АЛМАТИНСКИЙ ИНСТИТУТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ
КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
Алгебра и геометрия.
Методические указания и задания
к выполнению расчетно-графических работ
(для студентов очной формы обучения специальности
050704 – Вычислительная техника и программное обеспечение)
Часть 1
Алматы 2007
СОСТАВИТЕЛИ: Л.Н. Астраханцева, Л.Н.Ким, М.Ж.Байсалова. Алгебра и геометрия. Методические указания и задания к выполнению расчетно-графической работы для студентов очной формы обучения специальности 050704 – Вычислительная техника и программное обеспечение. -Алматы: АИЭС, 2007.- 26 с.
Методические указания и задания к расчетно-графической работе содержат типовой расчет №1 дисциплины «Алгебра и геометрия» для студентов очной формы обучения специальности 050704 – Вычислительная техника и программное обеспечение. Приведены основные теоретические вопросы программы. Дано решение типового варианта.
Ил. 1, табл. 9, библиогр. – 4 назв.
Рецензент: канд.физ.-мат.наук, проф. С.Е.Базарбаева.
Печатается по плану издания некоммерческого акционерного общества «Алматинский институт энергетики и связи» на 2007 г.
ã НАО «Алматинский институт энергетики и связи», 2007 г.
1 Типовой расчёт 1. Векторная и линейная алгебры
1.1 Теоретические вопросы
1 Определители, их свойства, вычисление.
2 Матрицы, действия над ними, обратная матрица.
3 Ранг матрицы и его вычисление.
4 Векторы, их длина, линейные операции над векторами. Коллинеарность, компланарность, ортогональность векторов, угол между векторами.
5 Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов, их приложения.
1.2 Расчётные задания
1 Вычислить определитель второго порядка
Т а б л и ц а 1
1.1 |
1.2 |
1.3 |
1.4 |
1.5 |
|
1.6 |
1.7 |
1.8 |
1.9 |
1.10 |
|
1.11 |
1.12 |
1.13 |
1.14 |
1.15 |
|
1.16 |
1.17 |
1.18 |
1.19 |
1.20 |
|
1.21 |
1.22 |
1.23 |
1.24 |
1.25 |
|
1.26 |
1.27 |
1.28 |
1.29 |
1.30 |
|
2 Дан определитель третьего порядка:
а) найти минор M и алгебраическое дополнение A элемента a;
б) разложить определитель по i-ой строке;
в) вычислить определитель, разложив его по j-му столбцу;
г) вычислить по правилу треугольника (правилу Саррюса).
Т а б л и ц а 2
2.1 |
2.2 |
2.3 |
2.4 |
2.5 |
2.6 |
2.7 |
2.8 |
2.9 |
2.10 |
2.11 |
2.12 |
2.13 |
2.14 |
2.15 |
2.16 |
2.17 |
2.18 |
2.19 |
2.20 |
2.21 |
2.22 |
2.23 |
2.24 |
2.25 |
2.26 |
2.27 |
2.28 |
2.29 |
2.30 |
3 Даны матрицы А, В, С, Д:
а) найти матрицы 3С+2Д, С-4Д;
б) найти матрицу В, транспонированную матрице В.
Т а б л и ц а 3
3.1 А= В= С=, Д=. |
3.2 А= В= С= Д= |
3.3 А= В= С= Д=. |
3.4 А= В= С= Д=. |
3.5 А= В= С= Д=. |
3.6 А= В= С= Д=. |
3.7 А= В= С= Д= |
3.8 А= В= С= Д=. |
3.9 А= В= С= Д= |
продолжение таблицы 3
3.10 А=, В= С= Д=. |
3.11 А= В= С= Д= |
3.12 А= В= С= Д= |
3.13 А= В= С= Д= |
3.14 А= В= С= Д= |
3.15 А= В= С= Д= |
3.16 А= В=, С= Д= |
3.17 А= В= С= Д= |
3.18 А= В= С= Д= |
3.19 А= В= С= Д= |
продолжение таблицы 3
3.20 А= В= С= Д= |
3.21 А= В= С= Д= |
3.22 А= В= С= Д= |
3.23 А= В= С= Д= |
3.24 А= В= С= Д= |
3.25 А= В= С= Д= |
3.26 А= В= С= Д= |
3.27 А= В= С= Д= |
3.28 А= В= С= Д= |
продолжение таблицы 3
3.29 А= В= С= Д= |
3.30 А= В= С= Д= |
4 Даны матрицы А, В, С (в задании 3):
а) возможно ли произведение матриц АВ, ВС ? Объяснить почему, если невозможно; найти произведение, если возможно;
б) найти матрицу , обратную матрице А.
