ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКСЫНЫҢ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКСЫНЫҢ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ

«Алматы энергетика және байланыс институтының»

Коммерциялық емес акционерлік қоғамы

С. Е. Ералиев

ӨРІСТЕР ТЕОРИЯСЫ

Оқу құралы

Алматы 2008

4. ҚИСЫҚ СЫЗЫҚТЫ ИНТЕГРАЛДАР

4.1 Бірінші текті қисық сызықты интегралдар

функциясы жазықтығында жататын кез келген бір аймағында үзіліссіз функция болсын. Осы аймақта жататын қисығын алып оны нүктелердің көмегімен қарапайым доғаларына бөлейік. Әрбір қарапайым доғасының бойынан кез келген бір нүктесін алып, осы нүктедегі функциясының мәнін доғасының ұзындығы -ге көбейтейік. Осындай барлық көбейтінділерінің қосындысы интегралдық қосынды деп аталады.

Егер интегралдық қосындысының шегі бар әрі ол шек қисығын қарапайым доғаларға қалай бөлгенімізге де, әрбір қарапайым доғаларынан нүктелерін қалай алғанымызға да, байланысты болмаса, онда осы шекті функциясынан доғасының ұзындығы бойынша алынған қисық сызықты интеграл немесе бірінші текті қисық сызықты интеграл деп аталып былай белгіленеді:

(4.1)

Бірінші текті қисық сызықты интегралдың негізгі қасиеттері:

1. ;

2. ;

3. бірінші текті қисық сызықты интеграл интегралдау жолының бағытынан тәуелсіз болады, яғни

;

4. егер қисығы және қисықтарына бөлінсе, онда

Бірінші текті қисық сызықты интегралды есептеу үшін келесі формулалардың біреуі қолданылады:

а) егер қисық сызығы теңдеуімен берілсе, онда бірінші текті қисық сызықты интеграл

(4.2)

формуласымен есептеледі;

б) егер қисық сызығы параметрлік теңдеуімен берілсе, онда

; (4.3)

в) егер қисық сызығы полярлық координаталар жүйесінде теңдеуімен берілсе, онда

; (4.4)

г) егер қисық сызығы кеңістікте параметрлік теңдеулерімен берілсе, онда үш айнымалы функциясының бірінші текті қисық сызықты интегралы

(4.5)

формуласымен есептеледі.

4.2 Бірінші текті қисық сызықты интегралдың қолданылуы

1. қисығының бойында анықталған үзіліссіз функциясы бірге тең болса, онда қисығының ұзындығы формуласымен анықталады.

2. тұйық қисығымен шенелген аймағының ауданы

(4.6)

формуласымен анықталады, мұндағы жиегін айналып өту бағыты аймағы әр уақытта интегралдау жолының сол жағында қалатындай етіп алынады.

3. Егер қисығының сызықты тығыздығы болса, онда

а) қисығының массасы

; (4.7)

б) және осьтеріне қарағандағы статикалық моменттері

және ; (4.8)

в) ауырлық орталығының координаталары

; (4.9)

г) және координаталар жүйесінің бас нүктесіне қарағандағы сәйкес және екпіндік моменттері

(4.10)

формулаларымен есептеледі.

28-мысал. интегралын параболасының мен аралығындағы доғасы бойынша есептеу керек, мұндағы .

Шешуі. .

Сондықтан

29-мысал. интегралын шеңберінің доғасы бойынша есептеу керек, мұндағы .

Шешуі.

Сондықтан

21-сурет

30-мысал. интегралын, төбелері нүктелері болатын, үшбұрышының жиегі (контуры) бойынша есептеу керек.

Шешуі. Осында теңдеуі теңдеуі теңдеуі . Сондықтан

85. интегралын кесіндісі бойынша есептеу керек, мұндағы .

86. интегралын кесіндісі бойынша есептеу керек, мұндағы .

87. интегралын , , бұранда сызықтың бірінші айналымы бойынша есептеу керек.

88. интегралын шеңбері бойынша есептеу керек .

89. интегралын жарты кубтық параболаның доғасы бойынша есептеу керек, мұндағы .

90. интегралын циклоидасы бойынша есептеу керек.

91. интегралын параболасының доғасы бойын-ша есептеу керек, мұндағы .

92. интегралын қисық сызығының доғасы бойынша есептеу керек .

93. интегралын логарифмдік спи-ралы (шиырмасы) бойынша есептеу керек.

94. Тығыздығы болатын қисық сызығының доғасы массасын табу керек.

95. циклоидасының доғасы ауырлық орталығының координаталарын табу керек .

96. шеңберінің , осьтеріне және координаталық жүйесінің бас нүктесіне қарағандағы екпіндік моменттерін табу керек.

4.3 Екінші текті қисық сызықты интегралдар.

жазықтығындағы қисық сызығының бойында жатқан доғасының әрбір нүктесінде анықталған және үзіліссіз және функциялары берілсін. доғасын кезкелген ретпен нүктелерімен қарапайым доғаларға бөліп, әрбір доғасынан бір нүктеден таңдап алайық. хордасының және осьтеріндегі сәйкес проекцияларын және деп белгілейік.

доғасындағы және функцияларының интегралдық қосындысы деп қосындысын айтады.

Егер , интегралдық қосындысының шегі бар және ол шек доғасының элементарлық доғаларға қалай бөлгеніне де, әрбір элементарлық доғалардан нүктесінің қалай таңдап алынғанынан да байланысты болмаса, онда осы шекті және функцияларынан доғасы бойынша алынған екінші текті қисық сызықты интегралы деп атайды және оны былай белгілейді:

(4.11)

Егер қисығы теңдеуімен берілсе және , болса, онда екінші текті қисық сызықты интеграл

(4.12)

формуласымен есептеледі.

Егер қисығы теңдеулерімен берілсе, онда

. (4.13)

Егер тегіс қисық сызығы кеңістікте теңдеулерімен берілсе, онда осы қисықтың бойында анықталған, үзілссіз функциялары үшін екінші текті қисық сызықты интеграл

(4.14)

формуласымен есептелінеді.

