АЛМАТЫ ЭНЕРГЕТИКА ЖӘНЕ БАЙЛАНЫС ИНСТИТУТЫ 

Жоғары математика кафедрасы

 

Математика 1

 

Есептеу-графикалық жұмыстарын орындау үшін әдістемелік    

нұсқаулар мен тапсырмалар

(барлық мамандықтардың студенттеріне арналған)

3-бөлім 

 

Алматы 2008 

 

Кіріспе

Бұл әдістемелік нұсқаулар Математика 1 бағдарламасына енетін “Бір айнымалы функциялардың дифференциалдық есептеулері” тақырыбы бойынша анықтамалық материалдар мен тапсырмаларды қамтиды. Тапсырмалар отыз нұсқадан тұрады. Тапсырманың нөмірінің екінші саны студенттің нұсқасын білдіреді.

Сырттай оқу бөлімінде оқитын студенттер үшін бақылау жұмысының нұсқасы сынақ кітапшасының нөмірін 30-ға бөлгенде қалатын қалдық түрінде анықталады. Мысалы: сынақ кітапшасының нөмірі 050612 болсын, бұл санды 30-ға бөлгенде 2 қалдық қалады. Олай болса, студент тапсырманың №2 нұсқасын орындауы қажет. Егер қалдық 0-ге тең болса, онда студент №30 нұсқаны орындайды.

Бақылау жұмысының есептерінің шешуі қысқаша, сонымен қатар теориялық тұрғыдан қарағанда түсінікті, қажетті суреттерінің салынуымен жеке дәптерде орындалуы керек. Берілген әдістемелік нұсқауда көрсетілген типтік нұсқаның шешуі бақылау жұмысын дұрыс орындауға көмектеседі.

1. “Бір айнымалы функциялардың дифференциалдық есептеулері” модуліне әдістемелік нұсқаулар

1.1       Дифференциалдау ережелері

1.       2.     3.       4.

5.     6.        7.

8. Егер күрделі функция болса, онда  болады, мұндағы

1.2       Негізгі элементар функциялардың туындыларының кестесі

1 Кесте

1

, n

2

3

4

5

6

7

8

 

9

10

 

11

12

 

13

14

 

15

16

 

17

18

1.3  Қисыққа жүргізілген жанама мен нормальдың теңдеуі

       y=f(x) қисығына М0(x0,f(x0)) нүктесінде жүргізілген жанаманың теңдеуі:  y-f(x0)=

       y=f(x) қисығына М0(x0,f(x0)) нүктесінде жүргізілген нормальдың теңдеуі:  y-f(x0)=

1.4       Бірінші ретті және жоғарғы ретті дифференциалдар

 

функцияның мәнін жуықтап есептеу формуласы.

1.5        Орта мән туралы теорема. Лопиталь-Бернулли ережесі.

1.   Ролль теоремасы. Егер y=f(x) функциясы  кесіндісінде үзіліссіз, дифференциалданатын және f(a)=f(b) болса, онда  болатындай, кемінде бір x=c (a<c<b) нүктесі табылады.

2.   Лагранж теоремасы. Егер y=f(x) функциясы  кесіндісінде үзіліссіз және дифференциалданатын болса, онда  f(b)-f(a)= болатындай, кемінде бір x=c (a<c<b) нүктесі табылады.

3.   Коши теоремасы.Егер y=f(x) және функциялары  кесіндісінде үзіліссіз және дифференциалданатын болса, сонымен қатар, a<x<b барлық мәнінде  ,онда  болатындай, кемінде бір x=c (a<c<b) нүктесі табылады.

4.   Лопиталь-Бернулли ережесі (  анықталмағандықтарын ашу үшін). Егер y=f(x) және функциялары x=x0 нүктесінің маңайында Коши теоремасының шарттарын қанағаттандырса,  ұмтылғанда 0-ге ұмтылса ( немесе ) және lim   шегі бар болса, онда lim шегі де бар болып,  lim lim тең болады.

          3 типтік есептеу

        Бір айнымалы функциялардың дифференциалдық есептеулері.

        Теориялық сұрақтар

1.   Туынды ұғымы, оның геометриялық және физикалық мағыналары.

2.   Қосындының, көбейтіндінің, бөліндінің туындысы.

3.   Күрделі және өзара кері функциялардың туындысы.

