Коммерциялық емес акционерлік қоғам

АЛМАТЫ ЭНЕРГЕТИКА ЖӘНЕ БАЙЛАНЫС УНИВЕРСИТЕТІ

Жоғары математика кафедрасы

 

 

МАТЕМАТИКА 2

КӨП АЙНЫМАЛЫ ФУНКЦИЯЛАРДЫҢ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ
ЖӘНЕ ИНТЕГРАЛДЫҚ ЕСЕПТЕУЛЕРІ

 

 (5В081200, 5В073100, 5В074600, 5В071600 мамандықтарына
есептеу- графикалық жұмыстарын орындау үшін арналған
әдістемелік нұсқаулар мен тапсырмалар) 1-бөлім

 

 

Алматы 2013

ҚҰРАСТЫРУШЫЛАР: Л.Н.Ким. А.М.Бексултанова.  Математика 2. Көп  айнымалы функциялардың дифференциалдық және интегралдық есептеулері. 5В081200, 5В073100, 5В074600, 5В071600 мамандықтарына есептеу графикалық жұмыстарын орындау үшін арналған әдістемелік нұсқаулар мен тапсырмалар.1-бөлім.-Алматы: АЭжБУ, 2013.-  24 б.

 

Есептеу-графикалық жұмыстарын орындау үшін арналған бұл әдістемелік нұсқаулар мен тапсырмалар жиыны жоғарғы математика курсының екінші семестріне арналған бағдарламасы бойынша жазылған АЭжБУ-нің күндізгі бөлімінің барлық мамандықтарындағы студенттеріне арналған 2002 жылғы №5 типтік есептеу  басылымының жетілдірілген және толықтырылған түрі. Бағдарламаның негізгі теориялық сұрақтары енгізілген. Типтік нұсқалардың шешімі келтірілген. Есептеу-графикалық жұмыстары екі деңгейге бөлінген.    

Осы әдістемелік құрал барлық мамандықтар бойынша оқитын барлық бөлім студенттеріне арналған.

Әдеб.көрсеткіші-4 атау.

         

Пікір жазушы: физ.-мат.ғыл,канд.,  проф. С.Е. Базарбаева

 

«Алматы энергетика және байланыс университеті» коммерциалық емес акционерлік қоғамының  2013 жылғы басылым жоспары бойынша басылады.

 

 

©«Алматы энергетика және байланыс университетінің» КЕАҚ, 2013 ж.

 

Кіріспе

 

 Бұл әдістемелік нұсқау Математика 2  «Көп  айнымалы функциялардың дифференциалдық және интегралдық есептеулері» есептеу-графикалық  жұмысының  бағдарламасынан және есептерінен, типтік шешулерінен құралған.    Тапсырмалар 30 нұсқадан тұрады. Тапсырманың нөмірінің екінші саны студенттің нұсқасын білдіреді.

Сырттай оқу бөлімінің студенті үшін тапсырманың нұсқа нөмірі студенттің сынақ кітапшасының нөмірін 30-ға бөлгендегі қалдығымен анықталады. Мысалы, студенттің сынақ кітапшасының нөмірі  080612 болсын. Бұл нөмір 080612:30=2687 (қалд.2) түрінде жазылады. Демек, студент №2-нұсқа тапсырмаларын орындауы керек, егер қалдығы 0 болса, онда студент №30нұсқа тапсырмаларын орындайды.

Бақылау жұмысы оқушы дәптерінде орындалады, есептің шешуі қысқаша, бірақ теорияға сілтеулер және қажетті сызбалармен жеткілікті түсіндірілуі тиіс. Бақылау жұмысты орындауға мысал ретінде осы әдістемелік нұсқауда келтірілген типтік есептеуді орындау мысалын алуға болады.

 

Көп  айнымалы функциялардың дифференциалдық және интегралдық есептеулерін оқытудағы мақсат: «Физика», «Электрлік шынжырлар теориясы»  және т.б. пәндерде қажет болатын білім деңгейін беру.

