АЛМАТИНСКИЙ ИНСТИТУТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ
КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Методические указания и задания к расчетно-графической работе
(для студентов всех форм обучения специальности 050704 –
Вычислительная техника и программное обеспечение)
Часть 1
Алматы 2009
СОСТАВИТЕЛИ: Л.Н. Астраханцева, М.Ж.Байсалова.
Математический анализ. Методические указания и задания к выполнению расчетно-графической работы для студентов всех форм обучения специальности 050704 – Вычислительная техника и программное обеспечение. Часть 1. -Алматы: АИЭС, 2009.- 34 с.
Методические указания и задания к расчетно-графической работе содержат типовой расчет №1 дисциплины «Математический анализ» для студентов всех форм обучения специальности 050704 – Вычислительная техника и программное обеспечение. Приведены основные теоретические вопросы программы. Дано решение типового варианта.
1 Типовой расчёт 1. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
1.1 Теоретические вопросы
1. Понятие функции. Способы задания, свойства, классификация функций.
2. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности. Предел функции.
3. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Теоремы о бесконечно малых.
4. Теоремы о пределах. Односторонние пределы. Первый и второй замечательные пределы.
5. Сравнение бесконечно малых. Теоремы об эквивалентных бесконечно малых.
6. Непрерывные функции. Точки разрыва, их классификация.
7. Определение производной, её физический и геометрический смысл. Связь дифференцируемости и непрерывности.
8. Основные правила дифференцирования.
9. Производные основных элементарных функций.
10. Логарифмическое дифференцирование. Производные высших порядков.
11. Производные функций, заданных неявно и параметрически.
Уравнения касательной и нормали к графику функции.
12. Дифференциал, его геометрический смысл и применение.
13. Дифференциалы высших порядков. Дифференциал сложной
функции. Инвариантность формы первого дифференциала.
14. Правило Лопиталя. Теоремы о возрастании и убывании функции.
15. Экстремумы функции одной переменной. Необходимое и
достаточные условия экстремума.
16. Выпуклость и вогнутость графика функции, точки перегиба.
17. Асимптоты графика функции. Полное исследование функции.
1.2 Расчётные задания
1. Найти пределы функции, если предельная точка а принимает два
значения а) и б).
Т а б л и ц а 1
|
а) а= |
б) а= |
|
а) а= |
б) а= |
1.1 |
2 |
1 |
1.2 |
-9 |
2 |
1.3 |
-2 |
3 |
1.4 |
-3 |
4 |
1.5 |
8 |
-1 |
1.6 |
9 |
-1 |
продолжение таблицы 1
1.7 |
7 |
0 |
1.8 |
-4 |
1 |
1.9 |
4 |
1 |
1.10 |
1 |
5 |
1.11 |
3 |
2 |
1.12 |
8 |
0 |
1.13 |
-5 |
1 |
1.14 |
-1 |
2 |
1.15 |
-7 |
3 |
1.16 |
-2 |
3 |
1.17 |
-6 |
1 |
1.18 |
8 |
1 |
1.19 |
-2 |
4 |
1.20 |
6 |
2 |
1.21 |
2 |
-3 |
1.22 |
4 |
3 |
1.23 |
-1 |
2 |
1.24 |
-3 |
1 |
1.25 |
-5 |
3 |
1.26 |
5 |
-1 |
1.27 |
-1 |
4 |
1.28 |
-3 |
2 |
1.29 |
4 |
-1 |
1.30 |
3 |
-1 |
2. Найти пределы
Т а б л и ц а 2
2.1 а) б) в) |
2.2 а) б) в) |
2.3 а) б) в) |
2.4 а) б) в) |
2.5 а) б) в) |
продолжение таблицы 2
2.6 а) б) в) |
2.7 а) б) в) |
2.8 а) б) в) |
2.9 а) б) в) |
2.10 а) б) в) |
2.11 а) б) в) |
2.12 а) б) в) |
2.13 а) б) в) |
2.14 а) б) в) |
2.15 а) б) в) |
2.16 а) б) в) |
2.17 а) б) в) |
2.18 а) б) в) |
2.19 а) б) в) |
2.20 а) б) в) |
