АЛМАТЫ ЭНЕРГЕТИКА ЖӘНЕ БАЙЛАНЫС ИНСТИТУТЫ

ЖОҒАРЫ  МАТЕМАТИКА КАФЕДРАСЫ

 

Алгебра және геометрия.

 

050704 – Есептеу техникасы және бағдарламалық қамтамасыз

ету мамандығы бойынша оқитын күндізгі бөлім студенттері  үшін

есептеу-графикалық жұмыстарды орындауға

арналған әдістемелік нұсқаулар мен тапсырмалар

Алматы 2007

 

            ҚҰРАСТЫРУШЫЛАР: Л.Н. Астраханцева, Л.Н.Ким,  М.Ж.Байсалова. Алгебра және геометрия. 050704 – Есептеу техникасы және  бағдарла- малық қамтамасыз ету мамандығы бойынша оқитын күндізгі бөлім

          студенттері үшін есептеу-графикалық жұмыстарды  орындауға арналған әдістемелік нұсқаулар мен тапсырмалар - Алматы:  АЭжБИ, 2007.-  26 б.

 

          «Есептеу техникасы және бағдарламалық қамтамасыз ету» мамандығы бойынша оқитын күндізгі бөлім студенттеріне арналған есептеу-графикалық жұмыстарды орындауға арналған әдістемелік нұсқаулар мен тапсырмалар «Алгебра және геометрия»  пәнінің №3 типтік есептеулерден тұрады. Бағдарламаның теориялық сұрақтары енгізілген. Типтік варианттың шешімі келтірілген.

         Без. 7, кесте 8, әдеб. көрсеткіші – 4 атау.

 

Пікір беруші: физ.-мат.ғыл. канд., проф. С.Е.Базарбаева.

 

“Алматы энергетика және байланыс институтының” Коммерциялық емес акционерлік қоғамының  2007  баспа жоспары бойынша басылады.

 

ã “Алматы  энергетика және байланыс институтының” КЕАҚ, 2007 ж.

  

 

         1 Есептік-графикалық жұмыс 3. Аналитикалық геометрия, квадраттық формалар

         1.1 Теориялық  сұрақтар

         1 Жазықтықтағы түзу. Жазықтықтағы түзудің әртүрлі түрлері.

         2 Түзулер арасындағы бұрыш. Түзулердің параллельдік және перпендикулярлық шарттары. Нүктеден түзуге дейінгі ара қашықтық.

         3 Жазықтықтың әртүрлі теңдеулері. Жазықтықтар арасындағы бұрыш.

         4 Кеңістіктегі түзудің әртүрлі түрлері.  Кеңістіктегі түзулер арасындағы бұрыш, түзу мен жазықтық арасындағы бұрыш.

         5 Екінші ретті қисықтар. Шеңбер, эллипс, гипербола, парабола.

         6 Екінші ретті беттер.

         7 Квадраттық формалар. Квадраттық формаларды  канондық түрге келтіру.

         8 Екінші ретті қисық теңдеуін  канондық түрге келтіру. Квадраттық формаларды  екінші ретті беттердің теңдеуін  қысқартуға қолдану.

1.2 Есептік тапсырмалар

1  Жазықтықта А және А нүктелері мен  L түзуінің теңдеуі берілген:

а) осы нүктелер арқылы өтетін  L түзуінің теңдеуін жазу керек;

б) L түзуінің теңдеуін келесі түрде жазу керек: 1) y=kx+m;

2) Ax+By+C=0; 3) x/a+y/b=1; 4) y-y=k(x-x). Сызбасын салып, онда k, m, A, B, a, b, x, y геометриялық мағынасын көрсету керек;

в) Lжәне L түзулерінің арасындағы бұрышты табу керек

 

