Математика1

Некоммерческое акционерное общество

АЛМАТИНСКИЙ  УНИВЕРСИТЕТ   ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ

Кафедра высшей математики

 

 

МАТЕМАТИКА 1

Методические указания и задания к расчетно-графическим работам
(для специальности 5В074600 – Космическая техника и технологии) Часть 2

 

 

Алматы 2013

 

СОСТАВИТЕЛИ: Р.Е.Ким, А.М.Бексултанова. Математика 1. Методические указания и задания к расчетно-графическим работам (для специальности 5В074600 – Космическая техника и технологии). Часть 2. -Алматы: АУЭС, 2013.-  35 с.

 

Методические указания и задания к расчетно-графической работе №2 для студентов специальности 5В074600 – Космическая техника и технологии составлены в соответствии с программой дисциплины «Математика 1» по разделу «Дифференциальное исчисление функции одной переменной». Приведены основные теоретические вопросы программы. Дано решение типового варианта.

Ил. 1, табл. 18, библиогр. – 4 назв.

 

Рецензент: канд. тех. наук, доц. Н.В. Сябина.

 

Печатается по плану издания некоммерческого акционерного общества «Алматинский университет энергетики и связи» на 2013 г.

 

ã   НАО «Алматинский университет энергетики и связи», 2013 г.

 

Сводный план  2013 г., поз. 185 

      

1 Расчетно-графическая работа № 2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

 

1.1 Введение

 

Математика является основой глубокого изучения инженерных дисциплин. Без современной математики с её развитым аналитическим и численным аппаратом невозможен прогресс в различных областях человеческой деятельности. Математические методы стали составной частью любой технической дисциплины. Всё это приводит необходимости усиления прикладной направленности курса математики и повышения уровня фундаментальной математической подготовки.

Цель данной работы – изучение основных понятий, законов и методов высшей математики и их приложений, вооружение будущих инженеров современным математическим аппаратом, формирование у студентов знаний и умений, которые образуют теоретический фундамент, необходимый для корректной постановки и решения проблем при разработке математических и компьютерных моделей сложных технических систем.

В представленной методической разработке даны задания расчетно-графической работы №2. Задания соответствуют программе раздела «Дифференциальное исчисление функции одной переменной» курса «Математика 1» и предназначены для студентов специальности 5В074600 – Космическая техника и технологии. В работе рассмотрены основные типы задач. Приводится подробное решение типового варианта.

 

1.2 Расчётные  задания

 

1 Найти пределы функции, если предельная точка  а принимает два

значения а) и б).

 

Т а б л и ц а 1

№

а) а =

б) а =

№

а) а =

б) а =

 

 

 

 

 

 

 

 

1.1

             

2

-3

1.2

8

0

1.3

-1

2

1.4

-1

2

1.5

-5

3

1.6

-2

3

1.7

-1

4

1.8

8

1

 

продолжение таблицы 1

1.9

4

-1

1.10

-6

2

1.11

        

2

1

1.12

4

3

1.13

                                                                              

-2

3

1.14

-3

1

1.15

                                                           

8

-1

1.16

5

-1

1.17

                                                   

7

0

1.18

-3

2

1.19

                                          

4

1

1.20

3

-1

1.21

                                         

3

2

1.22

-9

2

1.23

                                                      

-5

1

1.24

-3

4

1.25

                                           

-7

3

1.26

9

-1

1.27

-6

1

1.28

-4

1

1.29

                        

-2

4

1.30

1

5

 

2 Найти пределы.

 

Т а б л и ц а  2

№

а)

б)

в)

 

 

 

 

2.1

2.2

2.3

2.4

 

продолжение таблицы 2

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9

2.10

2.11

2.12

2.13

2.14

2.15

2.16

2.17

2.18

2.19

2.20

2.21

2.22

продолжение таблицы 2

2.23

2.24

2.25

2.26

2.27

2.28

2.29

2.30

 

3 Найти пределы.

