Некоммерческое акционерное общество

АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ

Кафедра высшей математики

 

 

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Методические указания и задания к  расчетно-графическим  работам

( для   специальности 5В0602000-Информатика)

Часть 1

 

 

Алматы 2012

         Составитель: Л.Н.Ким.  Теория вероятностей и математическая   статистика. Методические указания и задания к  расчетно-         графическим       работам  для  специальности  5В060200-     Информатика.Часть1.-Алматы:

         АУЭС, 2012.- 26с.

 

         Методические указания и задания к расчетно-графическим работам содержат программу и задания курса теория вероятностей и математическая статистика для специальности 5В0602000-Информатика. Приведены основные теоретические вопросы программы, варианты заданий  и решение типового варианта.

         Методические указания предназначены для студентов  специальности  5В0602000 – Информатика.

 

         Библиогр.- 5 назв.

 

         Рецензент:  канд.физ.-мат.наук, доц.Л.Н.Астраханцева. 

 

         Печатается по плану издания некоммерческого акционерного общества «Алматинский университет  энергетики и связи» на 2012г.

 

                                     © НАО  «Алматинский университет  энергетики и связи», 2012 г.

 

         Введение 

 Теории вероятностей применяется в разнообразных отраслях науки и техники. Теория вероятностей является математической основой математической статистики. Без этих дисциплин не могут быть решены вопросы организации и планирования производства.

         Методические указания представляют собой программу  и задания  к  модулю 1  «Теория вероятностей и математическая статистика». Вторая цифра номера задания указывает вариант студента.

         Расчетно-графическая работа должна быть решена в отдельной тетради, решение задач должно быть кратким, в то же время  достаточно объяснено ссылками на теорию и сопровождено необходимыми рисунками. Примером для оформления может служить решение типового варианта, которое приведено в данном методическом указании. 

 

         Расчетно-графическая работа. Случайные события и их вероятности

        

         Цель изучения дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» посвящена той области математики, которая предполагает необходимость знать количественные закономерности, которым подчиняются массовые случайные события.

 

Расчетные задания 

 

         1 задание. Решить  задачи, применяя элементы комбинаторики.

 

         1.1   В пассажирском поезде 12 вагонов. Сколькими способами можно

размещать вагоны, составляя этот поезд?

         1.2   Из 10 кандидатов на одну и ту же должность должно быть

выбрано 3. Определить все возможные варианты результатов выборов.

         1.3   Бригадир должен отправить на работу звено из 5 человек. Сколько таких звеньев можно составить из 12 человек бригады?

         1.4 Сколько прямых линий можно провести через 8 точек, если известно, что любые три из них не лежат на одной прямой?

         1.5  Сколькими способами можно составить патруль из трех солдат и одного офицера, если имеется 80 солдат и 3 офицера?

         1.6  Сколькими способами можно распределить 6 различных книг между тремя учениками так, чтобы каждый получил две книги?

         1.7 Сколькими различными способами можно избрать из 15 человек делегацию в составе трех человек?

         1.8 Сколькими различными способами собрание, состоящее из 40 человек, может выбрать председателя собрания, его заместителя и секретаря?

         1.9  Сколькими способами можно выбрать два карандаша и три ручки из пяти различных карандашей и пяти различных ручек?

         1.10 Сколько различных пятизначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (без повторений)?

         1.11  Сколькими способами можно смоделировать флаг, состоящий из трех горизонтальных полос различных цветов, если имеется материал пяти различных цветов?

         1.12  При встрече 12 человек обменялись рукопожатиями. Сколько рукопожатий было при этом?

         1.13  Сколько перестановок можно сделать из букв слова «ракета», чтобы все они начинались с буквы «р»?

         1.14  Автоколонна, состоящая из 30 автомобилей, должна выделить на уборочные сельскохозяйственные работы 12 грузовиков. Сколькими способами можно это сделать?

         1.15  На шахматном турнире было сыграно 45 партий, причем каждый из шахматистов сыграл с остальными по одной партии. Сколько шахматистов участвовало в турнире?

         1.16  На станции имеется 6 запасных путей. Сколькими способами можно расставить на них 4 поезда?

         1.17  Из группы студентов инженерно-строительного факультета в 16 человек формируются две строительные бригады по 10 и 6 человек.

Сколькими способами можно создать эти бригады?

         1.18  Пять пассажиров садятся в электропоезд, состоящий из 10 вагонов. Каждый пассажир с одинаковой вероятностью может сесть в любой из 10 вагонов. Определить число всех возможных вариантов размещения пассажиров в поезде.

         1.19 Студенты данного курса изучают 12 дисциплин. В расписание занятий каждый день включается по 3 предмета. Сколькими способами может быть составлено расписание занятий на каждый день?

         1.20  Восемь человек договорились ехать в одном поезде, состоящем из восьми вагонов. Сколькими способами можно распределить этих людей по вагонам, если в каждый вагон сядет по одному человеку?

         1.21  В шахматном турнире участвовало 14 шахматистов, каждый из них сыграл с каждым по одной партии. Сколько всего сыграно партий?

         1.22 Из девяти значащих цифр составляются трехзначные числа. Сколько различных чисел может быть составлено?

         1.23 Сколько различных четырехзначных чисел можно записать с помощью девяти значащих цифр, из которых ни одна не повторяется?

         1.24  На диске телефонного аппарата имеется 10 цифр. Каждый телефон АТС имеет номер, записываемый с помощью пяти цифр, причем первая цифра у них одна и та же. Найти наибольшее возможное число таких абонентов этой станции, у которых 4 последние цифры номера телефона различны.

         1.25  На конференцию из трех групп студентов одной специальности выбирают по одному делегату. Известно, что в первой группе 25, во второй – 28 и в третьей – 20 человек. Определить число возможных делегаций, если известно, что каждый студент из любой группы с одинаковой вероятностью может войти в состав делегации.

