Математика 2

Некоммерческое акционерное общество

АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ

Кафедра высшей математики

 

 

 

Математика 2

 

 Методические указания и задания к  расчетно-графическим  работам

для  специальностей 5В081200, 5В073100,5В074600, 5В071600

Часть 3

 

 

 

Алматы 2013

СОСТАВИТЕЛИ:  Л.Н.Ким.  Математика 2. Методические указания и         задания к  расчетно-графическим          работам  для  специальностей        5В081200, 5В073100, 5В074600,  5В071600 . Часть 3.-Алматы: АУЭС,2013.-   32 с.

 

 

 

Методические указания и задания к расчетно-графическим работам содержат дополненное и переработанное издание типового расчета №7 программы второго семестра курса высшей математики для студентов всех специальностей дневного отделения АУЭС 2002 года. Приведены основные теоретические вопросы программы, варианты заданий и решение типового варианта. Расчетные задания разделены на два уровня сложности.

         Методические указания предназначены для студентов первого курса специальностей  5В081200, 5В073100,5В074600, 5В071600.

         Библиогр.- 11  назв.

                  

 

 

 

 

 

 

         Рецензент: канд.физ.-мат.наук,  доц.  Байсалова М.Ж.                                          

 

 

 

 

 

 

 

 

         Печатается по плану издания некоммерческого акционерного общества «Алматинский университет  энергетики и связи» на 2013г.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                   © НАО «Алматинский университет энергетики и связи», 2013 г.

Введение

 

         Методические указания представляют собой программу и задания к расчетно-графической работе   «Ряды. Элементы теории вероятностей»

модуля 3  «Математики 2»  и решение типового варианта.  Задания состоят из  тридцати вариантов. Вторая цифра номера задания указывает вариант студента.

         Расчетно-графическая работа должна быть решена в отдельной тетради, решение задач должно быть кратким и, в то же время, достаточно объяснено ссылками на теорию и сопровождено необходимыми рисунками. Примером для оформления контрольной работы может служить решение типового варианта, которое приведено в данном методическом указании.

 

         Цель  изучения разделов «Ряды. Элементы теории вероятностей» обусловлена необходимостью получения знаний  для изучения технических дисциплин. Эти разделы имеют широкое применение в теории приближения функций  и в вероятностных закономерностях массовых однородных случайных событий.

                                                   

         Расчетно-графическая работа.  Ряды, элементы теории вероятностей  

 

         Расчетные задания первого уровня 

1        задание . Записать общий член ряда,  найти  (ую частичную

сумму ряда)   и  -остаток ряда .   Найти  сумму ряда.

1.1        

1.2  

1.3 

 

 

 

1.4       

1.5   

1.6  

 

 

1.7      

1.8    

1.9    

 

 

1.10       

1.11    

1.12     

 

 

1.13     

1.14    

1.15    

 

 

1.16     

1.17                    

1.18     

 

 

1.19     

1.20    

1.21   

 

 

1.22     

1.23      

1.24      

 

 

1.25       

1.26     

1.27   

 

 

1.28      

1.29    

1.30     

 

 

        

         2  задание.  Выполняется ли необходимое условие сходимости ряда?  Если да, то исследовать ряд на сходимость с помощью признаков сравнения.

2.1        

2.2    

2.3  

2.4        

2.5   

2.6   

2.7  

2.8  

2.9    

2.10   

2.11   

2.12   

2.13   

2.14    

2.15    

2.16      

2.17  

2.18    

2.19  

2.20      

2.21   

2.22   

2.23   

2.24   

2.25   

2.26   

2.27   

2.28    

2.29    

 2.30   

                

         3 задание.   Исследовать ряд на сходимость с помощью признака Даламбера.

3.1   

3.2       

3.3  

3.4   

3.5        

3.6       

3.7    

3.8     

3.9   

3.10     

3.11   

3.12   

3.13   

3.14    

3.15   

3.16   

3.17   

3.18   

3.19        

3.20       

3.21  

3.22   

3.23       

3.24   

3.25      

3.26        

3.27       

3.28 

3.29    

3.30   

                    

         4 задание.  Исследовать ряд на сходимость с помощью радикального признака Коши.

4.1    

4.2     

4.3  

4.4   

4.5     

4.6       

4.7  

4.8  

4.9   

4.10   

4.11   

4.12  

4.13    

4.14        

4.15    

4.16   

4.17.

4.18   

4.19    

4.20    

4.21   

4.22    

4.23    

4.24   

4.25   

4.26   

4.27    

4.28       

4.29        

4.30   

         5 задание.  Исследовать ряд на сходимость с помощью интегрального признака Коши.