 

Т а б л и ц а  3

№

№

№

 

 

 

 

 

 

3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

3.6

3.7

3.8

3.9

3.10

3.11

3.12

3.13

3.14

3.15

продолжение таблицы 3

3.16

3.17

3.18

3.19

3.20

3.21

3.22

3.23

3.24

3.25

3.26

3.27

3.28

3.29

3.30

 

4 Найти пределы.

 

Т а б л и ц а  4

№

а)

б)

№

а)

б)

 

 

 

 

 

 

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

4.6

4.7

4.8

4.9

4.10

4.11

4.12

                                    

4.13

4.14

 

продолжение таблицы 4

4.15

4.16

4.17

4.18

4.19

4.20

4.21

4.22

4.23

4.24

4.25

4.26

4.27

4.28

4.29

4.30

 

5 Доказать, что функции   f (x)  и  φ(x) при  х → 0 являются бесконечно малыми одного порядка малости.

 

Та б л и ц а  5

№

f (x)

φ(x)

№

f (x)

φ(x)

 

 

 

 

 

 

5.1

5.2

5.3

5.4

5.5

5.6

5.7

5.8

5.9

5.10

5.11

5.12

5.13

5.14

5.15

5.16

5.17

5.18

5.19

5.20

5.21

5.22

5.23

5.24

 

продолжение таблицы 5

5.25

5.26

5.27

5.28

5.29

5.30

 

6 Найти пределы, используя эквивалентные бесконечно малые.

 

Та б л и ц а  6

№

а)

б)

№

а)

б)

 

 

 

 

 

 

6.1

                              

                          

6.2

           

6.3

6.4

6.5

6.6

6.7

6.8

6.9

6.10

6.11

6.12

6.13

6.14

6.15

6.16

6.17

6.18

6.19

6.20

6.21

6.22

 

продолжение таблицы 6

6.23

6.24

6.25

6.26

6.27

6.28

6.29

6.30

 

7 Для данных функций f (x) и g(x) найти: а) точку разрыва; б) левый и правый пределы в точке разрыва; в) определить характер точки разрыва.

 

Т а б л и ц а  7

№

f (x)

g(x)

№

f (x)

g(x)

 

 

 

 

 

 

7.1

7.2

7.3

7.4

7.5

7.6

7.7

7.8

7.9

7.10

7.11

7.12

7.13

7.14

7.15

7.16

7.17

7.18

7.19

7.20

7.21

7.22

 

 

продолжение таблицы 7

7.23

7.24

7.25

7.26

7.27

7.28

7.29

7.30

         

8 Исследовать функцию на непрерывность и построить график.

 

Т а б л и ц а  8

№

f(x)

№

f(x)

 

 

 

 

8.1

 

8.2

 

8.3

 

8.4

 

8.5

 

8.6

 

8.7

 

8.8

 

8.9

 

8.10

 

8.11

 

8.12

 

8.13

 

8.14

 

 

продолжение таблицы 8

8.15

 

 

8.16

 

8.17

 

 

8.18

 

8.19

 

 

 

8.20

 

8.21

 

 

8.22

 

8.23

 

 

8.24

  

8.25

 

 

8.26

 

8.27

 

 

 

8.28

 

 

8.29

 

 

 

8.30

 

 

 

9 Найти: 1) производные функций а) – д); 2) дифференциал функции из пункта б);         3) производную 2-го порядка и дифференциал 2-го порядка функции из пункта в).

