АЛМАТЫ ЭНЕРГЕТИКА ЖЄНЕ БАЙЛАНЫС ИНСТИТУТЫ

 

Жоѓары математика кафедрасы

 

 

 

 

МАТЕМАТИКА 1

МАТЕМАТИКА 2

 

 

 

К¤ПАЙНЫМАЛДЫ ФУНКЦИЯЛАРДЫЊ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫЌ ЕСЕПТЕУЛЕРІ

Есептеу – графикалыќ ж±мыстарѓа арналѓан єдістемелік н±сќаулар

(050718 – Электр энергетика мамандыќтарыныњ к‰ндізгі бµлімінде оќитын

студенттері ‰шін)

 

 

 

 

Алматы 2005

 

Ќ¦РАСТЫРУШЫЛАР: Астраханцева Л.Н., Ким Л.Н., Тілепиев М.Ш.

Математика 1. Кµп айнымалды функциялардыњ

дифференциалдыќ есептеулері. Есептеу-графикалыќ ж±мыстарѓа арналѓан  (к‰ндізгі бµлімде оќитын студенттері ‰шін).

Алматы: АЭжБИ. 2005. 26 бет.

 

 

 

         Б±л єдістемелік н±сќаулар мен тапсырмалар Алматы энергетика жєне байланыс институтыныњ к‰ндізгі бµлімініњ 050718 – электроэнергетика мамандыќтарыныњ  Математика  1,  пєнініњ  баѓдарламасына сєйкес есептеу-

графикалыќ ж±мысты орындауѓа арналѓан.

         Б±л єдістемелік н±сќауларда  жоѓары математиканыњкµп айнымылды функцияларыныњ дифференциалдыќ есептеулер бµлімдері ќамтылѓан. Есептеу-графикалыќ ж±мыстары екі дењгейге бµлінген. Бірінші дењгей ‰шін типтік варианттыњ шешімі берілген.

          Осы єдістемелік  ќ±ралды 050717-жылуэнергетика жєне 050719 – радиотехника, электротехника жєне телекоммуникация мамандыќтарыныњ Математика 2 пєнініњ баѓдарламасына сєйкес № 1 есептеу-графикалыќ ж±мысын орындауѓа пайдалануѓа болады.

 

 

 

         

 

          Пікір жазушы: ф.-м. ѓыл. канд., проф. С.Е. Базарбаева

 

 

 

 

 

 

 

 

          Алматы энергетика жєне байланыс институтыныњ 2005 жылѓы  жоспары бойынша басылады.

 

 

 

 

 

© Алматы энергетика жєне байланыс институты, 2005 ж.

 

 

            4 типтік есептеу.

Көп айнымалды функциялардың дифференциалдыќ есептеулері.

   

1.1  Теориялық сұрақтар:

 

а)Көп айнымалды функцияны толық зерттеу және графигін

салу;

ә)Көп айнымалды функция ұғымы;

б)Көп айнымалды функцияның дербес және толық өсемшелері.  

Бірінші ретті дербес туынды;

в)Жоғарғы ретті дербес туындылар. Аралас туындылар;

г)Көп айнымалды функцияның дифференциалы;

ғ)Бетке жанама жазықтық және нормаль;

д)Жуық есептеулерде толық дифференциалдың қолданылуы;

е)Көп айнымалды күрделі функцияны дифференциалдау;

ж)Көп айнымалды айқын емес функцияны дифференциалдау;

з)Екі айнымалды функцияның эксремумы;

и)Шартты экстремум, екі айнымалды функцияның шектелген

облыстағы ең үлкен және ең кіші мәндері.

 

1.1                  Бірінші денгейлі тапсырмалар

 

1-есеп.  функциясы берілген. Табу керек: 

   а)  ,  ә)     б) .

1- кесте

Нұсқа

 

Нұсқа

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

 

2 -есеп.    екі айнымалды функциясы берілген. Табу керек: а) ә)         б) 

        2-кесте

Нұсқа

Нұсқа

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

 

3- есеп.    функциясы ‰шін берілген н‰ктеде дербес туындыларын табу керек.

        3-кесте

Нұсқа

Нұсқа

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

 

        4-есеп. 3 есебінде берілген функция үшін екінші ретті дербес

туындыларын табу керек :

а) ; ә) ; б) ; в) ; г) ; д)  

        5- есеп.  функциясыныњ екінші ретті дербес

        туындыларын табу керек.               тењдігініњ      

        д±рыстыѓын кµрсету керек.

