Некоммерческое акционерное общество

АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ  И СВЯЗИ

Кафедра  высшей математики

 

 

 

МАТЕМАТИческий анализ

анализ функций одной переменной

Методические указания и Задания  к расчетно-графической работе для студентов всех форм обучения специальности 5В060200 – «Информатика» Часть 1

 

 

Алматы  2011

       СОСТАВИТЕЛЬ:  Дулэпо В.М. Математический анализ. Анализ функции одной переменной. Методические указания и задания  к расчетно-графической работе для студентов всех форм обучения специальности 5В060200 – «Информатика». Часть 1. – Алматы: АУЭС, 2011.- 24 с.

            Настоящее методические указания содержат задания и методические указания для выполнения расчетно-графической работы по следующим разделам интегрального исчисления функции одной переменной: «Неопределённый интеграл», «Определённый интеграл» и «Несобственные интегралы». Приведены основные теоретические вопросы программы обучения и решение типового варианта РГР.

          Методические указания предназначены для студентов первого курса специальности  «Информатика».

         Ил. -  1, библиогр.- 9 назв.

Рецензент: ст. преподаватель. кафедры высшей математики АУЭС 
Г.А.Малькеева

 

         Печатается по плану издания некоммерческого акционерного общества «Алматинскй университет энергетики и связи»  на 2011 г.

 

ã  НАО «Алматинский университет энергетики и связи»,  2011 г

Сводный план 2011 г, поз. 233

 

Введение

         Основной целью выполнения данной работы является самостоятельная подготовка и закрепление собственных знаний и умений студента перед соответствующими по учебному плану проверками достижений учащегося – ближайшим рубежным контролем и будущим экзаменом по дисциплине. Сопутствующей целью является  допуск на экзамен,  получение баллов за качество выполненной работы для исчисления рейтинга допуска и выведения итог  Данные методические указания   содержат 15 заданий первого и второго уровней сложности, каждое из которых состоит из 25 вариантов. Из каждого задания  студентом для выполнения выбирается номер варианта, соответствующий его номеру в списке учебной группы. После выполнения и оформления РГР работа сдаётся преподавателю для проверки.        

1  Расчётно-графическая работа № 1.
             Интегралы от функции одной переменной

1.1  Теоретические вопросы

1       Понятие первообразной функции. Определение неопределённого интеграла. Основные свойства неопределённого интеграла. Таблица  основных интегралов. Интегрирование методами подстановки и по частям.

2       Интегрирование рациональных функций. Интегрирование тригонометрических функций и некоторых иррациональных функций..

3       Интегральные суммы. Определение определённого интеграла. Условие существования интеграла.  Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в определённом интеграле. Несобственные интегралы.

4       Некоторые физические и геометрические приложения определённого интеграла (площадь плоской фигуры, длина дуги кривой, объём тела вращения, площадь поверхности вращения, работа переменной силы)

1.2  Задания  первого уровня сложности

Задание 1.  Вычислить неопределённые интегралы с помощью непосредственного интегрирования

Варианты

Варианты

1.1

1.14

1.2

1.15

1.3

1.16

1.4

1.17

1.5

1.18

1.6

1.19

1.7

1.20

1.8

1.21

1.9

1.22

1.10

1.23

1.11

1.24

1.12

1.25

1.13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 2.  Вычислить неопределённые интегралы

Варианты

Варианты

2.1

 

2.14

 

2.2

 

2.15

 

2.3

 

2.16

 

2.4

 

2.17

 

2.5

 

2.18

 

2.6

 

2.19

 

2.7

 

2.20

 

2.8

 

2.21

 

2.9

 

2.22

 

2.10

 

2.23

 

2.11

 

2.24

 

2.12

 

2.25

 

2.13

 

 

 


Задание 3.  Вычислить неопределённые интегралы

Варианты

Варианты

3.1

 

3.14

 

3.2

 

3.15

 

3.3

 

3.16

 

3.4

 

3.17

 

3.5

 

3.18

 

3.6

 

3.19

 

3.7

 

3.20

 

3.8

 

3.21

 

3.9

 

3.22

 

