АЛМАТИНСКИЙ ИНСТИТУТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ
Кафедра высшей математики
Математика 1
Математика 2
Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных
Методические указания и задания к расчетно-графической работе
( для студентов специальности электроэнергетика 050718 очной формы обучения )
Алматы 2005
СОСТАВИТЕЛИ:Л.Н.Астраханцева, Л.Н.Ким, М.Ш.Тилепиев. Математика 1, Математика 2. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных. Методические указания и задания к расчетно-графической работе (для студентов специальности 050718-Электроэнергетика). Алматы: АИЭС, 2002.-23 с.
Методические указания и задания к расчетно-графической работе содержат раздел программы первого семестра курса математики для студентов специальности 050718-Электроэнергетика АИЭС: дифференциальное исчисление функции нескольких переменных. Приведены основные теоретические вопросы программы. Расчетные задания разделены на два уровня сложности. Для первого уровня дано решение типового варианта.
Эти методические указания могут быть использованы студентами
специальностей 050717-Теплоэнергетика и 050719-Радиотехника, электроника и телекоммуникации в качестве РГР № 1 «Математики 2» в первом семестре обучения.
Рецензент: канд.физ.-мат.наук , доцент С.Е.Базарбаева
Печатается по плану издания Алматинского института энергетики и связи на 2005 г.
© Алматинский институт
энергетики и связи, 2005г.
Типовой расчет. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных
1.1
Теоретические вопросы
1.1.1 Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность.
1.1.2 Частные приращения и частные производные. Частные производные высших порядков.
1.1.3 Частные дифференциалы. Полное приращение и полный дифференциал.
1.1.4 Дифференциалы высших порядков. Инвариантность формы полного дифференциала.
1.1.5 Дифференцирование сложных и неявных функций нескольких переменных.
1.1.6 Экстремум функции двух переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума.
1.1.7 Условный экстремум. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных и замкнутой области
1.1.8 Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент.
2 Задания первого уровня
Задание 1. Дана
функция
Таблица 1
Вариант |
|
Вариант |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
6 |
|
7 |
|
8 |
|
9 |
|
10 |
|
11 |
|
12 |
|
13 |
|
14 |
|
15 |
|
16 |
|
17 |
|
18 |
|
19 |
|
20 |
|
21 |
|
22 |
|
23 |
|
24 |
|
25 |
|
26 |
|
27 |
|
28 |
|
29 |
|
30 |
|
Задание 2. Дана
функция двух переменных
Таблица 2
Вариант |
|
Вариант |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
6 |
|
7 |
|
8 |
|
9 |
|
10 |
|
11 |
|
12 |
|
13 |
|
14 |
|
15 |
|
16 |
|
17 |
|
18 |
|
19 |
|
20 |
|
21 |
|
22 |
|
23 |
|
24 |
|
25 |
|
26 |
|
27 |
|
28 |
|
29 |
|
30 |
|
Задание 3. Для
функции
Таблица 3
Вариант |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
6 |
|
|
7 |
|
|
8 |
|
|
9 |
|
|
10 |
|
|
11 |
|
|
12 |
|
|
13 |
|
|
14 |
|
|
15 |
|
|
16 |
|
|
17 |
|
|
18 |
|
|
19 |
|
|
20 |
|
|
21 |
|
|
22 |
|
|
23 |
|
|
24 |
|
|
25 |
|
|
26 |
|
|
27 |
|
|
28 |
|
|
29 |
|
|
30 |
|
|
Задание 4. Для функции из задания 3) найти указанные