1 к е с т е

варианттың №  және 1 үшін тапсырма

варианттың №  және 1 үшін тапсырма

1.1   А(3, 1), А(2, -3), L: x-5y+4=0

1.2  А(-4, 1), А(6, 2), L: 2x-3y-1=0

1.3   А(-4, 7), А(2, -1), L:3x-5y+2=0

1.4   А(5, 1), А(-4, 2),L:  x-3y-1=0

1.5   А(2, 1), А(6, -3), L: 4x-5y+1=0

1.6   А(8, 3), А(-1, 2), L: 2x+2y-9=0

1.7   А(-1, 7), А(3, -1), L:3x-4y+2=0

1.8   А(-2, 1), А(-7, 2), L: 8x-3y-1=0

1.9   А(6, 1), А(5, -3),  L: x-7y+4=0

1.10  А(-4, 2), А(6, 1), L: 2x-3y-6=0

1.11  А(-4, 3), А(2, -2), L:3x-y+2=0

1.12  А(7, 1), А(-4, 3), L: x-y-1=0

1.13  А(-9, 1), А(1, -3), L:x-5y+1=0

1.14  А(8, 1), А(-1, 5), L: 2x+y-9=0

1.15  А(5, 7), А(3, -1), L:3x-5y+2=0

1.16  А(-2, 7), А(-7, 4), L: 7x-3y-1=0

1.17  А(5, 1), А(7, -3), L: x-7y+5=0

1.18  А(-4, 8), А(2, 1), L: 2x-4y-6=0

1 кестенің жалғасы

1.19  А(-4, 4), А(9, -2), L: x-y+2=0

1.20  А(7, 6), А(-4, 1), L: 5x-y-1=0

1.21  А(-8, 1),А(1, -7),L:2x-5y+1=0

1.22  А(3, 1), А(-1, 7), L:2x+4y-9=0

1.23  А(5, 1), А(6, -1), L: x-5y+2=0

1.24  А(-2, 8), А(-1, 4), L: 7x-y-1=0

1.25  А(-4, 2), А(9, -2), L: 9x-y+2=0

1.26  А(2, 6), А(-2, 1), L: 5x-y-8=0

1.27 А(-6, 1),А(1, -9), L: 2x-5y+4=0

1.28  А(11, 1), А(-1, 5), L: x+4y-9=0

1.29  А(3, 1), А(1, -1), L: x-5y+8=0

1.30  А(-1, 8), А(-1, 5), L: 7x-2y-1=0

 

2   А,А,А нүктелері және  Р жазықтығы берілген:

а) А,А,А нүктелері арқылы өтетін Р жазықтығының теңдеуін жазу керек;

б) Р жазықтығының теңдеуін келесі түрде жазу керек:  

1) Ax+By+Cz+D=0; 2) x/a+y/b+z/c=0;  3) A(x-x)+B(y-y)+C(z-z)=0;  1), 2) теңдеулері қалай аталады? А, В, С, а, в, с, x, y, z геометриялық мағынасын көрсету керек;

в) Р1 және Р жазықтықтарының арасындағы бұрышты табу керек. Бұл жазықтықтар параллель, перпендикуляр бола ма?

 