5.1   

5.2  

5.3

5.4   

5.5 

5.6  

5.7  

5.8   

5.9    

5.10      

5.11  

5.12  

5.13     

5.14      

5.15   

5.16 

5.17      

5.18   

5.19 

5.20   

5.21  

5.22   

5.23  

5.24

5.25

5.26   

5.27

5.28

5.29  

5.30

        

         6 задание.  Сравнением с рядом Дирихле  исследовать сходимость ряда.

6.1   

6.2   

6.3    

6.4    

6.5   

6.6      

6.7    

6.8    

6.9   

6.10   

6.11   

6.12    

6.13    

6.14    

6.15    

6.16   

6.17   

6.18   

6.19  

6.20  

6.21   

6.22    

6.23   

6.24   

6.25   

6.26   

6.27   

6.28    

6.29   

6.30    

 

         7 задание.   Исследовать на абсолютную или условную сходимость знакочередующиеся ряды.

7.1     

7.2      

7.3    

7.4    

7.5    

7.6      

7.7   

7.8   

7.9    

7.10  

7.11   

7.12    

7.13   

7.14    

7.15    

7.16    

7.17       

7.18     

7.19  

7.20          

7.21   

7.22     

7.23     

7.24       

7.25        

7.26     

7.27.     

7.28      

7.29   

7.30    

        

         8 задание.   Задан функциональный ряд   с общим членом  . Записать  ую  частичную сумму   и  остаток    для заданного  ряда.  Найти  область сходимости ряда.

8.1    

8.2     

8.3 

8.4  

8.5  

8.6  

8.7  

8.8    

8.9   

8.10  

8.11

8.12  

8.13 

8.14  

8.15   

8.16 

8.17  

8.18   

8.19   

8.20 

8.21 

8.22

8.23  

8.24

8.25

8.26  

8.27  

8.28 

8.29  

8.30 

8.31 

8.32 

        

         9 задание.   Вычислить сумму ряда с точностью .

9.1        

9.2          

9.3       ,                    

9.4         

9.5    

9.6     

9.7       ,                           

9.8       

9.9      

9.10        ,

9.11     

9.12     

9.13          

9.14       ,

9.15        

9.16      

9.17        

9.178    ,     

9.19            

9.20     

9.21     ,    

9.22       

9.23            

9.24      

9.25              

9.26        

9.27          

9.28     ,

   9.29       

9.30     

 

         10 задание.  Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд,  вычислить  определенный интеграл с точностью до 0,001.

10.1

 

10.2   

10.3

 

10.4

10.5           

10.6  

 

10.7 

   10.8

10.9      

 

10.10 

10.11   

10.12    

10.13             

10.14       

10.15       

 

10.16

10.17      

10.18     

 

10.19         

10.20     

10.21     

10.22         

 

10.23       

10.24      

10.25     

10.26     

10.27 

 

10.28     

10.29      

10.30     

         11  задание.   Разложить в ряд Фурье периодическую функцию  с периодом  , заданную в указанном интервале.

11.1

11.2 

11.3 

11.4

 

11.5

11.6

 

11.7 

 

11.8 

 

11.9

11.10 

11.11

11.12 

11.13

11.14

11.15

11.16    

11.17      

11.18  

11.19

11.20

11.21

11.22

11.23      

11.24 

11.25    

11.26    

11.27 

11.28  

11.29

11.30

 

         Расчетные задания второго уровня

 

         12  задание.  Найти радиус, интервал сходимости и область сходимости степенного ряда.

12.1  

12.2  

12.3   

12.4  

12.5   

12.6      

12.7   

12.8  

12.9  

12.10   

12.11   

12.12 

12.13   

12.14  

12.15   

12.16    

12.17 

12.18    

12.19 

12.20     

12.21    

12.22   

12.23    

12.24    

12.25  

12.26      

12.27      

12.28

12.29

12.30

 

         13 задание.  Разложить в ряд Фурье периодическую функцию, заданную на отрезке .

13.1      

13.2      

13.3   

13.4       

13.5  

13.6        

13.7   

13.8    

13.9      

13.10  

13.11 

13.12   

13.13     

13.14     

13.15   

13.16  

13.17    

13.18   

13.19    

13.20    

13.21    

13.22  

13.23   

13.24  

13.25    

13.26   

13.27 

13.28  

13.29     

13.30  

 

         Задания по курсу «Теория  вероятностей»

        

         14  задание.  Вероятность приема радиосигнала при каждой передаче равна  . Найти вероятность того, что при   кратной передаче сигнал будет принят:1)  раз;     2) не менее    раз.

