МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

Некоммерческое акционерное общество

«Алматинский университет энергетики и связи»

 

 

Р.Е. Ким

Математический анализ

Учебное пособие

 

Алматы 2012

 

УДК [517.1/3+517.52+517.9] (075.8)

ББК 22.161 Я 73

К 40 Математический анализ:

Учебное пособие /Р.Е. Ким;

АУЭС. Алматы, 2012.- 100с.

 

ISBN 978 – 601 – 7327 – 59 – 0

 

 

Учебное пособие представляет собой переработанные и дополненные лекции по математическому анализу, читаемые автором в АУЭС, содержит основные разделы, традиционно изучаемые в курсе математического анализа: «Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной», «Функции нескольких переменных. Интегральное исчисление функции одной и нескольких переменных», «Дифференциальные уравнения. Ряды». Содержание разделов взаимосвязано друг с другом. В доступной форме изложены основные теоретические сведения, приведены примеры и решенные задачи, иллюстрирующие изложенный материал и помогающие усвоить и закрепить изучаемый материал.

Учебное пособие предназначено для студентов всех форм обучения специальностей 5В070400 – Вычислительная техника и программное обеспечение и  5В070300 – Информационные системы.

Ил. 20, табл. 6, библиогр. –  10 назв.

ББК 22.161 Я 73

  

Рецензенты: КазНУ, канд. физ.-мат. наук, доц. У.К. Койлышов,

                  АУЭС, канд. физ.-мат. наук, проф. С.Е. Базарбаева.

 

 

Печатается по плану издания Министерства образования и науки Республики Казахстан на 2012 г.

  

ISBN 978 – 601 – 7327 – 59 – 0

 

ã НАО «Алматинский университет энергетики и связи», 2012 г.

 

Предисловие

 

Данное учебное пособие представляет собой переработанные и дополненные лекции по математическому анализу, содержит основные разделы, традиционно изучаемые в курсе математического анализа: «Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной», «Функции нескольких переменных. Интегральное исчисление функции одной и нескольких переменных», «Дифференциальные уравнения. Ряды» и соответствует учебному плану второго семестра бакалавриата всех форм обучения специальностей 5В070400 – Вычислительная техника и программное обеспечение и 5В070300 – Информационные системы. Содержание разделов взаимосвязано друг с другом. В доступной форме изложены основные теоретические сведения, приведены примеры, иллюстрирующие изложенный материал и помогающие усвоить и закрепить изучаемый материал.

Учебное пособие будет полезно преподавателям и студентам и предназначено для проведения самостоятельных работ во время аудиторных занятий по курсу математического анализа.

1 Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

 

1.1 Множество. Операции над множествами

 

Понятие множества является первичным (т.е. не определяемым с помощью других, более простых понятий).

Определение. Множеством  называется совокупность объектов произвольного рода, рассматриваемая как единое целое. Предметы, составляющие множество, называются его элементами.

Приняты следующие обозначения:

A, B, X, … – множества;

a, b, x, x₁,  x₂, … – элементы множеств;

 – элемент х принадлежит множеству A;

 – элемент b не принадлежит множеству А;

N – множество натуральных чисел;

Z – множество целых чисел;

Q – множество рациональных чисел;

I  – множество иррациональных чисел;

R – множество действительных чисел;

C – множество комплексных чисел;

Ø – пустое множество (не содержит ни одного элемента).

Исходя из количества элементов, множества могут быть конечными (состоящими из конечного числа элементов) и бесконечными (состоящими из бесконечного числа элементов).

 

Способы задания множеств:

 

а) перечислением элементов, например, 

X = {x₁, x₂, …, x_n},

A = {1, 3, 5, 7, 9, …};

б) с помощью характеристического свойства:  A = {x| Р(x)},

где P(x) – свойство Р, которым обладает элемент x, например,

                    A = {x| х² + х = 0} – совокупность корней уравнения   х² + х = 0.

Часто встречается такая модификация: предположим, что задано множество А  и дано свойство P(x), тогда

{| Р(x)} – совокупность всех элементов х множества А, удовлетворяющих свойству P(x), например,

1) {| х² + х = 0} есть множество  {–1, 0},

2) {| х² + х = 0} есть пустое множество;

в) порождающей процедурой, которая описывает способ получения элементов из уже имеющихся элементов, например, множество В = {1, 3, 9, 27, 81, …} можно задать так:  

1) 1В;    2)  bВ → 3bВ.

Высказывания

 

Под высказыванием принимается выражение математической или другой природы, которое утверждает, что имеет место тот или иной факт.

          Высказывание Р называется истинным, если факт, который утверждается в нем, является истинным. В противном случае – ложным.

Например, 5 + 2 = 7 – истинное высказывание,  7 < 5  – ложное высказывание.

Пусть даны два высказывания  P  и  Q.

          Высказывание  Q  является  логическим следствием  высказывания  P, если из того, что Р  истинно следует, что  Q  истинно. При этом  говорят, что «из P следует Q» или «Р есть достаточное условие для  Q, а  Q – необходимое условие для Р».

Обозначение:  P  Q.

          Высказывания     P  и  Q   эквивалентны, если каждое из них является следствием другого, т.е. P  Q  и  Q  P.

Обозначение:  P  Q.

Введем понятия часто встречающихся кванторов всеобщности и существования.

Пусть А – произвольное множество, Р(x) – условие, которому объект х может удовлетворять или не удовлетворять.

 

" – квантор всеобщности.

Запись  "х  Р(x) читается следующим образом: «для всех х выполнимо Р(x)».

Пример.  

"х ( хØ).

 

Запись  ": Р(x) читается следующим образом: «для всех х из А выполнимо Р(x)».

Примеры.  

1)   ": х² ≥ 0;       

2)   ": –1 ≤ sin x ≤ 1.

 

$ – квантор существования.

Запись  $: Р(x) читается следующим образом: «существует х из А такой, что выполнимо Р(x)».

Пример.  

$: х² = 1 (уравнение имеет решение).

 

Запись  $!: Р(x) читается следующим образом: «существует единственный х из А такой, что выполнимо Р(x)».

Пример. 

$! : 2х = 4 (уравнение имеет единственное решение).

 

Включение и равенство множеств

 

          Определение. Множество В называется подмножеством множества А (обозначается ), если каждый элемент множества В является элементом множества А: ,  – знак включения.

Определение. Множества А и В называют равными, если они состоят из одних и тех же элементов:  ( и ).

Если  и , то В является собственным подмножеством множества А:  – строгое включение.

 

Пример.  

"А  Ø (пустое множество является подмножеством любого другого множества).

 

Специальные подмножества множества действительных чисел

 

Пусть .

Определение. Совокупность всех  таких, что a ≤ x ≤ b называется замкнутым промежутком или отрезком с концами  a и b, обозначается  [a;b].

Определение. Совокупность всех  таких, что a < x < b называется открытым промежутком или интервалом с концами  a и b, обозначается  (a;b).

Определение. Совокупность всех  таких, что a ≤ x < b (или             a < x ≤ b)  называется полуоткрытым промежутком или полуинтервалом с концами  a и b, обозначается  [a;b) (или (a;b]).

 

Операции над множествами

 

Пусть  А, В, А₁, А₂, …, А_n – произвольные множества.

Объединение множеств А и В (обозначается  АВ):

АВ = {x| xА или xВ}.

Обобщение операции объединения:        A₁A₂…A_n = .

Пересечение множеств А и В (обозначается  АВ):  

АВ = {x| xА и xВ}.

Обобщение операции пересечения:        A₁A₂…A_n = .