2 к е с т е

варианттың №  және 2 үшін тапсырма

2.1   А(0, 4, 5), А(3, -2, 1), А(4, 5, 6), Р: 2x – y +5z +1 = 0

2.2   А(3, 4, 5), А(3, -9, 1), А(4, 5, 7), Р: x – y +5z +5 = 0

2.3   А(0, 8, 5), А(3, -2, 4), А(2, 5, 6), Р: 6x + y +5z +1 = 0

2.4   А(3, 4, 2), А(1, -9, 1), А(4, 4, 7), Р: x – 4y +z +5 = 0

2.5   А(-1, 4, 5), А(3, -5, 1), А(4, 5, 2), Р: 2x – y +3z +1 = 0

2.6   А(3, 7, 5), А(3, -9, 2), А(1, 5, 7), Р: 3x + y +5z -2 = 0

2.7   А(0, 9, 5), А(4, -2, 4), А(2, 7, 6), Р: 6x – 2y +5z +1 = 0

2.8   А(3, 4, -1), А(1, -7, 1), А(4, 3, 7), Р: x – 4y +2z +5 = 0

2.9   А(1, 4, 1), А(1, 8, 1), А(4, 3, -6), Р: 3x – 4y +2z -6 = 0

2.10   А(2, 4, -1), А(3, -7, 1), А(5, 3, 7), Р: -x + 9y +2z +5 = 0

2.11   А(1, 8, -3), А(2, 8, 1), А(6, 3, -6), Р: 3x – 5y +z -6 = 0

2.12   А(8, 4, -1), А(1, -9, 1), А(4, 2, 7), Р: x – 2y -2z +5 = 0

2.13   А(1, 4, -2), А(9, 8, 1), А(4, -3, -6), Р: 2x – y +2z -7 = 0

2.14   А(2, 5, -1), А(3, -7, 8), А(5, 3, -2), Р: -4x + y +2z +5 = 0

2.15   А(1, 8, -1), А(2, 6, 1), А(2, 3, -6), Р: 3x – 5y +z -4 = 0

2.16   А(7, 4, -1), А(1, -4, 2), А(1, 2, 7), Р: 5x – 2y -z +5 = 0

2.17   А(-3, 4, -2), А(9, 5, 1), А(4, -3, -1), Р: 2x – y +2z +2 = 0

2.18   А(2, 5, 6), А(3, -7, 8), А(5, 4, -2), Р: -4x + y +2z +1 = 0

2 кестенің жалғасы

2.19   А(1, 9, -1), А(2, 6, 1), А(2, 8, -6), Р: x – 5y +z -4 = 0

2.20   А(9, 5, -1), А(4, -7, 8), А(5, 2, -2), Р: -7x + y +2z +5 = 0

2.21   А(1, 6, -1), А(2, 7, 1), А(2, 3, -6), Р: 3x – y +3z -4 = 0

2.22   А(7, 5, -1), А(2, -4, 2), А(-3, 2, 7), Р: 5x – y -z +5 = 0

2.23   А(-4, 4, -2), А(8, 5, 1), А(4, -3, -1), Р: 2x – y +z +2 = 0

2.24   А(2, -5, 6), А(3,-2, -7), А(-5, 4, -2), Р: 4x + y +2z +1 = 0

2.25   А(3, 9, -2), А(-2, 6, 1), А(2, 8, 5), Р: x – 5y +z -6 = 0

2.26   А(1, 6, -5), А(4, 7, 1), А(1, 3, -6), Р: 6x – y +3z -4 = 0

2.27   А(8, 5, -1), А(2, -3, 2), А(-3, 1, 7), Р: 5x – y -z +3 = 0

2.28   А(-4, 3, -2), А(8, 5, 9), А(4, -3, -5), Р: 3x – y +z +2 = 0

2.29   А(9, -5, 6), А(3,2, -7), А(-5, 1, -2), Р: 7x + y +2z +1 = 0

2.30   А(3, 9, -1), А(-4, 6, 1), А(2, 7, 5), Р1 : x – 5y +3z -6 = 0

 

3   А,А,А нүктелері және  Р жазықтығы берілген (2 тапсырмадағы):

а) А, А нүктелері арқылы өтетін L түзуінің теңдеуін және

А, А нүктелері арқылы өтетін L түзуінің теңдеуін құру керек;

б) L түзуінің канондық және параметрлік теңдеуін жазу керек;

в) L және  Lтүзулерінің арасындағы бұрышты табу керек;

г) L түзуі мен Р жазықтығы арасындағы бұрышты табу керек.

 

4   Берілгені: A – қисықта жатқан нүкте; R – шеңбердің радиусы; a, b – қисықтың жарты осьтері; симметрия осьтері (Оx немесе Оy); D – қисықтың директрисасы:

а) центрі А нүктесінде және радиусы R болатын шеңбердің теңдеуін құру керек;

б) жарты осьтері а және в болатын эллипстің теңдеуін құру керек, сызбасын салу керек.  эксцентриситетін, F, F фокустарын табу керек;

в) нақты және жорамал жарты осьтері а және в болатын гиперболаның (екі вариант бар: а – нақты, в – жорамал және а – жорамал, в – нақты) теңдеуін құру керек, сызбасын салу керек.  эксцентриситетін, F, F фокустарын, асимптоталарының теңдеулерін табу керек;

г) симметрия осі Оx немес Оy, төбесі координаталар басында, директрисасы  D болатын параболаның теңдеуін құру керек, сызбасын салу керек. F фокусын табу керек.

 

3 к е с т е

варианттың № және 4 үшін тапсырма

варианттың № және 4 үшін тапсырма

4.1A(2, -4), R=4,a=1, b=3, OX,D: x=-3

4.2 A(-5, 1),R=3,a=2, b=4, OY,D: y=2

4.3A(1, -4), R=5,a=8, b=3, OY,D: y=-6

4.4 A(7, 1),R=6,a=4, b=1, OX,D: x=2

3 кестенің жалғасы

4.5A(2, -5), R=7,a=3, b=2, OX,D: x=4

4.6 A(-6, 2),R=8,a=7, b=4, OY,D: y=5

4.7A(3, -4), R=9,a=7, b=6, OY,D: y=-2

4.8 A(6, 1),R=2,a=5, b=1, OX,D: x=-7

4.9A(5, -4), R=1,a=6, b=4, OX,D: x=-5

4.10A(-5, 2),R=4,a=9,b=4, OY,D: y=7

4.11A(1, -3),R=5,a=8, b=2, OY,D: y=6

4.12 A(8, 1),R=6,a=4,b=2, OX,D: x=3

4.13A(2, -6),R=7,a=3, b=4, OX,D: x=5

4.14A(-7, 2),R=8,a=1,b=4, OY,D: y=3

4.15A(3, 4), R=9,a=2, b=6,OY,D: y=-8

4.16 A(6, 3),R=2,a=3,b=1,OX,D: x=-8

4.17A(2, -9),R=7,a=5, b=2,OX, D: x=6

4.18A(-1, 2),R=8,a=5, b=4,OY,D: y=4

4.19A(8, -4),R=9,a=7, b=5,OY, D: y=2

4.20A(5, 1), R=2,a=9, b=1,OX,D: x=-1

4.21A(5, -4),R=1,a=6, b=4,OX, D: x=2

4.22A(-3, 2),R=4,a=8,b=4,OY, D: y=1

4.23A(1, 8),R=5,a=9, b=2,OY, D: y=-6

4.24A(9, 1), R=6,a=4,b=7,OX,D: x=-3

4.25A(2, -5),R=7,a=7, b=4,OX, D: x=9

4.26A(-9, 2),R=8,a=1,b=8,OY, D: y=7

4.27A(7, 4),R=9,a=2, b=7, OY, D: y=8

4.28A(11, 3),R=2,a=3,b=4,OX,D: x=8

4.29A(-7, 4),R=6,a=3, b=7,OY, D: y=4

4.30A(10, 4),R=4,a=3,b=5,OX,D: x=8

 

