ЌАЗАЌСТАН РЕСПУБЛИКАСЫНЫЊ БІЛІМ ЖЄНЕ ЃЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ
Алматы энергетика жєне байланыс институты
М.Ш.Тілепиев,
С.Е.Ералы
ЌАТАРЛАР ТЕОРИЯСЫНЫЊ
ЭЛЕМЕНТТЕРІ
Оќу ќ±ралы
Алматы 2005
ББК 22.1 я 7
Т 93
Т 93 Тілепиев М.Ш, Ералы С.Е.
Ќатарлар теориясыныњ элементтері: Оќу ќ±ралы.- Алматы: АЭжБИ, 2005-53 бет.
Бұл
оќу ќ±ралы техникалыќ
жоѓары оќу орындарыныњ баѓдарламасына сєйкес жазылѓан. М±нда ќатарлар
теориясыныњ негізгі аныќтамалары жєне ќасиеттерін терењ т‰сіну ‰шін, тањдалып
алынѓан мысалдар ќарастырылѓан жєне єрбір параграфтыњ соњында есептер берілген.
Сондыќтан б±л оќулыќты есептер жинаѓы ретінде пайдалануѓа болады.
Осы оќу ќ±ралыныњ техникалыќ жоѓары оќу орындарыныњ
студенттерімен ќатар орта мектептіњ жоѓары сыныптарында факультативтік курс
ж‰ргізетін математика пєнініњ м±ѓалімдері де пайдалана алады.
ББК 22.1 я 7
ПІКІР БЕРУШІЛЕР: аль-Фараби
атындаѓы Ќазаќ ¦лттыќ
университетініњ «Есептеу математика»
кафелрасыныњ профессоры, физ.-мат.
ғылым. докторы Н.Т.Данаев
Алматы
энергетика жєне байланыс институтыныњ жоѓары математика кафедрасыныњ доценті,
физ.-мат.
ѓылым. кандидаты ‡.Ќ.Ќойлышов
Ќазаќстан
Республикасыныњ Білім жєне Ѓылым министрлігі
2005 жылѓы баспа жоспары бойынша басылады.
Т
ISBN 9965 – 494 – 98 – 3 © Алматы энергетика және
байланыс институты, 2005
Кіріспе
Кµптеген есептерде функцияныњ
мєні мен интегралдарды есептеуге немесе дифференциалдыќ тењдеулерді шешуге
келіп тоќтайды. Біраќ кµп жаѓдайларда аналитикалыќ тєсілдермен есептердіњ
шешімін дєл есептеу м‰мкін емес. Сондыќтан да б±л жаѓдайда оныњ жуыќ шешімін
есептеуге тура келеді. Функциялардыњ мєндерініњ, интегралдыњ, дифференциалдыќ
тењдеулердіњ жуыќ шешімдерін есептеу ‰шін ќатарлар теориясыныњ мањызы µте зор.
Б±л оќу ќ±ралында ќатарлар
теориясыныњ негізгі аныќтамалары мен ќасиеттерін жете т‰сіну ‰шін кµптеген
мысалдар ќарастырылѓан. Єрбір параграфтыњ соњында есептер беріліп, оќулыќтыњ
соњында б±л есептердіњ жауаптары келтірілген. Сондыќтан б±л оќулыќты есептер
жинаѓы ретінде пайдалануѓа болады.
1
Сан ќатары
өрнегін сан қатары деп атайды.
Мұндағы
Жалпы мүшесі арқылы сан қатарын
қысқаша
1-мысал.
Шешуі:
2-мысал.
Шешуі:
3-мысал.
Шешуі: Алымында 1, 3, 5,… сандарынан тұратын тізбек
арифметикалық прогрессия құрайды, оның n-ші мүшесін
Бөліміндегі 2, 22,
23,… сандары геометриялық прогрессия құрайды,
оның n-ші мүшесі
4-мысал.
Шешуі: Әрбір мүшесінің дәрежесі
мүшесінің нөмірімен сәйкес келеді. Сондықтан n-ші мүшесінің дәрежесі n-ге тең болады.
5-мысал.
Шешуі:
болады.
(1.1)
-қатардың
алғашқы мүшелерінің қосындыларын
қарастырайық.
қосындысын алғашқы n мүшелерінің қосындысы деп
атайды.