 

 

Т а б л и ц а  9

9.1

а)

б)

в)

г)

д)

9.2

а)

б)  

в)

г)

д)

9.3

а)

б)

в)

г)

д)

9.4

а)

б)

в)

г)

д)

9.5

а)

б)

в)

г)

д)

9.6

а)

б)

в)  

г)

д)

9.7

а)

б)

в)

г)

д)

9.8

а)

б)

в)

г)

д)

9.9

a)

б)

в)

г)

д)

9.10

а)

б)

в)

г)

д)

9.11

а)

б)

в)

г)

д)

9.12

а)  

б)

в)

г)

д)

9.13

а)

б)

в)

г)

д)

9.14

а)

б)

в)

г)

д)

9.15

а)

б)

в)

г)

д)

продолжение таблицы 9

9.16

а)

б)

в)

г)

д)

9.17

а)

б)

в)

г)

д)

9.18

а)

б)

в)

г)

д)

9.19

а)

б)

в)

г)

д)

9.20

а)

б)

в)

г)

д)

9.21

a)

б)

в)

г)

д)

9.22

а)

б)

в)

г)

д)   

9.23

а)

б)

в)

г)

д)

9.24

а)

б)

в)

г)

д)

9.25

а)

б)

в)

г)

д)

9.26

а)

б)

в)

г)

д)

9.27

а)

б)

в)

г)

д)

9.28

а)

б)

в)

г)

д)

9.29

а)

б)

в)

г)

д)

9.30

а)

б)

в)

г)

д)

10 Найти производные методом логарифмического дифференцирования.

 

Т а б л и ц а  10

10.1

10.2  

10.3 

10.4

10.5

10.6

10.7

10.8

10.9  

10.10

10.11

10.12

10.13  

10.14

10.15 

10.16 

10.17

10.18

 

10.19

10.20  

 

продолжение таблицы 10

10.21

10.22  

10.23

10.24

10.25

10.26  

10.27

10.28 

10.29

10.30 

 

11 Найти производные неявных функций.

 

Т а б л и ц а 11

11.1     xy – 6 = cos y

11.2    xy + cos(x + y) = 0

11.3   + sin(x + y) = 0

11.4     xy = ln xy

11.5     x + y =

11.6     x = ln(x + y)

11.7    x – y + arctg y = 0 

11.8      

11.9     x – y +3sin y = 0

11.10   

11.11    

11.12      xy =

11.13     y = cos xy

11.14   

11.15    x – y + 4sin y = 0

11.16       

11.17  

11.18      

11.19   xy + sin(x + y) = 0

11.20       xy = ctg y

11.21    tg y = 4y – 5x

11.22      y – = 0

11.23      y = sin xy

11.24        y=

11.25    – ln xy = 0

11.26    x + y= tg(x + y)

11.27  + cos(x + y) = 0

11.28       y + = 0

11.29   + x = cos xy

11.30      xy = ln(1 + y)

12 Найти производную  функции, заданной параметрически.

Т а б л и ц а  12

12.1     

12.2     

12.3    

12.4     

12.5     

12.6     

12.7     

12.8     

12.9     

12.10   

12.11   

12.12   

12.13   

12.14   

12.15   

12.16   

12.17   

12.18   

12.19   

12.20   

12.21   

12.22

12.23

12.24

12.25

12.26

12.27

12.28

12.29

12.30

 

13 Составить уравнение касательной и нормали к графику функции в точке с абсциссой   х0.

 

Т а б л и ц а 13

№

y = f (x)

№

y = f (x)

 

 

 

 

 

 

13.1           

-2

13.2     

-1

продолжение таблицы 13

13.3      

4

13.4     

1

13.5      

-8

13.6         

1

13.7      

16

13.8     

-1

13.9      

3

13.10   

2

13.11    

2

13.12 

4

13.13    

64

13.14   

2

13.15    

1

13.16   

1

13.17    

1

13.18   

-2

13.19         

2

13.20        

1

13.21    

3

13.22   

1

13.23         

1

13.24   

-1

13.25        

1

13.26       

1

13.27

1

13.28       

2

13.29        

3

12.30         

-2

         

14 Вычислить приближённое значение функции в точке   х1  с помощью дифференциала.

