Геометрия

Коммерциялық емес акционерлік қоғам

АЛМАТЫ ЭНЕРГЕТИКА ЖӘНЕ БАЙЛАНЫС УНИВЕРСИТЕТІ

Жоғары математика кафедрасы

 

 

ГЕОМЕТРИЯ

5В060200 – Информатика мамандығының студенттері үшін
есептеу-графикалық жұмыстарды орындауға арналған
әдістемелік нұсқаулар мен тапсырмалар 2-бөлім

 

Алматы 2013

 

ҚҰРАСТЫРУШЫЛАР: Төлеуова Б.Ж., Абдулланова Ж.С.Геометрия: 5В060200 – Информатика мамандығының студенттері үшін есептеу-графикалық жұмыстарды орындауға арналған әдістемелік нұсқаулар мен тапсырмалар. 2-бөлім.  - Алматы: АЭжБУ, 2013.- 18 б.

 

Әдістемелік нұсқаулар мен тапсырмалар 5В060200 – Информатика мамандығының студенттеріне «Геометрия» пәнінің№ 2 есептеу-графикалық жұмыстарын орындауға арналған.

Бұл материал «Геометрия» пәнінің «Жазықтықтар мен түзулер» тарауының бағдарламасына негізделіп жасалған. Тапсырмалар берілген және қажетті теориялық мәліметтер келтірілген. Типтік нұсқаның шешуі толық көрсетілген.

Кестелер 6, әдеб.көрсеткіші – 5 атау.

 

Пікір беруші: физ-мат.ғыл. канд., доцент  С.А. Нұрпеисов

 

«Алматы энергетика және байланыс университеті» коммерциялық емес акционерлік қоғамының  2012ж. жоспары бойынша басылды

 

«Алматы энергетика және байланыс университеті» КЕАҚ, 2013ж.

 

 1 № 2 Eсептеу графикалық жұмыс. Жазықтықтағы түзу. Кеңістіктегі түзу мен жазықтық

 

        Жұмыстың мақсаты: студенттерге осы жұмыста келтірілген аналитикалық геометрия курсының «Жазықтықтағы түзу. Кеңістіктегі түзу мен жазықтық» тарауының материалдарын меңгерту. Тарауды оқу барысында меңгерген білімдері мен біліктілігін қолданбалы математиканың есептерін шығаруда пайдалануға үйрету. Сонымен қатар, «Екінші деңгей тапсырмалары» бөлімінде келтірілген тапсырмалардың көмегімен жақсы оқитын студенттерді анықтау.

                   

        2 Теориялық сұрақтар

 

1.    Жазықтықтағы түзу теңдеуінің түрлері: жалпы теңдеуі, кесіндідегі теңдеуі, бұрыштық коэффициентімен берілген теңдеуі, канондық теңдеуі, параметрлік түрде берілген теңдеуі.

2.    Екі түзудің өзара орналасуы: параллельдігі және перпендикулярлығы. Екі түзу арасындағы бұрыш.

3.    Нүктеден түзуге дейінгі арақашықтық.

4.    Жазықтық теңдеуінің түрлері: жалпы теңдеуі, кесіндідегі теңдеуі, берілген нүкте арқылы өтетін және берілген векторға перпендикуляр жазықтықтың теңдеуі, берілген үш нүкте арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуі.

5.    Екі жазықтықтың өзара орналасуы: параллельдігі және перпендикулярлығы. Екі жазықтық арасындағы бұрыш.

6.    Нүктеден жазықтыққа дейінгі арақашықтық.

7.    Кеңістіктегі түзудің теңдеуі.

8.    Кеңістіктегі екі түзудің өзара орналасуы: параллельдігі және перпендикулярлығы. Екі түзу арасындағы бұрыш.

9.    Түзу мен жазықтықтың өзара орналасуы: түзу мен жазықтық арасындағы бұрыш.

10.Түзулердің арасындағы қашықтық.

