Коммерциялық емес акционерлік қоғам

АЛМАТЫ ЭНЕРГЕТИКА ЖӘНЕ БАЙЛАНЫС УНИВЕРСИТЕТІ

Жоғары математика кафедрасы

 

 

 

МАТЕМАТИКА 2

БІР АЙНЫМАЛЫ ФУНКЦИЯНЫҢ ИНТЕГРАЛДЫҚ ЕСЕПТЕЛУІ

Есептеу-графикалық жұмыстарға арналған әдістемелік нұсқаулар мен тапсырмалар

(5В070200 – Автоматтандыру және басқару, 5В071700 – Электр энергетика,  5В071800 – Жылу энергетика, 5В071900 – Радиотехника, электроника және телекоммуникация мамандықтарының барлық оқу түрінің студенттеріне арналған) 2-бөлім

 

 

 

Алматы 2011 

    ҚҰРАСТЫРУШЫЛАР: Базарбаева С.Е., Төлеуова Б.Ж. Математика 2. Есептеу-графикалық жұмыстарға арналған әдістемелік нұсқаулар мен тапсырмалар (5В070200 – Автоматтандыру және басқару, 5В071700 – Электр энергетика,  5В071800 – Жылу энергетика, 5В071900 – Радиотехника, электроника және телекоммуникация мамандықтарының барлық оқу түрінің студенттеріне арналған). 2-бөлім. -Алматы: АЭжБУ, 2009.- 30 б.

 

Бұл әдістемелік нұсқаулар мен тапсырмалар 5В070200 – Автоматтандыру және басқару, 5В071700 – Электр энергетика,  5В071800 – Жылу энергетика, 5В071900 – Радиотехника, электроника және телекоммуникация мамандықтарының барлық оқу түрінің студенттеріне «Математика 2» пәнінің № 2 есептеу-графикалық жұмыстарын орындауға арналған.

Бұл материал көрсетілген мамандықтардың «Математика 2» пәнінің «Бір айнымалы функцияның интегралдық есептеулері» тарауының бағдарламасына сәйкес құрылған.

Без. 1, кестелер 23, әдеб.көрсеткіші – 12 атау.

  

 

Пікір беруші: физ.-мат.ғыл. канд., АЭжБУ доценті Байсалова М.Ж.

 

«Алматы энергетика және байланыс институты» коммерциялық емес акционерлік қоғамының  2009 ж. жоспары бойынша басылды

 

Алғы сөз 

          Осы методикалық нұсқауда есептеу-графикалық жұмыстардың (ЕГЖ), немесе математиктердің тілімен айтқанда –типтік есептеулердің тапсырмалары берілген. Тапсырмалар «Математика 2» пәнінің «Бір айнымалы функцияның интегралдық есептелуі» тарауына сәйкес құрылған. Қажет теориялық білім [6] дәрістер жинағында (3-8 дәрістер, 12-35 беттер), теоретиялық сұрақтар тізімі [7] методикалық нұсқауда (7-8 беттер) келтірілген.

Бірінші деңгей тапсырмаларын орындау үшін қажет негізгі методикалық нұсқаулар формулалар түрінде берілді. Типтік нұсқаның шешімі келтірілді.

Сырттай оқу бөлімінің студенттерінің нұсқалары сынақ кітапшасының нөмірінің 30 санына бөліндісінің қалдығы бойынша анықталады.

Есептеу-графикалық жұмыс бақылау жұмысы сияқты жеке дәптерде орындалуы тиіс. Орындалған тапсырмалар анық, түсінікті түрде жазылуы тиіс.

                  

1 Есептеу-графикалық жұмыстардың тапсырмалары

 

1.1 Бірінші деңгей тапсырмалары

 

1 кесте - z1 және z2 комплекс сандары берілген.

а) z1 және z2 сандарын декарттық  жазықтықта вектор түрінде кескіндеңіз,

б) z1 санының модулін табыңыз,

в) z1 санының аргументін табыңыз,  

г) z1 санын тригонометриялық және көрсеткіштік формада жазыңыз,

д) z1 және z2 комплекс сандарының қосындысын аналитикалық және   

графиктік түрде табыңыз,      

е) z25 санын табыңыз,    

ж)  көбейтіндісін тригонометриялық түрде жазыңыз,

з) z3 = z2 (жұп нөмірлі нұсқалар үшін)  және   (тақ нөмірлі   

нұсқалар үшін) теңдеуінің барлық түбірлерін тауып, шешімдерін

сызбада кескіндеңіз.

