Коммерциялық емес акционерлік қоғам

АЛМАТЫ ЭНЕРГЕТИКА ЖӘНЕ БАЙЛАНЫС УНИВЕРСИТЕТІ

Жоғары математика кафедрасы

 

 

 

МАТЕМАТИКАЛЫҚ ТАЛДАУ

5В070400Есептеу техникасы және бағдарламалық қамту,

5В070300Ақпараттық жүйелер мамандықтарының барлық оқу түрінің студенттеріне арналған дәрістер жинағы

 

 

 

 Алматы 2011 

ҚҰРАСТЫРУШЫЛАР: Ким Р.Е., Төлеуова Б.Ж. Математикалық талдау. 5В070400 – Есептеу техникасы және бағдарламалық қамту, 5В070300 – Ақпараттық жүйелер мамандықтарының барлық оқу түрінің студенттеріне арналған дәрістер жинағы. -Алматы: АЭжБУ, 2010.- 59 б.

 

Бұл конспект математикалық талдау курсының негізгі тараулары «Талдауға кіріспе. Бір айнымалы функцияның дифференциалдық есептеулері», «Бірнеше айнымалы функция.  Бір және бірнеше айнымалы функцияның интегралдық есептеулері», «Дифференциалдық теңдеулер», «Қатарлар» бойынша 12 дәрістен тұрады.

Бұл жинақ 5В070400 – Есептеу техникасы және бағдарламалық қамту және  5В070300 – Ақпараттық жүйелер мамандықтарының барлық оқу түрінің студенттеріне арналған.

Без. 17, кестелер 4, әдеб.көрсеткіші – 10 атау.

 

Пікір беруші: физ.-мат.ғыл. канд., проф. Базарбаева С.Е.

  

«Алматы энергетика және байланыс институты» коммерциялық емес акционерлік қоғамының  2010 ж. жоспары бойынша басылды 

 

ã «Алматы энергетика және байланыс университеті» КЕАҚ, 2011 ж.

 

Алғы сөз 

Бұл конспект математикалық талдау курсында оқылатын «Математикалық талдауға кіріспе. Бір  айнымалы    функцияның дифференциалдық  есептеулері»,     «Бірнеше айнымалы функция.  Бір  және бірнеше айнымалы функцияның интегралдық есептеулері»,    «Дифференциалдық теңдеулер», «Қатарлар» тараулары бойынша 12 дәрістен тұрады және 5В070400 – Есептеу техникасы және бағдарламалық қамту және  5В070300 – Ақпараттық жүйелер мамандықтарының бакалавриатының барлық оқу формасының екінші семестрінің оқу жоспарына сәйкес келеді. Тараулар бір-бірімен тығыз байланысқан. Әрбір тақырып бойынша негізгі теориялық мәліметтер және оларды меңгеруге арналған мысалдар келтірілген.

Дәрістер жинағы студенттер мен оқытушыларға арналған, және сонымен қатар математикалық талдау пәні бойынша өзіндік жұмыс жүргізуге арналған.

 

1 Математикалық  талдауға кіріспе. Бір айнымалы функцияның дифференциалдық есептеулері

 

1.1   Дәріс 1. Функция. Сандық тізбек. Шектер

 

          Дәрістің мазмұны: функция ұғымы. Берілу тәсілдері, қасиеттері, классификациясы. Сандық тізбек. Сандық тізбектің шегі. Функцияның шегі. Шектер туралы теоремалар. Біржақты шектер. Бірінші және екінші тамаша шектер.

Дәрістің мақсаты: математикалық талдаудың негізгі түсініктерімен танысу.

 

                   Айнымалы шама деп әртүрлі сан мәндерді қабылдайтын х шаманы атайды.

Қабылдайтын сандық мәндері өзгермейтін шама тұрақты шама деп аталады.

Егер тәуелсіз айнымалы х-тің кез-келген мәніне (барлық мүмкін мәндер жиынынан) тәуелді айнымалы у -тің белгілі бір мәні сәйкес келсе, онда айнымалы шама  у  функция деп аталады.

     Белгіленуі:  у = f (х).

Айнымалы  х  аргумент немесе тәуелсіз айнымалы,  ал у тәуелді

айнымалы деп аталады.

 f (х) заңы немесе ережесі бойынша у функциясының мәндері анықталатын х-тің мәндерінің жиыны функцияның анықталу облысы (D(y) арқылы белгіленеді), ал у-тің мәндерінің жиыны функцияның мәндерінің облысы (E(y) арқылы белгіленеді) деп аталады.

 

Функцияның берілу тәсілдері:

1)     аналитикалық (формула арқылы);

2)     кестелік;

3)     графиктік:

Функцияның графигі деп Оху жазықтығының (х; f (х)) нүктелер

жиынын атайды;

4)     сөздік.

 

Функцияның негізгі қасиеттері:

1)     Жұптығы.

Егер " хÎD(у) үшін  f (– х) = f (х) теңдігі орындалса, онда  у = f (х) жұп функция деп аталады (функцияның графигі ординаталар өсіне қарағанда симметриялы);

2)     Тақтығы.

Егер " хÎD(у) үшін  f (– х) = – f (х) теңдігі орындалса, онда  у = f (х) тақ функция деп аталады (функцияның графигі координаталар басына қарағанда симметриялы);

3)     Монотондығы.

          Егер аргумент х-тің үлкен мәніне у = f (х) функциясының үлкен (кіші) мәні сәйкес келсе, онда функция  өспелі (кемімелі) деп аталады.

Өспелі, кемімелі функциялар монотонды деп аталады;

4)     Шектеулілігі.

Егер " хÎD(у) үшін  | f (х)| ≤ М теңдігі орындалатындай М > 0 саны табылса, онда  у = f (х) функциясы  D облысында шектеулі деп аталады (аргумент х-тің өзгеру облысында).

Егер мұндай М  саны табылмаса, онда функция осы облыста шектеусіз деп аталады;

5)     Периодтылығы.

Егер " хÎD(у) үшін  f (х + С) = f (х) орындалатындай С > 0 саны табылса, онда  у = f (х) функциясы  D облысында периодты деп аталады.

Осындай сандардың ең кішісі функцияның периоды деп аталады.

 

Функцияның негізгі түрлері:

1)    Айқын және айқын емес функция.

Егер функция  у = f (х) теңдеуімен берілсе, онда ол айқын түрде берілген, ал F(x, y) = 0 теңдеуімен берілсе, онда ол айқын емес түрде берілген делінеді. 

2)    Кері функция.

Егер x-тің және оған сәйкес y = f (х) мәндерінің арасында өзара бірмәнді сәйкестік болса, онда, y-тің мәндерін аргумент мәндері, ал х-тің мәндерін функция мәндері деп қарастыру арқылы  х = φ(y) функциясын аламыз. Бұл функция у = f (х) функциясына кері функция деп аталады.

у = f (х) функциясы  х = φ(y) функциясына кері болады.

3)    Күрделі функция (суперпозициясы, композициясы, функцияның функциясы).

Егер у и-дан тәуелді, ал и х-тен тәуелді функция болса, онда у х-тен тәуелді функция болады, яғни у = F(и), и = φ(х) болса, онда  у = F [φ(х)]. Соңғы функция функцияның функциясы немесе күрделі функция немесе суперпозиция немесе композиция деп аталады.

 

Сандық тізбек

Егер у = f (х) функциясы натурал сандар жиынында (яғни  D(y)= N, мұндағы  N = {1, 2, 3, …}) анықталған болса, онда біз мәндері сандық тізбек у1, у2, у3, …, уп, … (мұндағы  уп = f (n), пÎN ) құратын реттелген айнымалы шаманы аламыз.

 

Сандық тізбектің шегі

1. Егер "e > 0   $ N  > 0 барлық  п > N  үшін ½уп –  а½< e  орындалса, онда  а саны уп айнымалы шаманың  п → ∞ шегі деп аталады. (Бұл жазу былайша оқылады: «егер кез-келген шексіз аз ε оң саны үщін N > 0 нөмірі бар болып, барлық  п > N  үшін ½уп –  а½< e   теңсіздігі орындалса»)

Белгіленуі:    немесе .  

2. Егер  кез-келген п > N  және " М > 0   үшін   $ N > 0½уп ½ > М  болса, онда уп шексіздікке ұмтылады.

Белгіленуі:   немесе .  

Мысалдар:     1) уп = п,   ;   2)  уп = (–1)п п,   .

Функцияның шегі

y = f (x) функциясы а нүктесінің қандайда бір аймағында немесе осы аймақтың бірнеше нүктесінде анықталған болсын.

(функцияның нүктедегі шегі)

Егер "e > 0   $ d (e) > 0, | х а | < d (e) шартын қанағаттандыратын барлық  x үшін ½уп –  а½< e  теңсіздігі орындалса, онда b саны  y = f (x) функциясының  х  a-ға ұмтылғандағы (x ® a) шегі деп аталады ( y ® b ).

Белгіленуі:  x ® a  f (x) ® b    немесе  

Біржақты шектер:

а) (f (x) функциясының а нүктедегі сол жақты шегі)       

Егер "e > 0   $ d (e) > 0, 0 < ах < d (e) шартын қанағаттандыратын барлық  x үшін ½f (x) b1½< e теңсіздігі орындалса, онда b1 саны  y = f (x) функциясының  х  a-ға ұмтылғандағы (x ® a – 0) сол жақты шегі деп аталады (y ® b1). Белгіленуі:    .

ә) (f (x) функциясының а нүктедегі оң жақты шегі)       

Егер " М > 0   $ d (М) > 0, 0 < х а < d (e) шартын қанағаттандыратын барлық  x үшін ½f (x) b2½< e теңсіздігі орындалса, онда b2 саны  y = f (x) функциясының  х  a-ға ұмтылғандағы (x ® a + 0) оң жақты шегі деп аталады (y ® b2). Белгіленуі:    .

(функцияның ақырсыз шектері)          

Егер " М > 0   $ d (М) > 0, | х а | < d (М) шартын қанағаттандыратын барлық  x үшін ½f (x)½> М теңсіздігі орындалса, онда x ® a y = f (x) функциясының  шегі ақырсыз үлкен болады (y ® ¥). Белгіленуі:    .

Егер  x ® a  f (x) функциясының  шегі ақырсыз үлкен болса және тек оң немесе тек теріс мәндерді қабылдаса, онда сәйкесінше былай жазылады:  немесе  .

(функцияның шексіздіктегі шектері)

Егер "e > 0   $ N > 0, | х | > N  шартын қанағаттандыратын барлық  x үшін ½f (x) b½< e  теңсіздігі орындалса, онда b саны  y = f (x) функциясының  х  ® ¥ шегі деп аталады.

Белгіленуі:  1)   x ® ¥  f (x) ® b     немесе   

                   2)   x ® ¥  f (x) ® b  немесе   

                   3)   x ® + ¥  f (x) ® b  немесе   

Мысал.    

Егер   x ® ¥   f (x) ® ¥ , онда былай жазылады:    

Кейбір жағдайларда:  және т.с.с.

Мысалдар:          

         Е с к е р т у. y = f (x) функциясы  x ® a  немесе  х ® ¥  ақырлы шекке ие болмауы немесе шексіздікке ұмтылмауы мүмкін. (Мысал.   y = sin x.)

 

Шектер туралы негізгі теоремалар

а £ ¥ (тұрақты немесе шексіздік) болсын.

Теорема 1.   .

Теорема 2.   .

СалдарС тұрақты.

Теорема 3.      егер     

Теорема 4.  Егер   u(x), y(x), v(x)  функциялары үшін u(x) £ y(x) £ v(x)  шарты орындалса және     болса, онда    .

Теорема 5.  Егер u(x), v(x) функциялары үшін  u(x) £ v(x) шарты орындалса және  шектері бар болса,   .

Теорема 6.  Егер  х ® а  үшін у ³ 0 болса және  у ® b онда  b ³ 0.

Теорема 7.  Если  у өспелі және шектеулі функция, яғни  у < M  болса, онда   мұндағы  В £ M, шегі бар болады.

 

Бірінші және екінші тамаша шектер

Бірінші тамаша шек.

Салдарлар:    1);      2) ;       3) .

Екінші тамаша шек,    е = 2,7182818284…,

             – жалпылама түрі.

 

1.2      Дәріс 2. Функцияның үзіліссіздігі

 

Дәрістің мазмұны: шектерді табу техникасы. Шексіз аз және шексіз үлкен шамалар. Шексіз аз шамалар туралы теоремалар. Шексіз аз шамаларды салыстыру. Эквивалент шексіз аз шамалар туралы теоремалар. Функцияның нүктедегі және аралықтағы үзіліссіздігі. Үзіліс нүктелері және олардың классификациясы. Кесіндіде үзіліссіз функциялар.

Дәрістің мақсаты: шектерді табу техникасымен, үзіліссіз және үзілісті функциялармен,  үзіліс нүктелерінің классификациясымен танысу.

 

Шектерді табу техникасы. Анықталғандық және айқындалмағандықтардың түрлері, оларды анықтау тәсілдері

Шекті анықтау үшін берілген функцияға ең алдымен айнымалының орнына шектік мәнді қою керек.

Егер нақты мән шықса (тұрақты немесе шексіздік), онда ол жауабы болады.

Анықталғандықтардың түрлері:  

 .

Егер айнымалының орнына шектік мәнді қойғанда айқындалмағандықтардың біреуі келіп шықса (түрлері: ), онда 4.1 кестеде келтірілген тәсілдерді қолдану арқылы айқындалмағандықты анықтау қажет (Қосымшаларды қараңыз).

