Коммерциялық емес акционерлік қоғам

Алматы энергетика және байланыс Университеті

Жоғары математика кафедрасы

МАТЕМАТИКАЛЫҚ ТАЛДАУ

БІр айнымалы функциялар талдауы

5В060200 – «Информатика» мамандығы бойынша оқитын барлық бөлімдер студенттері үшін есептеу-графикалық жұмыстарын орындауға арналған әдістемелік нұсқаулар мен тапсырмалар

1-бөлім

Алматы 2011

Құрастырған: Б.Ж. Атабай. Математикалық талдау. Бір айнымалы функциялар талдауы. 5В060200 – «Информатика» мамандығы бойынша оқитын барлық бөлімдер студенттері үшін есептеу-графикалық жұмыстарын орындауға арналған әдістемелік нұсқаулар мен тапсырмалар. – Алматы: АЭжБУ, 2011, -28 б.

Әдістемелік нұсқаулар мен тапсырмалар АЭжБУ-нің 5В060200 – «Информатика» мамандығы бойынша оқитын барлық бөлім студенттері үшін №1 есептеу-графикалық жұмыстарын орындауға арналған. Мұнда негізгі теориялық сұрақтар мен тапсырмалардың 25 нұсқасы беріліп, тапсырмаларды орындау үлгілері келтірілген.

Пікір беруші: физ.-мат. ғыл. канд., доцент Мұстахишев К.М.

“Алматы энергетика және байланыс университеті” коммерциялық емес акционерлік қоғамының 2011 ж. баспа жоспары бойынша басылды.

Кіріспе

Осы жұмыстың негізгі мақсаты – студенттердің өзіндік дайындығы мен пән бойынша аралық бақылау және емтиханға дайындалу бағытында өз білімдерін нақтылау.

Әдістемелік нұсқаулар 15 есептен құралған 25 нұсқалар мен тапсырмаларды шешу үлгілерінен тұрады. Күндізгі бөлімде оқитын студенттер үшін тізімдегі рет нөмірі бойынша нұсқа алынады. ЕГЖ тапрсырмалары орындалғаннан кейін тексеру үшін оқытушыға тапсырылады.

Әдістемелік нұсқауларда тапсырмаларды шешу үлгілері мен қажет формулалар келтірілген.

1 № 1 есептеу-графикалық жұмыс.
Бір айнымалы функциялар

1.1 Теориялық сұрақтар

1 Алғашқы функция түсінігі. Анықталмаған интегралдар, анықтамасы және оның қасиеттері. Анықталмаған интегралдардың негізгі кестесі. Интегралдау тәсілдері (тура интегралдау, жаңа айнымалы енгізу және бөліктеп интегралдау).

2 Рационал функцияларды интегралдау. Кейбір иррациональ функцияларды интегралдау. Тригонометриялық функцияларды интегралдау.

3 Интегралдық қосынды. Анықталған интегралдар анықтамасы. Анықталған интегралдың бар болу шарты. Жоғары шегі айнымалы анықталған интеграл. Ньютон-Лейбниц формуласы. Анықталған интегралды жаңа айнымалы енгізіп және бөліктеп интегралдап есептеу. Меншіксіз интегралдар.

4. Анықталған интегралдардың кейбір физикалық және геометриялық қосымшалары (жазық фигура ауданы, қисық доғасының ұзындығы, айналу денесінің көлемі, айналу бетінің ауданы, айнымалы күш жұмысы).

1.2 Бірінші деңгейлік тапсырмалар

1-тапсырма. Анықталмаған интегралдарды тура интегралдау тәсілімен табыңыз:

№	Тапсырмалар	№	Тапсырмалар	№	Тапсырмалар
1		10		19
2		11		20
3		12		21
4		13		22
5		14		23
6		15		24
7		16		25
8		17
9		18

2-тапсырма. Анықталмаған интегралдарды табыңыз.

№	Тапсырмалар	№	Тапсырмалар
1		14
2		15
3		16
4		17
5		18
6		19
7		20
8		21
9		22
10		23
11		24
12		25
13

3-тапсырма. Анықталмаған интегралдарды табыңыз.