 

        3 Бірінші деңгей тапсырмалары

               

        1-тапсырма. Берілген   түзуінің бұрыштық коэффициентін және оның  координаталық осьтерден қиятын кесінділерін табыңыз

 

 

 

 

 

 

1.1

1.11

1.21

1.2

1.12

1.22

1.3

1.13

1.23

1.4

1.14

1.24

1.5

4

1.15

1.25

1.6

1.16

1.26

1.7

1.17

1.27

1.8

1.18

1.28

1.9

1.19

1.29

1.10

1.20

1.30

    

        2-тапсырма. Бұрыштық коэффициенті -ға тең және  нүктесі арқылы өтетін түзудің теңдеуін жазыңыз

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.1

2

2.11

6

2.21

3

2.2

-3

2.12

-8

2.22

-9

2.3

4

22.13

2

2.23

8

2.4

8

2.14

0,25

2.24

2

2.5

0,5

2.15

-6

2.25

1,25

2.6

-4

2.16

1

2.26

-2.2

2.7

3

2.17

5

2.27

4

2.8

5

2.18

-7

2.28

6

2.9

-2

2.19

0,2

2.29

3,4

2.10

-1

2.20

5

2.30

5

 

3-тапсырма.  және  нүктелері арқылы өтетін түзудің теңдеуін жазыңыз

 

 

 

 

 

 

3.1

3.16

3.2

3.17

3.3

3.18

3.4

3.19

3.5

3.20

3.6

3.21

3.7

3.22

3.8

3.23

3.9

3.24

3.10

3.25

3.11

3.26

3.12

3.27

3.13

3.28

3.14

3.29

3.15

3.30

 

4-тапсырма.  үшбұрышының төбелері берілген.  медианасының теңдеуін жазыңыз

 

 

 

 

 

 

 

 

4.1

4.16

4.2

4.17

4.3

4.18

4.4

4.19

4.5

4.20

4.6

4.21

4.7

4.22

4.8

4.23

4.9

4.24

4.10

4.25

4.11

4.26

4.12

4.27

4.13

4.28

4.14

4.29

4.15

4.30

 

5-тапсырма. 4-тапсырмадағы  үшбұрышының  биіктігінің теңдеуін жазыңыз.

 

6-тапсырма. 4-тапсырмадағы  үшбұрышының  төбесі арқылы өтетін және  қабырғасына параллель түзудің теңдеуін жазыңыз.

 

7-тапсырма. 4-тапсырмадағы  үшбұрышының  төбесінен  қабырғасына дейінгі арақашықтықты табыңыз.

 

8-тапсырма.  4-тапсырмадағы   және  қабырғаларының арасындағы бұрышты табыңыз.

 

9-тапсырма. , ,  нүктелері берілген.  жазықтығы теңдеуін жазыңыз

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.1

9.16

9.2

9.17

9.3

9.18

9.4

9.19

9.5

9.20

9.6

9.21

9.7

9.22

9.8

9.23

9.9

9.24

9.10

9.25

9.11

9.26

9.12

9.27

9.13

9.28

9.14

9.29

9.15

9.30

 

10-тапсырма. 9-тапсырмадағы    түзуінің теңдеуін жазыңыз.

 

11-тапсырма. , ,  және  нүктелері берілген.  нүктесінен  жазықтығына дейінгі арақашықтықты табыңыз

 

 

 

 

 

11.1

11.2

11.3

11.4

11.5

11.6

11.7

11.8

11.9

11.10

11.11

11.12

11.13

11.14

11.15

11.16

11.17

11.18

11.19

11.20

11.21

11.22

11.23

11.24

11.25

11.26

11.27

11.28

11.29

11.30

 

12-тапсырма. 11-тапсырмадағы  түзуі мен  жазықтығы арасындағы бұрыштың синусын табыңыз.

 

13-тапсырма. 11-тапсырмадағы   және     түзулері арасындағы бұрыштың косинусын табыңыз.