Екінші текті қисық сызықты интегралдың негізгі қасиеттері:

1. Екінші текті қисық сызықты интегралдың интегралдау жолының бағытын өзгерткенде оның мәнінің таңбасы өзгереді, яғни

;

2. .

Қалған қасиеттері бірінші текті қисық сызықты интегралдың негізгі қасиеттері сияқты болады.

Тұйық контуры бойынша алынған қисық сызықты интегралды

деп белгілейді және интегралдау жолының бағыты үшін сағат тіліне қарама-қарсы бағытты алады.

4.4 Екінші текті қисық сызықты интегралдың қолданылуы:

айнымалы күшінің қисық сызығының бойында істелген жұмысы

формуласымен есептелінеді, мұндағы өрнегі және вектор-ларының скаляр көбейтіндісі, ал

4.5 Бірінші және екінші текті қисық сызықты интегралдар арасын-дағы байланыс.

Егер болса, онда . Олай болса

(4.15)

31-мысал. интегралын параболасының доғасы бойынша есептеу керек, мұндағы , .

Шешуі. , сондықтан

32-мысал. интегралын түзуі бойынша интегралдау керек, мұндағы .

Шешуі. Екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуінің формуласын қолдансақ немесе және болғанда болғанда яғни 0-ден 1-ге дейін өзгереді.

33-мысал. интегралын төбелері нүктелері болатын үшбұрыш контуры (жиегі) бойынша есептеу керек.

Шешуі. 1) теңдеуі , 0-ден 1-ге дейін өзгереді.

2) теңдеуі . Сондықтан

22-сурет

3) теңдеуі 1-ден 0-ге дейін өзгереді. Сондық-тан

Сонымен

97. интегралын түзуі бойынша есептеу керек, мұндағы .

98. интегралын циклоидасы бойынша есептеу керек.

99. интегралын а) түзуі; ә) параболасы; б) параболасы; в) сынығы; г) сынығы бойынша есептеу керек, мұндағы , .

100. интегралын 99-есептің шарттары бойынша есептеу керек.

101. интегралын төбелері болатын квадрат контуры (жиегі) бойынша есептеу керек.

102. интегралын эллипс контуры (жиегі) бойынша есептеу керек.

103. интегралын түзуі бойынша есептеу керек, мұндағы .

104. интегралын бұранда сызығының бір айналымы бойынша есептеу керек.

105. айнымалы күшінің әсерінен пара-боланың нүктесімен нүктесінің арасындағы доғасы бойында істелінген жұмысты есеғптеу керек.

4.5 Екінші текті қисық сызықты интегралдың интегралдау жолынан тәуелсіздігі. Функцияны өзінің толық дифференциалы арқылы анықтау.

және функциялары өздерінің бірінші ретті дербес туындыларымен бірге бір байланысты аймағында үзіліссіз болсын. аймағында жататын қисығының бойында интегралы интегралдау жолынан тәуелсіз болуы үшін

(4.16)

теңдігінің орындалуы қажетті және жеткілікті.

(16)-шарты орындалған жағдайда аймағында толықтай жататын кезкелген тұйық жиегі бойынша алынған қисық сызықты интеграл нөлге тең болады, яғни

Интегралдау жолынан тәуелсіз болған жағдайда

интегралын есептеу үшін нүктесімен нүктесін қосатын және осьтеріне параллель немесе сынығын интегралдау жолы етіп алған тиімді, мұндағы .

23-сурет

(16)-шартты қанағаттандыратын өрнегі қандай да бір функцияның толық дифференциалы болады, яғни

функциясын табу үшін қисық сызықты интегралды сынығы бойынша интегралдау жеткілікті, мұндағы кезкелген белгілен-ген нүкте, айнымалы нүкте, ал . Осыдан

мұндағы – кезкелген сан.

Осы сияқты сынығы бойынша да интегралдауға болады, мұндағы . Яғни

. (4.17)

4.6 Грин формуласы

Жиегі болатын жабық аймағында функциялары өздерінің дербес туындыларымен бірге үзіліссіз болса, онда

. (4.18)

35-мысал. интегралын есептеу керек.

Шешуі. . Яғни болғандықтан берілген интеграл интегралдау жолынан тәуелсіз. Олай болса интегралдау жолы үшін сынығын таңдап аламыз, мұндағы . Оның бөлігі , бөлігі . Осыдан

36-мысал. өрнегі қандай да бір функциясының толық дифференциалы болатындығын не болмай-тындығын тексеру керек. Болған жағдайда функциясын табу қажет.

Шешуі. . Яғни . Осыдан берілген өрнек функциясы-ның толық дифференциалы болады. деп алсақ, онда

37-мысал. эллипсінің ауданын есептеу керек.

Шешуі. болғандықтан

38-мысал. интегралын екі әдіспен тікелей және Грин формуласының көмегімен есептеу керек, мұндағы жиегі төбелері нүктелері болатын үшбұрыш.

Шешуі. Алдымен интегралды тікелей есептейік

теңдеуі 1-ден 2-ге дейін өзгереді.

теңдеуі 2-ден 1-ге дейін өзгереді.

теңдеуі 3-тен 1-ге дейін өзгереді.

Осыдан

Енді Грин формуласын пайдаланып, интегралды есептейік.

Осыдан , мұндағы облысы үшбұрышы. түзуінің теңдеуі , -нің – . Екі еселі интегралды есептейік

106. интегралын есептеу керек.

107. интегралын есептеу керек.

108. интегралын есептеу керек.

Берілген өрнектердің қандай да бір функциясының толық дифференциалы болатындығын не болмайтындығын тексеру керек. Болған жағдайда функциясын анықтау қажет.

109. .

110. .

111. .

112. .

Грин формуласын пайдаланып қисық сызықты интегралдарды есептеу керек.

113. , мұндағы контуры (жиегі) шеңбері.

114. , мұндағы жиегі төбелері , болатын үшбұрыш.