2.21 а) б) в) |
2.22 а) б) в) |
2.23 а) б) в) |
продолжение таблицы 2
2.24 а) б) в) |
2.25 а) б) в) |
2.26 а) б) в) |
2.27 а) б) в) |
2.28 а) б) в) |
2.29 а) б) в) |
2.30 а) б) в) |
3. Найти пределы
Т а б л и ц а 3
3.1 |
3.2 |
3.3 |
3.4 |
3.5 |
3.6 |
3.7 |
3.8 |
3.9 |
3.10 |
3.11 |
3.12 |
3.13 |
3.14 |
3.15 |
3.16 |
3.17 |
3.18 |
3.19 |
3.20 |
3.21 |
продолжение таблицы 3
3.22 |
3.23 |
3.24 |
3.25 |
3.26 |
3.27 |
3.28 |
3.29 |
3.30 |
4. Найти пределы
Т а б л и ц а 4
|
а) |
б) |
|
а) |
б) |
4.1 |
|
|
4.2 |
|
|
4.3 |
|
|
4.4 |
|
|
4.5 |
|
|
4.6 |
|
|
4.7 |
|
|
4.8 |
|
|
4.9 |
|
|
4.10 |
|
|
4.11 |
|
|
4.12 |
|
|
4.13 |
|
|
4.14 |
|
|
4.15 |
|
|
4.16 |
|
|
4.17 |
|
|
4.18 |
|
|
4.19 |
|
|
4.20 |
|
|
4.21 |
|
|
4.22 |
|
|
продолжение таблицы 4
4.23 |
|
|
4.24 |
|
|
4.25 |
|
|
4.26 |
|
|
4.27 |
|
|
4.28 |
|
|
4.29 |
|
|
4.30 |
|
|
5. Найти пределы, используя эквивалентные бесконечно малые
Та б л и ц а 5
|
а) |
б) |
|
а) |
б) |
5.1 |
|
|
5.2 |
|
|
5.3 |
|
|
5.4 |
|
|
5.5 |
|
|
5.6 |
|
|
5.7 |
|
|
5.8 |
|
|
5.9 |
|
|
5.10 |
|
|
5.11 |
|
|
5.12 |
|
|
5.13 |
|
|
5.14 |
|
|
5.15 |
|
|
5.16 |
|
|
продолжение таблицы 5
5.17 |
|
|
5.18 |
|
|
5.19 |
|
|
5.20 |
|
|
5.21 |
|
|
5.22 |
|
|
5.23 |
|
|
5.24 |
|
|
5.25 |
|
|
5.26 |
|
|
5.27 |
|
|
5.28 |
|
|
5.29 |
|
|
5.30 |
|
|
6. Для данных функций f(x) и g(x) найти
а) точку разрыва;
б) левый и правый пределы в точке разрыва;
в) определить характер точки разрыва.
Т а б л и ц а 6
|
f(x) |
g(x) |
|
f(x) |
g(x) |
6.1 |
|
|
6.2 |
|
|
6.3 |
|
|
6.4 |
|
|
6.5 |
|
|
6.6 |
|
|
6.7 |
|
|
6.8 |
|
|
6.9 |
|
|
6.10 |
|
|
6.11 |
|
|
6.12 |
|
|
6.13. |
|
|
6.14 |
|
|
6.15 |
|
|
6.16 |
|
|
продолжение таблицы 6
6.17 |
|
|
6.18. |
|
|
6.19 |
|
|
6.20 |
|
|
6.21 |
|
|
6.22 |
|
|
6.23 |
|
|
6.24. |
|
|
6.25 |
|
|
6.26 |
|
|
6.27 |
|
|
6.28 |
|
|
6.29 |
|
|
6.30 |
|
|
7. Исследовать функцию на непрерывность и построить график.
Т а б л и ц а 7
f(x) |
f(x) |
7.1 |
7.2 |
7.3 |
7.4 |
7.5 |
7.6 |
7.7 |
7.8 |
7.9 |
7.10 |
продолжение таблицы 7
7.11 |
7.12 |
7.13 |
7.14 |
7.15 |
7.16 |
7.17 |
7.18 |
7.19 |
7.20 |
7.21 |
7.22 |
7.23 |
7.24 |
7.25 |
7.26 |
7.27 |
7.28 |
7.29 |
7.30 |
8. Найти
1) производные функций;
2) дифференциал функции из пункта б).
Т а б л и ц а 8
8.1 а) б) в) г) д) |
8.2 а) б) в) г) д) |
8.3 а) б) в) г) д) |
8.4 а) б) в) г) д) |
8.5 а) б) в) г) д) |
8.6 а) б) в) г) д) |
8.7 а) б) в) г) д) |
8.8 а) б) в) г) д) |
8.9 a) б) в) г) д)
|
продолжение таблицы 8
8.10 а) б) в) г) д) |
8.11 а) б) в) г) д) |
8.12 а) б) в) г) д) |
8.13 а) б) в) г) д) |
8.14 а) б) в) г) д) |
8.15 а) б) в) г) д) |
8.16 а) б) в) г) д) |
8.17 а) б) в) г) д) |
8.18 а) б) в) г) д) |
продолжение таблицы 8
8.19 а) б) в) г) д) |
8.20 а) б) в) г) д) |
8.21 a) б) в) г) д) |
8.22 а) б) в) г) д) |
8.23 а) б) в) г) д) |
8.24 а) б) в) г) д) |
8.25 а) б) в) г) д) |
8.26 а) б) в) г) д) |
8.27 а) б) в) г) д) |
продолжение таблицы 8
8.28 а) б) в) г) д) |
8.29 а) б) в) г) д) |
8.30 а) б) в) г) д) |
9. Найти производные методом логарифмического дифференцирования.
Т а б л и ц а 9
9.1 |
9.2 |
9.3 |
9.4 |
9.5 |
9.6 |
9.7 |
9.8 |
9.9 |
9.10 |
9.1 |
9.12 |
9.13 |
9.14 |
9.15 |
9.16 |
9.17 |
9.18 |
продолжение таблицы 9
9.19 |
9.20 |
9.21 |
9.22 |
9.23 |
9.24 |
9.2 |
9.26 |
9.27 |
9.28 |
9.29 |
9.30 |
10. Найти производные неявных функций.