№	Тапсырмалар	№	Тапсырмалар
1		14
2		15
3		16
4		17
5		18
6		19
7		20
8		21
9		22
10		23
11		24
12		25
13

4-тапсырма. Анықталмаған интегралдарды табыңыз.

№	Тапсырмалар	№	Тапсырмалар	№	Тапсырмалар
1		10		19
2		11		20
3		12		21
4		13		22
5		14		23
6		15		24
7		16		25
8		17
9		18

5-тапсырма. Анықталмаған интегралдарды дифференциал астына енгізу тәсілімен табыңыз.

№	Тапсырмалар
1	а)	б)
2	а)	б)
3	а)	б)
4	а)	б)
5	а)	б)
6	а)	б)
7	а)	б)
8	а)	б)
9	а)	б)
10	а)	б)
11	а)	б)
12	а)	б)
13	а)	б)
14	а)	б)
15	а)	б)
16	а)	б)
17	а)	б)
18	а)	б)
19	а)	б)
20	а)	б)
21	а)	б)
22	а)	б)
23	а)	б)
24	а)	б)
25	а)	б)

6-тапсырма. Анықталмаған интегралдарды бөліктеп интегралдау әдісімен табыңыз.

№	Тапсырмалар
1	а)	б)
2	а)	б)
3	а)	б)
4	а)	б)
5	а)	б)
6	а)	б)
7	а)	б)
8	а)	б)
9	а)	б)
10	а)	б)
11	а)	б)
12	а)	б)
13	а)	б)
14	а)	б)
15	а)	б)
16	а)	б)
17	а)	б)
18	а)	б)
19	а)	б)
20	а)	б)
21	а)	б)
22	а)	б)
23	а)	б)
24	а)	б)
25	а)	б)

7-тапсырма. Квадрат үшмүшелік өрнегінің анықталмаған интегралдарын табыңыз.

№	Тапсырмалар	№	Тапсырмалар
1		14
2		15
3		16
4		17
5		18
6		19
7		20
8		21
9		22
10		23
11		24
12		25
13

8-тапсырма. Анықталған интегралдарды есептеңіз.

№	Тапсырмалар	№	Тапсырмалар	№	Тапсырмалар
1		10		18
2		11		19
3		12		20
4		13		21
5		14		22
6		15		23
7		16		24
8		17		25
9

9-тапсырма. Анықталған интегралдарды есептеңіз.

№	Тапсырмалар	№	Тапсырмалар	№	Тапсырмалар
1		10		18
2		11		19
3		12		20
4		13		21
5		14		22
6		15		23
7		16		24
8		17		25
9

10-тапсырма. Анықталған интегралдарды берілген алмастыру бойынша есептеңіз.

№	Тапсырмалар	№	Тапсырмалар
1		14
2		15
3		16
4		17
5		18
6	,	19
7		20
8		21
9		22
10		23
11		24
12		25
13

1.3 Екінші деңгейлік тапсырмалар

1-тапсырма. Анықталмаған интегралдарды есептеңіз.

№	Тапсырмалар
1	а)	б)
2	а)	б)
3	а)	б)
4	а)	б)
5	а)	б)
6	а)	б)
7	а)	б)
8	а)	б)
9	а)	б)
10	а)	б)
11	а)	б)
12	а)	б)
13	а)	б)
14	а)	б)
15	а)	б)
16	а)	б)
17	а)	б)
18	а)	б)
19	а)	б)
20	а)	б)
21	а)	б)
22	а)	б)
23	а)	б)
24	а)	б)
25	а)	б)

2-тапсырма. Анықталмаған интегралдарды есептеңіз.

№	Тапсырмалар	№	Тапсырмалар
1		14
2		15
3		16
4		17
5		18
6		19
7		20
8		21
9		22
10		23
11		24
12		25
13

3-тапсырма. Берілген сызықтармен шектелген D жазық фигурасының ауданын табыңыз.