115. , мұндағы жиегі төбелері , , , болатын төртбұрыш.

116. , мұндағы жиегі төбелері , болатын үшбұрыш.

117. астроидасымен шектелген пішіннің ауданын табу керек.

118. кардиоидасымен шек-телген пішіннің ауданын табу керек.

119. циклоидасымен және өсімен шектелген пішіннің ауданын табу керек .

120. параболаларымен шектелген пішіннің ауданын табу керек.

5. БЕТТІК ИНТЕГРАЛДАР

5.1 Бірінші текті беттік интегралдар

кеңістігінде бетінің әрбір нүктесінде анықталған және үзіліссіз функциясы берілсін. бетін кезкелген ретпен қарапайым аймақтарға бөлейік. Осы қарапайым аймақтардың аудандарын деп, ал диаметрлерін сәйкесінше , деп белгілейік, мұндағы аймақтың диаметрі деп осы аймақтың жиегіндегі екі нүктенің ара қашықтықтарының ең үлкенін айтады. Әрбір қарапайым аймақтан кезкелген бір нүктесін таңдап алып, осы нүктедегі берілген функциясының мәнін ауданына көбейтейік. Осындай көбейтінділердің қосындысы

функциясының беті бойынша алынған интегралдық қосындысы деп аталады. Егер болғанда осы интегралдық қосындысының шегі бар және ол шек бетін қарапайым аймақтарға қалай бөлгенінен де, әрбір қарапайым аймақтан нүктесін қалай таңдап алғаннан да тәуелсіз болса, онда осы шек функциясының бетіндегі бірінші текті беттік интеграл деп аталып, былай белгіленеді.

. (5.1)

Бірінші текті беттік интегралдың мәні бетінің қай жағын алғанымыздан тәуелсіз болады.

Бірінші текті беттік интегралдың негізгі қасиеттері екі еселі интегралдың негізгі қасиеттері сияқты болады.

Егер беті теңдеуімен берілсе, ал оның жазықтығындағы проекциясы болса, онда бірінші текті беттік интеграл

(5.2)

формуласымен есептеледі.

Егер болса, онда бетінің ауданы

(5.3)

формуласымен есептеледі.

5.2 Бірінші текті беттік интегралдың механикада және физикада қолданылуы

кеңістігінде аумағы беті, ал тығыздығы болатын материалдық беттің массасы

, (5.4)

ал жазықтығына қарағандағы статикалық моменттері сәйкес

, , (5.5)

формуласымен есептелінеді. Біртекті материалдың беттер үшін .

Материалдық беттің ауырлық орталығы

. (5.6)

формулаларымен анықталады.

Координата осьтеріне және бас нүктесіне қарағандағы инерция моменттері

(5.7)

формулаларымен есептеледі.

38-мысал. интегралын есептеу керек, мұндағы беті жазықтығының бірінші октантадағы бөлігі.

Шешуі. . Осыдан беттік интеграл екі еселі интегралға айналады:

Екі еселі интегралдың интегралдау облысы , түзулерімен шектелген. Осыдан

39-мысал. интегралын есептеу керек, мұндағы беті теңдеуімен берілген жартысфера .

Шешуі. , , .

Осыдан беттік интеграл екі еселі интегралға айналады

Екі еселі интегралдың интегралдау облысы шеңберімен шектелген

40-мысал. интегралын есептеу керек, мұндағы беті параболоиды және жазықтығымен шектелген дененің толық беті болады.

Шешуі. беті және беттерінен тұрады, мұндағы беті параболоиды, ал беті жазықтығының бөлігі. Яғни

беті , осыдан

Интегралдау облысы дөңгелегі болып табылады, сондықтан полярлық координатаға көшейік: . Онда

Сонымен

121. интегралын есептеу керек, мұндағы беті жазықтығының бірінші октантадағы бөлігі.

122. интегралын есептеу керек, мұндағы беті жазықтығының бірінші октантадағы бөлігі.

123. интегралын есептеу керек, мұндағы беті жазықтығының бірінші октантадағы бөлігі.

124. интегралын есептеу керек, мұндағы беті теңдеуімен берілген жарты сфера .

125. интегралын есептеу керек, мұндағы беті конусының , жазықтықтарының арасындағы бөлігі.

126. интегралын есептеу керек, мұндағы беті конусының жазықтықтарының арасындағы бөлігі.

127. интегралын есептеу керек, мұндағы беті теңдеуімен берілген жарты сфера.

128. интегралын есептеу керек, мұндағы беті конусының бөлігі .

129. интегралын есептеу керек, мұндағы беті параболоидының бөлігі .

130. жазықтығының цилиндрімен қиғандағы бөлігінің ауданын табу керек.

131. Тығыздығы болатын параболоидының массасын табу керек.

132. Біртекті жарты сферасының ауырлық орталығын табу керек.

133. Біртекті параболоидының жазықтықтар-ының арасындағы бөлігінің ауырлық орталығын табу керек.

134. параболоидының жазықтықтарының арасындағы бөлігінің осіне қатысты инерция моментін табу керек .

135. конусының жазықтықтарының арасындағы бөлігінің осіне қатысты инерция моментін есептеу керек.

5.3 Екінші текті беттік интегралдар

кеңістігінде жатық беті берілсін. Осы беттің, жіктемесінің көмегімен анықталған, жағында анықталған әрі үзіліссіз , функ-циялары берілсін. бетін кез келген жолмен қарапайым аймақтарға бөлейік. Осы қарапайым аймақтардың аудандарын , ал сәйкес диаметрлерін арқылы белгілейік, мұндағы аймақтың диаметрі деп осы аймақтың шекарасында (жиегінде) жататын екі нүктенің ара қашықтықтарының ең үлкенін айтады. Әрбір қара-пайым аймағынан кез келген жолмен бір нүктесін таңдап алып, осы нүктедегі бетінің жіктемесін деп белгілейік. Төмендегі көбейтінділердің қосындысы:

;

және функцияларының беті бойынша алынған интегралдық қосындысы деп аталады. осы интегралдық қосындының шегі бар және ол шек бетін қарапайым аймақтан нүктесін қалай таңдап алғаннан да тәуелсіз болса, онда осы шек және функцияларының беті бойынша алынған екінші текті беттік интеграл деп аталып, былай белгіленеді:

(5.8)

бетінің жағын ауыстырғанда екінші текті беттік интегралдың таңбасы өзгереді.