 

Шексіз аз және шексіз үлкен функциялар

Егер   болса, онда a(х) функциясы х ® а (а – нақты сан немесе ¥ символы) шексіз аз деп аталады.

х ® а – 0  және  х ® а + 0, сонымен қатар   х ®¥  немесе   х ® +¥ жағдайлары үшін де шексіз аздар осылайша анықталады.

Е с к е р т у.  Егер  болса, онда  f (x) – A шексіз аз болады.

Егер   болса, онда f (х) функциясы х ® а (а – нақты сан немесе ¥ символы) шексіз үлкен деп аталады.

Лемма.    1) егер  х ® а  f (х) ® ,  онда х ® а  ;

                         2)  егер  х ® а  a(х) ® 0, онда   х ® а  .

Шексіз аз шамалар туралы негізгі теоремалар

Теорема 1. х ® а шексіз аз шамалардың санаулы мүшелерінің қосындысы х ® а шексіз аз шама болады.

Теорема 2.  х ® а шексіз аз шама мен шенелген функцияның көбейтіндісі х ® а шексіз аз шама болады.

Теорема 3. х ® а шексіз аз шамалардың санаулы мүшелерінің көбейтіндісі  х ® а шексіз аз шама болады.

Е с к е р т у.  х ® а  a(х)  шексіз аз шаманың бүтін оң дәрежесі  [a(х)]п   х ® а шексіз аз шама болады.

Е с к е р т у.  х ® а  a(х)  және b(х) шексіз аздардың қатынасы   х ® а шексіз аз шама болады.

Шексіз аз шамаларды салыстыру

Шексіз аздарды салыстыру үшін олардың қатынастарының шегін анықтау қажет.  және  х ® а шексіз аз шамалар болсын. Сонда егер

1)  болса, онда   функциясы -ке қарағанда аздық реті жоғары шексіз аз деп аталады және былай белгіленеді:  ;

2)  болса, онда   функциясы -ке қарағанда аздық реті төмен шексіз аз деп аталады;

3)  болса, онда   және  аздық реті бірдей шексіз аз шамалар деп аталады;

4)  болса, онда   и  эквивалентті шексіз аз шамалар деп аталады және былай белгіленеді: ;

5)  болса, онда   -ке қарағанда -шы ретті шексіз аз шама деп аталады.

 

Эквивалент шексіз аз шамалар және оларды шектерді табуда

қолдану

Шектерді табу барысында эквивалент шексіз аз шамалар туралы төмендегі теоремаларды қолдануға болады:

Теорема 4. Егер  х ® а  ,  болса, онда  

1)  ;

2) .

Теорема 5.  Шексіз аз шамалардың санаулы мүшелерінің реті ең төмен қосылғышқа эквивалент болады.

Сонымен, шекті табуда осы теоремаларға сүйене отырып және эквивалент шексіз аздардың кестесін (Қосымшалар, кесте 4.2) қолдана отырып,   бір шексіз аз шаманы екіншісімен алмастыруға болады.

Функцияның үзіліссіздігі     

Егер x = хнүктесінде және оның қандайда бір маңайында анықталған

     у = f (x) функциясы үшін  f (х0 + 0) = f (х0 – 0) = f (х0) теңдігі орындалса, онда осы нүктеде және оның маңайында функция үзіліссіз деп аталады. 

Шектің анықтамасы бойынша  ε> 0 шексіз аз саны үшін d (e) > 0 саны бар болып | х х0 | < d (e)  теңсіздігін қанағаттандыратын барлық  х-тер үшін ½f (x) –  f (х0) ½< e  теңсіздігі орындалады.  

Өсімше ұғымын енгіземіз:

аргументтің өсімшесі:  ∆x = x х0 ;

функцияның өсімшесі:  ∆у = f (x) – f (х0).

Демек, үзіліссіз функция үшін аргументтің шексіз аз өсімшесіне функцияның шексіз аз өсімшесі сәйкес келеді.

 

Нүктеде үзіліссіз функцияның негізгі қасиеттері:

1)    Егер f1(x) және f2(x) функциялары  x = х0  нүктеде үзіліссіз болса, онда

олардың қосындысынан тұратын (f1(x) + f2(x)) функциясы да осы  нүктеде үзіліссіз болады.

     (Бұл қасиет кез-келген санаулы қосылғыштарға орындалады.)

2)    Егер f1(x) және f2(x) функциялары  x = х0  нүктеде үзіліссіз болса, онда

олардың көбейтіндісінен тұратын f1(x)∙f2(x) функциясы да осы  нүктеде үзіліссіз болады.

    (Бұл қасиет кез-келген санаулы көбейткіштерге орындалады.)

3)    Егер f1(x) және f2(x) функциялары  x = х0  нүктеде үзіліссіз болса, онда

олардың қатынасы  ,  (f2(x0)≠0) осы  нүктеде үзіліссіз болады.

4)    Егер u = φ(x) функциясы  x = х0 нүктеде үзіліссіз, ал  f (u) функциясы 

u0 = φ(х0) нүктеде үзіліссіз болса, онда, f [φ(x)] күрделі  функциясы осы  нүктеде үзіліссіз болады.

5)    Әрбір элементар функция өзінің анықталу облысында үзіліссіз.

 

Кесіндіде үзіліссіз функциялар  

Егер функция (a, b) аралығының кез-келген нүктесінде үзіліссіз және  ,  болса, онда ол  [a, b] кесіндіде үзіліссіз болады.

Кесіндіде үзіліссіз функцияның негізгі қасиеттері:

1)  Егер  f (x) функциясы [a, b] кесіндіде үзіліссіз болса, онда осы аралықта функция ең үлкен мәнін қабылдайтын кем дегенде бір нүкте және функция ең кіші мәнін қабылдайтын кем дегенде бір нүкте бар болады.

2)  Егер  f (x) функциясы [a, b] кесіндіде үзіліссіз және f (а) = т,  f (b) = п болса, онда m және  n сандарының арасындағы кез-келген  k үшін f (с) = k болатындай x = с нүктесі табылады.

     Егер   f (a) және  f (b) әртүрлі таңбаға ие болса, онда  f (с) = 0 болатындай

x = с нүктесі табылады.

 

Біржақты үзіліссіздік

Үзіліс нүктелері және олардың классификациясы

Егер x = х0 нүктеде у = f (x) функциясы үшін үзіліссіздіктің ең болмағанда бір шарты орындалмаса, онда осы нүктеде  функция үзіліске ұшырайды  делінеді, ал  x = х0 нүктесі үзіліс нүктесі деп аталады.

Егер  f (х0 0)  және  f (х0 + 0)   шектері бар болса, онда

 f (х0 + 0) – f (х0 0)  айырмасы функцияның х0 нүктедегі секірісі деп аталады.

Егер x = х0 нүктеде у = f (x) функциясының біржақты шектері ақырлы, бірақ өзара тең емес, яғни  f (х0 + 0) ¹  f (х0 0) болса, функция бірінші текті үзілісті функция деп аталады.                                      

Егер  f (х0 + 0) = f (х0 0) ¹ f (х0) болса, онда  х0 бірінші текті жөнделетін үзіліс нүктесі деп аталады. Егер біржақты f (х0 0)  (f (х0 + 0)) шектердің ең  болмаса біреуі  шексіздікке ұмтылса немесе  болмаса, онда  

х0 екінші текті үзіліс нүктесі деп аталады.

 

Мысал. Функцияны үзіліссіздікке зерттеңіз. Үзіліссіз нүктесінің тегін анықтаңыз:  1) ;      2).

Шешуі.

 

1) , .

     болғандықтан,  х0 = 2 бірінші текті үзіліс нүктесі,

                         = 1 –функцияның секірісі.   

 

2) ,       

    .

     болғандықтан, х0 = 5 екінші текті үзіліс нүктесі.

  

1.3 Дәріс 3. Бір айнымалы функцияның дифференциалдық есептелуі

 

Дәрістің мазмұны: бір айнымалы функцияның туындысы. Дифференциалдау ережелері. Негізгі элементар функциялардың туындысы. Логарифмдік дифференциалдау. Айқын емес және параметрлік түрде берілген функцияның туындысы. Дифференциал.

Дәрістің мақсаты: бір айнымалы функцияның дифференциалдық есептелуінің негізгі түсініктерімен танысу.

 

Бір айнымалы функцияның туындысы

а) туындының механикалық мағынасы

кейбір қозғалыс заңы  s = f (t)  берілген болсын және  D t уақыт өсімшесі, D s ара қашықтық өсімшесі. Тогда    D t –дан  (t +D t)-ға дейінгі уақыт аралығындағы орташа жылдамдық,    уақыт мезетіндегі лездік жылдамдық немесе   v(t) жолдың уақыт бойынша туындысы.

ә)  туындының жалпы анықтамасы

y = f (x) функциясы кез-келген  х  және  (х + h), мұндағы ½h½<< 1, үшін анықталған болсын.

Сонда  D x = h D y = f (x + h) f (x) десек, мынаны аламыз:

                                                    .  

х-ті тұрақты десек,    h –қа тәуелді, – e £  h £ e  аралығының h = 0 нүктеден басқа барлық нүктелерінде анықталған функция.

          Егер мына шек    бар болса, онда ол шек  f (x) функциясының х нүктедегі туындысы деп, ал  f (x) осы нүктеде дифференциалданатын функция делінеді.

Белгіленуі:          .

          Туындыны табу операциясы дифференциалдау деп аталады.

                   Е с к е р т  у. Егер  х-тің қандайда бір мәнінде  f¢ (x) бар болса, онда осы нүктеде функция үзіліссіз. Кері тұжырым дұрыс емес.

б)  туындының геометриялық мағынасы: туынды  f¢ (x) қисыққа  М(х, у) нүктеде жүргізілген жанаманың Ох өсінің оң бағытымен жасайтын a бұрышының тангенсіне, яғни осы жанаманың бұрыштық коэффициентіне тең.

Функцияның графигіне жүргізілген жанаманың теңдеуі  

y y0 = f¢ (x0)(x x0) ,  

мұндағы    y0 = f (x0), f¢ (x0) – графикке (x0 , y0) нүктеде жүргізілген жанаманың бұрыштық коэффициенті.

Функцияның графигіне жүргізілген нормальдің теңдеуі  

,  мұндағы   – графикке (x0; y0) нүктеде жүргізілген нормальдің бұрыштық коэффициенті,  –нормаль-вектор.

Дифференциалдау ережелері

u = u(x), v = v(x), u1 = u1(х) , u2 = u2(х) , ... , un = uп(х)  – дифференциалданатын функциялар үшін мына теңдіктер орындалады:

 

1) Тұрақтының туындысы нөлге тең:  (С)¢ = 0,   С const,     

2) Қосынды мен айырманың туындысы:    (u1 ± u2 ± ... ± un)¢ = u1¢ ± u2¢ ± ... ± un       

3) Көбейтіндінің туындысы:  (uv)¢ = u¢v + uv       

3´) (Сu)¢ = Сu¢    (3-тің салдары)

4) Бөлшектің туындысы:¢

4´)  (4-тің салдары)

 

5) Күрделі функцияның туындысы:  y = f (u), u = j (x) болсын. Сонда 

[ f (j (x)) = f¢u(и)× (x)  немесе  y¢x = y¢u× u¢x .

6) Кері функцияның туындысы:  егер дифференциалданатын y = f (x) функциясының кері  x = j (y)  функциясы бар болса, онда .

Негізгі элементар функциялардың туындысы 4.3  кестеде келтірілген (Қосымшаларды қараңыз).

Дифференциалдық есептеулердің негізгі теоремалары

Теорема (Лопиталь ережесі)  f (х), g(х) функциялары х = а нүктесінің аймағында үзіліссіз, дифференциалданатын және f (а) = g(а) = 0 болсын. Сонда егер  шегі бар болса,  шегі де бар болады және =.

Ес к е р т у. Лопиталь ережесін   түріндегі айқындалмағандықтарды анықтауда да қолдануға болады. Айқындалмағандықтардың кейбір түрлерін Лопиталь ережесін қолдануға болатын түрге келтіруге болады:

1) , мұндағы , шегін қарастырамыз.  0·∞  түріндегі айқындалмағандықты мынадай түрлендірулер арқылы немесе  түріне келтіруге болады:

                    немесе   .

 

 

2) , мұндағы  ,  шегін қарастырамыз.

1¥ түріндегі айқындалмағандықты (түрлендіруі арқылы) 0×¥ түріндегі айқындалмағандыққа келтіруге болады.

¥0 , 00 түріндегі айқындалмағандықтарды  0×¥-ке келтіруге болады.

Ферма теоремасы.

Егер f (x) функциясы (a, b) аралығында үзіліссіз, дифференциалданатын және осы аралықтың  x = c нүктесінде ең үлкен (ең кіші) мәнге ие болса, онда f¢ (c) = 0.

3. Лагранж теоремасы (ақырлы өсімшелер формуласы)

Егер  f (x)  функциясы [a, b] сегментте үзіліссіз, (a, b) аралығында дифференциалданатын болса, онда       f (b)f (a) = f¢ (c)(ba)   теңдігі орындалатын кемінде бір c,  a < c < b, нүктесі табылады.


Егер Лагранж формуласын , мұндағы теңдіктің сол жағы қиюшы түзудің көлбеу бұрышының тангенсі, ал оң жағы жанаманың көлбеу бұрышының тангенсі, түрінде жазсақ, онда Лагранж формуласының геометриялық мағынасын аламыз: жанама қиюшы түзуге  параллель болатындай с нүктесі табылады.

        1.3.1 сурет 


Логарифмдік дифференциалдау тәсілі

u = u(x) және v = v(x) – дифференциалданатын функциялар болсын.

y = uv  дәрежелі-көрсеткіштік функция құрамыз.