5 Даны точки А и В:
а) найти координаты векторов и ;
б) найти длину вектора (или расстояние между точками А и В);
в) найти середину отрезка АВ.
Т а б л и ц а 4
5.1 А(5, -4, 3), В(1, 2, -8) |
5.2 А(-3, 1, 0), В(7, 1, -5) |
5.3 А(0, 4, 5), В(3, -2, 1) |
5.4 А(3, -2, 5), В(4, 5, 7) |
5.5 А(2, -3, 7), В(3, 2, 8) |
5.6 А(2, -1, 7), В(6, 3, 4) |
5.7 А(3, 1, 7), В(2, -3, 9) |
5.8 А(2, 1, -6), В(1, 4, 9) |
5.9 А(2, -4, 8), В(5, 4, 7) |
5.10 А(3, 2, 5), В(4, 0, -3) |
5.11А(2, 3, -1),В(-6, 4, 2) |
5.12А(-4, 2, 3),В(8, 7, -2) |
5.13 А(5, 3, 6), В(-2, 3, 5) |
5.14 А(0, 6, 0), В(5, 3, -4) |
5.15 А(4, 2, 0), В(1, -7, 8) |
5.16 А(4, 2, 5), В(-1, 0, 6) |
5.17 А(3,-5, 8), В(6, 3, 9) |
5.18А(7, 2, 2),В(-5, 7, -7) |
5.19 А(5, -3, 1), В(2, 3, 7) |
5.20А(8, -6, 4),В(10, 5, 1) |
5.21 А(5, 6,-8), В(8, 10,7) |
5.22 А(1, -1, 3), В(6, 5, 8) |
5.23 А(3, 5,-7), В(8, 4, 1) |
5.24 А(6, -6, 5), В(4, 9, 5) |
5.25А(4, 6, 11),В(9, 3, -4) |
5.26 А(5, 7, 4),В(4,-10, 9) |
5.27 А(-9, 8, 9),В(7, 1,-2) |
5.28 А(5, 2, 6), В(1, 8, -2) |
5.29 А(2, 8, -9),В(7, 5,-5) |
5.30 А(-2, 7, 0), В(6, 3, 5) |
6 Даны векторы , , :
а) найти модуль (длину) вектора ;
б) найти скалярное произведение векторов и . Будут ли эти векторы ортогональны?
в) найти векторное произведение векторов и ;
г) найти смешанное произведение векторов , , . Будут ли эти векторы компланарны?
д) проверить, будут ли векторы и коллинеарны?
е) найти косинус угла между векторами и ;
ж) найти проекцию вектора на вектор .