Екінші текті беттік интегралдың негізгі қасиеттері екі еселі интегралдың негізгі қасиеттері сияқты болады.

Екінші текті беттік интегралды есептеу

бетін координата остеріне параллель (мекендік оқығына қатарлас) жүргізілген түзулер тек бір нүктеде қисын. Бұл жағдайда бетінің теңдеуін немесе немесе түрінде жазуға болады.

Егер бетінің жазықтықтарындағы проекцияларын сәйкес деп белгілесек, онда екінші текті беттік интегралдар-ды екі еселі интегралға келтіруге болады:

а) ,

мұнда, егер болса, онда «+» таңбасын, ал болса, онда «–» таңбасын аламыз;

б) ,

мұнда, егер болса, онда «+» таңбасын, ал болса, онда «–» таңбасын аламыз;

в) ,

мұнда, егер болса, онда «+» таңбасын, ал болса, онда «–» таңбасын аламыз.

Тұйық жабық беті бойынша алынатын беттік интегралды

деп белгілейді.

41-мысал. интегралын

бетінің сыртқы жағы бойынша есептеу керек, мұндағы беті жазықтығының координаталық жазықтықтармен қиылғандағы бөлігі.

Шешуі. Берілген интегралды үш интегралдың қосындысы түрінде жазайық

24-сурет

интегралын есептейік. , болғандықтан,

бетінің жазықтығында проекциясы , түзулерімен шектелген. Осыдан

интегралын есептейік. , болған-дықтан . бетінің жазықтығындағы проекциясы түзулерімен шектелген. Осыдан

интегралын есептейік. , болғандықтан

бетінің жазықтығындағы проекциясы , түзулерімен шектелген. Осыдан

Сонымен

42-мысал. интегралын бетінің сыртқы жағы бойынша есептеу керек, мұндағы беті конусымен жазықтығының қиылысынан шығатын дененің толы беті.

Шешуі. Берілген интегралды үш интегралдың қосындысы түрінде жазайық

интегралын есептейік.

Бұл жағдайда беті: теңдеуімен берілген , теңдеуімен берілген және

25-сурет

теңдеуімен берілген беттерінен тұрады.

Сондықтан

бетінде бетінде , бетінде . Осыдан

бетінің жазықтығындағы проекциясы түзулермен шектелген. Осыдан

интегралын есептейік.

Бұл жағдайда беті: теңдеуімен берілген , теңдеуімен берілген және теңдеуімен берілген беттерінен тұрады. Сондықтан

бетінде бетінде , бетінде . Осыдан

бетінің жазықтығындағы проекциясы түзулерімен шектелген. Осыдан

интегралын есептейік.

бетінде бетінде . Осыдан

бетінің жазықтығындағы проекциясы шеңберімен шектелген. Сондықтан полярлық координаталар жүйесіне көшеміз:

; яғни

Сонымен

136. интегралын бетінің сыртқы жағы бойынша есептеу керек, мұндағы беті жазықтығы-ның координаттық жазықтықтармен қиылғандағы бөлігі.

137. интегралын бетінің сыртқы жағы бойынша есептеу керек, мұндағы беті жазықтығының координаттық жазықтықтармен қиылғандағы бөлігі.

138. интегралын бетінің сыртқы жағы бойынша есептеу керек, мұндағы беті жазықтығының координаттық жазықтықтармен қиылғандағы бөлігі.

139. интегралын бетінің сыртқы жағы бойынша есептеу керек, мұндағы беті эллипсоидының бірінші октантындағы (жарты ширегіндегі) бөлігі.

140. интегралын бетінің сыртқы жағы бойынша есептеу керек, мұндағы беті эллипсоидының бірінші октантындағы (жарты ширегіндегі) бөлігі.

141. интегралын жазықтықтарымен шектелген тетраэдрдің сыртқы жағы бойынша есептеу керек.

142. интегралын жазықтықтарымен шектелген тетраэдрдің сыртқы жағы бойынша есептеу керек.

143. интегралын сфера-сының сыртқы жағы бойынша есептеу керек.

5.4 Стокс формуласы

Егер тұйық жатық контурымен (жиегінен) шектелген екі жақты бетінде , функциялары және олардың бірінші ретті дербес туындылары үзіліссіз болса, онда

(5.9)

теңдігі Стокс формуласы деп аталады, мұндағы – бетінің жіктемесінің бағыттаушы косинустары. Тіктеменің бағыты оның ұшынан қарағанда тұйық контурының (жиегінің) бойымен қозғалыс сағат тілінің қозғалысына қарсы бағытта болатындай өтіп таңдап алынады.

Грин формуласы Стокс формуласының және болғандағы дербес жағдайы.

43-мысал. интегралын Стокс формуласының көмегімен есептеу керек, мұндағы контуры төбелері нүктелері болатын үшбұрышы.

Шешуі. және нүктелері арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуі немесе болады.

Осыдан Стокс формуласы бойынша

бетінің ( үшбұрышының) жазықтығындағы проекциясы түзулерімен шектелген. Сондықтан

144. интегралын Стокс формуласының көмегімен есептеу керек, мұндағы контуры төбелері нүктелері болатын үшбұрышы.

145. интегралын Стокс формуласының көмегімен есептеу керек, мұндағы контуры төбелері нүктелері болатын үшбұрышы.

146. интегралын Стокс формуласының көмегімен есептеу керек, мұндағы контуры төбелері нүктелері болатын үшбұрышы.