№

№

№

14.1

5

2

0,87

14.2

4

1

0,87

14.3

5

2

0,89

14.4

4

1

0,89

14.5

4

2

0,91

14.6

5

3

0,91

14.7

5

3

0,93

14.8

4

2

0,93

14.9

5

2

0,95

14.10

4

2

0,74

14.11

5

2

0,76

14.12

6

1

0,78

14.13

4

1

0,80

14.14

5

2

0,82

14.15

6

2

0,84

14.16

4

2

0,86

14.17

5

1

0,88

14.18

6

2

0,90

14.19

4

1

0,92

14.20

4

2

0,82

14.21

5

4

0,84

14.22

5

3

0,86

14.23

4

3

0,88

14.24

4

2

0,90

14.25

6

2

0,87

14.26

6

3

0,85

14.27

5

2

0,90

14.28

5

1

0,92

14.29

5

3

0,83

14.30

6

3

0,92

        

         15 задание

         15.1  В  блок входят три радиолампы. Вероятности выхода из строя в течение гарантийного срока для них равны соответственно 0,3; 0,2; 0,4. Какова вероятность того. что в течение гарантийного срока выйдут из строя:

         а) не менее двух радиоламп;

         б) ни одна радиолампа.

         15.2  В  первом ящике 20 деталей, 15 из них – стандартные, во втором ящике 30 деталей, 25 из них – стандартные. Из каждого ящика наугад берут по одной детали. Какова вероятность того, что:

         а) обе детали будут стандартными; 

         б) обе детали нестандартные?

         15.3  Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,9. Вторым – 0,7. Оба стрелка сделали по одному выстрелу. Какова вероятность того, что цель поражена:  

         а) два раза;

         б) один раз?

         15.4  При  одном цикле обзора трех радиолокационных станций, следящих за космическим кораблем, вероятности его обнаружения равны соответственно  0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятность того, что при одном цикле обзора корабль:

         а) будет обнаружен тремя станциями; 

         б) будет обнаружен не менее чем двумя станциями.

         15.5   В  цехе имеется три резервных электродвигателя. Для каждого из них вероятность того, что в данный момент он включен, равна соответственно 0,2; 0,3; 0,1. Найти вероятность того, что  включены:

         а) два электродвигателя;

         б) три электродвигателя.

         15.6  Вероятность того,  что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9, второй – 0,7,  третий – 0,6. Вычислить вероятность того, что студент сдаст: 

         а) два экзамена;

         б) не менее двух экзаменов.

         15.7  Самолет противника обнаруживается тремя радиолокаторами с вероятностями 0,8; 0,7; 0,5. Какова вероятность обнаружения самолета:                      а) одним радиолокатором;

          б) двумя радиолокаторами?

         15.8   При некоторых определенных условиях вероятность сбить самолет противника из первого зенитного орудия равна 0,4, из второго – 0,5. Сделано по одному выстрелу. Найти вероятность того, что:

         а) самолет уничтожен двумя снарядами;

         б) ни один снаряд не попал в цель.

         15.9  Вероятность выигрыша по лотерейному билету первого выпуска равна 0,2, второго – 0.3.  Имеется по два билета каждого выпуска. Найти вероятность того, что выиграют: 

         а) три билета;  

         в) менее трех билетов.

         15.10  Вероятность поражения цели первым стрелком при одном

выстреле  равна  0,7, вторым – 0,5. Найти вероятность того, что цель будет поражена:

         а) двумя стрелками; 

         б) только одним стрелком.

         15.11   Для  аварийной сигнализации установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор, равна 0,9, второй – 0,7. Найти вероятность того,  что при аварии:

         а) сработают оба сигнализатора; 

         б) не сработает ни один сигнализатор.

         15.12  Инженер  выполняет расчет, пользуясь тремя справочниками. Вероятности того, что интересующие его данные находятся в первом, втором, третьем справочниках, равны соответственно 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятность того, что интересующие инженера данные содержатся: 

         а) только в одном справочнике; 

         б) только в двух справочниках.

         15.13  В  телестудии три телевизионные камеры. Вероятности того, что в данный момент камера включена, равны соответственно 0,9; 0,8; 0,7. Найти вероятность того, что в данный момент  включены:

         а) две камеры; 

         в) три камеры.

         15.14   В  первом ящике 25 деталей, 10 из них – стандартные, во втором ящике 30 деталей, 15 из них – стандартные. Из каждого ящика наугад берут по одной детали. Какова вероятность того, что:

          а) обе детали будут стандартными;

         б) обе детали нестандартные?

