ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ

 

Алматы энергетика және байланыс институты

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С.Ералиев, М.Тілепиев

 

 

 

ҚАРАПАЙЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР

 

 

Оқу құралы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Алматы 2006

 

ӘОК 378(075.8):51

ББК 22.1я7

Ералиев С.Е, Тілепиев М.Ш.

Е64 Қарапайым дифференциалдық теңдеулер:

Оқу құралы. Алматы: АЭжБИ, 2006.-  41 бет.

ISBN      9965-494-42-8

 

 

Бұл оқу техникалық құралы жоғары оқу орындарының  бағдарламасына сәйкес жазылған. Мұнда дифференциалдық теңдеулердің негізгі анықтамалары мен қасиеттерін түсіну үшін мысалдар қарастырылған. Әрбір параграфтың соңында есептер берілген. Сондықтан бұл оқулықты есептер жинағы ретінде пайдалануға болады.

Бұл оқу құралын техникалық жоғары оқу орындарының студенттерімен қатар орта мектептің жоғарғы сыныптарында факультативтік  курс жүргізетін математика пәнінің мұғалімдері де пайдалана алады.

 

 

ББК 22.1я7

 

 


Пікір берушілер:

 

 

 

 

 

 

Қазақстан Ұлттық университетінің «Есептеу математика» кафедрасының профессоры, физика-математика ғылымдарының докторы Н.Т. Данаев.

 

Алматы энергетика және байланыс институтының жоғарғы математика кафедрасының меңгерушісі физика-математика ғылымдарының кандидаты, профессор С.Е. Базарбаева


 

 

 

 

Қазақстан Республикасының Білім және Ғылым министірлігінің 2006 жылғы баспа жоспары бойынша басылды.

 

 

 

 

 

 

 

E 

 

 

ISBN      9965-494-42-8

 

 

 

 

©Алматы энергетика және байланыс институты, 2006 ж.

 

Кіріспе

 

Физикалық құбылыстардың математикалық модельдерін дифференциалдық теңдеулерсіз құру мүмкін емес. Сондықтан физика мен техниканың көптеген салаларында дифференциалдық теңдеулер курсының алатын орны ерекше.

Техникалық жоғары оқу орындарының бағдарламасына сай, кредиттік жүйеге лайықты, жазылған ана тіліндегі оқулықтар жоқ. Жоғарыдағы айтылғанарды ескере отырып жазылған бұл оқулық төрт тараудан тұрады.

Бірінші тарауда бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер, екінші тарауда жоғары ретті дифференциалдық теңдеулер, үшінші тарауда жоғары ретті сызықты дифференциалдық теңдеулер, төртінші тарауда дифференциалдық теңдеулер жүйесі қарастырылған.

Бұл оқулықта дифференциалдық теңдеулердің негізгі анықтамалары мен қасиеттерін жете түсіну үшін көптеген мысалдар қарастырылған. Әрі әрбір бөлімнің соңында есептер берілген. Сондықтан бұл оқулықты есептер жинағы ретінде пайдалануға болады.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.      Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер.

 

1.1  Негізгі түсініктері. Дифференциалдық теңдеу деп айнымалы шамаға, ізделенді функцияға және оның туындыларына ( немесе дифференциалдарына) байланысты болатын теңдеуді айтады. Егер айнымалы шама біреу болса, онда тендеуді қарапайым дифференциалдық теңдеу, ал айнымалы шама екеу немесе одан көп болса, онда оны  дербес туындылы дифференцалдық теңдеу деп айтамыз.

Теңдеудін құрамына енетін туындының ең үлкен ретін дифференциалдық теңдеудің реті дейді.

 

Мысалы:

а) xy´+y=x2+1   -   бірінші ретті қарапайым дифференциалдық теңдеу;

ә) (y´)2+y´´·y=0   -   екінші ретті қарапайым дифференциалдық теңдеу;

б)   -  бірінші ретті дербес туындылы дифференциалдық теңдеу;

в)  - екінші ретті дербес туындылы дифференциалдық теңдеу;

г) F(x,y,y´,y´´,…,y(n)) =0  - n-ші ретті қарапайым дифференциалдық теңдеудің жалпы түрі.

 

Енді бірінші ретті қарапайым дифференциалдық теңдеуді қарастырайық. Ары қарай «қарапайым дифференциалдық теңдеу» орнына «дифференциалдық теңдеу» деп айтылады.

Бірінші ретті қарапайым дифференциалдық теңдеу деп

 

F(x,y,y´)=0                                                                                 (1)

немесе

y´=f(x,y)                                                                                      (1´)

немесе

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0                                                                (1´´)

теңдеуін айтады.

 

Дифференциалдық теңдеудің шешімі деп, тендеуге қойғанда оны тепе-теңдікке айналдыратын дифференциалданатын  у = φ(x)  функциясын айтады. Дифференциалдық теңдеудің шешімін табу жолын дифференциалдық теңдеуді интегралдау дейді.

Бірінші ретті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі деп төмендегі шарттарды қанағаттандыратын кез келген С тұрақтыға байланысты у = φ(x,с) түрінде берілген функцияны айтамыз:

а) осы шешім С мәнінің кез келген сандық мәнінде берілген теңдеудің шешімі болады;

ә) қандай да болмасын у(xo) = yo алғашқы шарты үшін С = Co жалғыз сандық мәні табылады және у = φ(x,с) функциясы осы шартты қанағаттандыратын берілген теңдеудің шешімі болады.

Егер дифференциалдық теңдеудің  жалпы шешімі

ф(х,у,с) = 0

түрінде берілсе, онда оны дифференциалдық теңдеуді жалпы интегралы дейді.

С = Co сандық мәні үшін у = φ(x,с) жалпы шешімінен алынған у = φ(x,со) шешімін дербес шешім дейді.

Осы сияқты ф(х,у,со)=0 интегралын дифференциалдық теңдеудің дербес интегралы дейді.

y(xo) = yo алғашқы шартын қанағаттандыратын y´= f(x,y) теңдеуінің дербес шешімін (интегралын) табу есебін Коши есебі деп аталады.

ОХУ жазықтығындағы дифференциалдық теңдеудің y = f(x) шешімінің графигін осы теңдеудің интегралдық қисығы дейді.

