Коммерциялық емес акционерлік қоғам

АЛМАТЫ ЭНЕРГЕТИКА ЖӘНЕ БАЙЛАНЫС УНИВЕРСИТЕТІ

Жоғары математика кафедрасы

 

 

АЛГЕБРА

5В060200-«Информатика» мамандығының студенттері үшін

есептеу-графикалық жұмыстарды орындауға арналған

 әдістемелік нұсқаулар мен тапсырмалар

3-бөлім

 

 

 

Алматы 2012 

         Құрастырушылар:  Т. Қайырбеков,    Ж.С. Абдулланова,    Б.Ж.Толеуова Алгебра.  Есептеу-графикалық    жұмыстарға   арналған  әдістемелік нұсқаулар  мен   тапсырмалар.  3-бөлім.-Алматы:  АЭжБУ,  2012-21 б. 

 

         Бұл әдістемелік нұсқаулар мен тапсырмалар Алматы энергетика және байланыс университетінің күндізгі бөлімінің информатика мамандығының студенттеріне арналған алгебра пәнінің бағдарламасына сай  №3  есептеу-графикалық жұмыстарды орындауға арналған басылым.

         Бұл әдістемелік нұсқаулар мен тапсырмалар алгебра пәнінің «Кеңістікті сызықты түрлендірулер және квадраттық формалар» тарауларын қамтыған. Бағдарламаның негізгі теориялық сұрақтары берілген. Есептеу-графикалық жұмыстар күрделілігіне қарай 2 деңгейге бөлінген. Типтік варианттың шешімі берілген.

          

        Пікір беруші: физ-мат.ғыл. канд., доцент  С.А. Нұрпеисов

 

       «Алматы энергетика және байланыс  университетінің » коммерциялық емес акционерлік қоғамының  2012 ж. баспа жоспары бойынша   басылады.

                

                 ã «Алматы энергетика және байланыс университеті», КEАҚ 2012 ж.

 

Кіріспе

           Бұл әдістемелік нұсқау «Информатика» мамандықтарының студенттеріне бірінші семестрде оқытатын «Алгебра» курсы бойынша есептеу-графикалық жұмыстарының 3-ші бөлімі болып табылады.

          Жоғары алгебраның сызықты алгебра және көпмүшеліктер алгебрасы деп аталатын бөлімдерін қамтитын курстың  1 және 2-ші бөлімдері баспадан шығуына байланысты осы үшінші бөлімді дайындап шығару қажеттігі туындады.  

          Есептеу-графикалық жұмыс «Алгебра» курсы бойынша «Информатика» мамандықтарының студенттеріне арналған типтік бағдарламаға сәйкес жазылған.   Бұл ЕГЖ оқытушылар мен студенттерге қолдануға ұсынылады.

Осы ЕГЖ көмегімен аудиториялық сабақтарда студенттердің өзіндік жұмыс жасауына және оқытушылардың студенттерге жеке үй тапсырмаларын беруіне ыңғайлы.

         Бұл әдістемелік нұсқауда сызықтық кеңістіктің негізгі ұғымдары    және

сызықтық операторлар мен квадраттық формалардың математикалық сипаттамалары қамтылған.

         ЕГЖ  әрқайсысы 30 нұсқаудан 12 тапсырмадан  (10 тапсырма 1-ші деңгейлі, 2 тапсырма 2-ші деңгейлі қиындықта)тұрады. Соңында типтік нұсқаудың 1-ші деңгейлі тапсырмаларының толық шешімі көрсетілген. 2-ші деңгейлі тапсырмалардың шешуі студенттерге өздік ізденіс ретінде ұсынылады. Сонымен қатар, жоғары алгебраның осы бөлімі бойынша студенттердің меңгеруге тиісті негізгі теориялық сұрақтары берілген.

  

3-есептеу-графикалық жұмыс

           Тақырыбы: Кеңістікті сызықты түрлендірулер. Квадраттық формалар

           Мақсаты: cтуденттердің теориялық білімдерін кеңістікті сызықты түрлендірудің матрицасын,  характеристикалық теңдеуін, меншікті мәндер мен меншікті векторларын анықтауға және квадраттық формалардың матрицасы мен рангісін есептеуге, квадраттық формаларды ортогональ түрлендіру мен Лагранж әдісі арқылы канондық түрге келтіруге үйрету.