         15.15  Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,85. Вторым – 0,6. Оба стрелка сделали по одному выстрелу. Какова вероятность того, что цель поражена: 

         а) два раза;

          б) один раз?

         15.16  При  одном цикле обзора трех радиолокационных станций, следящих за космическим кораблем, вероятности его обнаружения равны соответственно  0,75; 0,8; 0,95. Найти вероятность того, что при одном цикле обзора корабль: 

         а) будет обнаружен тремя станциями;

         б) не будет обнаружен.

         15.17  В  цехе имеется три резервных электродвигателя. Для каждого из них вероятность того, что в данный момент он включен, равна соответственно 0,3; 0,4; 0,2. Найти вероятность того, что  включены:

         а) два электродвигателя;

         б) три электродвигателя.

         15.18  Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,75, второй – 0,8, третий – 0,7. Вычислить вероятность того, что студент сдаст: 

         а) два экзамена;

         б) не менее двух экзаменов.

         15.19  Самолет противника обнаруживается тремя радиолокаторами с вероятностями 0,85; 0,65; 0,55. Какова вероятность обнаружения самолета: 

         а) одним радиолокатором;

         б) двумя радиолокаторами.

         15.20 При  некоторых определенных условиях вероятность сбить самолет противника из первого зенитного орудия равна 0,3, из второго – 0,4. Сделано по одному выстрелу. Найти вероятность того,  что:

         а) самолет уничтожен двумя снарядами;

         б) ни один снаряд не попал в цель.

         15.21  Вероятность выигрыша по лотерейному билету первого выпуска равна 0,3, второго – 0.4. Имеется по два билета каждого выпуска. Найти вероятность того, что выиграют:  

         а) три билета;

         б) менее трех билетов.

         15.22-15.30   В  соревнованиях участвуют три спортсмена. Вероятности улучшения каждым из них своего результата равны ,  и   соответственно.  Найти вероятность того, что:

         а) два спортсмена из трех улучшат свой личный результат;

         б) хотя бы один из спортсменов улучшит свой результат.

   №

    №

   №

15.22

0,2

0,1

0,3

15.23

0,4

0,1

0,2

15.24

0,2

0,4

0,1

15.25

0,1

0,2

0,3

15.26

0,4

0,3

0,2

15.27

0,1

0,2

0,3

15.28

0,2

0,1

0,4

15.29

0,3

0,4

0,1

15.30

0,4

0,3

0,2

 

         16 задание

         16.1  Телеграфное сообщение состоит из сигналов  «точка» и «тире», они встречаются в передаваемых сообщениях в отношении 5:3. Статистические свойства помех таковы, что искажаются в среднем 2/5 сообщений «точка» и 1/3 сообщений «тире». Найти вероятность того, что:

         а) передаваемый сигнал принят;

         б) принятый сигнал – «тире».

         16.2   20% приборов монтируется с применением микромодулей, остальные – с применением интегральных схем. Надежность прибора с применением микромодулей – 0,9, интегральных схем – 0,8.  Найти:

         а) вероятность надежной работы;

         б) вероятность того, что прибор – с микромодулем, если он был исправен.

         16.3  Среди  поступивших на сборку деталей  305 – с завода №1, остальные – с завода №2. Вероятность брака для завода №1 равна 0,02, для завода №2 – 0,03. Найти:

         а) вероятность того, что наугад взятая деталь стандартная;

         б) вероятность изготовления наугад взятой детали на заводе №1, если она оказалась стандартной.

         16.4   Заготовка может поступить для обработки на один из двух станков с вероятностями 0,4 и 0,6 соответственно. При обработке на первом станке вероятность брака составляет 2%, на втором – 3%.  Найти вероятность того, что:

         а) наугад взятое после обработки изделие – стандартное;

         б) наугад взятое после обработки стандартное изделие обработано на первом станке.

         16.5  В  пяти ящиках с 30 шарами в каждом содержится по 5 красных шаров, в шести других ящиках с 20 шарами в каждом – по 4 красных шаров. Найти вероятность того, что:

         а) из наугад взятого ящика наудачу взятый шар будет красным;

         б) наугад взятый красный шар содержится в одном из первых пяти ящиков.

         16.6   По  линии связи передано два сигнала типа А и В с вероятностями соответственно  0,8 и  0,2. В среднем принимается 60% сигналов типа  А  и 70% типа  В. Найти вероятность того, что:

         а) посланный сигнал будет принят;  

         б) принятый сигнал типа А.

