АЛМАТИНСКИЙ ИНСТИТУТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ

КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

Математика 2.

Методические указания и тестовые задания для подготовки к экзамену для студентов, обучающихся специальностям 050702 – Автоматизация и управление, 050717 - Теплоэнергетика, 050718 - Электроэнергетика, 050719 – Радиотехника, электроника и телекоммуникации

Алматы 2006

СОСТАВИТЕЛИ: С. Е. Базарбаева, Л. Н. Ким, Р. А. Курбанова. Математика 2. Методические указания и тестовые задания для подготовки к экзамену (для студентов очной формы обучения специальностей 050702 - Автоматизация и управление, 050717 - Теплоэнергетика, 050718 - Электроэнергетика, 050719 - Радиотехника, электроника и телекоммуникации). - Алматы: АИЭС, 2006.- 24 с.

Методические указания содержат рекомендации для самостоятельной работы студентов при изучении дисциплины "Математика 2". Они содержат образцы тестовых заданий рубежного контроля к каждому из трех модулей с ответами и образцами решений, образец экзаменационного теста на бумажном носителе и теста компьютерной части экзамена (первый уровень знаний). Приведены теоретические вопросы, база тестовых заданий для компьютерного тестирования (первый уровень знаний) и образец билета основной части экзамена (второй уровень знаний).

Рецензент: Жуматаева С.А., ст. преп. кафедры "Высшая математика".

Печатается по плану издания Алматинского института энергетики и связи на 2006 г.

Введение

Дисциплина "Математика 2" распределена на три раздела, которые называются модулями: а) дифференциальное исчисление функции многих переменных; б) интегральное исчисление функции одной переменной; в) кратные интегралы. Каждый из этих разделов представляет собой отдельную математическую дисциплину. Причем два последних раздела не зависимы от первого модуля.

Программа дисциплины "Математика 2" предполагает выполнение одной расчетно-графической работы (РГР) в каждом модуле. По итогам работы каждого модуля, согласно календарному плану, проводится рубежный контроль в виде теста из 16 тестовых заданий на бумажном носителе. Они несут несколько функций: а) рассматриваются как защита РГР, так как основаны на задачах из РГР; б) как промежуточный тренинг по подготовке к экзаменационному тестированию на бумажном носителе и в электронном варианте; в) как итог некоторого объема материала.

По итогам рубежного контроля составляется рейтинговая таблица на каждом учебном потоке.

Теоретические вопросы, представленные в каждом разделе, являются теоретическими вопросами для основной части экзамена.

Ввиду вышеизложенного, предлагается следующий план самостоятельной работы студента (СРС):

а) после прослушанной лекции студент готовит к практическому занятию теоретические вопросы данной лекции;

б) на практическом занятии обсуждаются вопросы применения полученных теоретических знаний к выполнению РГР и подготовке к рубежному контролю, а также решаются задачи, соответствующие основной части экзамена;

в) самостоятельно отрабатываются навыки решения подобных задач и задач РГР. Желательно решить несколько вариантов РГР, до тех пор, пока не

убедитесь, что все поняли и запомнили.

1 Модуль 1. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

1.1 Теоретические вопросы

1.1.1 Функции нескольких переменных. Предел и

непрерывность.

1.1.2 Частные приращения и частные производные. Частные

производные высших порядков.

1.1.3 Частные дифференциалы. Полное приращение и полный

дифференциал.

1.1.4 Дифференциалы высших порядков. Инвариантность формы

полного дифференциала.

1.1.5 Дифференцирование сложных и неявных функций

нескольких переменных.

1.1.6 Экстремум функции двух переменных. Необходимые и

достаточные условия экстремума.

1.1.7 Условный экстремум. Наибольшее и наименьшее значения

функций двух переменных в замкнутой области.

1.1.8 Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент.