 

2 задание.  Решить следующие задачи, используя элементы комбинаторики, алгебру событий и определение вероятности.

         2.1  На полке случайным образом расставляются 10 книг. Определить вероятность того, что при этом три определенные книги окажутся стоящими рядом.

         2.2 Из коробки, содержащей карточки с буквами «о», «н», «к», «ъ» наугад вынимают одну карточку за другой и располагают в порядке извлечения. Какова вероятность того, что в результате получится слово «конь»?

         2.3  Из пруда, в котором плавают 40 щук, выловили 5 щук, пометили их и пустили обратно в пруд. Во второй раз выловили 9 щук. Какова вероятность, что среди них окажутся только две помеченные щуки?

         2.4  На шахматную доску из 64 клеток ставят наугад две ладьи белого и черного цвета. С какой вероятностью они не будут «бить друг друга?»

         2.5  Из пяти карточек с буквами «а», «б», «в», «г», «д» наугад одну за другой выбирают две и располагают их в порядке извлечения. Какова вероятность того, что получится слово «да»?

         2.6  На десяти одинаковых карточках написаны различные числа от 0

до 9. Определить вероятность того, что случайно составленное с помощью данных карточек двузначное число делится на 18.

         2.7  Партия из 100 деталей проверяется контролером, который наугад отбирает 10 деталей и определяет их качество. Если среди выбранных контролером деталей нет ни одной бракованной, то вся партия принимается. В противном случае ее посылают на дополнительную проверку. Какова вероятность того, что партия деталей, содержащая 5 бракованных, будет принята контролером?

         2.8  Буквенный замок содержит на общей оси 5 дисков, каждый из которых разделен на 6 секторов с различными нанесенными на них буквами. Замок открывается только в том случае, если каждый диск занимает одно определенное положение относительно корпуса замка. Определить вероятность открытия замка, если установлена произвольная комбинация букв.

         2.9 Мальчик забыл две последние цифры номера телефона одноклассника и набрал их наугад, помня только, что эти цифры нечетны и различны. Найти вероятность того, что номер набран правильно.

         2.10   В урне 3 белых и 7 черных шаров. Какова вероятность того, что извлеченные наугад два шара окажутся черными?

         2.11  Два человека условились встретиться в определенном месте между двумя и тремя часами дня. Пришедший  первым ждет другого в течение 10 минут, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи этих людей, если приход каждого из них в течение указанного часа может произойти в любое время?

         2.12  После бури на участке телефонной линии между 40-м и 70-м

километрами произошел обрыв провода. Какова вероятность того, что он произошел между 50-м и 55-м километрами линии?

         2.13  В мастерскую для ремонта поступило 20 телевизоров. Известно, что 7 из них нуждаются в настройке. Мастер берет любые 5 телевизоров. Какова вероятность того, что 2 из них нуждаются в настройке?

         2.14  В шахматном турнире участвуют 20 человек, которых по жребию распределяют в две группы по 10 человек. Найти вероятность того, что два сильнейших шахматиста будут играть в разных группах.

         2.15  В партии, состоящей из 20 радиоприемников, 5 неисправных. Наугад берут 3 радиоприемника. Какова вероятность того, что в число выбранных войдут 1 неисправный и 2 исправных радиоприемника?

         2.16  В магазине из 100 пар зимних сапог одного фасона 10-коричневого цвета, а остальные – черного. Произвольно отбирают 8 пар сапог. Какова вероятность того, что все выбранные сапоги – черного цвета?

         2.17 Из партии деталей, среди которых 100 стандартных и 5 бракованных, для контроля наугад взято 12 штук. При контроле выяснилось, что  первые 10 из 12 деталей – стандартные. Определить вероятность того, что следующая деталь будет стандартной.

         2.18 В группе из 8 спортсменов шесть мастеров спорта. Найти вероятность того. что из двух случайным образом отобранных спортсменов хотя бы один мастер спорта.

         2.19  Билеты лотереи выпущены на общую сумму 10000 у.е. Цена билета 0,5 у.е. Ценные выигрыши падают на 50 билетов. Определить вероятность ценного выигрыша на один билет.

         2.20  В запасе ремонтной мастерской 10 поршневых колец, три из них восстановленные. Определить вероятность того, что среди взятых наугад четырех колец два окажутся восстановленными.

         2.21  На полке 6 радиоламп, из которых две негодные. Случайным образом отбираются две радиолампы. Какова вероятность того, что они годны для использования?

         2.22  Из восьми книг две художественные. Найти вероятность того, что среди взятых наугад четырех книг хотя бы одна художественная.

         2.23  Из букв разрезной азбуки составлено слово «ремонт». Карточки с отдельными буквами тщательно перемешивают, затем наугад вытаскивают 4 карточки и раскладывают их в порядке извлечения. Какова вероятность получения при этом слова «море»?

         2.24  В группе спортсменов 7 лыжников и 3 конькобежца. Из нее случайным образом выделены три спортсмена. Найти вероятность того, что все выбранные спортсмены окажутся лыжниками.

         2.25  В лифт шестиэтажного дома на первом этаже вошли 3 человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выйдет на любом из этажей, начиная со второго. Найти вероятность того. что все пассажиры выйдут на четвертом этаже.

        

         3 задание .   Электрическая цепь состоит из пяти элементов, выход из строя которых в заданный промежуток времени – независимые события, имеющие вероятности     ( i=1,2,3,4,5). Определить вероятность разрыва цепи.

         Исходные данные к заданию 3.

