АЛМАТЫ ЭНЕРГЕТИКА ЖӘНЕ БАЙЛАНЫС ИНСТИТУТЫ

 Жоғары математика кафедрасы

  

 

АЛГЕБРА ЖӘНЕ ГЕОМЕТРИЯ

Дәрістер жинағы

 (050704 – Есептеу техникасы және бағдарламалық қамтамасыз ету,

050703 – Ақпараттар жүйесі мамандығы бойынша оқитын барлық бөлім студенттері  үшін)

1 бөлім

 

 

Алматы 2010 

ҚҰРАСТЫРУШЫ: Л.Н.Астраханцева, М.Ж.Байсалова. Алгебра және геометрия. 5В0704 – Есептеу техникасы және бағдарламалық  қамтамасыз ету, 5В0703 – Ақпараттар жүйесі  мамандықтары бойынша оқитын барлық бөлім студенттері   үшін дәрістер жинағы - Алматы: АЭжБИ, 2010. -  48 б. 

          Дәрістер екі бөлімнен тұрады: сызықты және векторлы алгебраның элементтері, аналитикалық геометрияның элементтері. Бөлімдердің мазмұны бір бірімен өзара байланысты. Негізгі теориялық мәліметтер түсінікті түрде жазылған, оқытылып отырған материалды жақсы ұғу үшін шығарылған есептер мен мысалдар келтірілген. Дәрістер жинағы 050704 – Есептеу техникасы және бағдарламалық  қамтамасыз ету, 050703 – Ақпараттар жүйесі  мамандығы бойынша оқитын барлық бөлім студенттері   үшін арналған. 

 

       1 Сызықты және векторлық алгебра элементтері

       1.1  Дәріс 1. Матрицалар. Анықтауыштар

Дәріс мазмұны: матрицалар, оларға қолданылатын амалдар. Анықтауыштар. Минорлар және алгебралық толықтауыштар. Кері матрица. Матрицаның рангы.

Дәріс мақсаты: жаңа ұғымдар енгізу, матрицаларда қолданылатын амалдарды оқыту.

 

Анықтама. mn өлшемді матрица деп  m жол және n бағаннан кесте түрінде құралған mn сандардың жиынтығы айтылады, Белгіленуі  немесе  Егер m=n, онда матрица шаршы (квадратты) деп аталады, оның өлшемі mm болады. А матрицасына транспонирленген матрица.

Матрицаларға қолданылатын амалдар:

а) қосу, азайту: , мұндағы ;

б) санға көбейту: , мұндағы - сан, ;

в) матрицаларды көбейту: , мұндағы

,    .

Сонымен, егер  матрицасының баған саны  матрицасының жол санына тең болғанда ғана екі матрицаны көбейту мүмкін болады. Жалпы жағдайда матрицаларды көбейту орын ауыстыру заңына сүйенбейді (коммутативті емес), яғни .

         Мысалы 1.1.1. Матрицалардың көбейтіндісін табайық  және . Олардың өлшемдері:.  матрицасының баған саны  матрицасының жол санына тең (3-ке тең), сондықтан  көбейтіндісі мүмкін ( көбейтіндісі мүмкін емес).  көбейтіндісі  матрицасы болады, оның жол саны  матрицасының баған санына баған саны  матрицасының баған санына тең, яғни . Сонымен, .

 

Анықтауыштар

  Әрбір шаршы матрицаға анықтауыш деп аталатын сан сәйкес келеді.

 матрицасына екінші ретті анықтауыш сәйкес келеді. Ол былай есептелінеді: .

 матрицасының үшінші ретті анықтауышы  былай есептелінеді:

 .

Үшінші ретті анықтауыш есептелінген ереже үшбұрыш ережесі деп аталады. Бұл ереже бойынша плюс таңбасы  сұлбасы бойынша, ал минус таңбасы - .

Анықтама.  элементінің миноры деп берілген анықтауыштан  i-ші жол мен j–ші бағанды сызып тастағанда алынған анықтауышты айтамыз, ол  деп белгіленеді;  элементінің алгебралық толықтауышы деп  саны айтылады.

Анықтауыштардың қасиеттері

1 Егер жол саны мен баған санын ауыстырсақ, анықтауыштың мәні өзгермейді (яғни анықтауышты транспонирлегеннен мәні өзгермейді).

2 Егер анықтауыштағы екі жолдың (бағанның)  орнын ауыстырсақ, онда  анықтауыштың таңбасы өзгереді.

3 Егер қандай да бір жолдың (бағанның) элементтері нөлдер болса, онда анықтауыш нөлге тең.

4 Екі бірдей жолы (бағаны) бар анықтауыш нөлге тең.

5 Жолдың (бағанның) барлық элементтеріне ортақ көбейткішті анықтауыш таңбасы алдына шығаруға болады.

6 Екі пропорционал жолы (бағаны) бар анықтауыш нөлге тең.

7 Егер  қандай да бір жолдың (бағанның)  элементтері екі қосылғыштан тұрса, онда мұндай анықтауыш екі анықтауыштардың қосындысы түрінде жазылады: .

8 Егер қандай да бір жолдың (бағанның)  элементтеріне сәйкес басқа бір жолдың (бағанның)  элементтерін бір санға көбейтіп қосса, анықтауыштың мәні өзгермейді.

9 Анықтауышты  жол (баған) бойынша жіктеу: Анықтауыш қандай да бір жолдың (бағанның)  элементтерін олардың алгебралық толықтауыштарына көбейтіп қосқанға тең.  Мысалға,

екінші жол бойынша жіктеу;

бірінші баған бойынша жіктеу.

Анықтауышты тоғызыншы қасиетті қолданып есептеуге болады:   – jші баған бойынша жіктелуі немесе   – iші жол бойынша жіктелуі.  матрицасына сәйкес келетін n–ші ретті анықтауыштың белгіленуі және есептелінуі:  =

i-ші жол бойынша жіктелуі немесе   – j–ші баған бойынша жіктелуі.

Жоғарыда көрсетілген екінші ретті анықтауыштың  қасиеттері кез келген реттегі анықтауыштарға да орынды.

Мысалы 1.1.2  анықтауышын есептеу керек.

Шешуі:

Егер анықтауыштың реті үштен жоғары болса, онда оны қандай да бір жол немесе бағаны бойынша жіктеп есептеуге болады. Немесе 8 қасиет бойынша анықтауыштың бір жолында (бағанында) бір элементтен басқасын нөлге айналдырып, осы жол (баған) бойынша жіктеуге болады. Соңғы жолы қолайлырақ, себебі жіктеуде бір ғана қосылғыш болады.

Біздің мысалда үшінші жолда нөл бар, осы жолдағы 4 және –1 орнына нөл алу үшін үшінші бағанды (-4)-ке көбейтіп, бірінші бағанға қосамыз және үшінші бағанды 2-ге көбейтіп екінші бағанға қосамыз: . Енді анықтауышты үшінші бойынша жіктейміз

.

Анықтама. Егер  орындалса, онда  матрицасы  матрицасына кері матрица деп аталады, мұндағы

бірлік матрица. Егер  матрицасы шаршы және анықтауышы   нөлден өзге болғанда ғана кері матрицасы  бар болады. Кері матрицаны есептейтін формула: , мұндағы , ал  элементінің алгебралық толықтауышы.

Матрицаның к-ші ретті миноры – бұл кез келген к жол мен к бағанның қиылысуында тұрған матрицаның элементтерінен тұратын анықтауыш. Егер к-ші ретті барлық минорлар нөлге тең болса, онда  (к+j)- ші ретті барлық минорлар да (яғни жоғарғы  ретті) нөлге тең екендігі дәлелденген.

Анықтама. Матрицаның рангы деп нөлге тең емес минордың ең жоғарғы реті айтылады. А матрицасының рангы немесе  деп белгіленеді.

Рангты есептеу әдістері.

1 Минорларды жиектеу әдісі.

А матрицасында к-ші ретті нөлден өзге минор табылған болсын, . Осы минорды жиектейтін к+1- ші ретті барлық минорларды (яғни к ші ретті минор енетін) қарастырайық. Егер олардың барлығы нөлге тең болса, онда ранг к-ге тең (). Егер қандай да бір минор , онда осы минорды жиектейтін минорларды қарастырамыз.

2 Элементар түрлендірулер әдісі.

Анықтамалар:

1. Матрицаның элементар түрлендіруі дегеніміз:

а) жолдың (бағанның) барлық элементтерін нөлден өзге санға көбейту;

б) жолдың (бағанның) элементтеріне басқа  жолдың (бағанның) сәйкес элементтерін тек бір санға көбейтіп қосу;

в) жолдың (бағанның) орнын ауыстыру.

2. Бір матрицаны элементар түрлендіріп, екінші матрица аламыз, олар өзара эквивалентті деп аталады,  деп белгіленеді.

Теорема. Эквивалентті матрицалардың рангтары тең (немесе элементар түрлендіргеннен матрицаның рангы өзгермейді).

Элементар түрлендірулер әдісі жоғарыда келтірілген теоремаға сүйенеді. Элементар түрлендіру көмегімен  матрицасы сатылы түрге келтіріледі:.    матрицасында нөлдік емес жол бар, - ші ретті нөлден өзге минор бар: . -ден жоғарғы ретті минорлар нөлден тұрғандықтан, олардың рангы нөлге тең. Сонымен, .

Мысалы 1.1.3 -  матрицаның рангын

а) минорларды жиектеу әдісі бойынша;

б) элементар түрлендірулер әдісі бойынша есептейік.