        4-кесте

Нұсқа

Нұсқа

Нұсқа

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

      

        6-есеп. Айќын емес функцияныњ туындыларын    табу         

        керек.

        5-кесте

Нұсқа

F ( x, y, z)=0

Нұсқа

F ( x, y, z)=0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

 

7-есеп. Берілген   бетініњ  н‰ктесінде ж‰ргізілген жанама жазыќтыќтыњ жєне нормалдіњ тењдеулерін табу керек

        6-кесте

Нұсқа

                              беті

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

 

1.3 Екінші деңгейлі тапсырмалар

8-есеп.  Функцияның берілген теңдеуді қанағаттандыратындығын тексеру керек.

            7-кесте

Нұсқа

F (u)=0

U= u (x, y)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

 

9-есеп.   мєнінде  к‰рделі функциясыныњ мєнін есептеу керек

        8-кесте

Нұсқа

U = (x, y), x = x (t), y = y (t)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

 

        10-есеп.  Функцияны экстремумге зерттењіз.

        9-кесте

Нұсқа

z = f (x, y)

Нұсқа

z = f (x, y)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

 

11-есеп.  функциясыныњ берілген сызыќтармен шектелген   облысындағы ењ ‰лкен жєне ењ кіші мєндерін табу керек.

10-кесте

Нұсқа

z = f (x, y)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

 

 

12-есеп.  функциясы, н‰ктесі жєне векторы

        берілген.

        Табу керек:

        а) векторы бойынша А н‰ктесінде  функциясыныњ        

        туындысын ;

        ә) А н‰ктесінде . 

        11-кесте

Нұсқа

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

 

 

        2 Типтік нұсқаның кейбір есептерін шешуге

келтірілген нұсқаулар.

            2.1 функциясы үшін табу керек:

а) ; б) ; в) .

Шешуі

а)  функциясының дербес және толық өсімшелері               

        ,        ,     

 

формулаларымен есептелінеді. Осыдан

        ,

ә)  функциясының дербес және толық дифференциалдары       

       формулаларымен есептелінеді.

       Алдымен дербес туындыларын есептейік                       

         

 

Осыдан

в)  функциясының екінші ретті дифференциалы

формуласымен анықталады.

 

        Екінші ретті туындыларын табамыз          

,

.

Сонымен

         2.2 функциясы берілген.

         Табу керек:  

         Шешуі:

 алдымен  табамыз, сонда,    

            2.3   теңдеуімен берілген  функциясының  және  дербес туындыларын табу керек. Шешуі:

  теңдеуімен берілген   функциясының дербес туындылары: формулаларымен табылады

Осыдан                ;

                                      .

2.4  бетінің  нүктесінде жүргізілген   

        жанама жазықтығы мен нормалының теңдеуін табу керек.

        Шешуі:

егер  беті мен нүктесі берілсе, онда жанама жазықтықтың теңдеуі ,

ал нормалдыің теңдеуі:            болады.

Берілген нүктеде функцияның дербес туындылары:

болса, онда ізделінетін теңдеуіміз:  болады немесе  - жанама жазықтықтың теңдеуі;

 

 

         - нормалдің теңдеуі.

2.5   - күрделі функциясының туындысын табу керек.

        Шешуі:

Егер күрделі функция    түрінде берілсе, онда оның толық туындысы:  формуласымен анықталады, яғни

2.6  функциясының 

сызықтарымен шектелген тұйықталған облысындағы ең үлкен және ең

кіші мәндерін табу керек

        Шешуі:

функциясының тұйықталған облысындағы ең үлкен және ең кіші мәндерін табу үшін:

а)облыс ішінде жатқан барлық кризистік нүктелерді тауып,осы

нүктелердегі функцияларының мәндерін есептеу керек ( бұл нүктелерде экстремум болуын немесе болмауын тексерудің қажеті жоқ);

ә) облыстың шекарасында функциясының ең үлкен және ең

кіші мәндерін табу керек;

б) барлық табылған мәндердің ішінен ең үлкенін ( бұл ең үлкен

мән ) және ең кішісін ( бұл ең кіші мән) таңдап аламыз.