Сонымен ОХУ жазықтығында бірінші ретті дифференциалдық теңдеудің у = φ(x,с) жалпы шешімінің графигі бір ғана С параметрге байланысты интегралдық қисықтар жиынтығы, ал у(xo) = yo алғашқы шартты қанағаттандыратын у = φ(x,со) дербес шешімінің графигі Мо(xo, yo) нүктесі арқылы өтетін интегралдық қисық болады.

Коши теоремасы. Егер Д облысында f(x,y) функциясы  және оның  дербес туындысы үзіліссіз болса, онда y´=f(x,y) теңдеуінің у(xo)=yo алғашқы шартын  қанағаттандыратын жалғыз шешімі яғни Мо(xo,yo)ЄД нүктесі арқылы өтетін жалғыз интегралдық қисығы болады.

1-мысал.   у=x2+ функциясы ху´+у=2 дифференциалдық теңдеуінің шешімі бола ма?

Шешуі. Алдымен берілген функцияның туындысын табамыз

                                   у´=2x-.

Енді у, у´-ті теңдеуге қойсақ онда    х(2x-)+х2+=3x2,

                                                        2x2-=3x2,

                                                        3x2=3x2  

болады.

Яғни берілген функция дифференциалдық теңдеудің шешімі болады.

 

Көрсетілген функциялар берілген дифференциалдық теңдеудің шешімі бола ма?

1.      y=,     уу´=x

2.      еу/х=cy,            xуу´=y2+x2

3.      y=cx+,         у´-

4.      y=(x+c)e-4x,     y´+4y=e-4x

5.      y=,      x+y+xy´=0

 

 

1.2 Айнымалыларын бөліп алуға болатын дифференциалдық теңдеулер.

 

y´=f1(x)·f2(y)                                                                               (2)

немесе

M1(x)M2(y)dx+N1(x)·N2(y)dy=0                                                (2´)

түрінде берілген теңдеулерді айнымалыларын бөліп алуға болатын дифференциалдық теңдеулер дейді.

(2) теңдеуінің екі жағын f2(y)-ке бөліп dx-қа көбейтсек, онда

.

 

 

Оны интегралдасақ

болады.

Яғни (2)  теңдеуінің жалпы интегралын аламыз.

Осы сияқты (2´) теңдеуінің екі жағын M2(y)·N1(x)-ке бөлсек

.

Оны интегралдасақ

болады.

Яғни (2´) теңдеуінің жалпы интегралын аламыз.

 

2-мысал.    у´=2xy дифференциалдық теңдеуінің жалпы шешімін табу керек.

Шешуі.

       немесе     .

Екі жағын интегралдасақ

,      немесе   .

 

3-мысал.  дифференциалдық теңдеуінің жалпы шешімін табу керек.

Шешуі.   Теңдеудің екі жағын    бөлеміз

Оны интегралдасақ ,

немесе       .

Яғни     - теңдеудің жалпы интегралы.

 

 

4-мысал.     у(1)=5 алғашқы шартын қанағаттандыратын у´+у/х=0 дифференциалдық теңдеуінің дербес шешімін табу керек.

Шешуі. Берілген теңдеуді  түрінде жазып, екі жағын -ке көбейтсек  болады.

Оны интегралдасақ

,          немесе    .

 

Алғашқы шартты пайдалансақ 5=,   яғни  с=5.

Сондықтан алғашқы шартты қанағаттандыратын дербес шешім  у= .

5-мысал.    Тынық суда жылдамдығы V0=5 м/с болатын моторлы қайық моторын сөндіріп, t=20 секундтан кейін жылдамдығы V1=3 м/с-ке дейін төмендеді. Судың қарсылық күші жылдамдыққа тура пропорционал деп есептеп, 2 минуттан кейінгі қайықтың жылдамдығын табу керек.

Шешуі.   Ньютон заңы бойынша

    немесе    .

 

Оны интегралдасақ

    немесе     t0=0   V=V0=5=c

 

осыдан    t1=20 сек,      

 

 

яғни

енді  t2=2 мин=120 сек болғанда м/сек

Жауабы. 2 минуттан кейін моторлы қайықтың жылдамдығы 0,23 м/сек болады.

 

Берілген дифференциалдық теңдеулердің жалпы шешімін (интегралын) табу керек:

6. у´=x3y3                          7.  у´=-5y2                               8.  у´=4y

9. y´=-5y                           10. y´=                                       11. y´=-

12. y´=                                    13. y´=                                    14. y´=

15. y´=                              16.

17.                     18.

19. y´                                                     20.

 

 

Алғашқы шарттарды қанағаттандыратын дифференциалдық теңдеулердің дербес шешімдерін табу керек.

21. y´=y2                                            y(0)=0,5

22. y´=5y                                           y(1)=3

23. y´=y2+1                                        y(0)=1

24.       y(0)=1

25.                             y(0)=0

26. M0(3,4) нүктесі арқылы өтетін, координата осьтерінің арасында жатқан жанаманың кесіндісін жанасу нүктесі тең екіге бөлетіндей қисықтың теңдеуін жазу керек.

27. Заттың уақыт өткен сайын ескіруіне байланысты оның бағасының төмендеу жылдамдығы оның бағасына тура пропорционал . Алғашқы кезде заттың бағасы m0-ге тең. Уақытқа байланысты заттың бағасының өзгеру заңдылығын табу керек.

 

1.3   Айнымалылары бөлінетін теңдеуге келтіруге болатын дифференциалдық теңдеу.

y´=f(ax+by+c)                                                                            (3)

дифференциалдық теңдеуін (2) теңдеуіне келтіруге болатын теңдеу болып табылады.

Бұл жағдайда ax+by+c=t ауыстыру әдісі қолданылады, мұндағы t-жаңа ізделінетін функция.

t´=a+by´

туындысын тауып, (3) теңдеуіне қойғанда

t´=a+b·f(t)

теңдеуі шығады. Бұл теңдеу айнымалысы ажыратылатын теңдеу болып табылады.

 

6-мысал.   y´= теңдеуінің жалпы шешімін табу керек.

Шешуі.    t=4x+y+2

деп  белгілеп, t´=4+y´ табайық.

t´=4+t2   немесе   

Оны интегралдасақ, онда

,      ,     ,     

 

Осыдан

 немесе

 теңдеудің жалпы шешімі.