а) жоғарғы сол бұрыштан бастайық. Екінші ретті минор , сондықтан басқасын аламыз .   минорын жиектейтін (яғни   енетін) минорды қарастырайық:

.  Олардың барлығы нөлге тең, яғни . Нөлге тең емес, реті рангке тең минор базистік деп аталады. Сонымен, базистік минор ;

б) Элементар түрлендіру көмегімен матрицаны сатылы түрге келтіреміз: ~

. Біріншіден бірінші жол (-2)-ге көбейтіп екінші жолға қосылды, сосын (-1)-ге көбейтіп үшінші жолға қосылды, бірінші бағанда  бірінші жолдан төмен нөлдер алынды. Екіншіден екінші жолды (-2)-ге көбейтіп,  үшіншіге қостық. Сатылы түргдегі  матрицасы алынды. Онда нөлдік емес екі жол бар немесе екінші ретті минор бар, мысалға, . Сондықтан .  және  матрицалары эквивалентті  болғандықтан, олардың рангы  тең. Базистік минор ретінде   алуға болады.

 

 

    1.1 Дәріс 2. Векторлардың скаляр, векторлық және аралас көбейтінділері.

         Дәріс мазмұны: векторлық алгебраның негізгі ұғымдары, сызықты кеңістік ұғымы, векторларға қолданылатын амалдар.

         Дәріс мақсаты: векторлық алгебраның  негізгі ұғымдарымен танысу және олардың қолданулары.

 

         Вектор – бұл бағытталған кесінді немесе реттелген нүктелер жұбы. Белгіленуі ,  (және вектордың басы және ұшы). Вектордың  ұзындығы немесе модулі депелгіленуі ) оның басы мен ұшының арасындағы ара қашықтық айтылады. Егер векторлар бір түзу бойында немесе параллель түзулер бойында жатса, онда олар коллинеар векторлар деп аталады; егер векторлар бір жазықтық бойында немесе параллель жазықтықтарда жатса, онда олар компланар векторлар деп аталады.   және  коллинеарлы векторларды  деп белгілейміз, егер коллинеарлы және бағыттас болса, белгіленуі ;  егер коллинеарлы және қарсы бағыттал-

ған болса, онда –  .

 

 

Векторларға қолданылатын амалдар:

а) санға көбейту: , мұндағы 1) ; 2) ; 3), егер , , егер ;

б) қосу: векторлардың қосындысы деп осы векторлардан құрылған сынық сызықты тұйықтайтын вектор айтылады. Ал сынық сызық былай құрылады: әрбір вектордың басы алдыңғысының ұшымен беттеседі.

Оның бірінші вектордың басымен басталады, соңғысының ұшымен  аяқталады. Екі векторды параллелограмм ережесімен қосуға болады:  және  векторларын ортақ басы О-ге әкеліп (),  параллелограмм құрамыз. Сонда - параллелограммның диагоналі, екінші диагональ векторовлардың айырымына тең  (азайту үшін  және - векторларын параллелограмм әдісімен қосамыз).                                         

Сызба 1.2.1

 

Сызықты операцияның қасиеттері.

1        Кез келген , сандары және  векторы үшін

орындалады.

2         болсын, сонда кез келген  орындалатындай  векторы

үшін  жалғыз   саны табылып    орындалады.

         Ұзындығы бірге тең вектор бірлік вектор немесе орт вектор деп аталады (белгіленуі ). Кез келген  векторын  бағыттас бірлік векторы арқылы өрнектеуге болады: .

         Сызықты  (векторлық) кеңістік туралы ұғым.

         Анықтама. Сызықты  (векторлық) кеңістік деп  x,y,z,… элементтері үшін қосу  және санға көбейту  операциялары анықталған V жиынын айтамыз. Бұл операциялар келесі аксиомаларға сүйенеді: 1); 2)  ; 3) ; 4); 5); 6) ; 7)  ; 8); .

Сызықты  кеңістіктің элементтерін векторлар деп атау келісілген.

         Ескерту. Егер сызықты  кеңістіктің элементтері көбейтілетін сан нақты болса, кеңістік нақты деп; егер комплекс сандар болса, онда – комплексті сызықты  кеңістік деп аталады.

Анықтама.  векторлары үшін  бірмезгілде нөлге тең емес  сандары табылып  шарты орындалса, ол векторлар сызықты тәуелді деп аталады. Ал егер тек коэффициенттері   болғанда орындалса, бұл векторлар сызықты тәуелсіз деп аталады.

Егер V кеңістігінде  n сызықты тәуелсіз векторлар бар болса, ал кез келген  n+1 векторлар жүйесі  сызықты тәуелді болса, онда n-ді  V кеңістігінің өлшемі дейді.  n-өлшемді  V кеңістігінің базисі деп  осы кеңістіктің кез келген n сызықты тәуелсіз векторлардың реттелген жүйесі айтылады. Сызықты  кеңістіктің кез келген векторы базис бойынша жіктеледі, яғни мына түрде жазылады  ( векторы  векторларының сызықты комбинациясы делінеді), мұндағы – базис,  – осы базистегі вектордың координаттары (векторды былай да жазады ).

         Жазықтықта немесе кеңістіктегі бағытталған кесінділер ретінде векторлар жиыны сызықты  кеңістік құрайды. Бұл кеңістіктер  немесе  деп белгіленеді; егер сызықты  кеңістіктің элементтері жұп немесе үштік сандардан тұратын векторлар болса, онда бұл сызықты  кеңістіктер  немесе  деп белгіленеді; егер n-дік сандар болса , онда –  . Соңғы сызықты  кеңістікті арифметикалық деп те атайды.

          және  кеңістіктерінде келесі теорема орынды.

         Теорема. Кез келген екі (үш) вектор сызықты тәуелді болғанда ғана коллинеарлы (компланарлы) болады.

         Бұл теоремадан  егер жазықтықта (кеңістікте) коллинеарлы емес (компланарлы емес) векторлар берілсе, онда кез келген векторды осы векторлардың сызықты комбинациясы арқылы өрнектеуге болатындығы көрінеді.

         Анықтама. Жазықтықтағы (кеңістікте) базис деп белгілі ретпен алынған екі  (үш) коллинеарлы емес (компланарлы емес) векторлар айтылады.      Теорема. Жазықтықта (кеңістікте) кез келген векторды базистік векторлардың сызықты комбинациясы арқылы жалғыз жолмен өрнектеуге болады (яғни базис бойынша жіктеледі).

         Аналитикалық геометрияда векторларды түрлендіру, олардың координаттарын түрлендіруге әкеп соғады.  базисінде  және  векторлары берілген болсын, яғни = , = =,  сонда: а) =( );  б) ;  в) + =.

        

Бағытталған векторлар үштігі. Тік бұрышты координата  жүйесі.

         Анықтама. , ,  векторлары ортақ бас нүктеге келтірілген болсын. Егер үшінші  векторының ұшынан бақылағанда бірінші  векторыннан екінші  векторына дейінгі қысқа бұрылыс  сағат тіліне қарсы (бағыттас) жүргізілсе, онда   , ,   векторы оң (сол) үштікті құрайды дейді.

         Ось дегеніміз – бұл таңдалынған бағыты бар түзу.  векторы және  осі берілген болсын.  және  -ның осы оське түсірілген проекциясы  және  болсын.  

         Анықтама.   векторының  осіне проекциясы деп  векторының  ұзындығы айтылады, ол плюс таңбасымен алынады, егер  және   бағыттас және минус таңбасымен болса, егер олар қарсы бағытталған болса, белгіленуі ; осьтің орты деп оське бағыттас бірлік векторды айтамыз.

         Бастапқы О нүктесі таңдап алынған және бірлік ұзындығы бар ось координата осі делінеді; үш OX, OY, OZ өзара перпендикуляр координата остерінен тұратын реттелген жүйе тік бұрышты декарттық координаталар жүйесі делінеді (О– координата басы, OX–  абсцисса осі, OY –  ордината осі, OZ –  аппликата осі). Әрбір осьте сәйкес    орттарын қарастырамыз.  векторлар компланарлы емес болғандықтан, олар ортонормаланған деген базис құрайды. Кез келген   векторын  осы базис бойынша жіктеуге болады.   болсын.  векторының басы координата басында болғандықтан,  координаталары вектордың координата осьтеріне түсірілген проекциялары болады: , , . Векторды  векторларына құрылған тік параллелепипедтің диагоналі деп қарастыруға болады. Сондықтан оның ұзындығы . Вектордың координата осьтерімен жасаған бұрыштардың косинустары , ,  формуласымен есептелінеді және  векторының бағыттаушы косинустары деп аталады.

                                               Сызба 1.2.2

 

Векторлардың скалярлық, векторлық және аралас көбейтінділері.

Анықтама.  және векторларының  скалярлық көбейтіндісі деп

=

саны айтылады,  мұндағы -  мен арасындағы бұрыш.

Скалярлық көбейтіндінің қасиеттері.

а) ;

б) ;

в) ;

г) - скалярлық квадрат, белгіленуі .

Бұдан 5,  және   . Сондықтан   

         Егер , онда -  координаттық түрдегі скалярлық көбейтінді. Бұдан

.

         Механикадағы скалярлық көбейтіндінің мысалы:  күшінің әсерінің нәтижесінде OD қашықтығына апарылған  массасы бірге тең болғандағы істелген жұмыстың мөлшері ; егерде материалдық  нүкте  күшімен   бұрыш жасаса, онда    болады

(1.2.3 сурет).

                                                         

               Сурет 1.2.3                                           Сурет 1.2.4

 

Анықтама.  және векторларының векторлық көбейтіндісі деп (белгіленуі ), келесі шарттарды қанағаттандыратын  векторы айтылады:

а),  –   мен арасындағы бұрыш;  

б) ;  

в) –  векторлардың оң үштігі.

         Векторлық көбейтіндінің қасиеттері.

1 ; 2 ; 3;

,  и   . Бұдан  и  .

Орттарды бір біріне көбейту үшін келесі сұлба қолайлы , оны былай қолданады: көрші векторларды солдан оңға қарай көбейтсек, келесі векторды плюс таңбасымен, оңнан солға қарай – минуспен. Мысалға, , .

         Егер , онда  =

= –  координаттық түрдегі векторлық көбейтінді.

         Мысалы векторлық көбейтіндінің қолданылуы:

а) физикада қатты дененің айналуының сызықты жылдамдығы =  формуласымен есептелінеді;

б) өрістер теориясында вектордың өрісінің роторы  ==.