Егер сан қатарының
алғашқы мүшелерінің қосындылар тізбегінің
шегі бар болса, яғни
онда
осы шекті сан қатарының қосындысы, ал қатардың
өзін жинақты қатар деп атайды.
Егер
(1.3) шегі болмаса, онда берілген сан қатарын жинақсыз дейміз,
ондай қатардың қосындысы жоқ.
6-мысал. Мүшелері геометриялық прогрессия
болатын
Шешуі: Мектеп баѓдарламасынан белгілі:
Ал егер
Егер
Егер
Бұл
жағдайда қатардыњ қосындысы анықталмаған,
яғни қатар жинақсыз.
Сонымен мынадай қортынды жасауға болады:
Егер
7-мысал.
Шешуі: ќатардың жалпы мүшесін
олай болса
8-мысал.
Шешуі: Берілген қатар шексіз кемімелі
геометриялық прогрессияның мүшелерінен
құралған. Олай болса, қатар жинақты. Оның
қосындысын табайық, мұнда
Сан ќатарыныњ негізгі теоремаларын ќарастырайыќ:
а) егер
қатары да жинақты болады. Керісінше
алғашқы
(1.4) - қатарды берілген қатардың
є) егер
б) егер
9-мысал.
Шешуі: ќатардың жалпы мүшесін
олай болса
Көп жағдайларда қатардың
алғашқы n мүшелерінің
қосындысы арқылы оның жинақты немесе жинақсыз
болуын тексеру өте қиын немесе к‰рделі есептеуді ќажет етеді.
Сондықтан қатардың жинақты немесе жинақсыз болуын
білу үшін жинақтылық белгісін қолданған
жөн.
Қатардың
жинақтылығының қажетті белгісі.
Егер
Ал егер
10-мысал.
Шешуі:
Осыдан ќатардың
жинақтылығының қажетті белгісі
орындалмағандықтан, қатарды жинақсыз дейміз.
11-мысал.
Шешуі:
,
онда
қатар жинақсыз болады.
12-мысал.
Шешуі:
яѓни
Осыдан қатардың
жинақтылығының қажетті белгісі орындалғанымен,
оның жинақтылығы немесе жинақсыздығы белгісіз болатындыѓын
байќаймыз. Сондықтан қатардың жинақтылығын
зерттеу үшін жеткілікті белгісін қарастыруымыз керек.
Қатардың
жинақтылығының жеткілікті белгілері
а) бірінші салыстыру белгісі
және
қатарлары берілсін және
Егер
(1.7) -қатар жинақты болса, онда (1.6) -қатар да
жинақты болады.
Егер
(1.6) қатар жинақсыз болса, онда (1.7) - қатар да
жинақсыз болады.
13-мысал.
Шешуі.
Енді
є)
екінші салыстыру белгісі.
Егер
ақырлы шегі бар болса, онда
14-мысал. Жалпы мүшесі
Шешуі: Берілген
қатарды жалпы мүшесі
Яѓни берілген қатар жинақты болады.
б) даламбер белгісі. Мүшелері оң болатын
қатары үшін
болса, онда:
1)
2)
3)
да
болуы мүмкін.
15-мысал.
Шешуі:
16-мысал.
Шешуі:
17-мысал.
Шешуі:
в) коши белгісі. Мүшелері оң болатын
болса, онда:
1)
2)
3)
да болуы мүмкін.
18-мысал.
Шешуі:
19-мысал.
Шешуі:
;
мұндағы
, яѓни қатар жинақты.
20-мысал.
Шешуі:
г) кошидің
интегралдық белгісі.
Мүшелері оң және өспейтін
Егер
Егер
21-мысал.
Дирихле қатарының жинақтылығын
зерттеу керек.
Шешуі:
Енді жеткілікті белгісін қарастырайыќ. Даламбер
белгісін қолданайық
осыдан Даламбер белгісінің көмегімен қатардың
жинақтылығын зерттеу мүмкін еместігін көруге болады.
Сол сияқты Коши белгісінің көмегімен тексерсек
болады, яѓни б±л жаѓдайда да ќатардыњ жинаќтылыѓы туралы ешнєрсе айтуѓа
болмайды. Енді Кошидің интегралдық белгісін қолданайық.
Ол үшін
Осыдан, егер
ал егер
Сонымен мынадай қортындыға келуге болады. егер
22-мысал.
