Коммерциялық емес акционерлік қоғам

АЛМАТЫ ЭНЕРГЕТИКА ЖӘНЕ БАЙЛАНЫС УНИВЕРСИТЕТІ

Жоғары математика кафедрасы

 

 

 

ЫҚТИМАЛДЫҚТАР ТЕОРИЯСЫ  ЖӘНЕ

МАТЕМАТИКАЛЫҚ СТАТИСТИКА

5В070400 – Есептеу техникасы және бағдарламалық қамтамасыз ету,

             5В070300–  Ақпараттық жүйелер мамандықтары бойынша           

оқитын барлық бөлім студенттері  үшін

есептеу-графикалық жұмыстарды орындауға

арналған әдістемелік нұсқаулар мен тапсырмалар

1 - бөлім

 

 

 

Алматы 2011 

 

            ҚҰРАСТЫРУШЫЛАР: Л.Н. Астраханцева, М.Ж.Байсалова. Ықтималдық теориясы және математикалық статистика. 5В070400 –  Есептеу техникасы және бағдарламалық қамтамасыз ету, 5В070300– Ақпараттық жүйелер мамандықтары  бойынша оқитын барлық бөлім студенттері  үшін есептеу-графикалық жұмыстарды орындауға арналған  әдістемелік   нұсқаулар мен  тапсырмалар.  1- бөлім  -   Алматы: АЭжБУ, 2011. -  30 б.

 

«Есептеу техникасы және бағдарламалық   қамтамасыз ету»    мамандығы  

бойынша оқитын барлық бөлім студенттеріне арналған есептеу-графикалық жұмыстарды   орындауға   арналған   әдістемелік   нұсқаулар  мен тапсырмалар.

 «Ықтималдық теориясы және математикалық статистика»  пәнінің № 1 типтік есептеулерден тұрады.  Бағдарламаның теориялық сұрақтары енгізілген. Типтік нұсқаның шешімі  келтірілген.

Кесте 10,  әдеб. көрсеткіші  4 атау.

 

Пікір беруші: физ.-мат.ғыл. канд., проф. С.Е.Базарбаева.

  

“Алматы энергетика және байланыс университетінің”  коммерциялық емес акционерлік қоғамының  2011  ж. баспа жоспары бойынша басылады.

  

ã “Алматы  энергетика және байланыс университетінің ” КЕАҚ, 2011 ж.

 

1 Есептік-графикалық жұмыс 1 Кездейсоқ оқиғалар және кездейсоқ шамалар

 

         1.1 Теориялық  сұрақтар

 

1 Ықтималдық теориясы пәні. Кездейсоқ оқиғалар, жиілік. Ықтимал-дықтың статистикалық және геометриялық анықтамалары.

2 Элементар оқиғалар кеңістігі. Оқиғалар алгебрасы. Ықтималдықтың

классикалық анықтамасы.

3 Ықтималдықтарды қосу және көбейту теоремалары. Шартты ықтимал-

дық. Тәуелді және тәуелсіз оқиғалар.

4 Толық ықтималдықтар формуласы.  Байес формуласы.

5 Тәжірибенің қайталануы. Бернулли формуласы.  

6 Лапластың аймақтық және интегралдық теоремасы. Лаплас

функциясы. Пуассона формуласы.

7 Дискретті және үзіліссіз кездейсоқ шамалар. Дискретті кездейсоқ

шаманың үлестірім заңы. Биномдық үлестірім, Пуассон үлестірімі.

8 Интегралдық үлестірім функциясы (үлестірім функциясы), қасиеттері,

графигі.

9 Дифференциалдық үлестірім функциясы (үлестірім тығыздығы), қасиеттері, графигі.

10 Кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамалары. Дискретті және үзіліссіз кездейсоқ шамалардың математикалық үміті (күтімі).

11 Дискретті және үзіліссіз кездейсоқ шамалардың дисперсиясы және

орта  квадраттық ауытқуы.

12   Үлестірімнің алғашқы және орталық моменттері, асимметрия,

эксцесс, мода, медиана.

 

         1.2 Есептік тапсырмалар

 

         1 Партияда N өнім бар, олардың ішінде M жарамсыз. Табу керек:

а) жарамсыз өнімдердің қатысты жиілігін;

б) партиядан алынған барлық  m өнімнің жарамсыз болу ықтималдығын;

в) партиядан алынған  m өнімнің ішінде m жарамсыз болу ықтималдығын.

1 Кесте

№

N

M

m

m

№

N

M

m

m

1.1

100

25

10

8

1.16

70

8

5

3

1.2

90

15

12

7

1.17

75

9

8

4

1.3

85

10

7

4

1.18

85

6

5

2

1.4

80

9

5

3

1.19

90

12

7

4

1.5

95

15

9

3

1.20

87

10

8

3

1.6

70

10

9

5

1.21

100

30

15

5

1.7

80

15

7

5

1.22

90

20

9

3

1 кестенің соңы

1.8

90

10

6

4

1.23

95

15

10

4

1.9

75

10

8

4

1.24

85

10

7

2

1.10

100

20

10

7

1.25

90

12

6

3

1.11

90

10

8

5

1.26

85

10

5

2

1.12

80

7

5

3

1.27

75

8

5

3

1.13

95

10

8

5

1.28

100

15

9

4

1.14

96

12

7

1

1.29

80

10

7

4

1.15

89

13

5

2

1.30

85

7

5

2

 

2 Жәшікте төрт сұрыпты бұйымдар бар. Бірінші сұрыпты бұйым саны n, екінші - , үшінші - , төртінші - n. Кез келген ретпен m бұйым алдынды. Алынған бұйымдардың ішінде  m-і бірінші сұрыпты, m- екінші, m- үшінші, m- төртінші сұрыпты (m+ m+ m+ m= m) болу ықтималдығын табу керек.