         

1  Есептеу –графикалық жұмыс. Көп айнымалы функциялардың дифференциалдық және интегралдық есептеулері

 

1.1  Есептеу тапсырмалары

 

1 тапсырма.    функциясы берілген. Табу керек:

          а)  - функцияның толық өсімшесін; 

          б)       - дербес туындыларын ; 

          в) - функцияның дифференциалын.

№

.

№

.

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

1.10

1.11

1.12

1.13

1.14

1.15

1.16

1.17

1.18

1.19

1.20

1.21

1.22

1.23

1.24

1.25

1.26

1.27

1.28

1.29

1.30

 

2  тапсырма. Екі айнымалы   функциясы берілген.

Табу керек:

           

          а)

          б)         

          в) ;     

          г)  теңдігінің дұрыстығын   көрсету керек.

№

.

№

.

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9

2.10

2.11

2.12

2.13

2.14

2.15

2.16

2.17

2.18

2.19

2.20

2.21

2.22

2.23

2.24

2.25

2.26

2.27

2.28

2.29

2.30

         

3 тапсырма.  функциясы үшін берілген нүктеде  дербес туындыларын  табу керек.

№

№

3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

3.6

3.7

3.8

3.9

3.10

3.11

3.12

3.13

3.14

3.15

3.16

3.17

3.18

3.19

3.20

3.21

3.22

3.23

3.24

3.25

3.26

3.27

3.28

3.29

3.30

4 тапсырма.  Айқын емес функцияның туындыларын  табу керек.

№

№

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

4.6

4.7

4.8

4.9

4.10

4.11

4.12

4.13

4.14

4.15

4.16

4.17

4.18

4.19

4.20

4.21

4.22

4.23

4.24

4.25

4.26

4.27

4.28

4.29

4.30

 

5 тапсырма. Берілген  бетінің   нүктесінде жүргізілген  жанама жазықтықтың және нормальдің теңдеулерін табу керек.

№

                            жазықтығы

5.1

5.2

5.3

5.4

5.5

5.6

5.7

5.8

5.9

5.10

5.11

5.12

5.13

5.14

5.15

5.16

5.17

5.18

5.19

5.20

5.21

5.22

5.23

5.24

5.25

5.26

5.27

5.28

5.29

5.30

 

6           тапсырма.    функциясының  берілген теңдеуді қанағаттандыратындығын тексеру керек.           

№

Теңдеу

 Функциясы

6.1

6.2

6.3

6.4

6.5

6.6

6.7

6.8

6.9

6.10

6.11

6.12

6.13

6.14

6.15

6.16

6.17

6.18

6.19

6.20

6.21

6.22

6.23

6.24

6.25

6.26

6.27

6.28

6.29

6.30

 

7 тапсырма.  мәнінде, дәлдігі үтірден кейін екі мән тұратындай етіп,   күрделі функциясының туындысының мәнін есептеу керек. Мұндағы .

№

7.1

7.2

7.3

7.4

7.5

7.6

7.7

7.8

7.9

7.10

7.11

7.12

7.13

7.14

7.15

7.16

7.17

7.18

7.19

7.20

7.21

7.22

7.23

7.24

7.25

7.26

7.27

7.28

7.29

7.30

 

8 тапсырма. Функцияны экстремумге зерттеңіз.

№

№

8.1

8.2

8.3

8.4

8.5

8.6

8.7

8.8

8.9

8.10

811

8.12

8.13

8.14

8.15

8.16

8.17

8.18

8.19

8.20

8.21

8.22

8.23

8.24

8.25

8.26

8.27

8.28

8.29

8.30

 

9  тапсырма.  D облысын құрып, берілген сызықтармен шектелген осы облыстың ауданын екі еселі интегралмен есептеу керек.