Разность множеств А и В (обозначается  А \ В):   

А \ В = {x| xА и xВ}.

Прямое (декартовое) произведение множеств А и В (обозначается А×В) – множество таких пар (х, у), что хA и уВ:       

А×В = {(х, у)| хA и уВ}.

Обобщение операции прямого произведения:

A₁×A₂×…×A_n = {(х₁, х₂, …, х _n)| х₁A₁, х₂A₂ ,…, х _nA_n}.

Если   A = B, то  A×A = A² ;   ;  A¹ = A;  A⁰ = Ø.

 

1.2 Функция: основные понятия и свойства

 

Определение. Переменной величиной называется всякая величина х, способная принимать различные числовые значения.

Величина, численные значения которой не меняются, называется постоянной величиной.

Определение. Переменная величина  у  называется функцией независимой переменной х, если любому определенному значению х (из множества возможных значений) соответствует единственное определенное значение у.

     Обозначение:  у = f (х).

Переменная х  называется при этом аргументом или независимой переменной,  у называют зависимой переменной.

Определение. Совокупность значений х, для которых определяются значения функции у в силу правила f (х), называют областью определения функции (обозначают D(y)), а совокупность всевозможных значений функции  у в силу правила   f (х), называют областью изменения  функции (обозначают E(y)).

 

Способы задания функции:

1)     аналитический (формулой);

2)     табличный;

3)     графический.

Определение. Графиком называется совокупность точек  (х, f (х)) плоскости  (Оху), абсциссы которых являются значениями независимой переменной, а ординаты – соответствующими  значениями функции;

4)     словесный.

 

Основные свойства функций:

1)     Четность.

Определение. Функция  у = f (х) называется четной, если  

f (– х) = f (х)   " хÎD(у)

(график функции симметричен относительно оси ординат).

2)     Нечетность.

Определение. Функция  у = f (х) называется нечетной, если  

f (– х) = – f (х)   " хÎD(у)

(график функции симметричен относительно начала координат).

3)     Монотонность.

Определение. Если функция  у = f (х) такова, что большему значению аргумента х соответствует большее (меньшее) значение функции, то функция  у = f (х) называется возрастающей (убывающей).

Определение. Функция  у = f (х) называется монотонной, если она является либо возрастающей, либо убывающей.

4)     Ограниченность.

Определение. Функция  у = f (х) называется ограниченной в данной области D (в области изменения аргумента х), если

$ М > 0:  | f (х)| ≤ М   " хÎD.

Если же такого М не существует, то функция  у = f (х) называется неограниченной в данной области.

5)     Периодичность.

Определение. Функция  у = f (х) называется периодической, если

$ С > 0:   f (х + С) = f (х) " хÎD(у).

Наименьшее такое число называется периодом функции.

 

Основные виды функций:

1)     Явная и неявная функции.

Функция  задана явно, если  она определена уравнением  у = f (х); функция  задана неявно, если  она определена уравнением F(x, y) = 0. 

2)     Обратная функция.

Если между значениями x и  соответствующими им значениями y = f (х) устанавливается взаимно однозначное соответствие, то, рассматривая эти значения y как значения аргумента, а значения  х как значения функции, получаем х как функцию у:  х = φ(y). Эта функция называется обратной для функции  у = f (х). Очевидно, что и функция  у = f (х) является обратной для функции  х = φ(y).

3)     Сложная функция (суперпозиция, композиция, функция от функции).

Если  у является функцией от и, а и в свою очередь зависит от переменной   х,  то  у  также зависит от   х,  т.е. если      у = F(и),       и = φ(х), то 

у = F [φ(х)]. Последняя функция называется функцией от функции или сложной функцией или суперпозицией или композицией.

 

1.3 Числовая последовательность

 

Если функция у = f (х) определена на множестве натуральных чисел (т.е. D(y) = N, где N = {1, 2, 3, …}), то мы имеем дело с упорядоченной переменной величиной,  значения   которой   образуют  числовую  последовательность    у₁, у₂, у₃, …, у_п, … (где   у_п = f (n), пÎN ).

 

Предел числовой последовательности 

 

Определение. Постоянное число а называется пределом переменной величины  у_п при  п → ∞, если  "e > 0   $ N  > 0 :   ½у_п –  а½< e   при  п > N. (Последняя запись читается следующим образом: «Если для любого наперед заданного произвольного малого положительного числа ε существует такой номер N > 0, что будет выполняться неравенство½у_п –  а½< e для всех  п > N »).

Обозначения:    или .  

Определение. Последовательность у_п стремится к бесконечности, если  

" М > 0   $ N > 0:  ½у_п ½ > М    при  п > N.

Обозначения:   или .  

Примеры:

1)  у_п = п, ;   

2)  у_п = – п, ;  

3)  у_п = (–1)^п п,   .

 

1.4 Предел функции

 

Пусть функция y = f (x) определена в некоторой окрестности точки а или в некоторых точках этой окрестности.

Определение. Функция  y = f (x) стремится к пределу  b   ( y ® b )  при  x, стремящемся к  a  (x ® a), если   

"e > 0   $ d (e) > 0: ½у_п –  b½< e

при всех  х,  удовлетворяющих неравенству | х – а | < d (e).

Обозначение:  f (x) ® b при x ® a    или 

Если  x стремится к  a так, что x принимает только значения меньшие (или только значения большие), чем a, то в этом случае говорят об односторонних пределах: пределе функции  f (x) в точке а слева и пределе функции  f (x) в точке а справа.

Определение. Функция y = f (x) стремится к пределу  b₁   ( y ® b₁ )  при x, стремящемся к  a  слева ( x ® a – 0), если 

"e > 0   $ d (e) > 0:  ½ f (x) – b₁½< e

при всех  х, удовлетворяющих неравенству 0 < а – х < d (e).

Обозначение:    .

Определение. Функция y = f (x) стремится к пределу  b₂   ( y ® b₂ )  при x, стремящемся к  a  справа ( x ® a + 0), если 

"e > 0   $ d (e) > 0:  ½f (x) – b₂½< e

при всех  х, удовлетворяющих неравенству 0 < х – а < d (e).

Обозначение:    .

Определение. Функция y = f (x) стремится к бесконечности  ( y ® ¥)  при x, стремящемся к  a ( x ® a), если   

" М > 0   $ d (М) > 0: ½f (x)½> М

при всех  х, удовлетворяющих неравенству | х – а | < d (М).

Обозначение:    .

Если f (x) стремится к бесконечности  при x ® a и при этом  принимает только положительные или только отрицательные значения, то соответственно пишут     или  .

Определение. Функция y = f (x) стремится к пределу  b при x ® ¥, если 

"e > 0   $ N > 0: ½ f (x) – b½< e  ,

при всех значений х, удовлетворяющих неравенству | х | > N.

Обозначения:

1)   f (x) ® b  при   x ® ¥      или     

2)   f (x) ® b  при   x ® – ¥   или      

3)   f (x) ® b  при   x ® + ¥   или      

Пример.      

 

Если   f (x) ® ¥  при   x ® ¥ , то пишут      

В частности, может быть:

                          и т.д.

Примеры.

                     

 

З а м е ч а н и е.

Функция  y = f (x) при x ® a  или при   х ® ¥  может не стремиться к конечному пределу или к бесконечности.

 

Пример.  

 y = sin x. Данная функция при   х ® ¥  не стремится к конечному пределу или к бесконечности.

 

Основные теоремы о пределах

 

Пусть   а £ ¥ (константа или бесконечность). Тогда справедливы следующие теоремы.

Теорема 1.  

Предел алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме пределов этих функций:

.

Теорема 2.

Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций:

.