         Анықтама. , ,  векторларының аралас көбейтіндісі деп  саны айтылады (яғни  және  векторлық көбейтіндісінің нәтижесі   векторына скаляр көбейтіледі). Аралас көбейтіндінің геометриялық мағынасы келесі теоремада көрсетіледі.

         Теорема. , ,  компланар емес векторлардың аралас көбейтіндісі модулі бойынша , ,  векторларынан құрылған параллелепипедтің көлеміне тең. Егер  , ,  оң үштік болса, онда ол оң, ал –  сол үштік болса, онда ол  теріс.

Расында,  (1.2.4 сурет). Таңба  таңбасымен сәйкес келеді. Басқа жағынан, , , . Сонымен, .

Координаттық түрдегі аралас көбейтінді  формуласымен есептелінеді, мұндағы .

         Аралас көбейтіндінің қасиеттері.

1 ; 2 ;

3 , ,  –  компланарлы.

         Бұл көбейтінділердің геометрияда қолданылуы:

а)  және  векторларынан құрылған параллелограммның ауданы  ;

б)  және  векторларынан құрылған үшбұрыштың ауданы: ;

в) ,    векторларынан құрылған

параллелепипедтің көлемі: ;

г) бұл векторлардың компланарлық шарты: ;  және векторлары үшін перпендикулярлық шарты: ; коллинеарлық шарты: ; д) егер  нүктелері вектордың басы мен ұшы болса, онда оның координаталары  болады, ал оның ұзындығы

.

                  

1.3            Дәріс 3. Сызықты теңдеулер жүйесі

Дәріс мазмұны: негізгі ұғымдар. Крамер ережесі, Кронекер- Капелли

теоремасы.  Гаусс әдісі. Біртекті жүйелерді шешуі.

         Дәріс мақсаты: сызықты теңдеулер жүйесін шешудің әртүрлі әдістерін оқу.

 

         n белгісізді m сызықты теңдеулер  жүйесі

                                          (3.1)

мұндағы  –  белгісіздер; –  коэффициенттер; бос мүшелер. Егер барлық бос мүшелер нөлге тең болса, онда жүйе біртекті деп, қарсы жағдайда – біртекті емес деп аталады. –  жүйенің матрицасы,  –  жүйенің кеңейтілген матрицасы. Жүйенің матрицалық түрде жазылуы: , мұндағы А–  жүйенің матрицасы, , .

         Жүйенің шешуі деп (3.1)-дегі белгісіздер орнына қойғанда тепе-теңдік орындалатын  реттелген сандар (немесе  векторы)  жиыны айтылады. Егер жүйенің ең болмағанда бір шешімі бар болса, онда  ол үйлесімді,  қарсы жағдайда –  үйлесімді емес деп аталады.

         m=n болсын, сонда матрица шаршы болады және   –  жүйенің анықтауышы болсын. Егер , онда жүйенің жалғыз шешімі болады, ол екі әдістің біреуімен табылады 1) Крамер әдісі:  , мұндағы жүйенің анықтауышындағы iші бағанды бос мүшелер бағанымен ауыстырғанда алған  анықтауыш; 2) матрицалық әдіс: , мұндағы жүйенің матрицасына кері матрица.

         Теорема (Кронекера-Капелли). (3.1) жүйесі үйлесімді болуы үшін  матрицаның рангы жүйенің рангына тең болуы қажетті және жеткілікті ().

         Кез келген жүйені Гаусс әдісімен шешуге болады. Ол әдіс бойынша элементар түрлендіру арқылы жүйенің теңдеуінен біртіндеп айнымалыны (белгісізді) алып тастап отырып, оны сатылы түрге келтіреді. Практикада жүйенің элементар түрлендірулерін жүйенің кеңейтілген матрицасының жолдарын түрлендірумен ауыстырады. Үш жағдай болуы мүмкін:

а) кеңейтілген матрица үшбұрышты түрге келтіріледі: . Жүйенің матрицасы кеңейтілген матрицаның бөлігі болғандықтан, соңғы матрицадан: ,  сондықтан жүйе үйлесімді және жалғыз шешімі бар. Соңғы матрицаға сәйкес келетін жүйені жазайық. Соңғы теңдіктен жоғары қарай біріншіге дейін шешетін болсақ, соңғысынан , соңғыдан жоғарысы  және с.с., біріншіден . Сонымен,  шешімін аламыз;

б) кеңейтілген матрица трапеция түріндегі матрицаға келтіріледі: . Бұдан , жүйе үйлесімді және көп шешімі болады. Соңғы матрицада базистік минор таңдаймыз, яғни нөлге тең емес минор, оның реті рангтың ретіне тең болу керек. Базистік минорға коэффициенттері енген белгісіздерді – базистік деп, қалғандарын бос белгісіздер деп атаймыз. Соңғы матрицаға сәйкес келетін жүйені жазайық және базистік белгісіздерді бос белгісіздер арқылы өрнектейміз. – базистік белгісіздер, –  бос белгісіздер болсын. Базистік белгісіздерді бос белгісіздер арқылы өрнектейміз . Бұл теңдіктер жүйенің жалпы шешімі деп аталады. Жалпы шешімнен кез келген  дербес шешім алуға болады;

в)   матрицасын түлендіру кезеңінде  жолдардың біреуі түріне келтірілді, сонда   және  жүйе үйлесімсіз.

Біртекті сызықты теңдеулер жүйесін қарастырайық

                                                                      (3.2)

Ол  әруақытта үйлесімді, себебі  және оның әруақытта жалғыз нөлдік шешімі болады . Біртекті теңдеулер жүйесі біртекті емес жүйенің дербес жағдайы болғандықтан оны Гаусс әдісімен шешуге болады.   болсын, сонда:

а) егер , онда   болса жүйенің жалғыз нөлдік шешімі болады,

егер  – шешімдер жиыны;

б) егер   және  –  жүйенің анықтауышы, онда егер  жүйенің  жалғыз нөлдік шешімі болады, ал егер , онда шексіз көп шешім.

Біртекті жүйенің шешімдер жиыны сызықты кеңістік құрайтыны дәлелденген, яғни егер  және – (3.2) шешімдері болса, онда  және (–сан) олар да (3.2)-ке шешім болады және сызықты кеңістіктің 1)–8) қасиеттері орындалады. Бұл кеңістіктің базисі біртекті теңдеулер жүйесінің шешімдерінің іргелі жүйесі деп аталады (ш.і.ж.) (немесе ш.і.ж. – бұл сызықты тәуелсіз шешімдерінің максимальды санының жиынтығы). Ш.і.ж. анықтау үшін  (3.2)-нің жалпы шешімін табамыз:

 , мұндағы - базистік белгісіздер, – бос белгісіздер. Бос белгісіздерге  рет ()-ші нөлге тең емес анықтауыштың жолының мәнін береміз (жиі мұндай анықтауыш ретінде  анықтауышын алады, сонда сәйкес ш.і.ж.-ін нормаланған деп атайды).   ш.і.ж. векторларын  аламыз.

Ш.і.ж. шешімдер кеңістігінің базисі болғандықтан, (3.2)-нің кез келген басқа шешімін ш.і.ж.-дің векторларының сызықты комбинациясы ретінде жазуға болады: . Соңғы формуланы жалпы шешім формуласы деп есептеуге болады, себебі бұл  формуладан әртүрлі коэффициенттердің мәнінен әртүрлі (3.2)-нің шешім алуға болады.

         Мысалы 1.3.1 - Біртекті теңдеулер жүйесінің шешімдерінің нормаланған іргелі жүйесін табу керек

.  Ол үшін жүйенің матрицасын жазып, оны жолдарға элементар түрлендіру қолдану арқылы сатылы түрге келтіреміз:

.

, n=4: r<n, олай болса, жүйенің шексіз көп шешімі бар.  –  базистік минор, –  базистік белгісіздер, –  бос белгісіздер. Соңғы матрица бойынша жүйе құрамыз және базистік белгісіздерді бос белгісіздер арқылы өрнектейміз:

 – жалпы шешім. Шешімдер кеңістігінің өлшемі n-r=4-2=2, сондықтан шешімдерінің іргелі жүйесі екі вектордан тұрады.

         Бос белгісіздерге  анықтауыштарының жолдарына тең мән бере бастаймыз, шешімдерінің іргелі жүйесін құрайтын екі шешім аламыз:

а) , сонда жалпы шешімнен .–  іргелі жүйенің бірінші вектор;

б) , сонда . –  іргелі жүйенің екінші векторы.

          формуласы да, мұндағы –  кез келген сандар, жүйенің жалпы шешімін білдіреді. Дербес шешімді алу үшін   және -ге кез келген мән береміз. Мысалыға, =2, =7 болсын, сонда

  дербес шешуі.

        

 

1.4            Дәріс 4. Сызықты операторлар

Дәріс мазмұны: Евклид кеңістігі. Сызықты оператор және оның матрицасы. Симметриялы және ортогональды операторлар.

Дәріс мақсаты: оператор ұғымымен және оның қолданылуымен таныстыру.

 

Евклид  кеңістігі

Анықтама.  және  векторларының  скалярлық көбейтіндісі деп  немесе  деп белгіленетін сан айтылады, ол берілген векторларға жалғыз жолмен сәйкес қойылады, келесі шарттарды қанағаттандырады: а);

б) ; в) ; г) .

Анықтама. Егер  сызықты кеңістігінде скаляр көбейту операциясы анықталған болса, онда ол  евклид кеңістігі деп айталып,  деп белгіленеді.

 және  кеңістіктерінде скаляр көбейту кәдімгідей анықталады ; егер  кеңістігінде , , онда .

         Вектордың ұзындығы (нормасы)   деп  саны  айтылады (белгіленуі ). Айта кетелік, 1) ; 2) – сан. Егер =1, онда вектор нормаланған деп аталады. Кез келген  векторын  нормалауға болады, ол үшін оны   санына көбейту керек, алынған  векторы нормаланған деп аталады.