4.   Негізгі элементарлық функциялардың туындылары. Туынды кестесі.

5.   Логарифмдік дифференциалдау.

6.   Жоғарғы ретті туындылар.

7.   Айқын емес және параметрлік түрде берілген функцияның туындысы.

8.   Функцияның графигіне жүргізілген жанаманың және нормальдың теңдеуі.

9.   Дифференциал, оның жуық есептеулерде қолданылуы.Лопиталь ережесі.

10.Функцияның өсуі және кемуі. Экстремум. Аралықтағы функцияның ең кіші және ең үлкен мәндері.

11.Функция графигінің дөңестігі мен ойыстығы, иілу нүктелері.

12. Функция графигінің асимптоталары.

13. Функцияны толық зерттеу және графигін салу.

  Бірінші деңгейлі тапсырмалар

1. Функцияның туындысын және дифференциалын табыңыз.

1.1

а)

б)

в)

1.2

а)

б) 

в)

1.3

а)

б) 

в)

1.4

а)

б) 

в)

1.5

а)

б) 

в)

 

1.6

а)

б) 

в)

1.7

а)

б) 

в)

 

1.8а)б) 

в)

 

1.9a)

б) 

в)

1.10

а)

б) 

в)

 

1.11а)

б) 

в)

 

1.12а)

б) 

в)

1.13

а)

б) 

в)

 

1.14а)

б)

в)

 

1.15а)

б)

в)

1.16

а)

б)

В)

 

1.17а)

б) 

в)

 

1.18а)

б)

В)

1.19

а)

б)

в)

 

1.20а)

б)

в)

 

1.21a)

б)

в)

1.22а)

б)

в)

 

1.23а)

б)

 

в)

 

1.24а)

б)

в)

1.25

а)

б)

в)

 

1.26а)

б)

в)

 

1.27а)

б)

в)

1.28

а)

б)

в)

 

1.29а)

б)

в)

 

1.30а)

б)

в)

 

 2.   у функциясының туындысын табыңыз.

 2.1                                     

a)    у=

        

б)    y=             

 

2.2                                 

a)   y=cos(3

б)   y=                         

 

 2.3

a)    y=

б)    y=

        2.4                                         

a)    y=  

б)    y=                

 

2.5

a)    y=                    

б)    y=                 

 

2.6

a)   y=arctg(

б)  y=

        2.7                                                

a)   y=tg(    

б)   y=               

 

2.8

a)    y=sin(            

б)   y=                          

 

2.9

a)   y=

б)   y=

2.10                                            

a)    y=               

б)   y=

                

2.11

a)   y=                     

 

б)   y=               

2.12

a)   y=arcctg(

 

б)   y=

      2.13                                            

a)   y=tg(        

б)   y=                

 

2.14

a)   y=cos(          

б)   y=                         

 

2.15

a)   y=

б)   y=

       2.16                                

a)   y=               

б)   y=

                   

2.17

a)   y=                 

 

б)   y=                

2.18

a)   y=arctg(

 

б)   y=

2.19                                        

a)   y=sin(             

б)   y=                    

 

2.20                                

a)   y=ctg(          

б)у=  

 

2.21

a)   y=

б)   y=

2.22                                   

 a)   y=               

 б)   y=

                    

2.23                                      

a)   y=                  

 б)   y=        

2.24

a)   y=arcsin(

 б)   y=

2.25                                             

 a)   y=ln(6x+1)                       

 б)   y=                

2.26                                        

a)   y=cos(              

б)   y=               

2.27

a)   y=

 

б)   y=

         2.28                                         

 a)   y=

                 

 б)   y=ln(                 

 

2.29                                     

a)   y=                         

 

б)   y=2tg(arcsin5x)            

 

2.30

a)   y=arctg(sinx+2)

 

б)   y=3x+lg(cosx+4)

  

                3. Логарифмдік дифференциалдау әдісімен туындыны есептеңіз.

 

3.1

3.2

 

3.3

3.4

 

3.5

3.6

 

 

3.7

3.8

3.9

3.10

 

3.11

3.12

 

3.13

 

3.14

 

3.15

3.16

 

 

3.17

3.18

 

3.19

3.20

 

3.21

 

3.22

 

3.23

3.24

 

3.25

3.26

 

3.27

3.28

 

 

3.29

3.30

 

        4. Айқын емес функцияның туындысын табыңыз.