9.1       

9.2      

9.3      

9.4    

9.5      

9.6    

9.7    

9.8    

9.9   

9.10    

9.11    

9.12    

9.13   

9.14   

9.15      

9.16  

9.17   

9.18    

9.19    

9.20    

9.21     

9.22    

9.23   

9.24   

9.25   

9.26   

9.27   

9.28   

9.29   

9.30  

 

10 тапсырма. D облысы бойынша екі еселі интегралдарды есептеңіз.

10.1

10.2 

10.3 

10.4

10.5

10.6

10.7 

10.8

10.9  

11.10   

11.11  

11.12  

 

10.13     

10.14   

10.15   

10.16   

10.17 

10.18   

10.19   

10.20   

10.21     

10.22    

10.23   

10.24  

10.25    

10.26   

10.27

10.28    

10.29   

10.30   

11 тапсырма.  Интегралдау ретін өзгертіңіз.

11.1   

11.2  

11.3      

11.4    

11.5    

11.6    

11.7   

11.8 

11.9    

11.10    

11.11   

11.12    

11.13    

11.14    

11.15     

11.16   

11.17

11.18     

11.19   

11.20

11.21

11.22     

11.23  

11.24   

11.25     

11.26   

11.27 

11.28   

11.29    

11.30   

 

          12 тапсырма. Полярлық координаттар жүйесіне ауысу арқылы екі еселі интегралдарды есептеңіз.

12.1      

12.2     

12.3  

 

12.4     

12.5      

12.6       

12.7   

12.8       

12.9       

12.10  

12.11     

12.12  

12.13   

12.14

12.15

12.16     

12.17 

12.18    

12.19

12.20   

12.21

12.22 

12.23

12.24 

12.25

12.26 

12.27 

12.28  

12.29   

12.30   

 

          13 тапсырма. Үш еселі интегралдарды есептеңіз.

13.1    

13.2

  

13.3

13.4

13.5

13.6

13.7

13.8

13.9

13.10

13.11

13.12

13.13

13.14

13.15

13.16

13.17

13.18

 

13.19

13.20

 

13.21

13.22

13.23    

13.24   

13.25

13.26

13.27

13.28

13.29

1330

 

 

2  Типтік нұсқасын шешу

 

          1    функциясы үшін  табу керек:

          а);

          б) ;

          в) .

 

          Шешуі:

          а)  функциясының дербес және толық өсімшелері

,

          ,

           формулалары бойынша есептеледі. Осыдан

,            ,

;

          б)  функциясының дербес және толық дифференциалдары          

               формулаларымен есептелінеді.

          Алдымен дербес туындыларын есептейік                              .

Осыдан,

         

          в)  функциясының екінші ретті дифференциалы

                формуласымен анықталады.

          Екінші ретті туындыларын табамыз:

,

,

.

Сонымен, .

          2 .  функциясы берілген.   Табу керек     

Шешуі:         табамыз, сонда,  

          3.   теңдеуімен берілген  функциясының  дербес туындыларын табу керек.     

          Шешуі:  теңдеуімен берілген  функциясының дербес туындылары:

                              .

          Осыдан,     

                              .

          4    бетінің  нүктесінде жүргізілген жанама жазықтығы мен нормалінің теңдеуін жазу керек.

          Шешуі:  егер  беті мен  нүктесі берілсе, онда жанама жазықтықтың теңдеуі:

                 ,

нормалдің теңдеуі:

                  .

Берілген нүктеде функцияның дербес туындылары:

болса, онда ізделінетін теңдеуіміз: болады, немесе   жанама жазықтықтың теңдеуі, нормалдің теңдеуі: болады.

          5    күрделі функциясының туындысын табу керек.

Шешуі:   Егер күрделі функция         түрінде берілсе, онда   оның толық туындысы:         

                      формуласымен анықталады, яғни

          6   қисықтарымен шектелген  облысы бойынша екі еселі интегралды есептеу керек    .

          Шешуі:  екі еселі интегралды қайталама интегралға келтірейік:

         

 тұрақты деп, ішкі интегралды есептеп алайық. айнымалысы бойынша алынған функцияны  аралығында  интегралдайық:

 

   

7.   интегралын есептеңіз, егер  облысы параболаларымен шектелген болса.