1.2 Образцы билетов рубежного контроля для модуля 1

Билет 1

Задания	Ответы
1-7 Дана функция . Найти:
1 .	1
2 .	2
3 .	3
4 .	4
5 .	5
6	6
7	7
8-9 Дана функция . Найти:
8 .		8
9 .		9
10-11 Даны функция и точка . Найти:
10 .	10
11 в точке .	11
12-14 Даны уравнение поверхности и точка .
12 Найти уравнение касательный плоскости к поверхности в точке . 13 Найти уравнение нормали к поверхности в точке . 14 Найти частные производные или неявной функции , заданной уравнением .			12 13 14
15 Дана сложная функция , где . Найти производную .			15
16 Найти градиент функции в точке .			16 , или

Билет 2

Задания		Ответы
1-7 Для функции найти:
1 .		1
2 .		2
3 .		3
4 .		4
5 .		5
6 .		6
7-8 Для функции найти:
7 .	7
8 .	8
9-10 Даны функция и точка . Найти:
9 .	9
10 в точке .	10
11-13 Даны уравнение поверхности и точка . Найти:
11 Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке .			11
12 Уравнение нормали к поверхности в точке .			12
13 Найти частные производные неявной функции , заданной уравнением .			13
14 Дана сложная функция , где . Вычислить производную .			14
15 Найти градиент функции в точке .			15 или
16 Найти производную функции в точке в направлении, идущем от этой точки к точке .			16 0

Билет 3

Задания		Ответы
1-7 Для функции найти:
1 .	1
2 .	2
3 .	3
4	4
5	5
6	6
7	7
8-9 Дана функция . Найти:
8 .	8
9 .	9
10-11 Даны функция и точка . Найти:
10 .	10
11 в точке .	11
12-14 Даны уравнение поверхности и точка . Найти:
12 Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке .			12
13 Уравнение нормали к поверхности в точке .			13
14 Найти частные производные неявной функции , заданной уравнением .			14
15 Дана сложная функция ,. Вычислить производную .			15
16 Найти градиент функции в точке .			16 или

2 Модуль 2. Интегральное исчисление функции одной переменной, комплексные числа, неопределенные, определенные и несобственные интегралы

2.1 Теоретические вопросы

2.1.1 Комплексные числа. Мнимая единица.

2.1.2 Модуль и аргумент комплексного числа.

2.1.3 Тригонометрическая форма комплексного числа.

2.1.4 Показательная форма комплексного числа.

2.1.5 Алгебраические операции над комплексными числами в

тригонометрической и показательной формах.

2.1.6 Первообразная функция. Теорема о первообразных

функциях.

2.1.7 Определение неопределенного интеграла и его основные

свойства.

2.1.8 Таблица основных интегралов.

2.1.9 Непосредственное интегрирование.

2.1.10 Метод замены переменной в неопределенном интеграле.

2.1.11 Интегрирование функций с линейным аргументом.

2.1.12 Интегрирование подведением под знак дифференциала.

2.1.13 Формула интегрирования по частям.

2.1.14 Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен.

2.1.15 Разложение правильной дробно-рациональной функции на простейшие дроби.

2.1.16 Интегрирование правильной дробно-рациональной функции.

2.1.17 Интегрирование неправильной дробно-рациональной функции.

2.1.18 Интегрирование функций, содержащих иррациональные выражения.

2.1.19 Интегрирование тригонометрических функций.

2.1.20 Тригонометрические подстановки.

2.1.21 Определенный интеграл. Геометрический смысл определенного интеграла.

2.1.22 Свойства определенного интеграл. Теорема о среднем. Формула Ньютона-Лейбница.

2.1.23 Замена переменной и формула интегрирования по частям в определенном интеграле.

2.1.24 Несобственные интегралы.

2.2 Образцы билетов рубежного контроля для модуля 2

Билет 1

Задания	Ответы
1 Вычислить, чему равно ?	1
2 Найти модуль числа .	2 2
3 Найти главное значение аргумента числа .	3
4 Запишите число в показательной форме.	4
5 Найдите для .	5
6 Для и вычислить .	6
7 Записать выражение под знаком дифференциала.	7
8 Найти интеграл .	8
9 Найти интеграл .	9
10 Найти определенный интеграл .	10
11 Какой метод интегрирования применяется для вычисления интеграла ?	11 Универсальная подстановка
12 Дан интеграл . Какое выражение нужно принять за , если интегрировать по частям?	12
13 Запишите вид разложения дроби на простейшие дроби.	13
14 Какую замену требуется сделать для вычисления интеграла ?	14 Замена
15 Вычислить определенный интеграл , применяя нужную замену.	15 , замена
16 Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.	16