Егер болса, онда  және  векторы ортогональ

Векторлары өзара ортогональ және нормаланған базис ортонормаланған деп аталады. Әрбір  n-өлшемді евклид кеңістігінде ортонормаланған базис бар екендігі дәлелденген.

         Сонымен, егер  ортонормаланған базис болса, онда .  және  кеңістіктерінде ортонормаланған базистер  және ;  кеңістігінде   .

         Сызықты операторлар

Анықтама.  кеңістігінің  операторы (түрлендіруі) деп әрбір  векторына  векторы сәйкес қойылатын заң айтылады,  деп жазылады.

Егер 1) ;  2)   шарттары орындалса, онда  операторы  сызықты  оператор деп аталады.

Операторлар мысалы:  егер , онда  – нөлдік оператор; тепе-теңдік   (белгіленуі );  ұқсастық операторы  .

 кеңістігінде  операторы,   базисі берілген болсын және , онда  –  операторының  базисіндегі матрицасы. Матрицаның берілуін оператор толық анықтайды, яғни егер , онда , мұндағы ,  –  базисіндегі векторлардың координаталарының бағандары. Әртүрлі базистерде оператордың әртүрлі матрицалары болады.  кеңістігінде  және  екі базисі берілген болсын және , онда  –   базисінен  базисіне көшу  матрицасы. Егер  және  және  базисітеріндегі  х векторының сәйкес координаталарының бағандары болса, онда  – жаңа базиске көшкендегі түрлендіру формулалары (матрицалық түрде).

 теңдігі орындалатыны дәлелденген, мұндағы    базисіндегі  базисіндегі  операторының матрицасы, -  базисіндегі  операторының матрицасы. Соңғы теңдікпен байланысқан  және  матрицалары ұқсас деп аталады.

 Теорема. Ұқсас матрицалардың анықтауыштары тең, яғни  .

Сонымен, сызықты оператордың матрицасының анықтауышы базисті таңдауға байланысты емес.

         Сызықты операторларға қолданылатын амалдар:

         1) ; 2) ;

3) ; 4) .

. 5)  егер , онда  операторы -ға кері оператор деп аталады.  операторының матрицасы  операторының матрицасына кері болады. Матрицаныкы сияқты, кез келген оператордың керісі бола бермейді.      

Координаталар жүйесін параллель көшіру және бұру

Мысал ретінде координата жүйесін  (немесе жазықтықты) параллель көшіру және бұру түрлендіруінің операторларын қарастырайық .

          кеңістігінде, яғни жазықтықта,  (ескі) координата жүйесі, -де  ортонормаланған базис берілген болсын.  операторы -ны  координата басынан  бұрышқа бұру операторы болсын.  жүйесі бұрғаннан кейін  (жаңа) жүйесіне көшеді, ал  базисі   базисіне көшеді және  орындалады. Жіктеу коэффициенттерін 1.4.1 суреттен табуға болады. ,  және с.с.

                        

       

 

Сурет  1.4.1                                  Сурет 1.4.2

 

Сонымен,  және  матрицасы   базисінен  базисіне көшу матрицасы болады, сонымен қатар ол  операторының да матрицасы. Егер  – х векторының  базисіндегі координаталары, ал –  х векторының   базисіндегі координаталары  болса, онда

  

- координата жүйесін  бұрғандағы түрлендіру формулалары (ескіні жаңа арқылы).  –  координата жүйесін  бұрғандағы түрлендіру формулалары (жаңаны ескі арқылы).

          –   координата жүйесін  параллель көшіру операторы болсын:

 координата басы  нүктесіне көшеді, осьтер бағыты өзгермейді (). М нүктесінің ескі  координата жүйесіндегі координаталары – , жаңадағы – ;  нүктесінің ескі  жүйедегі координаталары . М нүктесінің ескі және жаңа координаталарының байланысын 1.4.2 суреттен көруге болады: - координата жүйесін  параллель көшіргендегі түрлендіру формулалары (ескіні жаңа арқылы).  – координата жүйесін  параллель көшіргендегі түрлендіру формулалары (жаңаны ескі арқылы).

 

Евклид кеңістігіндегі сызықты операторлар

          скаляр көбейтуі бар   евклид кеңістігінде  операторы берілген.

         Анықтама. Егер  орындалса, онда  операторы симметриялы деп аталады.

         Теорема. Оператор симметриялы болуы үшін  кез келген ортонормаланған базисте  оның  матрицасы  немесе  шартын қанағаттандыруы қажетті және жеткілікті. Ондай  матрицалар симметриялы деп аталады. Мысалы  - симметриялы матрица.

         Анықтама. Егер   скаляр көбейтуі сақталса, онда  операторы ортогональды деп аталады.,

         Теорема. Оператор ортогональды болуы үшін  кез келген ортонормаланған базисте  оның  матрицасы  немесе , немесе  шарттарын қанағаттандыруы қажетті және жеткілікті.

         Мысалыға, жазықтықты бұру операторының  матрицасы ортогональды:     ,

,      .

 

 

 

1.5            Дәріс 5. Сызықты операторлардың меншікті векторлары мен

меншікті мәндері

Дәріс мазмұны: меншікті векторлары мен меншікті мәндері; оператордың матрицысын диагональды түрге келтіру; квадраттық формалар ұғымдарының анықтамасы.

         Дәріс мақсаты: сызықты алгебраның жаңа ұғымдарын енгізу.

 

         Анықтама.  базисіндегі  матрицасы бар  операторы  берілген болсын.  шартын қанағаттандыратын нөлдік емес  векторын  операторының (  матрицасының) меншікті векторы, ал  санын меншікті мәні деп атайды.

Теорема. Комплексті сызықты  R  кеңістігінде кез келген сызықты оператордың ең болмағанда бір  меншікті векторы болады.

Бұл теореманы дәлелдеу жолында  меншікті векторлар мен алу әдістері анықталған. Оларды табу үшін оператордың  (матрицаның) сипаттаушы  (характеристикалық) теңдеуін құрамыз:  . Оператордың меншікті мәндері сипаттаушы  теңдеуідің түбірлері болып табылады. Әрбір табылған   түбірді  жүйедегі -ның орнына қоямыз. Бұл жүйенің нөлдік емес шешімдері оператордың  (матрицаның)  меншікті мәніне сәйкес келетін  меншікті векторлары болады.

 

Оператордың матрицасын  диагональды түрге келтіру

Жоғарыда айтылғандай, оператордың матрицасы базисты таңдауға байланысты. Және де  орындалады, мұндағы –   базисіндегі  оператордың  матрицасы, –   базисіндегі  оператордың  матрицасы, -  базисінен  базисіне көшу матрицасы.  Матрица қарапайым түрде, мысалыға, диагональды түрде болатын базис бар екені айқын. Егер  қанағаттандыратын  Т  матрицасы табылатын болса, онда  матрицасы   диагональды түрге келтіріледі , мұндағы – диагональды матрица.

Теорема.  операторының матрицасы диагональды түрге келтіру үшін   базисінде базистің барлық  векторлары оператордың меншікті векторлары болу керек.

Матрицаны диагональды түрге келтіру шарттары:

1) егер оператордың n әртүрлі  меншікті мәндері  бар болса, онда n-өлшемді  кеңістігінде меншікті векторлардан тұратын базис бар болады. Бұл базисте оператордың матрицасы диагональды түрде  жазуға болады: ;

2) Егер меншікті мәндер арасында еселілері болса да, оператор матрицасы диагональды түрге келтіріледі, бірақ әрбір меншікті мәнге еселігі сананы тең сызықты тәуелсіз  меншікті вектор сәйкес келу керек.

Кез келген матрицаны диагональды түрге келтіруге болмайтыны белгілі. Симметриялы оператордың  матрицасын (яғни симметриялық матрицаны) диагональды түрге келтіруге болатыны дәлелденген. Сонымен қатар, егер -  симметриялы оператордың матрицасы болса, онда  , мұндағы =– диагональды матрица, -  матрицасының  меншікті мәндері, Т –ортогональды оператордың матрицасы (яғни ортогональды матрица), ол берілген базистен  оператордың  меншікті векторларының базисіне көшуді қамтамасыз етеді. Т матрицасының бағандары   оператордың  меншікті векторларының координаталары болады.  

         Мысалы 1.5.1 Қандай да бір базисте  оператордың  матрицасы берілген. Осы матрицасының  меншікті мәндері мен меншікті векторларын табайық. Ол үшін сипаттаушы (характеристикалық) теңдеу құрып, шешеміз:

.

Екі түбір алдық, біреуі екі еселі. Олар оператордың (матрицаның) меншікті мәндері болады. Осы меншікті мәндерге сәйкес  меншікті векторларын табайық:

а),  .

Жүйе матрицасының  рангы 1-ге тең, сондықтан жүйе  бір теңдеуге  мәндес. Бір белгісіз, мысалы,   базисті, ал екеуі  – бос белгісіздер болсын.  –  жалпы шешімі (сонымен қатар  меншікті мәніне сәйкес келетін меншікті векторлардың жиыны).  Іргелі жүйе n-r =3-1=2 вектордан тұрады. Шетінен бос белгісіздерге анықтауыштың жол мәндерін береміз :

1) , сонда жалпы шешімнен . Сонымен, – іргелі жүйенің бірінші векторы;

2) , сонда .  –  іргелі жүйенің екінші векторы. Сонымен, екі еселі  меншікті мәнге екі сызықты тәуелсіз  және  меншікті векторлары жауап береді.

б) , . Жүйенің матрицасының рангын табайық: . Ранг 2-ге тең.  – базистік минор, – базистік белгісіздер, бос белгісіз. Жүйе   жүйесіне мәндес.  –  жалпы шешімі және  меншікті мәніне сәйкес келетін меншікті векторлардың жиыны. Іргелі жүйе n-r=3-2=1 вектордан тұрады. Соны табайық. Бос белгісіз =1 болсын, сонда .  векторы шешімдердің  іргелі жүйесін құрайды. Сонымен, бір еселі  меншікті мәнге бір  меншікті вектор жауап береді.  үш векторы  кеңістігінің базисін құрайды, себебі  іргелі жүйенің шешімдерінің векторлары болып табылады. Бұл базисте оператор матрицасы диагональды түрде бола алады

.