К е с т е 2

№

n

n

n

n

m

m

m

m

2.1

1

2

3

4

1

1

2

1

2.2

2

2

4

2

1

1

1

2

2.3

2

3

4

1

1

2

3

1

2.4

1

4

2

3

1

2

1

2

2.5

4

2

2

2

3

1

2

1

2.6

3

2

3

2

2

1

3

1

2.7

5

1

2

2

3

1

1

1

2.8

2

5

2

1

1

3

1

1

2.9

4

2

3

2

2

1

2

1

2.10

3

3

4

2

2

1

1

2

2.11

2

3

3

3

1

2

3

1

2.12

1

3

4

3

1

2

2

1

2.13

2

3

4

2

1

2

3

2

2.14

1

2

3

5

1

1

2

3

2.15

2

3

4

2

1

2

2

1

2.16

3

2

2

4

2

1

1

1

2.17

4

3

2

3

2

1

2

1

2.18

3

3

4

2

2

1

2

2

2.19

2

4

5

1

2

2

3

1

2.20

3

4

3

2

2

2

3

2

2.21

2

5

2

3

1

3

1

2

2.22

4

4

2

2

2

2

2

1

2.23

2

7

2

1

1

5

2

1

2.24

3

1

6

2

2

1

3

1

2.25

1

3

3

2

1

3

1

1

кестенің соңы 2

2.26

1

4

2

2

0

2

1

1

2.27

2

3

1

3

1

2

0

1

2.28

3

1

2

3

0

1

1

2

2.29

3

2

3

1

2

2

2

0

2.30

2

2

2

3

1

1

1

2

 

3 Дүкенге үш зауыттан 1000 лампа келіп түсті:  лампа бірінші зауыттан, - екіншіден,  қалғаны үшіншіден. Бірінші зауыттың лампаларының арасында % жарамсыз, екіншіде - % жарамсыз,  үшіншіде - % жарамсыз.  Бір лампа сатып алынды.

         а) оның  жарамсыз  болу;

         б) сатып алынған  лампа жарамсыз болып шықты. Оның i–ші  зауытта жасалыну оқиғасының ықтималдығын табу керек ( i =1,2,3).

3 К е с т е

№

i

3.1

100

250

7

8

5

1

3.2

430

180

5

4

7

2

3.3

170

540

6

5

8

3

3.4

650

120

10

9

8

2

3.5

400

180

7

10

5

1

3.6

120

380

10

6

9

2

3.7

270

340

9

5

4

3

3.8

430

120

10

7

6

2

3.9

360

120

5

10

8

1

3.10

420

210

8

7

6

1

3.11

370

130

10

6

5

2

3.12

410

200

5

10

8

3

3.13

280

510

10

6

5

3

3.14

710

120

2

10

4

3

3.15

460

240

5

9

7

1

3.16

520

220

5

8

7

1

3.17

270

410

10

5

9

2

3.18

250

140

8

7

4

2

3.19

190

380

5

9

30

1

3.20

290

610

6

3

3

2

3.21

270

430

10

6

4

2

3.22

280

360

7

10

9

1

3.23

520

110

5

7

10

1

3.24

240

290

9

8

4

3

3.25

310

410

7

2

5

3

3.26

520

110

3

6

7

2

3 кестенің соңы

3.27

280

310

9

8

4

2

3.28

400

320

4

5

8

1

3.29

350

240

9

8

7

1

3.30

190

520

5

2

4

3

 

4 n тәжірибе жүргізілді. Әрбір тәжірибеде А оқиғасының пайда болу ықтималдығы p-ға тең. А оқиғасы:

а)  рет;

б)  реттен кем емес;

в)  реттен артық емес;

г) ең болмағанда бір рет пайда болу оқиғаларының  ықтималдығын табу керек

4 К е с т е

№

n

p

№

n

p

4.1

4

2

3

2

0.9

4.16

5

3

4

2

0.8

4.2

4

3

3

2

0.8

4.17

4

3

3

1

0.7

4.3

5

4

4

2

0.7

4.18

4

2

3

2

0.6

4.4

5

3

3

2

0.6

4.19

5

3

4

1

0.5

4.5

6

5

5

1

0.5

4.20

6

4

5

2

0.4

4.6

6

4

4

1

0.4

4.21

7

5

6

2

0.3

4.7

7

5

5

2

0.3

4.22

8

3

7

2

0.2

4.8

7

4

4

1

0.2

4.23

8

4

7

1

0.3

4.9

8

4

7

2

0.3

4.24

7

5

6

2

0.4

4.10

8

3

6

1

0.4

4.25

6

3

5

2

0.5

4.11

7

4

6

2

0.5

4.26

5

2

4

1

0.6

4.12

7

5

6

1

0.6

4.27

4

2

3

2

0.7

4.13

6

3

4

2

0.7

4.28

5

3

3

3

0.8

4.14

6

2

4

2

0.8

4.29

6

4

4

2

0.9

4.15

5

4

4

1

0.9

4.30

7

5

6

1

0.9

 

5 Телефон станциясының жұмысында әрбір қоңырау шалғандағы «жаңылу» ықтималдығы р-ға тең. n қоңырау шалу келіп түсті. Оның ішінде k «жаңылу» болу ықтималдығын табу керек.

5 К е с т е

№

р

n

k

№

р

n

k

№

р

n

k

5.1

0.002

1000

7

5.11

0.01

200

8

5.21

0.004

500

9

5.2

0.003

1000

7

5.12

0.01

300

8

5.22

0.005

600

9

5.3

0.004

1000

7

5.13

0.02

200

8

5.23

0.01

400

9

5.4

0.005

1000

7

5.14

0.01

500

8

5.24

0.01

500

9

5.5

0.006

1000

7

5.15

0.02

300

8

5.25

0.01

600

9

5.6

0.007

1000

7

5.16

0.01

700

8

5.26

0.007

1000

9

 

5 кестенің соңы

5.7

0.008

1000

7

5.17

0.02

400

8

5.27

0.008

1000

9

5.8

0.009

1000

7

5.18

0.01

900

8

5.28

0.009

1000

9

5.9

0.01

1000

7

5.19

0.02

500

8

5.29

0.01

1000

9

5.10

0.011

1000

7

5.20

0.011

1000

8

5.30

0.012

1000

9

 

6 Әрбір тәжірибеде А оқиғасының пайда болу ықтималдығы p-ға тең.  n тәжірибесінде А оқиғасы

а) дел  рет;

ә) -ден -ге дейін;

б) -ден артық;

в)  -ден кем

пайда болу ықтималдығы табу керек.