Бұл функцияның  у¢ (х) туындысын логарифмдік  дифференциалдау тәсілімен табамыз: 

1) y = uv  теңдігі логарифмдейміз:   ln y = ln uv = v× ln u;

2) дифференциалдаймыз: ;  

3) табамыз:     y¢uv ( v¢× ln u + v× u¢ / u )v¢× uv ln u + v uv-1× u¢.

 

Айқындалмаған функцияның туындысы

Егер   y = j (x) функциясы айқын емес түрде, яғни   F(x, y) = 0

теңдеуімен берілген болса, онда  

F¢x (x, y) + F¢y (x, y) y¢ = 0       .

Параметрлік түрде берілген функцияның туындысы

y (x) функциясы параметрлік түрде берілген болсын:            

Бұл функцияның туындысы былайша табылады:

                                                            .

Дифференциал және оның жуықтап есептеуде қолданылуы

y = f (x) функциясы [а, b] кесіндісінде дифференциалданатын болсын. Функцияның  [а, b] кесіндісінің қандайда бір  х нүктесіндегі туындысы былайша табылады:

                                      .

Демек,   мұндағы   Dх ® 0 a ® 0. Теңдіктің екі жағын Dх-ке көбейтеміз:         мұндағы aDхDх-ке қарағанда реті жоғары шексіз аз, өйткені

Сонымен,  функцияның өсімшесі Dу екі қосылғыштан тұрады. Бірінші қосылғыш  Dх бойынша сызықты және өсімшенің бас бөлігі деп аталады.

f¢ (x)Dх көбейтіндісін  y = f (x) функциясының дифференциалы деп атайды және dy немесе  df (x) арқылы белгілейді:        dy = f¢ (x)Dх

у = х функцияның дифференциалын табамыз:  dy = dх = Dх.

Демек,  dy = f¢ (x) dх,  немесе   .

Сонымен, функцияның туындысы  функцияның дифференциалының аргументтің дифференциалына қатнасына тең.

Дифференциалдың геометриялық  мағынасы:  y = f (x) функцияның

х  нүктедегі дифференциалы графикке осы  нүктеде жүргізілген  жанаманың

аргумент Dх өсімше алғандағы өсімшесіне тең.

 мұндағы aDх Dх-ке қарағанда реті жоғары шексіз аз болғандықтан, Dу » dy  немесе  f (x+Dx) – f (x) » f¢ (x)Dx. Осыдан жуықтап есептеу формуласын аламыз:

f (x+Dx) » f¢ (x)Dx+ f (x).

 

 

Дифференциалдың қасиеттері:

1)  d(u+v) = du + dv;       2)  d(uv) = udv +vdu;         3)   .

 

 

1.4 Дәріс 4. Функцияны туындының көмегімен зерттеу

 

Дәрістің мазмұны: функцияның өсуі, кемуі туралы теоремалар. Бір айнымалы функцияның экстремумы. Экстремумның бар болуының қажетті және жеткілікті шарттары. Функцияның кесіндідегі ең үлкен және ең кіші мәндері. Функцияның  графигінің ойыстығы, дөңестігі, иілу нүктелері. Функцияның  графигінің  асимптоталары. Функцияны толық зерттеу.

Дәрістің мақсаты: функцияны туындының көмегімен зерттеу.

 

Функцияның монотондығының шарттары

Теорема 1. (өспелі функция үшін)

Егер [a, b] кесіндісінде дифференциалданатын  f (x) функциясы өспелі болса, онда  осы кесіндіде f¢ (x) ³ 0 болады.     

Егер [a,b] кесіндіде үзіліссіз және (a,b) аралығында дифференциалданатын  f (x) функциясы үшін осы аралықта f¢ (x) > 0 болса, онда функция [a, b]  кесіндіде өспелі болады.

Теорема 2. (кемімелі функция үшін)

Егер [a, b] кесіндісінде дифференциалданатын  f (x) функциясы кемімелі болса, онда  осы кесіндіде f¢ (x) £ 0 болады.     

Егер [a,b] кесіндіде үзіліссіз және (a,b) аралығында дифференциалданатын  f (x) функциясы үшін осы аралықта f¢ (x) < 0 болса, онда функция [a, b]  кесіндіде кемімелі болады.


Теоремалардың геометриялық мағынасы:

- функцияның өсу (кему) аралығында жанама абсциссалар өсімен тангенсі (туындысы) оң (теріс) мән қабылдайтын сүйір (доғал) бұрыш жасайды.

 

                                                                   

                                                                                    1.4.1 сурет

 

  

Бір айнымалы функцияның экстремумы

Егер кез-келген (оң немесе теріс), абсолют шамасы бойынша өте аз (яғни ½Dх½<< 1) Dх үшін f (x1 + Dх) <  f (x1)  (f (x2 + Dх) > f (x2))  шарттары орындалса, онда х = х1  нүктеде функция максимум (минимум) мәнге ие болады делінеді.

Е с к е р т у. Кесіндіде анықталған функция максимум немесе минимумге осы

 

аралықтағы нүктеде ие болады.

Функцияның максимум немесе минимумы оның осы кесіндідегі ең үлкен немесе ең кіші мәні болады деуге болмайды.

Функцияның максимум немесе минимум мәндері оның экстремумдары деп аталады.

                                                       

                                      1.4.2 сурет

 

Теорема 3.  (экстремумның бар болуының қажетті шарты)

          Егер дифференциалданатын  y = f (x) функциясы  х = х1 нүктеде максимум немесе минимумға те болса, онда    f¢ (x1) = 0.

Е с к е р т у.  1. Теореманың шарты жеткілікті емес.  (Мысал:  y = x3).

2. Экстремум функцияның туындысы болмайтын (үзіліске ұшырайтын) нүктелерде де болуы мүмкін. (Мысал:  у = ½х½,  х = 0).

          Функцияның туындысын нөлге айналдыратын аргументтің мәндері немесе үзіліс нүктелері кризистік (күдікті) нүктелер деп аталады.

Теорема 4. (экстремумның бар болуының бірінші жеткілікті шарты)

f (x) функциясы  х1 күдікті нүктені қамтитын аралықта үзіліссіз және осы аралықтың әрбір нүктесінде (мүмкін, х1-дің өзінен басқа) дифференциалданатын болсын. Сонда

а) егер   х < хүшін  f¢ (x) > 0  және   х > хүшін  f¢ (x) < 0 болса,

              онда   х1 нүктеде функция      максимумға ие.

ә) егер   х < хүшін  f¢ (x) < 0 және   х > хүшін  f¢ (x) > 0  болса,

              онда   х1 нүктеде функция      минимумға ие.

Теорема 5. (экстремумның бар болуының екінші жеткілікті шарты)

f¢ (x1) = 0 және  х1 нүктенің қандайда аймағында f¢¢ (x)  бар және үзіліссіз  болсын. Сонда егер  f¢¢ (x1) < 0  болса, онда функция максимумға, f¢¢ (x1) > 0 болса, онда минимумға ие болады.

 

Функцияның кесіндідегі ең үлкен және ең кіші мәндері

y = f (x) функциясы  [a, b] кесіндіде үзіліссіз болсын.

Сонда функция осы кесіндідегі ең үлкен (ең кіші) мәндеріне кесіндінің шеткі нүктелерінде немесе максимум (минимум) нүктелерінде ие болады.

Функцияның кесіндідегі ең үлкен және ең кіші мәндерін табу ережелері: 

1) кесіндідегі барлық максимум   (минимум)  мәндерді табу;

          2) f (a),  f (b)  мәндерін есептеу;

          3) осы табылған мәндердің ішінен ең үлкенін (ең кішісін) таңдау, сол мән функцияның кесіндідегі ең үлкен (ең кіші) мәні болады.

 

Функцияның графигінің ойыс, дөңестігі, асимптоталары

 

у = f(x)  функциясы  бірмәнді, дифференциалданатын  болсын.


 

Егер   y = f (x)  қисығының  (a, b) аралығындағы барлық нүктелері оған жүргізілген жанаманың астында (үстінде) жататын болса, онда қисық осы аралықта  дөңес  (ойыс) деп аталады. 

         1.4.3 сурет


 

Теорема 6. Егер   " х Î (a, b)   үшін  f ¢¢(x) < 0  (f ¢¢(x) > 0)  болса, онда осы аралықта  y = f (x)  қисығы дөңес  (ойыс) болады.

 

Дөңестігі ойыстыққа  немесе ойыстығы дөңестікке ауысатын нүкте иілу нүктесі деп аталады.

Е с к е р т у. Иілу нүктесінде, егер ол бар болса, жанама қисықты қияды.

Теорема 7.  (иілу нүктесінің бар болуының қажетті шарты)

Егер дифференциалданушы y = f (x) функциясы  абсциссасы  x = a болатын иілу нүктеге ие болса, онда  f¢¢ (a) = 0.

Теорема 8. (иілу нүктесінің бар болуының жеткілікті шарты)

y = f (x)  қисығы берілген. Егер   f¢¢ (a) =  немесе   f¢¢ (a)  болмаса және x = a     нүктеден өткенде  f¢¢ (x) таңбасын өзгертсе, онда абсциссасы   x = a   иілу нүктесі болады.

Асимптоталар

Қисықтың М  нүктесі қисық бойымен ақырсыз алыстағанда  сол нүкте мен қандай да бір  А  түзуінің арасындағы қашықтық  d  нөл   ге ұмтылса, онда осы түзу қисықтың асимптотасы деп аталады.

Асимптотаның үш түрі бар: вертикаль, көлбеу және горизонталь.


                                                                   

 

                                                1.4.4 сурет

 

1) Вертикаль асимптоталар.

Егер ,  немесе  , немесе   болса, онда  х = а   түзуі  y = f (x)  қисығының асимптотасы; кері тұжырым да дұрыс.

2) Көлбеу асимптоталар.

Егер     және      шектері бар болса, онда   y = kx + b  түзуі асимптота болады. Егер шектердің ең болмаса біреуі болмаса, онда y = f (x)  қисығы  асимптотаға ие емес.             

Е с к е р т у. Тұжырым   x ®¥  үшін де дұрыс.

 

3) Горизонталь асимптоталар.

Бұл түрі көлбеу асимптотаның дербес жағдайы, яғни егер   болса, онда   y = b  түзуі горизонталь асимптота болады.

Мысал.   қисығының асимптоталарын табыңыз.

Шешуі.

1) вертикаль асимптоталар:      х ® – 0   у ® + ¥   және   х ® + 0    у ® ¥        

    болғандықтан, х = 0 – вертикаль асимптота.

2) көлбеу асимптоталар:     

    .

Демек,   у = 2х + 4   түзуі  көлбеу асимптота болады.

 

Функцияны толық зерттеу және графигін салу

Функцияны толық зерттеу үшін төмендегілерді анықтау қажет:

1) функцияның анықталу облысы және үзіліс нүктелері;

2) графиктің  координаталық осьтермен қиылысуы;

3) функцияның жұптығы, тақтығы, периодтылығы;

4) монотондық аралықтары, экстремум нүктелері;

5) ойыс, дөңес аралықтары, үзіліс нүктелері;

6) функцияның графигінің асимптоталары;

7) графикті салу. 

 

2 Бірнеше айнымалы функция. Бір және бірнеше айнымалы функцияның интегралдық есептелуі

2.1  Дәріс 5. Алғашқы функция және анықталмаған интеграл

 

Дәрістің мазмұны: алғашқы функция, анықталмаған интеграл, интегралдар кестесі. Интегралдау ережелері және тәсілдері. Айнымалыны ауыстыру. Бөліктеп интегралдау.

Дәрістің мақсаты: анықталмаған интеграл ұғымын енгізу, оның қасиеттерімен, интегралдау тәсілдерімен танысу.

 

Егер  " xÎ[a, b]  үшін F ¢(x) = f (x)  теңдігі орындалса, онда  F(x)  функциясы f (x) функциясының  [a, b] кесіндісінде алғашқы функциясы деп аталады.                 

Мысал.   f (x) = х2     .  

 Алғашқы функцияның жалпы түрі:       (Cconst).

Теорема.  Егер F1(x), F2(x) – f (x) функциясының  [a, b] кесіндідегі алғашқы функциясы болса, онда

                                F1(x) – F2(x) = С,   (Cconst ).

Егер F(x) функциясы f (x) функциясының  [a, b] кесіндідегі алғашқы функциясы болса, онда F(x) + С  өрнегі f (x) функциясының  анықталмаған интегралы деп аталады және былай белгіленеді:    .

Сонымен анықтама бойынша,

                                мұндағы   F ¢(x) = f (x).

f (x)   – интегралданушы функцияf (x)dxинтегралданушы өрнек,

 –  интеграл белгісі.

 

Демек, анықталмаған интеграл  y = F(x) + C  функцияларының жиыны.

 

Кез-келген функцияның туындысын табуға бола ма?

 

Е с к е р т у. [a, b] кесіндіде үзіліссіз кез-келген функцияның алғашқы функциясы (демек, анықталмаған интегралы) бар болады.

 

f (x) функцияның алғашқы функциясын табу амалы интегралдау деп аталады.

 

Анықталмаған интегралдың қасиеттері:

   Егер  болса, онда

1)   ;

2)   ;

3)   ;

4)   ;

5)   ,       aconst ;

6)   ;

7)   ;

8)   ;

  

Интегралдар кестесі

К е с т е  2.1.1

 1   ,    (a ¹  -1)

                                              11  

             2           

                                              11¢   

             3  

                                              12    

             4  

                                              13  

                                               5  

                                              13¢   

                                               6  

                 14   

                                               7  

                 15   

                                               8  

                 16  

                                               9  

                 17  

                                              10  

                 18  

 

Интегралдау тәсілдері

1)    Тікелей интегралдау

Интегралдар кестесін, интегралдың қасиеттерін  қолдану және интегралданушы функцияны түрлендіру арқылы.