Т а б л и ц а 5
6.1 =(2, -3, 1),=(0, 1, 4), =(5, 2, -3) |
6.2 =(5, -3, -1),=(7, 1, 4),=(5, 8, -3) |
|
6.3 =(-9, -3, 0),=(6, 4, 4),=(0, 2, -2) |
6.4 =(1, -5, 4),=(5, 1, 4),=(5, -3, -3) |
|
6.5 =(8, -5, 0),=(6, 4, 6), =(0, 6, -2) |
6.6 =(5, -7, 0), =(4, 5, 4), =(7, 8, 5) |
|
6.7 =(1, -7, 1),=(9, 1, 4), =(8, 2, -3) |
6.8 =(2, -6, 4),=(1, 1, 8), =(5, -3, 9) |
|
6.9 =(-9, 5, 0), =(6, 3, 4),=(7, 2, -2) |
6.10 =(6, -3, 1), =(7, 2, 4),=(5, 8, 4) |
|
6.11 =(9, -5, 0), =(2, 9, 6),=(0, 6, 4) |
6.12 =(2, -5, 4), =(5, 3, 4),=(5, 3, 4) |
|
6.13 =(5, 5, 0),=(6, 2, 4), =(7, 2, -7) |
6.14 =(9, -7, 0),=(8, 5, 3), =(7, 8, 7) |
|
6.15 =(7, -5, 0),=(2, 8, 6), =(0, 6, 3) |
6.16 =(8, -5, 4), =(2, 1, 8), =(5, 9, 9) |
|
6.17 =(9, 6, 8), =(7, 3, 4),=(3, 2, -2) |
6.18 =(8, -7, 1), =(6, 1, 3), =(1, 8, 7) |
|
6.19 =(1, -5, 0),=(2, 7, 6), =(7, 6, 4) |
6.20 =(5, -5, 4), =(9, 1, 8), =(4, 9, 1) |
|
6.21 =(3, 6, 7),=(1, 3, 4), =(3, 6, -2) |
6.22 =(1, -7, 1), =(7, 8, 3), =(1, 8, 9) |
|
6.23 =(2, -5, 0),=(2, 5, 6), =(7, 6, 8) |
6.24 =(0, -5, 2), =(6, 1, 4), =(0, 9, 1) |
|
6.25 =(7, -5, 0),=(3, 7, 6), =(8, 6, 4) |
6.26 =(4, -5, 4), =(8, 1, 7), =(4, 5, 1) |
|
6.27 =(6, 6, 8), =(7, 2, 4),=(5, 2, -1) |
6.28 =(3, -7, 1), =(4, 2, 3), =(2, 3, 7) |
|
6.29 =(4, -5, 6), =(8, 1, 6),=(6, 1, 4) |
6.30 =(5, 6, 3), =(2, -3, 8), =(3, 9, 2) |
7 Вычислить определитель четвёртого порядка
Т а б л и ц а 6
7.1
|
7.2
|
7.3
|
7.4
|
|||||
7.5
|
7.6
|
7.7
|
7.8
|
|||||
7.9
|
7.10
|
7.11
|
7.12
|
|||||
7.13
|
7.14
|
7.15
|
7.16
|
|||||
7.17 |
7.18
|
7.19 |
7.20
|
|
||||
7.21 |
7.22
|
7.23
|
7.24
|
|
||||
продолжение таблицы 6
7.25
|
7.26
|
7.27
|
7.28
|
7.29
|
7.30
|
7.31
|
7.32
|
8 Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и , если даны разложения этих векторов по базису , длины векторов , угол между векторами
Т а б л и ц а 7
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.1 |
|
1 |
2 |
|
8.16 |
|
4 |
1 |
|
|
8.2 |
|
5 |
1 |
|
8.17 |
|
4 |
2 |
|
|
8.3 |
|
2 |
3 |
|
8.18 |
|
2 |
3 |
|
|
8.4 |
|
3 |
2 |
|
8.19 |
|
7 |
2 |
|
|
8.5 |
|
1 |
2 |
|
8.20 |
|
6 |
2 |
|
|
8.6 |
|
5 |
4 |
|
8.21 |
|
9 |
1 |
|
|
8.7 |
|
3 |
4 |
|
8.22 |
|
6 |
7 |
|
|
8.8 |
|
1 |
2 |
|
8.23 |
|
2 |
3 |
|
|
8.9 |
|
3 |
4 |
|
8.24 |
|
4 |
1 |
|
|
8.10 |
|
3 |
1 |
|
8.25 |
|
1 |
2 |
|
|
продолжение таблицы 7
8.11 |
|
8 |
1 |
|
8.26 |
|
4 |
1 |
|
8.12 |
|
3 |
5 |
|
8.27 |
|
3 |
2 |
|
8.13 |
|
7 |
2 |
|
8.28 |
|
2 |
3 |
|
8.14 |
|
5 |
3 |
|
8.29 |
|
2 |
1 |
|
8.15 |
|
2 |
4 |
|
8.30 |
|
4 |
2 |
|
9 Даны вершины А, В, С, D пирамиды:
а) найти площадь указанной грани;
б) найти площадь сечения, проходящего через середину указанного ребра и две вершины пирамиды;
в) найти объём пирамиды.