 

4 Екінші деңгей тапсырмалары

 

14-тапсырма. Мына есептерді шешіңіз.

14.1   және    түзулерінің қиылысу нүктесі арқылы өтетін және абсцисса осінен 3-ке тең кесінді қиятын түзудің теңдеуін жазыңыз.

14.2  нүктесінің    және   нүктелері арқылы өтетін түзуге проекциясын табыңыз.

14.3  үшбұрышының төбелері   және осы үшбұрыштың биіктіктерінің қиылысу нүктесі берілген.  төбесін табыңыз.

 14.4  түзуіне параллель және ордината осінен 2-ге тең кесінді қиятын түзудің теңдеуін жазыңыз.

14.5  нүктесі және      и     түзулерінің қиылысу нүктесі арқылы өтетін түзудің теңдеуін жазыңыз.

14.6 ,    және    нүктелері берілген.  төртбұрышының трапеция екендігін дәлелдеңіз.  

14.7  және  нүктелері берілген.  нүктесі арқылы өтетін және  түзуіне перпендикуляр түзудің теңдеуін жазыңыз.

14.8  және  нүктелері берілген.  нүктесі арқылы өтетін және  түзуіне параллель түзудің теңдеуін жазыңыз.

14.9   түзуіне қарағанда  нүктесіне симметриялы нүктені табыңыз.

14.10 ,    және   нүктелері берілген.  төртбұрышының диагональдарының қиылысу нүктесін табыңыз.

14.11  және 2 түзулерінің қиылысу нүктесі арқылы өтетін, абсциссалар осіне параллель түзудің теңдеуін жазыңыз.

14.12  үшбұрышының  қабырғасы  4, биіктіктері    2  және    2 берілген. Үшбұрыштың басқа екі қабырғасының теңдеуін жазыңыз.

14.13  үшбұрышының екі төбесі ,  және оның биіктіктерінің қиылысу нүктесі  берілген.  қабырғасы мен  биіктігінің қиылысу нүктесін табыңыз.

14.14   үшбұрышының төбелері ,  берілген.  және  төбелерінен түсірілген биіктіктерінің теңдеулерін жазыңыз.

14.15 Төбелері ,  нүктелерінде жатқан үшбұрыш қабырғаларының орталарына түсірілген перпендикулярлардың қиылысу нүктесін табыңыз.

14.16  үшбұрышы қабырғаларының теңдеулері белгілі болса:  ,     , онда  төбесінен түсірілген биіктігінің теңдеуін табыңыз.

14.17 Төбелері ,  және  нүктелерінде жатқан үшбұрыштың  төбесінен жүргізілген медиананың теңдеуін жазыңыз және оның ұзындығын табыңыз.

14.18   және  2 түзулерінің қиылысу нүктесі арқылы және координаталар басы арқылы өтетін  түзудің теңдеуін жазыңыз.

14.19 3 түзуіне осы түзудің координаталық остермен қиылысу нүктелерінен түсірілген перпендикулярлардың теңдеуін жазыңыз.

14.20 Тіктөртбұрыш қабырғаларының теңдеулері ,    ,  ,  3 белгілі болса, онда диагональдарының теңдеуін жазыңыз.

14.21 Үшбұрыштың ,  төбелері белгілі болса, онда  медианасы мен  биіктігінің теңдеулерін жазыңыз.

14.22  нүктесі арқылы: а) координаталық остерден бірдей кесінділер қиятын,  ә) ордината осіне параллель түзудің теңдеуін жазыңыз.

14.23  нүктесі арқылы өтетін және  осімен:  а) ,   ә) ,  б)   бұрыш жасайтын түзудің теңдеуін жазыңыз.

14.24 Абсциссасы 3-ке тең,   және   нүктелерімен бір түзудің бойында жатқан  нүктесі қандай ординатаға ие болады?

14.25   және   түзулерінің қиылысу нүктесі арқылы өтетін,   және  нүктелерін қосатын кесіндіні  қатынасында қиятын түзудің теңдеуін жазыңыз.