 

Р1

Р2

Р3

Р4

Р5

 

3.1

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

3.2

0,6

0,7

0,8

0,9

0,1

3.3

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

3.4

0,7

0,8

0,90

0,1

0,2

3.5

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

3.6

0,8

0,9

0,1

0,2

0,3

3.7

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

3.8

0,9

0,1

0,2

0,3

0,4

3.9

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

3.10

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

3.11

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

3.12

0,6

0,7

0,8

0,9

0,1

3.13

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

3.14

0,7

0,8

0,90

0,1

0,2

3.15

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

3.16

0,8

0,9

0,1

0,2

0,3

3.17

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

3.18

0,9

0,1

0,2

0,3

0,4

3.19

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

3.20

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

3.21

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

 

 

 

 


3.22

0,6

0,7

0,8

0,9

0,1

3.23

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

3.24

0,7

0,8

0,90

0,1

0,2

3.25

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

 

         4 задание.  Вероятность приема радиосигнала при каждой передаче равна  . Найти вероятность того, что при   кратной передаче сигнал будет принят:

1)        раз;

2)      не менее    раз.

        

         Исходные  данные к заданию 4.

 

4.1

5

2

0,87

4.2

4

1

0,87

4.3

5

2

0,89

4.4

4

1

0,89

4.5

4

2

0,91

4.6

5

3

0,91

4.7

5

3

0,93

4.8

4

2

0,93

4.9

5

2

0,95

4.10

4

2

0,74

4.11

5

2

0,76

4.12

6

1

0,78

4.13

4

1

0,80

4.14

5

2

0,82

4.15

6

2

0,84

4.16

4

2

0,86

4.17

5

1

0,88

4.18

6

2

0,90

4.19

4

1

0,92

4.20

4

2

0,82

4.21

5

4

0,84

4.22

5

3

0,86

4.23

4

3

0,88

4.24

4

2

0,90

 

         5 задание.  Информационное сообщение состоит из    символов.

Вероятность правильного приема каждого символа равна    Сообщение будет принято,  если в нем не менее   символов будет принято правильно. Найти вероятность того, что сообщение будет принято.

         Исходные данные к заданию 5.

 

5.1

4

2

0,72

5.2

5

3

0,72

5.3

5

4

0,75

5.4

4

3

0,75

5.5

4

2

0,78

5.6

5

3

0,78

5.7

4

2

0,81

5.8

5

3

0,81

5.9

5

4

0,83

5.10

4

3

0,83

5.11

5

2

0,76

5.12

6

1

0,78

5.13

4

2

0,91

5.14

4

3

0,91

5.15

5

4

0,93

5.16

4

3

0,87

5.17

4

2

0,89

5.18

5

4

0,89

5.19

5

4

0,85

5.20

4

2

0,85

5.21

5

3

0,87

5.22

5

2

0,84

5.23

6

2

0,76

5.24

6

4

0.83

 

         6  задание.  

                                                       

         6.1  В блок входят три радиолампы. Вероятности выхода из строя в течение гарантийного срока для них равны соответственно 0,3; 0,2; 0,4.

Какова вероятность того, что в течение гарантийного срока выйдут из строя:      а) не менее двух радиоламп;

         б) ни одна радиолампа;

         в) хотя бы одна радиолампа?

         6.2  В первом ящике 20 деталей, 15 из них – стандартные, во втором ящике 30 деталей, 25 из них – стандартные. Из каждого ящика наугад берут по одной детали. Какова вероятность того, что:

         а) обе детали будут стандартными;

         б) хотя бы одна деталь стандартная;

         в) обе детали нестандартные?

         6.3  Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,9. Вторым – 0,7. Оба стрелка сделали по одному выстрелу. Какова вероятность того, что цель поражена:

         а) хотя бы один раз;

         б) два раза;

         в) один раз?

         6.4  При одном цикле обзора трех радиолокационных станций, следящих за космическим кораблем, вероятности его обнаружения равны соответственно  0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятность того, что при одном цикле обзора корабль:

         а) будет обнаружен тремя станциями;

         б) будет обнаружен не менее чем двумя станциями;

         в) не будет обнаружен.

         6.5  В цехе имеется три резервных электродвигателя. Для каждого из них вероятность того, что в данный момент он включен, равна соответственно 0,2; 0,3; 0,1. Найти вероятность того, что включены:

         а) два электродвигателя;

         б) хотя бы один электродвигатель;

         в) три электродвигателя.

         6.6  Вероятность того. что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9, второй – 0,7, третий – 0,6. Вычислить вероятность того, что студент сдаст:

         а) два экзамена;

         б) не менее двух экзаменов;

         в) не более двух экзаменов.

         6.7  Самолет противника обнаруживается тремя радиолокаторами с вероятностями 0,8; 0,7; 0,5. Какова вероятность обнаружения самолета:

         а) одним радиолокатором;

         б) двумя радиолокаторами;

         в) хотя бы одним радиолокатором?

         6.8  При некоторых определенных условиях вероятность сбить самолет противника из первого зенитного орудия равна 0,4, из второго – 0,5. Сделано по одному выстрелу. Найти вероятность того, что:

         а) самолет уничтожен двумя снарядами;

         б) самолет поражен хотя бы одним снарядом;

         в) ни один снаряд не попал в цель.

         6.9  Вероятность выигрыша по лотерейному билету первого выпуска равна 0,2, второго – 0,3. Имеется по два билета каждого выпуска. Найти вероятность того, что выиграют:

         а) три билета;

         б) не менее трех билетов;

         в) менее трех билетов.

         6.10  Вероятность поражения цели первым стрелком при одном

выстреле  равна  0,7, вторым – 0,5. Найти вероятность того, что цель будет поражена:

         а) двумя стрелками;

         б) хотя бы одним стрелком;

         в) только одним стрелком.

         6.11 Для аварийной сигнализации установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того. что при аварии сработает первый сигнализатор, равна 0,9, второй – 0,7. Найти вероятность того, что при аварии:

          а) сработают оба сигнализатора;

         б) не сработает ни один сигнализатор;

         в) сработает хотя бы один сигнализатор.

         6.12  Инженер, выполняет расчет, пользуясь тремя справочниками. Вероятности того, что интересующие его данные находятся в первом, втором, третьем справочниках, равны соответственно 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятность того, что интересующие инженера данные содержатся:

         а) только в одном справочнике;

         б) только в двух справочниках;

         в) во всех трех справочниках.