4.1   x – y + arctg y = 0

4.2   xy =

4.3 

 

4.4    y = cos xy

 

4.5   xy = ln(1 + y)

 

4.6   x – y +3sin y = 0

 

4.7  

 

4.8   x – y + 4sin y = 0

 

4.9 

4.10 

4.11  

4.12

 

4.13

 

4.14  y + = 0

 

4.15  x = ln(x + y)

 

4.16  y - = 0

 

4.17  - ln xy = 0

 

4.18  x + y =

 

4.19  y = sin xy

 

4.20  + x = cos xy

 

4.21  xy = ln xy

4.22  x + y= tg(x + y)

4.23  y=

4.24  + sin(x + y) = 0

4.25  + cos(x + y) = 0

4.26  xy + sin(x + y) = 0

4.27  xy + cos(x + y) = 0

4.28  tg y = 4y – 5x

4.29  xy = ctg y

4.30  xy – 6 = cos y

 

        5. Параметрлік түрде берілген функцияның туындысын табыңыз.

 

5.1

5.2

5.3

5.4

5.5

5.6

5.7

5.8

5.9

5.10

5.11

5.12

5.13

5.14

5.15

5.16

5.17

5.18

5.19

5.20

5.21

5.22

5.23

5.24

5.25

5.26

5.27

5.28

5.29

5.30

6.   нүктесіндегі функцияның екінші ретті туындысының мәнін есептеңіз ().

      

   

     

   

6.1

   

6.2

6.3

6.4

6.5

6.6

6.7

6.8

6.9

6.10

6.11

6.12

6.13

6.14

6.15

6.16

6.17

6.18

6.19

6.20

6.21

6.22

6.23

6.24

6.25

6.26

6.27

6.28

6.29

6.30

7 Абсциссасы  болатын нүктедегі берілген сызықтың жанамасының және нормалінің теңдеуін құрастырыңыз.

    

      

7.1

   2

7.2

  -2

7.3

   -1

7.4

  4

7.5

   1

7.6

  -8

7.7

   4

7.8

  16

7.9

  1

7.10

  3

7.11

 1

7.12

  2

7.13

  -1

7.14

  64

7.15

  1

7.16

  1

7.17

   1

7.18

  1

7.19

   1

7.20

  2

7.21

   -2

7.22

  3

7.23

  1

7.24

  1

7.25

  1

7.26

  1

7.27

   1

7.28

  1

7.29

  2

7.30

  4

8. Берілген аралықтағы функцияның ең үлкен және ең кіші мәндерін есептеңіз.

     

       

8.1

8.2

8.3

8.4

8.5

8.6

8.7

8.8

8.9

8.10

8.11

8.12

8.13

8.14

8.15

8.16

8.17

8.18

8.19

8.20

8.

21

8.22

8.

23

8.24

8.

25

8.26

8.

27

8.28

8.

29

8.30

9  функциясы берілген.Табу керек: a) анықталу облысы мен үзіліс нүктелерін; б) функцияның графигінің асимптоталарын; в) графиктің координат осьтерімен қиылысу нүктелерін; г) жұптығын немесе тақтығын; д) монотондық аралықтарын, экстремум нүктелерін; е) дөңес және ойыс аралықтарын, иілу нүктелерін; ж) y функциясының графигін сызу керек.

      

     

    

9.1

9.2

9.3

9.4

9.5

9.6

9.7

9.8

9.9

9.10

9.11

9.12

9.13

9.14

9.15

9.16

9.17

9.18

9.19

9.20

9.21

9.22

9.23

9.24

9.25

9.26

9.27

9.28

9.29

9.30

10. Лопиталь ережесін қолданып, шекті есептеңіз.

10.1

10.2

10.3

10.4

10.5

10.6

10.7

10.8

10.9

10.10

10.11

1012

10.13

10.14

1015

10.16

10.17

1018

10.19

10.20

1021

10.22

10.23

1024

10.25

10.26

1027

10.28

10.29

1030

               Екінші деңгейдегі тапсырмалар.

11. Параметрлік түрде берілген функцияның туындысын табу керек.