2 Аналитикалық геометрия элементтері

                 2.1 Дәріс 6. Жазықтық. Жазықтықтағы және кеңістіктегі түзу

Дәріс мазмұны: Жазықтықтағы және кеңістіктегі түзудің әртүрлі

теңдеулері, жазықтықтың әртүрлі теңдеулері.

         Дәріс мақсаты: аналитикалық геометрия идеяларымен және әдістерімен түзу, жазықтық мысалдарында таныстыру.

        

         Егер координаталар жүйесі берілген болса, онда жазықтықтың немесе кеңістіктің әрбір нүктесіне екі  немесе үш сан нүктенің координаталары бірмәнді сәйкес келеді.  Сол сияқты жазықтықтағы сызықтар арасында немесе кеңістіктегі беттердің екінші  немесе үшінші дәрежелі теңдеулері арасында да сәйкестік орнатуға болады. Сонда сызықтар мен беттердің геометриялық қасиеттерін алгебралық әдістермен зерттеуге болады. Бұл сұрақтармен аналитикалық геометрия айналысады. Мысалға, жазықтықта сызық берілген және оның барлық нүктелерінің жалпы қасиеттері  теңдеуімен өрнектелген болсын. Егер сызықтағы кез келген нүктенің координаталары осы теңдеуді қанағаттандырса, бұл теңдеу сызық теңдеуі деп аталады. Мысалға, егер сызық ретінде шеңберді алсақ, онда оның нүктелерінің жалпы қасиеті – шеңбердің центрінен ара қашықтығы бірдей және радиуске тең: , мұндағы - шеңбердің центрі,  - шеңбер бойындағы кез келген нүкте. Соңғы теңдеуде координаталарға көшсек шеңбердің теңдеуін  немесе  аламыз.

 

Жазықтықтағы түзу

– ордината осін қиып түскендегі кесінді және түзумен абсцисса осімен оң бағытта құраған  бұрышы, яғни түзудің бұрыштық коэффициенті  белгілі түзу берілген. – түзу бойындағы кез келген нүкте.

 

Сурет 2.1.1

 

Суреттен сызықтың нүктелерінің жалпы қасиеті: , бұдан (*)– бұрыштық коэффициентпен түзудің теңдеуі.

Жазықтықтағы басқа түзудің теңдеулерін жоғарыдағыдай, түзу нүктелерінің жалпы қасиеттерінен немесе теңдеуді жоғарыдағыдай түрге келтіру арқылы алуға болады. Мысалыға, (**)– түзудің жалпы теңдеуі ( векторы – түзудің нормаль векторы, яғни ол түзуге перпендикуляр). (**)  түрін  (*) түріне оңай келтіруге болады (сонымен (**)-ның да  түзу теңдеуі), егер оны   арқылы шешсек: ().

Жазықтықтағы түзудің басқа теңдеулері:  нүктесі арқылы өтетін және бұрыштық коэффициент -ға тең түзудің теңдеуі;  және  нүктелері арқылы өтетін түзудің теңдеуі; кесінді арқылы түзудің теңдеуі (–  координата осьтерімен қиып өтетін кесінділер);  нүктесі арқылы өтетін және нормаль векторы  болатын түзудің теңдеуі; – векторлық түрдегі түзудің қалыпты теңдеуі, –– координаталық түрдегі  түзудің қалыпты теңдеуі ( түзуге перпендикуляр бірлік вектор, – түзудің  нүктесінің радиус-векторы, - координата бюасынан түзуге дейінгі ара қашықтық).

         Егер екі түзу  және  теңдеулерімен берілген болса, онда олардың арасындағы бұрыш  формуласымен есептелінеді  (себебі түзулер арасындағы бұрыш олардың нормаль векторлары   және  арасындағы бұрышқа тең); егер  түзулер  және  теңдеулерімен берілген болса, онда олардың арасындағы бұрыш  формуласымен есептелінеді. Егер  немесе  болса, онда түзулер параллель; ал егер  немесе   болса, онда түзулер перпендикуляр.

        

Жазықтық

         Жазықтықтың теңдеуі түзудің теңдеуі сияқты қорытылып шығарылады. Мысалға, - координата басынан жазықтыққа дейінгі ара қашықтық белгілі болсын, – жазықтыққа перпендикуляр бірлік вектор, – жазықтықтың  нүктесінің радиус-векторы.

                                              

Сурет 2.1.2

 

Жазықтықтың нүктелерінің жалпы қасиеті – бұл нүктелердің радиус-векторларының  векторына проекциясы бірдей және -ға тең: . Ал  болғандықтан, онда соңғы теңдіктен – жазықтықтың векторлық түрдегі қалыпты теңдеуін аламыз. – жазықтықтың координаталық түрдегі қалыпты теңдеуі.

Жазықтықтың басқа теңдеулері:  – жалпы теңдеуі (– нормаль вектор, яғни жазықтыққа перпендикуляр вектор; кесінді арқылы жазықтықтың теңдеуі (,-координата осьтерімен қиып өтетін кесінділер); нүктесі арқылы өтетін және нормаль векторы  болатын жазықтықтың теңдеуі; ,, үш нүкте арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуі: .

          және  жазықтықтарының арасындығы бұрыш  формуласымен есептелінеді. Егер , онда жазықтықтар параллель;  егер , онда жазықтықтар перпендикуляр.

          нүктесінен  жазықтығына дейінгі ара қашықтық  формуласымен есептелінеді.

          нүктесінен түзуіне дейінгі ара қашықтық  формуласымен есептелінеді.

 

Кеңістіктегі түзу

Кеңістіктегі түзуді екі жазықтықтың қиылысу нәтижесі деп қарастыруға болады. Бұл жағдайда бұл жазықтықтардың теңдеулерінің жиынтығы  түзуді анықтайды және кеңістіктегі түзудің жалпы теңдеуі деп аталады. Егер жазықтықтар параллель емес және беттеспесе (ондай жағдай мүмкін, егер   матрицаның рангы  екіге тең), онда соңғы жүйе түзуді беретіні айқын.

         Түзуде жататын  нүкте, түзуге параллель вектор  (ол бағыттаушы вектор деп аталады),  кез келген нүктесінің –радиус-векторы,  нүктесінің- радиус-векторы  белгілі болсын.  болғандықтан,  теңдігін қанағаттандыратын  табылады.

Сурет 2.1.3

2.1.3 суретінен  немесе  - кеңістіктегі түзудің векторлық теңдеуі екендігі көрінеді. Бұл теңдікте вектордың координаталарына көшсек, түзудің параметрлік теңдеулерін аламыз: . Әрбір теңдеуден –ны тауып нәтижелерді теңестіріп, түзу теңдеуінің канондық түрін аламыз. . Егер  векторы координата осьтерімен  бұрыштарын жасайтын болса, онда , , – түзудің бағыттаушы косинустарын аламыз. Егер канондық теңдеуде  бағыттаушы вектор ретінде  векторын алсақ,  және  екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуін аламыз. Ескере кетейік, егер жоғарыдағы теңдеулерде z  координатасын алып тастасақ, жазықтықтағы түзу теңдеулерінің аналогын аламыз.

         Анықтама. Кеңістіктегі екі түзудің арасындағы бұрыш деп кеңістіктің кез келген нүктесі арқылы өткізілген берілген түзулерге  параллель түзулер арасындағы екі бұрыштың кез келген біреуін айтамыз.

 және  екі түзудің канондық теңдеулері белгілі болсын. Олардың арасындағы  бұрышы олардың  және  бағыттаушы векторларының арасындағы бұрышқа тең, яғни  . Егер түзулер параллель болса, онда   және  векторлары коллинеарлы және   шарты орындалады; егер перпендикулярлы болса,  онда   және  векторлары перпендикулярлы  және   шарты орындалады.

         Анықтама. Түзу мен жазықтық арасындағы бұрыш деп түзу мен оның жазықтыққа түскен проекция арасындағы сыбайлас бұрыштардың біреуі айтылады.

 жазықтықтың жалпы теңдеуі мен  түзудің канондық теңдеуі берілген болсын .

                                                   Сурет 2.1.4

 

 

2.1.4 суретінен түзу мен жазықтық арасындағы бұрыш -ге тең екенін көруге болады, мұндағы   – түзудің бағыттаушы векторы  мен  жазықтықтың  нормаль векторомы  арасындағы бұрыш. Сондықтан  немесе . Егер  және  векторлары перпендикуляр болса, онда түзу мен жазықтық та перпендикуляр болады. Сондықтан –  түзу мен жазықтықтың перпендикулярлық шарты;  –  түзу мен жазықтықтың  параллельдік шарты.

 

                 2.2 Дәріс 7.  Екінші ретті сызықтар (қисықтар)

Дәріс мазмұны: екінші ретті сызықтардың жалпы және канондық теңдеулері.

         Дәріс мақсаты: шеңбердің, эллипстің, гиперболаның, параболаның канондық теңдеуі бойынша қасиеттерін қарастыру.

 

         Алдыңғы Дәрісте айтылғандай, екі айнымалысы бар бірінші ретті теңдеу  – Оху жазықтығындағы қандай да бір түзуді анықтайды. Сонымен, жазықтықтағы түзуді бірінші ретті сызық деп есептеуге болады. Екінші ретті сызық немесе қисықты қарастырайық. Жалпы жағдайда екінші дәрежелі екі айнымалы теңдеу мына түрде беріледі:

                     (2.1).