         6.13   В  телестудии три телевизионные камеры. Вероятности того, что в данный момент камера включена, равны соответственно 0,9; 0,8; 0,7. Найти вероятность того, что в данный момент включены:

         а) две камеры;

         б) не более одной камеры;

          в) три камеры.

         6.14  В первом ящике 25 деталей, 10 из них – стандартные, во втором ящике 30 деталей, 15 из них – стандартные. Из каждого ящика наугад берут по одной детали. Какова вероятность того, что:

         а) обе детали будут стандартными;

         б) хотя бы одна деталь стандартная;

         в) обе детали нестандартные?

         6.15  Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,85. Вторым – 0,6. Оба стрелка сделали по одному выстрелу. Какова вероятность того, что цель поражена:

          а) хотя бы один раз;

          б) два раза;

          в) один раз?

         6.16 При одном цикле обзора трех радиолокационных станций, следящих за космическим кораблем, вероятности его обнаружения равны соответственно  0,75; 0,8; 0,95. Найти вероятность того, что при одном цикле обзора корабль:

         а) будет обнаружен тремя станциями;

         б) будет обнаружен не менее чем двумя станциями;

         в) не будет обнаружен.

         6.17  В цехе имеется три резервных электродвигателя. Для каждого из них вероятность того, что в данный момент он включен, равна соответственно 0,3; 0,4; 0,2. Найти вероятность того, что включены:

         а) два электродвигателя;

         б) хотя бы один электродвигатель;

         в) три электродвигателя.

         6.18  Вероятность того. что студент сдаст первый экзамен, равна 0,75, второй – 0,8, третий – 0,7. Вычислить вероятность того, что студент сдаст:

         а) два экзамена;

         б) не менее двух экзаменов;

         в) не более двух экзаменов.

         6.19  Самолет противника обнаруживается тремя радиолокаторами с вероятностями 0,85; 0,65; 0,55. Какова вероятность обнаружения самолета:

         а) одним радиолокатором;

         б) двумя радиолокаторами;

         в) хотя бы одним радиолокатором?

         6.20  При некоторых определенных условиях вероятность сбить самолет противника из первого зенитного орудия равна 0,3, из второго – 0,4. Сделано по одному выстрелу. Найти вероятность того, что:

         а) самолет уничтожен двумя снарядами;

         б) самолет поражен хотя бы одним снарядом;

         в) ни один снаряд не попал в цель.

         6.21  Вероятность выигрыша по лотерейному билету первого выпуска равна 0,3, второго – 0.4. Имеется по два билета каждого выпуска. Найти вероятность того, что выиграют:

         а) три билета;

         б) не менее трех билетов;

         в) менее трех билетов.

         6.22  Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0,6, вторым – 0,55. Найти вероятность того, что цель будет поражена:

         а) двумя стрелками;

         б) хотя бы одним стрелком;

         в) только одним стрелком.

         6.23  Для аварийной сигнализации установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того. что при аварии сработает первый сигнализатор, равна 0,8, второй – 0,6. Найти вероятность того, что при аварии:

         а) сработают оба сигнализатора;

          б) не сработает ни один сигнализатор;

         в) сработает хотя бы один сигнализатор.

         6.24  Инженер, выполняет расчет, пользуясь тремя справочниками. Вероятности того,  что интересующие его данные находятся в первом, втором, третьем справочниках, равны соответственно 0,5; 0,7; 0,9. Найти вероятность того, что интересующие инженера данные содержатся:

         а) только в одном справочнике;

         б) только в двух справочниках;

         в) во всех трех справочниках.

         6.25  В телестудии три телевизионные камеры. Вероятности того, что в данный момент камера включена, равны соответственно 0,8; 0,7; 0,65. Найти вероятность того, что в данный момент включены:

         а) две камеры;

         б) не более одной камеры;

         в) три камеры.

 

         7  задание.    

         7.1  Телеграфное сообщение состоит из сигналов  «точка» и «тире», они встречаются в передаваемых сообщениях в отношении 5:3. Статистические свойства помех таковы, что искажаются в среднем 2/5 сообщений «точка» и 1/3 сообщений «тире». Найти вероятность того, что:

         а) передаваемый сигнал принят;

         б) принятый сигнал – «тире».

         7.2 20% приборов монтируется с применением микромодулей, остальные – с применением интегральных схем. Надежность прибора с применением микромодулей – 0,9, интегральных схем – 0,8.  Найти:

         а) вероятность надежной работы;

         б) вероятность того, что прибор – с микромодулем, если он был исправен.

         7.3  Среди поступивших на сборку деталей  305 – с завода №1, остальные – с завода №2. Вероятность брака для завода №1 равна 0,02, для завода №2 – 0,03. Найти:

         а) вероятность того, что наугад взятая деталь стандартная;

         б) вероятность изготовления наугад взятой детали на заводе №1, если она оказалась стандартной.

         7.4   Заготовка может поступить для обработки на один из двух станков с вероятностями 0,4 и 0,6 соответственно. При обработке на первом станке вероятность брака составляет 2%, на втором – 3%.  Найти вероятность того, что:

         а) наугад взятое после обработки изделие – стандартное;

         б) наугад взятое после обработки стандартное изделие обработано на первом станке.

         7.5  В пяти ящиках с 30 шарами в каждом содержится по 5 красных шаров, в шести других ящиках с 20 шарами в каждом – по 4 красных шаров. Найти вероятность того, что:

         а) из наугад взятого ящика наудачу взятый шар будет красным;

         б) наугад взятый красный шар содержится в одном из первых пяти ящиков.

         7.6   По линии связи передано два сигнала типа А и В с вероятностями соответственно  0,8 и  0,2. В среднем принимается 60% сигналов типа  А  и 70% типа  В. Найти вероятность того, что:

         а) посланный сигнал будет принят;

         б) принятый сигнал типа А.