 

 

 

 

 

z1, z2

z1, z2

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

1.10

1.11

1.12

1.13

1.14

1.15

1.16

1.17

1.18

1.19

1.20

1.21

1.22

1.23

1.24

1.25

1.26

1.27

1.28

1.29

1.30

 

2 кесте - Интегралды табыңыз

Тапсырма

Тапсырма

Тапсырма

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9

2.10

2.11

2.12

2.13

2.14

2.15

2.16

2.17

2.18

2.19

2.20

2.21

2.22

2.23

2.24

2.25

2.26

2.27

2.28

2.29

30

  

3 кесте - Интегралды табыңыз

Тапсырма

Тапсырма

Тапсырма

3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

3.6

3.7

3.8

3.9

3.10

3.11

3.12

3.13

3.14

3.15

3.16

3.17

3.18

3.19

3.20

3.21

3.22

3.23

3.24

3.25

3.26

3.27

3.28

3.29

3.30

 

4 кесте - Интегралды табыңыз

Тапсырма

Тапсырма

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

4.6

4.7

 

4.8

4.9

4.10

4.11

4.12

4.13

4.14

4.15

4.16

4.17

4.18

4.19

4.20

4.21

4.22

4.23

4.24

4.25

4.26

4.27

4.28

4.29

4.30

 

5 кесте - Интегралды табыңыз

Тапсырма

Тапсырма

Тапсырма

5.1

5.2

5.3

5.4

5.5

5.6

5.7

5.8

5.9

5.10

5.11

5.12

5.13

5.14

5.15

5.16

5.17

5.18

5.19

5.20

5.21

5.22

5.23

5.24

5.25

5.26

5.27

5.28

5.29

5.30

 

6 кесте -  функциясын дифференциал таңбасы астынан шығарыңыз

6.1

6.2

6.3

6.4

6.5

6.6

6.7

6.8

6.9

6.10

6.11

6.12

6.13

6.14

6.15

6.16

6.17

6.18

6.19

6.20

6.21

6.22

6.23

6.24

6.25

6.26

6.27

6.28

6.29

6.30

 

7 кесте - функциясын дифференциал таңбасы астына кіргізіңіз

7.1

7.2

7.3

7.4

7.5

7.6

7.7

7.8

7.9

7.10

7.11

7.12

7.13

7.14

7.15

7.16

7.17

7.18

7.19

7.20

7.21

7.22

7.23

7.24

7.25

7.26

7.27

7.28

7.29

7.30

 

8 кесте - Интегралды табыңыз

Тапсырма

Тапсырма

Тапсырма

8.1

8.2

8.3

8.4

8.5

8.6

8.7

8.8

8.9

8.10

8.11

8.12

8.13

8.14

8.15

8.16

8.17

8.18

8.19

8.20

8.21

8.22

8.23

8.24

8.25

8.26

8.27

8.28

8.29

8.30

 

9 кесте - Интегралды табыңыз

Тапсырма

Тапсырма

Тапсырма

9.1

9.2

9.3

9.4

9.5

9.6

9.7

9.8

9.9

9.10

9.11

9.12

9.13

9.14

9.15

9.16

9.17

9.18

9.19

9.20

9.21

9.22

9.23

9.24

9.25

9.26

9.27

9.28

9.29

9.30

 

10 кесте - Интегралды табыңыз

Тапсырма

Тапсырма

Тапсырма

10.1

10.2

10.3

10.4

10.5

10.6

10.7

10.8

10.9

10.10

10.11

10.12

10.13

10.14

10.15

10.16

10.17

10.18

10.19

10.20

10.21

10.22

10.23

10.24

10.25

 

10.26

10.27

10.28

10.29

10.30

 

11 кесте - Интегралды табыңыз

Тапсырма

Тапсырма

Тапсырма

11.1

11.2

11.3

11.4

11.5

11.6

11.7

11.8

11.9

11.10

11.11

11.12

11.13

11.14

11.15

11.16

11.17

11.18

11.19

11.20

11.21

11.22

11.23

11.24

11.25

11.26

11.27

11.28

11.29

11.30

 

12 кесте - Интегралды табыңыз

Тапсырма

Тапсырма

Тапсырма

12.1

12.2

12.3

12.4

12.5

12.6

12.7

12.8

12.9

12.10

12.11

12.12

12.13

12.14

12.15

12.16

12.17

12.18

12.19

12.20

12.21

12.22

12.23

12.24

12.25

12.26

12.27

12.28

12.29

12.30

 

