Некоммерческое акционерное общество
АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ
Кафедра высшей математики

 

МАТЕМАТИКА 1
Методические указания и задания к расчетно-графической работе
для студентов специальностей 5В071800 – Электроэнергетика,
5В071700 – Теплоэнергетика, 5В071900– Радиотехника,
электроника и телекоммуникации
Часть 2

 

Алматы, 2013

Составители: Масанова А.Ж., Толеуова Б.Ж.   Математика 1. Методические указания и задания к расчетно-графической работе для студентов специальностей 5В071800 – Электроэнергетика, 5В071700 – Теплоэнергетика, 5В071900– Радиотехника, электроника и телекоммуникации. Часть 2. – Алматы, 2013 – 23  с.

Методические указания и задания к расчетно-графической работе содержат  разделы программы первого семестра курса математики для студентов АУЭС: введение в анализ, дифференциальное исчисление функции одной. Приведены основные теоретические вопросы программы.

 Дано решение задач типового варианта действующих заданий РГР.

Табл. 12, Ил. 1.

Рецензент:  канд. техн. наук, доцент  М.Е. Туманов

Печатается по плану издания некоммерческого акционерного общества «Алматинский университет энергетики и связи» на 2013 г.

НАО «Алматинский университет энергетики и связи», 2013 г.

Сводный план  2013., поз.169

Введение

 

Математика играет важную роль в инженерно-технических исследованиях. Она является не только аппаратом количественного расчета, но также методом точного исследования и средством предельно четкой формулировки понятий и проблем.  Математические методы стали составной частью любой технической дисциплины. Все это приводит к необходимости усиления прикладной направленности курса математики и повышения уровня фундаментальной математической подготовки.

РГР  выполняется на отдельной тонкой тетради, в номере каждого задания вторая цифра указывает на вариант.

 

Расчётно-графическая работа. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

 

Цель: научить  студентов  владеть классическими  математическими методами исследования функций. Дать студентам навыки нахождения пределов, производных и дифференциалов первого и высших порядков для сложных и параметрически заданных функций, и уметь использовать полученные знания в изучении дальнейшего курса математики и разделов других спецдисциплин.

 

Теоретические вопросы

1. Функция одной переменной. Свойства.

2. Сложная функция, параметрически заданная функция.

3. Числовые оследовательности и их пределы.

4. Предел функции.Замечательные пределы.

5. Непрерывность функции. Точки разрыва и их классификация.

6. Производная функции.Дифференцирование параметрически заданной функции.

7. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя.

8. Признаки монотонности функции. Экстремумы функции.

9. Выпуклость, вогнутость графика функции. Точки перегиба.

10. Асимптоты графика функции.

11. Исследование функции с помощью производной. Построение графика функции.

 

Расчетные задания первого уровня

Задание 1.  Найти указанные пределы

 

1.1

1.2

1.3

 

1.4

1.5

1.6

 

1.7

1.8

1.9

1.10

1.11 

1.12 

1.13

1.14

1.15

1.16

1.17

1.18

1.19

1.20

1.21

1.22

1.23

1.24

1.25

1.26

1.27

1.28

1.29

1.30

 

          Задание 2.  Найти указанные пределы

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9

2.10

2.11

2.12

2.11

2.14

2.15

2.16

2.17

2.18

2.19

2.20

2.21

2.22

2.23

2.24

2.25

2.26

2.27

2.28

2.29

2.30

 

          Задание 3. Найти указанные пределы

3.1

3.2

3.3

3.4 

3.5 

3.6

3.7

3.8

3.9

3.10

3.11

3.12

3.13

3.14

3.15

3.16

3.17

3.18

3.19

3.20

3.21

3.22

3.23

3.24 

3.25 

3.26

3.27

3.28

3.29

3.30

 

Задание 4.  Найти указанные пределы

4.1a)  

       б)

4.2 a)  

       б)

4.3 a)

     б)

4.4 a)

       б)

4.5 a)

       б)

4.6 a)

     б)

4.7 a)

      б)

4.8 a)

       б)

4.9a)

      б)

4.10 a)

        б)

4.11 a)

       б)

4.12 a)

    б)

4.13 а)

        б)

4.14 a)

       б)

4.15 a)

    б)

4.16 a)

       б)

4.17 a)

        б)

4.18 а)

     б)

4.19 а)

       б)

4.20 а)

       б)

4.21 а)

     б)

4.22 a)

       б)

4.23 a)

       б)

4.24 a)

      б)

4.25 a)

       б)

4.26 a)

 б)

4.27 а)

      б)