Следствие. 

Постоянный множитель можно выносить за знак предела: 

,  С – константа.

Теорема 3.

Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя отличен от нуля:

   если  

Теорема 4. 

Если   между соответствующими значениями трёх функций  u(x), y(x), v(x) выполняется неравенство  u(x) £ y(x) £ v(x)   и      , то     .

 

Теорема 5. 

Если между соответствующими значениями двух функций  u(x), v(x) выполняется неравенство u(x) £ v(x) и существуют пределы     то    .

 

Теорема 6. 

Если при х ® а функция  у ³ 0 и при этом  у ® b,  то b ³ 0.

 

Теорема 7. 

Если  у – возрастающая и ограниченная функция, т.е. у < M, то существует предел    где  В £ M.

 

Первый и второй замечательные пределы

 

Первый замечательный предел:  .

Следствия:  

1);    

2) ;     

3) .

Второй замечательный предел:  ,    е = 2,7182818284…,

             – обобщённая форма.

 

Техника вычисления пределов. Виды определенностей и неопределенностей и способы их раскрытия

 

При вычислении пределов, прежде всего, следует подставить предельную точку в функцию вместо переменной.

Если получено вполне определённое значение (константа или бесконечность), то это значение является ответом.

Возможные виды определённостей:  

 .

Если в результате подстановки получена одна из неопределённостей (возможны семь видов неопределённостей: ), то, говорят, следует раскрыть неопределённость, т.е. вычислить предел,

используя различные методы, приведенные в таблице 1.4.1.

 

Т а б л и ц а  1.4.1

№	Виды пределов	Результат подстановки предельной точки	Результат или метод вычисления предела
1	2	3	4
1		неопределённость
2		,  неопределённости	а) разложение на  множители; б) правило Лопиталя; в) умножение на сопря-жённое выражение; г) применение эквив.  бесконечно малых; д) правило 1 этой таблицы

продолжение таблицы 1.4.1

1	2	3	4
3		, ,	0
4		, ,
5		неопределённость	привести к неопределённостям вида или , затем как в 1 или 2 этой таблицы
6		,
7		,	0
8		неопределённость	привести к неопределённостям вида или , затем как в 1 или 2 этой таблицы
9
10		неопределённости	а) привести ко второму      замечательному       пределу б) использовать      формулу
11
12

1.5 Бесконечно малые и бесконечно большие функции

 

Определение. Функция  a(х)  называется бесконечно малой  (б.м.)  при    х ® а (а – вещественное число или символ ¥), если  .

Аналогично определяется бесконечно малая функция  при    х ® а – 0   и

 х ® а + 0, а также при   х ® –¥  или   х ® +¥.

З а м е ч а н и е.  

Если   то  f (x) – A есть бесконечно малая.

Определение. Функция  f (х)  называется бесконечно большой  (б.б.) при х ® а (а – вещественное число или символ ¥), если  .

Лемма.

1) если  f (х) ® ∞  при  х ® а, то     при х ® а;

2) если  a(х) ® 0  при  х ® а, то     при х ® а.

 

Основные теоремы о бесконечно малых

 

Теорема 1.

Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых при    х ® а функций есть функция бесконечно малая при х ® а.

Теорема 2.

Произведение ограниченной при х ® а функции на б.м. при х ® а функцию есть функция бесконечно малая при х ® а.

Теорема 3.

Произведение конечного числа б.м. при х ® а функций есть функция бесконечно малая при х ® а.

З а м е ч а н и е 1.  

Целая   положительная  степень  [a(х)]^п   б.м.  функции  a(х) ® 0  при    х ® а есть бесконечно малая функция при х ® а.

З а м е ч а н и е 2.

Отношение двух б.м. функций a(х) ® 0  и b(х) ® 0  при х ® а может быть функцией произвольного поведения при х ® а.

 

Сравнение бесконечно малых

 

Для сравнения бесконечно малых вычисляют предел их отношения. Пусть  и  бесконечно малые при х ® а, тогда если

1) , то б.м.  более высокого порядка малости, чем , в этом случае пишут ;

2) , то б.м.более низкого порядка малости, чем ;

3) , то б.м. и  одного порядка;

4) , то б.м.  и  эквивалентны, записывают ;

5) , то есть б.м. - го порядка по сравнению с .

 

Эквивалентные б.м. Их применение при вычислении пределов

 

При вычислении пределов с б.м. в ряде случаев используют теоремы об эквивалентных б.м.:

Теорема 4.

Если ,  при х ® а, то

1)  ;

2) .

 

Итак, следуя теореме, в пределах одну б.м. можно заменить другой, эквивалентной ей, при этом используют таблицу эквивалентных б.м. (см. таблицу 1.5.1).

 

Т а б л и ц а  1.5.1

, т.е.  – бесконечно малая при ,  а £ ¥.
1		5		9
2		6		10
3		7		11
4		8

1.6 Непрерывность функций

 

Определение. Функция у = f (x), определенная при x = х₀ и всех значениях х, достаточно близких к х₀ , называется непрерывной при x = х₀ (в точке х₀), если 

f (х₀ + 0) = f (х₀ – 0) = f (х₀).

Это по определению предела означает, что для каждого положительного числа ε, как бы мало оно не было, можно указать такое d (e) > 0, что для всех  х, отличных от х₀  и удовлетворяющих неравенству | х – х₀ | < d (e),  имеет место неравенство   ½f (x) –  f (х₀) ½< e.   

 

Введем понятия приращений:

приращение аргумента:  ∆x = x – х₀;

приращение функции:  ∆у = f (x) – f (х₀).

Тогда описательно геометрически непрерывность функции в точке         x = х₀ означает, что бесконечно малому приращению аргумента  (от начального значения   x = х₀)  соответствует бесконечно малое приращение функции.

Опираясь на свойства пределов, можно получить

 

Основные свойства непрерывных в точке функций:

1)     Если функции    f₁(x)   и    f₂(x)  непрерывны в точке   x = х₀ ,  то сумма

(f₁(x) + f₂(x)) также есть непрерывная функция в точке  x = х₀.

(Это свойство справедливо для любого конечного числа слагаемых.)

2) Если функции     f₁(x)    и    f₂(x)   непрерывны  в  точке        x = х₀ ,    то

произведение   (f₁(x)∙f₂(x))   также есть непрерывная функция в точке   x = х₀.

(Это свойство справедливо для любого конечного числа множителей.)

3) Если функции     f₁(x)    и    f₂(x)   непрерывны  в  точке        x = х₀ ,    то

частное     также есть непрерывная функция в точке   x = х₀ ,                  за исключением тех значений независимой переменной, при которых знаменатель обращается в нуль.

4) Если функция  u = φ(x) непрерывна в точке x = х₀ и f (u) непрерывна в точке   u₀ = φ(х₀), то сложная функция   f [φ(x)]   непрерывна в точке  x = х₀ .

5) Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

 

непрерывные на отрезке функции  

 

Пусть   a £ x £ b.

Определение. Функция непрерывна на отрезке [a, b], если функция непрерывна при любом значении х из этого промежутка.

При этом , .

Основные свойства непрерывных на отрезке функций:

1)  Если   f (x) непрерывна на отрезке  [a, b], то существует в этом промежутке, по крайней мере, одно такое значение  х, при котором   f (x) принимает свое наибольшее значение и,  по крайней мере, одно такое значение  х, при котором   f (x) принимает свое наименьшее значение.

2)  Если  f (x) непрерывна на отрезке  [a, b], причем  f (а) = т,  f (b) = п, то для любого  k,  заключенного между числами  m и  n, найдется такая точка  x = с, что  f (с) = k.