         7.7   На сборку поступают детали с трех конвейеров. Первый дает 25%, второй – 30  и третий – 45 % деталей, поступающих на сборку. С первого конвейера в среднем поступает 2% брака, со второго – 3, с третьего – 1%. Найти вероятность того, что: 

         а) на сборку поступила бракованная деталь;

         б) поступившая на сборку бракованная деталь – со второго конвейера.

         7.8   В  двух коробках имеются однотипные конденсаторы. В первой 20 конденсаторов, из них 2 неисправных, во второй – 10, из них  3 неисправных. Найти вероятность того. что:

         а) наугад взятый конденсатор из случайно выбранной коробки годен к использованию;

         б)  наугад взятый конденсатор оказался годным. Из какой коробки он вероятнее всего взят?

         7.9   В вычислительной лаборатории 40% микрокалькуляторов и 60% дисплеев. Во время расчета 90% микрокалькуляторов и 80% дисплеев работают безотказно. Найти вероятность того, что:

         а) наугад взятая вычислительная машина проработает безотказно во время расчета;

         б) выбранная машина проработала безотказно во время расчета. К какому типу вероятнее всего она принадлежит?

         7.10  Для участия в студенческих спортивных соревнованиях выделено из первой группы 5 студентов, из второй и третьей – соответственно 6 и 10 студентов. Вероятности выполнения нормы мастера спорта для студентов первой группы равна 0,3, второй – 0,4, третьей – 0,2. Найти вероятность того, что:

         а) наугад выбранный студент выполнит норму мастера спорта;

         б) студент, выполнивший норму мастера спорта, учится во второй группе.

         7.11  На участке, где изготавливаются болты, первый станок производит 25%, второй – 35%, третий – 40% всех  изделий. В продукции каждого из станков брак составляет соответственно 5, 4 и 2%. Найти вероятность того, что:

         а) взятый наугад болт  – с дефектом;

         б) случайно взятый болт с дефектом изготовлен на третьем станке.

         7.12 На сборку поступают детали с четырех автоматов. Первый обрабатывает  40%, второй – 30%, третий 20 и четвертый – 10% всех деталей, поступающих на сборку. Первый автомат дает 0,1% брака, второй - 0,2, третий – 0,25, четвертый – 0,5%. Найти вероятность того, что:

         а) на сборку поступит стандартная деталь;

         б) поступившая на сборку стандартная деталь изготовлена первым автоматом.

         7.13  Для поисков спускаемого аппарата космического корабля выделено 4 вертолета первого типа и 6 вертолетов второго типа. Каждый вертолет первого типа обнаруживает находящийся в районе поиска аппарат с вероятностью 0,6, второго типа – с вероятностью 0.7. Найти вероятность того, что:

         а) наугад выбранный вертолет обнаружит аппарат;

         б) к какому типу вероятнее всего принадлежит вертолет, обнаруживший спускаемый аппарат?

         7.14   30% приборов монтируется с применением микромодулей, остальные – с применением интегральных схем. Надежность прибора с применением микромодулей – 0,8, интегральных схем – 0,7.  Найти:

         а) вероятность надежной работы;

         б) вероятность того, что прибор – с микромодулем, если он был исправен.

         7.15  Среди поступивших на сборку деталей  35% – с завода №1, остальные – с завода №2.  Вероятность брака для завода №1 равна 0,03, для завода №2 – 0,04. Найти:

         а) вероятность того, что наугад взятая деталь стандартная;

         б) вероятность изготовления наугад взятой детали на заводе №1, если она оказалась стандартной.

         7.16   Заготовка может поступить для обработки на один из двух станков с вероятностями 0,3 и 0,7 соответственно. При обработке на первом станке вероятность брака составляет 3%, на втором – 4%.  Найти вероятность того, что:

         а) наугад взятое после обработки изделие – стандартное;

         б) наугад взятое после обработки стандартное изделие обработано на первом станке.

         7.17  В пяти ящиках с 40 шарами в каждом содержится по 10 красных шаров, в шести других ящиках с 30 шарами в каждом – по 5 красных шаров. Найти вероятность того, что:

         а) из наугад взятого ящика наудачу взятый шар будет красным;

         б) наугад взятый красный шар содержится в одном из первых пяти ящиков.

         7.18   По линии связи передано два сигнала типа А и В с вероятностями соответственно  0,7 и  0,3. В среднем принимается 70% сигналов типа  А  и 80% типа  В. Найти вероятность того, что:

         а) посланный сигнал будет принят;

         б) принятый сигнал типа А.

         7.19   На сборку поступают детали с трех конвейеров. Первый дает 20%, второй – 35  и третий – 45 % деталей, поступающих на сборку. С первого конвейера в среднем поступает 3% брака, со второго – 2, с третьего – 1%. Найти вероятность того, что: 

         а) на сборку поступила бракованная деталь;

         б) поступившая на сборку бракованная деталь – со второго конвейера.

         7.20   В  двух коробках имеются однотипные конденсаторы. В первой 30 конденсаторов, из них 3 неисправных, во второй – 20, из них  4 неисправных. Найти вероятность того. что:

         а)  наугад взятый конденсатор из случайно выбранной коробки годен к использованию;

         б)  наугад взятый конденсатор оказался годным. Из какой коробки он вероятнее всего взят?

         7.21   В вычислительной лаборатории 30% микрокалькуляторов и 70% дисплеев. Во время расчета 90% микрокалькуляторов и 80% дисплеев работают безотказно. Найти вероятность того, что:

         а) наугад взятая вычислительная машина проработает безотказно во время расчета;

         б) выбранная машина проработала безотказно во время расчета. К какому типу вероятнее всего она принадлежит?