6 К е с т е

№

n

p

№

n

p

6.1

100

80

90

0.8

6.16

100

90

95

0.6

6.2

100

85

95

0.8

6.17

100

62

82

0.6

6.3

100

70

95

0.8

6.18

100

50

70

0.8

6.4

100

83

93

0.7

6.19

100

55

75

0.8

6.5

100

50

60

0.7

6.20

100

45

80

0.8

6.6

 100

65

75

0.7

6.21

100

40

60

0.8

6.7

100

70

80

0.7

6.22

100

35

70

0.3

6.8

100

40

50

0.6

6.23

100

50

80

0.3

6.9

100

65

80

0.75

6.24

100

40

65

0.3

6.10

100

70

85

0.75

6.25

200

45

75

0.4

6.11

100

78

92

0.75

6.26

200

100

150

0.4

6.12

100

20

60

0.7

6.27

200

80

170

0.4

6.13

100

30

85

0.7

6.28

300

150

180

0.8

6.14

100

40

79

0.7

6.29

400

100

190

0.6

6.15

100

80

95

0.6

6.30

400

200

295

0.7

7  Дискретті кездейсоқ шама Х үлестірім заңдылығымен берілген.

а) оның үлестірім функциясын ,  оның графигін салу керек;

б) математикалық үмітін, дисперсиясын, орта квадраттық ауытқуын, модасын;

в) Х –тің (a;b) интервалына түсу ықтималдығы табу керек.

7 К е с т е

№

Х

х

х

х

х

х

х

а

b

Р

р

р

р

р

р

р

7.1

 

Х

0

1

2

4

6

9

-2

7

Р

0.05

0.15

0.3

0.25

0.15

0.1

 

7 кестенің жалғасы

7.2

Х

-3

-2

-1

0

2

4

-1

3

Р

0.15

0.3

0.02

0.14

0.08

0.31

7.3

 

Х

1

2

3

5

7

8

-3

6

Р

0.3

0.14

0.16

0.1

0.2

0.1

7.4

 

Х

-4

-3

-2

0

1

2

0

1

Р

0.2

0.08

0.23

0.27

0.12

0.1

7.5

 

Х

1

2

4

5

7

9

3

8

Р

0.19

0.21

0.06

0.14

0.12

0.28

7.6

 

Х

-1

0

2

3

5

7

-4

4

Р

0.26

0.14

0.07

0.2

0.03

0.3

7.7

 

Х

-2

-1

0

3

5

7

1

6

Р

0.18

0.09

0.01

0.2

0.22

0.3

7.8

Х

1

2

4

5

6

8

0

6

Р

0.3

0.17

0.13

0.1

0.2

0.1

7.9

Х

1

2

3

4

7

9

5

8

Р

0.11

0.29

0.06

0.14

0.17

0.23

7.10

Х

0

1

2

3

7

9

4

8

Р

0.06

0.14

0.3

0.25

0.15

0.1

7.11

Х

-3

-2

0

1

2

4

-1

3

Р

0.15

0.3

0.01

0.14

0.19

0.21

7.12

Х

-1

0

3

5

7

8

1

6

Р

0.25

0.14

0.16

0.1

0.2

0.15

7.13

Х

-4

-3

-2

0

2

4

-1

3

Р

0.2

0.07

0.24

0.26

0.13

0.1

7.14

Х

-3

-1

0

3

4

7

-2

6

Р

0.12

0.09

0.01

0.2

0.28

0.3

7.15

Х

-1

0

1

3

7

8

2

6

Р

0.06

0.14

0.15

0.2

0.3

0.15

7.16

Х

-2

-1

0

1

2

7

-3

5

Р

0.17

0.09

0.01

0.3

0.23

0.2

7.17

Х

1

2

3

5

6

7

0

4

Р

0.1

0.14

0.16

0.1

0.2

0.3

7.18

Х

-3

-1

0

3

5

6

-2

4

Р

0.16

0.09

0.01

0.3

0.24

0.2

7.19

Х

1

2

5

6

7

8

3

6

Р

0.2

0.15

0.12

0.13

0.3

0.1

7.20

Х

-1

0

2

4

7

8

1

5

Р

0.23

0.18

0.12

0.2

0.1

0.17

7.21

Х

1

2

4

5

6

8

0

7

Р

0.3

0.14

0.16

0.03

0.2

0.17

7.22

Х

-4

-3

-1

0

1

3

-2

2

Р

0.2

0.03

0.24

0.26

0.17

0.1

7 кестенің соңы

7.23

Х

1

2

3

4

7

9

0

8

Р

0.17

0.23

0.09

0.11

0.12

0.28

7.24

Х

0

1

3

5

7

8

2

6

Р

0.2

0.14

0.16

0.12

0.3

0.08

7.25

Х

-5

-3

-2

0

1

3

-4

2

Р

0.2

0.06

0.21

0.29

0.14

0.1

7.26

Х

1

2

3

5

8

9

4

7

Р

0.18

0.22

0.05

0.15

0.12

0.28

7.27

Х

1

3

4

5

7

8

2

6

Р

0.3

0.16

0.14

0.01

0.2

0.19

7.28

Х

-5

-3

-1

0

1

3

-4

2

Р

0.1

0.03

0.14

0.36

0.17

0.2

7.29

Х

0

2

3

4

6

8

1

7

Р

0.26

0.14

0.05

0.15

0.12

0.28

7.30

Х

-1

0

2

3

7

8

1

6

Р

0.21

0.16

0.14

0.1

0.2

0.19

 

 

8 Үзіліссіз кездейсоқ шама Х үлестірім функциясымен  берілген.  Табу керек:

а) оның үлестірім тығыздығын ;

б) математикалық үмітін, дисперсиясын, орта квадраттық ауытқуын, модасын, медианасын;

в) Х –тің (a;b) интервалына түсу ықтималдығы табу керек.

 және  графиктерін салу керек.

