Коммерциялық емес  акционерлік қоғам

Алматы энергетика және байланыс Университеті

Жоғары математика кафедрасы

 

 

 

МАТЕМАТИКАЛЫҚ ТАЛДАУ

Талдауға кіріспе

Оқудың барлық түрлері бойынша 5В060200 – Информатика мамандығында оқитын студенттер  үшін есептеу-графикалық жұмысқа арналған әдістемелік нұсқаулар мен тапсырмалар

 1-бөлім

 

 

Алматы 2011 

Құрастырушылар: Л.Н. Ким, К.М. Мұстахишев. Математикалық талдау. Талдауға кіріспе. Оқудың барлық түрлері бойынша 5В060200 – Информатика мамандығында оқитын студенттер үшін есептеу-графикалық жұмысқа арналған әдістемелік нұсқаулар мен тапсырмалар. 1-бөлім. –Алматы: АЭжБУ, 2011. -26 б.

 

Есептеу-графикалық жұмысқа арналған әдістемелік нұсқаулар мен тапсырмалар 5В060200 – Информатика мамандығының студенттері үшін математикалық талдау курсы бойынша бағдарлама мен тапсырмалардан тұрады. Бағдарламаның негізгі теориялық сұрақтары, бірінші және екінші деңгейлік тапсырмалардың нұсқалары және типтік нұсқаның шешуі келтірілген.

Әдістемелік нұсқаулар 5В060200 – Информатика мамандығында оқудың барлық түрлері бойынша оқитын бірінші курс студенттеріне арналған.

Кестелер 15,  әдебиеттер тізімінде 6 атау.

 

Пікір жазған: аға оқытушы Малькеева Г.А.

 

«Алматы энергетика және байланыс университеті» коммерциялық емес акционерлік қоғамының 2011 жылғы баспа жоспары бойынша басылды

 

ã «Алматы энергетика және байланыс университеті» КЕАҚ, 2011 ж.

2011 ж., жиынтық жоспары, реті 230

 

Кіріспе

 

         Әдістемелік нұсқаулар 1-модуль: «Математикалық талдау. Талдауға кіріспе» бойынша бағдарлама мен тапсырмалардан тұрады. Тапсырмалардың құрамында отыз нұсқа бар. Олардың нөміріндегі екінші сан студентке тиісті нұсқаны көрсетеді.

Сырттай оқитын студенттер үшін бақылау жұмысының варианты оның сынақ кітапшасының номерін 30-ға бөлгенде қалатын қалдық ретінде анықталады. Мысалы, сынақ кітапшасының нөмірі 080612 болса, ол сан 080612=2687*30+2 түрінде жазылады. Демек, студент №2 нұсқаның тапсырмаларын орындауға міндетті. Егер қалдық нөлге тең болса, студент №30 нұсқаны орындайды.

Бақылау жұмысы жеке дәптерде орындалады. Есептердің шығарылуы жинақы, бірақ, теориядан керекті мәліметтер мен формулалар келтіріліп, қажет болса суреттер салынып, түсініктемелер берілуі міндетті. Бақылау жұмысын орындауда осы әдістемелік нұсқауларда келтірілген типтік нұсқаның шешуі үлгі бола алады.

                                                               

         1. 1-типтік есептеу. Математикалық талдауға кіріспе. Заттық сандар. Сандық тізбектер. Бір айнымалының функциялары

 

1.1  Теориялық сұрақтар

 

1 Математикалық талдау пәні. Жиындар. Логикалық рәміздер.

2  Заттық сандар, олардың негізгі қасиеттері. Санның абсолют шамасы.

3 Сандық тізбектер. Оларға арифметикалық амалдар қолдану.

4  Шектелген және шектелмеген тізбектер.

5  Шексіз аз және шексіз үлкен тізбектер. Шексіз аз тізбектердің негізгі қасиеттері.

6  Жинақты тізбектер, олардың негізгі қасиеттері.