В частности, если   f (a) и  f (b) разных знаков, то найдется такая точка              x = с, что    f (с) = 0.

 

Односторонняя непрерывность.

Точки разрыва и их классификация

 

Определение. Если в какой-то точке x = х₀ для функции  у = f (x) не выполняется, по крайней мере, одно из условий непрерывности, то при x = х₀ функция  у = f (x) разрывна. Точка x = х₀ в этом случае называется точкой разрыва функции.

Если   пределы       f (х₀ – 0)     и       f (х₀ + 0)     существуют,  то  разность

 f (х₀ + 0) – f (х₀ – 0)     называется разрывом, или скачком, функции    f (x)   при

x = х₀ (в точке х₀).

При этом  функция f (x) имеет в точке х₀  разрыв первого рода, если пределы справа и слева конечны, но не равны друг другу, т.е.

f (х₀ + 0) ¹  f (х₀ – 0).

Если f (х₀ + 0) = f (х₀ – 0) ¹ f (х₀), то х₀ – устранимая точка разрыва первого рода.

Функция f (x) имеет в точке х₀  разрыв второго рода, если хотя бы один из пределов  f (х₀ – 0)  (или  f (х₀ + 0)) бесконечен или не существует.

 

Пример.

Исследовать функции на непрерывность. Определить характер точек разрыва:  1) ;             2).

Решение.

1) , .

Так как  , то х₀ = 2 точка разрыва первого рода,

                         –= 1 – скачок функции в этой точке.   

2) ,       

     .

Так как один из односторонних пределов , то х₀ = 5 точка разрыва второго рода.

 

 

1.7 Производная и дифференциал

 

Производная функции одной переменной

 

а) механический смысл производной

Пусть  s = f (t) – путь, пройденный  за время t, D t – приращение времени, D s – приращение расстояния. Тогда  – средняя скорость движения за промежуток времени  от D t до (t +D t),   – скорость в данный момент t   или  v(t) – производная от пути по времени.

б) общее определение производной

Пусть  функция  y = f (x) определена   при  х  и  (х + h) для любого достаточно малого  h: ½h½<< 1.

Тогда при условии, что  D x = h,  D y = f (x + h) – f (x), получим

 .

Т.к  х фиксировано, то    – функция, зависящая от h, определенная в промежутке    – e £  h £ e , кроме h = 0.

Определение. Если существует предел   то этот предел называется производной функции  f (x) при заданном  х, а сама функция  f (x) при этом называется дифференцируемой в точке х.

Обозначение:          .

Операция нахождения производной называется дифференцированием функции.

 

З а м е ч а н и е.

Если при некотором значении х производная  f¢ (x) существует, то при этом значении х функция  f (x) непрерывна. Обратное утверждение неверно.

 

в) геометрический смысл  производной

Производная f¢ (x) равна тангенсу угла a, образованного касательной к кривой в точке М(х, у) с положительным направлением оси  Ох, т.е. равна угловому коэффициенту этой касательной.

 

Уравнение касательной к графику функции одной переменной  

 

y – y₀ = f¢ (x₀)(x – x₀),

 

где   y₀ = f (x₀),  f¢ (x₀) – угловой коэффициент касательной к графику функции y = f (x)  в точке (x₀ , y₀).

 

Уравнение нормали к графику функции одной переменной   

 

,

где    – угловой коэффициент нормали  к графику функции y = f (x) в точке (x₀ , y₀); 

 – вектор нормали.

 

Основные правила дифференцирования

 

Пусть u = u(x), v = v(x), u₁ = u₁(х) , u₂ = u₂(х) , ... , u_n = u_п(х)  – дифференцируемые функции.

Тогда имеют место равенства:

1) Производная постоянной:

          (С)¢ = 0,   С – const.

2) Производная  суммы и разности:

    (u₁ ± u₂ ± ... ± u_n)¢ = u₁¢ ± u₂¢ ± ... ± u_n¢.

 

3) Производная произведения:

                (uv)¢ = u¢v + uv¢.

 

3´) (Сu)¢ = Сu¢    (следствие п.3).

4) Производная частного:

                            

         .     

4´) (следствие п.4).

 

5) Производная сложной функции:

Пусть y = f (u), u = j (x).

Тогда [ f (j (x)) ]¢ = f¢_u(и)×j¢ (x)  или  y¢_x = y¢_u× u¢_x .

6) Производная обратной функции:

Если для дифференцируемой функции  y = f (x) существует обратная функция  x = j (y), то .

Таблица производных

 

Т а б л и ц а 1.7.1

1		7		13
2		8		14
3		9		15
4		10		16
5		11		17
6		12

 

Теоремы о дифференцируемых функциях

 

1. Теорема (Правило Лопиталя).

Пусть функции f (х), g(х)  непрерывны и дифференцируемы в окрестности  точки х = а и обращаются в нуль в этой точке, т.е. f (а) = g(а) = 0. Тогда, если существует , то существует и  , причем   

=.

З а м е ч а н и е.

Правило Лопиталя применимо и для раскрытия  неопределенности вида .

Некоторые виды неопределенностей также можно свести к использованию правила Лопиталя:

1) Рассмотрим  , где ,  . 

Неопределенность вида 0·∞ можно свести к неопределенности вида или, представив произведение f (х)·g(х) в одном из следующих видов:

 или .

2) Рассмотрим   , где  , .

Неопределенность  вида   1^¥ (после проведения преобразований ) сводится к неопределенности  вида  0×¥ .

Аналогично, неопределенности вида ¥⁰ , 0⁰ сводятся  к неопределенности  вида 0×¥.

 

2. Теорема Ферма.

Если функция f (x) непрерывна в промежутке (a, b), в каждой точке внутри этого промежутка имеет производную и в некоторой точке x = c внутри промежутка достигает наибольшего (наименьшего) значения, то          f¢ (c) = 0.

 

3. Теорема Лагранжа (Формула конечных приращений).

Если функция f (x) непрерывна на [a, b] и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то внутри [a, b] найдется, по крайней мере, одна такая точка c, a < c < b, что выполняется равенство   

 

f (b) – f (a) = f¢ (c)(b – a).

 

Если формулу Лагранжа записать в виде:  , где левая часть – тангенс угла наклона секущей, а правая часть – тангенс угла наклона касательной, то получаем геометрический смысл теоремы Лагранжа: найдется такая точка с, в которой касательная будет параллельна секущей.

 

                 Рисунок  1.7.1  

 

Логарифмическое дифференцирование

 

Пусть u = u(x) и v = v(x) – дифференцируемые функции.

Составим из них степенно-показательную функцию  y = u^v.

Найдем производную у¢ (х) методом логарифмического дифференциро-вания:

1) прологарифмируем равенство  y = u^v:  

ln y = ln u^v = v× ln u;

2) продифференцируем:

;

3) выразим y¢ :     

y¢ =  u^v ( v¢× ln u + v× u¢ / u ) =  v¢× u^v ln u + v u^v-1× u¢.

Производная функции, заданной неявно

 

Пусть функция   y = j (x) задана неявно, т.е. уравнением:   F(x, y) = 0,  

 

тогда      F¢_x (x, y) + F¢_y (x, y) y¢ = 0        .     

 

Пример. 

Найти производную неявной функции   x²y + y²x = 27.

Решение.

F(x, y) =  x²y + y²x – 27 = 0    2xy + y² + ( x² + 2xy)y¢ = 0   .         

 

Производная функции, заданной параметрически

Пусть функция  y от x задана параметрическими уравнениями:          

тогда производная параметрически заданной функции находится по формуле

.