 

Берілген дифференциалдық теңдеулердің жалпы шешімін табу керек.

28. y´=(x+y)2

29. y´=2x+y+4

30. y´=(8x+2y+1)2

 

1.4 Қос  аргументі бойынша біртекті диференциалдық теңдеу

f(x,y) функциясы үшін

                                                              (4)

теңдігі орындалса, онда оны х және у айнымалылары бойынша n өлшемді біртекті функция дейді.

Мысалы:

а)  - екі өлшемді біртекті функция;

ә)   - нөл өлшемді біртекті функция.

Егер М(х,у) және N(x,y) функциялары бірдей өлшемді біртекті функциялар болса, онда M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 теңдеуін қос аргументі бойынша біртекті дифференциалдық теңдеу дейді.

Егер f(x,y) функциясы нөл өлшемді біртекті функция болса, онда

y´=f(x,y)

 теңдеуің қос аргументі бойынша біртекті дифференциалдық теңдеу дейді.

Бұл жағдайда y=t·x ауыстырылуы арқылы айнымалылары бөлінетін теңдеуге келтіруге болады.

 

7-мысал.   y´=дифференциалдық теңдеуінің жалпы шешімін табу керек.

Шешуі.    f(x,y)=  - нөл өлшемді біртекті функция. Сондықтан

y=t·x,   y´=t·x+t

Яғни

t´x+t=t-1.  

Бұдан        t´x=-1 немесе .

Оны интегралдасақ      немесе    .

 

Осыдан   теңдеудің жалпы шешімі.

 

8-мысал.    

дифференциалдық теңдеуінің жалпы шешімін табу керек.

Шешуі.   M(x,y)=x2+y2,   N(x,y)=-2xy.

Функциялары екі өлшемді біртекті функциялар.

y=t·x   жаңа   айнымалысын   енгіземіз.    Осыдан    .     Яғни

   

немесе                   .

Оны интегралдасақ, онда

,

 

теңдеудің жалпы интегралы.

 

Берілген дифференциалдық теңдеулердің жалпы шешімін табу керек:

31. y´=                                   32. y´=

33. y´=                      34.                 35. y´= 

36.                 37.

 

Алғашқы шарттарын қанағаттандыратын дифференциалдық теңдеулердің дербес шешімдерін табу керек.

38.                                    y(1)=;

39. y´=,                                       y(-1)=-1;

40. ,                  y(1)=2.

 

 

1.5 Қос аргументі бойынша біртекті теңдеуге келтіруге болатын дифференциалдық теңдеу.

y´=                                                                                  (5)

дифференциалдық теңдеуі қос аргументі бойынша бір текті теңдеуге келтіруге болатын теңдеу болып табылады.

Егер  болса, онда

     айнымалысын ауыстыру арқылы айнымалылары бөлінетін теңдеу шығады.

Егер болса, онда ,    ауыстыруы арқылы қос аргументі бойынша біртекті теңдеуге келеді, мұндағы  сандары

   жүйесінің шешімі.

 

9-мысал.

y´= дифференциалдық теңдеуінің жалпы шешімін табу керек.

Шешуі.    ,    сондықтан  ,

 

.       Яғни   болғандықтан

Бұл айнымалылары бөлінген теңдеу.

Осыдан

Енді интегралдасақ, онда

немесе

    теңдеудің жалпы интегралы.

 

 

 

10-мысал.

y´=     дифференциалдық теңдеуінің жалпы шешімін табу керек.

Шешуі.

,    сондықтан

  жаңа айнымалыларын енгізейік.

осыдан  .

Сонымен      немесе   

y´=     бұл қос аргументі бойынша біртекті теңдеу.   Сондықтан

  ауыстыруын қолдасақ

немесе

,

,

.

Оны интегралдасақ, онда

,

,                 ,

 

.

   орнына қойсақ, онда

немесе

.

,       орнына қойсақ, онда      теңдеудің жалпы интегралы.

 

Берілген дифференциалды теңдеулердің жалпы шешімін табу керек.

41. y´=              42. y´=

43. y´=               44. y´=

45.                                     46. y´=

 

1.6 Толық  дифференциалды теңдеу. Интегралдаушы көбейткіш.

                                                                                                  (6)

теңдеуіндегі және функциялары үшін

                                                                                          (7)

шарты орындалса, онда (6)-теңдеуді толық дифференциалды теңдеу дейді.

Оның жалпы шешімі (интегралы)

болады, мұндағы - кез келген нақты сандар.

Егер (6)-теңдеу үшін (7)-шарт орындалмаса, онда кейбір жағдайда интегралдаушы көбейткіш деп аталатын (х,у) функциясын теңдеудің екі жағына көбейтіп толық дифференциалды теңдеу алуға болады.

Егер берілген теңдеу үшін тек х-ке байланысты интегралдаушы көбейткіш бар болса, онда ол

формуласымен табылады. Мұндағы   тек х-ке байланысты функция болуы керек.

Сол сияқты, у-ке байланысты интегралдаушы көбейткіш

 

формуласымен табылады. Мұндағы  тек у-ке байланысты болу керек.

 

11-мысал. дифференциалдық теңдеуінің жалпы шешімін табу керек.

Шешуі.    ,

                       ;

                      ,      .

Яғни (7) - шарт орындалады, сондықтан берілген теңдеу толық дифференциалды теңдеу болғандықтан

.

x0=y0=0   деп алсақ,   онда

немесе

осыдан

  - берілген теңдеудің жалпы интегралы.

 

12-мысал.   дифференциалдық теңдеудің шешімін табу керек.

Шешуі. 

 

                      ;

 

 ,

 

.

Енді берілген теңдеудің екі жағында -ге көбейтсек, онда

.

Бұл теңдеу толық дифференциалды теңдеу, себебі

,   ;

 .

Оны интегралдап

,

х0=0, y0=1   деп алсақ,  онда

,      

немесе . Бұл берілген теңдеудің жалпы интегралы, мұндағы .

 

Берілген дифференциалдық теңдеулердің жалпы шешімін табу керек.

 

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

Интегралдаушы көбейткіштерін тауып, берілген дифференциалдық теңдеулердің жалпы шешімін табу керек.

57.

58.

59.

60.

 

1.7 Сызықты дифференциалдық теңдеу.