        Берілген функция үшін берілген сызықтармен шектелген

тұйықталған облыс құрайық:

 

 

                                  y

                            4 . В

                            

 

                           2  . С                                . Д

                                                    . Р                                       

                               .                                                           . А

                          0                                                               6                      х

 

а) жоғарыда көрсетілген ереже бойынша облыс ішінде жатқан

кризистік нүктелерді табайық:  .

 жүйесін шешеміз, осыдан табамыз. 

 кризистік нүктесі облыс ішінде жатыр. Функцияның осы нүктедегі мәні ;

ә) облыс шекарасы әр түрлі теңдеумен берілген үш бөліктен

тұрады.

Әрбір бөліктегі ең үлкен және ең кіші мәндерін іздейік:

б) ОА бөлігінде:y=0,осыдан функция  болады, мұндағы . z1 функциясының  аралығындағы ең үлкен және ең кіші мәндері:

. Осыдан,  - ең кіші, -ең үлкен мән;

в) ОВ бөлігінде: х=0,z2=y2 , мұндағы      (ең кіші),

 (ең үлкен);

г) АВ бөлігінде: немесе

, , мұндағы .

 (ең үлкен),  (ең кіші)

         мәндерін салыстырамыз. Олардың ең

үлкені , ең кішісі ;

2.7   функциясы және  нүктелері берілген.Табу керек: а) М1 нүктесінде М1 М2 векторының бағыты бойынша туындысын

табу керек;    ә) .

Шешуі:

а)  функциясының  М1 нүктесінде  секторының бағыты

бойынша туындысы:  мұндағы  векторы векторымен бағыттас (параллелі) бірлік вектор. Дербес туындылары мең бағытталған косинустарын есептейік.

.

  Осыдан,

ә) анықтама бойынша .

Осыдан  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Әдебиеттер тізімі

1.     Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я.Высшая математика

вупражнениях и задачах:  2г. –М. Высш. Шк, 2003. ч.1.-352 с.

2. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике:

В 3 ч   /А.П. Рябушко, В.В. Бархатов и др. / Под.ред. А.П. Рябушко. Минск: Выс. шк.,2000. ч.1.-396 с.

2.     Кузнецов А.А. Сборник заданий по высшей математике:

Типовые расчеты. –М.: Высш. шк., 1983.-176 с.

3.     Дүйсек А.К., Қасымбеков С.Қ. Жоғары математика. Алматы:

КБТУ, 2004.-439 бет.

4.     Айдос Е.Ж. Жоғары математика (қысқаша курс). Алматы

“ Иль-Тех-Кітап ” ЖШС, 2003.-744 бет

 

 

 

 

 

 

Мазмұны

1-типтік есептеу. Көп айнымалды дифференциялдық есептеулер   3                                              

1.1 Теориялық сұрақтар                                                                         3                                                                    

1.2 Бірінші деңгейлі тапсырмалар                                                        3

1.3 Екінші деңгейлі тапсырмалар                                                         9

2 Типтік нұсқаның 1деңгейіндегі кейбір есептерін шешуге келтірілген нұсқаулар                                                                                              18                                                                                          

Әдебиеттер тізімі                                                                                  24

 

 

 

 

                                                                  Жоспар 2005 ж., реті. 86

 

 

 

 

Людмила Николаевна Астраханцева

Людмила Николаевна Ким

М±рат Шєпен±лы Тілепиев

 

 

 

Математика 1

Кµп айнымалды функциялардыњ дифференциалдыќ есептеулері.

Есептеу – графикалыќ ж±мыстарѓа арналѓан

єдістемелік н±сќаулар мен тапсырмалар

          (к‰ндізгі бµлімде оќитын 050718  Электр энергетика мамандыќтарыныњ

студенттері ‰шін)

 

 

 

 

Редакторы Ж.А. Байбураева

 

 

 

Басуѓа ќол ќойылды                                                         Пішімі 60х84   1/16

Тиражы 150 дана.                                                             № 1 типография ќаѓазы

Кµлемі 1,6 оќу-басп.т.                                                     Тапсырыс

Баѓасы 52 тењге

 

 

 

 

Алматы энергетика жєне байланыс институтыныњ

Кµшермелі-кµбейткіш бюросы

480013 Алматы, А. Байт±рсын±лы кµшесі, 126