 

Т а б л и ц а 14

№

y = f (x)

х1

№

y = f (x)

х1

 

 

 

 

 

 

14.1           

 1,03

14.2     

 1,97

14.3     

0,98

14.4     

7,64

14.5     

2,002

14.6         

1,03

продолжение таблицы 14

14.7     

8,36

14.8    

17

14.9     

2,56

14.10  

3,998

14.11   

1,996

14.12

2,997

14.13   

2,01

14.14  

1,98

14.15   

0,998

14.16  

31,85

14.17   

1,021

14.18  

16,62

14.19         

26,46

14.20        

1,012

14.21   

0,08

14.22  

27,54

14.23        

7,76

14.24  

0,97

14.25   

16,6

14.26  

0,01

14.27   

1,02

14.28  

1,05

14.29   

0,98

14.30         

1,97

 

15 Найти пределы по правилу Лопиталя.

 

Т а б л и ц а 15

№

а)

б)

№

а)

б)

 

 

 

 

 

 

15.1

15.2

15.3

15.4

 

15.5

15.6

15.7

15.8

15.9

15.10

15.11

15.12

15.13

15.14

 

 

продолжение таблицы 15

15.15

15.16

15.17

15.18

15.19

15.20

15.21

 

15.22

15.23

15.24

15.25

15.26

15.27

15.28

15.29

15.30  

 

 

1.3 Решение типового варианта

 

При вычислении пределов, прежде всего, следует подставить предельную точку в функцию вместо переменной.

Если получено вполне определённое значение (константа или бесконечность), то это значение является ответом.

Возможные виды определённостей: 

 .

Если в результате подстановки получена одна из неопределённостей (возможны семь видов неопределённостей: ), то, говорят, следует раскрыть неопределённость, т.е. вычислить предел,

используя различные методы, приведенные в таблице 16.

Рассмотрим эти методы на примерах.

1 Найти предел       при  

а) а=2;   

б) а=5.

Решение:

а) подставим предельную точку а=2 в данную функцию вместо х, получим сразу ответ:    ;

б) при подстановке  а = 5  получим неопределённость вида  , которую можно раскрыть, применяя один из двух методов:

1) разложить числитель и знаменатель дроби на множители, а затем

сократить дробь на общий множитель:      

                 ;

2) применяя правило Лопиталя:  .

По этому правилу имеем:   .

 

2 Найти пределы:

а) ;      

б) ;     

в) .

Решение: при вычислении данных пределов после подстановки  получается неопределённость вида  , для её раскрытия применяем правило 1 таблицы 16.

а) числитель и знаменатель имеют одинаковые степени (), поэтому предел равен отношению коэффициентов старших степеней:  

                                ;

б) степень числителя больше степени знаменателя (),   поэтому     ;

в) степень знаменателя больше степени числителя (), поэтому     .

 

3 Найти предел  .

Решение: при подстановке предельного значения получается неопределённость вида , которую в данном случае лучше раскрыть, умножая числитель и знаменатель на выражение, сопряжённое числителю. Одновременно знаменатель следует разложить на множители и затем сократить дробь на общий множитель:

.

Если применить правило Лопиталя, то получится тот же результат:       

                                         =.

 

          4 Найти пределы: 

а) ;  

б) .

          Решение:

          а) при подстановке  получим неопределённость вида , которую можно раскрыть, применяя, например, следующие методы:

1) первый метод – это приведение данного предела к форме второго замечательного предела    

или его обобщенной форме   :

===.

2) второй метод – это использование формулы, которую часто применяют для раскрытия неопределённостей вида:

                                   .

По этой формуле       == =

(используем теорему о замене бесконечно малой функции эквивалентной ей бесконечно малой:     при )

 = = .

Приведённую выше формулу можно не помнить, но использовать приём, который привёл к этой формуле:

положим   , прологарифмируем это равенство по основанию е:       

                                              , и найдём 

          = (см. вычисление этого предела выше) = .

Итак,   ,    откуда      ;

          б) ==.