Данная формула дает возможность находить производную  от функции, заданной параметрически, не находя выражения непосредственной зависимости  y от x.

 

Пример.

Найти производную параметрически заданной функции:                

Решение. 

х¢ (t) = 2t,    .

 

Дифференциал и его применение в приближенных вычислениях

 

Пусть функция  y = f (x) дифференцируема на отрезке [а, b].

Производная этой функции в некоторой точке х отрезка [а, b] определяется равенством

.

Следовательно,   где   a ® 0   при   Dх ® 0. Умножая все члены последнего равенства на Dх, получим:         

где aDх – б.м. высшего порядка относительно Dх, т.к.

Таким образом, приращение Dу функции состоит из двух слагаемых, из которых первое слагаемое есть так называемая главная часть приращения, линейная относительно Dх.

Определение. Произведение  f¢ (x)Dх называют дифференциалом функции y = f (x) и обозначают через   dy  или  df (x):        dy = f¢ (x)Dх.

 

Найдем дифференциал для функции у = х:  dy = dх = Dх.

Таким образом,  dy = f¢ (x) dх,  откуда следует, что  .

Следовательно, производная f¢ (x) есть отношение дифференциала функции к дифференциалу независимого переменного.

Геометрический     смысл    дифференциала:    дифференциал    функции

y = f (x) в данной точке х равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда х получает приращение Dх.

Поскольку                     

где aDх – б.м. высшего порядка относительно Dх, то

Dу » dy,

или в развернутом виде           

f (x+Dx) – f (x) » f¢ (x)Dx,

откуда получаем формулу для приближенного вычисления:

     

f (x+Dx) » f (x) + f¢ (x)Dx.

 

Пример.

Вычислить приближенно  (19.9)².

Решение.     

 у = х²,   у¢ = 2х,  х = 20,  Dх = – 0.01, x+Dx =19.99.

Используя формулу f (x+Dx) » f (x) + f¢ (x)Dx, получаем:

(19.99)² » 400+2×20×(–0.01)=399.6.

 

Свойства дифференциалов:

1)      d(u+v) = du + dv;        

2)  d(uv) = udv +vdu;         

3)  .

 

Производные и дифференциалы высших порядков

 

Пусть функция  y = f (x) дифференцируема на некотором отрезке [а, b].

Значения производной  f¢ (x), вообще говоря, зависят от х, т.е. f¢ (x) представляет собой тоже функцию от х. Дифференцируя эту функцию, получаем вторую производную от функции f (x).

Определение. Производная от производной называется производной второго порядка или второй производной от первоначальной функции и обозначается через  у¢¢ или  f ¢¢ (x):                    у¢¢ = (у¢ )¢ = f ¢¢ (x).

Определение. Производная от второй производной называется производной третьего порядка или третьей производной от первоначальной функции и обозначается через у¢¢¢ или  f¢¢¢ (x):        у¢¢¢  = (у¢¢ )¢ = f¢¢¢ (x).

Определение. Производной п-го порядка от функции f (x) называется производная   (первого порядка)   от   производной   (п – 1) –го   порядка   и обозначается через y⁽ⁿ⁾ или  f ⁽ⁿ⁾ (x):                                

y⁽ⁿ⁾ =  (y^(n-1))¢ = f ⁽ⁿ⁾ (x).

Производные четвертого, пятого и высших порядков обозначаются также с помощью римских цифр:  у^IV, у^V, у^VI, …

Определение. Дифференциал от дифференциала функции называется дифференциалом второго порядка или вторым дифференциалом этой функции и обозначается через  d²y:       d(dy) = d²y.

В силу общего определения дифференциала:   d²y =  f¢¢ (x) (dx)², или в сокращенном виде   d²y =  f¢¢ (x) dx².

Определение. Дифференциалом третьего порядка или третьим дифференциалом функции называется дифференциал от  её второго дифференциала:  

d³y = d(d²y) = f¢¢¢ (x) dx³.

Определение. Дифференциалом п-го порядка называется первый дифференциал от  дифференциала (п – 1)-го порядка:  

dⁿy = d(d^n-1y) = f ⁽ⁿ⁾(x)dxⁿ.

Пользуясь дифференциалами различных порядков, можно выразить производную любого порядка:   .

 

1.8 Исследование функций с помощью производных

 

Условия монотонности функции

 

Теорема 1 (для возрастающей функции).

Если  f (x), имеющая производную на отрезке  [a, b],  возрастает на этом отрезке, то  f¢ (x) ³ 0   на  [a, b].

Если  f (x) непрерывна на   отрезке [a, b]  и дифференцируема в промежутке (a, b), причем  f¢ (x) > 0 на  (a, b), то эта функция возрастает на  отрезке [a, b] .

Теорема 2 (для убывающей функции).

Если f (x), имеющая производную на отрезке  [a, b],  убывает на этом отрезке, то  f¢ (x) £ 0 на  [a, b].

Если f (x)  непрерывна на  отрезке [a, b] и дифференцируема в промежутке (a, b), причем f¢ (x)< 0 на (a, b), то эта функция убывает на отрезке [a, b].

 

Геометрический смысл теорем:

 

– на участке возрастания функции касательная образует с осью абсцисс острый угол, тангенс (производная) которого положителен;

– на участке убывания функции касательная образует с осью абсцисс тупой угол, тангенс (производная) которого отрицателен.

 

Рисунок 1.8.1

 

Экстремумы функции одной переменной

 

Определение. Функция       f (x)     имеет   максимум     при    х = х₁,  если  

f (x₁ + Dх) < f (x₁) при любых Dх (положительных и отрицательных), достаточно малых по абсолютной величине (т.е. ½Dх½<< 1).

Определение. Функция      f (x)     имеет    минимум   при    х = х₂,  если   f (x₂ + Dх) > f (x₂)  при любых Dх (положительных и отрицательных), достаточно малых по абсолютной величине.

З а м е ч а н и е.

Функция, определенная на отрезке, может достигать максимума и минимума при значениях  х, заключенных внутри рассматриваемого отрезка.

          Не следует думать, что максимум и минимум функции являются, соответственно, наибольшим и наименьшим значениями на рассматриваемом отрезке.

             Рисунок 1.8.2

 

Определение. Максимумы и минимумы функции называют экстремумами (экстремальными значениями) функции.

Теорема 3  (необходимое условие существования экстремума).

          Если дифференцируемая функция  y = f (x) имеет в точке  х = х₁  максимум или минимум, то       f¢ (x₁) = 0.

З а м е ч а н и е.

1. Условие теоремы не является достаточным.  (Пример:  y = x³).

2. Экстремум может существовать в точках, где производная не существует (терпит разрыв). (Пример:  у = ½х½,  х = 0).

 

Определение. Значения аргумента, при которых производная обращается в нуль или терпит разрыв, называются критическими точками (критическими значениями).

 

Теорема 4 (первое достаточное условие существования экстремума).

Пусть f (x) непрерывна в некотором интервале, содержащем критическую точку  х₁, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, быть может, самой точки х₁). Тогда

а) если   f¢ (x) > 0  при  х < х₁   и   f¢ (x) < 0   при  х > х₁,

    то в точке   х₁ функция      имеет  максимум.

б) если   f¢ (x) < 0  при  х < х₁   и   f¢ (x) > 0  при  х > х₁,

    то в точке   х₁ функция     имеет  минимум.

 

Теорема 5 (второе достаточное условие существования экстремума).

Пусть  f¢ (x₁) = 0;  f¢¢ (x)  существует и непрерывна в некоторой окрестности точки  х₁. Тогда при   х = х₁  функция имеет максимум, если        f¢¢ (x₁) < 0 , и минимум,   если   f¢¢ (x₁) > 0.