13 кесте - Интегралды табыңыз

Тапсырма

Тапсырма

Тапсырма

13.1

13.2

13.3

13.4

13.5

13.6

13.7

13.8

13.9

13.10

13.11

13.12

13.13

13.14

13.15

13.16

13.17

13.18

13.19

13.20

13.21

13.22

13.23

13.24

13.25

 

 

13.26

13.27

13.28

13.29

13.30

 

14 кесте - Интегралды табыңыз

Тапсырма

Тапсырма

Тапсырма

14.1

14.2

14.3

14.4

14.5

14.6

14.7

14.8

14.9

14.10

14.11

14.12

14.13

14.14

14.15

14.16

14.17

14.18

14.19

14.20

14.21

14.22

14.23

14.24

14.25

14.26

14.27

14.28

14.29

14.30

  

15 кесте - Берілген ауыстыруды пайдаланып, анықталған интегралды есептеңіз.

Тапсырма

Тапсырма

15.1

15.2

15.3

15.4

15.5

15.6

15.7

15.8

15.9

15.10

15.11

.

15.12

.

15.13

.

15.14

.

15.15

.

15.16

.

15.17

15.18

15.19

15.20

15.21

15.22

15.23

15.24

15.25

15.26

15.27

15.28

15.29

15.30

 

16 кесте - Меншіксіз интегралды есептеңіз (немесе жинақсыздығын дәлелдеңіз).

Тапсырма

Тапсырма

Тапсырма

16.1

16.2

16.3

16.4

16.5

16.6

16.7

16.8

16.9

16.10

16.11

16.12

16.13

16.14

16.15

16.16

16.17

16.18

16.19

16.20

16.21

16.22

16.23

16.24

16.25

16.26

16.27

16.28

16.29

16.30

 

17 кесте - Меншіксіз интегралды есептеңіз (немесе жинақсыздығын дәлелдеңіз).

Тапсырма

Тапсырма

Тапсырма

17.1

17.2

17.3

17.4

17.5

17.6

17.7

17.8

17.9

17.10

17.11

17.12

17.13

17.14

17.15

17.16

17.17

17.18

17.19

17.20

17.21

17.22

17.23

17.24

17.25

17.26

17.27

17.28

17.29

17.30

  

18 кесте – Берілген сызықтармен шектелген D облысының табыңыз.

D облысының шекарасының теңдеулері

D облысының шекарасының теңдеулері

D облысының шекарасының теңдеулері

18.1

18.2

18.3

18.4

18.5

18.6

18.7

18.8

18.9

18.10

18.11

18.12

18.13

18.14

18.15

18.16

18.17

18.18

18.19

18.20

18.21

18.22

18.23

18.24

18.25

18.26

18.27

18.28

18.29

18.30

  

1.2 Екінші деңгей тапсырмалары

 

19  Теңдеуді шешіңіз:  - тақ нөмірлі нұсқалар үшін,  - жұп нөмірлі нұсқалар үшін.

 

20  

19 кесте - Интегралды табыңыз.

Тапсырма

Тапсырма

Тапсырма

20.1

20.2

20.3

20.4

20.5

20.6

20.7

20.8

20.9

20.10

20.11

20.12

20.13

20.14

20.15

20.16

20.17

20.18

20.19

20.20

20.21

20.22

20.23

20.24

20.25

20.26

20.27

20.28

20.29

20.30

 

20 кесте- Интегралды табыңыз.

Тапсырма

Тапсырма

Тапсырма

21.1

21.2

21.3

21.4

21.5

21.6

21.7

21.8

21.9

21.10

21.11

21.12

21.13

21.14

21.15

21.16

21.17

21.18

21.19

21.20

21.21

21.22

21.23

21.24

21.25

21.26

21.27

21.28

21.29

21.30

 

21 кесте- Интегралды табыңыз.

Тапсырма

Тапсырма

22.1

22.2

22.3

22.4

22.5

22.6

22.7

22.8

22.9

22.10.

22.11

22.12

22.13

22.14

22.15

22.16

22.17

22.18

22.19

22.20

22.21

22.22

22.23

22.24

22.25

22.26

22.27

22.28

22.29

22.30

  

22 кесте- Интегралды табыңыз.