5.5 Остроградский-Гаусс формуласы

Тұйық бетімен шектелген жабық облысында , функциялары және олардың бірінші ретті дербес туындылары үзіліссіз болса, онда

, (5.10)

мұндағы – бетінің жіктемесінің бағыттаушы косинустары.

Бұл теңдеу Остроградский-Гаусс формуласы деп аталады.

44-мысал. 42-мысалдағы берілген есепті Остроградский-Гаусс формуласының көмегімен есептеу керек.

Шешуі. , . Осыдан . Яғни болады. Бұл интегралды есептеу үшін , цилиндрлік координаталар (мекендік) жүйесіне көшсек

147. 142-есебін Остроградский-Гаусс формуласының көмегімен есептеу керек.

148. 143-есебін Остроградский-Гаусс формуласының көмегімен есептеу керек.

149. интегралын Остроградский-Гаусс формуласының көмегімен , кубының сыртқы беті бойынша есептеу керек.

150. интегралын Остроградский-Гаусс формуласының көмегімен жазықтықтары-мен шектелген тетраэдрдің сыртқы беті бойынша есептеу керек.

6. ӨРІСТЕР ТЕОРИЯСЫНЫҢ ЭЛЕМЕНТТЕРІ

6.1 Скалярлық өріс. Деңгейлік беттер

Кеңістіктің V аймағында жататын кезкелген бір M нүктесіне белгілі заңдылық бойынша анықталған саны сәйкестендірілсе, онда осы аймақта скалярлық өріс берілді дейді. Егер үш өлшемді кеңістікте декарттық координаталар (мекендік)жүйесі енгізілсе, онда скалярлық өрістің берілуі үш айнымалы функцияның берілуімен бірдей:

(6.1)

Екі өлшемді кеңістікте скалярлық өріс

(6.2)

функциясы арқылы беріледі де жазық өріс деп аталады.

теңдігін қанағаттандыратындарын аймағында жататын нүктелерінің жиынтығын санына сәйкес деңгейлік беттер деп атайды.

Жазық өріс үшін теңдеуі санына сәйкес деңгейлік сызықтар үйірін анықтайды.

Егер функциясы кеңістіктің аймағында жататын әрбір нүктедегі температураны анықтаса, онда оны температураның скалярлық өрісі дейді.

45-мысал. скалярлық өрісінің деңгейлік беттерін табу керек.

Шешуі. деңгейлік беттер болғандықтан

а) егер болса, ода деңгейлік беттер екі қуысты гиперболоидтар жиынтығы болады;

б) егер болса, ода деңгейлік беттер бір қуысты гиперболоидтар жиынтығы болады;

в) егер болса, ода деңгейлік беттер конустар жиынтығы болады.

46-мысал. скалярлық өрісінің деңгейлік сызықтар үйірін табу керек.

Шешуі. функциясын тұрақтысымен теңестірейік немесе . Яғни деңгейлік сызықтар параболалардың жиынтығы болады.

6.2 Скалярлық өрістің туындысы

скалярлық өрісінің векторы бойынша берілген бағыты бойынша туындысы

мұндағы ;

формуласымен анықталады.

скалярлық өрісінің қисығы бойынша M нүктесіндегі туындысы одан қисығының M нүктесінде жүргізілген жанамасы бойынша алынатын туындымен бірдей.

-ң абсолюттік шамасы скалярлық өрісінің M нүктесіндегі өзгеру жылдамдығын, ал оның таңбасы оң болғанда өсіп, теріс болғанда кемитіндігін анықтайды.

6.3 Скалярлық өрістің градиенті

скалярлық өрісінің градиенті деп өрістің деңгейлік бетіне жүргізілген тіктеме бойымен оның өсу бағытына сай алынған

(6.3)

векторын айтады, мұндағы Гамильтон (набла) операторы.

Скалярлық өрістің градиентінің негізгі қасиеттері:

; (6.4)

; (6.5)

мұндағы – тұрақтылар;

; (6.6)

; (6.7)

; (6.8)

; (6.9)

6.4 Скалярлық өрістің туындысымен оның градиентінің арасындағы байланыс

скалярлық өрісінен бағытында алынған туындымен ол өрістің нүктесіндегі градиентінің арасындағы байланыс

(6.10)

формуласымен анықталады, мұндағы – бағытының бірлік векторы, ал - градиетпен векторының нүктесіндегі бұрышы.

Градиенттің ұзындығы өрісінің өзгеру жылдамдығының нүктесіндегі ең үлкен шамасына тең. Яғни

. (6.11)

47-мысал. функциясы, векторы және нүктесі берілген. Табу керек:

а) функциясының нүктесіндегі градиентін;

б) нүктесіндегі функциясының векторының бағыты бойынша туындысын;

в) нүктесіндегі функциясының өсу жылдамдығының ең үлкен шамасын.

Шешуі.

Осыдан

а) ;

б) ;

в) .

6.5 Векторлық өріс

кеңістігінде жататын аймағының әрбір нүктесіне

векторының анықталған мәні сәйкес келсе, онда осы аймақта векторлық өріс берілді дейді. Мұндағы және функциялары векторының сәйкес және осьтеріндегі (оқтықтарындағы) проекциялары.

Егер векторы күш ретінде қарастырылса, онда векторлық өрісті күш өрісі дейді.

Векторлық өрістің векторлық сызығы деп оның әрбір нүктесіндегі бағыты осы нүктедегі векторының бағытымен сәйкес келетін қисық сызықты айтады. Векторлық сызық (күш сызығы)

(6.12)

дифференциалдық теңдеулер жүйесі арқылы анықталады.

Векторлық өріс уақыттан тәуелсіз болса, онда оны стационарлық; ал уақыттан тәуелді болса, онда оны стационарлық емес (тұрақты емес) өріс деп атайды.

6.6 Векторлық өрістің ағыны және дивергенциясы. Остроградский-Гаусс формуласы

кеңістігінде жататын аймағында жататын екі жақты беті берілсін. Беттің жағы таңдалынып алынған жаққа тұрғызылған

векторы арқылы анықталады.