Билет 2

Задания	Ответы
1 Вычислить, чему равно ?	1 1
2 Найти модуль числа .	2 5
3 Найти главное значение аргумента числа .	3
4 Запишите число в тригонометрической форме.	4
5 Найдите для .	5
6 Для и вычислить .	6
7 Записать выражение под знаком дифференциала.	7
8 Найти интеграл .	8
9 Найти интеграл .	9
10 Найти определенный интеграл .	10
11 Какой метод интегрирования применяется для вычисления интеграла ?	11 Интегрирование по частям
12 Дан интеграл . Какое выражение нужно принять за , если интегрировать по частям?	12
13 Запишите вид разложения дроби на простейшие дроби.	13
14 Какую замену требуется применить для вычисления интеграла ?	14 Замена
15 Вычислить определенный интеграл , применяя нужную замену.	15 , замена
16 Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.	16 -расходится

Билет 3

Задания	Ответы
1 Вычислить, чему равно ?	1
2 Найти модуль числа .	2 3
3 Найти главное значение аргумента числа .	3
4 Запишите число в показательной форме.	4
5 Найдите для .	5
6 Для и вычислить .	6
7 Записать выражение под знаком дифференциала.	7
8 Найти интеграл .	8
9 Найти интеграл .	9
10 Найти интеграл .	10
11 Какой метод интегрирования применяется для вычисления интеграла ?	11 Выделение полного квадрата
12 Дан интеграл . Какое выражение нужно принять за , если интегрировать по частям?	12
13 Запишите вид разложения дроби на простейшие дроби.	13
14 Какую замену требуется применить для вычисления интеграла ?	14 Замена
15 Вычислить интеграл , применяя нужную замену.	15 , замена
16 Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.	16

3 Модуль 3. Интегральное исчисление функции нескольких переменных. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы

3.1 Теоретические вопросы

3.1.1 Определение кратных интегралов и их свойства.

3.1.2 Вычисление двойных и тройных интегралов в прямоугольных координатах. Изменение порядка интегрирования.

3.1.3 Замена переменных в двойных и тройных интегралах. Переход к полярным координатам.

3.1.4 Определение и свойства криволинейных интегралов первого и второго рода.

3.1.5 Вычисление криволинейных интегралов.

3.1.6 Формула Грина.

3.1.7 Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования (теорема). Формула Ньютона-Лейбница для криволинейных интегралов.

3.1.8 Отыскание функции по ее полному дифференциалу.

3.1.9 Поверхностные интегралы первого рода, их свойства, вычисление.

3.1.10 Приложения определенных, кратных, криволинейных и поверхностных интегралов.

3.2 Образцы билетов рубежного контроля для модуля 3

Билет 1

Задания	Ответы
1 Вычислить двойной интеграл по области D: .	1
2 Вычислить повторный интеграл .	2
3 Расставить пределы в двойном интеграле по области .	3
4 D. Чему равен якобиан преобразования? 5 Сделать замену в двойном интеграле.	5
6 Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле по области . 7 Вычислить этот тройной интеграл по области .	6 7
8 С помощью тройного интеграла вычислить объем тела .	8
9 Привести криволинейный интеграл первого рода к определенному, где . 10 Вычислить длину дуги .	9 10
11 Привести криволинейный интеграл второго рода по кривой к определенному интегралу. 12 Вычислить этот криволинейный интеграл.	11 12
13 Привести криволинейный интеграл к двойному по формуле Грина.	13
14 Зависит или нет интеграл от пути интегрирования?	14 Зависит от пути интегрирования
15 Найти функцию по ее полному дифференциалу .	15
16 Привести поверхностный интеграл где к двойному.

Билет 2

Формулировка вопроса	Задание	Ответ
1 Вычислить двойной интеграл по области D:		1
2 Вычислить повторный интеграл.		2
3 Изменить порядок интегрирования.		3
4 Чему равен якобиан преобразования? 5 Сделать замену в двойном интеграле.		4 5
6 Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле по области . 7 Вычислить этот тройной интеграл по области .		6 7
8 С помощью тройного интеграла вычислить объем тела .		8
9 Привести криволинейный интеграл первого рода к определенному. 10 Вычислить длину дуги L.		9 10
11 Привести криволинейный интеграл второго рода к определенному интегралу. 12 Вычислить этот криволинейный интеграл.	, где	11 12
13 Привести криволинейный интеграл к двойному по формуле Грина.		13
14 Равен нулю или нет криволинейный интеграл?		14 да,=0
15 Найти функцию по ее полному дифференциалу		15
16 Привести поверхностный интеграл к двойному.	,	16 , или , или

