19 |
|
|
20 |
|
|
21 |
|
|
22 |
|
|
23 |
|
|
24 |
|
|
25 |
|
|
26 |
|
|
27 |
|
|
28 |
|
|
29 |
|
|
30 |
|
|
4 Кейбір типтік тапсырмаларды
шығаруға арналған нұсқаулар
4.1
Шешімі:
Беттік деңгейдің
анықтамасы бойынша
Ал
Мұндай жағдайда:
4.2
Шешімі:
мұндағы
Дербес туындыларды және
бағыттаушы косинустарды табайық
Олай болса,
4.3
Шешімі :
Анықтама бойынша
Дербес туындыларды табайық
Олай болса,
4.4
Шешімі:
4.5
Шешімі :
Егер
Егер
Егер
яғни
4.6 Стокс формуласын
пайдаланып,
Шешімі:
Стокс формула бойынша,
мұндағы С – 3x+2y+6z=6 жазықтығында жатқан және төбелері Ox, Oy, Oz осьтерінде орналасқан MNP үшбұрышының контуры, яғни үшбұрыштың төбелерінің координаттары M (2,0,0), N (0,3,0), P (0,0,1) болады.
S
– ΔMNP Dyz – ΔPON Dzx – ΔMOP Dxy – ΔMON
Демек,
4.7
L:
Шешімі :
Олай болса,
4.8 x+4y+z=4 теңдеуімен берілген (р) жазықтығының бірінші октантадағы беті арқылы
өтетін
Шешімі:
(р)
жазықтығының
теңдеуін «кесінді» арқылы жазайық:
N (0,1,0), P
(0,0,4) болатын үшбұрыш жасайды.
S
– ΔMNP Dz – ΔPON Dzx – ΔMOP Dxy – ΔMON
x+4y+z–4=0
жазықтығының бізге қажетті бағыттағы
нормалінің бірлік векторы:
Сонда:
Берілген
4.9 Остроградский-Гаусс формуласын пайдаланып,
(p): x–2y+2z=4 жазықтығы және
координат жазықтарынан пайда болған пирамиданың сыртқы
беті арқылы өтетін
Шешімі:
(р)
жазықтығының теңдеуін «кесінді» арқылы жазсақ
MNPO пирамидасының
беті арқылы өтетін ағынды Остроградский-Гаусс формуласымен
есептейік:
Дербес туындыларды табайық:
Олай болса,
4.10
Шешімі:
Шынында да,
Сонда
Әдебиеттер
тізімі
1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2 ч.-М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2003.-ч.2-416 с.
2. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: В 3 ч./А.П.Рябушко, В.В.Бархатов, В.В.Державец, И.Е.Юруть/Под ред. А.П.Рябушко.-Минск: Вышэйшая школа, 1991.-ч.3.-288 с.
3. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике: Типовые расчеты.-М.: Высш.шк., 1983.-175 с.
Мазмұны
1 Теориялық сұрақтар…...………………....………..….…..………………………….3
2 Бірінші деңгейдің тапсырмалары.………..……..……...……………………………3
3 Екінші деңгейдің тапсырмалары .……..……..……….……………………………16
4 Кейбір типтік тапсырмаларды шығаруға арналған нұсқаулар…………………..23
Әдебиеттер тізімі …………..……………………..……………………..…………....32
2005ж. негізгі жоспары, реті 88
Эльмира Султанмуратовна Есботаева
Регина Евгеньевна Ким
МАТЕМАТИКА 2
Өрістер теориясының
элементтері
Есептеу-графикалық
жұмыстарға арналған тапсырмалар мен әдістемелік
нұсқаулар
(050718-электр
энергетика мамандығының күндізгі бөлімде оқитын
студенттері үшін)
Редакторы Ж.А.Байбураева
Басуға қол қойылды ___.___.___. Пішімі 60х84 1/16
Тиражы 150 дана № 1 типография қағазы
Көлемі оқу-басп.т. Тапсырыс _____. Бағасы 66 т.
Алматы энергетика және байланыс
институтының
көшірмелі-көбейткіш бюросы
050013 Алматы, Байтұрсынұлы көшесі, 126