5  Екінші ретті беттердің түрін анықтау керек және сұлбалық түрде сызбасын салу керек

 

4 к е с т е

варианттың №  және 5 үшін тапсырма

варианттың № және 5 үшін тапсырма

5.1

5.2

5.3

5.4

5.5

5.6

5.7

5.8

5.9

5.10

5.11

5.12

5.13

5.14

5.15

5.16

5.17

5.18

5.19 

5.20

5.21

5.22

4 кестенің жалғасы

5.23

5.24

5.25

5.26

5.27

5.28

5.29

5.30

 

6  Аналитикалық геометрия есептері

6.1  А(3, 5, 6) және  В(5, -7, 4) нүктелері берілген. А нүктесі арқылы өтетін АВ кесіндісіне перпендикуляр жазықтықтың теңдеуін жазу керек.

6.2  (3, 2, -1) және (4, -3, 2) нүктелері арқылы өтетін және ОУ осіне параллель жазықтықтың теңдеуін жазу керек.

6.3  Жазықтық  М(2, -6, 5) нүктесі арқылы өтеді және абсцисса осінен а = 4 кесінді, ал ордината осінен в = 3 кесінді қиып өтеді. Осы жазықтықтың теңдеуін жазу керек.

6.4  М(1, 5, 7) нүктесі және түзуі мен 2х – 3у + z – 14 = 0 жазықтығының қиылысу нүктесі арқылы өтетін түзудің канондық теңдеуін жазу керек.

6.5   түзуінің теңдеуін канондық түрде жазу керек.

6.6  Үшбұрыштың төбелері берілген А(5, 7, 4), В(3, 2, -1), С(1, 4, -3).

А төбесінен жүргізілген медиананың канондық түрін жазу керек.

6.7  Екі түзудің параллельдігін дәлелдеу керек:  және .

6.8  Екі түзудің өзара перпендикуляр екендігін дәлелдеу керек:   және .

6.9  М(1, -1, 3) нүктесі арқылы өтетін, х – 2у + 3z – 5 = 0 және 3x + y – 2z + 1 = 0 қтарының қиылысу сызығына параллель түзудің канондық теңдеуін жазу керек.

6.10   түзуі мен  4х + 2y – 2z + 5 = 0 жазықтығы арасындағы бұрышты табу керек.

6.11   А(3, 6, 2), В(4, 5, -2) түзу мен 2x + y - 2z – 5 = 0 арасындағы бұрышты табу керек.

6.12  М(-2, 3, 4) нүктесі арқылы өтетін 3x – 2y + 5z – 6 =0 жазықтығына перпендикуляр түзудің теңдеуін жазу керек.

6.13  2x – 11y +10z – 15 = 0 және  2x - 11y +10z + 45 = 0 жазықтықтарының арасындағы бұрышты табу керек.

6.14  3x – 2y +z – 23 = 0 жазықтығына қарағанда А(1, 2, -4) нүктесіне симметриялы В нүктесін табу керек.

6.15  М(5, 3, 2) нүктесі арқылы өтетін, (4, 1, 2), (5, 3, 1) векторларына параллель жазықтықтың теңдеуін жазу керек.

6.16  Координата басы мен (-2, 1, 4), (3, 2, 5) нүктелері арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуін жазу керек.

6.17  М(3, -2, 6) нүктесі арқылы өтетін  және координата остерінен тең кесінді қиятын жазықтықтың теңдеуін жазу керек.

6.18  Оу осі және М(2, 4, 1) нүктесі арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуін жазу керек.

6.19   түзуінің параметрлік теңдеуін жазу керек.

6.20   Координата басы мен М(3, 5, 2) нүктесі арқылы өтетін 2х – 3у = 0 жазықтығына перпендикуляр жазықтықтың теңдеуін жазу керек.

6.21  А(2,5,-3) нүктесі арқылы өтетін  векторына перпендикуляр, мұндағы , жазықтықтың теңдеуін жазу керек.

6.22   жазықтықтарының арасындағы бұрышты табу керек.

6.23   түзуі мен   жазықтығының қиылысу нүктесін табу керек.

6.24   түзуіне қарағанда  нүктесіне симметриялы  нүктесін табу керек.

6.25   жазықтығына қарағанда  нүктесіне симметриялы  нүктесін табу керек.

6.26  А(0,-3,5) нүктесі арқылы өтетін  векторына перпендикуляр, мұндағы , жазықтықтың теңдеуін жазу керек.

6.27   жазықтықтарының арасындағы бұрышты табу керек.

6.28    түзуі мен   жазықтығының қиылысу нүктесін табу керек.