7   Бірсарынды (монотонды) тізбектер, е саны.

8  Бір айнымалы функциясының түсінігі. Негізгі элементар функциялар, олардың графиктері.

9 Функциялардың түрлері. Айқын, айқын емес, кері және күрделі функциялар. Параметрлік түрде және полярлық координаталарда берілген функциялар.

        

         2.1   Бірінші деңгейлік есептеу тапсырмалары

 

         1   жиындарының барлық элементтерін санамалап, түсіндіріңіз.

 1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

1.10

1.11

1.12

1.13

1.14

1.15

1.16

1.17

1.18

1.19

1.20

1.21

1.22

1.23

1.24

1.25

1.26

1.27

1.28

1.29

1.30

 

         2  Тізбектің алғашқы бес мүшесін жазыңыз.

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9

2.10

2.11

2.12

2.13

2.14

2.15

2.16

2.17

2.18

2.19

2.20

2.21

2.22

2.23

2.24

2.25

2.26

2.27

2.28

2.29

2.30

 

         3  Тізбектің жалпы мүшесінің формуласын жазыңыз.

3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

3.6

3.7

3.8

3.9

3.10

3.11

3.12

3.13

3.14

3.15

3.16

3.17

3.18

3.19

3.20

3.21

3.22

3.23

3.24

3.25

3.26

3.27

3.28

3.29

3.30

 

         4  Анықтама негізінде  екенін дәлелдеңіз (-ды көрсетіңіз).

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

4.6

4.7

4.8

4.9

4.10

4.11

4.12

4.13

4.14

4.15

4.16

4.17

4.18

4.19

4.20

4.21

4.22

4.23

4.24

4.25

4.26

4.27

4.28

4.29

4.30

 

         5  Сандық тізбектердің шектерін табыңыз

5.1

.

5.2

.

5.3

.

5.4

.

5.5

.

5.6

.

5.7

.

5.8

.

5.9

.

5.10

.

5.11

.

5.12

.

5.13

.

5.14

.

5.15

.

5.16

.

5.17

.

5.18

.

5.19

.

5.20

.

5.21

.

5.22

.

5.23

.

5.24

.

5.25

.

5.26

.

5.27

.

5.28

.

5.29

.

5.30

.

 

         6  Сандық тізбектердің шектерін есептеңіз.

6.1

6.2

6.3

6.4

6.5

6.6

6.7

6.8

6.9

6.10

6.11

6.12

6.13

6.14

6.15

6.16

6.17

6.18

6.19

6.20

6.21

6.22

6.23

6.24

6.25

6.26

6.27

6.28

6.29

6.30

                 

         7  Сандық тізбектердің шектерін есептеңіз.

7.1

7.2

7.3

7.4

7.5

7.6

7.7

7.8

7.9

7.10

7.11

7.12

7.13

7.14

7.15

7.16

7.17

7.18

7.19

7.20

7.21

7.22

7.23

7.24

7.25

7.26

7.27

7.28

7.29

7.30

        

8   Сандық тізбектердің шектерін есептеңіз.

8.1

8.2

8.3

8.4

8.5

8.6

8.7

8.8

8.9

8.10

8.11

8.12

8.13

8.14

8.15

8.16

8.17

8.18

8.19

8.20

8.21

8.22

8.23

8.24

8.25

8.26

8.27

8.28

8.29

8.30

        

         9  Сандық тізбектердің шектерін есептеңіз.

9.1

9.2

9.3

9.4

9.5

9.6

9.7

9.8

9.9

9.10

9.11

9.12

9.13

9.14

9.15

9.16

9.17

9.18

9.19

9.20

9.21

9.22

9.23

9.24

9.25

9.26

9.27

9.28

9.29

9.30

        

         10  Берілген  функциясының: 

         а) анықталу аймағын табыңыз;

         б) жұп не тақ екенін анықтаңыз.