Шешуі:
Қатардың жалпы мүшесінің алымының дәрежесі
төртке, ал бөлімінің дәрежесі беске тең. Алымы
мен бөлімінің дәрежелерінің айырмасы бірге тең.
Сондықтан, берілген қатарға екінші салыстыру белгісін
қолданып,
гармоникалыќ
қатарымен салыстырамыз.
23-мысал.
Шешуі:
Қатардың жалпы мүшесінің алымының дәрежесі
бірге, бөлімінің дәрежесі үшке тең, олай болса
айырмасы екіге тең болады. Сондықтан
жинақты қатарымен салыстыра отырып, берілген
қатардың жинақты
екендігін көреміз.
24-мысал.
Шешуі:
Ауыспалы тањбалы қатар. Лейбниц
белгісі
Ќатар тұрған
мүшелерінің таңбалары әртүрлі болатын
қатарларды ауыспалы тањбалы қатар дейміз.
Егер
бірінші мүшесі оң болса, онда ондай қатарларды
деп жазамыз, мұндағы
Лейбниц белгісі. Егер (1.11) -қатардың мүшелерінің абсолюттік
мәндері кемімелі (яғни
Ќатардың қосындысын
қатардыњ n-ші қалдыѓы деп аталады.
Осы ќалдыќтыњ да тањбалары ауыспалы қатар болғандықтан,
Лейбниц белгісін қолдануға болады, олай болса
25-мысал.
Шешуі:
Осыдан
Енді таңбалары айнымалы
қатардың кейбір қасиеттеріне тоқталайық.
Таңбалары айнымалы
ќатары және осы қатардың мүшелерінің
абсолютті мәні бойынша алынған
қатары
берілсін.
Егер (1.14) -қатары
жинақты болса, онда (1.13) -қатары да жинақты болады.
Бұл жағдайда (1.13) - қатарды абсолютті жинақты
қатар дейді.
Бірақ, керісінше, (1.13)
-қатары жинақты болғанымен, (1.14) -қатары
жинақсыз болуы да м‰мкін.
Егер (1.13) -қатары
жинақты, ал (1.14) -қатары жинақсыз болса, онда (1.13)-
қатары шартты жинақты деп
аталады.
Егер қосындылары сәйкес S және
26-мысал.
Шешуі: Берілген қатардың
мүшелерінің абсолют мәні арқылы алынған
қатарды қарастырамыз:
27-мысал.
Шешуі:
Мүшелерінің абсолютті мәні бойынша құрылған
Олай
болса, берілген қатар абсолют жинақты болып табылады.
28-мысал.
Шешуі:
Лейбниц белгісін қолданайық
олай болса,
қатар жинақты.
Енді мүшелерінің абсолют
мәні арқылы алынған
қатарын
қарастырайық. Бұл қатар гармоникалық қатар,
ал ол жинақсыз болѓандыќтан берілген қатар шартты жинақты болады.
29-мысал. Абсолют жинақты
Шешуі: Қатарлардың көбейтіндісі
де қатар болады.
Мүшелері комплекс сан болатын
қатарлар
Жалпы мүшесі
ќатары мүшелері нақты сан болатын
Егер
30-мысал.
Шешуі:
Осыдан
Қатардың
алғашқы бес мүшесін жазу керек:
1. |
|
2. |
|
3. |
|
4. |
|
5. |
|
6. |
|
7. |
|
8. |
|
Қатардың
жалпы мүшесін жазу керек.
9. |
|
10. |
|
11. |
|
12. |
|
13. |
|
14. |
|
15. |
|
16. |
|
Қатарлардың
жинақтылығын зерттеу керек.
17. |
|
18. |
|
19. |
|
20. |
|
||||
21. |
|
22. |
|
23. |
|
24. |
|
||||
25. |
|
26. |
|
27. |
|
28. |
|
||||
29. |
|
30. |
|
||||||||
31. |
|
32. |
|
||||||||
|
|||||||||||
33. |
|
34. |
|
35. |
|
||||||
36. |
|
37. |
|
38. |
|
||||||
|
|||||||||||
39. |
|
40. |
|
||||||||
41. |
|
42. |
|
||||||||
43. |
|
44. |
|
||||||||
45. |
|
46. |
|
||||||||
47. |
|
48. |
|
||||||||
49. |
|
50. |
|
||||||||
51. |
|
52. |
|
||||||||
53. |
|
54. |
|
55. |
|
56. |
|
57. |
|
58. |
|
59. |
|
60. |
|
61. |
|
62. |
|
63. |
|
64. |
|
65. |
|
66. |
|
67. |
|
68.