2)    Функцияны дифференциал таңбасы астына енгізу

у = f (x)  функциясы үшін  dy = y' dx  формуласы орындалады. Осы формуланы солдан оңға қарай қолдану арқылы функцияны дифференциал таңбасы астынан шығаруға, оңнан солға қарай –функцияны дифференциал таңбасы астына енгізуге болады:

                     →        – шығару (дифференциалдау)        

            dy = y' dx  

                      ←        – кіргізу (интегралдау)

Мысал.    .

 

3)    Айнымалыны ауыстыру тәсілі

x = j (t) немесе  t = ψ(x) ауыстыруы арқылы  интегралына жаңа t  айнымалы енгіземіз.                             

Сонда          

немесе       .

Мысал.

= =.

4)    Бөліктеп интегралдау

u = и(х),  v = v (х)  – х бойынша дифференциалданатын функциялар болсын. Сонда  d (uv) = u dv + v du  болғандықтан,   u dv = d (uv) - v du.

Интегралдау арқылы мынаны аламыз:     . 

Бұл тәсіл мынадай интегралдар үшін қолданылады:

                  

             

Мысал.                   

           

 

 

2.2 Дәріс 6. Рационал, иррационал, тригонометриялық функцияларды интегралдау

 

Дәрістің мазмұны: квадрат үшмүшелігі бар функцияны интегралдау. Бөлшек-рационал  функцияларды  интегралдау. Иррационал функцияларды интегралдау. Тригонометриялық функцияларды интегралдау.

Дәрістің мақсаты: осы функцияларды интегралдау тәсілдерін және техникасын меңгеру

 

Квадрат үшмүшелігі бар функцияны интегралдау

Мына интегралдары қарастырамыз: , ,     ,       .

1)     Толық  квадратын ажыратамыз: .

Сонда    ,   мұндағы    .

гер  болса, онда «+» таңбасымен; егер  болса, онда «–»  таңбасымен алынады).

Сонымен, ( ауыстырудан кейін ) .

Бұл кестелік интегралдар (11´, 12 формулаларды қараңыз).

2)    Интегралданушы функцияны түрлендіреміз:

    

   =.

3)    1-пункт бойынша толық квадратын ажыратамыз:     

           .

Әрі қарай түрлендіруді  а  санына байланысты жасаймыз:                                

а < 0:  

(13´ формуланы қараңыз). 

 

а > 0:       

(14 формуланы қараңыз).

4) 2-пункт бойынша түрлендірулер жасаймыз: 

         

                

                .

 

Дұрыс бөлшек-рационал функцияны жай бөлшектерге жіктеу

  түріндегі функция бөлшек-рационал функция (немесе рационал бөлшек) деп аталады.

m < n болғанда рационал  бөлшек  дұрыс, ал  m > n  болса – бұрыс бөлшек деп аталады. Бұрыс бөлшекті мына түрде жазуға болады:         ,   мұндағы  M(x) – көпмүше,    – дұрыс бөлшек.

Дұрыс бөлшектердің 4 қарапайым түрі бар:

,      ,       ,       ,

мұндағы – нақты сандар,  – натурал сан, квадрат үшмүшелік  нақты түбірге ие емес.

Е с к е р т у. Кез-келген  дұрыс бөлшекті дұрыс бөлшектердің қосындысы түріне келтіруге болады. Жіктеу түрі  f (x) функциясының түбірлеріне байланысты.

1-жағдай. Бөлімнің түбірлері әртүрлі нақты сандар

                              ,

сонда  

,    A ,B, …, D – анықталмаған коэффициенттер.

2-жағдай. Бөлімнің түбірлері әртүрлі еселі нақты сандар:                                

,

сонда          

                                 ,                                          (*)

мұндағы   Ai, Bi, …, Di  – анықталмаған коэффициенттер.

3-жағдай. Бөлімнің кейбір түбірлері әртүрлі комплекс сандар:

,

сонда      ,

Р, Q, …, S  – анықталмаған коэффициенттер.

4-жағдай. Бөлімнің кейбір түбірлері еселі комплекс сандар:

,

сонда            

                                          ,

мұндағы   Pi, Qi, …, Si  – анықталмаған коэффициенттер.

Е с к е р т у.  анықталмаған коэффициенттерді былайша табамыз: теңдіктің оң жағындағы бөлшектерді ортақ бөлімге келтіріп, теңдіктің екі жағындағы бөлшектердің алымдарын теңестіреміз. Мына тәсілдердің біреуі бойынша теңдеулер жүйесін аламыз:

1-тәсіл: теңдіктің екі жағындағы  х -тің бірдей  дәрежелерінің коэффициенттерін теңестіреміз;

2-тәсіл: х-ке кез-келген мәндер береміз.

 

Дұрыс бөлшек-рационал функцияны интегралдау

Кез-келген  дұрыс бөлшек-рационал функцияны жай бөлшектерге жіктеуге болатындықтан, оның интегралы мына интегралдардың біреуіне келтіріледі:     

;

;              

;

    (Квадрат үшмүшелігі бар функцияны интегралдауды қараңыз)

.

 I2 –ні есептеуде жасалатын түрлендірулер арқылы 1 немесе 11′ кестелік интегралдарға келтіріледі (қараңыз [4], 353 бет).

 

Бұрыс бөлшек-рационал функцияны интегралдау

көпмүше мен бірнеше жай бөлшектерді интегралдауға келтіріледі.

 

Иррационал өрнектерді интегралдау

 түріндегі интеграл  ауыстыруы арқылы кестелік интегралға келеді.

,   сәйкесінше мына тригонометриялық  ауыстырулар арқылы кестелік интегралдарға келтіріледі: 1) x = a sin t,   2) x = a tg t,   3) .

 

Тригонометриялық функцияларды интегралдау

 

1  Универсал ауыстыру

, мұндағы  R – рационал функция, интегралы  универсал ауыстыруы арқылы рационал функцияның интегралына келтіріледі.

         

Универсал ауыстыру өте ұзақ есептеулерге келтіретін болғандықтан, оны басқа есептеу тәсілі болмаған жағдайда пайдалану қажет.

 

2  Мына түрдегі интегралдар:      .

Екі жағдайын қарастырамыз:

1) егер (m, n) екеуінің біреуі тақ, мысалы,   п = 2р +1 болса, онда

 ,

яғни    алмастыруынан кейін көпмүшенің интегралына келтіреміз.

2)  егер  т және  п екеуі де жұп болса, яғни  т = 2рп = 2q, онда дәрежені төмендету формулаларын қолданып, -тің жұп және тақ дәрежелерін қамтитын интеграл  аламыз:  

  

.  Тақ дәрежелері  1-жағдайға  жатады.

Жұп дәрежелерін тағы да төмендетеміз. Осылайша  жалғастыра  отырып, кестелік     түрге келтіреміз.

 

3  Мына түрдегі интегралдар:

                 , , .

Бұл интегралдарды мына формулалар бойынша қосылғыштарға жіктейміз:

.

 

 

2.3 Дәріс 7. Анықталған интеграл, негізгі қасиеттері.  Ньютон-Лейбниц формуласы. Айнымалыны ауыстыру. Бөліктеп интегралдау

 

Дәрістің мазмұны: анықталған интеграл, оның қасиеттері.  Ньютон-Лейбниц формуласы. Анықталған интеграл үшін айнымалыны ауыстыру және бөліктеп интегралдау тәсілдері.

Дәрістің мақсаты: анықталған интеграл және оның қасиеттерімен, есептеу техникасымен танысу.

 

Интегралдық қосындылар

y = f (x)  –  [a, b] сегментінде үзіліссіз функция;   т және М –функцияның осы сегменттегі сәйкесінше ең кіші және ең үлкен мәндері болсын.

[a, b] ны  п бөлікке бөлеміз:      a = х0 < х1 < х2 << хп = b.

х1 – х0 = Dх1,   х2 – х1 = Dх2, …,  хп – хп-1 = Dхп  арқылы белгілейміз.

f (x) функциясының  [х0, х1] -дегі  ең кіші және ең үлкен мәндері  т1 және  М1 [х1, х2]-де   т2  және М2 ,…, [хп-1, хп]-де    тп  және Мп  болсын.

Интегралдық қосынды құрамыз:

1) төменгі интегралдық  қосынды  ;

2) жоғарғы интегралдық қосынды    ;

Төменгі және жоғарғы интегралдық қосындылардың қасиеттері:

а)      ;                                   

б)   ;                                                               

в)   ;                             

г)  Анықталған интеграл

x1 , x2 , …, xп  нүктелерін аламыз:   х0 < x1 < х1 ,  х1 < x2 < х2  , …,    хп-1 < xп < хп .

Әрбір   xi    нүктеге  f (xi),  , мәнін сәйкес қоямыз.

f (x функциясы үшін  [a, b]-да интегралдық қосынды құрамыз: .                               

mi  £  f (xi ) £  Mi  "xi Î [xi-1, xi]   () болғандықтан,

mi Dxi  £  f (xi )Dxi  £  Mi Dxi  демек, .

[x0 , x1], [x1 , x2], …, [xп-1 , xп] кесінділерінің ең ұзынын  maxDxi  арқылы белгілейміз. п ® ¥  max Dx ® 0 екені белгілі.

Егер [a, b]  сегментін өз еркімізше  п бөлікке бөлгенде және әрбір [xi-1, xi] бөліктен өз еркімізше xi  нүктені алғанда, что max Dxi  ® 0 интегралдық қосындының

                                                                                                         s нақты шегі бар болса, онда ол шек f (x)  функциясының  [a, b]  кесіндідегі анықталған интегралы деп аталады және былайша белгіленеді:  .   

Сонымен анықтама бойынша, , мұндағы      

a – интегралдың төменгі шегі, bжоғарғы шегі,

[a, b]  интегралдау аралығы, х  – интегралдау айнымалысы деп аталады.

            Егер  f (x) функциясы үшін жоғарыда айтылған шек бар болса, онда ол [a, b]-да интегралданушы функция деп аталады.

Е с к е р т у.  ,–  интегралдық қосынды sп -нің дербес жағдайлары болғандықтан, ,  ® s, сондықтан

                 және   .

 

 

Анықталған интегралдың геометриялық мағынасы (f (x) ³ 0):

 интегралының мәні y = f (x) қисығымен, x = a, x = b түзулерімен және Ох өсімен шектелген фигураның ауданына тең.      

 

Анықталған интегралдың негізгі қасиеттері:                                   

1)  ;           2)  ;

3)  ,  А = const;;            4) 

5)  ;

6)            "  a, b, c Î R;

7)  егер  [a, b]  (a < b) кесіндісінде f (x) £ j (x) теңсіздігі орындалса, онда    

     ;

8)  егер  т және М f (x) функциясының [a, b] -дағы ең кіші және ең үлкен мәндері мәндері  және a £ b  болса, онда   болады  (2.3.1 суретті қараңыз);

                               

                           2.3.1 сурет                                             2.3.2 сурет                   

 

9) (Орта мән туралы теорема)

Егер f (x) функциясы  [a, b]-да үзіліссіз болса, онда $сÎ[a, b]:

                                   .  

f (с) функцияның  [a, b]-дағы орта мәні деп аталады   (2.3.2 суретті қараңыз);    

10)  егер   жұп болса, онда ;  

       егер   тақ болса, онда .

 

Анықталған интегралдың есептелуі

 

     1) Ньютон-Лейбниц формуласы 

f (x)  функциясы  [a, b] сегментте үзіліссіз болсын. Төменгі шегі тұрақты а, ал жоғарғы шегі   х айнымалы   интегралын қарастырамыз.

  интегралын жоғарғы шегі айнымалы интеграл деп атайды (геометриялық тұрғыда Ф(х) оң шекарасы өзгермелі қисық сызықты трапецияның ауданын береді).

                                                  Теорема 1. Егер   f (x)  – үзіліссіз функция және болса,

онда Ф¢(х) = f (x) теңдігі орындалады, яғни анықталған интегралдың жоғарғы шегі бойынша туындысы интегралданушы функцияға тең.

Е с к е р т у. Теорема 1 бойынша кез-келген үзіліссіз функция алғашқы функцияға ие.

Теорема 2. Егер F(x) функциясы f (x) функциясының алғашқы

функциясы болса, онда мына формула орындалады:   .                          

Бұл формула Ньютон-Лейбниц формуласы деп аталады.

Қысқаша жазылуы:  ,  мұндағы .

Мысал.       .   

 

2) Анықталған интегралда айнымалыны ауыстыру

Теорема 3.  ,  мұндағы   f (x)  –  [a, b]-да үзіліссіз функция,

интегралы берілсін. x = j (t) қатынасымен байланысқан жаңа t айнымалыны енгіземіз. Егер:

1) j (a) = а , j (b) = b,    2) j (t)  және   (t[a, b] -да үзіліссіз,

3) f [j (t)] функциясы [a, b]-да анықталған және үзіліссіз болса, онда        

.

3) Анықталған интегралда бөліктеп интегралдау  

                                                              u және v x  бойынша дифференциалданатын функциялар. Сонда   

                                                 (uv)¢ = u¢v + uv¢

Теңдіктің екі жағын интегралдаймыз:    .

    болғандықтан,    ,      демек,

  ,  немесе    .                      