8 К е с т е

№

а

b

№

а

b

8.1

1

4

8.16

4

5

8.2

1

2

8.17

2

4

8.3

0,5

1

8.18

0,2

0,9

 

8 кестенің жалғасы

8.4

 

 

 

 

 

1

8.19

-

8.5

2

4

8.20

0

1,5

8.6

-

8.21

8.7

0,1

0,2

8.22

0,1

0,5

8.8

3

4

8.23

5,5

6

8.9

1

5

8.24

1

2

8.10

3

4

8.25

3

6

 

 

8 кестенің соңы

8.11

5

7

8.26

7,5

8

8.12

-

8.27

5

6

8.13

3,5

6

8.28

0

8.14

2,5

3

8.29

0,1

0,3

8.15

0

2

8.30

-

 

9 Үзіліссіз кездейсоқ шама Х үлестірім тығыздығымен  берілген.  Табу керек

а) оның үлестірім функциясын ;

б) математикалық үмітін, дисперсиясын, орта квадраттық ауытқуын, модасын, медианасын;

в) Х –тің (a;b) интервалына түсу ықтималдығы табу керек.

 және  графиктерін салу керек.

 

 

9 К е с т е

№

а

b

№

а

b

9.1

1

3

9.16

-1

2

9.2

-2,5

0

9.17

0

9.3

0

9.18

0

1,5

9.4

0

9.19

1

2,5

9.5

0

9.20

0,1

1

9.6

0

9.21

0

1

9.7

1

2

9.22

1

9.8

3

4,5

9.23

0

9.9

2

4

9.24

0

1,5

  

9  кестенің соңы

9.10

1,5

2

9.25

0

9.11

9.26

0

1

9.12

1

3

9.27

1

4

9.13

-1

1

9.28

9.14

0,2

1,2

9.29

0

2

9.15

0

9.30

2

3

 

         10 Х дискретті кездейсоқ шамасының үлестірім заңдылығын табу керек. Ол екі  мен   мәндерін қабылдайды (<). Оның математикалық үміті , дисперсия  және  мүмкін мәнінің  ықтималдығы белгілі.

 

10 К е с т е

№

№

 

10.1

0.9

3.1

0.09

10.16

0.8

3.2

0.16

10.2

0.8

1.4

0.64

10.17

0.9

1.2

0.36

10.3

0.7

2.6

0.84

10.18

0.8

2.4

0.64

10.4

0.6

3.4

0.24

10.19

0.7

3.3

0.21

10.5

0.5

3

1

10.20

0.6

1.8

0.96

10.6

0.4

3.2

0.96

10.21

0.5

2

1

10.7

0.3

3.7

0.21

10.22

0.4

3.6

0.24

10.8

0.2

2.6

0.64

10.23

0.3

2.4

0.84

10.9

0.1

3.8

0.36

10.24

0.2

3.6

0.64

10.10

0.2

3.8

0.16

10.25

0.1

3.9

0.09

10  кестенің соңы

10.11

0.3

3.4

0.84

10.26

0.2

3.8

0.16

10.12

0.4

2.2

0.96

10.27

0.3

2.4

0.84

10.13

0.5

3.5

0.25

10.28

0.4

3.6

0.24

10.14

0.6

2.8

0.96.

10.29

0.1

2.8

0.36

10.15

0.7

1.6

0.84

10.30

0.9

2.2

0.36

 

11 Оқиғалар алгебрасын, ықтималдықтың классикалық немесе геометриялық анықтамаларын  қолданып есептерді шығару керек

11.1 Аварияны хабарлайтын сигнализацияға тәуелсіз жұмыс істейтін үш қондырғы орнатылған. Авария жағдайында бірінші қондырғы  іске қосылу ықтималдығы 0,8-ге тең; екінші және үшінші қондырғылар үшін ықтималдықтар сәйкес 0,9 және 0,8. Авария жағдайында қондырғының  тек біреуі  іске қосылу ықтималдығын табу керек.

11.2 Бірінші жәшікте 5 ақ және 10 қара шарлар, ал екіншісінде - 10 ақ және 5 қара шарлар бар. Әрбір жәшіктен бір бір шардан алынды. Олардың ең болмағанда біреуі ақ болу ықтималдығын табу керек.

11.3 Бір торпеданың кемеге дәл тию ықтималдығы  0,5-ке тең. Егер кемені суға батыру үшін бір дәл тигізу жеткілікті болса,  3 торпеданың кемені суға батыру ықтималдығы қандай?

11.4 Қорапшада 10 қызыл және 6 көк түймелер бар. Кез келген ретпен екі түйме алынды. Олардың бір түсті болу  ықтималдығы қандай?

11.5 Нысанаға бірінші мергеннің дөп тигізу ықтималдығы 0,7 , екіншісі үшін — 0,95. Атқыштар бірмезгілде нысанаға атты. Олардың біреуі нысанаға дөп тию, ал екіншісінің жаңылу ықтималдығын табу керек.

11.6 Бірінші станокта жасалған бөлшектің бірінші сұрыпты болу ықтималдығы 0,7-ге тең, екінші станок үшін - 0,8. Бірінші станокта 2 бөлшек, екіншісінде  3 бөлшек жасалынды. Ең болмағанда бір станокта жасалынған барлық бөлшектердің бірінші сұрыпты болу ықтималдығын табу керек.

11.7  Қазақ алфавитінің 42 әріпі карточкаларға жазылған. Кез келген ретпен үш карточка алынады. Алынған карточкалар ашылып, алынған реті  бойынша қойылады. «Той» сөзінің пайда болу ықтималдығын табу керек.

11.8 Цехта 7 ер адам және 3 әйел адам жұмыс істейді. Табельдік реті бойынша З адам таңдап алынды. Таңдап алынғандардың арасында ең болмағанда біреуі әйел болу ықтималдығын табу керек.

11.9 Партиядан тауар танушы жоғарғы сұрыпты өнімді таңдап алады. Кез келген ретпен алынған өнімнің жоғарғы сұрыпты болу ықтималдығы 0,8-ге тең. Тексерілген үш өнімнің тек екеуі жоғарғы сұрыпты болу ықтималдығын табу керек.