11.1

11.2

11.3

11.4

11.5

11.6

11.7

11.8

11.9

11.10

11.11

11.12

11.13

11.14

11.15

11.16

11.17

11.18

11.19

11.20

11.21

11.22

11.23

11.24

11.25

11.26

11.27

11.28

11.29

11.30

 

12. Берілген функцияның -ші ретті туындысының формуласын жазу керек.

12.1

12.2

12.3

12.4

12.5

12.6

12.7

12.8

12.9

12.10

12.11

12.12

12.13

12.14

12.15

12.16

12.17

12.18

12.19

12.20

12.21

12.22

12.23

12.24

12.25

12.26

12.27

12.28

12.29

12.30

 

13. Дифференциал көмегімен жуықтап есептеу керек.

13.1

7,76

13.2

1,012

13.3

0,98

13.4

27,54

13.5

0,08

13.6

0,97

13.7

26,46

13.8

1,97

13.9

1,021

13.10

1,21

13.11

0,998

13.12

1,03

13.13

2,01

13.14

8,24

13.15

1,996

13.16

7,64

13.17

2,56

13.17

1,016

13.19

8,36

13.20

4,16

13.21

2,002

13.22

1,78

13.23

0,98

13.24

2,997

13.25

1,03

13.26

3,998

13.27

0,01

13.28

0,01

13.29

1,02

13.30

1,97

 

14. Лопиталь ережесін қолданып, шекті табу керек.

14.1

14.2

 

14.3

14.4

 

14.5

14.6

 

14.7

14.8

 

14.9

14.10

14.11

14.12

14.13

14.14

14.15

14.16

14.17

14.18

14.19

14.20

14.21

14.22

14.23

14.24

14.25

14.26

14.27

14.28

14.29

14.30

        Типтік есептің шешуі

1.   Туындыны және дифференциалын табыңыз:  

 а)  ,

б) ,     в)

   Шешуі:

а) Бұл мысалды шешу үшін дәрежелік функцияның туындысын есептейтін формуланы   және  , (с-тұрақты) формулаларын қолдану керек. Функцияны мына түрде жазайық y=4x3+2x-2-x2/3+2x-1, содан соң туындыны есептейміз:

 Анықтама бойынша y=f(x) функциясының дифференциалы  

  өрнегі болады. Сондықтан, дифференциалды табу үшін табылған

туындыны орнына қоямыз: .

б) Көбейтіндінің туындысының формуласы   

 және туынды кестесі бойынша 

Ал, дифференциалы мынадай:  dy=-x3(4sinx+xcosx)dx.

в) Туындылар кестесін және бөліндінің туындысының формуласын                                                                    қолданып,

Туындыны      өрнегіне қойып, берілген функцияның дифференциалын табамыз:

2. а) Күрделі функцияның туындысын табатын ережені қолданамыз:

Егер      болса, онда         

Берілген функцияны негізгі элементар функциялардың тізбегіне жіктеуге болады:       

  Енді жоғарыда келтірілген ережені қолдансақ:

б) Берілген функцияның элементар функциялар түріндегі жіктелуі келесі түрде               болғандықтан, туындылар кестесін және негізгі дифференциалдау ережелерін қолдансақ,

3. Логарифмдік дифференциалдау әдісімен туындыны есепте:

а) ,    б)

Шешуі:

а) Логарифмдік дифференциалдау әдісін былай қолдануға болады: әуелі

функцияны е негізі бойынша логарифмдейміз:  lny=7x2lnx.

Содан соң алынған өрнектің әр мүшесін дифференциалдаймыз, lny

туындысын күрделі функцияның туындысы сияқты есептейміз.

.  Соңғы теңдіктен

б) Логарифмдік дифференциалдау әдісін қолданайық: ;    

4. ey=cosx+xy айқын емес функциясының туындысын табыңыз.

 Шешуі:

 у  функциясы x-ке тәуелді функция екенін ескеріп, берілген функцияны дифференциалдаймыз:     

   Соңғы теңдіктен             шығады.

5. параметр түрінде берілген функцияның туындысын тап.

Шешуі:           Параметр түрінде берілген функцияның туындысы келесі формула бойынша табылады:          .         болғандықтан .

6. Егер          болса, онда    ді   есепте.

Шешуі:

;    

7.    y=x2-9x-4 сызығына абсциссасы  x0=-1   нүктесінде жүргізілген жанама мен нормальдың теңдеулерін құрастыру керек.