 

 

2.4 Дәріс 8. Екі еселі интеграл

 

Дәрістің мазмұны: екі еселі интеграл және оның қасиеттері. Екі еселі интегралдың есептелуі. Екі еселі интегралда айнымалыны ауыстыру.

Дәрістің мақсаты: екі еселі интеграл ұғымымен, оның қасиеттерімен және есептеу техникасымен танысу.

 

Oxy жазықтығында  L қисығымен шектелген тұйық D облысын қарастырамыз.

Бұл облыста үзіліссіз z = f (x, y) функциясын қарастырамыз.

D облысын өз еркімізше п бөлікке бөлеміз:

                                  Ds1 , Ds2 , Ds3 , …, Dsп .

Әрбір бөліктен өз еркімізше Рi Î Dsi  (), нүктесін таңдап, оған  f (Pi) мәнін сәйкес қоямыз. Қосынды құрамыз:     .                                             

Бұл қосынды  f (x, y) функциясының  D облысындағы интегралдық қосындысы деп аталады.

Егер D облысында  f  ³ 0 болса, онда геометриялық тұрғыдан әрбір

f (Pi) D si қосылғышты биіктігі  f (Pi), ал табаны  Ds кіші цилиндрдің көлемі деп қарастыруға болады.

Сонымен,  Vn –  цилиндрлік денелердің көлемдерінің қосындысы. n ® ¥ diam Dsi ® 0.

                            Теорема 1. Егер f (x, y) функциясы  тұйық  D облысында үзіліссіз болса, онда      шегі бар болады.

Бұл шек  D облысын  Ds бөліктерге бөлу және әрбір бөліктен  Рi Î D si нүктелерін алу тәсілінен тәуелсіз.       

Бұл шек  f (x, y) функциясының  D облысындағы қос интегралы деп аталады және былайша белгіленеді:   

    немесе    .

Сонымен,       ,  

мұндағы  D интегралдау  облысы.

 

Қос интегралдың геометриялық мағынасы (f (x, y) ³ 0):   

қос интеграл    жоғарыдан  z = f (x, y), төменнен  z = 0

жазықтықтарымен, бүйір жағынан  Оz өсіне параллель, жасаушысы L цилиндрлік бетпен шектелген дененің V  көлеміне тең.

 

Қос интегралдың қасиеттері:

1) ;

2) ,     С  = const;

3)  Егер  D  облысы ортақ ішкі нүктелері жоқ  D1  және  D2 облыстарынан тұратын болса, онда

      .

 

Қос интегралдың есептелуі

Oxy жазықтығында тұйық D облысы берілген болсын.

                            Егер Oy (Ox) өсіне параллель түзу D облысымен екі нүктеде қиылысса, яғни , онда D облысы Oy (Ox) өсі бағытында дұрыс облыс болады.

               Егер  D  y = j 1(x), y = j 2(x), x = a, x =b, мұндағы j 1(x) £ j 2(x),      a < b, j 1(x), j 2(x) –[a, b]-да үзіліссіз функциялар, сызықтарымен шектелген болса, онда  D - Oy өсі бағытында дұрыс облыс болады (2.4.1 суретті қараңыз);                                     

          Егер Dх = y 1(у),  х = y 2(у),  y = с,  у = d,  мұндағы  y 1(у) £ y 2(у), с < d,

     y 1(у),y 2(у) – [с, d]-да үзіліссіз функциялар, сызықтарымен шектелген болса, онда  D - Oх өсі бағытында дұрыс облыс болады (2.4.2 суретті қараңыз).

 

              2.4.1 сурет                                               2.4.2 сурет

 

              өсі бағытында да, өсі бағытында  дұрыс облысты дұрыс облыс деп атайды.

            f (x, y)  функциясы D облысында үзіліссіз болсын. өрнегі  f (x, y) функциясының  D облысы бойынша қос интегралы деп аталады.   Яғни  , мұндағы  .

 

Қос интегралдың қасиеттері:

1) Егер өсі бағытында  дұрыс D облысын Ох немесе Оу өсіне параллель түзумен Dжәне D2  облыстарына бөлсек, онда   болады.

Салдар.       .

2) (екі еселі интегралды бағалау) Егер  m және  M f (x, y) функциясының  D облысындағы ең кіші және ең үлкен мәндері,  SD облысының ауданы болса, онда               

                                      .

3) (орта мән туралы теорема)   теңдігі орындалатындай

Р ÎD нүктесі табылады.                                         .

Теорема 2. (Екі еселі интегралдың есептелуі)

Егер   f (x, y) – үзіліссіз функция, ал  DOу өсі бағытында  дұрыс облыс болса, онда     ;

          егер   DОх өсі бағытында  дұрыс облыс болса, онда

                                         .

Е с к е р т у. а) Көрсетілген  формулалардың оң жағы екі еселі немесе қайталама интегралдар. Бір формуладан екіншісіне көшу интегралдау ретін өзгерту деп аталады.

ә) Егер D дұрыс облыс болмаса, онда оны санаулы дұрыс облыстарға бөлу қажет.

Қос интегралда айнымалыны ауыстыру

Оху жазықтығында  L  сызығымен шектелген D облысын қарастырамыз.

х және у  координаттары  жаңа u және v  айнымалыларының функциялары деп қарастырамыз:   x = х (u, v),   y = у (u, v),  мұндағы  х(u, v), у(u, v) – бірмәнді, өздерінің туындыларымен бірге  D¢  облысында үзіліссіз функциялар, яғни

D және D¢  облыстары арасында өзара бірмәнді сәйкестік орнатылған: 

Р(x, y) «  Р¢ (u, v),   u, vР нүктесінің қисық сызықты координаттары.

Белгілеу енгіземіз:            

х(u, v), у(u, v) функцияларының функционалдық анықтауышы (якобиан).

Сонда қос  интегралда айнымалыны ауыстыру формуласын аламыз:    

                     

                       .

 

Е с к е р т у. Қос  интегралда полярлық координаттарға көшу айнымалыны ауыстыру тәсілінің дербес жағдайы болып саналады.

 

Полярлық координаталар

Нүктенің жазықтықтағы орны декарттық  х және у координаталар жүйесімен төмендегі формулалар арқылы байланысқан r және j  полярлық  координаталармен анықталады:    x = r cosj ,   y = r sinj,  мұндағы  0 £ j < 2p,

. 

                                                                                                                                                                 

                                                                      2.4.4 сурет

 

Сонымен, айнымалыны ауыстыру формуласы мына түрде болады:

 

                           .

 

Егер  D облысы  2.4.5  суреттегідей болса, онда                                   

                     ,

егер  D облысы 2.4.6 суреттегідей болса, онда                                   

                     .

 

         

            2.4.5  сурет                                    2.4.6  сурет

 

 

2.5 Дәріс 9. Үш еселі интегралдар

 

Дәрістің мазмұны: үш еселі интеграл және оның қасиеттері. Үш еселі интегралдың есептелуі. Үш еселі интегралда айнымалыны ауыстыру.

Дәрістің мақсаты: үш еселі интеграл ұғымымен, оның қасиеттерімен және есептеу техникасымен танысу.

 

Тұйық  S  бетімен шенелген үш өлшемді V облысында үзіліссіз f (x, y, z) функциясын қарастырамыз.

V облысын өз еркімізше п элементар облыстарға бөлеміз:

                                    Dv1 , Dv2 , Dv3 , …, Dvп .               

Әрбір облысқа көлемін сәйкес қоямыз. Әрбір облыстан  РiÎ D v i () нүктені алып, оларға  f (Pi) мәнін сәйкес қоямыз. Қосынды құрамыз:  .

Бұл қосынды  f (x, y, z) функциясының V облысындағы интегралдық қосындысы деп аталады.

n ® ¥  diam D vi ® 0. Сонда мына теорема орындалады.

Теорема 1. Егер  f (x, y, z)  функциясы  V  тұйық облыста үзіліссіз болса, онда       .

Бұл шек V  облысын  Dvi  бөліктерге бөлу және әрбір бөліктен  Рi Î Dvi нүктелерін таңдау тәсілінен тәуелсіз.       

Бұл шек  f (x, y, z)  функциясының  V  облысындағы үш еселі интегралы деп аталады және былай белгіленеді:

 немесе      .      

Үш еселі интегралдың физикалық мағынасы:

егер  V  облысында  f  ³ 0  болса, онда f (x, y, z)  функциясын заттың V облысындағы үлестіру тығыздығы деп санауға болады. Сонда үш еселі интеграл осы заттың массасын береді.

Үш еселі интегралдың есептелуі

Кеңістікте тұйық  S  бетімен шенелген V облысын қарастырамыз.Егер

     1) Oz өсіне параллель және V облысының ішкі нүктесі арқылы өтетін кез-келген l түзуі осы облыстың шекарасын екі нүктеде  қиятын болса;                                              

2)  V  облысы Oxy жазықтығында  дұрыс (екі өлшемді) D облысына  проекцияланса;

3) V  облысының  координаталық (Оху, Оxz, Oyz) жазықтықтарға параллель жазықтықпен қиылған кез-келген бөлігі 1)  және 2) қасиеттерге ие болса, онда V  облысы дұрыс (үш өлшемді) облыс деп аталады.

Сонымен, егер V  облысы төменнен және жоғарыдан  z = y1(x, y)  және 

z = y2(x, y) беттерімен шенелген болса, онда  V –  дұрыс облыс болады.  

D V облысының  Oxy  жазықтығындағы проекциясы болсын:    D:         y = j 1(x)y = j 2(x),  x = a,  x =bj 1(x) £ j 2(x),  a < b.

Сонда  f (x, y, z) функциясының V  облысы бойынша  үш еселі 

интегралы былайша анықталады:       

                                                                                                                                               

 

                                                                                                                                                                         2.5.1  сурет

 

          .

 

Үш еселі интегралдың қасиеттері:

1) Егер  V облысын  координаталық жазықтықтардың біреуіне параллель жазықтықпен V1 ,V2  облыстарына бөлсек, онда      .

Салдар.    .

                                         2) (үш еселі интегралды бағалау)

Егер m және  M f (x, y, z) функциясының  V  облысындағы ең кіші және ең үлкен мәндері, V –облыстың көлемі болса, онда    .

3) (орта мән туралы теорема)  теңдігі орындалатындай  Р Î V нүктесі табылады.

Теорема 2. Егер   f (x, y, z) – үзіліссіз функция, ал V – дұрыс облыс болса, онда            .

 

Үш еселі интегралда айнымалыны ауыстыру

Кеңістікте тұйық  V облысын қарастырамыз.

х, у және z координаттары  жаңа  u, t, w  айнымалыларының функциясы болсын:      x = х(u, t, w),       y = у(u, t, w),       z = z(u, t, w),

х(u, t, w), у(u, t, w), z(u, t, w) – V¢  облысында бірмәнді, өздерінің туындыларымен бірге үзіліссіз  функциялар, яғни V және V¢  облыстары арасында өзара бірмәнді сәйкестік орнатылсын:  Р(x, y, z) «  Р¢ (u, t, w),

u, t, wР нүктесінің қисық сызықты координаталары.

Белгілеу енгіземіз:      

 

x = х(u, t, w), y = у(u, t, w), z = z(u, t, w) функцияларының  функционалдық анықтауышы (якобиан).

      Сонда үш еселі  интегралда айнымалыны ауыстыру формуласы мына түрде болады:

             

      

Е с к е р т у. Үш еселі  интегралда сфералық немесе цилиндрлік координаталарға көшу  айнымалыны ауыстырудың дербес жағдайы болып саналады.

 

Сфералық координаталар

Нүктенің кеңістіктегі орны х, у, z  декарттық  координаталарымен төмендегі  формулалармен байланысқан  r, j , q  сфералық координаталармен анықталады:

      x = r sin j cos q

                y = r sin j sin q ,   

                z = r cos j  ,

 

мұндағы  0 £ r < ¥ ,  0 £ j £ p , 0 £ q < 2p .

                                                                           

                                                                                        2.5.3 сурет                  

                                     

.

 

Сонда айнымалыны ауыстыру формуласы мына түрде болады:

            Цилиндрлік координаталар

Нүктенің кеңістіктегі орны х, у, z  декарттық  координаталарымен мына төмендегі  формулалармен байланысқан  r,q, z  цилиндрлік координаталармен анықталады:


 x = r cosq,      

 y = r sinq,

 z = z,     

 мұндағы  0 £ r < ¥ , 0 £ q < 2p.

                               

       .

 

2.5.4 сурет


 

Сонда айнымалыны ауыстыру формуласы мына түрде болады:

 

    

Мысал. Есептеңіз  , мұндағы  V центрі координаталар

басында, радиусы  R  жарты шар.

шуі.  

V  облысы төменнен  z = 0 жазықтығымен, жоғарыдан

бетімен шектелген (цилиндрлік  координаталарда  ).

Демек,    

.

 

 

                                                                       

                                                                                 2.5.5 сурет  

 

3 Дифференциалдық теңдеулер. Қатарлар

 

3.1 Дәріс 10. Дифференциалдық теңдеулер, негізгі түсініктер

 

Дәрістің мазмұны: дифференциалдық теңдеулер, негізгі түсініктер.

1-ші ретті дифференциалдық теңдеулер. Жоғарғы ретті дифференциалдық теңдеулер. Ретін төмендетуге болатын теңдеулер.

Дәрістің мақсаты: дифференциалдық теңдеулер тарауының негізгі ұғымдарымен танысу.