    №              

        

 №                   

          

№

         

10.1

10.2

10.3

10.4

10.5

10.6

10.7

10.8

10.9

10.10

10.11

10.12

10.13

10.14

10.15

10.16

  

10.17

 

10.18

10.19

10.20

10.21

10.22

10.23

10.24

10.25

10.26

10.27

10.28

10.29

10.30

        

         11  а) Күрделі функцияны негізгі элементар функциялардың тізбегіне жіктеңіз.

          б) Негізгі элементар функциялардың тізбегін бір күрделі функция түрінде жазыңыз.

11.1

11.2

11.3

11.4

11.5

11.6

11.7

11.8

11.9

11.10

11.11

11.12

11.13

11.14

11.15

11.16

11.17

11.18

11.19

11.20

11.21

11.22

11.23

11.24

11.25

11.26

11.27

11.28

11.29

11.30

 

         12   функциясының графигін түрлендіру арқылы  функциясының графигін тұрғызыңыз.

№

№

     

№

12.1

2

-1

1

12.2

    3

-2

1

12.3

-1

2

-3

12.4

-2

2

-2

12.5

   -3

2

-1

12.6

2

-4

-1

12.7

-2

2

12.8

    3

2

2

12.9

-2

0

2

12.10

-3

1

2

12.11

   -3

-2

-1

12.12

2

-3

-1

12.13

2

-1

4

12.14

    3

-1

-1

12.15

3

2

1

12.16

-2

1

-1

12.17

   -3

2

2

12.18

1

2

3

12.19

-2

12.20

-2

-2

12.21

12.22

3

-3

3

12.23

-2

-2

-2

12.24

1

-2

3

12.25

2

2

-1

12.26

    3

1

0

12.27

-2

-2

3

12.28

-1

-2

-3

12.29

   -3

-4

2

12.30

2

2

0

 

         13.1-13.16  функциясының графигін түрлендіру арқылы  функциясының графигін тұрғызыңыз.

13.1

13.2

13.3

13.4

13.5

13.6

13.7

13.8

13.9

13.10

13.11

13.12

13.13

13.14

13.15

13.16

        

13.17-13.30  функциясының графигін түрлендіру арқылы  функциясының графигін тұрғызыңыз.

13.17

13.18

13.19

13.20

13.21

13.22

13.23

13.24

13.25

13.26

13.27

13.28

13.29

13.30

        

2.2  Екінші деңгейлік тапсырмалары

 

         14  Математикалық индукция әдісінің көмегімен дәлелдеңіз.

14.1             

.

14.2

.

14.3                     

 

еселі 5.

14.4

 

.

14.5

.

14.6

 

 еселі 133.

14.7

 

.

14.8

.

14.9

еселі 19.

14.10

.

14.11

.

14.12

еселі 6.

14.13

.

14.14

 

.

14.15

еселі 24.

14.16

.

14.17

.

14.18

еселі  7.

14.19

.

14.20

14.21

еселі 6 

14.22

 

 

14.23

.

14.24

еселі 9.

14.25

.

14.26

.

14.27

еселі 11

14.28

.

14.29

.

14.30

  еселі 25 .

        

15   Анықтаманы ғана қолданып,  тізбегінің шексіз аз не шексіз үлкен екенін дәлелдеңіз.

15.1

15.2

15.3

15.4

15.5

15.6

15.7

15.8

15.9

15.10

15.11

15.12

15.13

15.14

15.15

15.16

15.17

15.18

15.19

15.20

15.21

15.22

15.23

15.24

15.25

15.26

15.27

15.28

15.29

15.30

 

         2.3   Типтік нұсқаның шешуі

 

         1).  деп,     жиындарының барлық элементтерін санамалап, түсіндіріңіз.