6.29   түзуіне қарағанда  нүктесіне симметриялы  нүктесін табу керек.

6.30   жазықтығына қарағанда  нүктесіне симметриялы  нүктесін табу керек.

 

7  Екінші ретті қисық теңдеуін  канондық түрге келтіру.  Осы қисықты салу керек

 

5 к е с т е

               варианттың №  және 7 үшін тапсырма

7.1   

7.2    

7.3   

7.4   

7.5   

7.6   

7.7   

7.8   

5 кестенің жалғасы

7.9   

7.10  

7.11  

7.12  

7.13  

7.14  

7.15  

7.16  

7.17  

7.18  

7.19 

7.20  

7.21  

7.22  

7.23  

7.24  

7.25  

7.26  

7.27  

7.28   

7.29  

7.30   

 

8  Екінші ретті беттің теңдеуін  канондық түрге келтіру.  Сұлбалық сызбасын салу керек

 

6 к е с т е

варианттың №  және 8 үшін тапсырма

8.1      

8.2   

8.3     

8.4    

8.5    

8.6    

8.7    

8.8    

8.9    

8.10   

8.11   

8.12     

.813    

8.14    

8.15     

8.16    

8.17     

8.18     

8.19   

8.20    

6  кестенің жалғасы

8.21   

8.22     

8.23   

8.24     

8.25    

8.26     

8.27   

8.28     

8.29     

8.30     

 

         9 F(x,y) квадраттық форманы канондық түрге келтіру керек; квадраттық форманы канондық түрге келтіріретін ортогоналдық түрлендіруді табу керек

 

7 к е с т е

F(x,y)

F(x,y)

F(x,y)

9.1   

9.11    

9.21

9.2  

9.12    

9.22 

9.3   

9.13    

9.23

9.4   

9.14    

9.24

9.5   

9.15    

9.25 

9.6  

9.16    

9.26

9.7 

9.17    

9.27 

9.8  

9.18   

9.28

9.9  

9.19   

9.29 

9.10  

9.20   

9.30 

 

       10  f(x, y)=0 екінші ретті қисықтың теңдеуін  канондық түрге келтіру керек; осы қисықты сызу керек

8 к е с т е

f(x, y)=0

f(x, y)=0

10.1

10.2

10.3

10.4

10.5

10.6

10.7

10.8 

10.9 

10.10

10.11

10.12

10.13 

10.14

10.15

10.16 

10.17

10.18 

10.19

10.20 

10.21

10.22 

10.23 

10.24

10.25

10.26

10.27

10.28

10.29

10.30

 

          1.3 Типтік варианттың шешуі

1   Жазықтықта А(4, -2), А(8, 1) нүктелері және L: -x + 4y + 5 = 0 түзуі берілген:

а) осы нүктелер арқылы өтетін L түзуінің теңдеуін құру керек;

б) L түзуінің теңдеуін келесі түрде жазу керек: 1) y=kx+m;

2) Ax+By+C=0;  3) x/a+y/b=1;  4) y-y=k(x-x). Сызбасын салып, ондағы  k, m, A, B, a, b, x, y геометриялық мағынасын көрсету керек;

в) L және L түзулерінің арасындағы бұрышты табу керек. Бұл түзулер параллель, перпендикуляр бола ма?

Шешуі:

a) екі () және () нүктелері арқылы өтетін түзудің теңдеуі  формуласы бойынша табылады. Олай болса L түзуінің теңдеуі    немесе   болады;

б) L түзуінің теңдеуін керек түрде жазып алайық:

1)  y=kx+m: ,( k=, m=-5 );

2) Ax+By+C=0:  ,

 ( A=3, B=-4, C=-20 );

3) x/a+y/b=1:  3x - 4y – 20 = 0 , ( a = 20/3, b = -5 );

4) y-y=k(x-x): ,

 (k=, ).

А(4, -2), А(8, 1) екі нүкте бойынша L түзуін саламыз.

1 Сурет

Коэффициенттердің геометриялық мағынасын көрсетейік: k== tg –  L түзуінің бұрыштық коэффициенті; m = -5 = OB – L түзінің Оу осінде қиып түсетін кесіндісінің координата басынан санағандағы ұзындығы; А = 3, В = - 4 – L түзуінің нормаль (қалыпты) векторының координаталары, яғни .

y = kx+m теңдеуін түзудің бұрыштық коэффициентімен теңдеуі деп атайды, Ax+By+C=0 – түзудің жалпы теңдеуі, x/a+y/b=1 – түзудің кесінді арқылы теңдеуі;

в) Lжәне L түзулерінің арасындағы  бұрышты екі формуланың біреуі арқылы табуға болады. Егер L: ; L:, онда  формуласымен есептелінеді; егер бұрыштық коэффициент арқылы берілсе L:, L:, онда  , егер  немесе ; , егер  немесе  .