Егер беті

(6.13)

теңдеуімен берілсе, онда

. (6.14)

Мұндағы плюс таңбасы беттің жоғары жағына сәйкес алынады, өйткені бұл жаққа тұрғызылған тіктемемен оқтығының арасындағы бұрыш сүйір болғандықтан оң болады. Минус таңбасы беттің төменгі жағына сәйкес алынады.

Егер беті

(6.15)

теңдеуімен берілсе, онда бірлік тіктеме вектор

. (6.16)

Егер бет бірнеше бөліктен тұрса, онда тіктеме бірлік вектор әрбір бөлік үшін бөлек табылады. Бет тұйық болған жағдайда әр уақытта оның сыртқы жағы алынады.

Бірлік тіктеме бағытындағы беті бойынша өтетін векторлық өрісінің ағыны деп

(6.17)

интегралын айтады.

Егер беті жазықтығына бірмәнді проекцияланса, онда векторының беті арқылы өтетін ағыны бетінің проекциясы (көлеңі) арқылы алынатын екі еселі интегралмен есептелінеді:

(6.18)

Мұндағы (6.14), (6.16) – формулаларындағы -ң алдындағы коэффициент. Жоғарыдағыдай беті немесе жазықтықтарына бірмәнді проекцияланса, онда ағыны төмендегі формулалармен анықталады.

(6.19)

векторлық өрісінің М нүктесіндегі дивергенциясы деп векторлық өрісінің ағынының осы нүктедегі көлемдік тығыздығын айтады:

мұндағы – тұйық бетімен шенелген құрамында нүктесі болатын көлем.

Дивергенция декарттық координаталар жүйесінде

(6.20)

формуласымен анықталады.

Егер болса, онда бетінен тіктемесінің бағыты бойынша ағатын сұйықтың мөлшері тіктемесінің бағытына қарсы ағатын сұйықтың мөлшерінен көп болады; егер болса, онда бетінен тіктемесінің бағыты бойынша ағатын сұйықтың мөлшері оған қарсы ағатын сұйықтың мөлшерінен аз болады, яғни ағын теріс болады. Егер болса, онда бетінен ағып шығатын сұйықпен оған құятын сұйықтың мөлшері бірдей, яғни ағын нөлге тең болады.

Дивергенцияның негізгі қасиеттері:

а) , мұндағы тұрақты вектор;

б) , мұндағы - тұрақты сандар;

в) .

Остроградский-Гаусс формуласы

көлемін қоршаған тұйық бетінің сырты арқылы өтетін ағынды анықтау үшін Огсроградский - Гаусс теоремасын қолданған ыңғайлы: векторлық өрісінің кез келген бағытымен тұйық беті арқылы өтетін ағыны -дан осы бет қоршаған көлемі бойынша алынатын үш еселі интегралға тең болады. Яғни

. (6.21)

48-мысал. теңдеуімен берілген жазықтықтың бір октантадағы (жарты ширектегі) беті арқылы өтетін векторлық өрісінің ағынын табу керек. Мұндағы жазықтықтың тіктемесі өсімен сүйір бұрыш жасайды.

Шешуі. Бірлік тіктеме векторы

яғни ;

Осыдан

49-мысал. Огсроградский-Гаусс формуласын пайдаланып координаталар жазықтықтарымен жазықтығының қиылысуынан пайда болатын пирамиданың сыртқы беттері арқылы өтетін векторлық өрісінің ағынын есептеу керек.

Шешуі. . Яғни

6.7 Сызықтық интеграл және векторлық өрістің циркуляциясы (иірімі). Векторлық өрістің роторы (құйымы). Стокс теоремасы

кеңістігінің бір аймағында векторлық өрісі және осы аймақта жататын бағытталған қисығы берілсін. векторының өрісінің қисығы бойынша алынған сызықты интеграл деп

(6.22)

қисық сызықты интегралды айтады. Мұндағы – берілген қисығының бірлік жанама векторы, оның доғасының диффееренциалы, ал - берілген қисының бойында жататын нүктелердің радиус-векторы.

Егер – күштер өрісі болса, онда (22) –сызықты интеграл осы күштер өрісінің қисығының бойында істеген жұмысын көрсетеді.

Егер қисығы параметрлік теңдеулерімен берілсе әрі бастапқы және соңғы нүктелеріпараметрдің және мәндеріне сәйкес болса, онда

(6.23)

Егер қисығы () теңдеулерімен берілсе, онда сызықты интеграл

(6.24)

формуласымен есептелінеді.

қисығының бағыты өзгергенде сызықты интегралдың таңбасы өзгереді.

векторлық өрісінің циркуляциясы (иірімі) деп осы өрістен тұйық қисығы бойынша алынған сызықты интегралды айтады:

. (6.25)

Егер қисығы бөліктерінен құралса, онда

. (6.26)

50-мысал. векторлық өрісінің, жазықтығының координаттық жазықтықтармен қиылысуынан пайда болған, қисығының бойындағы циркуляциясын (иірімі) табу керек.

26-сурет

Шешуі.

а) түзуінің бойында және , сондықтан . теңдеуінен және , сондықтан және

нүктесінен және нүктесіне қозғалғанда айнымалысы үштен нөлге дейін кемиді, сондықтан

б) түзуінің бойында және , сондықтан . теңдеуінен және . Сондықтан және . Яғни

с) түзуінің бойында және , сондықтан . теңдеуінен және . Сондықтан және

. нүктесінен және нүктесіне қозғалғанда айнымалысы үштен нөлге дейін кемиді, сондықтан

Сонымен .

векторлық өрісінің роторы (құйыны) деп

(6.27)

формуласымен есептелінетін векторды айтады.

Құйынның қасиеттері:

1. , мұндағы - тұрақты вектор;

2. , мұндағы - тұрақты сандар.

3. , мұндағы - скалярлық функция.