                                  

     Бірінші деңгейдің тапсырмалары

         1-ші тапсырма. Үш өлшемді кеңістікті   сызықты түрлендіру келесі матрицалардың қайсысымен анықталады?

 

№

   Матрицалар

№

Матрицалар

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

 

          2-ші тапсырма. Үш өлшемді кеңістікте  сызықты түрлендіруібазисінде  векторы және  матрицасымен берілген.

Табу керек ? ().

 

 

№

 матрицасы  ,  векторы

№

 матрицасы,  векторы  

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

 

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

 

           3-ші тапсырма. Кеңістікті   сызықты түрлендіруібазисінде  матрицасымен берілген.   сызықты түрлендірудіңбазисіндегі () матрицасын табу керек (барлық нұсқалар үшін көшу Т матрицасы келесі  жіктеуден табылады:

 .

 

№

       

№

       

№

№

1

2

       

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

 

          4-ші тапсырма. Үш өлшемді кеңістікте   сызықты түрлендірулері берілген.Олардың қайсысы сызықты түрлендіру екенін анықтау керек.

№

                      сызықты түрлендірулер

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

 

11

12

13

15

16

17

 

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

 

            5-ші тапсырма. Үш өлшемді кеңістікте  сызықты түрлендіруі белгілі базисте  матрицасымен берілген. Осы матрицаның өздік мәндерін табу керек.

 

№

          

№

           

№

              

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

 

          6-ші тапсырма. 5-ші тапсырмадағы  матрицалардың өздік мәндеріне сәйкес өздік векторларын табу керек.

 

          7-тапсырма. Сызықты кеңістікті түрлендірудің  матрицасын диагоналдық түрге келтіретін  С матрицасын табу керек .- диагоналдық матрица болады.

 

 

№

№

№

 

№

 

№

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

 

            8-тапсырма.Берілген квадрат формаларды матрицалық түрде жазу керек.

 

№

№

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

 

           9-тапсырма. 8-ші тапсырмадағы квадраттық форманың рангісін анықтау керек.

 

 

          10-тапсырма. 8-ші тапсырмадағы квадраттық форманың оң немесе теріс анықталғандығын  анықтау керек.

                                  Екінші деңгейлі тапсырмалар

 

          11-тапсырма. 8-ші тапсырмадағы квадраттық форманы Лагранж әдісімен канондық түрге келтіру керек.

 

          12-тапсырма. Квадраттық форманы ортогоналдық түрлендіру арқылы  канондық түрге келтіру керек.

 

№

№

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

 

 

11

 

 

12

 

 

13

 

 

14

 

 

15

 

 

16

 

 

17

 

 

18

 

 

19

 

 

20

 

 

21

 

 

22

 

 

23

 

 

24

 

 

25

 

 

26

 

 

27

 

 

28

 

 

29

30

 

 

 

 

Типтік варианттың шешуі

           1-ші тапсырма. Үш өлшемді кеңістікті   сызықты түрлендіру келесі матрицалардың қайсысымен анықталады?

                              .

           Шешуі: n-ші ретті кеңістікті   сызықты түрлендіруіне n-ші ретті  квадрат матрица сәйкес келеді. Біздің есепте үш өлшемді кеңістікті   сызықты түрлендіріледі. Оған 3-ші ретті  квадрат матрица сәйкес келеді, яғни жауабы б) матрицасы.

 

           2-ші тапсырма. Үш өлшемді кеңістікте  сызықты түрлендіруібазисінде  векторы және  матрицасымен берілген.  Табу керек ? ().

                                       .

          Шешуі: бұл тапсырмада түрлендірудің бейнесінің координаталарын  оның түпнұсқасының координаталарымен байланысын табамыз, яғни,  .

         Кеңістік  үш өлшемді болғандықтан  .

         Сонымен .

         Сондықтан .