         7.22  Для участия в студенческих спортивных соревнованиях выделено из первой группы 6 студентов, из второй и третьей – соответственно 7 и 10 студентов. Вероятности выполнения нормы мастера спорта для студентов первой группы  равна 0,3, второй – 0,5, третьей – 0,1. Найти вероятность того, что:

         а) наугад выбранный студент выполнит норму мастера спорта;

         б) студент, выполнивший норму мастера спорта, учится во второй группе.

         7.23  На участке, где изготавливаются болты, первый станок производит 20%, второй – 35%, третий – 45% всех  изделий. В продукции каждого из станков брак составляет соответственно 5, 4 и 2%. Найти вероятность того, что:

         а) взятый наугад болт  – с дефектом;

         б) случайно взятый болт с дефектом изготовлен на третьем станке.

         7.24 На сборку поступают детали с четырех автоматов. Первый обрабатывает 45%, второй – 25%, третий 20 и четвертый – 10% всех деталей, поступающих на сборку. Первый автомат дает 0,1% брака, второй - 0,2, третий – 0,25, четвертый – 0,5%. Найти вероятность того, что:

         а) на сборку поступит стандартная деталь;

         б) поступившая на сборку стандартная деталь изготовлена первым автоматом.

         7.25  Для поисков спускаемого аппарата космического корабля выделено 3 вертолета первого типа и 7 вертолетов второго типа. Каждый вертолет первого типа обнаруживает находящийся в районе поиска аппарат с вероятностью 0,8, второго типа – с вероятностью 0.6. Найти вероятность того, что:

         а) наугад выбранный вертолет обнаружит аппарат;

         б) к какому типу вероятнее всего принадлежит вертолет, обнаруживший спускаемый аппарат?

 

         8  задание.     

         8.1  Вероятность успешной сдачи студентом  каждого из пяти экзаменов равна 0,7. Найти вероятность успешной сдачи:

         а) двух экзаменов;

         б) не менее двух экзаменов.

         8.2   Вероятность работы каждого из семи моторов в данный момент равна 0.8. найти вероятность того, что  в данный момент включены:

         а) хотя бы один мотор;

         б) два мотора;

          в) три мотора.

         8.3   Вероятность поражения в каждой шахматной партии для игрока равна 0,5. Найти вероятность того, что он выиграл в шести партиях:

         а) два раза;

         б) хотя бы один раз;

         в) не менее двух раз.

         8.4  При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равна 0,1. Найти вероятность того, что сообщение из 10 знаков

         а) не будет искажено;

         б) содержит три искажения;

         в) содержит не более трех искажений.

         8.5 Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0,4. Произведено 8 выстрелов. Найти вероятность поражения цели:

         а) три раза;

         б) наивероятнейшее число раз;

         в) хотя бы один раз.

         8.6   Вероятность того, что изделие пройдет контроль, равна 0,8. Найти вероятность того, что их шести изделий контроль пройдут:

         а) пять изделий;

         б) не менее пяти изделий;

         в) не более пяти изделий.

         8.7  Вероятность перевыполнения годового плана для каждого из восьми рабочих равна 0,8. Найти вероятность того,  что перевыполнят годовой план:

         а) хотя бы один рабочий;

         б) двое рабочих;

         в) трое рабочих.

         8.8 Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0,8. Произведено 7 выстрелов. Найти вероятность того, что имело место:

         а) четыре поражения цели;

         б) шесть поражений;

         в) не более шести поражений.

         8.9   Всхожесть семян лимона составляет 80%. Найти вероятность того, что из 9 посеянных семян взойдет:

         а) семь;

         б) не более семи;

         в) более семи.

         8.10  Среди изделий, подвергавшихся термической обработке, в среднем 80% высшего сорта. Найти вероятность того, что среди пяти изделий:      а) хотя бы четыре высшего сорта;

         б) четыре высшего сорта;

         в) не более четырех высшего сорта.

         8.11   Оптовая база обслуживает 6 магазинов. Вероятность получения заявки базой на данный день для каждого из магазинов равна 0,6. Найти вероятность того, что в этот день будет:

         а) пять заявок;

         б) не менее пяти заявок;

         в) не более пяти заявок.

         8.12   Вероятность сдачи экзамена для каждого из шести студентов равна 0,8. Найти вероятность того, что экзамен сдадут:

         а) пять студентов;

         б) не менее пяти студентов;

         в) не более пяти студентов.

         8.13  В семье четверо детей. Принимая равновероятным рождение мальчика и девочки, найти вероятность того, что мальчиков в семье:

         а) три;

         б) не менее трех;

          в) два.

         8.14   Вероятность работы каждого из восьми моторов в данный момент равна 0.75. найти вероятность того, что  в данный момент включены:

         а) хотя бы один мотор;

         б) три мотора;

          в) пять моторов.

         8.15   Вероятность поражения в каждой шахматной партии для игрока равна 0,5. Найти вероятность того, что он выиграл в семи  партиях:

         а) три раза;

         б) хотя бы один раз;

         в) не менее двух раз.

         8.16  При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равна 0,2. Найти вероятность того, что сообщение из 9 знаков

         а) не будет искажено;

         б) содержит три искажения;

         в) содержит не более трех искажений.

         8.17  Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0,3. Произведено 10  выстрелов. Найти вероятность поражения цели:

         а) три раза;

         б) наивероятнейшее число раз;

         в) хотя бы один раз.

         8.18   Вероятность того, что изделие пройдет контроль, равна 0,7. Найти вероятность того, что их восьми  изделий контроль пройдут:

         а) шесть изделий;

         б) не менее шести изделий;

         в) не более шести  изделий.

         8.19   Вероятность перевыполнения годового плана для каждого из девяти  рабочих равна 0,9. Найти вероятность того,  что перевыполнят годовой план:

         а) хотя бы один рабочий;

         б) двое рабочих;

         в) трое рабочих.

         8.20  Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0,8. Произведено 6  выстрелов. Найти вероятность того, что имело место:

         а) четыре поражения цели;

         б) пять  поражений;

         в) не более пяти  поражений.