 

                                                                          (8)

теңдеуін сызықты дифференциалдық теңдеу деп аталады. Бұл теңдеудің құрамында у және у´-тің тек бірінші дәрежесі болады, олардың көбейіндісі болмайды.

Егер  болса, онда (8)-теңдеу сызықты біртекті емес дифференциалдық теңдеу деп аталады.

Егер ,  яғни       (9)    болса,  онда (8)еңдеуді сызықты біртекті дифференциалдық теңдеу дейді.

(8) теңдеуінің жалпы шешімін  екі жолмен көрсетейік:

Бірінші, Лагранж (вариация) әдісі.

Алдымен (8) теңдеуіне сәйкес біртекті (9) теңдеуінің жалпы шешімі табылады.

,        

немесе  .

Енді сызықты біртекті емес дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі

түрінде ізделінеді, мұндағы с(х) табу керек, ол х-ке байланысты дифференциалданатын функция.

Алдымен

тауып, у пен у´-ті (8) -теңдеуге қойсақ

теңдеуі алынады.

Осыдан , мұндағы -кез келген тұрақты.

 

Сонымен

-(8) сызықты біртекті емес теңдеудің жалпы шешімі.

Екінші, Бернулли әдісі.

алмастыруы жасалынады, мұндағы және белгісіз функциялар . Бұдан

у пен у´-ті (8)-теңдеуге қойсақ, онда

немесе

.

 

Ендігі жерде V функциясын

теңдеуінің дербес шешімі ретінде таңдап аламыз.

Яғни  

Сондықтан алдыңғы теңдеуіміз

болады.

Немесе

Осыдан       

Яғни            

берілген теңдеудің жалпы шешуі болады.

 

13-мысал.

    теңдеуінің жалпы шешімін табу керек.

Шешуі.

Лагранж (вариация) әдісін қолданамыз. Берілген теңдеуге сәйкес біртекті

теңдеуін интегралдайық.

 ,         ,        ,                    .

Енді берілген теңдеудің жалпы шешімі   түрінде ізделінеді.

.

,

,       .

Осыдан

.

Сонымен

  берілген теңдеудің жалпы шешімі.

 

14-мысал.

 теңдеуінің жалпы шешімін табу керек.

Шешуі. Бернулли әдісін қолданайық

,                     ,

немесе

,

V функциясы       теңдеуінің дербес шешуі болғандықтан

,

 немесе .

Енді U функциясын табу үшін

 теңдеуін қарастырамыз.

  немесе   

осыдан

.

Сонымен

-берілген теңдеудің жалпы шешімі.

 

15-мысал.

 алғашқы шартын қанағаттандыратын  теңдеуінің дербес шешімін табу керек.

 

Шешімі. Алдымен берілген теңдеудің жалпы шешімі табылады.

 ,         ;

 ,        .

V функциясы    теңдеуінің дербес шешімі ретінде алынады

,    ,   .

U-функциясын табу үшін  теңдеуі қарастырылады.

,   ,

.

Осыдан  теңдеудің жалпы шешімі. Енді берілген алғашқы шартты қанағаттандыратын дербес шешімін табайық. x=4, y=-1  болғандықтан

  ,                  .

Осыдан   .

Берілген дифференциалдық теңдеулердің жалпы шешімдерін табу керек.

61.

62.

63.

64.

65.

66.

67.

68.

69.

70.

 

Алғашқы шарттарын қанағаттандыратын берілген дифференциалдық теңдеулердің дербес шешімдерін табу керек.

 

71.                              

72.                                       

73.                                     

74.                           

 

1.8    Бернулли теңдеуі.

                                                                 (10)

теңдеуі Бернулли теңдеуі деп аталады, мұндағы , .

Бернулли теңдеуі сызықты емес теңдеу.

Ол   ,  

алмастыруы арқылы

сызықты біртекті емес дифференциалдық теңдеуіне айналады. Кейде осы әдісті қолданбай, бірден Лагранж әдісін немесе Бернулли әдісін қолдануға болады.

 

 

16-мысал.

теңдеуінің жалпы шешімін табу керек.

 

Шешуі.   Бұл Бернулли теңдеуі, .

,       

ауыстыруын қолданамыз.

 

Сонда

немесе

.       Бұл теңдеу бір текті емес сызықты теңдеу.

 

Сондықтан    ,                    

немесе .

V функциясы

-теңдеуінің дербес шешімі ретінде алынады.

 .

 немесе  .

U функциясын табу үшін        теңдеуін қарастырамыз

,

осыдан            .

Сондықтан

немесе

.

Яғни    - берілген теңдеудің жалпы шешімі.

 

Берілген дифференциалдық теңдеулердің жалпы шешімдерін табу керек.

75.                     76.

77.                 78.

79.                80.

81.                  82.

 

Алғашқы шартты  қанағаттандыратын берілген дифференциалдық теңдеулердің дербес шешімдерін табу керек.

83.               

84.                  

 

 

2   Жоғары ретті дифференциалдық теңдеулер.

 

2.1 Негізгі түсініктері

                                                                 (1)

түрінде берілген теңдеуді n-ші ретті дифференциалдық теңдеу дейді.

            Осы теңдеудің шешімі деп n рет дифференциалданатын және оны тепе-теңдікке айналдыратын  функциясын айтады, яғни

n-ші ретті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі деп төмендегі шарттарды қанағаттандыратын және бір-бірінен байланыссыз болатын кез келген  тұрақтыларының функциясын айтады:

                                                                        (2)

а) с1, с2, ,...,сn  тұрақтыларының  кез келген сандық мәндерінде (2)-функция теңдеуінің шешімі болады;

б) қандай да болмасын

                               (3)

алғашқы шарттары үшін жалғыз

 мәндері табылады әрі

                                                                     (4)

функциясы берілген теңдеудің шешімі болады.

Жалпы шешімнен алынған (4) шешімін дербес шешім дейді.

(б) алғашқы шартын қанағаттандыратын (1) теңдеуінің дербес шешімін табу есебін Коши есебі дейді.

 

2.2    теңдеуі.  Бұл теңдеудің шешімі n  рет  интегралдау арқылы табылады.

т.с.с.

 

17-мысал.     теңдеуінінң жалпы шешімін табу керек.

Шешуі. Бұл теңдеу екінші ретті дифференциалдық теңдеу.