 

5 Доказать, что функции     f (x) = cos 2x – cos3 2x   и      φ(x) = 3x2 – 5x3  при  х → 0  являются бесконечно малыми одного порядка малости.

Решение: для доказательства того, что две функции   f (x)  и   φ(x)  при    х → 0  являются бесконечно малыми одного порядка малости, необходимо показать, что    :

(применяя  таблицу 17, имеем:     при )

         

6 Найти пределы:

а) ;

б) , используя эквивалентные бесконечно малые.

          Решение:

а) применяя  таблицу 17, имеем:

                              ,  при .

Поэтому  

          б) с учётом таблицы 17 преобразуем                      

              

 – т.о., эта б.м. второго порядка по сравнению с  х;

5х3 – б.м. третьего порядка относительно  х;

() – б.м. первого порядка  или одного порядка с х, поэтому по теореме 2 (см. справочный материал 1.4.2):  .

Следовательно,     .

 

7 Для функций  и  найти:

а) точку разрыва;

б) левый и правый пределы в точке разрыва;

в) определить характер точки разрыва.

Решение:

1) Рассмотрим :

а) точка  х = –2  не входит в область определения этой функции, но функция определена в её окрестности, значит,  х = –2  точка разрыва;

б) == 0, 

    = =;

в) так как один из односторонних пределов , то    х = –2  точка разрыва второго рода.

2) Рассмотрим :

а) точка  х = 6  не входит в область определения этой функции, но функция определена в её окрестности, значит,  х = 6  точка разрыва;

б) == –,  == +;

в) так как оба односторонних предела «равны» , то х = 6  точка разрыва второго рода.

8 Исследовать функцию       на непрерывность и построить график.

Решение: данная функция определена на промежутке (–;) и три составляющие её функции определены для всех x из соответствующих интервалов, таким образом, точками разрыва могут быть только точки, в которых меняется аналитическое выражение функции, т.е.  х = 0  и  х = 2.

Исследуем эти точки.

Найдём односторонние пределы в х = 0:

                  ;          ;

значение функции в этой точке  .

 Итак, , поэтому  х = 0  точка непрерывности.

Аналогично для   х = 2:

;   ;

значение функции в этой точке  .

Так как  , то х = 2 точка разрыва первого рода,  – скачок функции в этой точке.

График имеет вид:         

             

 

Рисунок 1

            9 Найти:

1) производные функций

а) ,

б) ,

в) ,

г) ,

д) ;

2) дифференциал функции из пункта б);

3) производную 2-го порядка и дифференциал 2-го порядка функции из пункта в).

          Решение:

          1) по определению производной функции  называется предел . На практике при дифференцировании функций используют таблицу производных (см. таблицу 18) и основные правила  дифференцирования:

1) ;         2) ;        3);

4) если  или  (где  и  промежуточный аргумент), то           

                                  или ; 

5) если  и взаимно обратные функции, то   :

          а) запишем функцию в виде , затем по правилу 1) и формулам таблицы 18 имеем:

                ;

б) данную сложную функцию можно представить в виде 

. По правилу 4) нахождения производной сложной функции и,  учитывая формулу 9 таблицы 18, имеем:

  ;

в) используя таблицу 18 и правило 2),  получим  ;

г) используя таблицу производных 18 и правило 3), получим ;

д) представим данную функцию в виде цепочки элементарных функций, вводя промежуточные аргументы . Теперь находим производную, используя таблицу производных 18 и правило 4) нахождения производной сложной функции ;

          2) дифференциалом  функции    называется  выражение , поэтому  для функции  дифференциал равен    ;

3) по определению производной 2-го порядка или второй производной функции  называется производная от производной и обозначается через  у¢¢ или  f ¢¢ (x):                    у¢¢ = (у¢ )¢ = f ¢¢ (x).

Поэтому для функции производная 2-го порядка равна

у¢¢ = (у¢ )¢ =()¢ ==

      =.

Дифференциал от дифференциала функции называется дифференциалом второго порядка или вторым дифференциалом этой функции и обозначается через  d2y:       d(dy) = d2y.

