АЛМАТИНСКИЙ ИНСТИТУТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ

 

Кафедра высшей математики

 

 

 Математика 1

Математика 2

Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

Методические указания и задания к расчетно-графической работе

 ( для студентов специальности электроэнергетика 050718 очной формы обучения )

 

 

Алматы 2005

 

 СОСТАВИТЕЛИ:Л.Н.Астраханцева, Л.Н.Ким, М.Ш.Тилепиев. Математика 1, Математика 2. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных. Методические указания и задания к расчетно-графической работе (для студентов специальности 050718-Электроэнергетика). Алматы: АИЭС, 2002.-23 с.

 

 

Методические указания и задания к расчетно-графической работе содержат  раздел  программы первого семестра курса  математики   для студентов специальности 050718-Электроэнергетика АИЭС: дифференциальное исчисление функции  нескольких переменных. Приведены основные теоретические вопросы программы. Расчетные задания разделены на два уровня сложности. Для первого уровня дано решение типового варианта.

Эти методические указания могут быть использованы  студентами

 специальностей 050717-Теплоэнергетика и 050719-Радиотехника, электроника и телекоммуникации в качестве РГР № 1 «Математики 2» в первом семестре обучения.

 

 

Рецензент: канд.физ.-мат.наук , доцент С.Е.Базарбаева

 

Печатается по плану издания Алматинского института энергетики и связи на 2005 г.

 

 ©  Алматинский институт энергетики и связи, 2005г.

 

 Типовой расчет. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

 

1.1   Теоретические вопросы

 

1.1.1 Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность.

1.1.2 Частные приращения и частные производные. Частные производные высших порядков.

1.1.3 Частные дифференциалы. Полное приращение и полный дифференциал.

1.1.4 Дифференциалы высших порядков. Инвариантность формы полного дифференциала.

1.1.5 Дифференцирование сложных и неявных функций нескольких переменных.

1.1.6 Экстремум функции двух переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума.

1.1.7 Условный экстремум. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных и замкнутой области

1.1.8 Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент.

 

2  Задания первого уровня

Задание 1. Дана функция . Найти:  а)  ;  б)   ;  в) .

Таблица 1

Вариант

.

Вариант

.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

 

Задание 2. Дана функция двух переменных  . Найти: а) б)         в) Убедиться, что  ;      г) .

Таблица 2

Вариант

.

Вариант

.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

 

Задание 3. Для функции  найти частные производные в указанной точке.

Таблица  3

Вариант

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

 

Задание 4.  Для функции из задания 3) найти указанные частные производные высших порядков: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;

е) .

Задание 5. Найти вторые частные производные функции . Убедиться в том, что .

Таблица 5

Вариант

Вариант

Вариант

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

 

Задание 6.  Найти производные    функций, заданных неявно.

Таблица 6

Вари-ант

Вари-ант

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

 

Задание 7. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к

заданной поверхности  в точке

Таблица 7

Вариант

                          Поверхность

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

 

3  Задания второго уровня

Задание 1. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция

 

Таблица 3.1

Вариант

Уравнение

Функция

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

 

Задание 2. Найти и вычислить значение производной сложной функции  где  при  с точностью до двух знаков после запятой.

Таблица 3.2

Вариант

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

 

Задание 3. Исследовать на экстремум функции.

Таблица 3.3

Вариант

Вариант

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

 

Задание 4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции   в области , ограниченной заданными линиями.

Таблица 3.4

Вариант

                          

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

 

Задание 5. Даны функция  точка  и вектор . Найти: а) производную функции  в точке А в направлении вектора ;

б)   в точке А.

Таблица 3.5

Вариант

                 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

 

 

 

Указания к решению некоторых типовых заданий

1 Для функции  найти а) ; б) ;

в) .

            Решение:

а) частные и полное приращения функции  находятся по формулам: ,

       ,

       .  Поэтому имеем

,            ,

;

б) частные и полный дифференциалы функции  находятся по

формулам  .

Найдем сначала частные производные                    .

Таким образом,

в) формула дифференциала второго порядка функции  

имеет вид: .

Найдем частные производные второго порядка ,

,

.

 

Итак, .

4.2 Дана функция  .   Найти  

Решение.

            Найдем     ,       затем .

4.3  Найти производные  функции , заданной неявно уравнением .