 

1 Негізгі анықтамалар

          х тәуелсіз айнымалы, y = f (x)  функция мен оның  y¢, y¢¢, …, y(nтуындыларын байланыстыратын теңдеу дифференциалдық теңдеу (Д.Т.) деп аталады:                                                                        

                                               F (x, y, y¢, y¢¢, …, y(n)) = 0.                                        (1)

     Теңдеуден  п-ші ретті туындыны өрнектейміз:

                                              y(n) = f (x, y, y¢, y¢¢, …, y(n-1)).                                     (1¢)

Теңдеудің құрамындағы туындылардың ең үлкен реті  Д.Т-дің реті деп аталады.

               Егер теңдеудің сол жағы  y, y¢, y¢¢, …, y(n)  бойынша бірінші дәрежелі көпмүше, яғни 

                                     a0(x)y(n)+ a1(x)y(n-1)+…+ an(x)y = f (x) ,                              (2)                                                    мұндағы a0(x), a1(x), …, an(x) – теңдеудің коэффициенттері (қандайда бір аралықта анықталған және үзіліссіз),  f (x) – теңдеудің оң жағы болса, онда (1) Д.Т. сызықтық деп аталады.

                                                                                              Егер f (x) = 0 болса, онда (2) теңдеу біртекті  деп аталады.

                                                                                              Егер f (x) ¹ 0 болса, онда (2) теңдеу біртекті  емес деп аталады.

          (1) теңдеуге қойғанда оны тепе-теңдікке айналдыратын  y = j (x)  функциясы сол теңдеудің шешімі немесе интегралы деп  аталады.

Д.Т. шешу немесе интегралдау дегеніміз оның берілген облыстағы барлық шешімдерін табу.

         Шешімнің графигі интегралдық қисық деп аталады.

Д.Т. жалпы шешімі деп теңдеудің реті қанша болса, құрамында сонша С1, С2,…, Сп  тұрақты шама бар

                                                               у = j ( х, С1, С2, …, Сп )

шешімді атайды.

Егер шешім айқын емес Ф(х, у, С1, С2, …, Сп ) = 0 түрде болса, онда ол жалпы интеграл деп аталады.

          Жалпы шешімдегі тұрақтыларға нақты мәндерді қойғанда пайда болатын шешім дербес шешімі, ал Ф(х, у, С1, С2, …, Сп ) = 0

дербес интегралы деп аталады.

Егер х = х0 үшін алғашқы шарттар:   (а.ш.)

берілген болса, онда (1) теңдеудің у = j ( х, С1, С2, …, Сп) шешімі   алғашқы шарттарды қанағаттандыратындай С1, С2, …, Сп  тұрақтыларының мәндерін табуға болады. Сонымен, жаңа түсінік енгіземіз:

Коши есебі (алғашқы есеп)

Алғашқы шарттарды (а.ш.) қанағаттандыратын (1) Д.Т. y = j (x) шешімін табу қажет.

Теорема 1. Егер    y(n) = f (x, y, y¢, y¢¢, …, y(n-1)) теңдеуіндегі

f (x, y, y¢, y¢¢, …, y(n-1))   функциясы өзінің дербес  y,y¢,y¢¢,…, y(n-1)  туындыларымен бірге   х = х0y = у0y¢ = у¢0,  мәндерін қамтитын облыста үзіліссіз болса, онда Коши есебінің y = j (x) шешімі бар және ол жалғыз.  

 

2  1-ші ретті дифференциалдық теңдеулер

1-     ші ретті Д.Т. түрі:          

                              F(x, y, y¢ ) = 0,                                                  (3)

немесе

                                                   y¢ = f (x, y).                                                     (3¢)

Жалпы шешімі   y = j (x, C)  бір С тұрақтыдан тәуелді.                                                          

Теорема 2. (Д.Т.шешімінің бар болуы және жалғыздығы)

Егер    y¢ = f (x, y)  теңдеуінде  f (x, y) функциясы өзінің  fy (x, y) туындысымен бірге  (x0, y0) нүктені қамтитын  D облысында үзіліссіз болса, онда бұл теңдеудің j (x0) = у0  шартын қанағаттандыратын у =j (х) шешімі   жалғыз.

Теореманың геометриялық мағынасы: (x0, y0) нүктеден өтетін жалғыз

 у =j (х) қисығы бар.

1- ші ретті Д.Т. негізгі түрлерін қарастырамыз.

1) Айнымалылары ажыратылатын және ажыратылған теңдеулер

                                                     M (x) dx + N (y)dy = 0                                        (4)

түріндегі теңдеу айнымалылары ажыратылатын теңдеу деп аталады.

Оның жалпы интегралы:    .

              а)                                 y¢ = f (x)g(y)                                                    (5)

түріндегі теңдеуді айнымалылары ажыратылған теңдеуге келтіруге болады:                     

                                                 , (g(y) ¹ 0).

Интегралдау арқылы (5) теңдеудің жалпы интегралын аламыз:     

.

ә)                           M1(x)N1(y)dx + M2(x)N2(y)dy = 0                               (6)

түріндегі теңдеу айнымалылары ажыратылатын теңдеу деп аталады.

Оны айнымалылары ажыратылған теңдеуге келтіруге болады.

 (6) - ны  - ге көбейтеміз:

                                                .                 

Интегралдау арқылы (6) теңдеудің жалпы интегралын аламыз:    

                                              .                  

2) Біртекті теңдеулер

Егер f (x, y) функциясы үшін           "l Î R      f (lx, ly) = ln f (x, y)

     шарты орындалса, онда ол  х және у  бойынша п-ші  ретті  біртекті функция  деп аталады.

          Егер f (x, y) функциясы х және у  бойынша 0-ші  ретті  біртекті функция болса, онда

                                                           y¢ = f (x, y)                                                     (7)

1-ші ретті біртекті теңдеу деп аталады.

Біртекті теңдеуді шешу тәсілі

                       Шарт бойынша    "l Î R      f (lx, ly) = f (x, y).

Осы теңдікті    үшін қарастырамыз:   .

Сонда  (7) теңдеу мына түрге келеді:       

                                    .                                                                 (7′)

Ауыстыру жасаймыз :        Û     у = их     Þ

  Þ              Þ        (7′) Û     Û 

Û     –   айнымалылары ажыратылған теңдеу.

Интегралдаймыз:  .

Пайда болған өрнекке  и-ды  -ке ауыстыру арқылы (7′) теңдеуінің жалпы интегралын аламыз.

Е с к е р т у.  М(х,у)dx + N(x,y)dy = 0 1-ші ретті біртекті теңдеу Û М(х,у) және N(x,y) бірдей өлшемді біртекті функциялар.

3) Сызықтық теңдеу

                                          ,                                                 (8)

мұндағы  p(x) және g(x) – үзіліссіз функциялар(немесе тұрақтылар), түріндегі теңдеу 1-ші ретті сызықтық теңдеу деп аталады.

Сызықтық теңдеуді шешу тәсілдері

а) Бернулли тәсілі  

(8) теңдеудің шешімін      

                                                          y(x) = u(x)v(x)                                           (9)

түрінде іздейміз.

 (9)-дың екі жағын дифференциалдаймыз:   .                                                   

Осы өрнекті (8)-ге қоямыз:                      немесе                                                

                                                                                   (10)

v  функциясын

                                                 .                                                 (11)           

теңдігі орындалатындай етіп таңдаймыз. (11)-ден табамыз:    

                                                   .

(11)-дің нөлден өзгеше бір шешімі жеткілікті болғандықтан, C1 = 1деп аламыз:                           

                                                                                                    (12)         

v(x) ≠ 0 екендігі көрініп тұр.  v(x)-ті  (10)-ға қоямыз:

 

                        Þ       Þ        .           

Сонымен,  

                                .

ә) Тұрақтыны вариациялау

(8) теңдеудің шешімін алу үшін алдымен    теңдеуін шешеміз  және  жалпы шешімдегі  С1  тұрақтыны (8) теңдеуді қанағаттандыратын  С(х) функциясымен ауыстырамыз.

4) Бернулли теңдеуі

                                        ,    (п ≠ 0, п ≠ 1)                         (13)

түріндегі теңдеу Бернулли теңдеуі деп аталады.                          

 

Бернулли теңдеуін шешу әдісі:

а) Бернулли  әдісі (шешімді сызықтық теңдеудегідей  y(x) = u(x)v(x) түрінде іздейміз);

ә)  z = y -n+1     алмастыруы арқылы (13) теңдеуді  z  функциясы бойынша сызықтық теңдеуге келтіреміз.

 болғандықтан, (13) -тің екі жағын  (–п +1)у –п -ке көбейту арқылы мынаны аламыз:                         

                             .                                         (14)            

Бұл сызықтық теңдеуден  z-ті тауып, оның орнына  y -n+1  -ті қою арқылы, (13)-тің жалпы шешімі у(х) -ті табамыз.

5) Толық дифференциалды теңдеу

                                         P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0,                                             (15)

мұндағы  P(x, y), Q(x, y) – өздерінің дербес туындыларымен бірге қандайда бір облыста үзіліссіз функциялар және

                                             ,                                                            (16)      

түріндегі теңдеу толық дифференциалды теңдеу деп аталады.

(16) шарттың орындалуы (15) теңдеудің сол жағы қандайда бір u(x, y) функциясының толық дифференциалы екендігін көрсетеді:       

P(x, y)dx + Q(x, y)dy = du(x, y)    Þ   (15) Û   du(x, y) = 0     Þ  u(x, y) = C,

мұндағы    

( (х0, у0) – аймағында (15) Д.Т.-дің шешімі бар болатын нүкте).

Сонымен, (15) теңдеудің жалпы интегралын аламыз:

.

 

3  Жоғарғы ретті дифференциалдық  теңдеулер

Жоғарғы ретті дифференциалдық  теңдеулердің негізгі түсініктері осы дәрістің 1 пунктінде қарастырылғандықтан, кейбір түрлері мен оларды шешу тәсілдеріне ғана тоқтаймыз.

1)     түріндегі теңдеу.

у(п) = (у(п-1))¢  болғандықтан,     мұндағы  х0х-тің қандайда бір мәні,   С1 –интегралдау тұрақтысы.

                                      Тағы бір рет интегралдаймыз:  .

Осылайша жалғастыра отырып, теңдеудің  жалпы интегралын аламыз:

                 

2) Ретін төмендетуге болатын дифференциалдық  теңдеулер

а)                                             у¢¢ = f (x, y¢ )                                                     (17)     

түріндегі теңдеу.   

Айнымалы енгіземіз: y¢ = р(х). Сонда у¢¢ = р¢.

Сонда (17) теңдеу  1-ші ретті   р¢ = f (x, р)  теңдеуге келтіріледі.

Егер  р = р(х,С1) – осы теңдеудің жалпы шешімі болса, онда (17) тең

деудің жалпы интегралы мына түрде болады:  

Е с к е р т у. Осылайша  y(п-1) = р  ауыстыруы арқылы  у(п) = f ( x, y(п-1)) теңдеуін де шешуге болады.

ә)                                            у¢¢ = f ( у, y¢ )                                                     (18)

түріндегі теңдеу.                                                                       

Айнымалы енгіземіз:  y¢ = z(у). Тогда  

Демек, (18) теңдеу 1-ші ретті    теңдеуге келтіріледі.

Егер z = z( у, С1) – осы теңдеудің жалпы шешімі болса, онда

 болғандықтан

      Бұл теңдеуді интегралдау арқылы, (18) теңдеудің жалпы интегралын аламыз:           Ф ( х, у, С1, С2) = 0.

 

 

                                               3.2 Дәріс 11. Жоғарғы ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер. Коэффициенттері тұрақты жоғарғы ретті біртекті және біртекті емес сызықтық дифференциалдық теңдеулер

 

Дәрістің мазмұны: жоғарғы ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер (СДТ). Біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулер, жалпы шешімінің құрамы. Коэффициенттері тұрақты біртекті СДТ. Біртекті емес сызықтық  дифференциалдық теңдеулер, жалпы шешімінің құрамы. Тұрақтыны вариациялау тәсілі. Коэффициенттері тұрақты біртекті емес СДТ, дербес шешімін табу тәсілі.

Дәрістің мақсаты: біртекті және біртекті емес СДТ шешу тәсілдерімен танысу.

 

                   Жоғарғы ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер

          Егер теңдеу y функциясы мен оның  y¢, y¢¢, …, y(n)  туындылары бойынша бірінші дәрежелі көпмүше

                                      a0(x)y(n) + a1(x)y(n-1) +…+ an(x)y = f (x),                       (1) мұндағы  a0(x), a1(x), …, an(x) және  f (x) –функциялар немесе тұрақтылар және (1) теңдеу қарастырылып жатқан облыстағы  кез-келген  х  үшін  a0(x) ¹ 0, болса, онда Д.Т. сызықтық, ал f (x) функциясы теңдеудің оң жағы деп аталады.

                                                                               Бұдан былай  a0(x), a1(x), …, an(x) және  f (x) функциялары  кез-келген  х  үшін  үзіліссіз және a0(x)= 1 деп есептейміз.

Егер  f (x) º 0 болса, онда

                                             a0(x)y(n) + a1(x)y(n-1) +…+ an(x)y = 0                      (2)                                                                          

теңдеуі  біртекті сызықтық деп аталады.                                    Егер  f (x) ¹ 0 болса, онда теңдеу  біртекті емес сызықтық деп аталады.

 

                                                                                         2-ші ретті біртекті СДТ-дің кейбір қасиеттерін қарастырамыз.

                                                                                     Теорема 1. Егер  у1 және  у2 функциялары  2-ші ретті біртекті СДТ-дің

                                                  у¢¢ + а1у¢ + а2у = 0,                                           (3)

екі дербес шешімі болса, онда  у1 + у2  функциясы да осы теңдеудің шешімі болады.