Тапсырма

Тапсырма

23.1

23.2

23.3

23.4

23.5

23.6

23.7

23.8

23.9

23.10

23.11

23.12

23.13

23.14

23.15

23.16

23.17

23.18

23.19

23.20

23.21

23.22

23.23

23.24

23.25

23.26

23.27

23.28.

23.29

23.30

 

23 кесте- Интегралды табыңыз.

Тапсырма

Тапсырма

Тапсырма

24.1

24.2

24.3

24.4

24.5

24.6

24.7

24.8

24.9

24.10

24.11

24.12

24.13

24.14

24.15

24.16

24.17

24.18

24.19

24.20

24.21

24.22

24.23

24.24

24.25

24.26

24.27

24.28

24.29

24.30

 

2  «Бір айнымалы функцияның интегралдық есептелуі» тарауының есептеріне методикалық нұсқаулар. Типтік нұсқаның шешуі

 

          1)  1 және 19 тапсырмаларды орындау үшін машықтану сабақтарында қарастырылатын мына төмендегі теориялық материалдар қолданылады.  және   – нақты сандар болсын,  (жорамал бірлік). Сонда  саны алгебралық формада берілген комплекс сан деп аталады.  және  түйіндес сандар деп аталады. Егер   және    теңдіктері орындалса, онда    және   комплекс сандары өзара тең деп аталады.  және   сәйкесінше  комплекс санының нақты және жорамал бөліктері деп аталады  және былай белгіленеді: . Жорамал бірліктің анықтамасы бойынша табамыз:   және т.б.

Алгебралық формада берілген комплекс сандарға амалдар қолдану:

 және   жазықтықтағы нүктенің координаталары болсын. Демек, әрбір   комплекс санға  жазықтықтағы белгілі бір нүкте сәйкес келеді және керісінше.  нүктесін координаталар басымен қосамыз, осы кесіндінің (немесе вектордыңұзындығы     санының модулі, ал  Оөсінің оң бағыты мен нүктесінің радиус-векторы  арасындағы  интервалындағы бұрышы  z санының бас аргументі деп аталады.

 санының модулі мен бас аргументі мына формулалар бойынша анықталады:

     

 - комплекс санның тригонометриялық формасы; - комплекс санның көрсеткіштік формасы.

 – комплекс санның алгебралық формасынан тригонометриялық формасына көшу формуласы. Тригонометриялық формада берілген комплекс сандарға амалдар қолдану:

 

Комплекс санның n- ші дәрежелі түбірі әртүрлі  n мәнге ие болады. Олардың бәрінің модульдері  санына тең, яғни  центрі координаталар басында,  радиусы  -не тең шеңберде орналасқан. Бір түбірдің аргументі  -ге тең, ал басқа түбірлерінің аргументтері  осы мәннен -ге еселі сандармен  ерекшеленеді. Сонымен,  түбірінің барлық мәндері бір төбесінің  аргументі -ге тең, радиусы  шеңберге іштей сызылған дұрыс n-бұрыштың төбелерінде орналасқан.

          2 – 5, 8 тапсырмаларды тікелей  интегралдау, яғни интегралдау ережелерін, интегралданушы функцияларды түрлендіру және негізгі интегралдар таблицасын, [6], дәріс 3 пайдалану арқылы орындау қажет.

2)    Анықталмаған интегралды табыңыз:   .

Шешуі:  

.

3)    Анықталмаған интегралды табыңыз:   .

Шешуі:  

.

4)    Анықталмаған интегралды табыңыз: .

Шешуі: 

.

          5)    Анықталмаған интегралды табыңыз:    .

Шешуі:

.

         

          6 - тапсырмада  формуласын қолдану керек.

          7 - тапсырмада осы формуланы кері амалға қолдану қажет, яғни  немесе  , мұндағы F(x)  функциясы –  f(x) функциясының алғашқы функциясы.

6)   Дифференциал таңбасы астынан шығарыңыз:  .

Шешуі:    .  

7)   Дифференциал таңбасы астына кіргізіңіз:  .

 

Шешуі:   .

8)   Анықталмаған интегралды табыңыз:  .

Шешуі:         .

9 – 11  тапсырмаларда функцияны дифференциал таңбасы астына енгізу қажет.

9)   Анықталмаған интегралды табыңыз:   .

Шешуі:      .

10)   Анықталмаған интегралды табыңыз:    .

Шешуі:   .

Осы есептеу-графикалық жұмыста айнымалыны ауыстырудың дербес жағдайлары қолданылады.