4.28 а)

       б)

4.29 a)

       б)

4.30 a)

  б)

 

Задание 5.  Исследовать данные функции на непрерывность

5.1 a)

б)

5.2   a)

б)

5.3 а)

б)

5.4 a)

б)

5.5 a)

б)

5.6 a)

б)

5.7 a)

б)

5.8 a)

б)

5.9 a)

б)

5.10 a)

б)

5.11 a)

б)

5.12 a)

б)

5.13  a)

б)

5.14 a)

б)

5.15 a)

б)

5.16 a)

б)

5.17 a)

б)

5.18 a)

б)

5.19 a)

б)

5.20 а)

б)

5.21 a)

б)

5.22 a)

б)

5.23 a)

б)

5.24 a)

б)

5.25 а)

б)

5.26 a)

б)

5.27 а)

б)

5.28 a)

        б)

5.29 a)

б)

5.30 а)

б)

         

          Задание 6.  Найти производные функций

6.1

a)

б)

6.2   

a)

б)

6.3

a)

б)

6.4   

a)

б)

6.5   

a)

б)

6.6   

a)

б)

6.7

a)

б)

6.8 

a)

б)

6.9  a)

б)

6.10

a)

б)

6.11 a)

б)

6.12

a)

б)

6.13

a)

б)

6.14

a)

б)

6.15 a)

б)

6.16  

a)

б)

6.17

a)

б)

6.18  

a)

б) 

6.19

a)

б)

6.20

a)

б)

6.21  a)

б)

6.22

a)

б)

6.23

a)

б)

6.24

a)

б)

6.25

a)

б)

6.26   

a)

б)

6.27     

a)

б)

6.28  

a)

б)

6.29

a)

б)

6.30

a)

б)

 

Задание 7.  Найти производную функции, заданной параметрическими уравнениями

7.1

7.2 

7.3 

7.4 

7.5 

7.6  

7.7  

7.8

7.9

7.10

7.11

7.12

7.13

7.14   

7.15

7.16

7.17

7.18

7.19

7.20

7.21

7.22

7.23

7.24 

7.25

7.26

7.27   

7.28

7.29.

7.30

 

          Задание 8.   Найти значение второй производной функции  в точке

8.1

8.2

8.3

8.4  

8.5

8.6  

8.7  

8.8  

8.9   

8.10 

8.11 

8.12  

8.13

8.14 

 

8.15  

8.16 

8.17

8.18   

8.19 

8.20 

8.21  

8.22  

8.23

8.24 

8.25 

8.26 

8.27

8.28  

8.29   

8.30  

         

Задание 9.   Для иследования функции  определить:

а) область определения и точки разрыва;

б) асимптоты графика функции;

в) точки пересечения графика функции с осями координат;

г) четность, нечетность.

9.1

9.2

9.3 

9.4  

9.5

 

9.6

9.7  

9.8

9.9

9.10

 

9.11    

9.12 

9.13

9.1 4  

9.15    

9.16    

9.17 

9.18   

9.19   

9.20

 

9.21    

9.22 

9.23

9.24

 

9.25    

9.26    

9.27

9.28  

9.29   

9.30    

 

Задание 10.   Найти указанные пределы.

10.1

10.2 

10.3 

10.4  

10.5

10.6

10.7  

10.8

10.9    

10.10

10.11  

10.12   

10.13  

10.14  

10.15  

10.16  

10.17

10.18  

10.19  

10.20  

10.21  

10.22  

10.23 

10.24

 

10.25  

10.26  

10.27

10.28

10.29  

10.30  

 

 

 

Задание 11.   Найти указанные пределы, используя правило Лопиталя.

11.1

11.2

11.3

 

11.4

11.5

11.6

11.7

11.8

11.9

11.10

11.11

11.12

11.13  

11.14  

11.15

11.16

11.17

11.18

11.19

11.20

11.21

11.22  

11.23 

11.24

11.25

11.26

11.27

11.28

11.29  

11.30

 

 

Расчетные задания второго уровня

Задание 12.  Исследовать функцию на непрерывность и построить график

12.1

12.2  

12.3   

12.4

12.5

12.6    

12.7 

12.8  

12.9  

12.10   

12.11   

12.12 

12.13   

12.14  

12.15  

12.16   

12.17

12.18 

12.19 

12.20  

12.21  

12.22   

12.23   

12.24    

 

12.25  

12.26

12.27   

12.28   

12.29

12.30   

 

Задание 13.  Найти вторую производную функции, заданной параметрическими уравнениями в  задании 7.