Билет 3

Формулировка вопроса	Задание	Ответ
1 Расставьте пределы для вычисления площади области D.		1
2 Вычислить повторный интеграл.		2
3 Вычислить двойной интеграл по области D:.		3
4 В двойном интеграле перейти к полярным координатам.		4
5 Расставить пределы интегрирования в двойном интеграле по области . 6 Вычислить двойной интеграл из задания 5.		5 6
7 Вычислить тройной интеграл по области .		7
8 С помощью тройного интег-рала вычислить объем тела .	.	8 2
9 Вычислить криволинейный интеграл первого рода.	, где от до	9
10 Вычислить криволинейный интеграл второго рода вдоль кривой от до.		10
11 Сведите поверхностный интеграл первого рода к вычислению двойного интеграла. 12 Расставить пределы в двойном интеграле, полученном в задании 11. 13 Вычислить поверхностный интеграл из задания 11.	, S: ,	11 12 13
14 Зависит или нет интеграл от пути интегрирования?		14 да,=0
15 Сведите вычисление поверхностного интеграла к вычислению тройного интеграла		15
16 Привести поверхностный интеграл к двойному.	,	16

4 База тестовых заданий по дисциплине “Математика 2”, выносимая на компьютерную часть экзамена

4.1 Дана функция . Найти .

4.2 Дана функция . Найти .

4.3 Дана функция . Найти .

4.4. Дана функция . Найти .

4.4 Дана функция . Найти.

4.5 Дана функция . Найти.

4.6 Дана функция . Найти.

4.7 Дана функция . Найти.

4.8 . Найти в точке .

4.9 . Найти в точке .

4.10 . Найти в точке .

4.11 . Найти уравнение нормали к

поверхности в точке .

4.12. Найти уравнение касательной плоскости поверхности в точке .

4.13 . Найти функции ,

заданной уравнением .

4.14 . Найти функции ,

заданной уравнением .

4.15 Чему равна производная сложной функции

(по переменной )?

4.16 Чему равен градиент функции в точке

4.17 Чему равна производная по направлению функции

в точке ?

4.18 Неопределенный интеграл есть функция …

4.19 Значение определенного интеграла равно …

4.20 Разложение дроби на сумму простых дробей имеет вид…

4.21 Чтобы привести интеграл к табличному , надо применить замену…

4.22 В выражении внести функцию под знак дифференциала.

4.23 В выражении вынести функцию из под знак дифференциала.

4.24 В интеграле , чтобы применить формулу интегриро-

вания по частям, за следует принять выражение…

4.25 В интеграле , чтобы применить формулу интегриро-

вания по частям, за следует принять выражение…

4.26 Повторной интеграл, к которому сводится , где

равен…

4.27 Двойной интеграл , где , сводится к

повторному…

4.28 Дан двойной интеграл , где . Значение

этого двойного интеграла равно…

4.29 Якобиан преобразования равен…

4.30 Найти объем тела .

4.31 Тройной интеграл в цилиндрической системе

координат имеет вид:

4.32 Тройной интеграл в сферической системе

координат имеет вид:

4.33 Дано комплексное число . Главное значение его аргумента

равно:

4.34 Дано комплексное число . Его модуль равен…

4.35 Дано комплексное число . Показательная форма этого

числа есть:

4.36 Дано комплексное число . Тригонометрическая форма

этого числа есть:

4.37 Даны комплексные числа: и . Их сумма (раз-

ность, произведение, частное) равна…

4.38 Определенный интеграл, к которому сводится криволинейный

интеграл, (будет приведен интеграл первого рода) имеет вид:

4.39 Значение криволинейного интеграла (будет приведен интеграл

второго рода) равно:

4.40 По формуле Грина интеграл

приводится в виду…

5 Образец теста закрытого типа на бумажном носителе

Задания

Варианты ответов

Дана функция .

Найти 1 .

2 .

3 .

4 .

5 .