11.10 Кейбір физикалық шаманы бір рет өлшегенде қате кету ықтималдығы 0,4-ке тең. Тәуелсіз  3 өлшеу жүргізілді. Олардың тек  біреуінде қате жіберілу ықтималдығын табу керек.

11.11  Екі зеңбіректен бірге бір рет атқанда нысанаға бір рет тию ықтималдығы  0,38-ге тең. Егер екінші зеңбірек үшін бұл ықтималдық 0,8-ге тең екендігі белгілі болса, бірінші зеңбіректен атылған бір оқ нысанаға дәл тию ықтималдығын табу керек.

11.12 Кітапхананың сөресінде кез келген ретпен 16 оқулық орналасқан, оның 5 физика оқулығы. Кітапханашы кез келген ретпен 3 оқулық алды. Оның ішінде ең болмағанда біреуі  физика оқулығы болу ықтималдығын табу керек.

11.13 Үш ойын сүйегі лақтырылды. Түскен жақтың әрбіреуінде 5 ұпай болуының ықтималдығын табу керек.

11.14 Радиусы 10 болатын дөңгелекке дұрыс үшбұрыш іштей сызылған. Дөңгелектің ішіне кез келген 4 нүкте лақтырылды. 4 нүктенің барлығы да  үшбұрыштың ішіне түсу ықтималдығын табу керек.

11.15 Ұзындығы 30 болатын кесінді  3 тең бөлікке бөлінген. Осы кесіндіге кез келген  3  нүкте лақтырылды. Әрбір бөлікке бір бірден нүкте түсу ықтималдығын табу керек. Нүктенің кесіндіге түсу ықтималдығы оның ұзындығына пропорционал деп есептелінеді және оның орналасуына байланыссыз.

11.16 Аварияны хабарлайтын сигнализацияға тәуелсіз жұмыс істейтін үш қондырғы орнатылған. Авария жағдайында бірінші қондырғы  іске қосылу ықтималдығын 0,7-ге тең; екінші және үшінші қондырғылар үшін ықтималдықтар сәйкес 0,9 және 0,6. Авария жағдайында қондырғының  ең болмағанда біреуі  іске қосылу ықтималдығын табу керек.

11.17 Бірінші жәшікте 6 ақ және 12 қара шарлар, ал екіншісінде - 11 ақ және 5 қара шарлар бар. Әрбір жәшіктен бір бір шардан алынды. Олардың тек біреуі ақ болу ықтималдығын табу керек.

11.18 Бір торпеданың кемеге дәл тию ықтималдығы  0,4-ке тең. Егер кемені суға батыру үшін бір дәл тигізу жеткілікті болса,  2 торпеданың кемені суға батыру ықтималдығы қандай?

11.19  Қорапшада 14 қызыл және 8 көк түймелер бар. Кез келген ретпен екі түйме алынды. Олардың түрлі түсті болу  ықтималдығын табу керек.

11.20 Нысанаға бірінші мергеннің дөп тигізу ықтималдығы 0,8, екіншісі үшін — 0,85. Атқыштар бірмезгілде нысанаға атты. Олардың ең болмағанда біреуі нысанаға дөп тию ықтималдығын табу керек.

11.21 Бірінші станокта жасалған бөлшектің бірінші сұрыпты болу ықтималдығы 0,8-ге тең, екінші станок үшін - 0,9. Бірінші станокта 3 бөлшек, екіншісінде  2 бөлшек жасалынды. Екі станокта жасалынған барлық бөлшектердің бірінші сұрыпты болу ықтималдығын табу керек.

11.22 Қазақ алфавитінің 42 әріпі карточкаларға жазылған. Кез келген ретпен үш карточка алынады. Алынған карточкалар ашылып, алынған реті  бойынша қойылады. «Жиде» сөзінің пайда болу ықтималдығын табу керек.

11.23 Цехта 8 ер адам және 4 әйел адам жұмыс істейді. Табелдік реті бойынша 4 адам таңдап алынды. Таңдап алынғандардың бәрі ер адамдар болу ықтималдығын табу керек.

11.24 Партиядан тауар танушы жоғарғы сұрыпты өнімді таңдап алады. Кез келген ретпен алынған өнімнің жоғарғы сұрыпты болу ықтималдығы 0,8-ге тең. Тексерілген үш өнімнің тек біреуі жоғарғы сұрыпты болу ықтималдығын табу керек.

11.25 Кейбір физикалық шаманы бір рет өлшегенде қате кету ықтималдығы 0,3-ге тең. Тәуелсіз  4 өлшеу жүргізілді. Олардың ең болмағанда біреуінде қате жіберілу ықтималдығын табу керек.

11.26 Екі зеңбіректен бірге бір рет атқанда нысанаға бір рет тию ықтималдығы  0,4-ге тең. Егер екінші зеңбірек үшін бұл ықтималдық 0,7-ге тең екендігі белгілі болса, бірінші зеңбіректен атылған бір оқ нысанаға дәл тию ықтималдығын табу керек.

11.27 Кітапхананың сөресінде кез келген ретпен 15 оқулық орналасқан, оның 5 математика оқулығы. Кітапханашы кез келген ретпен 3 оқулық алды. Оның ішінде тек  математика оқулығы болу ықтималдығын табу керек.

11.28 Төрт ойын сүйегі лақтырылды. Түскен жақтың әрбіреуінде 6 ұпай болуының ықтималдығын табу керек.

11.29 Радиусы 12 болатын дөңгелекке дұрыс үшбұрыш іштей сызылған. Дөңгелектің ішіне кез келген 4 нүкте лақтырылды. 4 нүктенің барлығы да  үшбұрыштың ішіне түсу ықтималдығын табу керек.

11.30 Ұзындығы 60 болатын кесінді  4 тең бөлікке бөлінген. Осы кесіндіге кез келген  4  нүкте лақтырылды. Әрбір бөлікке бір бірден нүкте түсу ықтималдығын табу керек. Нүктенің кесіндіге түсу ықтималдығы оның ұзындығына пропорционал деп есептелінеді және оның орналасуына байланыссыз.