14.26 Ромбтың екі қабырғасының  4,  2  және бір диагоналінің   теңдеулері берілген. Екінші диагоналінің  теңдеуін табыңыз.    

14.27 Төбелері    нүктелері болатын үшбұрыш медианаларының қиылысу нүктесін табыңыз.

14.28  нүктесі арқылы өтетін және   түзуімен   бұрыш жасайтын түзулерді табыңыз.

 14.29  үшбұрышының биіктіктерінің теңдеулері  2  және   төбесі берілген.  және  қабырғаларының теңдеулерін жазыңыз.    

14.30 Параллелограммның екі қабырғасының теңдеулері ,      және диагоналдарының қиылысу нүктесі  берілген. Параллелограммның басқа екі қабырғасының теңдеулерін жазыңыз.

 

15-тапсырма. Мына есептерді шешіңіз.

15.1  нүктесі арқылы өтетін және   жазықтығына параллель жазықтықтың координаталық остерден қиятын кесінділерін анықтаңыз.

15.2  ,  нүктелерін қосатын кесіндінің ортасы арқылы өтетін және осы кесіндіге перпендикуляр жазықтықтың теңдеуін жазыңыз.  

15.3    нүктесінен     жазықтықтығына дейінгі ара қашықтықты табыңыз. 

15.4   нүктесі арқылы өтетін және   жазықтығына параллель жазықтықтың теңдеуін жазыңыз.  

15.5   нүктесі және   осі  арқылы  өтетін жазықтықтың теңдеуін жазыңыз.

15.6   нүктелері арқылы өтетін және  осіне параллель жазықтықтың теңдеуін жазыңыз.  

15.7    нүктесі және    түзуі  арқылы  өтетін жазықтықтың теңдеуін жазыңыз.

15.8       және   параллель түзулері арқылы  өтетін жазықтықтың теңдеуін жазыңыз.

15.9     жазықтығы мен  осі және   нүктесі арқылы өтетін жазықтықтың қиылысуынан пайда болған түзудің жалпы теңдеуін жазыңыз.

15.10     нүктесі арқылы өтетін және  осінен , ал   осінен    кесінді қиятын жазықтықтың теңдеуін жазыңыз.

15.11    нүктесі арқылы өтетін, ,   векторларына параллель жазықтықтың теңдеуін жазыңыз.

15.12   жазықтығына перпендикуляр және ,  нүктелері арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуін жазыңыз.  

15.13  Координаталар басы арқылы өтетін және ,  жазықтықтарына перпендикуляр жазықтықтың теңдеуін жазыңыз.  

15.14   нүктелері арқылы өтетін және   векторына параллель жазықтықтың теңдеуін жазыңыз.  

15.15  Координаталар басы арқылы өтетін және  векторына перпендикуляр жазықтықтың теңдеуін жазыңыз, мұндағы .

15.16   нүктесі арқылы өтетін және  жазықтығына параллель жазықтықтың координаталық остерден қиятын кесінділерін анықтаңыз.

15.17   нүктесі арқылы өтетін және  кесіндісіне перпендикуляр жазықтықтың теңдеуін жазыңыз, мұндағы , .

15.18     түзуінің   жазықтығына параллель екендігін және , ,   түзуінің осы жазықтықта жататындығын көрсетіңіз.

15.19   нүктесі арқылы өтетін және  координаталық жазықтыққа параллель жазықтықтың теңдеуін жазыңыз.

15.20   нүктесі және   осі арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуін жазыңыз.

15.21   ,    нүктелері арқылы өтетін және осіне параллель жазықтықтың теңдеуін жазыңыз.  

15.22    нүктесі және  , ,   түзуі арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуін жазыңыз.

15.23   нүктесінің   жазықтығына проекциясын табыңыз.

15.24      және    жазықтықтары -ның қандай мәнінде перпендикуляр болады?

15.25   нүктесі арқылы өтетін және координаталық өстерден бірдей кесінділер қиятын жазықтықтың теңдеуін жазыңыз.