 

Задание 14. Для функции из  задания 9 найти:

а) интервалы монотонности, экстремумы;

б) интервалы вогнутости, выпуклости и точки перегиба;

в) построить график.

 

Решение типового варианта

Задание 1. Найти предел

 

Решение:

 

Задание 2. Найти предел

 

Решение:

Задание 3. Найти предел

 

Решение:

 

Задание 4. Найти пределы   а) б)

 

Решение:

а) для раскрытия неопределенности используется    свойство первого

замечательного предела

б) для раскрытия неопределенности  используется    свойство второго

 замечательного предела

 

Задание 5. Исследовать функции на непрерывность: 

а)    б) .

Решение:

 а) функция    определена и непрерывна в интервалах . Следовательно, разрыв возможен в точке  Находим односторонние пределы функции в этой точке:                    

т.е. в точке    функция терпит бесконечный разрыв. Следовательно,  – точка разрыва второго рода;

б) функция    определена и непрерывна в интервалах и  . Следовательно, разрыв возможен в точке  Находим односторонние пределы функции в этой точке:

т.е. в точке    функция терпит бесконечный разрыв. Следовательно,  – точка разрыва второго рода.

 

Задание 6. Найти  производные функций:

а) б)

 

Решение:

а) по формуле   производной от сложной функции   находим:

б) отдельно расписывается производная сложной функции числителя:

 

 

Задание 7. Найти производную заданной параметрически функции:

 

Решение: производную функции, заданной параметрическими уравнениями, находим по формуле   ;

    то 

 

Задание 8. Найти значение второй производной функции  в точке

Решение:

  

 

Задание 9. Для иследования функции     определить:

а) область определения и точки разрыва;

б) асимптоты графика функции;

в) точки пересечения графика функции с осями координат;

г) четность, нечетность.

 

Решение:

а) - точка разрыва, в области своего определения функция непрерывна: . Найдем односторонние пределы в точке разрыва:

б) прямая  является вертикальной асимптотой, если - вертикальная асимптота.

 Прямая   - наклонная ассимптота, где  

Таким образом,   - наклонная асимптота;

в) при  график функции имеет пересечение с осью 0х, так как, то функция не имеет пересечения с осью 0х. При  график функции имеет пересечение с осью 0у, так как , то функция не имеет пересечения с осью 0у;

г) , т.е. функция нечетная, график симметричен относительно начало координат. Т.к. при , то график расположен в первой и третьей четвертях. Функция непериодическая.  - функция неограниченно возрастает.

 

Задание 10.  Для иследования функции  определить:

а) интервалы монотонности, экстремумы;

б) интервалы вогнутости, выпуклости и точки перегиба;

в) построить график.

 

Решение:

а)

 при   - стационарные точки. В области определения функции  существует. Исследуем изменения знака производной функции в каждом интервале:

при , то  - функция убывает;

при  , то  - функция возрастает;

при  имеем локальный минимум:

при , то  - функция возрастает;

при , то  - функция убывает;

при  имеем локальный максимум:

б) , .

Вторая производная существует в области определения:

при  - график выпуклый вниз;

при  - график выпуклый вверх; точек перегиба нет;

в) график функции  показан на рисунке 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 1

Задание 11. Найти указанные пределы, используя правило Лопиталя.

а) ; б) .

 

Решение:

а) правило Лопиталя применяется для неопределенностей вида или

 

б) при  значении    получается неопределенность вида , тогда дроби приводятся к общему знаменателю и, далее, используются свойства эквивалентности бесконечно малых величин.

 

Задание 12. Найти предел

 

Решение: при  значении    получается неопределенность вида .  В начале  для раскрытия неопределенности в основании степени  применяется свойство эквивалентности бесконечно больших функций, и далее, используется свойство показательной функции:  

Список литературы

 

1.  Болгов В.А, Демидович Б.П., Ефимов А.В. и др.  Сборник задач по математике. – М.: Наука, 1986.

2.  Фадеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. – М.: Наука, 1977.

3.  Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч.1– М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2003.

4.  Апатенок Р.Ф., Маркина А.М., Попова Н.В., Хейнман В.Б. Сборник задач по линейной алгебре. – Мн.: Выш. школа, 1980.

5.  Рябушко А.П., Бархатов В.В., Державец В.В., Юруть И. Е. Индивидуальные задания по высшей математике. – Мн.: Выш. школа, 1980.

 

Содержание

 

Расчётно-графическая работа. Введение в анализ

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Теоретические вопросы 

Задания первого уровня 

Задания второго уровня 

Решение типового варианта

Список литературы