Т а б л и ц а 8
9.1 A(2, 1, 7), B(3, 3, 6),C(2, -3, 9), D(1, 2, 5); АСD; l=BC, A, D |
9.2 A(2, -1, 7), B(6, 4, 1),C(3, 2, 8), D(2, -3, 7); ABD; l=AD, B, C |
9.3 A(4, 3, 5), B(1, 9, 7), C(0, 2, 0), D(5, 3, 10); ACD; l=BD, A, C |
9.4 A(3, 2, 5), B(4, 0, 6), C(2, 6, 5), D(6, 4, -1); BCD; l=CD, A, B |
9.5 A(4, 2, 10), B(1, 2, 0),C(3, 5,7), D(2, -3, 5); ACD; l=AB, C, D |
9.6 A(2, 3, 5), B(5, 3, -7),C(1, 2, 7), D(4, 2, 0); ACD; l=AD, B, C |
9.7 A(8, -6, 4), B(1, 5, 5),C(5, 6, 8), D(8, 10, 7); ABD; l=BD, A, C |
9.8 A(1, -1, 3), B(6, 5, 8), C(3, 5,8), D(8, 4, 1); ACD; l=BC, A, D |
9.9A(0, 4, 5), B(3, -2, 1),C(4, 5, 6), D(3, 3, 2); BCD; l=BC, A, D |
9.10A(2, 1, 6), B(1, 4, 9),C(2, -5,8), D(5, 4, 2); ABD; l=AB, C, D |
9.11 A(3, 1, 4), B(-1, 6, 1),C(1,1,6), D(0, 4, -1); ACD; l=BD, A, C |
9.12 A(3,-1,2), B(-1,0, 1),C(1,1,3), D(8, 5, 8); BCD; l=AD, B, C |
9.13 A(2, 4, 3), B(1,1,5), C(4,9, 3), D(3, 6, 7); ABD; l=BD, A, C |
9.14 A(9, 5,5), B(-3, 7,1),C(5, 7, 8), D(6, 9, 2); BCD; l=BC, A, D |
9.15 A(5,-5, 4), B(1,-1,4),C(3, 5,1), D(5, 8, -1); ACD; l=AD, B, C |
9.16 A(6,1, 1), B(4, 6,6), C(4,2,0), D(1, 2, 6); ABD; l=BD, A, C |
9.17 A(6, 8, 2), B(5, 4,7),C(2, 4, 7), D(7, 3, 7); ACD; l=BC, A, D |
9.18 A(4, 2, 5), B(0, 7,1),C(0, 3, 7), D(1, 5, 0); BCD; l=BC, A, D |
9.19 A(4,6,5), B(6,9,4), C(2,10,10), D(7, 5, 9); ABD; l=AB, C, D |
9.20 A(3, 5,4), B(8, 7,4),C(5,10,4), D(4, 7, 8); ACD; l=BD, A, C |
продолжение таблицы 8
9.21 A(1, 8, 2), B(5,2, 6), C(5,7,4), D(4, 10, 9); BCD; l=AD, B, C |
9.22 A(6, 6,5), B(4, 9,5), C(4,6,11), D(6, 9, 3); ABD; l=BD, A, C |
9.23 A(0, 7,1), B(2,-1,5), C(1, 6,3), D(3, -9, 8); BCD; l=BC, A, D |
9.24 A(7, 5,3), B(9,4,4), C(4, 5,7), D(7, 9, 6); ACD; l=AD, B, C |
9.25 A(4,4,10), B(7, 9,2), C(2,8, 4), D(9, 6, 9); ABD; l=BD, A, C |
9.26 A(5, 3,7), B(-2,3,5), C(4,2,10), D(1, 2, 7); ACD; l=BC, A, D |
9.27 A(1,-2,7). B(4, 2, 1), C(2, 3,5), D(5, 3, 7); ABD; l=AC, B, D |
9.28 A(7, 2,2), B(-5,7,7), C(5,-3,1), D(2, 3, 7); ACD; l=BC, A, D |
9.29 A(10,9, 6), B(2, 8,2), C(9,8,9), D(7, 10, 3); BCD; l=CD, A, B |
9.30 A(3, 5,4), B(5, 8,3), C(1, 2,-1), D(-1, 0, 2); ACD; l=AB, C, D |
10 Вычислить ранг матрицы двумя способами:
а) методом окаймляющих миноров;
б) методом элементарных преобразований.