Егер
а)
є)
Ауыспалы таңбалы
қатардың жинақтылығын зерттеңіз. Жинақты
болған жағдайда, оның абсолютті немесе шартты жинақты
болатындығын зерттеу керек.
69. |
|
70. |
|
71. |
|
72. |
|
73. |
|
74. |
|
75. |
|
76. |
|
77. |
|
78. |
|
79. |
|
80. |
|
Мүшелері комплекс сан болатын
қатардың жинақтылығын зерттеу керек.
81. |
|
82. |
|
83. |
|
84. |
|
85-мысал. Абсолютті жинақты
86-мысал. Абсолютті
жинақты
Қатарларды
87. |
|
88. |
|
89. |
|
90. |
|
2 Функционалдыќ ќатарлар
Мүшелері
нақты х айнымалысыныњ
функциясы болатын
қатарын функционалдық қатар дейді.
Егер функционалдық
қатар Х жиынының әрбір х
мєнінде жинаќты болса, онда осы ќатар Х жиынында жинақты болады.
Егер (2.1) -қатары
Х жиынында жинақты болса, онда оның қосындысы осы облыста
анықталған функция болады.
Алғашқы
n мүшелерінің қосындысы
Егер
Егер (2.1)-қатары үшін Х облысында
Вейерштрасс белгісі. Егер (2.1) - функционалдық қатары Х
облысында мажорантты болса, онда ол Х жиынында бірқалыпты
жинақты болады.
Х жиынында мажорантты болатын
функционалдыќ ќатардыњ ќосындысы ‰зіліссіз функция болады.
Егер мүшелері үзіліссіз функция болатын
1-мысал.
Шешуі: х >1 болса, онда қатар жинақты,
ал
болса, онда
қатар жинақсыз болады (Дирихле қатарын қара).
2-мысал.
Шешуі:
қажетті белгісі
орындалады.
болсын. Жалпы
мүшесі
болатын
гармоникалық (жинақсыз) қатарын қарастырсақ,
онда
. Олай болса, екінші
салыстырмалы белгі бойынша берілген қатар жинақсыз.
Егер
3-мысал.
Шешуі: Берілген қатар көрсетілген интервалда
жинақты болады.
Сонымен, қатар бірқалыпты емес жинақты болады.
4-мысал.
Шешуі:
Дәрежелік
қатар.
түрінде берілген функционалдық қатар дәрежелік
қатар деп аталады. Мұндағы
Абель теоремасы. 1. Егер дәрежелік қатар
2. Егер дәрежелік қатар
Абель теоремасынан
мынадай тұжырым жасауға болады:
Кез келген дәрежелік қатардыњ жинақты
облысы ретінде
Егер
Егер
Дәрежелік қатардың жинақты
радиусы
Егер ќатар
Егер
Жинақты
интервалында дәрежелік қатарды кез келген рет мүшелеп
дифференциалдауѓа және интегралдауѓа болады.
5-мысал.
Шешуі:
яғни
Сонымен, жауабы
6-мысал.
Шешуі:
х =1 болсын.
олай болса, қатар жинақты.
Енді х=-1 мәнінде қатардың жинақтылығын
зерттейік:
7-мысал.
Шешуі:
8-мысал.
Шешуі:
9-мысал.
Шешуі:
10-мысал.
Шешуі:
Сондыќтан жауабы
11-мысал.
Шешуі:
Олай болса,
12-мысал.
Шешуі:
Сондықтан жауабы
13-мысал.
Шешуі: Шексіз кемімелі геометриялық
прогрессияның қосындысының формуласын
Енді дифференциалдасақ, онда
14-мысал.
Шешуі:
Берілген қатарды дифференциалдаѓанда пайда болѓан ќатар шексіз кемімелі
геометриялыќ прогрессия болѓандыќтан,
болады.
Мұндағы
. Енді 0-ден х
аралығында
интегралдасақ, онда
.
15-мысал.
керек.