№	Тапсырмалар	№	Тапсырмалар	№	Тапсырмалар
1	D:	10	D:	19	D:
2	D:	11	D:	20	D:
3	D:	12	D:	21	D:
4	D:	13	D:	22	D:
5	D:	14	D:	23	D:
6	D:	15	D:	24	D:
7	D:	16	D:	25	D:
8	D:	17	D:
9	D:	18	D:

4-тапсырма. 1-текті меншіксіз интегралдарды есептеңіз немесе оның жинақсыздығын дәлелдеңіз:

№	Тапсырмалар	№	Тапсырмалар	№	Тапсырмалар
1		10		19
2		11		20
3		12		21
4		13		22
5		14		23
6		15		24
7		16		25
8		17
9		18

5-тапсырма. -да трапеция формуласы бойынша анықталған интегралды жуықтап есептеңіз:

№	Тапсырмалар	№	Тапсырмалар	№	Тапсырмалар
1		10		19
2		11		20
3		12		21
4		13		22
5		14		23
6		15		24
7		16		25
8		17
9		18

1.4 Типтік нұсқаның шешуі

1-4 тапсырмалар тура интегралдау (А қосымшасы), яғни кейбір түрлендірулер мен анықталмаған интегралдар қасиеттері және оның кестесі арқылы орындалады.

1. Интегралды табыңыз .

Шешуі:

Жауабы:

2. Интегралды табыңыз .

Шешуі:

Жауабы:

3. Интегралды табыңыз .

Шешуі:

Жауабы: .

4. а) Интегралды табыңыз .

Шешуі:

Жауабы:

б) Интегралды табыңыз .

Шешуі:

Жауабы: .

5. а) Интегралды табыңыз .

Шешуі: Тапсырманы функцияны дифференциал астына енгізу тәсілімен орындаймыз.

Жауабы:

б) Интегралды табыңыз .

Шешуі:

6. Интегралды табыңыз .

Шешуі: анықталмаған интегралдарда бөліктеп интегралдау әдісін қолданамыз.

Жауабы:

7. Интегралды табыңыз .

Шешуі: Интегралданушы бөлшек дұрыс рационал бөлшек. Бөліміндегі квадрат үшмүшелік түбірі нақты сандар емес. Рациональ бөлшекті қарапайым бөлшектерге жіктейміз:

Теңдіктің екі жағынан да бірдей дәрежелі айнымалысының коэффициенттерін теңестіріп, коэффициенттері бойынша сызықтық теңдеулер жүйесін аламыз:

Сонымен, рационал бөлшектің қарапайым бөлшектер қосындысына жіктелуі: .

Жауабы: .

8. Анықталған интегралды есептеңіз .

Шешуі:

Жауабы: .

9. Анықталған интегралды берілген алмастыру бойынша есептеңіз.

Шешуі:

.
Жауабы: .

10. Берілген сызықтармен шектелген D фигура ауданын есептеңіз.

Шешуі: D фигурасын тұрғызамыз (суретті қара).

Жауабы: 6.

11. Анықталған интегралды есептеңіз .

Шешуі:

Жауабы: .

12. Меншіксіз интегралды есептеңіз (немесе жинақсыздығын дәлелдеңіз)

Шешуі: Бірінші текті меншіксіз интеграл берілген.

Интеграл жинақты.

Жауабы: .

13. Трапеция формуласы бойынша -да анықталған интегралды жуықтап есептеңіз:

Трапеция формуласы: .

интегралдау кесіндісін нүктелермен бөліктерге бөлеміз:

Интегралданушы функциясының бұл нүктелердегі мәндерін калькулятор көмегімен жуықтап табамыз (үтірден кейін алты таңбамен):

;

Табылған мәндерді трапеция формуласына қоямыз:

Трапеция формуласы бойынша анықталған интегралды есептеудегі қателіктің абсолют шамасы:

мұнда . Себебі, -де бүкіл х үшін . Олай болса, .

Жауабы: .