 

1.3 Типтік нұсқаның шешуі

 

1 Партияда 120 өнім бар, оның 40 жарамсыз. Табу керек:

а) жарамсыз өнімдердің қатысты жиілігін;

б) кез келген ретпен партиядан алынған 20 өнімнің барлығы да жарамсыз болу ықтималдығын;

в) кез келген ретпен партиядан алынған 20 өнімнің 9-ы жарамсыз болу ықтималдығын.

Шешуі:

а) А оқиғасының қатысты жиілігі деп (белгіленуі ) А оқиғасы пайда болған сынақ санының m барлық сынақтың жалпы санына n қатынасы айтылады: .

А – партиядағы жарамсыз өнімдердің пайда болу оқиғасы болсын, сонда .

б) және в) пункттерінде А оқиғасының ықтималдығының классикалық анықтамасын қолданамыз:  , мұндағы m –А оқиғасының пайда болуына қолайлы сынақтар саны, n – сынақтардың жалпы саны;

б) А - партиядан кез келген ретпен алынған 20 өнімнің барлығы да жарамсыз болу оқиғасы болсын. Сынақтың жалпы саны  120 өнімнің ішінен 20 өнімді таңдап алудың әртүрлі жолдар саны, яғни ; қолайлы сынақтар саны  40 жарамсыз өнімдер ішінен 20 өнімді алудың әртүрлі жолдар санына тең, яғни .  Сонымен,

;

в) А – кез келген ретпен партиядан алынған 20 өнімнің 9-ы жарамсыз болу оқиғасы болсын. Жоғарыда айтылғандай, ;  

m қолайлы сынақтар санын   теруін әрбір  теруімен қиыстырылғанда аламыз, мұндағы  теруі 40 жарамсыз өнімнің ішінен 9 жарамсыз өнімді таңдап алу санын береді, ал  теруі 80 жарамсыз емес өнімнің ішінен 11 жарамсыз емес өнімді таңдап алу санын береді, яғни . Сонымен,

.

Теру санын есептегенде Mathcad-та combin функциясы қолданылды. Төменде combin(Q,R) қолданушының C(Q,R) функциясы ретінде енгізілген файлдың көшірмесі келтірілген, ол  Q мен R-дің кез келген мәндерінде терудің мәнін есептеуге мүмкіндік береді.

,

,

,

.

  

,

  

2 Жәшікте төрт сұрыпты бұйымдар бар. Бірінші сұрыпты  бұйым саны 3, екінші сұрыпты - 4, үшінші сұрыпты -2, төртінші сұрыпты -1. Кез келген ретпен 5 бұйым алынды. Алынған бұйымдардың ішінде  2-і бірінші сұрыпты, 2- екінші, 1- үшінші, 0 - төртінші сұрыпты  болу ықтималдығын табу керек.

Шешуі:

А - кез келген ретпен алынған 5 бұйымның  ішінде  2-і бірінші сұрыпты, 2- екінші, 1- үшінші, 0 - төртінші сұрыпты  болу оқиғасы болсын. Есепті шығару үшін А оқиғасының ықтималдығының классикалық анықтамасын қолданамыз:  Р(А) = m/ n,  мұндағы n барлық 10 (3+4+2+1=10) бұйымның ішінен бесеуін таңдап алудың барлық мүмкін жағдайлардың саны, яғни . Ал А оқиғасының пайда болуына қолайлы мүмкін элементар жағдайлардың саны m былай есептелінеді: .

Бұдан Р(А) = 36/252=1/7.

Атап өтелік, кіші сандар берілгенде теруді

 

формуласымен қолмен есептеген қолайлы. Бөлшекті есептегенде бөлімінен бастаған жөн, себебі алымында көбейткіштер саны бөліміндегімен бірдей.

3 Дүкенге үш зауыттан 1000 лампа келіп түсті: 100 лампа бірінші зауыттан, 300 - екіншіден,  қалғаны үшіншіден. Бірінші зауыттың лампаларының арасында 5% жарамсыз, екіншіде - 4% жарамсыз,  үшіншіде - 6% жарамсыз.  Бір лампа сатып алынды.

         а) оның  жарамсыз  болу оқиғасының ықтималдығын табу керек;

         б) сатып алынған  лампа жарамсыз болып шықты. Оның 2–ші  зауытта жасалыну оқиғасының ықтималдығын табу керек ( i =1,2,3).

         Шешуі:

         А – жарамсыз лампа сатып алынған оқиғасы болсын, ал , , –  лампа сәйкес бірінші, екінші, үшінші зауыттан келіп түскен оқиғалары болсын (бұл оқиғалар гипотезалар деп аталады).

         а) А оқиғасының ықтималдығы толық  ықтималдықтар формуласымен есептелінеді:

,

мұндағы  Р(А/ В) – сатып алынған лампа i– ші  зауыттан келіп түскен оқиғасының шартты ықтималдығы (i=1,2,3). Есептің шарты бойынша:

Р() = 100/1000 = 0,1;   Р() = 300/1000 = 0,3;   Р() = 600/1000 = 0,6;

Р(А/)=0,05;     Р(А/)=0,04;     Р(А/)=0,06.

Сондықтан  Р(А) = = 0,053;

         б) бұл пунктте Р(/А) шартты ықтималдығын табу керек. Ол үшін Байеса формуласын қолданамыз:

,

біздің есеп үшін ол былай жазылынады = = = 0,226.

 

 

4 n тәжірибе жүргізілді. Әрбір тәжірибеде А оқиғасының пайда болу ықтималдығы 0,8-ге тең. А оқиғасы:

а) 8  рет;

б) 9 реттен кем емес;

в) 2 реттен артық емес;

г) ең болмағанда бір рет пайда болу оқиғаларының  ықтималдығын табу керек.

Шешуі:

А оқиғасының ықтималдығын анықтау үшін Бернулли формуласын қолданамыз: , мұндағы – қандай да бір оқиғаның  тәуелсіз оқиғалар арасынын  рет пайда болуы , .