Шешуі:
облысы
Функционалдық қатарлардың
жинақты облысын табу керек
91. |
|
92. |
|
93. |
|
94. |
|
95. |
|
96. |
|
97. |
|
98. |
|
Берілген аралықта
функционалдық қатардың бірқалыпты
жинақтылығын дәлелдеу керек
99. |
|
100. |
|
101. |
|
102. |
|
Дәрежелік
қатардың жинақты облысын табу керек
103. |
|
104. |
|
105. |
|
106. |
|
107. |
|
108. |
|
109. |
|
110. |
|
111. |
|
112. |
|
113. |
|
114. |
|
115. |
|
116. |
|
117. |
|
118. |
|
119. |
|
120. |
|
121. |
|
122. |
|
123. |
|
124. |
|
125. |
|
126. |
|
Қатардың қосындысын
табу керек
127. |
|
128. |
|
129. |
|
130. |
|
131. |
|
132. |
|
Қатардың жинақты
облысын табу керек
133. |
|
134. |
|
135. |
|
136. |
|
3
Тейлор және Маклорен қатарлары
мұндағы
Егер
қатары Тейлор қатары деп аталады.
Егер
т‰рінде жазылады.
Егер
1. |
|
2. |
|
3. |
|
4. |
|
5. |
|
6. |
|
Соңғы
жіктеуде:
Дербес
жағдайда:
а) |
є)
|
б)
|
7.
1
- мысал.
Шешуі: Берілген функцияның және
оның туындыларының
Енді
функцияны Маклорен қатарына жіктейік.
Бұл функцияны
Маклорен ќатарына жіктеу ‰шін белгілі
2
- мысал.
Шешуі:
3
- мысал.
Шешуі:
4
- мысал.
Шешуі:
Бұл
қатар
5
- мысал.
Шешуі:
6
- мысал.
Шешуі:
яѓни
7 - мысал.
Шешуі:
Осыдан
Егер
8
- мысал.
Шешуі:
Енді
Онда
Көп
жағдайларда дифференциалдық теңдеулердің т‰бірлерін,
функциялардың мәндерін, шектерін және анықталған
интегралдарды есептеулерде олардыњ аналитикалыќ шешімдерін табу м‰мкін емес.
Сондықтан бұл жағдайларда олардыњ шешімдерін Тейлор
қатарыныњ кµмегімен кез келген дєлдікпен жуыќтап есептеуге болады.
Бізге
бірінші ретті
мұндағы
9
- мысал.
Шешуі:
Жуыќтап
есептеулерде
формуласын
пайдаланған тиімді.
10 - мысал. е санын 0,0001 дәлдікпен
есептеу керек.
Шешуі: ех функциясының жіктелуін
қолданамыз. Онда
Егер
Егер
яѓни
11 - мысал.
Шешуі:
Бұл жағдайда екі мүшесін алу керек себебі
12 - мысал.
Шешуі: 528
санына жақын бүтін санның кубы
Төртінші мүше 0,0001-санынан кіші
болғандықтан алѓашќы ‰ш м‰шелерініњ ќосындысын аламыз,
сондыќтан
13 - мысал.
Шешуі:
14 - мысал.
Шешуі:
Үшінші мүшесі 0,001 санынан кіші
болғандықтан, алғашқы екі мүшесін алсақ
жеткілікті
Келесі функцияларды х-тіњ дәрежесі бойынша қатарға
жіктеу керек.
137. |
|
138. |
|
139. |
|
140. |
|
141. |
|
142. |
|
143. |
|
144. |
|
145. |
|
146. |
|
147. |
|
148. |
|
Келесі функцияларды
149. |
|
150. |
|
151. |
|
152. |
|
153.
154.
155.
156.
Тейлор
қатарының кµмегімен тµмендегі дифференциалдық
теңдеулердің шешімін табу керек:
157.
158.
159.
160.
Келесі
сандарды 0,0001 дәлдікпен есептеу керек.
161. |
|
162. |
|
163. |
|
164. |
|
165. |
|
166. |
|
167. |
|
168. |
|
169. |
|
170. |
|
|
|
|
|
171. х - тің
қандай мәндерінде
172. х - тің
қандай мәндерінде
Төмендегі шектерді Тейлор қатарының көмегімен
есептеу керек.
173. |
|
174. |
|
175. |
|
176. |
|
Тейлор қатарының көмегімен төмендегі
анықталған интегралдарды
177. |
|
178. |
|
179. |
|
180. |
|
181. |
|
182. |
|
183. |
|
184. |
|
4 Фурье қатары
қатарын айтады, мұндағы
- Фурье ќатарыныњ
коэффициенттері деп аталады.