Бұл теңдеу екінші ретті қисықтың жалпы теңдеуі деп аталынады. Коэффици-енттердің әртүрлі мәндерінде (2.1) теңдеуі әртүрлі екінші ретті қисықтардың біреуін анықтайды. Атап айтқанда шеңбер, эллипс, гипербола, парабола, екі қиылысатын түзуді, екі параллель түзуді, екі жапсырылған түзуді, нүктені, нүктенің жорамал орнын. Мысалға,  теңдеуін  және -тің ешқандай нақты мәні қанағаттандырмайды, сондықтан ол бос немесе жорамал нүктелер жиынын анықтайды; немесе  теңдеуі екі параллель түзуді  және  анықтайды. Екінші ретті қисықтардың шеңбердің, эллипстің, гиперболаның және параболаның қарапайым немесе канондық теңдеулерін қарастырайық.

        

Шеңбер

         Жоғарыда шеңбердің теңдеуі  (2.2) қорытылып шығарылды, мұндағы - шеңбердің центрі, – радиусы. (2.2) – шеңбердің канондық теңдеуі. Егер жақшаларды ашып, түрлендіру жасасақ мына түрдегі шеңбердің теңдеуін аламыз . Сонымен, егер  және  болса, онда  (2.1) теңдеуі шеңбердің теңдеуі екеніне оңай көз жеткізуге болады. Егер шеңбердің центрі координата басында орналасса, онда . Шеңбердің параметрлік теңдеуі:  (центрі  нүктесінде) немесе   (центрі координата басында).

        

Эллипс

         Анықтама. Фокустар деп аталатын берілген екі  нүктеден   және  қашықтықтарының қосындысы әрқашан  тұрақты шама болатын нүктелердің геометриялық орындарын эллипс дейміз.

Фокустарының ара қашықтықтарын  арқылы, ал тұрақты шаманы – арқылы белгілейік (шарт бойынша ). Координата жүйесін  Ох осі фокустар арқылы өтетіндей, ал координата басы  кесіндісінің ортасы болатындай етіп таңдап аламыз. – эллипс бойындағы кез келген нүкте.

 

Сурет 2.2.1

 

Сонда анықтама бойынша , мұндағы , . Сонымен, эллипстің теңдеуі аламыз , оны ықшамдасақ эллипстің канондық теңдеуі, мұндағы . Канондық теңдеуі бойынша эллипстің пішінін оңай анықтауға болады: координата басы симметрия центрі, координата осьтеріэллипстің симметрия осьтері болады.  нүктелері эллипстің төбелері, үлкен, эллипстің кіші жарты осі, жарты фокустік  ара қашықтық.  шамасы – эллипстің эксцентриситеті, ол эллипстің сопақтығын сипаттайды. Егер  және  болса, онда шеңберді эллипстің дербес жағдайы деп қарастыруға болады. Сонымен, эллипс үшін  .  жағдайын қарастырдық.

Егер , онда фокустер ордината осінде орналасады және барлық жерде, жоғарыдағы формулаларда   мен  орындарын ауыстырып жазу керек.

        

 

 

 

Гипербола

Анықтама. Фокустар деп аталатын берілген екі нүктеден  және  қашықтарының айырымы әрқашан  тұрақты шама болатын нүктелердің геометриялық орындарын  гипербола дейміз.

Гиперболаның теңдеуі эллипс теңдеуі сияқты табылады. Гиперболаның канондық теңдеуі теңдеуі , мұндағы . Координата басы симметрия центрі, координата осьтері – гиперболаның симметрия осьтері болады.  нүктелері гиперболаның нақты төбелері, – нақты жарты осі деп аталады.  нүктелері гиперболаның жорамал төбелері, ал жорамал жарты осі деп аталады. жарты фокустік  ара қашықтық. Фокустар абсцисса осінде орналасқан, координата басына қарағанда  симметриялы (2.2.2 сурет).

 

Сурет 2.2.2

 

Канондық теңдеуі   болатын гипербола   гиперболасына түйіндес деп аталады. Ол үшін – нақты жарты ось, жорамал, жарты фокустік  ара қашықтық. Фокустер ордината осінде орналасқан. – гиперболаның  эксцентриситеті, . Гиперболаның екі асимптотасы бар, яғни асимптота деп координатаның бас нүктесінен өтетін және гиперболаның тармақтары шексіз алыстағы нүктелерде кездесетін түзуді айтамыз. Асимптоталар теңдеулері: . Гиперболаны оңай салу жолы: алдымен  қабырғалары  және  болатын  координата осьтеріне параллель, ценрі координата басы болатын тік төртбұрыш салып аламыз. Бұл тік төртбұрыштың диагоналдары гиперболаның асимптоталары болады. Қабырғаларының координата осьтерімен қиылысу нүктелері – гиперболаның нақты төбелері (Ох осімен:  гиперболасының төбелері, Оу осімен:  гиперболасының төбелері). Осыдан кейін гиперболаның өзін салу көп еңбек талап етпейді.

 

Парабола

Анықтама. Фокустар деп аталатын берілген нүктеден және директриса  деп аталатын берілген түзуден ара қашықтары бірдей болатын нүктелердің геометриялық орындарын  парабола дейміз.

Параболаның фокусы абсцисса осінде жатқан болсын, директриса осы оське перпендикуляр және фокус екеуі координата басынан бірдей қашықтықта орналасқан. Фокус пен директриса арасындағы ара қашықтық -ға тең болсын (-параболаның параметрі деп аталады). Сонда, параболаның анықтамасын ескерсек, оның канондық теңдеуі . Плюс таңбасы, егер теңдеуі директрисы , фокус , парабола жарты жазықтықта орналасады (2.2.3 сурет). Минус таңбасы, егер директриса теңдеуі , фокус , парабола сол жарты жазықтықта орналасады. Абсцисса осі параболаның симметрия осі болады,  параболаның симметрия осімен қиылысқан нүктесі төбесі деп аталады,  бұл параболалар үшін координата басы оның төбесі болып табылады.

             

 

     Сурет 2.2.3                                                       Сурет 2.2.4  

 

Егер ордината осі симметрия осі болса, онда,  теңдеулерін аламыз. Егер теңдеуі директрисы , плюс таңбасы, фокус , парабола жоғарғы жарты жазықтықта орналасады (2.2.4 сурет). Минус таңбасы, егер теңдеуі директрисы , фокус , парабола төменгі жарты жазықтықта орналасады

 

2.3            Дәріс 8. Екінші ретті беттер

Дәріс мазмұны: екінші ретті беттердің жалпы және канондық теңдеулері.

Дәріс мақсаты: беттердің формасын және қасиеттерін  параллель қию әдісімен зерттеу.

 

Тік бұрышты координаталар жүйесі Oxyz берілген болсын. Егер бұл бетке тиісті кез келген нүктенің  координаталары F(x,y,z)=0 теңдеуді қанағаттандырса, онда бұл теңдеу беттің теңдеуі деп аталады. Бұл теңдеудің дәрежесі  беттің реті деп аталады. Сонымен, жазықтық – бұл бірінші ретті бет. Екінші ретті бет x, y, z  айнымалыларына қатысты екінші ретті теңдеуімен беріледі

                 (3.1)

Бұл теңдеу екінші ретті беттің жалпы теңдеуі деп аталады, коэффициенттердің әртүрлі мәндерінде ол тоғыз беттің біреуін анықтайды: сфера, эллипсоид, бір қуысты немесе екі  қуысты гиперболоид, эллиптикалық немесе гиперболалық параболоид, цилиндр, конус. Одан басқа ол екі жазықтықтың жиынтығын, нүктені, түзуді немесе нүктенің жорамал орнын да анықтай алады. Екінші ретті беттің қарапайым немесе канондық теңдеулерін қарастырайық. Бұл беттердің пішінін және орналасуын параллель қию әдісімен зерттейді: бет координата жазықтығына параллель жазықтықтармен қиылады, алынған қиманың пішіні мен өлшеміне қарап берілген бет туралы қорытынды жасайды. Тоғыз негізгі екінші ретті бетттердің біреуі – эллипсоидтың пішіні мен қасиеттерін зерттейік, қалғандарының қасиеттері сол сияқты зерттеледі.

 (*) () теңдеуімен анықталған  бет эллипсоид деп аталады.  (*) теңдеуі эллипсоидтың канондық теңдеуі деп аталады.  (*) теңдеуіне x, y, z  жұп дәрежемен енгендіктен, эллипсоид координата жазықтықтарына, осьтерге, координата басына қарағанда симметриялы. Эллипсоидтың пішінін анықтау үшін параллель қию әдісін қолданамыз. Эллипсоидты Oxy координата жазықтығына параллель жазықтықтармен, яғни  жазықтықтармен  қиямыз.  Кеңістікте қима сызықтарының теңдеуі мына түрде болады: .

z –ті бірінші теңдеуге қойып, бұл сызықтың  Oxy жазықтығына  проекциясының теңдеуін  немесе , мұндағы ,  аламыз. Сонымен, қимада жарты осьтері  және  эллипстер. Осы сияқты нәтижелер эллипсоидты  және  жазықтықтарымен қиғанда алынады: қимасында тағы да эллипстер (егер , онда эллипсоид бұл жазықтықтармен қиылыспайды). Сонымен, эллипсоид 2.3.1 суретінде кескінделген бет.

Сурет 2.3.1

 сандары эллипсоидтың жарты осьтері деп аталады. Егер олар әртүрлі болса, онда  эллипсоид үш осьті деп аталады. Егер қандай да бір екі жарты осьтері тең болса, мысалға, , онда Oxy-ке параллель қимада шеңберлер шығады, ал эллипсоидты Oxz  жазықтығында орналасқан  эллипсін Oz осі бойымен айналдырғанда алуға болады. Бұл жағдайда эллипсоид айналу эллипсоиды деп аталады. Егер  , онда эллипсоидтың дербес жағдайы – радиусы ,  центрі координаталар басында болатын  сфераны аламыз.