немесе

  берілген теңдеудің жалпы шешімі.

 

18-мысал.  ,   алғашқы шарттарын қанағаттандыратын  дифференциалдық теңдеуінің дербес шешімін табу керек.

Шешуі. Алдымен берілген теңдеудің жалпы шешімін табу керек.

,

Енді алғашқы шарттарды пайдаланып, с1 және с2 тұрақтыларының сандық мәндерін табайық

,                  ,

Осыдан ,              

немесе

 берілген алғашқы шарттарды қанағаттандыратын теңдеудің дербес шешімі.

 

19-мысал.  теңдеуінің жалпы шешімін табу керек.

Шешуі. Бұл теңдеу үшінші ретті дифференциалдық теңдеу.

,  ,

  берілген теңдеудің жалпы шешімі.

 

Берілген дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін табу керек:

85.

86.

87.

88.

89.

 

Алғашқы шарттарды қанағаттандыратын дифференциалдық теңдеулердің дербес шешімдерін табу керек.

90.                          ,                   

91.                       ,                 

92.                     ,                     ,                  

 

 

2.3   теңдеуі.   Бұл теңдеудің құрамында ізделінді у функциясы жоқ. Теңдеудің ретін төмендету үшін ,  жаңа ауыстыру жасалынады.

Сонда  теңдеуін аламыз. Осы теңдеудің жалпы шешімі  болса, онда берілген теңдеудің  жалпы шешімі

 болады.

 

20-мысал.  теңдеуінің жалпы шешімін табу керек.

Шешуі. Теңдеудің құрамында у жоқ. Олай болса теңдеудің ретін төмендету үшін

,       жаңа ауыстырылу жасалынады. Сонда

  бірінші ретті біртекті емес сызықты теңдеу.

; ,   .

    теңдеуінің шешімі V функциясы ретінде алынады.

;        ;   ;  

енді  функциясын табу үшін  теңдеуін шешеміз.

  немесе   

осыдан

немесе

;    ,

 берілген теңдеудің жалпы шешімі.

 

Берілген дифференциалдық теңдеулердің жалпы шешімдерін табу керек.

93.

94.

95.

96.

97.

Алғашқы шарттарды қанағаттандыратын дифференциалдық теңдеулердің дербес шешімдерін табу керек.

98.                 ,       

99.                         ,       

100.    ,        

 

 

2.4     теңдеуі. Бұл теңдеудің құрамында х айнымалы шама жоқ.

Теңдеудің ретін төмендету үшін

,     

жаңа ауыстырылу жасалынады.

Сонда  теңдеуін аламыз.

Бұл теңдеудің жалпы шешімі   болса, онда берілген теңдеудің жалпы шешімі (интегралы)       болады.

 

21-мысал    теңдеуінің жалпы шешімін табу керек.

Шешуі. Теңдеудің құрамында х жоқ. Олай болса, теңдеудің ретін төмендету үшін                  жаңа  ауыстырылу жасалынады. Сонда

,

  ,                немесе   ;       ;       

;      

 

;         .

Осыдан   берілген  теңдеудің жалпы шешімі.

 

Берілген дифференциалдық теңдеулердің жалпы шешімдерін табу керек.

101.

102.

103.

104.

105.

 

Алғашқы шарттарды қанағаттандыратын дифференциалдық теңдеулердің дербес шешімдерін табу керек.

106.                 ,       

107.              ,        

108.                 ,        

3. Жоғарғы ретті сызықты дифференциалдық теңдеулер

 

3.1 Біртекті сызықты теңдеулер

 

                                                            (1)

теңдеуін n-ші ретті біртекті сызықты дифференциалдық теңдеу деп атайды, мұндағы   қандай да бір (а,в) аралығында берілген үзіліссіз функциялар.

Егер                                                                                        (2)

теңдігі орындалатындай барлығы нөлге тең болмайтын  тұрақтылары табылса, онда  функцияларын сызықты тәуелді дейді. Қарсы жағдайда, яғни (2) теңдігі тек  болғанда ғана орындалса, бұл функциялар сызықты тәуелсіз деп аталады. Екі y1 және y2 функциялары үшін былай айтуға болады: егер y1/ y2=const болса, y1 мен y2 сызықты тәуелді; ал y1/ y2const болса, онда оларды сызықты тәуелсіз дейді.

Мысалы:

а)  - сызықты тәуелсіз;

ә)  - сызықты тәуелді;

б)  - сызықты тәуелсіз;

в)  - сызықты тәуелді;

г)  - сызықты тәуелсіз;

Егер  сызықты тәуелсіз функциялары (1)  теңдеуінің дербес шешімдері болса, онда

функциясы (1) теңдеуінің жалпы шешімі болады.

[а,в] аралығында (n-1)-ші ретке дейінгі туындылары үзіліссіз болатын  функциялары сызықты тәуелсіз болуы үшін осы функциялардың Вронский анықтауышы кез келген нүктеде нөлге тең болмауы жеткілікті, яғни

                       

(1) теңдеуінің дербес n шешімдерінің Вронский анықтауышы

           

формуласымен анықталады.

(а,в) аралығында анықталған және сызықты тәуелсіз болатын (1) теңдеуінің n шешімдерінің жиынтығын осы теңдеудің фундаментальді (іргелі немесе тиянақты)  шешімдер жүйесі дейді.

Екінші ретті біртекті сызықты дифференциалдық теңдеу

                                                                                   (3)

үшін фундаментальді шешімдер жүйесі екі y1(x) пен y2(x) сызықты тәуелсіз шешімдерден тұрады; Егер (3) - теңдеудің  дербес шешімі y1  белгілі болса, онда оның сызықты тәуелсіз дербес шешімі

                                                                             (4)

формуласымен табылады.

22-мысал.  теңдеуінің y1=sinx/x дербес шешімі белгілі. Жалпы шешімін табу керек.

Шешуі.  (4) – формула бойынша

     .

Осыдан жалпы шешімі

    

болады.

 

23-мысал.   функциялары сызықты тәуелді бола ма?

Шешуі.   

           

сондықтан берілген функциялар сызықты тәуелді болады.

 

24-мысал.   y1=sinx және y2=cosx функциялары y″+y=0 теңдеуінің дерес шешімдері. Осы функциялар фундаментальді жүйе құрай ма?