Шарт бойынша L түзуінің теңдеуі жалпы түрде берілгендіктен

L: -х + 4у+5=0, онда L теңдеуін де жалпы түрде жазамыз L: 3х – 4у –20 = 0 және  бірінші формуланы қолданамыз

 

  және  ескерсек, онда L және  L түзулері параллель де, перпендикуляр да емес.

 

2–3  А(1, 2, -1), А(3, 3, 2), А(2, -3, 7) нүктелері және  Р жазықтығы берілген:  2x +3y + z – 1 = 0.

2  а) А, А,А нүктелері арқылы өтетін Р жазықтығының теңдеуін жазу керек;

б) Р жазықтығының теңдеуін келесі түрде жазу керек:

1) Ax+By+Cz+D=0; 2) x/a+y/b+z/c=1;  3) A(x-x)+B(y-y)+C(z-z)=0;

1), 2) теңдеулер қалай аталады? А, В, С, а, в, с, x, y, z геометриялық мағынасын көрсетіңіздер;

в) Р және Ржазықтықтарының арасындағы бұрышты табу керек. Бұл жазықтықтар параллель, перпендикуляр бола ма?

Шешуі:

а) (), (), () нүктелері арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуі мына түрде жазылады: .

Біздің жағдайда  Р:      (*);

б) 1) (*) теңдіктегі оң жақтағы анықтауышты ашып, Р жазықтығының теңдеуін Ax+By+Cz+D=0: 23x – 13y – 11z – 8 = 0, (A=23, B=-13, C=-11, D=-8) түрінде аламыз. Теңдеудің бұл түрі жазықтықтың жалпы теңдеуі деп аталады; 2) -8 бос мүшесін оң жаққа жіберіп, 8-ге бөлеміз. Мына түрдегі жазықтықтың теңдеуін аламыз  x/a+y/b+z/c=1:

, (а=8/23, в=-8/13, с=-8/11). Бұл теңдеу жазықтықтың кесінді арқылы теңдеуі деп аталады;

3) (*) теңдігінің сол жағындағы анықтауышты бірінші жолының элементтері бойынша жіктейміз

 .

Жазықтықтың теңдеуін мына түрде аламыз A(x-x)+B(y-y)+C(z-z)=0 ().

Коэффициенттердің геометриялық мағынасы: А, В, С – бұл  жазықтықтың нормаль (қалыпты) векторының координаталары, яғни ;  

а, в, с – бұл координата басынан есептегендегі координата осьтерімен қиып түсетін кесіндінің ұзындығы. Олай болса а=8/23 – Ох-те,  в=-8/13 – Оу-те,  

с=-8/11 – Oz- те қиылатын кесінді; - жазықтықта жататын нүктенің координаталары, яғни (1, 2, -1) нүктесі  Р жазықтығында жататын нүкте;

в) Р және Р жазықтықтарының арасындағы  бұрышының косинусы мына формуламен есептелінеді . Егер , онда ; егер немесе , онда . Біздің жағдайда .   және , болғандықтан,  Р және  Р жазықтықтары параллель де, перпендикуляр да емес.

4   а) А, А нүктелері арқылы өтетін L түзуінің теңдеуін және А, А нүктелері арқылы өтетін L түзуінің теңдеуін құру керек;

б) L түзуінің канондық және параметрлік теңдеуін жазу керек;

в) L және  Lтүзулерінің арасындағы бұрышты табу керек;

г) L түзуі мен Р жазықтығы арасындағы бұрышты табу керек.

Шешуі:

а)  ()  және () нүктелері арқылы өтетін теңдеуі   формуласы  бойынша  табуға  болады. Сонымен,  

А(1, 2, -1), А(3, 3, 2) нүктелері арқылы өтетін L түзуінің теңдеуі: , ал А(1, 2, -1) және  А(2, -3, 7) нүктелері арқылы өтетін L түзуінің теңдеуі: ;

б)  түріндегі түзудің теңдеуі канондық деп аталады. Алдыңғы пунктте түзудің канондық теңдеулері табылды: L: және L:.  түріндегі теңдеу түзудің параметрлік теңдеуі деп аталады. Түзудің параметрлік теңдеуін алу үшін  канондық теңдеулерін t параметріне теңестіреміз, алынған теңдіктерден x, y, z-терді өрнектейміз.

L:= .  Сонымен, L: теңдеу;

в) L:  және L: түзулерінің арасындағы   бұрышының косинусы мына формуламен есептелінеді .  Сонымен,

;

г)  түзуі мен  жазықтығының арасындағы  бұрышының синусы мына формуламен есептелінеді . Олай болса L: түзуі мен Р жазықтығының арасындағы бұрыштың синусы: .