Шешуі:

       y=f(x) функциясының x0  нүктесіндегі жанаманың теңдеуі келесі түрде  болады:      ;

ал нормаль теңдеуі:                                               Берілген функция үшін   

Жанама теңдеуі: y-6=-11(x+1) немесе  11x+y+5=0;

Нормаль теңдеуі: y-6=1/11(x+1) немесе   x-11y+67=0.

8.     y=x4-2x2+3   функциясының          аралығындағы ең үлкен және ең кіші мәндерін табыңыз.

   Шешуі:

*    аралығында жататын кризистік нүктелерді табайық:

Барлық кризистік нүктелер берілген аралықта жатқандықтан, осы және

аралықтың шеткі нүктелеріндегі функцияның мәнін анықтайық:

y(0)=3, y(-1)=2, y(1)=2, y(-3)=66, y(2)=11. Осы мәндердің арасынан ең кішісін және ең үлкенін таңдап аламыз: yеңкіші=2, yеңүлкен=66.

9.       функциясы берілген. Табу керек:

а) анықталу облысын және үзіліс нүктелерін;

б) функцияның графигінің асимптоталарын;

в) функцияның графигінің координат осьтерімен қиылысу нүктелерін;

г) жұптығын және тақтығын;

д) монотондылық аралықтарын және экстремум нүктелерін;

е) ойыс және дөңес аралықтарын, иілу нүктелерін;

ж) графигін салу.

Шешуі:

а) анықталу облысы D(f)- бөлімі нөлден өзге болатын x жиыны

 Сонымен D(f):

б) 2 және -2 нүктелері функцияның үзіліс нүктелері болғандықтан,

x=-2 және  x=2 – вертикаль асимптоталар. Вертикаль асимптоталар

маңындағы функцияның мәні:     

Көлбеу асимптоталарды табайық:  y=kx+b:

k=

Сонымен, жалғыз  y=x көлбеу асимптотасы ғана бар. 

 в) Функция графигінің координат осьтерімен қиылысу нүктелері:

OX-пен:

OY-пен:

 г) болғандықтан, функция тақ.

д) Функцияны өсу, кему және экстремумға зерттейміз:

*    теңдігінен x2(x2-12)=0 шығады, бұдан - кризис нүктелері. Зерттеу нәтижелерін кестеге енгіземіз:

x

 

-2

(-2;2)

2

 +

 0

 -

 0

  -

0

  -

  0

  +

y

 

 

 

 

 

max

 

 

 

 

 

min

 

   ж) Функцияның графигінің дөңестігін, ойыстығын зерттейміз, иілу

нүктелерін табамыз:            теңдігінен  8x3+96x=0, шығады, бұдан x=0. Алынған нәтижелерді кестеге енгіземіз: 

x

-2

(-2; 0)

0

(0;2)

2

 

  -

       

   +

   0

   -

 

   +

y

 

 

 Иілу нүктесі (0, 0). Енді функцияның графигін саламыз:

1-сурет

10.                Лопиталь ережесі бойынша шекті табу керек:

а)               б)

Шешуі:   Лопиталь ережесі:        Сондықтан:                                   

а)

б)

 

 

Әдебиеттер тізімі

 

1.   Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2-х ч.-М.: Высш.шк., 1986.-Ч.1-352с.

2.   Кузнецов А.А. сборник заданий по высшей математике: Типовые расчеты.-М.: Высш.шк., 1983.-176с.

3.   Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: В3ч. /А.П.Рябушко, В.В.Бархатов и др./ Под ред. А.П.Рябушко.-Минск:Вышейшая школа, 1991.-Ч.1.-351с.

4.   Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Ч.1.-М.: Айрис-пресс,2003.-256с.

5.   Хасеинов К.А. Математика канондары.Оқулық.-Алматы:2003.-686б. 

 

Мазмұны 

Кіріспе………………………………………………………………….3 

«Бір айнымалы функцияның дифференциалдық есептеуі» модуліне  

әдістемелік нұсқаулар .………………………………………………3    

     3 типтік есептеу………………………………………………………5    

     Бірінші деңгейдегі тапсырмалар……………………………………5    

     Екінші деңгейдегі тапсырмалар…………………………………..15    

     Типтік есептің шешуі………………………………………………20    

     Әдебиеттер тізімі........................................................................25