 

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

 

Пусть y = f (x) непрерывна на отрезке  [a, b] .

Тогда на этом отрезке функция достигает своего наибольшего (наименьшего) значения либо на одном из концов этого отрезка, либо в такой внутренней точке этого отрезка, которая является максимумом (минимумом).

Из предыдущего вытекает следующее правило нахождения    наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке [a, b]: 

1) найти все максимумы   (минимумы)      на  отрезке;

          2) вычислить  f (a) и  f (b);

          3) из всех полученных выше значений выбрать наибольшее (наименьшее); оно и будет представлять собой наибольшее (наименьшее) значение функции на отрезке.

 

Выпуклость, вогнутость и асимптоты функции

 

Пусть y = f (x) – однозначная дифференцируемая функция.

Определение. Кривая   y = f (x)  обращена выпуклостью вверх  (кривая выпуклая) на интервале (a, b), если все точки кривой лежат ниже любой касательной на этом интервале.

 

Определение. Кривая   y = f (x)  обращена выпуклостью вниз (кривая вогнутая) на интервале (b, с), если все точки кривой лежат выше любой касательной на этом интервале.

             Рисунок 1.8.3

Теорема 6.

Если   " х Î (a, b)    f ¢¢(x) < 0, то кривая    y = f (x)  выпукла на этом интервале.

Теорема 6¢.

Если   " х Î (a, b)    f ¢¢(x) > 0, то кривая    y = f (x)  вогнута на этом интервале.

Определение. Точка, отделяющая  выпуклую  часть  от  вогнутой,  называется точкой перегиба кривой.

З а м е ч а н и е.

В точке перегиба касательная, если она существует, пересекает кривую.

 

Теорема 7 (необходимое условие существования точки перегиба).

Если дифференцируемая функция  y = f (x) имеет точку перегиба с абсциссой   x = a, то  f¢¢ (a) = 0.

Теорема 8 (достаточное условие существования точки перегиба).

Пусть кривая определяется уравнением   y = f (x).

Если   f¢¢ (a) = 0   или   f¢¢ (a)  не существует и при переходе через значение   x = a     f¢¢ (x) меняет знак, то точка кривой с абсциссой   x = a   есть точка перегиба.

 

Пример.

Исследовать функцию  y = x ³  на выпуклость и вогнутость.

Решение.

Т.к.  y¢¢ = 6х,  то  y¢¢ < 0  при   х < 0;   y¢¢ > 0 при   х > 0.

Следовательно,  при  х < 0  кривая выпукла, при  х > 0  кривая вогнута.

При х = 0 имеется точка перегиба; это точка (0; 0).

 

Асимптоты

 

Определение. Прямая  А  называется асимптотой кривой, если расстояние d от переменной точки  М кривой до этой прямой при удалении точки  М  на бесконечность стремится к нулю.

Различают три вида асимптот: вертикальные, наклонные и горизонтальные.

 

Рисунок 1.8.4

 

1) Вертикальные асимптоты.

Если ,  или  ,   или   , то

прямая  х = а   есть асимптота кривой   y = f (x); верно и обратное утверждение.

 

2) Наклонные асимптоты.

Если существуют пределы         и     , то

прямая   y = kx + b  есть асимптота. Если хотя бы один из пределов не существует, то кривая   y = f (x)  асимптоты не имеет.             

З а м е ч а н и е.

Рассуждения справедливы и для     x ® – ¥.

 

3) Горизонтальные асимптоты.

Данный вид является частным случаем наклонных асимптот, а именно: если   , то прямая   y = b  есть горизонтальная асимптота.

 

Пример.

Найти асимптоты кривой      .

Решение.

1) вертикальные асимптоты:

    т.к.  у ® + ¥  при  х ® – 0 и  у ® – ¥   при  х ® + 0, то  х = 0 – вертикальная    

    асимптота.

 

2) наклонные асимптоты:

    , т.е. k = 2.

    ,  т.е.  b = 4.

Следовательно,   у = 2х + 4   есть  наклонная асимптота данной кривой.

 

Проведем исследование расположения кривой и асимптоты.

Рассмотрим  разность ординат кривой и асимптоты:         

                                           .

Следовательно,  при   х < 0  кривая лежит выше асимптоты, при   х > 0  кривая ниже асимптоты.        

 

Общий план исследования функций и построения графиков

 

Для проведения полного исследования функции необходимо найти:

1) область определения функции и точки разрыва;

2) точки пересечения графика с осями координат;

3) четность, нечетность, периодичность функции;

4) интервалы монотонности, точки экстремума;

5) интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба;

6) асимптоты графика функции;

7) построить график.

 

Пример.

Исследовать функцию  и построить её график.

Решение.

1)  – область определения, в неё не  входят точки, при которых знаменатель равен 0, т.е. –1 и 1, эти точки являются точками разрыва функции;

2) точки пересечения графика функции с осями координат:

с   Ох: ;

с Оу: . Таким образом, график пересекает оси координат в начале координат, точке (0; 0);

3) т.к. , то функция нечётная, её график симметричен относительно начала координат;

4) исследуем функцию на монотонность и найдём точки экстремума.

. , – критические точки;  не существует при , эти точки не являются критическими, т.к. не принадлежат области определения функции. Результаты исследования сведём в таблицу.

 

Т а б л и ц а 1.8.1

 

5) найдём интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

. ,  не существует при , эти точки не могут быть абсциссами точек перегиба, т.к. не принадлежат области определения функции. Результаты исследования сведём в таблицу.

 

Т а б л и ц а 1.8.2

х			0
	–	+	0	–	+
у			0
	выпукла	вогнута	перегиб	выпукла	вогнута

 

(0; 0) – точка перегиба;

 

6) вычислим односторонние пределы в точках разрыва

             ,  .

Итак, точки –1 и 1 являются точками разрыва второго рода, поэтому прямые  и  будут вертикальными асимптотами.

Найдём наклонную асимптоту        ,

где      ,    

           .

Таким образом,        – наклонная асимптота;

7) построим график функции:

 

 

 

 

                                               Рисунок 1.8.5  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 Функции нескольких переменных. Интегральное исчисление функции одной и нескольких переменных

 

2.1 Функции нескольких переменных (ФНП)

 

Определение. Если каждой паре (x, y) значений двух, независимых друг от друга, переменных величин  x и  y, из некоторой области их изменения  D, соответствует определенное значение величины  z, то  z есть функция двух независимых переменных  х и у, определенная в области  D.

Обозначение:  z = f (x, y)

Определение. Совокупность пар (х, у),  при которых определяется функция  z =  f (x, y), называют  областью  определения  этой  функции  (обозначают  D( f )), а совокупность всевозможных значений функции  z  в силу правила   f (x, y), называют областью изменения  функции (обозначают  E( f )).

Если каждую пару значений  x и  y изображать точкой  М(x, y) в плоскости  Оху, то D( f ) – совокупность   точек на плоскости.

В частности, областью определения может быть:

1)  вся плоскость или 2) часть плоскости, ограниченная линией.

 

Примеры.

1.  z = f (x, y) = 2x – y .      D( f )= R²   (вся плоскость Оху),  Е( f )= R.

2. ,  E( f ) = [0; 1].

3. Площадь треугольника

              ,  , E( S ) = (0; +∞).

Определение. Если каждой рассматриваемой совокупности значений независимых пе-ременных x, y, z, ..., u, t, из некоторой области их изменения  D, соответствует определенное значение величины  w, то  w  есть функция независимых переменных  x, y, z, ..., u, t, определенная в области  D.