         16.7   На  сборку поступают детали с трех конвейеров. Первый дает 25%, второй – 30  и третий – 45 % деталей, поступающих на сборку. С первого конвейера в среднем поступает 2% брака, со второго – 3, с третьего – 1%. Найти вероятность того, что:    

         а) на сборку поступила бракованная деталь;

         б) поступившая на сборку бракованная деталь – со второго конвейера.

         16.8   В  двух коробках имеются однотипные конденсаторы. В первой 20 конденсаторов, из них 2 неисправных, во второй – 10, из них  3 неисправных. Найти вероятность того, что:

         а) наугад взятый конденсатор из случайно выбранной коробки годен к использованию;

         б)  наугад взятый конденсатор оказался годным. Из какой коробки он вероятнее всего взят?

         16.9   В  вычислительной лаборатории 40% микрокалькуляторов и 60% дисплеев. Во время расчета 90% микрокалькуляторов и 80% дисплеев работают безотказно. Найти вероятность того, что:

         а) наугад взятая вычислительная машина проработает безотказно во время расчета;

         б) выбранная машина проработала безотказно во время расчета. К какому типу вероятнее всего она принадлежит?

         16.10  Для  участия в студенческих спортивных соревнованиях выделено из первой группы 5 студентов, из второй и третьей – соответственно 6 и 10 студентов. Вероятности выполнения нормы мастера спорта для студентов первой группы равна  0,3, второй – 0,4, третьей – 0,2. Найти вероятность того, что:

         а) наугад выбранный студент выполнит норму мастера спорта;

         б) студент, выполнивший норму мастера спорта, учится во второй группе.

         16.11 На участке, где изготавливаются болты, первый станок производит 25%, второй – 35%, третий – 40% всех  изделий. В продукции каждого из станков брак составляет соответственно 5, 4 и 2%. Найти вероятность того, что:

         а) взятый наугад болт  – с дефектом; 

         б) случайно взятый болт с дефектом изготовлен на третьем станке.

         16.12  На  сборку поступают детали с четырех автоматов. Первый обрабатывает40%, второй – 30%, третий 20 и четвертый – 10% всех деталей, поступающих на сборку. Первый автомат дает 0,1% брака, второй - 0,2, третий – 0,25, четвертый – 0,5%. Найти вероятность того, что:

         а) на сборку поступит стандартная деталь;

         б) поступившая на сборку стандартная деталь изготовлена первым автоматом.

         16.13 Для  поисков спускаемого аппарата космического корабля выделено 4 вертолета первого типа и 6 вертолетов второго типа. Каждый вертолет первого типа обнаруживает находящийся в районе поиска аппарат с вероятностью 0,6, второго типа – с вероятностью 0.7. Найти вероятность того, что:

         а) наугад выбранный вертолет обнаружит аппарат;

         б) к какому типу вероятнее всего принадлежит вертолет, обнаруживший спускаемый аппарат?

         16.14  30% приборов монтируется с применением микромодулей, остальные – с применением интегральных схем. Надежность прибора с применением микромодулей – 0,8, интегральных схем – 0,7.  Найти:

         а) вероятность надежной работы; 

         б) вероятность того, что прибор – с микромодулем, если он был исправен.

         16.15  Среди  поступивших на сборку деталей  35% – с завода №1, остальные – с завода №2.  Вероятность брака для завода №1 равна 0,03, для завода №2 – 0,04. Найти:

         а) вероятность того, что наугад взятая деталь стандартная;

         б) вероятность изготовления наугад взятой детали на заводе №1, если она оказалась стандартной.

         16.16  Заготовка может поступить для обработки на один из двух станков с вероятностями 0,3 и 0,7 соответственно. При обработке на первом станке вероятность брака составляет 3%, на втором – 4%.  Найти вероятность того, что:

         а) наугад взятое после обработки изделие – стандартное;

         б) наугад взятое после обработки стандартное изделие обработано на первом станке.

         16.17  В  пяти  ящиках с 40 шарами в каждом содержится по 10 красных шаров, в шести других ящиках с 30 шарами в каждом – по 5 красных шаров. Найти вероятность того. что:

         а) из наугад взятого ящика наудачу взятый шар будет красным;

         б) наугад взятый красный шар содержится в одном из первых пяти ящиков.

         16.18  По  линии связи передано два сигнала типа А и В с вероятностями соответственно  0,7 и  0,3. В среднем принимается 70% сигналов типа  А  и 80% типа  В. Найти вероятность того, что:

         а) посланный сигнал будет принят;  

         б) принятый сигнал типа А.