Егер қисық сызығы екі жақты жатық бетін қоршаған тұйық жатық жиек болса, онда Стокс теоремасы оындалады. Оның векторлық пішіні

, (6.28)

мұндағы бірлік векторы бетіне тұрғызылған тіктеме, оның ұшынан қарағанда жиегін айналу сағат бағытына қарсы болуы тиіс.

болғандықтан

. (6.29)

51-мысал. Стокс формуласын пайдаланып

векторлық өрісінің , , нүктелері арқылы өтетін жиегіндегі иірімін табу керек.

Шешуі.

Бағдарлануы оң үшбұрышынан тұратын жиегі жазықтығында жатады. Осыдан

6.8 Потенциалды (дәрменді) және соленоидеалды (түтікшелік) векторлық өрістер

векторлық өрісі потенциалды өріс деп аталады, егер аймағында анықталған скаляр өрісі табылып, ол үшін

. (6.30)

функциясы өрісінің потенциалы деп аталады. Берілген бір байланысты аймақта векторлық өрісі потенциалды болуы үшін

болуы қажетті және жеткілікті.

Өріс потенциалды болғанда сызықты интеграл интегралдау жолының пішініне байланысты болмайды. Ол тек алғашқы нүктемен соңғы нүктеге ғана байланысты болады. Сондықтан жолды сынықтары пішінінде алуға болады (27-сурет).

Бұл жағдайда

27-сурет

(6.31)

Егер потенциалды бірмәнді функция болса, онда

. (6.32)

жиегі тұйық болғанда векторлық өрісінің иірімі

(6.33)

Егер векторлық өрісінің әрбір нүктесінде болса, онда векторлық өрісі түтікшелік векторлық өріс деп аталады. Бұл жағдайда кез келген тұйық бет арқылы өтетін вектор өрісінің ағыны нөлге тең болады.

Егер векторлық өрісі дәрменді әрі түтікшелік өріс болса, онда

. (6.34)

Мұндағы

(6.35)

Лаплас операторы, ал функциясы гармоникалық функция деп аталады.

52-мысал. векторлық өрісінің потенциалды болатындығын тексеру керек және осы өрісінің потенциалы -ді табу керек.

Шешуі. болғандықтан

Яғни өрісі потенциалды өріс.

Енді потенциалын табайық

деп алсақ, онда

53-мысал. векторлық өрісі потенциалды, соленойдалды әрі гормониялық өріс болатындығын анықтау керек.

Шешуі.

яғни өріс потенциалды.

яғни өріс соленоидалды.

Берілген өріс потенциалды және соленоидалды болғандықтан, ол гормониялық өріс болып табылады.

151. скалярлық өрісінің деңгейлік бетін табу керек.

152. скалярлық өрісінің деңгейлік бетін табу керек.

153. скалярлық өрісінің деңгейлік бетін табу керек.

154. скалярлық өрісінің деңгейлік бетін табу керек.

155. скалярлық өрісінің деңгейлік сызығын табу керек.

156. скалярлық өрісінің деңгейлік сызығын табу керек.

157. скалярлық өрісінің деңгейлік сызығын табу керек.

функциясы, векторы және нүктесі берілген. Табу керек:

а) функциясының нүктесіндегі градиентін;

ә) нүктесіндегі функциясының векторының бағыты бойынша туындысын;

б) нүктесіндегі функциясының өсу жылдамдығының ең үлкен шамасын.

158.

159.

160. .

161. .

162. .

векторының дивергенциясын есептеу керек:

163. .

164. .

165. .

166. .

167. теңдеуімен берілген жазықтықтың бірінші октантадағы беті арқылы өтетін векторлық өрісінің ағынын есептеу керек, мұнда жазықтық жіктемесі өсімен сүйір бұрыш жасайды.

168. теңдеуімен берілген жазықтықтың бірінші октантадағы беті арқылы өтетін век-торлық өрісінің ағынын есептеу керек, мұнда жазықтық тіктемесі өсімен сүйір бұрыш жасайды.

169. теңдеуімен берілген жазықтықтың бірінші октантадағы беті арқылы өтетін вектор өрісінің ағынын есептеу керек, мұнда жазықтық тіткемесі өсімен сүйір бұрыш жасайды.

170. эллипсоидының бірінші октантадағы беті арқылы өтетін векторлық өрісінің ағынын есептеу керке, мұнда жазықтық тіткемесі өсімен сүйір бұрыш жасайды.

171. Остроградский-Гаусс формуласын пайдаланып жазықтығы мен координаталар жазықтықтарының қиылысуынан пайда болған пирамиданың сыртқы беті арқылы өтетін векторлық өрісінің ағынын есептеу керек.

172. Остроградский-Гаусс формуласын пайдаланып жазықтығы мен координаталар жазықтықтарының қиылысуынан пайда болған пирамиданың сыртқы беті арқылы өтетін векторлық өрісінің ағынын есептеу керек.

173. Остроградский-Гаусс формуласын пайдаланып жазықтығы мен координаталар жазықтықтарының қиылысуынан пайда болған пирамиданың сыртқы беті арқылы өтетін векторлық өрісінің ағынын есептеу керек.

174. Остроградский-Гаусс формуласын пайдаланып сферасы арқылы өтетін векторлық өрісінің ағынын есептеу керек.

175. Остроградский-Гаусс формуласын пайдаланып цилиндрінің толық беті арқылы өтетін векторлық өрісінің ағынын есептеу керек.

векторының құйынын есептеу керек:

176. .

177. .

178. .

179. .

180. Стокс формуласын пайдаланып векторлық өрісінің нүктелері арқылы өтетін контуры бойынша иірімін табу керек.

181. Стокс формуласын пайдаланып векторлық өрісінің нүктелері арқылы өтетін контуры бойынша иірімін табу керек.

182. Стокс формуласын пайдаланып векторлық өрісінің нүктелері арқылы өтетін контуры бойынша иірімін табу керек.

183. Стокс формуласын пайдаланып векторлық өрісінің шеңберінің оң бағыты бойынша иірімін табу керек.

184. Стокс формуласын пайдаланып векторлық өрісінің эллипстің оң бағыты бойынша иірімін табу керек.