1.а) б) с)

д)

е)

2 а) б) с) д)

е)

3 а) б) с) д)

е)

4 а) б) с)

д) е)

5 а) б)

с) д) е)

6-8

6 Найти в точке .

7 Найдите уравнение касательной к

поверхности в точке .

8 Найдите функции , заданной уравнением .

6 а) б) 6/5 с) 5/6 д) 5 е) 3/5

7 а) б)

с) д)

е)

8 а) б) с) д)

е)

9 Производная сложной функции , где равна

9 а) б)

с)

д) е)

Дана функция .

10 Градиент функции в точке равен:

11 Производная этой функции по направлению в той же точке равна:

10 а) б) с)

д) е)

11 а) 248 б) с) д)

е)

12-14 Дано комплексное число .

12 Его модуль равен:

13 Главное значение его аргумента

равно:

14 Тригонометрическая форма этого числа есть:

12 а) 3 б) с) д) е)

13 а) б) с) д) 0 е)

14 а)

б) с)

д)

е)

15 Неопределенный интеграл (первообразная)

есть функция

14 а)

б)

с)

д)

е)

16 Значение определенного интеграла есть:

16 а) б) с) д)

е)

17 Разложение дроби на сумму простых дробей имеет вид:

17 а)

б)

с)

д)

е)

18 Чтобы привести интеграл к табличному, надо применить замену:

18 а) б)

с)

д) е)

19 В выражении внести функцию под знак дифференциала

19 а) б) с)

д) е)

20 В интеграле , чтобы применить формулу интегрирования по частям, за следует принять выражение:

20 а) б) с) д)

е)

21 Повторный интеграл, к которому сводится , где имеет вид:

21 а)

б)

с) д)

е)

22 Двойной интеграл где сводится к повторному интегралу вида:

23 Значение этого двойного интеграла равно:

22 а) б)

с) д)

е)

23 а) –12 б) 12 с) 24 д) –24 е) 6

24 Якобиан преобразования равен:

24 а) б)

с) д) е)

25 Объем тела Ω: равен:

25 а) 15 б) 1 с) 16 д) 17 е) 20

26 Определенный интеграл, к которому сводится криволинейный интеграл

от имеет вид:

26 а) б)

с) д)

е)

27 Значение криволинейного интеграла от до равно:

27 а) б) с)

д) е)

28 По формуле Грина интеграл приводится в виду:

28 а) б)

с)

д)

е)

29-30 Указать все интегралы, не зависящие от пути интегрирования

29 -30 а)

б)

с)

д)

е)

6 Образец экзаменационного билета

НАО АЛМАТИНСКИЙ ИНСТИТУТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ №

Дисциплина Математика 2

Теоретические вопросы: 1 Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума.

2 Методы интегрирования.

Основные задачи: 3 Вычислить определенный интеграл .

4 Найти объем тела .

Тестовые задания: 5

6 Вычислить длину дуги

Составитель:

Экзаменационный билет утвержден на заседании кафедры «Высшая математика»

Заведующий кафедрой ВМ С.Е.Базарбаева

Сводный план 2006 г., поз.115

Сауле Ермурзаевна Базарбаева

Людмила Николаевна Ким,

Рано Абдусаламовна Курбанова

МАТЕМАТИКА 2

Методические указания и тестовые задания для подготовки к экзамену

(для студентов очной формы обучения специальностей 050702 - Автоматизация и управление, 050717 - Теплоэнергетика, 050718 - Электроэнергетика, 050719 - Радиотехника, электроника и телекоммуникации)

Редактор Т.С. Курманбаева

Специалист по стандартизации Н. М. Голева

Подписано в печать_____________ Формат

Тираж 500 экз. Бумага типографская № 1

Объем 2,0 печ. л. Заказ______Цена _________

Копировально-множительное бюро

Алматинского института энергетики и связи

1 Модуль 1. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

Задания

Ответы

Задания

Ответы

НАО АЛМАТИНСКИЙ ИНСТИТУТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ №

Дисциплина Математика 2

Рекомендуемая литература

Методические разработки кафедры

Сводный план 2006 г., поз.115

Сауле Ермурзаевна Базарбаева

МАТЕМАТИКА 2

Редактор Т.С. Курманбаева

Специалист по стандартизации Н. М. Голева

Копировально-множительное бюро

050013 Алматы, Байтурсынова,126