Решение.

Частные производные функции ,  заданной уравнением , находятся по формулам: .

Таким образом,  ;

                               .

4.4  Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

 в точке .

Решение.

Если дана поверхность  в точке , то уравнение

касательной плоскости имеет вид: ,

а уравнение нормали : .

Так как частные производные данной функции в заданной точке равны

,

то искомое уравнение касательной плоскости :   или

, а уравнение нормали имеет вид      . 

4.5  Найти производную сложной функции:

Решение.

Если сложная функция имеет вид  , то её полная производная находится по формуле:  , т.е.

4.6  Найти наибольшее и наименьшее значения функции  в замкнутой области, ограниченной линиями .

Решение.

Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции  в замкнутой области надо:

а) найти критические точки, лежащие внутри области,  и вычислить

значения функции в этих точках ( не проверяя, будут ли эти точки точками экстремума или нет);

 

б) найти наибольшее и наименьшее значения функции на границе

области;

в) из всех найденных значений выбрать самое большое ( это

наибольшее) и самое маленькое ( это наименьшее) значения.

Построим для заданной функции замкнутую область, ограниченную

указанными линиями.

                                  y

                            4 . В

                            

 

                           2  . С                                . Д

                                                    . Р                                        

                               .                                                           . А

                          0                                                               6                      х

 

 

а) согласно указанному выше правилу найдем критические точки,

лежащие внутри области:  . Решая систему

, получим . Критическая точка  лежит внутри области. Значение функции в этой точке ;

б) граница области состоит из трех участков, имеющих разные

уравнения. Найдем наибольшее и наименьшее значения на каждом участке.

1) на участке ОА: y=0. Функция примет вид , где .

Ищем наибольшее и наименьшее значения z1 на отрезке  по известному правилу: ; . Таким образом,  здесь наименьшее, -наибольшее значения;

2) на ОВ:  х=0, z2=y2 , где  .                

 (наименьшее),  (наибольшее).

3) на  АВ:  или , где

.

.

 (наибольшее),  (наименьшее).

в) сравним значения .Из них самое большое

 в точке (0,4);  самое маленькое в точке ;

г) дана фунуция  и точки .

Найти: 1) производную этой функции в точке М1 по направлению вектора

М1 М2 ;    2) grad u(M1).

Решение:

а) производная функции  в точке М1 в направлении вектора

находится по формуле: , где

 единичный вектор направления . Найдем частные производные и направляющие косинусы.

Таким образом, .

б) по определению .

Поэтому   .

 

 

 

Список литературы

 

1.   Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в    упражнениях и задачах: В 2 ч.-М.: Высш.шк., 2003.-Ч.1-352 с.

2.   Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: В 3ч.

/А.П.Рябушко, В.В.Бархатов , и др./ Под ред.А.П.Рябушко.-Минск: Вышэйшая школа, 2000.-Ч.1.-396 с.

3.   Кузнецов А.А. Сборник заданий по высшей математике: Типовые расчеты.-М.: Высш.шк., 1983.-176 с.

4.   Хасеинов К.А. Каноны математики: Учебник. - Алматы, 2003-686 с.

 

 

 

 

Содержание

                                                                                                             

1 Типовой расчет. Дифференциальное исчисление функции  нескольких

переменных ……………….….. .….…………………………………………...3

2 Задания первого уровня………………………………………………. …….3

3 Задания второго уровня ……………………………………………………..9

4 Указания к решению некоторых типовых заданий первого уровня……………………………………………….………………………….18

Список  литературы……………………………………………………………23

 

 

 

 

 

Сводный план 2005г.,поз.85

 

 

Людмила Николаевна Астраханцева

Людмила Николаевна Ким

Мурат Шапенович Тилепиев

 

 Математика 1

Математика 2

Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

Методические указания и задания к расчетно-графической работе

( для студентов очной формы специальности 050718- Электроэнергетика  )

 

 

 

Редактор Ж.М. Сыздыкова

 

 

 

Подписано в печать________                      Формат 6084  1/16

Тираж­­­­_350_экз.                                             Бумага типографская № 1

Объем           уч.-изд.л.                                   Заказ ____. Цена_____ .                                                   

 

 

 

Копировально-множительное бюро

Алматинского института энергетики и связи

480013, Алматы, Байтурсынова, 126