3.10

 

3.23

 

3.11

 

3.24

 

3.12

 

3.25

 

3.13

 

 

 


Задание 4.  Вычислить неопределённые интегралы

Варианты

Варианты

Варианты

4..1

 

4.10

4.19

 

4.2

 

4.11

4.20

 

4.3

 

4.12

4.21

 

4.4

 

4.13

4.22

 

4.5

 

4.14

4.23

 

4.6

 

4.15

4.24

 

4.7

 

4.16

4.25

 

4.8

 

4.17

 

 

4.9

 

4.18

 

 


Задание 5.  Вычислить неопределённые интегралы внесением функции под знак дифференциала

Варианты

5.1

а)

б)

5.2

а)

б)

5.3

а)

б)

5.4

а)

б)

5.5

а)

б)

5.6

а)

б)

5.7

а)

б)

5.8

а)

б)

5.9

а)

б)

5.10

а)

б)

5.11

а)

б)

5.12

а)

б)

5.13

а)

б)

5.14

а)

б)

5.15

а)

б)

5.16

а)

б)

5.17

а)

б)

5.18

а)

б)

5.19

а)

б)

5.20

а)

б)

5.21

а)

б)

5.22

а)

б)

5.23

а)

б)

5.24

а)

б)

5.25

а)

б)


Задание 6.  Вычислить неопределённые интегралы методом по частям

Варианты

6.1

а)

б)

6.2

а)

б)

6.3

а)

б)

6.4

а)

б)

6.5

а)

б)

6.6

а)

б)

6.7

а)

б)

6.8

а)

б)

6.9

а)

б)

6.10

а)

б)

6.11

а)

б)

6.12

а)

б)

6.13

а)

б)

6.14

а)

б)

6.15

а)

б)

6.16

а)

б)

6.17

а)

б)

6.18

а)

б)

6.19

а)

б)

6.20

а)

б)

6.21

а)

б)

6.22

а)

б)

6.23

а)

б)

6.24

а)

б)

6.25

а)

б)


Задание 7.  Вычислить неопределённые интегралы от выражений, содержащих  квадратный трёхчлен


Варианты

Варианты

7.1

7.14

 

7.2

 

7.15

 

7.3

 

7.16

 

7.4

 

7.17

 

7.5

 

7.18

 

7.6

 

7.19

 

7.7

 

7.20

7.8

7.21

 

7.9

 

7.22

 

7.10

 

7.23

 

7.11

7.24

 

7.12

 

7.25

 

7.13

 

 

 


Задание 8.  Вычислить определённый интеграл

Задание

Задание

Задание

8.1

8.10

8.18

8.2

8.11

8.19

8.3

8.12

8.20

8.4

8.13

8.21

8.5

8.14

8.22

8.6

8.15

8.23

8.7

8.16

8.24

8.8

8.17

8.25

8.9

 


Задание 9.  Вычислить определённый интеграл

Задание

Задание

Задание

9.1

910

9.18

9.2

9.11

9.19

9.3

9.12

9.20

9.4

9.13

9.21

9.5

9.14

9.22

9.6

9.15

9.23

9.7

9.16

9.24

9.8

9.17

9.25

9.9

 


Задание  10. Вычислить определённый интеграл с помощью указанной замены

Варианты

Варианты

10.1

10.14

10.2

10.15

10.3

,  

10.16

10.4

10.17

10.5

10.18

10.6

10.19

10.7

10.20

10.8

10.21

10.9

10.22

10.10

10.23

10.11

10.24

10.12

10.25

10.13

 

 


           1.2  Задания  второго уровня сложности

  Задание 1.  Вычислить неопределённый интеграл                                           

Варианты

1.1

а)

б)

1.2

а)

б)

1.3

а)

б)

1.4

а)

б)

1.5

а)

б)

1.6

а)

б)

1.7

а)

б)

1.8

а)

б)

1.9

а)

б)

1.10

а)

б)

1.11

а)

б)

1.12

а)

б)

1.13

а)

б)

1.14

а)

б)

1.15

а)

1.16

а)

б)

1.17

а)

б)

1.18

а)