векторлық өрісінің потенциалды өріс болатындығын тексеру керек. Потенциалды өріс болған жағдайда оның потенциалы -ді табу керек:

185. .

186. .

187. .

188. .

189. .

векторлық өрісі потенциалды, соленоидалды, гармониялық болатындығын анықтау керек:

190. .

191. .

192. .

193. .

194. .

195. .

196. .

ЖАУАПТАРЫ

1 – тарау

1. - центрі , ал радиусы болатын шеңберімен шектелген жазықтығының бөлігі. 2. және параболаларының арасында орналасқан және нүктесі тиісті емес жазықтығының бөлігі. 3. Бүкіл жазықтығы. 4. түзуінен жоғары орналасқан жазықтығының бөлігі. 5. параболасынан жоғары орналасқан жазықтығының бөлігі. 6. 1 және 3 ширектерінде орналасқан жазықтығының бөлігі. 7. түзуі тиісті емес жазықтығының бөлігі. 8. параболасы және түзуімен шектелген жазықтығының бөлігі. 9. шеңберімен шектелген және нүктесі тиісті емес жазықтығының бөлігі. 11. 12.

13. 14.

15.

16. 17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

25. 26. 27.

28.

29. 30.

31. 32. 33. 34. 35. 36.

37. 38.

39. 40.

41. 42.

43. 44.

45.

46. 47. 48. 49. Ескерту деп алу керек. 50. 0,82. 51. 52. 53. 54.

55.

56. 57. 58. 59. 60. 61.

62.

63.

64. 69. 70.

71.

72.

73. 74.

75. 76. 77.

78. 79.

80. 81. 82.

83. 84. 85.

86. 87.

88. 89.

90. 91.

92. 93. 94. 95. 96.

97. 98.

99.

100. 101.

102. 103.

104. 105. экстремум жоқ. 106.

107. болғанда

108. болғанда болғанда 109. 110. 111. 112.

113. 114.

2-6 – тарау

1. 8. 2. 39. 3. 24. 4. 45. 5. 304. 6. . 7. 168. 8. 3,35. 9. . 10. 1,5. 11. . 12. . 13. 0,5. 14. . 15. 214,65. 16. . 17. 16,65.

18. .

19. . 20. .

21. . 22. .

23. .

24. . 25. .

26. 1,5. 27. 0,5. 28. . 29. .

30. . 31. . 32. . 33. . 34. .

35. . 36. 1,25. 37. . 38. . 39. . 40. .

41. 12. 42. . 43. 24. 44. . 45. . 46. . 47. .

48. . 49. . 50. . 51.

. 52. 0,4. 53. .

54. . 55. . 56. .

57. . 58. ; . 59. . 60. . 61. . 62. -2,25. 63. .

64. . 65. . 66. . 67. . 68. .

69. . 70. . 71. . 72. . 73. . 74. 4,5.

75. . 76. . 77. . 78. .

79. . 80. . 81. .

82. ; . 83.

84. ; ; .

85. 2,5. 86. . 87. . 88. . 89. .

90. . 91. . 92. . 93. .

94. . 95. . 96. .

97. . 98. . 99. а) 2; ә) ; б) ; в) ; г) .

100. а) – г) . 101. 1. 102. 0. 103. . 104. . 105. . 106. 12. 107. 146. 108. 20,5.

109. болады; .

110. болмайды. 111. болады; .

112. болады; . 113. . 114. -4.

115. . 116. 18. 117. . 118. . 119. . 120. .

121. . 122. 16. 123. . 124. . 125. . 126. .

127. 0. 128. . 129. . 130. . 131. .

132. ; . 133. ; .

134. . 135. . 136. 21. 137. . 138. 3.

139. . 140. . 141. 0. 142. . 143. . 144. -64. 145. 23,5.

146. 1. 147. 148. 149. . 150. . 151. центрі нүктесі және радиусы болатын сфералар жиынтығы. 152. параллель жазықтықтар жиынтығы. 153. эллипстік параболоидтар жиынтығы. 154. гиперболалық параболоидтар жиынтығы. 155. центрі нүктесі және радиусы болатын шеңберлер жиынтығы.

156. параллель түзулер жиынтығы. 157. гиперболар жиынтығы.

158. а) ; ә) ; б) . 159. а) ; ә) 2; б) . 160. а) ; ә) ; б) 1. 161. а) ; ә) ; б) . 162. а) ; ә) . б) . 163. 6.

164. . 165. 3. 166. . 167. . 168. 0,5.

169. 21. 170. . 171. . 172. 9. 173. . 174. .

175. . 176. . 177. 0. 178. .

179. . 180. -5. 181. . 182. -3. 183. . 184. .

185. болады; . 186. болмайды.

187. болады; . 188. болады; .

189. болады; . 190. потенциалды; өріс. 191. гармониялық өріс. 192. болмайды. 193. соленоидалды өріс.

194. потенциалды өріс. 195. соленоидалды өріс. 196. гармониялық өріс.

ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ

1. Аяпбергенов С.А. Аналитикалық геометрия. Алматы: Мектеп, 1971.

2. Қасымов Қ.Ә., Қасымов Е.Ә. Жоғары математика курсы (Сызықты алгебра). Алматы, «Санат», 1997.

3. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. М.: Наука – 1967.

4. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. М.: Наука – 1987.

5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. – М.: Наука, 1978.

6. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Функция комплексного переменного. Ряды. – М.: Наука, 1981.

7. Задачи и упражнения по математическому анализу для ВТУЗов (под. ред. Б.П. Демидовича). – М.: Наука, 1977.

8. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. –М.: Высшая школа, 1980.

9. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – М.: Наука, 1977.

10. Минорский Л.П. Сборник задач по высшей математике. – М.: Наука, 1978.

МАЗМҰНЫ

1. Қисық сызықты интегралдар 59

2. Беттік интегралдар 75

3. Өріс теориясының элементтері 91

Жауаптары 110

Әдебиеттер тізімі 118