5   Берілгені: А(3, -7) – қисықта жатқан нүкте; R= 6  – шеңбердің радиусы; = 2,  = 3  – қисықтың жарты осьтері; симметрия осі Оy, төбесі координаталар басында болатын парабола; D: у = -3  – қисықтың директрисасы:

а) центрі А нүктесінде және радиусы R болатын шеңбердің теңдеуін құру керек;

б) жарты осьтері а және в болатын эллипстің теңдеуін құру керек, сызбасын салу керек.  эксцентриситетін, F, F фокустарын табу керек;

в) нақты және жорамал жарты осьтері а және в болатын гиперболаның (екі вариант бар: а – нақты, в – жорамал; а – жорамал, в – нақты) теңдеуін құру керек, сызбасын салу керек.  эксцентриситетін, F, F фокустарын, асимптоталарының теңдеулерін табу керек;

г) симметрия осі Оx немес Оy, төбесі координаталар басында, директрисасы  D болатын параболаның теңдеуін құру керек, сызбасын салу керек. F фокусын табу керек.

Шешуі:

а) центрі  нүктесінде және радиусы R болатын шеңбердің теңдеуі   түрде болады, біздің жағдайда: ;

б) жарты осьтері а және в болатын эллипстің канондық теңдеуі   түрде болады; эллипстің  эксцентриситетін  тең, мұндағы , егер , (яғни  - үлкен жарты ось).

Егер , (яғни - үлкен жарты ось), онда  және  орындарымен ауыстыру керек.

Егер  эллипстің фокустары   нүктелері немесе егер , онда . Сонымен, біздің жағдайдағы эллипстің канондық теңдеуі .  болғандықтан, , ал экцентриситет , ().  фокустар Оу осінде жатыр. Координата жазықтығында эллипстің сызбасын саламыз:

 

2 Сурет

 

 - эллипс төбелері;

в) а нақты және в жорамал жарты осьтері болатын гиперболаның канондық теңдеуінің түрі , ал  нақты және  жорамал жарты осьтері болатын гиперболаның канондық теңдеуінің түрі :  немес . Теңдеуі  болатын гиперболаның экцентриситеті - , мұндағы ; гиперболаның асимптоталарының теңдеулерінің түрі ; фокустары – нүктелері, олар нақты жарты осьте орналасқан.

         Шарт бойынша =2, =3, сондықтан   нақты жарты осі болатын гиперболаның канондық теңдеуінің түрі , ал нақты жарты осі болса:  немесе .

 гиперболасын қарастырайық. Ол үшін жарты фокустық ара қашықтық ; экцентриситет  тең; фокустары: ; асимптоталарының теңдеулері: .

         Гиперболаны келесі жолмен оңай салуға болады: қабырғалары  (бізде ) болатын тік төртбұрышты саламыз. Тік төртбұрыштың диагональдары гиперболаның асимптоталары болады, тік төртбұрыштың қабырғалары мен  гиперболаның нақты осьтерімен қиылысу нүктелері – гиперболаның  төбелері;

3 Сурет

г) шарт бойынша параболаның симметрия осі Оy, төбесі координаталар басында болғандықтан оның канондық теңдеуінің түрі . Параболаның директрисасы  у = - 3 түріндегі теңдеу болғандықтан, парабола теңдеуінде + таңбасы болу керек, яғни: .

 параметрін анықтау үшін параболаның директрисасының   болатындығын ескереміз, яғни . Сонымен, параболаның теңдеуі: . Параболаның фокусы –  нүктесі, ол симметрия осінде жатады. Біздің жағдайда фокус – . Параболаны салайық;

4 Сурет

 

6 Екінші ретті беттердің түрін анықтау керек және сұлбалық түрде сызбасын салу керек:

          а) ;  б) .

Шешуі:

а) симметрия осі Ох болатын бір қуысты гиперболоидтың канондық теңдеуі берілген, оның сұлбалық түрдегі сызбасы;

5 Сурет

 

б) симметрия осі Оz және төбесі координаттар басында болатын екінші ретті конустың канондық теңдеуі берілген, оның сұлбалық  сызбасы:

6 Сурет

          9 F(x,y)= квадраттық форманы канондық түрге келтіру керек; квадраттық форманы канондық түрге келтіріретін ортогоналдық түрлендіруді табу керек.

         Шешуі:

         F(x,y)= квадраттық форманы әруақытта F()= канондық түрге келтіруге болады.  Ескі базисте (ескі Оху координаттар жүйесінде) квадраттық форманың матрицасы – , жаңа базисте (жаңа О координаттар жүйесінде) –, мұндағы  – А матрицасының меншікті мәндері. A және D матрицалары ұқсас, яғни  немесе  теңдіктерімен байланысқан, мұндағы – ортогональ оператордың матрицасы, ол квадраттық форманы диагоналдық түрге келтіреді; оның бағандары А матрицаның нормаланған меншікті векторлардың координаталары болып табылады. Бұл векторлар квадраттық түрдегі матрица диогоналдық түрде болатын базис құрайды. Егер – ескі базистегі вектордың баған координаттары, – жаңадағы, онда , немесе – жаңа базиске көшкендегі координаттардың түрлендіру формулалары.