Егер (4.1) -қатары
жинақты болса, онда оның
қосындысы
Дирихле теоремасы:
Ескерту. Интеграл есептеу
кезінде, оның мынадай қасиеттерін пайдалану керек:
Егер
Егер
Сонымен қатар
1 - мысал.
Шешуі: Фурье
қатарының коэффициенттерін табайық.
Олай болса
2 - мысал.
Егер
Егер
Ал егер
3 - мысал.
Шешуі: Жұп
функция болғандықтан,
Осыдан
Периоды
формулаларымен табылады.
4 - мысал.
Шешуі: Бұл
жағдайда
Осыдан
Егер периоды
мұндағы
Егер
Егер
5 - мысал.
Шешуі:
Осыдан
Егер
Егер
Егер
6 - мысал.
а)
є)
б)
Шешуі: а)
Осыдан
є)
Олай болса
б)
болса, Фурье қатарына "косинус" бойынша жіктейміз.
Бұл жағдайда
Егер
Егер
Фурье
интегралы комплекстік түрде
деп жазуға болады.
Жұп функция үшін Фурье интегралы
ал тақ функция үшін
Соңғы үш формулаларынан Фурье түрлендірулерін
алуға болады:
а) Фурье түрлендіруінің жалпы түрі.
є) Фурье косинус-түрлендіруі (жұп
функциялар үшін)
б) Фурье
синус-түрлендіруі (тақ функциялар үшін)
7 - мысал.
Шешуі:
8 - мысал.
Шешуі:
Бұл
жағдайда
Осы сияқты
Керісінше
осыдан
Берілген интегралда функцияларды Фурье
қатарына жіктеу керек.
185. |
|
186. |
|
187. |
|
188. |
|
189.
а)
190.
а)
191. |
|
192. |
|
193. |
|
194. |
|
195. |
|
196. |
|
197. |
|
198. |
|
199. |
|
200. |
|
201. |
|
202. |
|
203.
а) синус бойынша; є)
косинус бойынша.
204.
а) синус
бойынша; є) косинус
бойынша.
205.
206.
207.
208.
209.
ЖАУАПТАРЫ
1. |
|
2. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. |
|
4. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
|
6. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
7. |
|
8. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9. |
|
10. |
|
11. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
12. |
|
13. |
|
14. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
15. |
|
16. |
|
17. |
Жинақты. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
18. |
Жинақты. |
19. |
Жинақсыз. |
20. |
Жинақсыз. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
21. |
Жинақты. |
22. |
Жинақты. |
23. |
Жинақты. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
24. |
Жинақты. |
25. |
Жинақты. |
26. |
Жинақты. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
27. |
Жинақты. |
28. |
Жинақты. |
29. |
Жинақсыз. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
30. |
Жинақсыз. |
31. |
Жинақсыз. |
32. |
Жинақсыз. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
33. |
Жинақты. |
34. |
Жинақты. |
35. |
Жинақты. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
36. |
Жинақты. |
37. |
Жинақты. |
38. |
Жинақты. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
39. |
Жинақты. |
40. |
Жинақты. |
41. |
Жинақты. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
42. |
Жинақты. |
43. |
Жинақты. |
44. |
Жинақты. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
45. |
Жинақты. |
46. |
Жинақты. |
47. |
Жинақсыз. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
48. |
Жинақты. |
49. |
Жинақты. |
50. |
Жинақты. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
51. |
Жинақты. |
52. |
Жинақты. |
53. |
Жинақсыз. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
54. |
Жинақты. |
55. |
Жинақсыз. |
56. |
Жинақсыз. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
57. |
Жинақты. |
58. |
Жинақты. |
59. |
Жинақты. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
60. |
Жинақсыз. |
61. |
Жинақты. |
62. |
Жинақсыз. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
63. |
Жинақты. |
64. |
Жинақты. |
65. |
Жинақсыз. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
66. |
Жинақты. |
67. |
Жинақты. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
68. |
Ескерту. Кошидің интегралдық белгісін пайдаланған
жөн. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
69. |
Шартты жинақты. |
70. |
Жинақсыз. |
71. |
Шартты жинақты. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
72. |
Абсолют жинақты. |
73. |
Абсолют жинақты. |
74. |
Шартты жинақты. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
75. |
Жинақсыз. |
76. |
Шартты жинақты. |
77. |
Абсолют жинақты. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
78. |
Шартты жинақты. |
79. |
Абсолют жинақты. |
80. |
Абсолют жинақты. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
81. |
Жинақсыз. |
82. |
Шартты жинақты. |
83. |
Абсолют жинақты. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
84. |
Абсолют жинақты. |
85. |
|
86. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
87. |
0,632 |
88. |
0,841 |
89. |
0,459 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
90. |
0,645 |
91. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
92. |
|
93. |
|
94. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
95. |
|
96. |
|
97. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
98. |
|
103. |
|
104. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
105. |
|
106. |
|
107. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
108. |
|
109. |
|
110. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
111. |
|
112. |
|
113. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
114. |
|
115. |
|
116. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
117. |
|
118. |
|
119. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
120. |
|
121. |
|
122. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
123. |
|
124. |
|
125. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
126. |
|
127. |
|
128. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
129. |
|
130. |
|
131. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
132. |
|
133. |
|
134. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
135. |
|
136. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
137. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
138. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
139. |
|
140. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
141. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
142. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
143. |
|
144. |
|
145. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
146. |
|
147. |
|
148. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
149. |
|
150. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
151. |
|
152. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
153. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
154. |
|
155. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
156. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
157. |
|
158. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
159. |
|
160. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
161. |
0,9511 |
162. |
1,6487 |
163. |
0,1973 |
164. |
0,6931 |
||||||||||||||||||||||||||||||
165. |
1,6094 |
166. |
1,6487 |
167. |
3,0801 |
168. |
5,0666 |
||||||||||||||||||||||||||||||
169. |
0,6065 |
170. |
0,0392 |
171. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
172. |
|
173. |
|
174. |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
175. |
|
176. |
|
177. |
0,7468 |
178. |
0,94608 |
||||||||||||||||||||||||||||||
179. |
0,4931 |
180. |
0,487 |
181. |
0,071 |
182. |
0,2505 |
||||||||||||||||||||||||||||||
183. |
0,102 |
184. |
0,2483 |
185. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
186. |
|
187. |
|
188. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
189. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
190. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
191. |
|
192. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
193. |
|
194. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
195. |
|
196. |
|
197. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
198. |
|
199. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
200. |
|
201. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
202. |
|
203. |
а) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
є) |
204. |
а) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
205. |
|
206. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
207. |
|
208. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
209. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Әдебиеттер
тізімі
1. Пискунов
Н.С. Дифференциальное и интегральное
вычисления.
-т.2, Наука, 1978.
2. Бармант
А.Ф.6 Араманович И.Т. Краткий курс
математического
анализа. Наука, 1974.
3. Фролов
Н.А. Курс математического анализа.
Просвещение,
1964.
4. Бугров
Я.С., Никольский С.М. Высшая математика.
Дифференциальные
уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. Наука,
1981.
5. Данко
П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая
математика в упражнениях и задачах: в 11ч-М.: Высш.шк.,
1980.
Мазмұны
Кіріспе
………………………………………………………………………..3
1 Сан ќатары.…………………….………………………………………….4
2 Функционалдыќ ќатарлар
…………………………………..…………..21
3 Тейлор жєне Маклорен ќатары…………………………………………29
4 Фурье ќатары………………...…………………………………………..38
Жауаптары
………………………………………………………………….47
Әдебиеттер
тізімі……………………………………………………………51
М±рат Шапен±лы Тілепиев
Сайлаубек Ералы±лы Ералы
ЌАТАРЛАР
ТЕОРИЯСЫНЫЊ ЭЛЕМЕНТТЕРІ
Оќу ќ±ралы
Редакторы Ж.А. Байбураева
2005ж. жин. таќ. жоспары, реті __6__
Теруге берілген
к‰ні ____________
Пішімі 60х84 1/16
Типография ќаѓазы
№2
Оќу-баспа
таб.-3,3. Таралымы дана. Тапсырыс
__ Бағасы 106 тг
Басуѓа ќол ќойылды.
Алматы энергетика және байланыс институтының
кµшірмелі-кµбейткіш бюросы
480013 Алматы, А. Байтұрсынұлы көшесі,
126 үй.