А қосымшасы

Анықталмаған интегралдар қасиеттері:

Анықталмаған интегралдар кестесі:

Б қосымшасы

Интегралдар түрлері	Интегралдау тәсілдері
1. .	Қойылым: .
2. .	Бөліктеп интегралдау: . Интегралдардың түрлерінде, мұнда - көпмүшелік; - функциялардың бірі болса, онда бөліктеп интегралдау формуласының қолданылуында: соның ішінде логарифмдік немесе кері тригонометриялық функциялар болса, онда олар арқылы, қалғандары арқылы белгіленеді.
3. , мұнда - дұрыс рационал бөлшек.	Интегралданушы бөлшегін қарапайым бөлшектер қосындысы түріне келтіріп интегралдаймыз.
4. , .	Қойылым: . Көпмүшеліктің толық квадратын бөліп шығару формуласы: .
5. .	Интеграл қойылымы арқылы екі интеграл қосындысына келтіріледі: біріншісі дәрежелік функция интегралы; екіншісі кестелік интеграл.
6. .	Универсал қойылым: Егер болса, онда қойылым . Егер болса, онда қойылым . Егер болса, онда қойылым .
7. .	Тригонометриялық функциялар көбейтіндісі олардың қосындысы немесе айырымы түрінде келесі формулалар арқылы келтіріліп интегралданады: , , .
8. , мұнда - бүтін сандар	Егер - тақ оң сан, онда қойылым: . Егер - тақ оң сан, онда қойылым: . Егер - жұп теріс сан, онда қойылым: . Егер және - жұп теріс емес сандар, онда: , , формулалары қолданылады.
9. - бүтін сан.	Қойылым: .

В қосымшасы

- анықталған интеграл анықтамасы.

Г қосымшасы

Анықталған интегралдарды есептеу ережелері:

1. Ньютон-Лейбниц формуласы: ,

мұнда F(x) – f(x) функциясының алғашқы функциясы.

2. Бөліктеп интегралдау формуласы:

3. Жаңа айнымалы енгізу формуласы:

4. Егер f(x) – тақ функция болса, онда

5. Егер f(x) – жұп функция болса, онда

Д қосымшасы

Анықталған интегралдардың қолданылуы

Жазық фигура ауданы:

а) тік бұрышты координата жүйесінде:

б) параметрлік түрде берілген фигура ауданы: .

в) r = r(j) полярлық координата фигура ауданы: .

Жазық қисық доғасының ұзындығы:

- параметрлік қисық доғасының ұзындығы: .

- r = r(j) теңдеуімен берілген қисық доғасының ұзындығы: .

Дене көлемі: .

Айналу денесінің көлемі: .

Айналу бетінің ауданы: .

Анықталған интегралды жуықтап есептеу формуласы (трапеция формуласы):

Есептеу қателігін бағалау: егер функциясының кесіндісінде үздіксіз екінші ретті туындысы бар болып және болса, онда трапеция формуласы негізінде қателіктің абсолют шамасы .

Әдебиеттер тізімі

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциаль-ное и интегральное исчисление. -М.: Наука, 1980. -432 с.

2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч. Ч.1. –М.: Высш. шк. 1986. –304 с.

3. Дулэпо В.М. Высшая математика. Основы дифференциального исчисления (конспект лекций). – Алматы: Алматинский институт энергетики и связи, 2001. –80 с.

4. Дулэпо В.М. Высшая математика. Справочные материалы (части 1,2,3). – Алматы: Алматинский институт энергетики и связи, 2005. – 80 с.

5. Индивидуальные задания по высшей математике: Учеб. Пособие / А.П.Рябушко, В.В. Бархатов, В.В.Державец, И.Е. Юруть. –Мн.: Высш. шк., 2000. –396 с.

6. Натансон И.П. Краткий курс высшей математики. - СПб.: Изда-тельство Лань, 1997. -736 с.

7. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т. 1 - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. -432 с.

8. Хасеинов К.А. Каноны математики: Учебник. –Алматы: 2003. –686 с.

9. К.М. Мұстахишев, С.Е. Ералиев, Б.Ж. Атабай. Математика (толық курс). –Алматы: “TST-company”, 2009. -410 б.

Мазмұны

1 № 1 есептеу-графикалық жұмыс	3
1.1 Теориялық сұрақтар 1.2 Бірінші деңгейлік тапсырмалар	3 3
1.3 Екініші деңгейлік тапсырмалар	12
1.4 Типтік нұсқаның шешуі	17
Қосымшалар	23
Әдебиеттер тізімі	27