Шешуі.    , яғни олар фундаментальді жүйе құрайды.

 

109.  теңдеуінің y=e3x дербес шешімі. Жалпы шешімін табу керек.

110.  теңдеуінің y=x дербес шешімі. Жалпы шешімін табу керек.

111.  теңдеуінің дербес шешімі. Жалпы шешімін табу керек.

 

Берілген функциялар өздерінің анықталған облыстарында сызықты тәуелді бола ма?

 

112. x+4, 3x+7, 5x+8

113. 2x2+1, x3+1, 4x3

114. ex, e-x, ch x

115. ln 4x, ln 5x, ln6x

116. e2x, e3x, cosx

 

3.2 Коэффициенттері тұрақты біртекті сызықты теңдеулер.

 

y(n)+a1y(n-1)+a2y(n-2)+…+any=0                                                                 (5)

теңдеуін n-ші ретті коэффициенттері тұрақты біртекті сызықты теңдеу дейді, мұндағы

  коэффициенттері тұрақты сандар.

                                                                  (6)

теңдеуін (5) –теңдеудің сипаттама теңдеуі дейді.

(6) теңдеуі дәрежелі теңдеу яғни оның  нақты немесе комплекс түбірлері бар. Сондықтан (5)- теңдеудің жалпы шешімі (6) –сипаттама теңдеуіне байланысты құрылады:

а) әрбір  жәй нақты түбіріне шешім сәйкес келеді;

б) әрбір   еселі  нақты түбіріне  шешімі сәйкес келеді;

в) әрбір  жәй комплекс түбіріне  шешімі сәйкес  келеді;

г) әрбір   еселі  комплекс түбіріне  шешімі сәйкес  келеді;

 

Енді екінші ретті коэффициенттері тұрақты біртекті сызықты дифференциалдық

                                                                           (7)

теңдеуін қарастырайық, мұндағы  тұрақты сандар. Осы теңдеудің сипаттама теңдеуі

.                                                                           (8)

 

Бұл теңдеудің шешімі

формуласымен табылады.

 

Сондықтан (7) теңдеуінің жалпы шешімі былай табылады:

а) ,    болса,

онда ,     -дербес шешімдері,

ал   жалпы шешімі;

б) ,            болса,

онда ,      дербес шешімдері,

ал   жалпы шешімі;

в) ,          ,  ,

мұндағы ,     болса, онда      дербес шешімдері,  ал  жалпы шешімдері.

 

25-мысал.

 теңдеуінің жалпы шешімін табу керек.

Шешуі. Сипаттама теңдеуі

болады, ал оның шешімі

  болғандықтан

          дербес шешімдері болады, олай болса

берілген теңдеудің жалпы шешімі.

 

26-мысал.  теңдеуінің жалпы шешімін табу керек.

Шешуі. Сипаттама теңдеуі

болады, ал оның шешімі (екі еселі түбір), сондықтан   дербес шешімдері болады, олай болса

  берілген теңдеудің жалпы шешімі.

 

27-мысал.  теңдеуінің жалпы шешімін табу керек.

Шешуі. Сипаттама теңдеуі болады, ал оның шешімі .

Олай болса     дербес шешімдері, сондықтан

 берілген теңдеудің жалпы шешімі.

 

28-мысал.  теңдеуінің жалпы шешімін табу керек.

Шешуі. Сипаттама теңдеуі  болады, оның шешімі . Олай болса  дербес шешімдері, ал

 берілген теңдеудің жалпы шешімі.

 

29-мысал.

 теңдеуінің жалпы шешімін табу керек.

Шешуі. Сипаттама теңдеуі  болады, оның шешімі . Олай болса  ,   дербес шешімдері,

ал   берілген теңдеудің жалпы шешімі.

 

30-мысал.  теңдеуінің жалпы шешімін табу керек.

Шешуі. Сипаттама теңдеуі болады, оның шешімі  олай болса  дербес шешімдері, ал   берілген теңдеудің жалпы шешімі.

 

31-мысал.    алғашқы шарттарын қанағаттандыратын  теңдеуінің дербес шешімін табу керек.

Шешуі.   Алдымен  жалпы шешімін табамыз.

Сипаттама теңдеуі , оның шешімі ,  . Олай болса  берілген теңдеудің жалпы шешімі болады. Енді дербес шешімін табу керек. Ол үшін   тауып,

 болғандағы y пен  y′-ң жүйесінен  с1 мен с2-ні анықтаймыз:

     немесе      

Осыдан

  берілген алғашқы шарттарды қанағаттандыратын дербес шешім.

 

32-мысал.

 теңдеуінің жалпы шешімін табу керек.

Шешуі. Сипаттама теңдеуі  болады, оның шешуі ,  . Олай болса   берілген теңдеудің жалпы шешімі.

 

33-мысал.   теңдеуінің жалпы шешімін табу керек.

Шешуі. Сипаттама теңдеуі  болады, оның шешімі  (үш еселі түбір). Олай болса   берілген теңдеудің жалпы шешімі.

 

Берілген дифференциалдық теңдеулердің жалпы шешімдерін табу керек.

 

117.                                   118.

119.                                   120.

121.                                  122.

123.                       124.

125.                      126.

127.                      128.

129.                                   130.

131.                     132.

133.                                134.

135.                                   136.

137.                                 138.

139.                      140.

141.                               142.

143.                  144.

145.                       146.

147.                  148.

 

Алғашқы шарттарды қанағаттандыратын берілген дифференциалдық теңдеулердің дербес шешімдерін табу керек.

 

149.              ,       

150.                        ,        

151.          ,  

152.                   ,       

153.                    ,        

154.                   ,       

155.   ,        ,      

 

 

3.3 Біртекті емес сызықты теңдеулер.

 

                             (9)

теңдеуін -ретті біртекті емес сызықты дифференциалдық теңдеу деп атайды, мұндағы

-қандай да бір   (а,в)   аралығында берілген үзіліссіз функциялар.

Бұл теңдеудің жалпы шешімі осы теңдеудің қандай да бір  дербес шешімі мен  оған сәйкес біртекті сызықты  (1) теңдеуінің жалпы шешімінің қосындысына тең болады:

.