                                                  

                                                 2.1 сурет

                             

          Шешуі:  облысы - қарапайым (элементарлы).  Төменгі шегі   және жоғарғы шегі     ( облысы бірінші ширекте

орналасқан соң радикалдың алдына «+» таңбасын қоямыз, бұл жердекесіндісінде x-тің кез келген тұрғылықты мәнінде   - -дан       -ге дейін өзгереді.

         

 

8   Интегралдау ретін өзгертіңіз.

 

Шешуі:  

                             

                                                          2.2 сурет

 

 облысы  түзулерінің аралығында орналасқан. Оның төменгі шегі    жоғарғысы -       облысының сұлбасын     осіне түсірейік. Нәтижесінде кесіндісін аламыз.  облысының сол жақ шекарасы    түзуі, оң жақ  -аралығында  түзуі,  -аралықта  шеңбердің доғасы  болады. Сондықтан   облысын екіге   бөлу керек, ал интегралды –интегралдың қосындысы  ретінде қарастыруға болады:

         

 

          9  Екі еселі интегралды есептеңіз       егер    обласы шеңбермен шектелген болса.

 

          Шешуі:    обласы центрі координаттар басында жататын, радиусы бірге тең шеңбер болсын делік. Поляр координаттарға өтсек:  ,  және   болады, демек шеңбердің теңдеуі

 

10  V облысы бойынша  үш еселі интегралын есептеңіз.  Мұндағы V облысы төмендегі жазықтықтармен шектелген

          Шешуі:

         

    және   тұрақты деп алып, ішкі интегралды есептеп, екінші   және  бойынша алынған функцияны, x тұрақты деп есептеп  y бойынша интегралдаймыз. Соңында  шыққан x-тан тәуелді функцияны x бойынша интегралдап соңғы нәтижені аламыз:

 

 

 

3  Теориялық сұрақтар

 

1.    Көп айнымалы функциялар. Анықтылу облысы. Дербес өсімшелері мен дербес туындылары. Жоғарғы ретті дербес туындылар.

2.    Дербес дифференциалдары. Толық өсімшесі мен толық дифференциалы. Жоғарғы ретті дифференциал.

3.    Бетке жанама жазықтық және нормаль.

4.    Күрделі және айқын емес түрдегі көп айнымалы функцияларды дифференциалдау.

5.    Екі айнымалы функциялардың экстремумы. Экстремумның қажетті және жеткілікті шарттары.

6.    Шартты экстремум. Лагранжа көбейткіштерінің әдісі.

7.    Екі еселі және үш еселі интегралдарды есептеу, қасиеттері.  

8.    Тік бұрышты декарттық координаттарда екі еселі және үш еселі интегралдарды есептеу.

9.    Еселі интегралдарда айнымалыны ауыстыру. Поляр, цилиндірлік және сфералық координаттарға өту.

10.                    Көлем мен ауданды есептеуде, механика және физика есептерінде еселі интегралдарды қолдану.

 

 

 

Әдебиеттер тізімі

 

1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в    упражнениях и задачах: В 2 ч.-М.: Высш.шк., 2003.-Ч.1-352 с.

2. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: В 3ч. /А.П.Рябушко, В.В.Бархатов , и др./ Под ред.А.П.Рябушко.-Минск: Вышэйшая школа, 2000.-Ч.1.-396 с.

3.  Кузнецов А.А. Сборник заданий по высшей математике: Типовые расчеты.-М.: Высш.шк., 1983.-176 с.

4.   Хасеинов К.А. Каноны математики: Учебник. - Алматы, 2003-686 с.

 

 

Мазмұны

 

Кіріспе

1 Есептеу-графикалық жұмыс. Көп  айнымалы функциялардың дифференциалдық және интегралдық есептеулері

2 Типтік нұсқаны  шешу

3 Теориялық сұрақтар 

Әдебиеттер тізімі

 

 

2013 ж. жиынтық жоспары, 172 реті.