Указать базисный минор.
Т а б л и ц а 9
10.1
|
10.2
|
10.3
|
10.4
|
10.5
|
10.6
|
10.7
|
10.8
|
10.9 |
продолжение таблицы 9
10.10
|
10.11
|
10.12
|
10.13
|
10.14
|
10.15
|
10.16
|
10.17
|
10.18 |
10.19
|
10.20
|
10.21
|
10.22
|
10.23
|
10.24
|
10.25
|
10.26
|
10.27 |
10.28 |
10.29 |
10.30 |
1.3 Решение типового варианта
1 Вычислить определитель второго порядка .
Решение:
по формуле имеем =(-2) 7-4 5= -14-20 = -34.
2 Дан определитель третьего порядка , i=2, j=3:
а) найти минор M и алгебраическое дополнение A элемента a;
б) разложить определитель по i-ой строке;
в) вычислить определитель, разложив его по j-му столбцу;
г) вычислить по правилу треугольника (правилу Саррюса).
Решение:
a) минор Mэлемента aравен определителю, полученному из данного после вычёркивания i-ой строки и j-го столбца. Таким образом, вычёркиваем в нашем определителе вторую строку и третий столбец, получаем М== 15 – 4 = 11. Алгебраическое дополнение элемента aвычисляем по формуле
A=(-1)M. Значит А=(-1)11= -11;
б) формула разложения определителя по i-ой строке для определителя n - го порядка имеет вид = ,где A алгебраическое дополнение элемента a. Так как i = 2, j = 3, то формула перепишется так . Искомое разложение имеет вид ;
в) j = 3. Формула разложения по третьему столбцу имеет вид . Таким образом,
= 2 – 88 – 12 = - 98;
г) правило треугольника: определитель третьего порядка равен сумме шести членов; члены со знаком плюс получают при перемножении по три элемента определителя, взятых по схеме , члены со знаком минус – по схеме. Поэтому
3-4. Даны матрицы А=, В=, С=, Д=:
а) найти матрицы 3С+2Д, С-4Д;
б) найти матрицу В, транспонированную матрице В;
в) возможно ли произведение матриц АВ, ВС ? Объяснить почему, если невозможно; найти произведение, если возможно;
г) найти матрицу А, обратную для матрицы А.
Решение:
а) 3С+2Д = 3+2=.
С - 4Д = -4==;
б) матрица, транспонированная матрице В, получается заменой строк матрицы В её столбцами с теми же номерами: В= ;
в) произведение матриц АВ возможно, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Размеры матриц: А, В, С, Д. Таким образом, АВ= – произведение невозможно. ВС= – произведение возможно.
Произведением матриц АВ является матрица С, число строк которой равно числу строк матрицы А, число столбцов равно числу столбцов матрицы В: . Элемент матрицы С равен сумме произведений i–ой строки матрицы А на j–ый столбец матрицы В. Таким образом, В С = = . .
Итак, ;
г) обратная матрица для квадратной матрицы существует, если определитель матрицы не равен нулю; не существует, если – равен нулю. Обратная матрица А для матрицы
А = находится по формуле где – определитель матрицы А; – алгебраические дополнения элементов . Найдём определитель матрицы А: = = 880, следовательно А существует. Определим алгебраические дополнения всех элементов матрицы А
Составим А по вышеуказанной формуле
А= =
5 Даны точки А(7, -9, 3) и В(1, 0, -5):
а) найти координаты векторов и ;
б) найти длину вектора (или расстояние между точками А и В);
в) найти середину отрезка АВ.
Решение:
а) координаты вектора по координатам начала А() и конца
В() находят по формуле = (). Таким образом, = (1-7, 0-(-9), -5-3) = (-6, 9, -8); = (7-1, -9-0, 3-(-5)) = (6, -9, 8) или
= - = - (-6, 9, -8) = (6, -9, 8);
б) длина (модуль) вектора или расстояние между точками А и В обозначается и находится по формуле = . Значит в нашем случае == ;
в) середина С отрезка АВ имеет координаты С.