Теорема 2. Егер  у1  функциясы  2-ші ретті біртекті СДТ (3)-тің шешімі және С – тұрақты болса, онда  Су1  функциясы да осы теңдеудің шешімі болады.

Егер  болса, онда (3)-ші теңдеудің  шешімдері у1 және у2

     [a, b] кесіндісінде сызықтық тәуелсіз деп аталады. Қарсы жағдайда, яғни

$l ÎR:    у1 = l у2   болса, онда олар сызықтық тәуелді деп аталады.  

 

анықтауышы у1 және у2  функцияларының Вронский анықтауышы (вронскиан) деп аталады.

Теорема 3. Егер  у1 және у2  функциялары [a, b] кесіндісінде сызықтық тәуелді болса, онда 

Теорема 4. Егер біртекті  (3) СДТ-дің y1 және y2  шешімдерінің Вронский анықтауышы W(y1 , y2[a, b] кесіндісінің х = х0  мәнінде нөлден өзгеше болса (теңдеудің коэффициенттері үзіліссіз), онда ол осы кесіндідегі кез-келген х үшін нөлден өзгеше болады.

Теорема 5. Егер  (3) теңдеудің  у1 және  у2 шешімдері [a, b] кесіндісінде сызықтық тәуелсіз болса, онда осы кесіндідегі кез-келген нүкте үшін           .

Теорема 6. Егер  у1 және  у2 (3) теңдеудің  сызықтық тәуелсіз шешімдері болса, онда   у = С1у1 + С2у2 , мұндағы С1 және С2 – ерікті тұрақтылар, осы теңдеудің жалпы шешімі болады. 

Теорема 7.  Кез-келген   алғашқы шарттары үшін

С1у1 + С2у2  дербес шешімі осы шарттарды қанағаттандыратындай  С1, С2 мәндерін табуға болады.

Е с к е р т у. Айнымалы коэффициентті СДТ жалпы шешімін табатын ортақ тәсіл жоқ. Бірақ коэффициенттері тұрақты СДТ үшін мұндай тәсіл бар.

 

Коэффициенттері тұрақты  біртекті  СДТ

 

1  2-ші ретті коэффициенттері тұрақты біртекті  СДТ мына түрде беріледі:

                                         у¢¢ + ¢ + = 0,             p, q ÎR.                            (4)

Екі сызықтық тәуелсіз дербес шешімін табу жеткілікті.

Дербес шешімді мына түрде іздейміз: 

                                      y = ekx мұндағы  k – const ,                                       (5)

сонда   y¢ = kekx,   y¢¢  = k2ekx

Бұл өрнектерді (1)-ге қоямыз:   ekx( k2 + pk + q) = 0.

ekx ≠ 0 болғандықтан

                                             k2 + pk + q = 0.                                                      (6)

Егер k  (6) теңдеуді қанағаттандырса, онда  ekx  (4) теңдеудің шешімі болады.

(6) теңдеу (4) теңдеудің сипаттаушы  теңдеуі деп аталады.

Сипаттаушы  теңдеудің түбірлері:                                                       

                 ,          

Әртүрлі жағдайларын қарастырамыз:

а) Егер сипаттаушы теңдеу әртүрлі екі нақты түбірге, яғни  k1, k2 Î R  ( k1 k2 ), ие болса, онда жалпы шешімі мына түрде болады:                       

.

ә) Егер сипаттаушы теңдеу бірдей екі нақты түбірге, яғни  k1, k2 Î R  ( k1 = k2 ), ие болса, онда жалпы шешімі мына түрде болады:                        

.

б) Егер сипаттаушы теңдеу әртүрлі екі комплекс түбірге, яғни

k1 , k2 Î C:    ,    мұндағы     ,

ие болса, онда жалпы шешімі мына түрде болады:                          

.

          

2   п-ші ретті коэффициенттері тұрақты біртекті СДТ   мына түрде беріледі:

                                             y(n) + a1y(n-1) + … + any = 0,                                   (7) мұндағы   a1, …, a тұрақтылар.

Жалпы шешімін мына алгоритм бойынша іздейміз:

1)                   сипаттаушы теңдеуін құрамыз;

2)                   оның  k1, k2, …, kп түбірлерін табамыз;

3)                   түбірлері бойынша   п  сызықтық тәуелсіз дербес шешімін табамыз;

4)                   жалпы шешімін табамыз.

Е с к е р т у. Коэффициенттері тұрақты біртекті СДТ шешудегі қиындық оның сипаттаушы теңдеуінде.

 

2- ші ретті біртекті емес СДТ   мына түрде беріледі:

                                                у¢¢ + а1у¢ + а2у = f (x),                                         (8)

мұндағы   a1, a2  –берілген функциялар.

Теорема 8. (8) Біртекті емес СДТ жалпы шешімі  оған сәйкес біртекті СДТ         

                                     у¢¢ + а1у¢ + а2у = 0,                                              (9)

у0  жалпы шешімі мен өзінің қандайда бір  дербес шешімінің қосындысына тең:                                        .

Е с к е р т у. Біртекті емес СДТ дербес шешімін табудың жалпы тәсілін (тұрақтыны вариациялау) өз бетінше зерттеуге қалдырамыз (қараңыз[5],88 бет).

Коэффициенттері тұрақты біртекті емес СДТ дербес шешімі  табу әдісімен танысамыз.

 

2-ретті коэффициенттері тұрақты біртекті емес СДТ үшін оң жағы  f(x) бойынша дербес шешімін таңдау тәсілі:

                                         у¢¢ + ру¢ + qу = f (x),       p, q Î R.

1.     Егер теңдеудің оң жағы , мұндағы Pn(x) – п-ші дәрежелі

көпмүше түрінде болса, онда дербес шешімнің құрамы a  санының 

k 2 + pk + q = 0  сипаттаушы теңдеудің түбірі болу, болмауына байланысты. Мынадай мүмкін жағдайларын қарастырамыз:

а) егер a  сипаттаушы теңдеудің түбірі болмаса, онда   дербес шешімді мына түрде іздейміз:                 

                                ,   

мұндағы  Qn(x) – коэффициенттері белгісіз п-ші дәрежелі  (Pn(x) сияқты)  көпмүше.  Белгісіз коэффициенттер , ,  мәндерін берілген теңдеуге қою арқылы анықталады;          

ә) егер a  сипаттаушы теңдеудің қарапайым (бір еселі) түбірі болса, онда   дербес шешімді мына түрде іздейміз:                 

;

б) егер a  сипаттаушы теңдеудің екі еселі түбірі болса, онда   дербес шешімді мына түрде іздейміз:                 

.

2. Егер теңдеудің оң жағы ,       мұндағы Pп(x), Qт(x) –п-ші және т-ші дәрежелі  көпмүшелер түрінде болса, онда дербес шешімнің құрамы a ± ib     санының  k 2 + pk + q = 0  сипаттаушы теңдеудің түбірі болу, болмауына байланысты. Мынадай мүмкін жағдайларын қарастырамыз:

а) егер  a ± ib  сипаттаушы теңдеудің түбірі болмаса, онда   

,

мұндағы  Up(x), Vp(x) – коэффициенттері белгісіз, дәрежесі Pn(x), Qm(x) көпмүшелерінің үлкен дәрежесіне тең, яғни  көпмүше;

ә) егер a ± ib  сипаттаушы теңдеудің түбірі болса, онда     

,

мұндағы  Up(x), Vp(x) а) пунктіндегідей көпмүше).

Дербес жағдай:   егер  f (x) = М cos bx + N sin bx, 

мұндағы  М, N тұрақты сандар болса, онда

а) егер ±ib  сандары сипаттаушы теңдеудің түбірі болмаса, онда                                                   

(мұндағы  А және В –  анықталмаған сандар);

ә) егер  ± ib  сипаттаушы теңдеудің түбірі болса, онда   

(мұндағы  А және В –  анықталмаған сандар).

 

Коэффициенттері тұрақты жоғарғы ретті біртекті емес СДТ дербес шешімін арнайы оң жағы  f (x)  бойынша таңдау

 

1.    Егер оң жағы   f (x) = Pn(x) eax, мұндағы Pn(x) – п-ші дәрежелі көпмүше болса, онда екі жағдай қарастырамыз:

а) егер a  сипаттаушы теңдеудің түбірі болмаса, онда

                                                       = Qn(x)eax ;                                 

ә) егер a  сипаттаушы теңдеудің  m  еселі түбірі болса, онда

 = хm Qn(x)eax.

2.     Егер оң жағы   f (x) = М cos bx + N sin bx, мұндағы М, N – тұрақты сандар болса, онда екі жағдай қарастырамыз:

а) егер ib  сипаттаушы теңдеудің  түбірі болмаса, онда

                                                = А cos bx + В sin bx;

ә) егер ib сипаттаушы теңдеудің  m  еселі түбірі болса, онда

= хm [ А cos bx + В sin bx ].

3.   Егер оң жағы  f (x) = P(x) eax cos bx +  Q(x) eax sin bx, мұндағы P(x), Q(x) көпмүшелер болса, онда екі жағдай қарастырамыз:

а) егер a + ib  сипаттаушы теңдеудің  түбірі болмаса,                              

= U(x) eax cos bx + V (x) eax sin bx,

мұндағы U(x), V(x) дәрежелері  P(x), Q(x) көпмүшелерінің үлкеніне тең көпмүшелер;

ә) егер a + ib  сипаттаушы теңдеудің  m  еселі түбірі болса, онда

                    = хm [U(x)eax cos bx +  V (x) eax sin bx ].

 

3.3 Дәріс 12. Сандық қатарлар. Функциялық қатарлар.

Дәрежелік қатарлар, Тейлор қатары

 

Дәрістің мазмұны: сандық қатарлар. Оң қатарлар, жинақтылық белгілері. Ауыспалы және айнымалы таңбалы қатарлар. Функциялық қатар, дәрежелік қатарлар. Тейлор қатары.

Дәрістің мақсаты: сандық және функциялық қатарлардың негізгі түсініктерімен, жинақтылыққа зерттеу белгілерімен, элементар қатарларды дәрежелік қатарға жіктеу тәсілдерімен танысу.

 

1. Сандық қатарлар

                                                             (1)

мұндағы    ип Î R    (n = 1, 2, …) түріндегі өрнек  сандық қатар деп аталады.  и1, и2, …, ип, … сандары қатардың мүшелері,  ипқатардың жалпы мүшесі деп аталады.   қосындылары  қатардың дербес қосындылары,    қатардың  п-ші қалдығы  деп аталады.   

Егер    ақырлы шегі бар болса, онда ол (1) қатардың қосындысы, ал (1) қатар жинақты деп аталады. Егер   ақырлы шегі болмаса (немесе шексіздікке ұмтылса), онда (1) қатар жинақсыз деп аталады.              

Теорема 1. (қатардың жинақтылығының қажетті белгісі).

Егер (1) қатар жинақты болса, онда   .

Кері тұжырым әрдайым орындалмайды.

Мысал. Гармоникалық қатар   болғанымен, жинақсыз.

 

Теорема 2. (қатардың жинақсыздығының жеткілікті белгісі).

Егер  болса, онда (1) қатар жинақсыз.

Е с к е р т у. Алғашқы бірнеше мүшесін алып тастағаннан қатардың жинақты,  жинақсыздығы өзгермейді.  Бірақ қосындысы, егер ол бар болса, өзгереді.

Барлық мүшелері  ип > 0 қатар оң қатар деп аталады.

 

Оң қатар үшін  жинақтылық  белгілері

Теорема 3. (Даламбер белгісі) Егер (1) оң қатар үшін ақырлы шек     бар болса, онда  l < 1 қатар жинақты; l > 1 қатар жинақсыз; l = 1 қосымша зерттеулер қажет.

Е с к е р т у. Егер    бірақ  N –ші мүшеден бастап  болса, онда қатар жинақсыз.

Теорема 4. (Кошидің  радикалдық белгісі) Егер (1) оң қатар үшін ақырлы шек     бар болса, онда  l < 1 қатар жинақты; l > 1 қатар жинақсыз; l = 1 қосымша зерттеулер қажет.

Теорема 5. (Кошидің  интегралдық белгісі) (1) қатардың мүшелері оң және өспейтін, яғни  u1 ³  u2 ³  u3 ³ …  және  f (x) – үзіліссіз, өспейтін функция болсын және

                                     f (1) = u1f (2) = u2 , …,  f (п) = uп

орындалсын.  Сонда (1) қатар мен меншіксіз интеграл  бірдей жинақты немесе бірдей жинақсыз.

Теорема 6.(1-ші салыстыру белгісі) Мына қатарларды қарастырамыз:       

                                                            (1)

                  мұндағы  ui > 0, vi > 0.              (2)

Егер                           

                                    un £ vn ( п = 1, 2, …)                                            (3)

болса, онда: а) егер (2)  қатар жинақты болса, онда (1) қатар да жинақты;

ә) егер (1)  қатар жинақсыз болса, онда (2) қатар жинақсыз болады.

Е с к е р т у 1. Бұл белгілер тек қана оң қатарлар үшін орындалады. Бұл белгілер 1-ші немесе 2-ші қатарлардың кейбір мүшелері нөлге тең болған жағдайда да орындалады. Егер қатардың кейбір мүшелері теріс сандар болса, онда белгілер орындалмайды.

Е с к е р т у 2. (3) шарт барлық  п = 1, 2, 3, … мәндері үшін емес, ал n ³ N  мәндерінен  бастап орындалған жағдайда да Теорема 6 орындалады.

Теорема 7. (2- ші салыстыру белгісі) Егер ақырлы шек 

                              ( А ≠ 0,   А ≠ ∞),

бар болса, онда (1) және (2) қатарлары бірдей жинақты немесе бірдей жинақсыз.