частные производные высших порядков: а)
е)
Задание 5. Найти
вторые частные производные функции
Таблица 5
Вариант |
|
Вариант |
|
Вариант |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
6 |
|
7 |
|
8 |
|
9 |
|
10 |
|
11 |
|
12 |
|
13 |
|
14 |
|
15 |
|
16 |
|
17 |
|
18 |
|
19 |
|
20 |
|
21 |
|
22 |
|
23 |
|
24 |
|
25 |
|
26 |
|
27 |
|
28 |
|
29 |
|
30 |
|
Задание 6. Найти производные
Таблица 6
Вари-ант |
|
Вари-ант |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
6 |
|
7 |
|
8 |
|
9 |
|
10 |
|
11 |
|
12 |
|
13 |
|
14 |
|
15 |
|
16 |
|
17 |
|
18 |
|
19 |
|
20 |
|
21 |
|
22 |
|
23 |
|
24 |
|
25 |
|
26 |
|
27 |
|
28 |
|
29 |
|
30 |
|
Задание 7. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к
заданной поверхности
Вариант |
Поверхность |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
6 |
|
|
7 |
|
|
8 |
|
|
9 |
|
|
10 |
|
|
11 |
|
|
12 |
|
|
13 |
|
|
14 |
|
|
15 |
|
|
16 |
|
|
17 |
|
|
18 |
|
|
19 |
|
|
20 |
|
|
21 |
|
|
22 |
|
|
23 |
|
|
24 |
|
|
25 |
|
|
26 |
|
|
27 |
|
|
28 |
|
|
29 |
|
|
30 |
|
|
3 Задания второго уровня
Задание 1.
Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция
Таблица 3.1
Вариант |
Уравнение |
Функция |
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
6 |
|
|
7 |
|
|
8 |
|
|
9 |
|
|
10 |
|
|
11 |
|
|
12 |
|
|
13 |
|
|
14 |
|
|
15 |
|
|
16 |
|
|
17 |
|
|
18 |
|
|
19 |
|
|
20 |
|
|
21 |
|
|
22 |
|
|
23 |
|
|
24 |
|
|
25 |
|
|
26 |
|
|
27 |
|
|
28 |
|
|
29 |
|
|
30 |
|
|
Задание 2.
Найти и вычислить значение производной сложной функции
Таблица 3.2
Вариант |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
6 |
|
7 |
|
8 |
|
9 |
|
10 |
|
11 |
|
12 |
|
13 |
|
14 |
|
15 |
|
16 |
|
17 |
|
18 |
|
19 |
|
20 |
|
21 |
|
22 |
|
23 |
|
24 |
|
25 |
|
26 |
|
27 |
|
28 |
|
29 |
|
30 |
|
Задание 3. Исследовать на экстремум функции.
Таблица 3.3
Вариант |
|
Вариант |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
6 |
|
7 |
|
8 |
|
9 |
|
10 |
|
11 |
|
12 |
|
13 |
|
14 |
|
15 |
|
16 |
|
17 |
|
18 |
|
19 |
|
20 |
|
21 |
|
22 |
|
23 |
|
24 |
|
25 |
|
26 |
|
27 |
|
28 |
|
29 |
|
30 |
|
Задание 4.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции
Таблица 3.4
Вариант |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
6 |
|
|
7 |
|
|
8 |
|
|
9 |
|
|
10 |
|
|
11 |
|
|
12 |
|
|
13 |
|
|
14 |
|
|
15 |
|
|
16 |
|
|
17 |
|
|
18 |
|
|
19 |
|
|
20 |
|
|
21 |
|
|
22 |
|
|
23 |
|
|
24 |
|
|
25 |
|
|
26 |
|
|
27 |
|
|
28 |
|
|
29 |
|
|
30 |
|
|
Задание 5. Даны
функция
б)
Таблица 3.5
Вариант |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
5 |
|
|
|
6 |
|
|
|
7 |
|
|
|
8 |
|
|
|
9 |
|
|
|
10 |
|
|
|
11 |
|
|
|
12 |
|
|
|
13 |
|
|
|
14 |
|
|
|
15 |
|
|
|
16 |
|
|
|
17 |
|
|
|
18 |
|
|
|
19 |
|
|
|
20 |
|
|
|
21 |
|
|
|
22 |
|
|
|
23 |
|
|
|
24 |
|
|
|
25 |
|
|
|
26 |
|
|
|
27 |
|
|
|
28 |
|
|
|
29 |
|
|
|
30 |
|
|
|
Указания к решению
некоторых типовых заданий
1 Для функции
в)
Решение:
а) частные и
полное приращения функции
б) частные и
полный дифференциалы функции
формулам
Найдем сначала
частные производные
Таким образом,
в) формула
дифференциала второго порядка функции
имеет вид:
Найдем частные
производные второго порядка
Итак,
4.2 Дана функция
Решение.