Екінші ретті сызықтардың графигі, канондық теңдеулері, қималары кестеде көрсетілген:

Кесте  2.3.1

Канондық теңдеулері

Графигі

Қимасының сызықтары

 

эллипсоид

 - эллипс

- эллипс

- эллипс

бір қуысты

гиперболоид

эллипс

 - гипербола

эллипс

2.3.1 Кестенің жалғасы

екі қуысты гиперболоид

 - гипербола

-эллипс

 - гипербола

эллиптикалық параболоид

-эллипс

 - парабола

- парабола

гиперболалық  параболоид

-парабола

 -парабола

 -екі түзу

1)  эллиптикалық  цилиндр,

2)  гиперболалық  цилиндр,

3) параболалық цилиндр.

1) , -эллипс 2)түзулер,  гипербола

3)  - парабола

конус

 -эллипс

  түзулер

 гипербола

 гипербола

Ескерте кетелік, келесі қима сызықтар қарастырылды: z=0  және z=h  – Oxy координата жазықтығы және оған параллель жазықтықтар, y=0 және  y= h – Oxz координата жазықтығы және оған параллель жазықтықтар,    x=0 және x=h –  Oyz координата жазықтығы және оған параллель жазықтықтар.

             

 Дәріс 9. Квадраттық формалар.  Квадраттық формалардың

геометриялық қолданымдары (приложения)

Дәріс мазмұны: квадраттық формалар. Екінші ретті қисықтардың  

теңдеулерін  канондық түрге келтіру.

Дәріс мақсаты: Квадраттық формалардың геометриялық қолданымдары

 

Жазықтықтағы квадраттық формалар

Анықтама. х және у екі айнымалысының квадраттық формасы деп

екінші ретті біртекті көпмүше айтылады.

Квадраттық форманы матрицалық түрде жазу үшін, оны мына түрде жазамыз:

.

Сонда квадраттық форманың матрицасы, ол әруақытта симметриялы. Белгілеу енгізейік:х және у айнымалыларының баған-матрицасы,  – жол-матрицасы. Квадраттық форманы матрицалық түрін аламыз: .

 кеңістігінде жаңа базис (жаңа координаттар жүйесін) таңдап алуға болады, онда квадраттық форма қарапайым түрде болады. Мысалға, ху көбейткіші бар мүшесі жоқ.  түрлендіруі   жүйесін   жүйесіне ауыстырады.  жүйесінде квадраттық форма  түрінде болса, ал  жүйесінде квадраттық форма  түрінде болады. Квадраттық форманың соңғы осы түрі  канондық деп аталады. Айта кетелік, канондық түрдегі квадраттық форманың матрицасы

диагоналды түрде болады: . Сондықтан квадраттық форманы  канондық түрге келтіру осы  квадраттық форманың матрицасын диагоналды түрге келтіруге соғады. Квадраттық форманың матрицасы әруақытта симметриялы болғандықтан, квадраттық форма  әруақытта канондық түрге келтіріледі, себебі симметриялы матрица әруақытта диагоналды түрге келтіріледі. Сонымен қатар  симметриялы матрица және  диагоналды матрицасы   қатынысымен байланысты, мұндағы   матрицасының меншікті мәндері.

Т ортогональды түрлендіруінің матрицасы (яғни ортогональды матрица). Ол берілген басистен  түрлендіруінің меншікті векторларынан тұратын базиске ауысуын қамтамасыз етеді. Бұл түрлендіру  матрицасын диагоналды түрге келтіреді, сонымен қатар квадраттық форманы  канондық түрге келтіреді. Т  матрицасының бағаны  () түрлендіруінің қалыптанған (нормаланған) меншікті векторларының  координаталарынан тұрады. Бұл  және  меншікті векторлары базис құрайды, осы базисте квадраттық форманың матрицасы диагоналды түрде болады, ал квадраттық форма канондық түрде болады. Егер  және х векторының сәйкес «ескі» және «жаңа» базистердегі баған координаттары болса, онда – координаттардың «жаңа» базиске ауысу  формуласы (матрицалық түрде). Координаттық формада бұл формулалар мына түрде болады  .

Мысал 2.4.1 -  квадраттық форманы  канондық түрге келтіретін ортогоналды түрлендіруді табу керек. Осы канондық түрді жазу керек.

Шешуі:- квадраттық форманың матрицасы. Сипаттаушы (характеристикалық) көпмүшені құрып, оның түбірлерін табамыз:

= , .

Сипаттаушы көпмүшенің түбірлері   матрицасының меншікті мәндері болып табылады. Сонымен, жаңа базисте квадраттық форма канондық түрге келтірілді , оның матрицасы  диагоналды  .

Квадраттық форма канондық түрге келтірілетін базисті табайық, яғни  меншікті мәндерге сәйкес келетін сызықты тәуелсіз меншікті векторларды табу керек.

а) : , жүйенің матрицасының рангы 1 болғандықтан, жүйе бір теңдеуге эквивалентті, ол теңдеуден  болатындығын көреміз. Егер , онда  және - жүйенің жалпы шешімі, -ге сәйкес келетін меншікті векторлардың жиыны. с=1 болсын, онда , бұл векторды қалыпты түрге келтірейік:    ,    .

б) : , дәл сол сияқты екінші нормаланған вектор аламыз  .

Сонымен, , квадраттық форманың  канондық түрге келетін базис,  – ортогоналды түрлендірудің матрицасы, ол квадраттық форманы  канондық түрге келтіреді.

  – жаңа базиске ауысқанда координаттарды түрлендіретін формулалар.

 

Екінші ретті қисықтардың теңдеулерін қысқарту

Екінші ретті қисықтардың жалпы теңдеулерін қарастырайық

            (2.1).

Жоғарыда атап өткендей, (2.1) теңдеудің коэффициенттерінің әртүрлі мәндерінде әртүрлі қисықтарды шеңберді, эллипсті, гиперболаны, параболаны немесе пайда болған сызықтар (қиылысатын түзулер жұбы, параллель түзулер жұбы, беттескен түзулер жұбы, нүктені және нүктенің жорамал орны) анықтайды. Одан басқа, сызық теңдеуінің түрі координаттар жүйесін таңдауға байланысты: әртүрлі жүйелерде бір сызық әртүрлі теңдеулермен беріледі. Сызықтың канондық теңдеулері бізге белгілі. Сондықтан сызықтың түрін анықтау үшін, берілген теңдеуде жазықтықта координаттарды түрлендіру қолданады. Сызықтың теңдеуі берілген координаттар жүйесін параллель көшіру және айналдыру көмегімен мына түрде түрлендіреміз: координаттар басы сызықтың (эллипс, гипербола) центрімен немесе төбесімен (парабола) беттеседі, ал симметрия остері координата остеріне параллель болады. Сонда жаңа жүйеде сызықтың теңдеуі канондық түрде болады. Екі жағыдайды қарастырайық.

1.      (1) теңдеуде -і  бар мүше жоқ,  яғни .

Онда координаттар басын сызықтың центріне  немесе төбесіне параллель көшіру арқылы сызықтың теңдеуі канондық түрде болатын жаңа жүйе аламыз. Оны  және  бар мүшелерді толық квадратқа толықтыру арқылы қол жеткізуге болады.

         Мысал 2.4.2  сызығының теңдеуін канондық түрге келтіру керек және оның сызбасын салу керек.

         Шешуі:  және  бар мүшелерді толық  квадратқа толықтырамыз:

 

.

Жаңа айнымалы енгіземіз

(*).

(*) формулалары координат жүйесін параллель көшіргенде  координаттарды түрлендіру формулалары болып табылады. - жаңа координаттар басы.  жүйесінде сызықтың теңдеуінің канондық түрі , бұл нақты жарты осі  және жорамал жарты осі  болатын   гипербола теңдеуі  (2.4.1 сурет)

Сурет  2.4.1

Мысал 2.4.3 -  сызығының теңдеуін канондық түрге келтіру керек және оның сызбасын салу керек.

         Шешуі: сызықтың теңдеуінде  енген мүшесі және  енген мүшесі жоқ болғандықтан, бұл канондық түрі   болатын параболаның сызығы. Теңдеуді осы түрге келтіреміз, ол үшін  бар мүшелерді толық  квадратқа толықтырамыз:

 

.

Ауыстыру енгізейік  (*).

(*) формулалары координат жүйесін параллель көшіргенде  координаттарды түрлендіру формулалары болып табылады.   – жаңа координаттар басы.   жүйесінде сызықтың теңдеуінің канондық түрі    нүктесінде төбесі, тармағы жоғары қараған парабола. Параболаның сызбасын дәлірек салу үшін оның ескі координат остерімен қиылысу нүктелерін табамыз. Ох осімен: у=0 ;  Оу осімен:  х=0  (сурет 2.4.2).

Сурет 2.4.2

2.                  (2.1) теңдеуінде  енетін мүшесі бар жалпы жағдай. Түрлендіру арқылы координат жүйесін  белгілі бұрышқа бұру арқылы, жаңа координат жүйесінде  сызықтың теңдеуніде бұл мүшені болдырмаймыз.

Атап айтқанда: (2.1) теңдеуінің үлкен мүшелерінен құралған  квадраттық форманы қарастырайық. Жоғарыда көрсетілген әдіспен оны канондық түрге келтіреміз . Ол үшін осы ауыстыруды қамтамасыз ететін ортогональ түрлендіруді қарастырамыз л сонымен қатар жүйені айналдыратын түрлендіру де

болады). Түрлендіру формулалары көмегімен жаңа координат жүйесіндегі кіші мүшелердің түрін анықтаймыз. Сонымен, координат

жүйесін бұрғаннан кейін сызықтың теңдеуі мына түрде болады

.

Қалған түрлендіруді 1 жағдайдағыдай жасаймыз. Ол үшін келесі мысалды  қарастырайық.

Мысал 2.4.3 -  сызығының теңдеуін канондық түрге келтіру керек және оның сызбасын салу керек.

         Шешуі: Теңдеудің үлкен мүшелерінен тұратын  квадраттық форманы қарастырайық. Оны канондық түрге келтіреміз   ( мысал 2.4.1 ).