Егер (9) –теңдеуге сәйкес біртекті сызықты (1) теңдеуінің жалпы шешімі белгілі болса,  онда бұл теңдеудің жалпы шешімін табу үшін тұрақтыларды вариациялау (түрлендіру) әдісін қолданамыз:

Егер   (1)-біртекті сызықты теңдеуінің жалпы шешімі болса, онда (5) теңдеуінің жалпы шешімі

түрінде ізделінеді, мұндағы  функциялары

теңдеулер жүйесінің шешуі болады.

 

Екінші ретті біртекті емес сызықты

                                                              (10)

теңдеуі үшін сәйкес теңдеулер жүйесі

болады.

Осы жүйенің шешімі

формуласымен анықталады, мұндағы

 кез келген тұрақтылар.

Осыдан (10)  біртекті емес сызықты теңдеудің жалпы шешімі

.

 

 

34-мысал.  дифференциалдық теңдеуінің жалпы шешімін табу керек.

Шешуі. Сәйкес біртекті сызықты теңдеудің жалпы шешімі     болады (22-мысалға қараңыз).

Олай болса, берілген біртекті емес теңдеудің жалпы шешімі

түрінде ізделінеді.

,                

,                     болғандықтан

онда

,

Осыдан

  берілген теңдеудің жалпы шешуі.

 

Берілген дифференциалдық теңдеулердің жалпы шешімін тұрақтыларды вариациялау әдісімен табу керек.

156.

157.

158.

159.

160.

 

 

3.4 Коэффициенттері тұрақты біртекті емес сызықты теңдеулер.

 

                                                             (11)

теңдеуін n-ші ретті коэффициенттері тұрақты біртекті емес сызықты теңдеу дейді, мұндағы a1, a2,…, an  коэффициенттері тұрақты сандар,   қандай да бір (a, b) аралығында берілген үзіліссіз функция.

(11)  теңдеуінің жалпы шешімін екі әдіспен табуға болады: тұрақтыларды варияциялау әдісі және дербес шешімін таңдап алу әдісі.

Тұрақтыларды вариациялау әдісі алдыңғы тақырыпта көрсетілген. Сондықтан осы тақырыпта дербес шешім таңдап алу (анықталмаған коэффициенттер) әдісі қарастырылады.

(11) – теңдеудің жалпы шешімі   болады, мұндағы , (11) теңдеуіне сәйкес біртекті (5) теңдеуінің жалпы шешімі, ал  (11) теңдеуінің қандай да бір дербес шешімі.

Дербес шешімін таңдап алу әдісі тек төмендегідей жағдайларда ғана қолданылады:

а) , мұндағы  -ші ретті көпмүше.

Егер а саны (6) сипаттама теңдеуінің түбірі болмаса, онда дербес шешім

;

ал егер а саны (6) сипаттама  теңдеуінің к еселі түбірі болса, онда дербес шешім

 түрінде  ізделінеді, мұндағы  коэффициенттері  белгісіз -ші ретті көпмүше;

б) ,

мұндағы   көпмүшелер.

Егер  саны (6)  сипаттама теңдеуінің түбірі болмаса, онда

                        ;

ал егер саны (6)  сипаттама теңдеуінің к еселі түбірі болса, онда

                       

түрінде ізделінеді, мұндағы   коэффициенттері белгісіз -ретті көпмүшелер.

 

35-мысал.  теңдеуінің жалпы шешімін табу керек.

Шешуі:  сипаттама теңдеуінің шешімі ,          .    Яғни

 біртекті теңдеуінің жалпы шешімі

,    ,        болғандықтан

,            ;     сондықтан дербес шешім

 түрінде ізделінеді.

туындыларын есептеп, берілген теңдеуге қойсақ

. Теңдеуді  -  не қысқартып, ықшамдайық

х: 

 

осыдан

,          .

Берілген теңдеудің жалпы шешімі

 

36-мысал.

 теңдеуінің жалпы шешімін табу керек.

Шешуі:

             сипаттама теңдеу, оның шешуі              ,          .    Яғни сәйкес біртекті теңдеудің жалпы шешімі

                        .

,             болғандықтан

,   сондықтан дербес шешім

түрінде ізделінеді.

туындыларын есептеп, берілген теңдеуге қойсақ

Теңдеудің екі жағын  -  не қысқартып, ықшамдайық

немесе

.   Осыдан

     ,        ;

       ,  ;

     ,    .

Яғни

  берілген теңдеудің жалпы шешімі.

 

37-мысал.

теңдеуінің жалпы шешімін табу керек.

Шешуі.   сипаттама теңдеуінің шешімі .   Яғни берілген теңдеуге сәйкес біртекті теңдеудің жалпы шешімі   

            ,      ,     , сондықтан дербес шешім

 

 түрінде ізделінеді.

 ,

туындыларын есептеп\, берілген теңдеуге қойсақ

Теңдеудің екі жағында -не қысқартып, ықшамдасақ

      ,           ;

    ,          .

 

Осыдан

берілген теңдеудің жалпы шешімі.

 

38-мысал.           

 теңдеуінің жалпы шешімін табу керек.

Шешуі.   сипаттама теңдеуі, оның шешімі  .  Яғни берілген теңдеуге сәйкес біртекті теңдеудің жалпы шешімі

.

            ,           ,              ,    ,

, сондықтан дербес шешім  түрінде ізделінеді.

                         

туындыларын есептеп, берілген теңдеуге қойсақ

                  

немесе

       ,           ;

        ,        .

Осыдан

.

           

Біртекті емес сызықты дифференциалдық  теңдеулердің жалпы шешімін табу керек.

161.

162.

163.

164.

165.

166.

167.

168.

169.

170.

171.

172. ,    

173.

174.  

175.

 

Алғашқы шарттарды қанағаттандыратын берілген теңдеулердің шешімін табу керек.

176. ,       ,        .

177. ,      ,        .

178. ,             ,      .

179.            ,           ,        

180.  ,          ,         .

4  Дифференциалдық теңдеулер жүйесі.

 

4.1    Қарапайым дифференциалдық теңдеулер жүйесі.

 

                                                                      (1)

түрінде берілген жүйені қарапайым дифференциалдық теңдеулер жүйесі дейді, мұндағы    тәуелсіз айнымалы х-тің ізделінді функциялары.