         Біздің есепте квадраттық түрдегі матрицаның ескі базистегі түрі –  . Оның меншікті мәндері мен меншікті векторларын табайық. . – меншікті мәндері. Сонымен, жаңа базистегі квадраттық форманың канондық түрі –  F()=. Бұл квадраттық форманың матрицасы келесі диагоналдық түрде жазылады .  меншікті мәндеріне жауап беретін меншікті векторларды табайық.

 1) : .  болсын, онда , – меншікті вектор. Оны нормаландырамыз: .

2) : .  болсын, онда . , . Сонымен,  – ортогоналды  оператордың матрицасы, ол квадраттық форманы канондық түрге келтіреді.   – жаңа базиске көшкендегі координаттарды түрлендірудің формулалары.

         10  екінші ретті қисықтың теңдеуін  канондық түрге келтіру керек, осы қисықты сызу керек.

         Шешуі

         F(x,y)= қисықтың теңдеуіндегі үлкен мүшелерден құралған  квадраттық форманы қарастырайық. Оны канондық түрге келтіреміз (9 есепті қараңыз).  матрицасы ортогональ оператордың матрицасы, ол квадраттық форманы канондық түрге келтіреді (бұл оператор Оху координаттар жүйесін координаттар басынан қандай да бір бұрышқа айналдыратын және О  координаттар жүйесіне көшіретін оператор), сонымен қатар  Оху координаттар жүйесіндегі   базисінен жаңа О  координаттар жүйесіндегі   базисіне көшіру матрицасы.  формулалары айналдырғандағы координаттар жүйесінің түрлендіруінің формулалары болып табылады. Қисықтың теңдеуіндегі үлкен мүшелері былай түрленеді: F(x,y)=  F()=, кішілері –

.

Сонымен, О координаттар жүйесінде сызықтың теңдеуі мынадай түрге келеді . Қисықтың теңдеуін ықшамдауды координаттар жүйесін параллель көшіру түрлендіруі көмегімен жүргізуге болады. Ол үшін соңғы теңдіктегі  және  мүшелерін толық квадратқа дейін толықтыру керек:

. Келесі белгілеу енгіземіз  – координаттар жүйесін параллель көшіргендегі түрлендіру формулалары.  нүктесі – жаңа координаттар басы.  координаттар жүйесінде қисықтың теңдеуі  канондық түрінде жазылады немесе  – бұл эллипс теңдеуі. Бұл  эллипсті салу үшін алдымен Оху жүйесін О жүйесіне дейін бұрамыз. Ол үшін қолда бар матрица –   айналу операторы, жаңа базистің жіктелуін  ескі  арқылы іске асырамыз:

.  және   векторлары жаңа О және О координат өстері бойымен бағытталғандықтан бұл өстерді салуға мүмкіндігіміз бар. Содан соң О жүйесін параллель көшіреміз: О координат басы  нүктесіне ауыстыру арқылы  жүйесін аламыз. Бұл жүйеде канондық теңдеуі бойынша эллипсті салуға болады.

 

Әдебиеттер тізімі

         1. Апатенок Р.Ф., Маркина А.М. Сборник задач по линейной алгебре.- Мн.: Выш. Школа, 1980. – 192 с.

         2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: в 2 ч. – М.: Высшая школа, 2003. – ч. 1,2.-352 с.

         3. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: в 3 ч. (Рябушко А.П., Бархатов В.В. и др.). Под ред. Рябушко А.П. – Минск: Высш. школа, 2000.-ч.1.-396 с.

        4. Дүйсек А.К., Қасымбеков С.К. Жоғары математика (оқу құралы) -  Алматы: ҚБТУ, 2004. - 440 б.

 

Мазмұны

1 Есептік-графикалық жұмыс 3. Аналитикалық геометрия, квадраттық формалар...................................................................................................................3

1.1 Теориялық сұрақтар…..……………………………….....………......…….….3

1.2 Есептік тапсырмалар………………………………….......….....………….….3

1.3 Типтік варианттың шешуі……………………..…………….....…………….12

Әдебиеттер тізімі ...................................................................................................25

 

2007 ж. жинтық жоспары, реті 140

Астраханцева Людмила Николаевна

Ким Людмила Николаевна

Байсалова Мәншүк Жұмамұратқызы

 

Алгебра және геометрия

050704 – Есептеу техникасы және бағдарламалық қамтамасыз

ету  мамандығы бойынша оқитын күндізгі бөлім студенттері

үшін есептеу-графикалық жұмыстарды орындауға арналған

әдістемелік нұсқаулар мен тапсырмалар

Редакторы Ж.А.Байбураева

 

“___”_____  басуға қол қойылды            Пішіні 6084      1/16

Тираж   ____ дана                                      №1 типография қағазы

Көлемі 3,1 оқу- бас.ә.т.                             Тапсырыс ___Бағасы 175 т.