         16.19   На сборку поступают детали с трех конвейеров. Первый дает 20%, второй – 35  и третий – 45 % деталей, поступающих на сборку. С первого конвейера в среднем поступает 3% брака, со второго – 2, с третьего – 1%. Найти вероятность того, что: 

         а) на сборку поступила бракованная деталь;

         б) поступившая на сборку бракованная деталь – со второго конвейера.

         16.20   В  двух коробках имеются однотипные конденсаторы. В первой 30 конденсаторов, из них 3 неисправных, во второй – 20, из них  4 неисправных. Найти вероятность того, что:

         а)наугад взятый конденсатор из случайно выбранной коробки годен к использованию;

         б)  наугад взятый конденсатор оказался годным. Из какой коробки он вероятнее всего взят?

         16.21   В  вычислительной лаборатории 30% микрокалькуляторов и 70% дисплеев. Во время расчета 90% микрокалькуляторов и 80% дисплеев работают безотказно. Найти вероятность того, что:

         а) наугад взятая вычислительная машина проработает безотказно во время расчета;

         б) выбранная машина проработала безотказно во время расчета. К какому типу вероятнее всего она принадлежит?

         16.22-16.30      телевизоров, имеющихся в магазине, изготовлены заводом  №1, остальные – заводом  №2.  Вероятности  того, что  телевизор выдержит гарантийный срок работы, равны   и   для первого и второго

заводов соответственно. Найти вероятность того, что:

         а)  купленный наудачу телевизор выдержит гарантийный срок работы;

         б)  купленный наудачу телевизор выпущен заводом №2, если известно, что он выдержал гарантийный срок работы.

   №

    №

   №

16.22

0,9

0,7

40

16.23

0,8

0,65

60

16.24

0,7

0,8

30

16.25

0,9

0,7

35

16.26

0,7

0,9

60

16.27

0,85

0,7

30

16.28

0,75

0,85

65

16.29

0,8

0,75

45

16.30

0,75

0,65

70

 

Решение типового варианта

         1  Составить формулу общего члена ряда  и написать первые пять членов. Написать  - -ую частичную сумму ряда     , - остаток  ряда  и  . Найти - сумму ряда.

          Решение: общий член ряда  ,

=

=,   =.

         Представим общий член ряда в виде суммы простейших дробей:

При   имеем:     при   получим: 

Таким образом, Найдем сумму первых  членов ряда:

Вычислим сумму ряда: 

         2   Выполняется ли необходимое условие сходимости ряда ? Если да, то

 исследовать ряд на сходимость с помощью признаков сравнения.

         Решение: выпишем общий член ряда  .   , следовательно, необходимое условие сходимости ряда выполнено.

         Так как    , то   и 

Ряд    расходится по второму признаку сравнения.  Сравнивая  ряд   с   рядом  , который расходится,  и, вычислив  ,  убеждаемся, что  по первому признаку сравнения  расходится и данный ряд.

         3  Исследовать ряд    на сходимость с помощью признака Даламбера.

         Решение:    По признаку Даламбера имеем:  

следовательно, ряд сходится.

         4  Исследовать ряд на сходимость с помощью радикального признака Коши.

         Решение:  По радикальному признаку Коши имеем:

.  

         Следовательно, ряд сходится.

         5 Исследовать ряд на сходимость с помощью интегрального признака сходимости.

         Решение:  выпишем общий член ряда    Рассмотрим ряд  .  По интегральному признаку Коши он расходится, так как   несобственный интеграл   расходится.   Но    т.е.   ,   и поэтому по первому признаку сравнения данный ряд также расходится.

        

         6 Сравнением с рядом Дирихле исследовать сходимость ряда  

         Решение:  выпишем общий член ряда    .

Разность степеней числителя и знаменателя равна единице. Следовательно, сравним данный ряд по второму признаку сравнения с рядом Дирихле:  где  т.е. с рядом  (гармонический ряд, расходится). Так как              

то оба ряда одновременно расходятся.

            7 Исследовать на абсолютную или условную сходимость знакочередующиеся ряды:

        

 

         Решение:

         а)  рассмотрим ряд  . Этот ряд сходится по второму

признаку сравнения: сравниваем его с рядом  ( это ряд Дирихле   сходится).  По предельному признаку сравнения  поэтому оба ряда сходятся одновременно. Так как ряд              - сходится, то ряд  

            сходится  абсолютно;

         б)  рассмотрим ряд   Сравним его с рядом  .

По второму признаку сравнения    поэтому приходим к выводу, что он расходится.  Следовательно,  исходный ряд не может сходиться абсолютно. Проверим выполнение условий Лейбница:      .  

Они выполняются, следовательно, исходный ряд сходится условно;

         с)   для этого ряда не выполняется одно из условий Лейбница    Действительно,   Следовательно, ряд расходится.