15.26   және  -ның  қандай мәндерінде     түзуі  жазықтығына перпендикуляр болады? 

15.27    және   нүктелері арқылы өтетін,  жазықтығына перпендикуляр жазықтықтың теңдеуін жазыңыз.  

15.28  Координаталар басы арқылы өтетін және ,  жазықтықтарына перпендикуляр жазықтықтың теңдеуін жазыңыз.  

15.29    және   нүктелері арқылы өтетін,  векторына параллель жазықтықтың теңдеуін жазыңыз.  

15.30   және    жазықтықтары -ның қандай мәнінде перпендикуляр болады?

 

5 «Жазықтықтағы түзу. Кеңістіктегі түзу мен жазықтық» тарауының  есептеріне әдістемелік нұсқаулар. Типтік нұсқаның шешуі

 

1.      :  4 түзуінің бұрыштық коэффициентін және координаталық остерден қиятын кесінділерін анықтаңыз.

Шешуі. Түзудің бұрыштық коэффициентімен берілген теңдеуі

  түрінде болғандықтан, жалпы теңдеуін     арқылы шешеміз:

,    мұндағы    .

Түзудің кесіндідегі теңдеуі          түрінде болғандықтан, бос мүшені теңдіктің  оң жағына шығарып, теңдеудің екі жағын   -15-ке  бөлеміз:

-.

  Соңғы теңдеуді мына түрге келтіреміз:

.

  Сонда    ,    .

 

 

2.       нүктесі арқылы өтетін және бұрыштық коэффициенті    түзудің теңдеуін жазыңыз.

  Шешуі.   нүктесі арқылы өтетін және бұрыштық коэффициенті  -ға тең түзудің теңдеуін пайдаланамыз:  

.

  Þ    Þ  .

3.         және   нүктелері арқылы өтетін түзудің теңдеуін жазыңыз.

  Шешуі.  және   нүктелері арқылы өтетін түзудің теңдеуін пайдаланамыз:

 

  ,      мәндерін осы теңдеуге қоямыз:

 

немесе

 

 

Соңғы теңдеуді түрлендіру арқылы түзудің жалпы теңдеуін аламыз:

.

 

4.       үшбұрышының төбелері берілген: , , .   медианасының теңдеуін жазыңыз.

  Шешуі.  төбесінен жүргізілген медиана  қабырғасын бірдей екі бөлікке бөлетіндіктен,      ,          формулалары арқылы  кесіндісі ортасының   координаталарын табамыз:

,     .

 

  және   нүктелері белгілі, демек екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуін пайдаланамыз:

 

     Þ     .

 

Осыдан    медианасының жалпы теңдеуін аламыз:   2.

 

5.       үшбұрышының төбелері берілген:  , , .  биіктігінің теңдеуін жазыңыз.

Шешуі. Екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуін пайдаланып,  қабырғасының бұрыштық коэффициентімен берілген теңдеуін жазамыз:

 

   немесе    ,    демек   ,  

мұндағы    .

 үшбұрышының  биіктігі  қабырғасына перпендикуляр екендігі белгілі. Екі түзудің  перпендикулярлық шартын () қолдану арқылы, -тың  бұрыштық коэффициентін табамыз:    .

 нүктесі арқылы өтетін және бұрыштық коэффициенті     болатын  түзуінің теңдеуін жазамыз: 

   немесе    7.

 

6.       үшбұрышының төбелері берілген:  , , .  төбесі арқылы өтетін және  қабырғасына параллель түзудің теңдеуін жазыңыз.

Шешуі. Түзу  төбесі арқылы өтуі және  қабырғасына параллель болуы тиіс.  қабырғасының бұрыштық коэффициентін алдыңғы есепте анықтадық:  . Екі түзудің  параллельдік шартын () қолдану арқылы, ізделінді түзудің бұрыштық коэффициентін анықтаймыз:     .