В силу общего определения дифференциала:   d2y =  f¢¢ (x) (dx)2, или в сокращенном виде   d2y =  f¢¢ (x) dx2.

Поэтому для функции дифференциал 2-го порядка равен

                              d2y =  ()dx2.

 

10 Найти производные методом логарифмического дифференцирования

а);

б) .

Решение: метод логарифмического дифференцирования применяется для определения производных функций вида  или громоздких, но удобных для логарифмирования  функций (т.е. содержащих только операции умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня). Он состоит в последовательном выполнении следующих действий: логарифмированию функции по основанию е, дифференцированию полученного выражения (при этом производная   находится как производная сложной функции) и нахождению производной   из последнего равенства, как находят неизвестные из алгебраического уравнения.

а) после логарифмирования данной функции по основанию е получим , продифференцируем результат: .

Из последнего равенства найдём          

                       ;

б) применяя метод логарифмического дифференцирования, последова-тельно находим:   

;

; ;

;  .

 

11 Найти производную неявной функции .

Решение: дифференцируем данное равенство, имея в виду, что  у  есть функция от х (т.е. сложная функция):

.

Из последнего равенства как из уравнения находим                                 

                                           .

 

12 Найти производную  от функции, заданной параметрически  

     .

Решение: первая производная или просто производная параметрически заданной  функции  находится по формуле .

Так как    ,   ,     то   ;

 

13 Составить уравнение касательной и нормали к графику функции   в точке с абсциссой   х0 = 1.

Решение:

1) уравнение касательной к графику функции  в точке   х0  имеет вид:   ;

2) уравнение нормали  –           .

Найдём  , , . 

Таким образом, уравнение касательной:    или   ;

уравнение нормали:     или    .

 

14 Вычислить приближённое значение функции       в точке

x1 = 26,9  с помощью дифференциала.

Решение: при достаточно малых значениях  приращение функции может быть заменено её дифференциалом . Развернув это приближённое равенство, получим формулу    ,         (*)

которую применяют для приближённых вычислений, если требуется вычислить  и если проще вычислить  и , где  достаточно близкая к  x  точка.

В нашем примере    x = 26,9 ,   пусть   x0 = 27,  тогда

           ,        ,     .

Подставляя эти значения в формулу (*), получим     

                        .

 

15 Найти пределы по правилу Лопиталя:

а);

б) .

         

Решение:

          а) применяя правило Лопиталя (см. в примере 1б)), имеем 

                                   ;

          б) при вычислении пределов вида   подстановка предельной точки в функции может привести к следующим неопределенностям: ,  которые можно раскрыть по формуле , приведённой в примере 4а), или с помощью приёма, указанного в этом же примере.

В нашем случае после подстановки предельной точки в функцию получим неопределённость вида , Положим  и прологарифмируем это равенство по основанию е:       .

Применим правило Лопиталя при нахождении предела  

(применим повторно правило Лопиталя)

 .

Таким образом, , откуда .

 

 

 

 

 

1.4 Справочный материал

 

1.4.1 Виды пределов и методы их вычисления.

 

Т а б л и ц а 16

Виды пределов

Результат подстановки предельной точки

Результат или метод вычисления предела

 

 

 

1

 

неопределённость

2

   

,  неопределённости

а) разложение на множители;

б) правило Лопиталя;

в) умножение на сопряжённое выражение;

г) применение эквивалентных  б.м.;

д) правило 1 этой таблицы

3  

, ,

0

4  

, ,

5  

 

неопределённость

привести к неопределённостям вида или , затем как в 1 или 2 этой таблицы

6  

,

7  

,

0

8  

 неопределённость

привести к неопределённостям вида или , затем как в 1 или 2 этой таблицы

9  

10 

 неопределённости

а) привести ко 2-му  замеч. пределу   

   ;

б) использовать формулу

11 

12 

1.4.2 Сравнение бесконечно малых функций.