         8  Задан функциональный ряд с общим членом  .  Записать   ую  частичную сумму    

и остаток     для заданного ряда.

         Решение:      = 

В нашем случае

        

          .

          

         ,

         9   Найти область сходимости функционального ряда:

         а)   ;   б)

         Решение:     а)      

По признаку Даламбера     Следовательно,  или      Интервал -интервал сходимости заданного ряда.

         При   получим ряд    который исследуем на сходимость по второму признаку сравнения.   Сравним с  расходящимся рядом    расходится).  Поэтому ряд  расходится, следовательно,  не входит в область сходимости ряда;  при  получим ряд    Он сходится условно, так как выполняются условия признака Лейбница:

  Следовательно,  входит в область сходимости ряда.  Таким образом,  область сходимости данного ряда ;

         б)  ,   Найдем радиус сходимости ряда по формуле:

          

         Итак, ряд сходится только в точке .

         10   Вычислить сумму ряда   с точностью

         Решение:  так как ряд знакочередующийся  и сходящийся, то ая частичная сумма ряда   является приближением к его сумме   с абсолютной погрешностью, меньшей, чем абсолютная величина первого члена, не входящего в ,   т.е.  

         Вычислим несколько последовательных первых членов этого ряда:   до тех пор, пока не получим член по абсолютной величине меньший указанной точности. В нашем случае это   Тогда по вышеприведенному свойству знакочередующихся рядов   

         11   Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням .

        

         Решение:     найдем корни квадратного трехчлена               .

Значит,  функцию можно преобразовать так: 

= 

Каждое слагаемое разлагаем в ряд Тейлора по известной формуле:

                      

где второй ряд получен из первого путем замены

Складывая эти ряды, получим ряд Тейлора для исходной функции:

         рассмотрим    как степенной ряд, у которого коэффициенты всех членов, кроме двух, равны нулю и который сходится на всей числовой оси. Умножая этот ряд Тейлора  для  который также сходится на всей числовой оси, получим искомое разложение:

         12   Вычислить     с точностью до

         Решение:  разложим подынтегральную функцию в биномиальный ряд

полагая в нем

этот ряд сходится при    Почленно  проинтегрируем этот ряд в пределах от  0  до  :

Получили знакочередующийся ряд, сумму которого нужно найти с точностью до 0,0001.

Вычислим несколько последовательных первых членов этого ряда:

 Так как    то, согласно свойству знакочередующихся сходящихся рядов, имеем:  

 

 

         13   Разложить в ряд Фурье периодическую функцию

        

         Решение: для определения коэффициентов Фурье воспользуемся формулами:

 

 где       тогда   

Получим: 

        

                 

        

        

                 

          

         Подставляя найденные коэффициенты в формулу             где    , 

получим искомое разложение:

          

        

         14   Разложить в ряд Фурье периодическую функцию

        

         Решение:  вычислим коэффициенты Фурье:

Ряд Фурье для таких функций имеет вид: 

                           

         Подставляя в эту формулу найденные коэффициенты, получим искомое разложение:

                           

 

         15   Разложить функцию    в ряд Фурье  на отрезке .

         Решение:      ряд Фурье функции : .

Коэффициенты Фурье    находятся по формулам:

,    ,,  где  .

.         

   

 .    

+ .     

Ряд Фурье заданной функции:                   

                            4.         

         16   На  складе имеется 80 телевизоров одного типа. Из них 40 изготовлено заводом №1, 24 – заводом №2 и 16 – заводом №3. Вероятности изготовления  телевизоров высшего качества для каждого из этих заводов соответственно равны 0,9; 0,8; 0,6. Определить вероятность того, что первый телевизор, взятый наудачу со склада, окажется высшего качества. Найти вероятность того, что этот телевизор изготовлен заводом №1, заводом №2, заводом №3.

         Решение:  обозначим событие А – первый телевизор, взятый наудачу со склада, высшего сорта. Взятый телевизор мог быть изготовлен любым из трех заводов. Возможны три случая ( три гипотезы):  H1 - телевизор изготовлен заводом №1;  H2  - заводом №2;  H3 - заводом №3.

     

         Условные вероятности события А заданы:

        

         По формуле полной вероятности

               

         Следствием правила умножения и формулы полной вероятности является формула Байеса ( или теорема вероятностей гипотез).

          - формула Байеса.

          

        

        

         Сравнив полученные результаты с априорными вероятностями гипотез, видим, что наступление события А приводит к переоценке вероятностей гипотез. Вероятность первой гипотезы увеличилась, а второй и третьей – соответственно уменьшились.