У нас С= С( 4, -9/2, -1 ).
6 Даны векторы :
а) найти модуль (длину) вектора ;
б) найти скалярное произведение векторов и . Будут ли эти векторы ортогональны?
в) найти векторное произведение векторов и ;
г) найти смешанное произведение векторов , , . Будут ли эти векторы компланарны?
д) проверить, будут ли векторы и коллинеарны?
е) найти косинус угла между векторами и ;
ж) найти проекцию вектора на вектор .
Решение:
для векторов имеют место формулы:
а) модуль (длина) вектора : ;
б) скалярное произведение векторов и : . Если векторы ортогональны, то ;
в) векторное произведение векторов и
;
г) смешанное произведение векторов , , : , если эти векторы компланарны, то ;
д) если векторы и коллинеарны, то или ;
е) косинус угла между векторами и
;
ж) проекция вектора на вектор .
По этим формулам в нашем варианте мы получим:
а) ;
б) , так как , то векторы и не ортогональны;
в) ;
г) Так как , то векторы не компланарны;
д) для векторов и : и , следовательно векторы и не коллинеарны;
е) ;
ж) .
7 Вычислить определитель четвёртого порядка
Решение:
используя свойства определителей получим в одной из его строк или столбцов нули. Выберем второй столбец, где уже есть два нуля: умножим первую строку на (-2) и прибавим к последней, получим . Теперь разложим определитель по второму столбцу
.
8 Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах = и =, если длины векторов равны =3, =2, угол между векторами равен .
Решение:
по свойствам векторного произведения имеем: . Площадь параллелограмма, построенного на векторах и равна .
9 Даны вершины пирамиды А(-1,0,4), В(2,1,-1), С(-3,4,5), D(0,1,-2):
а) найти площадь указанной грани АВD;
б) найти площадь сечения, проходящего через середину указанного ребра ВD и вершины А и С;
в) найти объём пирамиды.
Решение:
сделаем схематический чертеж
Рисунок 1
а) так как площадь треугольника, построенного на векторах и , равна , то . Найдем координаты векторов
, =(1,1,-6). .
;
б) К(1;1;-1,5) – середина ВD. , . . ;
в) объем пирамиды, построенной на векторах , , равен . Поэтому .
.
Таким образом .
10 Вычислить ранг матрицы двумя способами:
а) методом окаймляющих миноров;
б) элементарных преобразований.
Указать базисный минор.
Решение:
а) начнем с левого верхнего угла. Минор второго порядка , поэтому возьмем другой . Рассмотрим миноры, окаймляющие , (т.е. содержащие в себе ):
.
Так как все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю, то ранг матрицы равен 2 (, ранг – наибольший порядок не равного нулю минора). Базисный минор ;
б) с помощью элементарных преобразований будем приводить матрицу к ступенчатому виду
.
На первом шаге первая строка была умножена на (-2) и прибавлена ко второй, затем умножена на (-1) и прибавлена к третьей, получены нули в первом столбце ниже первой строки. На втором шаге вторую строку умножили на (-2) и прибавили к третьей. Получена ступенчатая матрица . В ней две ненулевые строки или существует минор второго порядка, например, . Поэтому . Так как матрицы и эквивалентны , то их ранги равны . За базисный минор можно взять .
Список литературы
1. Апатенок Р.Ф., Маркина А.М. Сборник задач по линейной алгебре. - Мн.: Выш. Школа, 1980. – 192 с.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: в 2 ч. – М.: Высшая школа, 2003. – ч. 1,2.-352 с.
3. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: в 3 ч. (Рябушко А.П., Бархатов В.В. и др.). Под ред. Рябушко А.П. – Минск: Высш. школа, 2000.-ч.1.-396 с.
4. Хасеинов К.А. Каноны математики: Учебник. – Алматы, 2003.-686 с.
Содержание
1 Теоретические вопросы………………………………….....…………….….3
2 Расчётные задания……………………………………..………………….….3
3 Решение типового варианта……………………………..………………….15
Список литературы ……………………………………………………………24
Сводный план 2007 г., поз. 139
Астраханцева Людмила Николаевна
Ким Людмила Николаевна
Байсалова Маншук Жумамуратовна