1. Егер 

2..

11)   Анықталмаған интегралды табыңыз:   .

Шешуі:   Айнымалыны ауыстыру тәсілін пайдаланамыз:

12 - тапсырма құрамында квадрат үшмүшесі бар функцияны интегралдауға берілген ([6], 16-17 беттер). Толық квадратқа келтіру тәсілдерін пайдаланған тиімді: немесе .

13 - тапсырмада бөліктеп интегралдау тәсілін қолданамыз ([6], 15 бет).

, ,  түрдегі интегралдар үшін  белгілеулерін; ал ,, , ,  түрдегі интегралдар үшін  ,  белгілеулерін енгізген тиімді.

12)   Анықталмаған интегралды табыңыз:     .

Шешуі: .

13)   Анықталмаған интегралды табыңыз:     .

Шешуі:  Бөліктеп интегралдау тәсілін қолданамыз.

.

14 - тапсырма Ньютон-Лейбниц формуласын қолдану арқылы орындалады ([6], 27-28 беттер).

14)   Анықталған интегралды есептеңіз:   .

Шешуі: .

15 - тапсырмада анықталған интеграл үшін айнымалыны ауыстыру тәсілін қолдану қажет ([6], 29 бет).

          15) Берілген ауыстыруды пайдаланып, интегралды есептеңіз:    .

          Шешуі:

.      

16 - тапсырманы келтірілген мысал бойынша орындауға болады.

16)   Меншіксіз интегралды есептеңіз:    (немесе оның жинақсыздығын дәлелдеңіз).

          Шешуі:

.

Қорытынды: меншіксіз интеграл жинақты және санына тең ([6], 34 бет).

          17 - тапсырманы келтірілген мысал бойынша орындауға болады.

          17)  Меншіксіз интегралды есептеңіз:      (немесе оның жинақсыздығын дәлелдеңіз).

 

          Шешуі:   нүктесі интегралданушы функцияның интегралдау аралығындағы 2-текті үзіліс нүктесі.

.

Қорытынды: меншіксіз интеграл жинақты және көрсетілген санға тең ([6], 35 бет).

          18 - тапсырмада 8 дәріс материалдары қолданылады ([6], 31-34 беттер).

18)  Берілген сызықтармен шектелген  фигурасының ауданын есептеңіз.

          Шешуі:  

.

 

19)   Тригонометриялық функцияны интегралдаңыз:    .

Шешуі:

.

          20)   Анықталған  интегралды есептеңіз:    .

         

.

  

Әдебиеттер тізімі

1.     Айдос Е. Жоғары математика. – Алматы: 2003.

2.     Ибрашев Х.И., Еркеғұлов Ш.Т. Математикалық анализ курсы.1,2 т. – Алматы: 19631970.

3.     Хасеинов К.А. Математика канондары. – Алматы: MMIV, 2004.

4.     Көксалов К.К. Жоғары математика курсы. – Алматы: 2002.

5.     Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа для втузов. – М.: Наука, 1973.

6.     Бугров Я.С., Никольский С.М. Вывшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисления. – М.: Наука, 1980.

7.     Натансон И.П. Краткий курс высшей математики. – СПб.: Издательство Лань, 1997. – 736 б.

8.     Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Учебник для втузов: В 2 т.–М.: Наука, 1976.–Т.1–456 б.

9.     Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Учебник для втузов: В 2 т.–М.: Наука, 1976.–Т.2–576 б.

10.  Данко П.Е. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты).– М.: Высшая школа, 1983.

  

Методикалық нұсқаулар 

11. Астраханцева Л.Н., Ким Л.Н., Ералиев С.Е. Жоғары математика. Өзіндік жұмыстарға арналған әдістемелік нұсқаулар мен тапсырмалар. Алматы: АИЭС, 1999.

12. Жуматаева С.А., Ким Л.Н., Ералиев С.Е. Есептеу-графикалық жұмыстарға арналған әдістемелік нұсқаулар мен тапсырмалар. Алматы: АИЭС, 1999.

   

 

Мазмұны

Алғы сөз 

3

1 Есептеу-графикалық жұмыстардың тапсырмалары  

3

1.1 Бірінші деңгей тапсырмалары 

3

2  «Бір айнымалы функцияның интегралдық есептелуі» тарауының есептеріне методикалық нұсқаулар. Типтік нұсқаның шешуі 

21

Әдебиеттер тізімі

29

    2009 ж. жиынтық жоспары, реті  151