Если  , то  называется бесконечно малой функцией или просто бесконечно малой (б. м.) при  . Для сравнения бесконечно малых вычисляют предел их отношения.

Пусть  и  бесконечно малые при , тогда если

1) , то б.м.  более высокого порядка малости, чем , в этом случае пишут ;

2) , то б.м.  более низкого порядка малости, чем ;

3) , то б.м.  и  одного порядка;

4) , то б.м.  и  эквивалентны, записывают ;

5) , то есть б.м. - го порядка по сравнению с.

При вычислении пределов с б.м. в ряде случаев используют теоремы об эквивалентных б.м.:

Теорема 1. Если ,  при , то

1)  ;

2) .

Теорема 2. Алгебраическая сумма конечного числа б.м. эквивалентна слагаемому низшего порядка.

Итак, следуя этим теоремам, в пределах одну б.м. можно заменить другой эквивалентной ей, при этом используют таблицу эквивалентных б.м.

 

Т а б л и ц а 17

, т.е.  – бесконечно малая при ,  а £ ¥.

 

1 

5 

9

2 

6 

10

3 

7 

11 

4 

8 

 

 

1.4.3  Непрерывные функции. Точки разрыва, их классификация.

Точками разрыва элементарной функции являются точки, в которых она не определена, но определена в их окрестности; если функция задана несколькими различными аналитическими выражениями, то точками разрыва могут быть точки, в которых меняется аналитическое выражение функции.

Односторонние пределы функции  в точке а определяются как предел , вычисленный в предположении, что всегда  или . Итак, левый предел: =;

правый предел:  =.

Если функция  непрерывна в точке а, то выполняются равенства  

                                 =.

Если а точка разрыва, то последние равенства нарушаются, и характер этого нарушения лежит в основе классификации точек разрыва:

1) если    и    существуют, но    , то а  точка разрыва первого рода с конечным скачком, разность – – скачок функции  в точке а;

2) если =, то  а – устранимая точка разрыва первого рода.

3) если хотя бы один из пределов  или  не существует или «равен» , то   а – точка разрыва второго рода.

 

1.4.4 Производные основных элементарных функций.

 

Т а б л и ц а 18

1 

7  

13  

2  

8  

14  

3  

9  

15  

4  

10  

16  

5  

11  

17  

6  

12  

 

 

1.5 Контрольные вопросы

 

1 Функция. Предел функции и его свойства.

2 Сравнение функций. Бесконечно малые и большие величины.

3 Замечательные пределы. Вычисление пределов.

4 Односторонние пределы.

5 Непрерывность функции в точке и в интервале.

6 Точки разрыва функции и их классификация.

7 Производная и дифференциал функции в точке.

8 Дифференцирование сложных, неявно и параметрически заданных функций.

9 Теоремы о среднем дифференцируемых функций.

10 Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя.

11 Исследование поведения функции и их графиков.

12 Дифференциал функции. Связь дифференциала с производной.

13 Производные и дифференциалы высших порядков.

14 Приложения дифференциального исчисления к геометрии.

Список литературы

 

1.    Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2 ч.–М.: Высшая школа, 1986.–Ч.1–352 с.

2.    Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: В 3 ч.     /А.П. Рябушко, В.В. Бархатов и др./Под редакцией А.П. Рябушко.–Минск: Вышэйшая школа, 2000.–Ч.1.–303 с.

3.    Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике: Типовые расчеты.–М.: Высшая школа, 1983.–175 с.

4.    Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Учебник для втузов: В 2 т.–М.: Наука, 1976.–Т.1–456 с.

 

Содержание

 

1 Расчетно-графическая работа № 2.
Дифференциальное исчисление функции одной переменной  

1.1 Введение 

1.2 Расчётные задания 

1.3 Решение типового варианта                                                                            

1.4 Справочный материал  

1.5 Контрольные вопросы                                                                                     

Список литературы