б)

1.19

а)

б)

1.20

а)

б)

1.21

а)

б)

1.22

а)

б)

1.23

а)

б)

1.24

а)

б)

1.25

а)

б)

 

 

Задание 2.  Вычислить неопределённый интеграл    

Варианты

Варианты

2.1

2.14

2.2

 

2.15

 

2.3

2.16

2.4

 

2.17

 

2.5

2.18

2.6

 

2.19

 

2.7

 

2.20

 

2.8

 

2.21

 

2.9

 

2.22

 

2.10

2.23

2.11

2.24

2.12

 

2.25

 

2.13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Задание 3.  Вычислить площадь фигуры
D, ограниченной заданными  линиями

Задание

Задание

Задание

3.1

D:

3.10

D:

3.19

D:

3.2

D:

3.11

D:

3.20

D:

3.3

D:

3.12

D:

3.21

D:

3.4

D:

3.13

D:

3.22

D:

3.5

D:

3.14

D:

3.23

D:

3.6

D:

3.15

D:

3.24

D:

3.7

D:

3.16

D:

3.25

D:

3.8

D:

3.17

D:

 

 

3.9

D:

3.18

D:

 

 

 


Задание  4.  Вычислить несобственные интегралы 1-го рода или доказать их
расходимость                                                                                                                                                                       

Варианты

Варианты

Варианты

4.1

4.10

4.19

4.2

4.11

4.20

4.3

4.12

4.21

4.4

4.13

4.22

4.5

4.14

4.23

4.6

4.15

4.24

4.7

4.16

4.25

4.8

4.17

 

 

4.9

4.18

 

 

 

 

Задание  5.  Вычислить приближенно определённый интеграл по формуле трапеций при  n =10

Варианты

Варианты

Варианты

5.1

5.10

5.19

5.2

5.11

5.20

5.3

5.12

5.21

5.4

5.13

5.22

5.5

5.14

5.23

5.6

5.15

5.24

5.7

5.16

5.25

5.8

5.17

 

 

5.9

5.18

 

 

  

Указания к решению некоторых заданий типового варианта

         Задания  1- 4    решим с помощью непосредственного интегрирования, то есть с использованием тождественных преобразований подинтегральных функций, правил интегрирования и табличных интегралов.

1.    Вычислить интеграл      .      

       Решение

.

                                                                                   

2.    Вычислить интеграл      .      

Решение.        

                                                                                                                  
                                                                                             Ответ:    

 

3.    Вычислить интеграл         .

Решение.

                                                                                           Ответ:                

4.   а)   Вычислить интеграл      

Решение.     

                                                         Ответ:  

б)   Вычислить интеграл    

Решение.

                                                                                     Ответ:   .

5.   а)  Вычислить интеграл    

         Задание   выполним внесением  функции под знак дифференциала.

Решение.

          
                                                                                                   Ответ:  

 

б)   Вычислить интеграл    

Решение.      

6.   Вычислить интеграл    

         Применим способ интегрирования по частям.

Решение.

                                                               Ответ:  

7.   Вычислить интеграл   . 

Решение.

             Применим методы решения из темы «Интегрирование дробно-рациональных функций».

             Степень числителя подинтегральной функции равна 3, степень знаменателя  равна 8.  Следовательно, подинтегральная дробь является правильной и выделение целой части дроби здесь не требуется.
             Знаменатель дроби уже разложен на множители, поэтому переходим к следующему этапу – исходную дробь разлагаем на сумму простейших дробей:

,

             Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

            

Таким образом,

             .

                                               Ответ:     

8.   Вычислить определённый интеграл  

Решение.

                                                                                                 Ответ:    .  

9.   Вычислить определённый интеграл    используя указанную замену переменной.

Решение.

                                                                                                                 
                                                                                                    Ответ:  

10.   Вычислить площадь фигуры D, ограниченной указанными линиями

       D:
C:\Documents and Settings\user\Рабочий стол\РГР 2011\чертеж 2.tifРешение.
                                

Построим фигуру D (см. рисунок)

 

                                                                                                                                                            Ответ:   6.
11.  Вычислить определённый интеграл   

Решение.