 

         3-ші тапсырма. Кеңістікті   сызықты түрлендіруібазисінде  матрицасымен берілген.   сызықты түрлендірудіңбазисіндегі () матрицасын табу керек (барлық нұсқалар үшін көшу Т матрицасы келесі  жіктеуден табылады:

 .

         Шешуі: көшу Т матрицасын берілген жіктеу бойынша жазып алайық:

                                           .

          Бұл матрицаның анықтауышы 0-ден айырықша, сондықтан ол  көшу матрицасы бола алады.   сызықты түрлендірудің базисіндегі  матрицасы келесі формуламен анықталады . Сондықтан көшу матрицасының кері  матрицасын табу керек. Ол

                                                  .

          Ал   сызықты түрлендіруібазисінде  матрицасы келесі түрде берілген

                                            .

          Енді ізделінді  матрицасын есептесек .

 

 

          4-ші тапсырма. Үш өлшемді кеңістікте  сызықты түрлендірулері берілген. Олардың қайсысы сызықты түрлендіру екенін анықтау керек

                       

          Шешуі: бұл түрлендірулердің  қайсысы сызықты түрлендіру екенін анықтау үшін келесі екі шарттың орындалуын тексеру  керек:

   

          Алдымен f(x) түрлендіруін тексерейік. Ол үшін деп алайық.

         Сонда болады да,

 

         Бұл өрнектен біз  екендігін көреміз.

         Енді екінші шартты тексерейік.

         Түрлендірулердің сызықты екендігінің екі шарты да орындалды.

         Олай болса, берілген түрлендіруі сызықты.

         Енді  түрлендіруін тексерейік.

деп алып, 

           Бұдан        

           Сонда  екендігі шығады, яғни 1)шарт орындалмайды.    Сонымен  түрлендіруі сызықты   емес болып шықты.

 

          5-ші тапсырма. Үш өлшемді кеңістікте  сызықты түрлендіруі белгілі базисте  матрицасымен берілген .

Осы матрицаның өздік мәндерін табу керек.

          Шешуі: сипаттама теңдеудің тек нақты түбірлері сызықты түрлендірудің өздік мәні бола алады.  матрицасының сипаттама теңдеуін  құрамыз:

                                         .

         Бұл анықтауышты ашып келесі теңдеуді аламыз: .

         Теңдеуді шешу үшін оны көбейткіштерге жіктейміз:

                      .

         Бұдан . Ал  теңдеуінің түбірлері .

         Сонымен А матрицасының өздік мәндері  .

 

         6-ші тапсырма. 5-ші тапсырмадағы  матрицалардың өздік мәндеріне сәйкес өздік векторларын табу керек.

          Шешуі: нольдік емес, кез-келген х векторын   сызықты түрлендіруінің өздік векторы дейміз, егер  бір нақты  саны табылып,  келесі теңдік орындалса

          Немесе бұл теңдікті келесі түрде жазуға болады .

          Бұл матрицалық теңдеуді ашып, келесі жүйені аламыз:

.

          Енді әрбір    өздік мәндерге сәйкес келетін өздік векторларды табамыз.Ол үшін өздік мәннің әрқайсысын (1) жүйеге апарып қойып есептейміз:

  .

 

            Бұл жүйенің матрицасының рангісі . Жүйенің алғашқы екі теңдеуінен . Енді  деп алып, келесі өздік векторларды аламыз  .

Бұл  өздік мәніне сәйкес өздік вектор.

  .

 

              Бұл жүйенің матрицасының рангісі . Жүйенің шешіп, келесі өздік векторларды аламыз  . Бұл  өздік мәніне сәйкес өздік вектор. Осылайша  өздік мәніне сәйкес өздік векторды табамыз. Ол  .

 

            7-тапсырма. Сызықты кеңістікті  түрлендірудің  матрицасын диагоналдық түрге келтіретін  С матрицасын табу керек .- диагоналдық матрица болады.

                                        .

            Шешуі: алдымен сипаттама теңдеуін жазамыз.

                               .

           Бұдан , оның түбірлері .