Обозначение:  w = f (x, y, z, ..., u, t).

Так же, как и для функции двух переменных, можно говорить об области определения функции трех, четырех и более переменных.

 

Пример.

,   E(w) = [0; 1].

 

Предел функции нескольких переменных

 

Определение. e - окрестностью точки    М₀ (х₀, у₀) называется совокупность всех точек   М(х, у),  удовлетворяющих неравенству  ½ММ₀½< e ,

(где), т.е. совокупность всех точек, лежащих внутри круга радиуса e  с центром в точке М₀ (х₀, у₀).

Определение. Число А  называется пределом  функции f (x, у) при стремлении точки  М(х, у) к точке М₀ (х₀, у₀), если

" e > 0   $ r > 0:   ½f (x, y) – A½< e    при   ½ММ₀½< r.

Обозначение:  .

Пусть точка М₀ (х₀, у₀) принадлежит области определения функции          f (x, у).

Определение. Функция   z = f (x, у)  называется непрерывной  в точке  М₀ (х₀, у₀), если имеет место равенство       

                                                ,                                          (1)

причем   М(х, у) ® М₀ (х₀, у₀)  произвольным образом, оставаясь в области определения функции.

Если обозначим       х = х₀ + Dх,              у = у₀ + Dу,

то равенство (1)    Û      Û

                     Û  .

Обозначим ,   Dz = f (х+Dх, у+Dу) – f (x, y ).

Очевидно, что равносильны следующие условия:            

Δх ® 0  и  Δу ® 0      Û     ,

поэтому равенство  (1)    Û   .

Определение. Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в области.

Если в некоторой точке   N (х₀, у₀)   не выполняется условие  (1), то точка

N (х₀, у₀)  называется точкой разрыва функции  z =  f (x, у).

 

Частные производные ФНП первого порядка

 

Введем определение и обозначение частного и полного приращения функции z = f (x, у):

D_х z = f (х+Dх, у) – f (x, y)  – частное приращение z по х;

D_у z = f (х, у+Dу) – f (x, y)  – частное приращение z по у;

Dz = f (х+Dх, у+Dу) – f (x, y)  – полное приращение функции.

Аналогичным образом определяются частные и полное приращения функции любого числа переменных.

Определение. Частной производной по  х от функции  z = f (x, у)  называется предел отношения частного приращения  D_х z по х к приращению Dх при стремлении Dх к нулю.

Обозначения:  z¢_x , f¢_x(x, у), , .

Таким образом, по определению,

.

Определение. Частной производной по  у от функции  z = f (x, у) называется предел отношения частного приращения  D_у z по у к приращению Dу при стремлении Dу к нулю.

Обозначения:  z¢_у , f¢_у(x, у), , .

Таким образом, по определению,

.

Заметив, что D_х z вычисляется при неизменном у, а D_у z при неизменном х, определения частных производных можно сформулировать так: частной производной по  х от функции  z = f (x, у) называется производная по  х, вычисленная в предположении, что  у – постоянная. Частной производной по  у от функции  z = f (x, у) называется производная по  у, вычисленная в предположении, что  х – постоянная.

 

Пример.

z = x² sin y,           = 2x sin y ,         = x² cos y.

 

Частные производные  для любого числа переменных определяются аналогично.

 

Пример.

 u = x² + y² + xtz³,  

= 2x + tz³,            = 2y,             = 3xtz²,             = xz³.

 

Частные производные различных порядков.

Смешанные производные

 

Пусть задана функция двух переменных:  z = f (x, у). Тогда частные производные  ,  являются функциями переменных  x и  у. Поэтому от них снова можно находить частные производные. Следовательно, частных производных второго порядка от функции двух переменных четыре, т.к. каждую из функций   и  можно дифференцировать как по  х, так и по у.

Вторые частные производные обозначают так:  

  ( f дифференцируется последовательно два раза по х);

  ( f сначала дифференцируется по х, а потом результат дифференцируется по  у);

  ( f сначала дифференцируется по у, а потом результат дифференцируется по  х);

  ( f дифференцируется последовательно два раза по у).

Производные второго порядка можно снова дифференцировать как по х, так и по у. Получим частные производные третьего порядка.

Вообще, частная производная   n-го порядка есть первая производная от производной   (n–1)-го порядка.

Для функции любого числа переменных частные производные высших порядков определяются аналогично.

 

Пример.

Вычислить частные производные второго порядка от функции   .

Решение.

 ,                            ,   

,                            ,        

,     .

 

Теорема.

Если функция   z = f (x,y)  и ее частные производные , ,  и  определены и непрерывны в точке  М(x, у) и в некоторой ее окрестности, то в этой точке         .

Дифференцируемость и полный дифференциал ФНП

 

По определению полного приращения функции z = f (x, у):

 

                                 Dz = f (х+Dх, у+Dу) – f (x, y).                                       (2)

 

Предположим, что   f (x, y) в рассматриваемой точке (x, у) имеет непрерывные частные производные.

Выразим Dz  через частные производные. Для этого в правой части равенства (2) прибавим и вычтем f (х, у+Dу):

 

           Dz =[ f (х+Dх, у+Dу) – f (х, у+Dу)] + [f (х, у+Dу) – f (x, у)] .            (3)                      

 

Тогда в силу непрерывности частных производных соотношение (3) принимает вид

Dz = Dх +Dу + g₁ Dх + g₂ Dу ,

где (g₁ Dх + g₂ Dу) – б.м. высшего порядка относительно  .

Определение. Функция  z = f (x, у), полное приращение Dz которой в данной точке (x, y) может быть представлено в виде суммы двух слагаемых: выражения, линейного относительно  Dx  и  Dy, и величины б.м. высшего порядка относительно   Dr , называется дифференцируемой в данной точке, а линейная часть приращения называется полным дифференциалом  и  обозначается  dz  или   df .

По определению имеем

dz = f¢_х(x, y)Dх + f¢_у(x, y)Dу.

Т.о.,   

Dz = dz + g₁ Dх + g₂ Dу,

и с точностью до б.м. высшего порядка относительно   Dr  справедливо

приближенное равенство:                Dz » dz .

Определение. Приращения независимых переменных   Dx  и  Dy  называются  дифференциалами  независимых переменных  x и y и  обозначаются   dx  и  dy.

Тогда  выражение полного дифференциала принимает вид

                            dz = dх + dу.

Предыдущие рассуждения и определения соответственным образом обобщаются на функции любого числа переменных.

Если      w = f (x, y, z, u, ..., t) – функция любого числа переменных, причем  все  частные  производные     , , , , ...,      непрерывны

в точке  (x, y, z, u, ..., t), то выражение

dw = dx + dy + dz + du + ... + dt

является главной линейной частью полного приращения функции и называется полным дифференциалом.

 

Применение полного дифференциала для приближенных вычислений

 

Т.к.   Dz = f (х+Dх, у+Dу) – f (x, y),   

то                            

f (х+Dх, у+Dу) = f (x, у) + Dz,

но                                

Dz » dz =  dх + dу,

откуда получаем приближенную формулу:

f (х+Dх, у+Dу)  »  f (x, у) + dх + dу,

верную с точностью до б.м. высшего порядка относительно  Dх  и  Dу .

 

Производная сложной функции

 

Пусть в уравнении  z = F(u, v)    u и v являются функциями независимых переменных  x  и  y:        u = j (x, у),    v = y (x, у).

В этом случае   z  есть сложная функция от аргументов x  и  y, т.е.

z = F [j (x, у), y (x, у)] .