         Шешу. Квадрат теңдеулердің шешулерін табалық:

 

Олар  жиындарын құрайды. Симметриялық айырым  болғандықтан көрсетілген амалдар – жиындардың: бірігуі, қиылысуы, айырымы және симметриялық айырымы жаңа жиындарға келтіреді:

2).  тізбегінің алғашқы бес мүшесін жазыңыз.  

Шешу:    болғанда сәйкес

3). Тізбектің жалпы мүшесінің формуласын жазыңыз:   

         Шешу. Тізбек мүшелері шамасы жөнінен 1-ден басталатын тақ сандардың кері шамаларына тең:

  ,

таңбалары ауыспалы: оң таңбадан басталып, кезектесіп отырады, яғни  өрнегінің таңбасымен бірдей. Олай болса, тізбектің жалпы мүшесі

4). Тізбек шегінің анықтамасын ғана пайдаланып, дәлелдеңіз (-ды көрсетіңіз:

.

Шешу. Тізбекті ашып жазып:

,

 деп алайық. Тізбектің барлық мүшелері үшін төртінші мүшеден бастап

теңсіздігі орындалады. Шынында да:

        

Қаралып отырған жағдайда  деп алуға болады.

Кез келген берілген  санынан тәуелді, тізбек шегінің анықтамасына қанағаттандыратын  санының жалпы өрнегін де табуға болады. Анықтама бойынша барлық  номерлері үшін

теңсіздігі орындалуы міндетті. Теңсіздікті шешсек:

.

Сонымен,  үшін  болғанда  теңсіздігі орындалатындай  саны бар.

         5). Сандық тізбектердің шектерін табыңыз:

а) ;         б);        в) .

         Шешу. Берілген шектердің бәрінде де  түріндегі анықталмағандық орын алып тұр. Тізбектердің жалпы мүшелері -ге қарағанда бөлшек-рационал өрнектер. Олардың шектерін табу үшін бөлшектің алымын да, бөлімін де бөліміндегі -нің ең үлкен дәрежесіне (алғашқы екі жағдайда -қа, үшінші тармақта -не) мүшелеп бөлеміз. Одан кейін тура шекке көшсек, ізделініп отырған шектер табылады. Нұсқауларды орындалық:

а) ;

         б)  ;

          в)

         6).   Сандық тізбектің шегін есептеңіз:

.

Шешу. Тура шекке көшсек   түріндегі анықталмағандыққа келеміз. Оны ашу үшін екінші тамаша шек

                                                                                         (1)

қолданылады. Қарапайым түрлендірулердің көмегімен берілген өрнекті (1) түрге келтіріп, шекке көшелік:

.

7). Сандық тізбектің шегін есептеңіз:

 

Шешу. Дәреженің негізі -ге қарағанда рационал бөлшек. Оның шегі            5-есептегі тәсілмен табылады:

.

Ал,  болғандықтан

.

8). Сандық тізбектің шегін есептеңіз:

Шешу. Шекке тура көшу   түріндегі анықталмағандыққа келтіреді. Ол (1) формуланың көмегімен ашылады. Сонымен,

9). Сандық тізбектің шегін есептеңіз:

         Шешу. Алдыңғы есептің жолымен:

10).  функциясының:

а) анықталу аймағын  табыңыз;

б) жұп не тақ екенін анықтаңыз.

Шешу. а) функцияның құрамында жұп дәрежелі түбір болғандықтан оның анықталу аймағы

 

теңсіздігімен анықталады, яғни

;

б) жұп не тақ функцияның  шарттарының біріне қанағаттандыратыны белгілі. Ал,

болғандықтан берілген функция жұп та, тақ та емес (анықталу аймағы  координаталардың бас нүктесіне қарағанда симметриялы емес).

         11). а)  күрделі функциясын негізгі элементар функциялардың тізбегіне жіктеңіз;

                б)  негізгі элементар функциялардың тізбегін

                                                            (2)

бір күрделі функция ретінде жазыңыз.