Е с к е р т у 3. Көп қатарлардың жинақты немесе жинақсыздығын

Дирихле қатарымен  салыстыра отырып, анықтауға болады: егер  болса, онда Дирихле қатары жинақты, егер  болса, онда жинақсыз.

 

Ауыспалы таңбалы қатар

                                      (4)

мұндағы uп ³ 0  ( п = 1, 2, …)   қатары  ауыспалы таңбалы қатар деп аталады.

Лейбниц теоремасы. Егер (4) қатардың мүшелері үшін    

          1)  u1 >  u2 >  u3 > …  (монотонды кемімелі),                              (5)

          2)                                                                                  (6)

шарттары орындалса, онда (4) қатар жинақталады және оның қосындысы оң және  0 <  S <  u1 .

Е с к е р т у 1. Лейбниц теоремасы (5) шарт қандайда бір N мүшеден бастап орындалса да орынды.

Е с к е р т у 2. Лейбниц теоремасын геометриялық түрде кескіндеуге болады.

Егер сан түзуінде дербес қосындыларды нүктелермен белгілесек (3.3.1-сурет):

             s1 = u1,      s2 = u1u2 = s1 u2,    s3 = s2 + u3,    s4 = s3u4,  … ,

онда бұл нүктелер қатардың қосындысын кескіндейтін s нүктесіне жақындай түседі және

                                     s2 < s4 < s6 << s << s5 < s3 < s1.

 

                                     

                                                         3.3.1  сурет  

 

 

Е с к е р т у 3. (Қатардың қалдығын бағалау)

Егер ауыспалы таңбалы қатар Лейбниц теоремасын қанағаттандырса, онда

  қатары  1-ші мүшесі  (–1)п+2 ип+1  болатын ауыспалы таңбалы қатар, демек      | rn | < ип+1 .

Сонымен, (s = sп+ rn болғандықтан) қатені бағалаймыз: | s sп | < ип+1,

яғни  s-ті  sп-ге ауыстырғанда жіберілетін қате  абсолют шамасы бойынша

ип+1 -ден артық емес.

 

Айнымалы таңбалы қатар

          Құрамында оң мүшелерімен қатар теріс мүшелері де бар қатар айнымалы таңбалы қатар деп аталады.

Ауыспалы таңбалы қатар – айнымалы таңбалы қатардың дербес жағдайы.

                                                            (7)

айнымалы таңбалы қатар берілген. Абсолют шамалардан құрылған қатарды қарастырамыз:

                                                             (8)

Теорема 8. (Айнымалы таңбалы қатардың жинақтылығының жеткілікті шарты) Егер абсолют шамалардан құрылған (8) қатар жинақты болса, онда айнымалы таңбалы (7) қатар да жинақты болады .

Е с к е р т у. Теорема айнымалы таңбалы қатардың жинақтылығының жеткілікті шартын ғана көрсетеді, қажетті шартын емес.

Егер абсолют шамалардан құрылған (8) қатар жинақты болса, онда айнымалы таңбалы (7) қатар абсолют жинақты қатар деп аталады.

Егер айнымалы таңбалы (7) қатар жинақты, ал (8) қатар жинақсыз болса, онда (7) қатар шартты  жинақты қатар деп аталады.

 

Абсолют және шартты жинақты қатардың қасиеттері.

Абсолют жинақтылықтың көмегімен 8 теореманы  былайша келтіруге болады: кез-келген абсолют жинақты қатар жинақты болады.

Теорема 9. Егер қатар абсолют жинақты болса, онда ол мүшелерін қалай ауыстырса да  абсолют жинақты болады және оның қосындысы мүшелерінің орнынан тәуелсіз.

Теорема 10. Егер қатар шартты жинақты болса, онда  қандай  А санын алсақ та, мүшелерін қосындысы осы санға тең болатындай етіп орын ауыстыруға болады. Шартты жинақты қатардың мүшелерін жинақсыз қатарға айналатындай етіп орын ауыстыруға да болады.

 

2  Функциялық қатар

            ,                          (9)

мұндағы  ип (х) (n = 1, 2, …) – х-ке тәуелді функциялар, түріндегі қатар функциялық қатар деп аталады.  х-тің нақты мәндерінде (9) қатар жинақты немесе жинақсыз сандық қатарға айналады.

Функциялық қатар жинақты болатын х-тің барлық мәндерінің жиыны жинақтылық облысы деп аталады.

Жинақтылық облысында қатардың қосындысы  х-ке тәуелді функция болады. Сондықтан оны s(x) арқылы белгілейді.

 қосындысы  қатардың дербес қосындысы, ал  қосындысы  қатардың  п-ші  қалдығы  деп аталады.

Егер функциялық қатар жинақты және қосындысы  s(x) болса, онда

                                               s(x) = sn(x) + rn(x).

Сонда  жинақтылық облысының кез-келген  х үшін мына теңдік орындалады:      

                                   ,

яғни  п ® ¥  қатардың  rn(x)  қалдығы   нөлге  ұмтылады.

Егер (9) қатардың  әрбір мүшесі және "xÎ үшін

½ui(х)½ ai  (i = 1, 2, …)

орындалса және

                                         a1 + a2 + …+ an+…,     (ai > 0)                              (10)

сандық қатары жинақталса, онда (9) қатар D облысында  мажорантталады деп, ал  (10)  сандық қатар мажоранттаушы деп аталады.

 

                       а0 + а1х + а2х2 + … + ап хп + …                                      (11)

мұндағы  аi (i = 0, 1, 2, …) – тұрақты сандар, түріндегі функциялық қатар дәрежелік қатар (х-тің дәрежелері бойынша), ал аi (i = 0, 1, 2, …) сандары дәрежелік қатардың коэффициенттері  деп аталады.

Дәрежелік  қатардың жинақтылық облысы дербес жағдайларда нүктеге айналуы мүмкін интервал болады.

Теорема 11. (Абель теоремасы)

1)    егер дәрежелік қатар х0 ¹ 0 үшін жинақталса, онда ол "х: ½х½< х0  үшін абсолют жинақты;  

2)    егер дәрежелік қатар х0 үшін жинақталмаса, онда ол "х: ½х½> х0 үшін жинақсыз.

Теорема 12. Дәрежелік қатардың жинақтылық облысы центрі 0 нүктедегі интервал болады.

хÎ(–R, R)  үшін (11) қатар абсолют жинақты, ал  çхç> R үшін (11) қатар жинақсыз болатын  (–R, R)  интервалы   жинақтылық   интервалы  деп аталады. R саны жинақтылық   радиусы деп аталады.

Интервалдың шеткі нүктелерінде  (яғни х = ± R үшін) қатардың жинақты, жинақсыздығы жеке зерттеледі.

Егер R = ∞ болса, онда барлық сан өсі жинақтылық интервалы болады;  егер  R = 0 болса, онда қатар бір нүктеде ғана жинақты болады.

Даламбер немесе Кошидің радикалдық белгісі бойынша R санының формулаларын қорытуға болады:

     немесе     .

Дәрежелік қатарларды өздерінің  жинақтылық облыстарында мүшелеп дифференциалдауға және интегралдауға болады. Жинақтылық радиусы бұл жағдайда өзгермейді.

Дәрежелік қатардың ( (х х0)-дің дәрежелері бойынша) жалпы түрі:

,

мұндағы  ап  ( п = 1, 2, …) – қатардың коэффициенттері.

Бұл қатардың жинақтылық интервалы ­ – ( х0 R; х0 + R ), мұндағы

 R – жинақтылық радиусы.

 

Тейлор және Маклорен қатарлары

 

Егер f (x)   функциясы x = a  нүктенің маңайында (n+1)-ші ретті туындыларға ие болса, онда Тейлор формуласы орындалады:

         (12)                               

                             мұндағы   қалдығы мына формула бойынша есептеледі:

                   ,        0 < θ < 1.

x = a  нүктенің маңайында     деп есептейміз. (12) формулада 

п ® ¥ шекке көшу арқылы Тейлор қатарын  аламыз:

                        (13)                               

 (13) теңдік  п → ∞   Rn(x) → 0  жағдайда ғана орындалады.Бұл жағдайда теңдіктің оң жағындағы қатар жинақты және оның қосындысы f (x) функциясы болады. 

Е с к е р т у.   жағдайда ғана f (x)  функциясын Тейлор қатары арқылы көрсетуге болады. Егер  болса, онда қатар арқылы бұл  функцияны көрсетуге болмайды (басқа функцияға жинақталуы мүмкін).

Егер Тейлор қатарында   a = 0 болса, онда Тейлор қатарының дербес жағдайы –  Маклорен қатарын аламыз: 

                     (14)

 

Кейбір элементар функциялардың дәрежелік қатарға жіктелуі

1.                (–¥ < x < ¥); 

2.             (–¥ < x < ¥);     

3.                                 (–¥ < x < ¥);                         

4.        ();                         

 

5.   Биномдық қатар

          ,       

мұндағы  т – кез-келген тұрақты сан,                            ();

Дербес жағдайлары,

т =  –1  үшін:                                                ();                          

  үшін:                            ();                   

  үшін:                     ().                             

 

Әрбір жағдай үшін дәрежелік қатардың берілген функцияға жинақталатын облысы көрсетілген. Биномдық қатар интервалдың шеткі нүктелерінде тÎR мәніне байланысты:  үшін  нүктелерінде абсолютно жинақты;  үшін  х = –1  нүктеде жинақсыз және х = 1 нүктеде шартты жинақты;  үшін  нүктеде жинақсыз.

 

 

  Қосымша 

1 к е с т е  - Шек түрлері және оларды табу тәсілдері 

Шек түрі

Шектік нүктені қойғандағы нәтиже

Нәтиже немесе шекті табу тәсілі

 

 

 

1

 

анықталмағандық

2  

,  анықталмағандықтар

а) көбейткіштерге жіктеу;

б) Лопиталь ережесі;

в) түйіндес өрнекке көбейту;

г) эквивалент шексіз аздарды қолдану;

д) осы кестедегі 1 ереже

3   

, ,

0

4   

, ,

5   

 

анықталмағандық

 немесе  түріндегі анықталмағандыққа келтіру және осы кестенің 1 немесе 2 пунктін қолдану

6   

,

7   

,

0

8   

 

анықталмағандық

 немесе  түріндегі анықталмағандыққа келтіру және осы кестенің 1 немесе 2 пунктін қолдану

9   

10   

 анықталмағандық

а) екінші тамаша шекке келтіру ;

б)  формуласын қолдану

11   

12   

2  к е с т е  - Эквивалент шексіз аздар

, яғни ,  а £ ¥,  – шексіз аз шама.

1  

5  

9 

2  

6  

10

3  

7  

11   

4  

8  

 

 

3  к е с т е  -  Негізгі элементар функциялардың туындысы

1    

7    

13    

2    

8    

14   

3    

9    

15    

4    

10   

16    

5    

11    

17    

6    

12   

 

 

 

Әдебиеттер тізімі 

1.     Айдос Е. Жоғары математика. – Алматы: 2003.

2.     Ибрашев Х.И., Еркеғұлов Ш.Т. Математикалық анализ курсы.1,2 т. – Алматы: 19631970.

3.     Хасеинов К.А. Математика канондары. – Алматы: MMIV, 2004.

4.     Көксалов К.К. Жоғары математика курсы. – Алматы: 2002.

5.     Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа для втузов. – М.: Наука, 1973.

6.     Бугров Я.С., Никольский С.М. Вывшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисления. – М.: Наука, 1980.

7.     Натансон И.П. Краткий курс высшей математики. – СПб.: Издательство Лань, 1997. – 736 б.

8.     Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Учебник для втузов: В 2 т.–М.: Наука, 1976.–Т.1–456 б.

9.     Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Учебник для втузов: В 2 т.–М.: Наука, 1976.–Т.2–576 б.

10.  Данко П.Е. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты).– М.: Высшая школа, 1983.

 

 

 

Мазмұны

Алғы сөз

3

1 Математикалық талдауға кіріспе Бір айнымалы функцияның дифференциалдық есептеулері

4

1.1 Дәріс 1.   Функция. Сандық тізбек. Шектер

4

1.2 Дәріс 2.   Функцияның үзіліссіздігі

8

1.3 Дәріс 3.   Бір айнымалы функцияның  дифференциалдық есептелуі

12

1.4 Дәріс 4.   Функцияны туындының көмегімен зерттеу

16

2 Бірнеше айнымалы функция Бір және бірнеше айнымалы функцияның интегралдық есептелуі

20

2.1 Дәріс 5.   Алғашқы функция және анықталмаған интеграл

20

2.2 Дәріс 6.   Рационал, иррационал, тригонометриялық функцияларды интегралдау

22

2.3 Дәріс 7.   Анықталған интеграл, негізгі қасиеттері. Ньютон-Лейбниц формуласы. Айнымалыны ауыстыруБөліктеп интегралдау 

28

2.4 Дәріс 8.   Екі еселі интеграл

32

2.5 Дәріс 9.   Үш еселі интеграл

36

3 Дифференциалдық теңдеулер. Қатарлар

40

3.1 Дәріс 10. Дифференциалдық теңдеулер, негізгі түсініктер

40

3.2 Дәріс 11. Жоғарғы ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер. Коэффициенттері тұрақты жоғарғы ретті біртекті және  біртекті емес сызықтық дифференциалдық теңдеулер

46

3.3 Дәріс 12. Сандық қатарлар. Функциялық қатарлар.  Дәрежелік қатарлар, Тейлор қатары

51

4 Қосымша

58

Әдебиеттер тізімі

60

  

                                                                 2010 ж. жиынтық жоспары, реті  296