В және С оқиғаларының  ықтималдығы ықтималдықтардың қосындысы ретінде анықталады:  – бұл  тәуелсіз оқиғалар арасынын  реттен кем емес пайда болу оқиғаларының  ықтималдығы, яғни немесе  рет, немесе +1 рет,…, немесе  рет; – бұл  тәуелсіз оқиғалар арасынын  реттен артық емес пайда болу оқиғаларының  ықтималдығы, яғни немесе 0 рет, немесе 1 рет, немесе 2 рет,…, немесе  рет. Бұл оқиғалар комулятивті (жинақталған) деп аталады. Сонымен,

а)==0,302.

б) 0,376.

в) 0,000078.

Е оқиғасына қарама қарсы D оқиғасын енгіземіз – бұл  тәуелсіз сынықтарда кейбір оқиғаның мүлдем пайда болмауы. Онда

г) =1.

Төменде Mathcad-тан есетеулермен  файлдың көшірмесі келтірілген.

,

,

,

  

 

.

5 Телефон станциясының жұмысында әрбір қоңырау шалғандағы «жаңылу» ықтималдығы 0,003-ге тең. 1000 қоңырау шалуы келіп түсті. Оның ішінде 6 «жаңылу» болу ықтималдығын табу керек.

Шешуі:

 үлкен шама,  кіші шама, ал көбейтіндісі  үлкен емес сан болғандықтан, Бернулли формуласының орнына Пуассон формуласы  қолданылады. Ол  тәуелсіз сынықтар арасында кейбір оқиғаның  рет пайда болу ықтималдығы –ны анықтауға мүмкіндік береді.

Біздің есепте =1000, =6, =0,003, . Сондықтан =0,05.

Есептеулер кезінде  функциясының кестелік мәнін немесе Mathcad-тан dpois функциясын қолдануға болады. Төменде Mathcad-тан есетеулермен  файлдың көшірмесі келтірілген.

,

.

  

6 Әрбір тәжірибеде қандай да бір оқиғаның пайда болу ықтималдығы 0,8-ге тең.  100 тәжірибесінде оқиғаның

а) дел 80 рет (А оқиғасы);

ә) 70-тен 80-ге дейін (В оқиғасы);

б) 80-нен артық (С оқиғасы);

в) 70-тен кем (D оқиғасы)

пайда болу ықтималдығы табу керек.

Шешуі:

тәуелсіз сынықтар саны  үлкен болғандықтан,  сынықтар арасында кейбір оқиғаның  рет пайда болу  ықтималдығын Муавр-Лаплас аймақтық теоремасы бойынша есептейміз, ол жуық шамамен  тең, мұндағы , ,  (бұл функцияның мәнін кестеден немесе Mathcad-тан dnorm функциясын қолдануға болады).

В, С және D оқиғаларының  ықтималдығын Муавр-Лаплас интегралдық теоремасын қолданамыз: кейбір оқиғаның  пайда болу саны   мен  аралығына түсу ықтималды жуық шамамен  тең, мұндағы , ,  – Лаплас функцияы, бұл функцияның мәнін кестеден немесе Mathcad-тан pnorm функциясы арқылы есептеуге болады.

а) =0, ;

б) , , ;

в) , ;

г) , .

Төменде Mathcad-тан есетеулермен  файлдың көшірмесі келтірілген.

 

  

немесе басқа жолы

 

 

 

 

 

 

  

7 Дискретті Х кездейсоқ шамасы үлестірім заңдылығымен берілген.

Х

0

10

20

30

40

50

Р

0,05

0,15

0,3

0,25

0,2

0,05

Табу керек:

а) оның үлестірім функциясын F(x), оның графигін салу керек;

б) математикалық үмітін, дисперсиясын, орта квадраттық ауытқуын, модасын;

в) Х –тің (15;45) интервалына түсу ықтималдығын.

 

Шешуі:

а)  Х кездейсоқ шамасының  F(x) үлестірім функциясы (интегралдық үлестірім функциясы)  Х<х оқиғасының ықтималдығын анықтайды. Дискретті кездейсоқ шамасы = формуласымен

есептелінеді, мұндағы  үшін қосу барлық   бойынша жүргізіледі.

Сонымен, 1) егер , онда ;

2) егер , онда ;

3) егер , онда ;

4) егер , онда ;

5) егер , онда =

;

6) егер , онда + +;

7) егер , онда + +.

         Сонымен, ;

График Mathcad жүйесінде сызылған (төменде).

б) сандық сипаттамаларын табайық. Дискретті кездейсоқ шама  үшін математикалық үміт кездейсоқ шаманың барлық мүмкін мәндерін оның ықтималдықтарына көбейтіп қосқанға тең: . Сондықтан

25,5.

Х  кездейсоқ шаманың дисперсиясы   формуласымен немесе   формуласымен есептелінеді. Дискретті кездейсоқ шама  үшін бұл формулалар мына түрде қолданылады:  немесе . Орта квадраттық ауытқу  санына тең; дискретті кездейсоқ шаманың  модасы (белгіленуі ) – осы  кездейсоқ шаманың ең үлкен ықтималдықты қабылдайтын мәні; Х –тің (а;b)  интервалына түсу ықтималдығы  формуласымен есептелінеді. Біздің есеп үшін бұл шамалар:

D(x)=154,75; ;  =20;

=0,75.

Төменде Mathcad-тан есетеулермен  файлдың көшірмесі келтірілген, дисперсия екі формуламен де есептелінген.

,

,

 

,

,

          

,

  

  

,

  

,

 

,

  

,

  

,

 

,

  

,

  

  

.

  

8 Үзіліссіз кездейсоқ шама Х үлестірім функциясымен  берілген.  Табу керек:

а) оның үлестірім тығыздығын f(x);

б) математикалық үмітін, дисперсиясын, орта квадраттық ауытқуын, модасын, медианасын;

в) Х –тің (1; 2,5) интервалына түсу ықтималдығы табу керек.

F(x) және f(x) графиктерін салу керек.