 

         17   В студии телевидения имеются 5 телевизионных камер. Для каждой камеры вероятность того, что она включена в данный момент, равна 0,6. Найти вероятность того,  что в данный момент включены:

         а)  две камеры;

         б)  не менее четырех камер;

         в)  хотя бы одна  камера.

         Решение:  а) по формуле Бернулли:  

         б)  не менее четырех – это значит четыре или пять.  Но тогда по теореме сложения вероятностей для несовместных событий искомая вероятность будет равна:

        

         в) противоположным событию к интересующему нас событию является событие: « не включена ни одна камера». Вероятность этого  события       

         а тогда     

         В нашем примере 

        

   

Теоретические вопросы

 

         1 Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости ряда.

         2   Признаки сравнения.

         3   Признаки Даламбера и Коши.

         4   Интегральный признак сходимости.

         5   Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Оценка остатка ряда.

         6   Знакопеременные ряды. Абсолютно и условно сходящиеся ряды.

         7  Область сходимости функциональных рядов. Понятие равномерной сходимости. Признак Вейерштрасса

         8 Почленное интегрирование и дифференцирование равномерно сходящихся рядов.

         9  Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенных рядов.

         10   Ряд Тейлора.   Разложение  по степеням    функций 

         11 Тригонометрический ряд Фурье и его коэффициенты. Теорема Дирихле.

         12   Ряд Фурье для функций с периодом  .

         13  Ряд Фурье для четных и нечетных функций, для непериодических функций.

         14 Основные понятия теории вероятностей. Случайные события. Классическое определение вероятностей. Относительная частота.

         15  Теорема сложения вероятностей. Сумма событий. Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Полная группа событий. Противоположные события.

         16  Теорема умножения вероятностей. Произведение событий. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей для зависимых и

независимых событий.

         17 Следствия теорем сложения и умножения. Теорема сложения вероятностей совместных событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

         18  Повторение испытаний. Формула Бернулли.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

 

         1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч.- М.: Высш. Шк., 1986. – Ч.2-352 с.

         2. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: В 3 ч.

/А.П.Рябушко, В.В.Бархатов и др./ Под редакцией А.П.Рябушко.- Минск: Вышэйшая школа, 1991.-Ч.3-351 с.

         3. Кузнецов А.А. Сборник заданий по высшей математике: Типовые расчеты.-М.: Высш.шк., 1983.-176 с.

         4. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 2 часть.-М.: Айрис-пресс, 2003.-256 с.

         5. Хасеинов К.А. Каноны математики. Учебник – Алматы: 2003.-686 с.

         6. Математика 3. Конспект лекций для студентов всех форм обучения всех специальностей. Алматинский институт энергетики и связи: 2007.

         7. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие для вузов.-М.: Высш. Школа, 2003.-279

         8. Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам.-М.: Айрис-пресс, 2003.-279 с.

         9. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: В 4 ч.

/А.П.Рябушко, В.В.Бархатов и др./ Под редакцией А.П.Рябушко.- Минск: Вышэйшая школа, 2007.-Ч.4-335 с.

         10. Чудесенко В.Ф. Сборник заданий по специальным курсам высшей математики: Типовые расчеты.-М.: Высш.шк., 1983.-109 с.

         11. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.-М.: Высш.школа, 1999.-400 с.

 

Содержание

 

Введение                                                                                                                    3

Типовой расчет 3. Ряды                                                                                            3                                                                                  Расчетные задания первого уровня                                                                         3

Расчетные задания второго уровня                                                                       10

Задания по курсу «Теория  вероятностей»                                                           12                                                    

Решение типового варианта                                                                                   19                                                                    

Теоретические вопросы                                                                                          29                                                                           Список литературы                                                                                                 31                                                                                

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                Сводный план 2013 г., поз.177

 

 

 

 

Людмила Николаевна Ким

 

 

 

 

 

МАТЕМАТИКА 2

 

Методические указания и задания к выполнению расчетно-графических работ для студентов специальностей 5В081200, 5В073100,5В074600, 5В071600

Часть 3

 

 

 

 

 

Редактор Л.ТСластихина

Специалист по стандартизации Н.К.Молдабекова

 

 

 

 

 

Подписано в печать

               Формат 6084   1/16

Тираж 300  экз.

               Бумага типографическая №

Объем       уч.-изд.л.

           Заказ              Цена          т.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Копировально-множительное бюро

Некоммерческого акционерного общества

«Алматинский университит энергетики и связи»

050013, Алматы, ул. Байтурсынова,126