Предположим, что функции F(u, v), j (x, у), y (x, у) имеют непрерывные частные производные по всем своим аргументам.    

Тогда    частные производные функции  z  по переменным  x  и  y вычисляются следующим образом:

 

= + ,          = + .

      

Для случая большего числа переменных данные формулы естественным образом обобщаются.

Например, если  w = F(z, u, v, s), где   z, u, v, s  зависят от  х и  у, то

 

= ++ +;

= ++ +.

Если   задана функция  z = F(x, y, u, v) , где   y, u, v   зависят от х:

у = f (x),    u = j (x),    v = y (x),

то, по сути дела, z является функцией только одного аргумента х и можно ставить вопрос о нахождении производной   .

Эта производная вычисляется следующим образом:

=  ++ + ,

но т.к.  y, u, v – функции только одного х, то частные производные обращаются в обыкновенные; кроме того, = 1; поэтому

=  ++ + .

 

Эта формула носит название формулы для вычисления  полной производной .

 

Пример.

z = x² + y²,     y = sin x,  

= 2x,        = 2y,           = cos x,

= 2x +  2y cos x = 2x +  2 sin x cos x = 2x +  sin 2x.

 

Производная от функции, заданной неявно

 

Рассмотрим неявную функцию одного переменного, т.е. пусть некоторая функция  у от  х  определяется уравнением          F(x, у)= 0 .

Теорема.

Пусть непрерывная функция   у от  х  задается неявно:      

                                                F(x, у) = 0,                                                       (4)

где   F(x, у), F¢_х (x, у), F¢_у (x, у) – непрерывные функции в некоторой области  D,   содержащей точку  (x, у),  координаты которой удовлетворяют уравнению  (4); кроме того, в этой точке F¢_у (x, у) ¹ 0.

Тогда функция  у от  х  имеет производную

.

 

Рассмотрим  теперь уравнение вида              F(x, y, z) = 0 .                        (5)

Найдем    z¢_х   и   z¢_у    неявной функции   z  от  х  и  у, определяемое уравнением  (5).

Когда ищем   , считаем   у  постоянным, поэтому

 ( по теореме для функции   z   с независимой переменной  х).

Аналогично,

.

 

Предполагается, что  F¢_z ¹ 0 .

Аналогичным образом  определяются неявные функции любого числа переменных и находятся их частные производные.

 

Пример.

х² + у² + z² – R² = 0,      F(x, y, z)= х² + у² + z² – R²,

F¢_х (x, y, z) = 2х ,           F¢_у (x, y, z) = 2у ,                F¢_z (x, y, z) = 2z ,

,             .

 

Экстремум функции двух переменных

 

Определение. Функция   z = f (x, у) имеет максимум в точке  М₀ (х₀, у₀), если  f (х₀, у₀) > f (x, у) для всех точек (x, у), достаточно близких к точке  (х₀, у₀)  и отличных от нее.

Определение. Функция   z = f (x, у) имеет минимум в точке   М₀ (х₀, у₀), если  f (х₀, у₀) < f (x, у) для всех точек (x, у), достаточно близких к точке  (х₀, у₀)  и отличных от нее.

Определение. Максимум и минимум функции называются экстремумами функции.

 

Пример.

Функция    z = (x – 1)² + (y – 2)² – 1   достигает минимума  в точке   (1, 2).  

 f_min (1, 2) = –1   (т.к. (x – 1)² + (y – 2)² – 1 > – 1  при  х ≠ 1, у ≠ 2).

 

Данное выше определение максимума и минимума функции можно перефразировать следующим образом.

Положим      x = x₀ + D x ,     y = y₀ + D y ,

тогда                   f (x, у) – f (х₀, у₀) = f (x₀+D x, y₀+D y) – f (х₀, у₀) = D f.

1) Если D f < 0  при всех достаточно малых приращений независимых переменных, то функция  f (x, у) достигает максимума в точке   М₀ (х₀, у₀).

2) Если D f > 0  при всех достаточно малых приращений независимых переменных, то функция  f (x, у) достигает минимума в точке   М₀ (х₀, у₀).

Эти формулировки переносятся на функции любого числа переменных.

 

Теорема 1 (необходимые условия экстремума ФДП).

Если функция   z = f (x, у) достигает экстремума при  x = x₀ ,  y =  y₀ , то каждая частная производная первого порядка от   z  или обращается в нуль при этих значениях аргументов, или не существует.

Теорема не является достаточной.

 

Пример.

 z = x² – y²,   z¢_x = 2x,    z¢_y = –2y,      z¢_x = z¢_y = 0    при  х = 0 ,  у = 0 .

Но в точке  (0, 0) функция  z  не имеет ни максимума, ни минимума.

 

Определение. Точки, в которых   z¢_x = 0  (или не существует)  и   z¢_y = 0  (или не существует), называются критическими точками  функции   z = f (x, у).

 

Теорема 2 (достаточное условие экстремума  ФДП).

Пусть в некоторой области, содержащей точку   М₀ (х₀, у₀), функция        f (x, у) имеет непрерывные частные производные до  3-го порядка включительно; пусть точка   М₀ (х₀, у₀) является критической точкой  функции  f (x, у),  т.е.      f¢_x (х₀, у₀) = 0,   f¢_у (х₀, у₀) = 0.

Тогда при   x = x₀,  у = y₀:

1)   f (x, у) имеет максимум, если

   и   ;

 

2)   f (x, у) имеет минимум, если

   и   ;

 

3)   f (x, у) не имеет ни максимума, ни  минимума, если

;

 

4) если    ,

то экстремум может быть и может не быть (в этом случае требуется  дальнейшее  исследование).

 

На практике для проверки критической точки на экстремум удобно применять следующие обозначения:

 ;            ; ;              .

Если , то М₀ (х₀, у₀) – точка минимума; если , то М₀ (х₀, у₀)  – точка максимума; если  , то в точке М₀ (х₀, у₀) нет экстремума; если , то нужны дополнительные исследования.

 

Пример.

Исследовать на максимум и минимум функцию 

                                         z = x² – xy + y² + 3x – 2y +1.

Решение.

1)     находим критические точки:     

                z¢_x = 2х – у + 3 ,        z¢_y = – х +2у – 2 .

Решая систему уравнений  ,  получаем:            

2) находим производные второго порядка в критической точке     и определяем характер критической точки:

  ,       ,        ,

           .

Следовательно, в точке  данная функция имеет минимум, а именно,    

 

2.2 Первообразная и неопределенный интеграл

 

Определение. Функция F(x) – называется первообразной от функции      f (x) на [a, b], если     F ¢(x) = f (x)    " xÎ[a, b] .

 

Пример.

 f (x) = х²        – частные случаи общего вида первообразной:       (C – const).

Теорема.  

Если F₁(x), F₂(x) – первообразные  от  f (x) на [a, b], то

F₁(x) – F₂(x) = С,   (C – const ).

 

Определение. Если F(x) – первообразная для f (x), то выражение F(x) + С  называется  неопределенным интегралом  от   функции f (x) и обозначается    .

Таким образом, по определению,

     если  F ¢(x) = f (x).

При этом  f (x)   – подынтегральная функция,  f (x)dx – подынтегральное выражение,  –  знак интеграла.

 

Таким образом, неопределенный интеграл  – семейство функций  y = F(x) + C.

 

Для всякой ли функции  f (x) существуют первообразные?

З а м е ч а н и е.

Если функция  f (x) непрерывна на [a, b], то для этой функции существует первообразная (а значит, и неопределенный интеграл).

Определение. Нахождение первообразной для данной функции f (x) называется интегрированием  функции f (x).

 

Свойства неопределенного интеграла