Шешуі:

а) үзіліссіз кездейсоқ шаманың үлестірім тығыздығы оның үлестірім функциясының туындысына тең: , Сондықтан ;

б) үзіліссіз кездейсоқ шаманың сандық сипаттамалары мына формулалармен табылады: математикалық үміт -;  дисперсия - немесе  (интегралдау шектері кездейсоқ шаманың мүмкін мәндері  Ох осінің барлық немесе  (a;b) интервалының мәндерін қабылдауына байланысты); орта квадраттық ауытқуы - ;  кездейсоқ шаманың модасы деп  үлестірім тығыздығы максималды болатын  мәні айтылады;  кездейсоқ шаманың медианасы деп  кездейсоқ шама -ден кем немесе артық болғанда ықтималдығы бірдей болатын  мәні айтылады, яғни .

Сонымен, біздің есепте =8/3;

; = 0,236. Моданы анықтау үшін [2; 3] кесіндісіндегі функцияның максимумын табу керек . Бұл функция монотонды болғандықтан, оның максимумы кесіндінің шеткі нүктелерінде табылады, яғни . Сонымен, =3. Медиананы  шартынан табуға болады, мұндағы =  ықтималдығы

формуласы немесе   формуласы (кездейсоқ шаманың (a; b) аралығына түсу ықтималдығы) бойынша табылады.  = болғандықтан, =0,5 теңдеуін шеше отырып, екі түбір 1,29 және  2,71 аламыз, олардың біреуі (2,3) аралығында жатады: = 2,71.

в) Х кездейсоқ шамасының  (1; 2,5) интервалына түсу  ықтималдығы жоғарыда келтірілген формулалар  бойынша табылады  немесе =.

         F(x) және f(x) функцияларының графиктерін Mathcad жүйесінде саламыз:

.

,

 

,

.

 

Атап өтелік, интегралдарды анықтау және басқа есептеулерді Mathcad жүйесінде жүргізуге болады, мысалы,

,

  

,

  

,

 

,

  

.

 

 

9 Үзіліссіз кездейсоқ шама Х үлестірім тығыздығымен  берілген.  Табу керек

а) оның үлестірім функциясын ;

б) математикалық үмітін, дисперсиясын, орта квадраттық ауытқуын, модасын, медианасын;

в)  Х –тің (1;4) интервалына түсу ықтималдығы табу керек.

 және  графиктерін салу керек.

 

         Шешуі:

а) үлестірім функциясын  формуласы бойынша табамыз. Сонымен, егер болса, онда , Сондықтан ;

егер  болса, онда =-;

егер  болса, онда .

Сонымен,  үлестірім функциясының түрі

.

б) математикалық үмітін, дисперсиясын, орта квадраттық ауытқуын, модасын, медианасын алдыңғы есептегідей табамыз

=1,5; 0,45; = 0,671.

Моданы анықтау үшін  функциясының [0; 3] кесін-дісінде максимумын табамыз. Ол үшін функцияның туындысын тауып, нөлге теңестіреміз: , х=3/2 мәнінде  болады, бұл нүкте кризистік нүкте болады. Оны экстремумге тексереміз: , Сонымен, х=3/2 нүктесінен ауысқанда таңба плюстен минуске өзгерген-діктен, х=3/2  максимум нүктесі. Сондықтан =3/2.

Медиананы  шартынан табамыз, мұндағы

= = .

 =-

болғандықтан,  -=0,5 теңдеуін шешіп, үш түбір аламыз, бізге керегі біреуі ғана:  = 1,5.

Төменде Mathcad-тан есетеулермен  файлдың көшірмесі келтірілген.

,

,

,

  

,

 

,

  

,

 

 

,

 

,

 

 

,

 

,

 

.

 

в) Х –тің (1;4) интервалына түсу ықтималдығы  0,741

немесе   =  =

==.

         Төменде Mathcad-тан есетеулермен  файлдың көшірмесі келтірілген.

,

 

,

  

,

 

,

 

.

  

 және  функцияларының графиктерін Mathcad жүйесінде саламыз:

,

  

.

  

  

10  Х дискретті кездейсоқ шамасының үлестірім заңдылығын табу керек. Ол екі  мен   мәндерін қабылдайды (<). Оның математикалық үміті , дисперсия  және  мүмкін мәнінің  ықтималдығы белгілі.

Шешуі:

дискретті кездейсоқ шаманың ықтималдықтарының қосындысы бірге тең болғандықтан, онда кездейсоқ шама  х мәнін қабылдау  ықтималдығы .

Х-тің үлестірім заңын жазамыз:

Х

р

0,6

0,4

 және   мәндерін табу үшін дискретті кездейсоқ шаманың математи-калық үмітін, дисперсиясын есептейтін формулаларды қолданып, екі теңдеулі жүйе құрамыз:  и  . Бұл жүйе мына түрде болады:   .

Оны Mathcad-та шешеміз:

.

.

,

,

,

Сонымен, жүйенің екі шешімі бар =1, =2 және  =1,8, =0,8. Шарт бойынша <, Сондықтан шешімнің біріншісі шартты қанағаттандырады. Шешуі =1, =2. Сонымен, бізге қажетті үлестірім заңы:

 

Х

1

2

р

0,6

0,4

 

Әдебиеттер тізімі

         1. Ивановский Р.И. Теория вероятностей и математическая статистика. Основы, прикладные аспекты с примерами и задачами в среде Mathcad. - СПб.: БХВ- Петербург, 2008. – 528 с.

         2. Жаңбырбаев Б.С. Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика элементтері. - Алматы: «Мектеп»,  1988-182 бет

         3. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: в 3 ч. (Рябушко А.П., Бархатов В.В. и др.). Под ред. Рябушко А.П. – Минск: Высш. школа, 2000.-ч.1.-396 с.

        4. Дүйсек А.К., Қасымбеков С.К. Жоғары математика (оқу құралы) -  Алматы: ҚБТУ, 2004. - 440 б.

 

 Мазмұны

1 Теориялық сұрақтар                                                                                           3

2 Есептік тапсырмалар                                                                                          3

3 Типтік варианттың шешу                                                                                 17

Әдебиеттер тізімі                                                                                                  30

 

                                                                                           2011 ж. жинтық жоспары, реті 219