           Енді әрбір    өздік мәндерге сәйкес келетін өздік векторларды табамыз.Ол үшін келесі жүйені қарастырамыз:

                                                 .

           Енді   .

           Осы жүйені шешіп, аламыз.Сонымен  өздік мәніне сәйкес өздік вектор . Ал  өздік мәніне сәйкес өздік вектор .

           Осылайша,   матрицасын диагоналдық түрге келтіретін   матрицасын құрайық:

                                         .

           Бұл матрицаның кері матрицасы . Келесі матрица

- диагоналдық матрица болады.

 

             8-тапсырма. Берілген квадраттық формаларды матрицалық түрде жазу керек.

                      .

           Шешуі: бұл квадрат форманың матрицасы келесі түрде болады

                                             .

           Белгісіздер матрицасын деп белгілейік, ал оның транспонирленген матрицасын деп белгілесек, онда квадрат форманың матрицалық түрі келесі түрде жазылады:

                           .

            Немесе .

 

            9-тапсырма. 8-ші тапсырмадағы квадраттық форманың рангісін анықтау керек.

           Шешуі: квадраттық форманың рангісі деп оның матрицасының рангісін айтады. квадраттық форманың рангісін табу үшін оның матрицасын жазып аламыз.

                                       .

           Бұл матрицаның рангісі . Сондықтан берілген квадраттық форманың рангісі де 3-ке тең болады.

 

            10-тапсырма. 8-ші тапсырмадағы квадраттық форманың оң немесе теріс анықталғандығын  анықтау керек.

                      .

             Шешуі: нақты квадраттық форма сонда тек сонда ғана оң анықталған болады,  егер квадраттық форманың матрицасының бас диагоналдық минорлары оң болса. Нақты квадраттық форма сонда тек сонда ғана теріс анықталған болады,  егер оның жұп  бас диагоналдық минорлары оң болып, ал тақ бас диагоналдық минорлары теріс болса.

            Берілген квадраттық форманың матрицасын жазайық

 

                                                   .

            Енді бас диагоналдық минорларын есептейік:

.

           Барлық бас диагоналдық минорлар оң таңбалы, яғни берілген квадраттық форма оң анықталған.

                                           

 

Теориялық сұрақтар

 

1.     Кеңістікті сызықты түрлендіру және оның матрицасы.

2. Түрлендірудің әртүрлі базистегі матрицалар арасындағы байланыс.    

    Ұқсас матрицалар.

3.     Сызықты түрлендірудің сипаттама теңдеуі және саны.

4.  Сызықты түрлендірудің өздік векторы.

5.  Ортогональдық матрица.

6.  Квадраттық форма, оның матрицасы және рангі.

7.  Квадраттық форманың матрицалық түрі.

8.  Таңбалары анықталған квадраттық формалар.

     9.  Квадраттық форманы канондық және нормалдық түрге келтіру

 

                                               Әдебиеттер тізімі

1.     Апатенок Р.Ф., Маркина А.М. и др. Сборник задач по линейной алгебре.     -Мн.:Высш. шк.,1980.-192 с.

2.     Мантуров О.В., Матвеев Н.А. «Курс высшей математики»-М.:Высш.шк.,      1986.-480 с.

3.     Апатенок Р.Ф., Маркина А.М. и др. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.-Мн.:Высш. шк.,1986.-272 с.

4.     Кузнецов А.А. Сборник заданий по высшей математике: типовые расчеты.  - М.:Высш. шк.,1983.-176 с.

5.     Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике.-М.:Айрис-     пресс, 2010.-608 с.

6.     Письменный Д.Т. Сборник задач по курсу высшей математики.- М.:Айрис-     пресс, 2009.-592 с.

 

                                           Мазмұны

     Кіріспе                                                                                                       3

     3-ші есептеу графикалық жұмыс                                                              4

     Бірінші деңгейдің тапсырмалары                                                             4

     Екінші деңгейдің тапсырмалары                                                             14

     Типтік варианттың шешімі                                                                      15

     Теориялық сұрақтар                                                                                20

     Әдебиет тізімі                                                                                           21