Егер (1) жүйесінің оң жағындағы бөліктері -ге  қарағанда сызықты теңдеулер болса, онда  бұл жүйе сызықты дифференциалдық теңдеулер жүйесі деп аталады.

Қарапайым дифференциалдық теңдеулер жүйесін жүйенің  бірінші теңдеуін дифференциалдау және ізделінді функциялардың біреуінен  басқасын жою арқылы бір ізделінді функцияның n-ші ретті дифференциалдық  теңдеуіне келтіруге болады. Бұл әдісті ізделінді функцияларды жою әдісі дейді.

Кейбір жағдайларда жүйенің теңдеулерін түрлендіру (теңдеулерді бір-біріне қосу, алу, көбейту, бөлу) арқылы оның шешуін оңай табуға болады.

 

35-мысал

жүйесінің жалпы шешімін табу керек.

Шешуі. Бірінші теңдеуден  -ті анықтап, оны дифференциалдасақ

,

 

.

Енді пен -ті жүйенің екінші теңдеуіне қойсақ

немесе

.

Бұл теңдеудің жалпы шешімі болады.

.

Яғни

немесе

 

.

 

40-мысал

жүйесінің жалпы шешімін табу керек.

Шешуі.  Алдымен бірінші теңдеуді екінші теңдеуге бөліп одан соң интегралдасақ

;    ;   

Енді бірінші теңдеудің екі жағын 3-ке ал екіншісін  4-ке көбейтіп екеуін қоссақ, онда      

                               

     осыдан    

,                    .

 

Берілген дифференциалдық теңдеулер жүйелерінің жалпы шешімін табу керек.

 

181.                                     182.

183.                                184.             

185.                             186.

187.                                  188.

189.                                   190.

 

 

4.2    Коэффициенттері тұрақты  сызықты  дифференциалдық  теңдеулер жүйесі.

 

                                                                                         (2)

             түрінде берілген жүйені коэффициенттері тұрақты сызықты дифференциалдық теңдеулер жүйесі дейді.

              Осы жүйені  матрицалық дифференциалдық  теңдеу түрінде жазуға болады:

                                                      ,                                                                   (3)

мұндағы

,                        ,                        

 

Жүйенің шешімі

,        

түрінде ізделінеді, мұндағы   .

 мәндерін  (2)  жүйесіне  қойсақ, онда

сызықты алгебралық теңдеулер жүйесі алынады. Осы жүйенің нөлдік емес  шешімі болуы үшін анықтауыш

                                                             (4)

болуы керек.

 

Бұл теңдеу берілген жүйенің сипаттама теңдеуі деп аталады.

       Осы сипаттама  теңдеудің әртүрлі  нақты түбірлері бар болсын. Енді  санына сәйкес

сандарын табамыз. Онда жүйенің n шешімі бар:

 болғанда

            

 болғанда

            

..............................................................................

 болғанда

            

 

Сонымен жүйенің жалпы шешімі

 

 

Сипаттама теңдеулердің түбірлері комплекс сандар немесе еселі түбірлер болған жағдайларды төмендегі мысалдарда қарастырамыз

 

41-мысал

жүйесінің жалпы шешімін табу керек.

Шешуі. Жүйенің сипаттама теңдеуін құрайық

 немесе  ,

шешімі   

Енді берілген  жүйеге сәйкес сызықты алгебралық теңдеулер жүйесін жазайық

 болғанда

немесе 

осыдан

  онда

 

 болғанда  немесе

осыдан     онда

 

 

Сонымен берілген жүйенің жалпы шешімі

,  болады.

 

42-мысал

жүйесінің жалпы шешімін табу керек.

Шешуі.   Сипаттама теңдеуін жазайық

;  

 

Енді берілген жүйеге сәйкес сызықты  алгебралық теңдеулер жүйесін жазайық

Бұл жағдайда (түбірлері комплекс сандар болғанда) тек бір  (немесе ) мәнін қарастырамыз, сонда

немесе         осыдан    ,     .

Яғни

  

Осы функциялардың нақты және  жорамал бөліктерін бөліп алайық

    онда

 ,   

,   .

Осыдан  ,

 

немесе

 

 

 

43-мысал

жүйесінің жалпы шешімін табу керек.

Шешуі.   Сипаттама теңдеуін жазайық

 

   екі еселі түбір.

Бұл жағдайда ізделінді функцияларды жою әдісін қолдану тиімді.

 деп алып жүйенің бірінші теңдеуінен -ті табамыз:

 болса,

онда

.

Яғни

берілген жүйенің жалпы шешімі.

 
    

                                     

 

Берілген коэффициенттері тұрақты сызықты дифференциалдық теңдеулер жүйелерінің жалпы шешімін табу керек:

 

191.                                          192.

193.                                         194.

195.                                             196.

197.                                           198.

199.                    200.                 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Жауаптары

 

1. болады.            2. болады.             3 болмайды.              4. болады.                    5. болады.

6.                                                           7.                          

8.                                                                  9.                                       

10.                                                                 11.     

12.                                                               13.               

14.                                                      15.                  

16.                                                        17.     

18.                                                            19.                        

20.                                                  21.                                                

22.                                                           23.                                        

24.                                                         25.                            

26.                                                                 27.                                              

28.                                                  29.                                      

30.                                          31.                                                

32.                                                  33.                                         

34.                                                            35.                    

36.                                                                       37.                                         

38.                                                     39.                               

40.                                          41.                   

42.                                43.                                   

44.                                      45.                     

46.                                         47.                                   

48.                                                           49.                            

50.                                                           51.                                         

52.                                                         53.                    

54.                                                           55.

56.                                         57.; 

58.;                                         59.;  

60.;                                     61.

62.                                                 63.

64.                                                65.

66.                                                  67.

68.                                         69.

70.                                     71.

72.                                                    73.

74.                                         75.

76.                                                      77.

78.                                                       79.

80.                                                         81.

82.                                                        83.

84.                                                        85.           

86.                                87.

88.                             89.         

90.                                        91.

92.                        93.     

94.                                                   95.

96.                                        97.          

98.                                                                        99.   

100.                                       101.

102.                                                   103.              

104.                                         105.  

106.                                                 107.

108.                                                            109.                       

110.                                               111. 

112. жоқ                     113. иә                114. жоқ                  115. жоқ                     116. иә

117.                                                  118.