                                                                                Ответ:   

12.  Вычислить несобственный интеграл (либо доказать его расходимость)                                                                                                Интеграл является несобственным интегралом первого рода.
Решение.               

 13.   Вычислить приближенно определённый интеграл  по формуле трапеций при  n =10 .                                                  

Формула трапеций:   .

Разобьем отрезок интегрирования   точками деления на n = 10 частей:

Вычислим приближённо  с помощью калькулятора значения подинтегральной функции   в этих точках (шесть знаков после запятой):

;


         Подставим найденные значения в формулу трапеций:

                                            

         Абсолютная величина погрешности вычисления определённого интеграла по формуле трапеций   , где   .  Так как

  для всех х из .

                                                                         Ответ:

 

 

 

Приложение

Основные сведения для выполнения раздела «Интегралы от функции одной      переменной»

Неопределённый интеграл

         Функция  F(x) называется  первообразной  для функции  f(x), если          F¢(x) = f(x) . Неопределённым  интегралом от  функции  f(x)  называется совокупность  всех её  первообразных.  Обозначение:   ò f(x)dx  =  F(x)  +  C.  

Свойства  неопределённого  интеграла

 

Таблица  основных  интегралов

 

 - формула замены переменной
   - формула интегрирования по частям

         Определенный  интеграл

           -  определение определённого интеграла.

         Свойства:


 
  y           
            y=f(x)




        
                                  b             х

                                                                                                                          

         Правила  вычисления  определённых  интегралов

1.  Формула   Ньютона-Лейбница:         ,   где   F(x)  -  первообразная  для  f(x).

2.  Интегрирование  по  частям:     
3.  Замена  переменной:        

        Приложения  определённых  интегралов                                                                                                                                                                   Площади  плоских  фигур:          

а)   В прямоугольных координатах:                                                     

               y                                                                                                                                                                                
                            
y=f(x)                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           
                                                                                                    
y =f2(x)
                                                                                                      

           a                              b         x                                  a                            b                                                                        

                                                                                                         y =f1(x)                                                                                                                                                                                                                                                                                              
         
  
                                                                                                                                                                                 

Длина   дуги плоской кривой:    

Объём тела  по площади его поперечного сечения:    

Формула трапеций для приближённого вычисления определённого интеграла:     

         Оценка погрешности вычислений:  если функция  f(x) имеет на   

непрерывную вторую производную и   , то абсолютная величина погрешности формулы трапеций 

 

 Список литературы

1.   Бугров Я.С.,  Никольский С.М.   Высшая математика.   Дифференциальное и интегральное исчисление. - М.: Наука,  1980. - 432 с.
          3.   Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч. Ч.1. – М.: Высш. шк., 1986. – 304 с.
          4.   Дулэпо В.М.  Высшая математика.  Основы  дифференциального исчисления (конспект лекций). – Алматы: Алматинский   институт энергетики  и связи, 2001. –  80 с.
          5.   Дулэпо В.М.  Высшая  математика.  Справочные  материалы  (части 1,2,3).  – Алматы:  Алматинский  институт  энергетики  и  связи,  2005. –  80 с.
          6.   Индивидуальные задания по высшей математике: Учеб. пособие/А.П. Рябушко, В.В.  Бархатов,  В.В. Державец,  И.Е. Юруть. – Мн.: Высш. шк., 2000. – 396  с.
          7.   Натансон И.П.  Краткий курс высшей математики.
- СПб.: Издательство Лань, 1997. - 736 с.
          8.   Пискунов Н.С.  Дифференциальное  и интегральное исчисления для втузов, т. 1 -  М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985.  -  432 с.
          9.   Хасеинов К.А. Каноны математики: Учебник.- Алматы, 2003.– 686 с.
 

 

Содержание

Введение                                                                                                            3

1        Расчётно-графическая работа № 1                                                            3     
1.1   Задания первого уровня сложности                                                           3
1.2   Задания второго уровня сложности                                                           12  
1.3   Указания к решению некоторых заданий                                                  17
Приложение                                                                                                     24
Список литературы                                                                                          27