   ортогональ түрлендіруінің матрицасы, ол квадраттық форманы канондық түрге келтіреді және жүйені бұру (айналдыру) матрицасы, яғни .  – бұрғандағы координаталарды түрлендіру формулалары. Сонымен, үлкен мүшелері былай   түрлендірілді:

;

кішілері – былай:

 =.

 жүйесінде сызықтың теңдеуі мына түрде болдады 

.

Әрі қарай қысқартулар жасау үшін координат жүйесін параллель көшіру түрлендіруін жасаймыз. Ол үшін  және  бар мүшелерді толық  квадратқа толықтырамыз:

 

  немесе

           

Ауыстыру жасаймыз                    (*).

(*) формулалары координат жүйесін параллель көшіргенде  координаттарды түрлендіру формулалары болып табылады.

 нүктесі – жаңа координаттар басы.   жүйесінде сызықтың теңдеуінің канондық түрі . Бұл жорамал жарты осі    және  нақты жарты осі     болатын гипербола.

          көшуіндегі бұрышты анықтау үшін   базисін, ал көшкендегі   жүйесіндегі  базисін қарастырайық.   –  бұру түрлендіруі матрицасы болғандықтан,  және   базистік векторлардың бейнесі (образы)  базисі бойынша былай жіктеледі: . Соңғы теңдікті  5-ке көбейтіп,  және  векторларын аламыз. Олар  және   векторларына коллинеарлы: . Сонымен, бұру бұрышын білудің қажеті жоқ,  жүйесінде  және  векторлары бойынша  және  векторларын салу жеткілікті. Бұл векторлар  және  жаңа координат остеріне бағыттас. Сызбасын салайық (сурет 2.4.3).

 

                                             Сурет 2.4.3

Сызбасы дәлірек шығуы үшін ескі координаталар остерімен қиылысу нүктелерін табамыз: Ох осімен: у=0; Оу осімен: х=0 дискриминант , яғни Оу осімен  қиылысу нүктелері  жоқ.

 


Қосымша А

Комплекс сандар

 комплекс сан деп  түріндегі өрнек айтылады (комплекс санның алгебралық түрі), мұндағы – нақты сандар,  – жорамал бірлік.  және  сандарын  комплекс санының сәйкес нақты және жорамал бөлігі деп атайды, ,  деп белгіленеді.  саны  комплекс санына түйіндес деп аталады. Келесі өрнектер  орынды

1) ;

2) .

 

Алгебралық түрдегі комплекс сандарға қолданылатын амалдар

Екі комплекс сан берілген   және .

1.  және  сандарының қосындысы (+) (айырымы (- ))  деп

  комплекс саны  айтылады.

2.   және  сандарының көбейтіндісі деп

 комплекс саны  айтылады.

3. -дің -ке бөліндісі деп (  комплекс саны  айтылады.

Сонымен, комплекс сандарының қосындысы, айырымы, бөліндісі  екі мүшені қосу, азайту ережесі бойынша есептелінеді, тек -ты -1-ге айырбастау керек. Бөлу де сол сияқты, бөлшекті бөлімнің түйіндесіне көбейту керек: .

 

Комплекс санның геометриялық кескінделуі

Әрбір  комплекс санына  сандар жұбы бірмәнді сәйкес келеді, ал  сандар жұбының геометриялық бейнесі ретінде жазықтықтағы нүктені немесе осы нүктенің радиус – векторын алуға болады, онда  жазықтығында  комплекс саны координаталары  болатын  нүктесімен немесе осы нүктенің радиус – вектормен   бейнеленеді.  (Сурет А.1).

      

Сурет А.1                                              Сурет А.2

 

 векторының ұзындығы деп комплекс санның модулі аталады және  деп белгіленеді.  векторы мен  осі арасындағы  бұрышы комплекс санның аргументі деп аталады, белгіленуі   . Әрбір  комплекс санға оның модулі бірмәнді сәйкес келеді:  үшбұрышынан .  Аргумент болса бірмәнді сәйкес келмейді, -ге еселі қосылғышқа дейін дәлдікпен анықталады:  (), мұндағы   аргументтің негізгі мәні, ол  (немесе ) шартын қанағаттандырады. Аргументтің негізгі мәнін келесі формулалардан табады:

Егер комплекс сан координата осьтерінде жатса, онда модуль мен аргументті оның геометриялық бейнесі бойынша табуға болады.

Мысал А.1 -   санының бейнесі бойынша (А.2 суреттегі  нүктесі) координат басынан ұзындығы 3 бірлікте орналасқандықтан, оның модулі .  векторымен және  осімен құралған  бұрышы  -ге (немесе ) тең, сондықтан аргументтің негізгі мәні  немесе .

         Комплекс саннның  екі түрі болады: тригонометриялық, көрсеткіштік. Тригонометриялық түрін А.1 суретіндегі  үшбұрышынан табуға болады  және -ны  және  арқылы өрнектейміз: ,   . Сонда - тригонометриялық түрі. Эйлер формуласын қолданып , тригонометриялық түрден көрсеткіштік түрді алуға болады: .

         Мысал А.2Комплекс саннның  тригонометриялық түрін, көрсеткіштік түрін табайық , , сондықтан модулі . Комплекс сан үшінші квадрантада орналасқандықтан, аргументті келесі  формуламен есептейміз

 =. Сонымен,  –комплекс саннның тригонометриялық түрі,  – көрсеткіштік түрі.

 

 

Тригонометриялық түрдегі комплекс сандарға қолданылатын амалдар

 

         Екі комплекс сан тригонометриялық түрде берілген болсын   және , сонда

а) ;

б) .

Сонымен, комплекс сандарды көбейткенде, олардың модульдері көбейтіледі, ал аргументтері қосылады; бөлгенде – модульдері бөлінеді, аргументтері азайтылады.

 комплекс санды  - ші дәрежеге шығару үшін, бұл санға   рет көбейту ережесін қолдану керек. Сонда Муавр формуласын аламыз: .  Айта кетелік, Муавр формуласы -нің кез келген нақты мәнінде орындалады: бүтін, бөлшек, оң, теріс.

Жорамал бірліктің дәрежесін есептеу формуласын білген жөн.    болғандықтан  формуласы орынды, мұндағы  тек төрт мәнді қабылдайды: 0, 1, 2, 3.

Мысал А.3   ==.

 комплекс саннның –ші дәрелі түбірі   әртүрлі мән қабылдайды және  = формуласымен есептелінеді, мұндағы . Әрі қарай -ның қалған мәндерінде түбірдің мәндері қайталанады. Бұл формуланы бөлшек көрсеткішті Муавр формуласынан алуға болады.  түбірін бейнелейтін нүктелердің геометриялық  кескінделуіне келсек, центрі  координата басында, радиусы  -ге тең  шеңберді   бірдей бөлікке бөледі.  нақты санының  – ші дәрежелі түбірінің де  әртүрлі мәндері болады, олардың арасында бір, екі нақты түбірі болуы мүмкін немесе ешқандай түбірі болмауы мүмкін, ол -ның жұп, тақтығына және  -тің таңбасына байланысты.

Мысал А.4 – Келесі түбірдің барлық мәндерін табайық . Алдымен =8 санын тригонометриялық түрге келтіреміз: . Олай болса, =, мұндағы . Түбірдің мәндері:

;

; .

А.3 суретінде  мәндері бейнеленген.

 

Сурет А.3

 

Әдебиеттер тізімі

       1. Аяпбергенов С. Аналитикалық геометрия.- Алматы: Мектеп, 1971. -464 с.

2. Қасымов Қ, Қасымов Е. Жоғары математика курсы: Оқу құралы. – Алматы, «Санат», 1994 -256 бет.

3. Апатенок Р.Ф., Маркина А.М. Сборник задач по линейной алгебре. - Мн.: Выш. школа, 1980. – 192 с.

       2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: в 2 ч. – М.: Высшая школа, 2003. – ч. 1,2.- 352 с.

       3. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: в 3 ч. (Рябушко А.П., Бархатов В.В. и др.). Под ред. Рябушко А.П. – Минск: Высш. школа, 2000.-ч.1.-396 с.

       4. Хасеинов К.А. Каноны математики: Учебник. – Алматы, 2003.-686 с.

       5. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – Москва: Наука, 1974.-296 с.

       6. Тышкевич Р.И., Феденко А.С. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. - Мн.: Выш. школа, 1968. – 504 с.

         7. Л.Н.Астраханцева, Л.Н.Ким, Байсалова М.Ж. Алгебра және геометрия. Есептеу-графикалық жұмыстарды орындауға арналған әдістемелік нұсқаулар мен тапсырмалар (050704 – Есептеу  техникасы және бағдарламалық қамтамасыз ету мамандығы бойынша оқитын күндізгі бөлім студенттері үшін). -3 бөлім.-Алматы: АЭжБИ, 2007. -26 б.

       8. Л.Н.Астраханцева, Байсалова М.Ж. Алгебра және геометрия. 050704 – Есептеу  техникасы және бағдарламалық қамтамасыз ету мамандығы бойынша оқитын күндізгі бөлім студенттері үшін есептеу-графикалық жұмыстарды орындауға арналған әдістемелік нұсқаулар мен тапсырмалар. -1 бөлім.-Алматы: АЭжБИ, 2007. - 27 б.

9. Л.Н.Астраханцева, Байсалова М.Ж. Алгебра және геометрия. Есептеу-графикалық жұмыстарды орындауға арналған әдістемелік нұсқаулар мен тапсырмалар (050704 – Есептеу  техника және бағдарламалық қамтамасыз ету мамандығы бойынша оқитын күндізгі бөлім студенттері үшін). -2 бөлім. -Алматы: АЭжБИ, 2007. - 28 б.

       10. Л.Н.Астраханцева, Байсалова М.Ж. Алгебра және геометрия. Есептеу-графикалық жұмыстарды орындауға арналған әдістемелік нұсқаулар мен тапсырмалар (050704 – Есептеу  техникасы және бағдарламалық қамтамасыз ету мамандығы бойынша оқитын күндізгі бөлім студенттері үшін). -3 бөлім.-Алматы: АЭжБИ, 2007. - 26 б.