Найдем
4.3 Найти производные
Решение.
Частные
производные функции
Таким
образом,
4.4 Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
Решение.
Если дана
поверхность
касательной плоскости имеет вид:
а уравнение нормали :
Так как частные производные данной функции в заданной точке равны
то искомое уравнение касательной
плоскости :
4.5 Найти производную сложной функции:
Решение.
Если сложная
функция имеет вид
4.6 Найти наибольшее и наименьшее значения
функции
Решение.
Чтобы найти
наименьшее и наибольшее значения функции
а) найти критические точки, лежащие внутри области, и вычислить
значения функции в этих точках ( не проверяя, будут ли эти точки точками экстремума или нет);
б) найти наибольшее и наименьшее значения функции на границе
области;
в) из всех найденных значений выбрать самое большое ( это
наибольшее) и самое маленькое ( это наименьшее) значения.
Построим для заданной функции замкнутую область, ограниченную
указанными линиями.
4 . В
2
. С
. Д
. Р
а) согласно указанному выше правилу найдем критические точки,
лежащие внутри области:
б) граница области состоит из трех участков, имеющих разные
уравнения. Найдем наибольшее и наименьшее значения на каждом участке.
1) на участке ОА: y=0. Функция примет вид
Ищем наибольшее и наименьшее
значения z1 на отрезке
2) на ОВ:
х=0, z2=y2 , где
3) на АВ:
в) сравним значения
г) дана фунуция
Найти: 1) производную этой функции в точке М1 по направлению вектора
М1 М2 ; 2)
grad u(M1).
Решение:
а) производная функции
находится по формуле:
Таким образом,
б) по определению
Поэтому
Список литературы
1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2 ч.-М.: Высш.шк., 2003.-Ч.1-352 с.
2. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: В 3ч.
/А.П.Рябушко, В.В.Бархатов , и др./ Под ред.А.П.Рябушко.-Минск: Вышэйшая школа, 2000.-Ч.1.-396 с.
3. Кузнецов А.А. Сборник заданий по высшей математике: Типовые расчеты.-М.: Высш.шк., 1983.-176 с.
4. Хасеинов К.А. Каноны математики: Учебник. - Алматы, 2003-686 с.
Содержание
1 Типовой расчет. Дифференциальное исчисление функции нескольких
переменных ……………….….. .….…………………………………………...3
2 Задания первого уровня………………………………………………. …….3
3 Задания второго уровня ……………………………………………………..9
4 Указания к решению некоторых типовых заданий первого уровня……………………………………………….………………………….18
Список литературы……………………………………………………………23
Сводный план
2005г.,поз.85
Людмила Николаевна Астраханцева
Людмила Николаевна Ким
Мурат Шапенович Тилепиев
Математика 1
Математика 2
Дифференциальное
исчисление функции нескольких переменных
Методические указания и задания к расчетно-графической работе
( для студентов очной формы специальности 050718- Электроэнергетика )
Редактор Ж.М. Сыздыкова
Подписано в печать________ Формат 6084 1/16
Тираж_350_экз. Бумага типографская № 1
Объем уч.-изд.л. Заказ ____. Цена_____ .
Копировально-множительное бюро
Алматинского института энергетики и связи
480013, Алматы, Байтурсынова, 126