         8.21   Всхожесть семян лимона составляет 75%. Найти вероятность того, что из 8 посеянных семян взойдет:

         а) шесть;

         б) не более шести;

         в) более шести.

         8.22  Среди изделий, подвергавшихся термической обработке, в среднем 90% высшего сорта. Найти вероятность того, что среди пяти изделий:      а) хотя бы три высшего сорта;

         б) три  высшего сорта;

         в) не более трех  высшего сорта.

         8.23   Оптовая база обслуживает 8 магазинов. Вероятность получения заявки базой на данный день для каждого из магазинов равна 0,6. Найти вероятность того, что в этот день будет:

         а) пять заявок;

         б) не менее пяти заявок;

         в) не более пяти заявок.

         8.24   Вероятность сдачи экзамена для каждого из шести студентов равна 0,75. Найти вероятность того, что экзамен сдадут:

         а) пять студентов;

         б) не менее пяти студентов;

         в) не более пяти студентов.

         8.25   В семье пятеро детей. Принимая равновероятным рождение мальчика и девочки, найти вероятность того, что мальчиков в семье:

         а) три;

         б) не менее трех;

          в) два.

 

         9  задание.     

         9.1 Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,25. Найти вероятность того, что событие наступит 50 раз в 243 испытаниях.

         9.2  Вероятность появления события в каждом из 2100 независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что событие наступит не менее 1470 раз и не более 1500 .

         9.3   Вероятность производства бракованной детали равна 0,008. Найти вероятность того, что из взятых на проверку 1000 деталей 10 бракованных.

         9.4   Вероятность промаха при одном выстреле по мишени равна 0,1. Сколько выстрелов необходимо произвести, чтобы с вероятностью 0,9544 можно было утверждать, что относительная частота промаха отклонится от постоянной вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,037.

         9.5  Аппаратура состоит из 1000 элементов. Вероятность отказа одного элемента за время Т равна 0,001 и не зависит от работы других элементов. Найти вероятность отказа не менее двух элементов.

         9.6    Найти вероятность поражения мишени 75 раз при 100 выстрелах, если вероятность поражения при одном выстреле равна 0,8.

         9.7 Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0.8. Найти вероятность того, что в 144 испытаниях событие наступит 120 раз.

         9.8  Станок состоит из 2000 независимо работающих узлов. Вероятность отказа одного узла в течение года равна 0,0005. Найти вероятность отказа в течение года двух узлов.

         9.9 Промышленная телевизионная установка содержит 2000 транзисторов. Вероятность выхода из строя каждого из транзисторов равна 0,0005. Найти вероятность выхода из строя хотя бы одного транзистора.

         9.10   Вероятность того, что изделие – высшего сорта, равна 0,5. Найти вероятность того, что из 1000 изделий 500 – высшего сорта.

         9.11   Всхожесть семян данного растения равна 0,9. Найти вероятность того, что из 900 посаженных семян число проросших будет заключено между 790 и 830.

         9.12  Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0.2. Найти вероятность того, что в 100 испытаниях событие наступит 25 раз.

         9.13   Вероятность рождения мальчика равна 0,515. Найти вероятность того, что из 1000 рождающихся детей мальчиков будет не менее 500, но не более 550.

         9.14   Вероятность появления события в каждом из 1900 независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что событие наступит не менее 1470 раз и не более 1500 .

         9.15   Вероятность производства бракованной детали равна 0,007. Найти вероятность того, что из взятых на проверку 1000 деталей 10 бракованных.

         9.16   Вероятность промаха при одном выстреле по мишени равна 0,2. Сколько выстрелов необходимо произвести, чтобы с вероятностью 0,9544 можно было утверждать, что относительная частота промаха отклонится от постоянной вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,037.

         9.17  Аппаратура состоит из 1100 элементов. Вероятность отказа одного элемента за время Т равна 0,001 и не зависит от работы других элементов. Найти вероятность отказа не менее двух элементов.

         9.18   Найти вероятность поражения мишени 76 раз при 100 выстрелах, если вероятность поражения при одном выстреле равна 0,82.

         9.19  Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0.85. Найти вероятность того, что в 140 испытаниях событие наступит 120 раз.

         9.20  Станок состоит из 2100 независимо работающих узлов. Вероятность отказа одного узла в течение года равна 0,0005. Найти вероятность отказа в течение года двух узлов.

         9.21 Промышленная телевизионная установка содержит 2010 транзисторов. Вероятность выхода из строя каждого из транзисторов равна 0,0005. Найти вероятность выхода из строя хотя бы одного транзистора.

         9.22   Вероятность того, что изделие – высшего сорта, равна 0,5. Найти вероятность того, что из 1000 изделий 510 – высшего сорта.

         9.23   Всхожесть семян данного растения равна 0,85. Найти вероятность того, что из 800 посаженных семян число проросших будет заключено между 690 и 730.

         9.24  Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,3.  Найти вероятность того, что в 100 испытаниях событие наступит 25 раз.

         9.25   Вероятность рождения мальчика равна 0,515. Найти вероятность того, что из 1000 рождающихся детей мальчиков будет не менее 500, но не более 550.

 

         Решение типового варианта

 

         1  Сколькими способами можно расставить 5 поездов на 8 запасных путях?

 

         Решение: множество, для которого указан порядок расположения

элементов, называется упорядоченным. Упорядоченные конечные подмножества некоторого множества называются размещениями.

          поэтому число размещений из восьми по пять есть:

                

         2  Сколькими способами можно выбрать 6 номеров из 49 при игре в спортлото 6 из 49?

        

         Решение: порядок выбора шести номеров из 49 не имеет значения. Поэтому число испытаний равно числу различных способов выбрать 6 номеров из 49, т.е.         

 

         3  Сообщение передается двумя радиостанциями, Вероятность приема сообщения от первой их них равна 0,8, а от второй – 0.9. Определить вероятность того, что сообщение будет принято, если наступит хотя бы одно из этих событий.