 нүктесі арқылы өтетін және  қабырғасына параллель түзудің теңдеуі мына түрде болады: 

 

   немесе   6.

 

7.       нүктеден  4 түзуге дейінгі арақашықтықты табыңыз.

Шешуі.  нүктеден  A түзуге дейінгі арақашықтық мына формула бойынша анықталады:

 

 

  Сонда осы формула бойынша

 

                      

8.          және     түзулері арасындағы бұрышты табыңыз.

Шешуі. Екі  түзу арасындағы бұрыш мына формула бойынша анықталады:

 

  Берілген түзулердің бұрыштық коэффициенттерін табамыз:

 ,       ,     ,   .

  Осы мәндерді формулаға қоямыз:

 

 

 

9.      , ,  нүктелері берілген.  жазықтығының теңдеуін жазыңыз.

Шешуі. Берілген үш , ,  нүктелері арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуін координаталық түрде жазуға болады:

 

 

 

  Берілген нүктелердің координаталарын формулаға қоямыз:

 

     немесе     

 

  Осыдан  жазықтығының жалпы теңдеуін  аламыз:

.

 

10.   және  нүктелері берілген. Осы нүктелер арқылы өтетін кеңістіктегі түзудің теңдеуін жазыңыз.

Шешуі. Кеңістіктегі екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуін

 

ескере отырып,   түзуінің теңдеуін мына түрде жазуға болады:

 

 

немесе

 

11.  , ,  және  нүктелері берілген.   нүктесінен   жазықтығына дейінгі арақашықтықты табыңыз.

Шешуі. 9-тапсырмада  қарастырылғандай, берілген үш нүкте арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуін табамыз:

 

  немесе    

 

Осыдан  жазықтығының жалпы теңдеуін аламыз:  

 

.

 

  нүктеден  жазықтығына дейінгі арақашықтық    мына формула бойынша есептеледі:

 

 

Сонымен,

 

 

 

12.  , ,  және  нүктелері берілген.   түзуі мен   жазықтығы арасындағы бұрыштың синусын табыңыз.

Шешуі. 11-тапсырмада   жазықтығының теңдеуін анықтадық:  

 

,  нүктелері арқылы өтетін түзудің теңдеуін жазамыз:

 

 

Теңдеуден бұл түзудің бағыттаушы векторы    екендігі белгілі.

 

 түзуі мен    жазықтығы арасындағы j  бұрышы мына  формула бойынша анықталады:

 

 

Демек,

 

 

13.  , ,  нүктелері берілген.   және    түзулері арасындағы бұрыштың косинусын табыңыз.

Шешуі. Егер түзулер канондық теңдеулермен

 

 

берілген болса, онда олардың  арасындағы j  бұрышы мына  формула бойынша анықталады:

 

 

  ,    түзулерінің канондық теңдеулерін жазамыз: 

 

 

 

Демек,

 

 

 

 

Әдебиеттер тізімі

 

1.    Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Наука, 1980.

2.    Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы  линейной алгебры и аналитической геометрии. – М.: Наука, 1980.

3.    Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 3 ч. Ч.1– М.: Высш. школа, 1986.

4.    Апатенок Р.Ф., Маркина А.М., Попова Н.В., Хейнман В.Б. Сборник задач по линейной алгебре. – Мн.: Выш. школа, 1980.

5.    Ильин В.А., Позняк В.Г. Линейная алгебра. – М.: Наука, 1974.

 

 

Мазмұны

 

1 №2 есептеу-графикалық жұмыс. Жазықтықтағы түзу. Кеңістіктегі түзу мен жазықтық

3

1 Теориялық сұрақтар

3

2 Бірінші деңгей тапсырмалары

3

3 Екінші деңгей тапсырмалары

7

4 «Жазықтықтағы түзу. Кеңістіктегі түзу мен жазықтық»  тарауының  есептеріне әдістемелік нұсқаулар. Типтік  нұсқаның шешуі

11

Әдебиеттер тізімі

18