Шеш.: а)  белгілеуінің көмегімен  аралық айнымалысын енгізсек, берілген күрделі функция негізгі элементар функциялардың тізбегі

түрінде жазылады;

         б) (2) тізбекте оңнан солға қарай жылжи отырып, алдымен  аралық айнымалысын  функциясына, одан кейін адынған  өрнегін  функциясына қойсақ, ізделініп отырған күрделі

 

функциясына келеміз.

         12).  функциясының графигін түрлендіру арқылы  функциясының графигін тұрғызыңыз.

Шешу.  функциясының графигі деп  жазықтығындағы  нүктелерінің геометриялық орнын айтамыз. Берілген  функциясының графигін алу үшін  параболасын абсцисса осіне қарағанда симметриялы орналастырып, ордината осі бағытында 2 есеге сығып,  және  осьтері бойымен сәйкес 2 бірлікке (өлшемге) солға және  бірлікке жоғары қарай жылжытсақ болғаны (1 суретті қара). Бұл айтылғандарды төмендегі түрлендірулер тізбегі арқылы орындауға болады:

 

1 сурет

 

13).  функциясының графигін түрлендіру арқылы  функциясының графигін тұрғызыңыз.

Шешу. Егер  функциясының графигін  десек, онда  және  қисықтары -ға сәйкес абсцисса және ордината осьтеріне қарағанда симметриялы орналасады. Ал,  және   функцияларының графиктері -ны сәйкес  және  осьтері бойымен  және  шамаларына «параллель» көшіру арқылы алынады.

Аргументті не функцияны белгілі бір санға көбейту графикті координаталар осьтері бойымен деформациялауға келтіреді:   қисығы -ны  осі бойымен  және  болғанда сәйкес  есе сығу және  есе созу арқылы алынады. Ал,  функциясының графигі -ны  осі бойымен  және  болғанда сәйкес  есе созу және  есе сығу арқылы алынады.

 функциясынан  функциясына төмендегі түрлендірулер тізбегі арқылы көшуге болады (2 суретті қара):

 

 

2 сурет

         Суреттерден берілген функцияның графигі  синусоидасын абсцисса және ордината осьтері бойымен екі есе сәйкес сығу және созу,  осіне қарағанда симметриялы көшіру және осы ось бойымен солға қарай          1 өлшемге жылжыту арқылы алынғанын көреміз.

 

 

Әдебиеттер тізімі 

1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Жоғарғы математика жаттығулар мен есептерде (2 бөлімнен). -М.: Жоғарғы мектеп, 1986. -1 б.,          -352 б.

         2. Жоғарғы математикадан жеке тапсырмалар жинағы (3 бөлімнен, А.П.Рябушко, В.В.Бархатов, т.б. А.П.Рябушко редакциясымен). -Минск: Жоғарғы мектеп, 2000, 1б., -303 б.

         3. Кузнецов А.А. Жоғарғы математикадан есептер жинағы (типтік есептеулер),  -М.: Жоғарғы мектеп, 1983. -176 б.

         4. Письменный Д.Т. Жоғарғы математикадан дәрістер конспектісі,              1- бөлім, -М.: Айрис-пресс, 2003. 256 б.

         5. Хасеинов К.А. Математика канондары. Оқулық, -Алматы: 2003.             -686 б.

         6. Мустахишев К.М., Ералиев С.Е., Атабай Б.Ж. Математика (толық курс). –Алматы: TST-Company, 2009, -429 б.

 

 Мазмұны 

Кіріспе                                                                                                                        3

1.  1-типтік есептеу. Математикалық талдауға кіріспе. Заттық сандар.

Сандық тізбектер. Бір айнымалының функциялары                                        3

1.1  Теориялық сұрақтар                                                                                 3

2.1   Бірінші деңгейлік есептеу тапсырмалары                                                 3

2.2   Екінші деңгейлік тапсырмалар                                                                  15

2.3   Типтік нұсқаның шешуі                                                                                     17

Әдебиеттер тізімі                                                                                              25