 

         Решение: интересующее нас событие является суммой событий А+В.  События А и В совместны (сообщение может быть принято и от первой радиостанции, и от второй). В этом случае следует воспользоваться правилами сложения для совместных событий:

        

        

        

         4   В урне находятся 5 белых шаров и 5 цветных. Наудачу вынимаются два шара. Определить вероятность того, что оба они окажутся белыми.  

 

Решение: событие А- первый вынутый шар белый, В- второй вынутый

шар белый. Интересующее нас событие состоит в совмещении событий А и В и,  поэтому является их произведением АВ. События А и В зависимы, поэтому

        

         5  Два прибора соединены параллельно

                                                                          

 

Приборы выходят из строя в течение заданного промежутка времени независимо друг от друга с вероятностями  Какова вероятность разрыва цепи в течение заданного промежутка времени?

 

         Решение:  так как событие А1- выход из строя первого прибора, А2- второго, то событие В, равное разрыву цепи, есть произведение событий А1 и

А2::

          следовательно,  

         Если же приборы соединены последовательно. То цепь будет разорвана, если произойдет событие и   или оба вместе,  

         Если события  и совместны и независимы, то         

         Последнюю задачу можно решить другим способом, применяя противоположные события:

        

         С помощью приведенных формул легко рассчитываются сложные цепи, составленные из последовательно и параллельно соединенных приборов.

 

         6   На  складе имеется 80 телевизоров одного типа. Из них 40 изготовлено заводом №1, 24 – заводом №2 и 16 – заводом №3. Вероятности изготовления  телевизоров высшего качества для каждого из этих заводов соответственно равны 0,9; 0,8; 0,6. Определить вероятность того, что первый телевизор, взятый наудачу со склада, окажется высшего качества.

 

         Решение:  обозначим событие А – первый телевизор, взятый наудачу со склада, высшего сорта. Взятый телевизор мог быть изготовлен любым из трех заводов. Возможны три случая ( три гипотезы):  H1 - телевизор изготовлен заводом №1;  H2  - заводом №2;  H3 - заводом №3.

     

         Условные вероятности события А заданы:

        

         По формуле полной вероятности  получим:

        

          

         7    На складе имеется 80 телевизоров одного типа. Из них 40 изготовлено заводом №1, 24 – заводом №2 и 16 – заводом №3. Вероятности изготовления  телевизоров высшего качества для каждого из этих заводов соответственно равны 0,9; 0,8; 0,6. Найти вероятность того, что этот телевизор изготовлен заводом №1, заводом №2, заводом №3.

 

         Решение: следствием правила умножения и формулы полной

вероятности является формула Байеса ( или теорема вероятностей гипотез).

 

          - формула Байеса.

        

        

        

        

         Сравнив полученные результаты с априорными вероятностями гипотез, видим, что наступление события А приводит к переоценке вероятностей гипотез. Вероятность первой гипотезы увеличилась, а второй и третьей – соответственно уменьшились.

 

         8   В студии телевидения имеются 5 телевизионных камер. Для каждой камеры вероятность того, что она включена в данный момент, равна 0,6. Найти вероятность того, что в данный момент включены:

         а)  две камеры;

         б)  не менее четырех камер;

         в)  хотя бы одна  камера.

        

         Решение:  

         а)  по формуле Бернулли   

        

        

 

         б)  не менее четырех – это значит четыре или пять.  Но тогда по теореме сложения вероятностей для несовместных событий искомая вероятность будет равна:

        

        

         в) противоположным событию к интересующему нас событию является событие: « не включена ни одна камера». Вероятность этого  события       

                  а тогда     

         В нашем примере 

        

 

         9  Найти вероятность того, сто событие А наступит 70 раз в 240 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,3.

         Решение: так как    велико, воспользуемся локальной теоремой

Муавра-Лапласа:                где      

         По условию задачи  

         поэтому     

         Функция   - четная, поэтому 

         По таблице приложения

        

        

         10   Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний равна   Найти  вероятность того, что событие появится

не менее 75 раз и не более 90 раз.

 

         Решение:   по условию задачи   

        

Воспользуемся интегральной теоремой Муавра-Лапласа:

         где    - функция Лапласа,

        

        

         Из приложения находим      

        

  

Теоретические вопросы

 

         1   Основные понятия теории вероятностей. Случайные события. Классическое определение вероятностей. Относительная частота. Статистическая вероятность. Геометрические вероятности.

         2  Теорема сложения вероятностей. Сумма событий. Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Полная группа событий. Противоположные события.

         3   Теорема умножения вероятностей. Произведение событий. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей для зависимых и независимых событий.

         4    Следствия теорем сложения и умножения. Теорема сложения вероятностей совместных событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

         5   Повторение испытаний. Формула Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Функция Лапласа. Формула Пуассона. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной величины в независимых испытаниях.

  Список литературы 

         1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие для вузов.-М.: Высш. Школа, 2003.-279 с.

         2. Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам.-М.: Айрис-пресс, 2003.-279 с.

         3. Сборник  индивидуальных  заданий  по  высшей   математике:  В  4 ч.

/А.П.Рябушко, В.В.Бархатов и др./ Под редакцией А.П.Рябушко.- Минск: Вышэйшая школа, 2007.-Ч.4-335 с.

         4. Чудесенко В.Ф. Сборник заданий по специальным курсам высшей математики: Типовые расчеты.-М.: Высш.шк., 1983.-109 с.

         5. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.-М.: Высш.школа, 1999.-400 с. 

 

Содержание

Введение                                                                                                                     3

Расчетно-графическая  работа.  Случайные события и их вероятности              3           

Расчетные задания                                                                                             3    

Решение типового варианта                                                                              20   

Теоретические вопросы                                                                                    25

Список литературы                                                                                           25     

 

Сводный план 2012 г., поз.186