Т а б л и ц а 10
10.1 x – y + arctg y = 0 |
10.2 xy = |
10.3 |
10.4 y = cos xy |
10.5 xy = ln(1 + y) |
10.6 x – y +3sin y = 0 |
10.7 |
10.8 x – y + 4sin y = 0 |
10.9 |
10.10 |
10.11 |
10.12 |
10.13 |
10.14 y + = 0 |
10.15 x = ln(x + y) |
10.16 y - = 0 |
10.17 - ln xy = 0 |
10.18 x + y = |
10.19 y = sin xy |
10.20 + x = cos xy |
10.21 xy = ln xy |
10.22 x + y= tg(x + y) |
10.23 y= |
10.24 + sin(x + y) = 0 |
10.25 + cos(x + y) = 0 |
10.26 xy + sin(x + y) = 0 |
10.27 xy + cos(x + y) = 0 |
10.28 tg y = 4y – 5x |
10.29 xy = ctg y |
10.30 xy – 6 = cos y |
11. Найти производные функций, заданных параметрически.
Т а б л и ц а 11
11.1 |
11.2 |
11.3 |
11.4 |
11.5 |
11.6 |
11.7 |
11.8 |
11.9 |
11.10 |
11.11 |
11.12 |
11.13 |
11.14 |
11.15 |
11.16 |
11.17 |
11.18 |
11.19 |
11.20 |
11.21 |
11.22 |
11.23 |
11.24 |
11.25 |
11.26 |
11.27 |
11.28 |
11.29 |
11.30 |
12. а) Составить уравнение касательной и нормали к графику функции в точке с абсциссой ;
б) вычислить приближённое значение функции в точке с помощью дифференциала.
Т а б л и ц а 12
f(x) |
|
|
f(x) |
|
|
12.1 |
27 |
7,96 |
12.2 |
1 |
1,02 |
12.3 |
1 |
31,8 |
12.4 |
1 |
16,04 |
12.5 |
3 |
2,9 |
12.6 |
-1 |
27,05 |
12.7 |
9 |
24,95 |
12.8 |
1 |
25,05 |
12.9 |
1 |
1,03 |
12.10 |
-128 |
128,5 |
12.11 |
1 |
15,98 |
11.12 |
-1 |
31,85 |
12.13 |
1 |
1,04 |
12.14 |
16 |
1,05 |
12.15 |
-1 |
32,05 |
12.16 |
-1 |
31,5 |
12.17 |
1 |
16,07 |
12.18 |
1 |
15,95 |
12.19 |
4 |
15,92 |
12.20 |
-1 |
1,01 |
12.21 |
1 |
31,95 |
12.22 |
1 |
16,05 |
12.23 |
1 |
0.95 |
12.24 |
-1 |
1,03 |
12.25 |
1 |
16,06 |
12.26 |
1 |
64,05 |
12.27 |
8 |
1,02 |
12.28 |
-8 |
1,05 |
12.29 |
1 |
15,91 |
12.30 |
1 |
0,98 |
13. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
Т а б л и ц а 13
f(x) |
|
f(x) |
|
13.1 |
|
13.2 |
|
13.3 |
|
13.4 |
|
13.5 |
|
13.6 |
|
13.7 |
|
13.8 |
|
13.9 |
|
13.10 |
|
13.11 |
|
13.12 |
|
13.13 |
|
13.14 |
|
13.15 |
|
13.16 |
|
13.17 |
|
13.18 |
|
13.19 |
|
13.20 |
|
13.21 |
|
13.22 |
|
13.23 |
|
13.24 |
|
13.25 |
|
13.26 |
|
продолжение таблицы 13
13.27 |
|
13.28 |
|
13.29 |
|
13.30 |
|
14. Для данной функции найти:
а) область определения и точки разрыва;
б) асимптоты графика функции;
в) точки пересечения графика с осями координат;
г) чётность и нечётность;
д) интервалы монотонности, точки экстремума;
е) интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба;
ж) построить график.
Т а б л и ц а 14 9(3)
f(x) |
f(x) |
f(x) |
14.1 |
14.2 |
14.3 |
14.4 |
14.5 |
14.6 |
14.7 |
14.8 |
14.9 |
14.10 |
14.11 |
14.12 |
14.13 |
14.14 |
14.15 |
14.16 |
14.17 |
14.18 |
14.19 |
14.20 |
14.21 |
14.22 |
14.23 |
14.24 |
14.25 |
14.26 |
14.27 |
14.28 |
14.29 |
14.30 |
15 Найти пределы по правилу Лопиталя
Т а б л и ц а 15
15.1 а) б)
|
15.2 а) б) |
15.3 а) б) |
15.4 а) б)
|
15.5 а) б) |
15.6 а) б) |
15.7 а) б) |
15.8 а) б) |
15.9 а) б) |
15.10 а) б) |
15.11 а) б) |
15.12 а) б) |
15.13 а) б) |
15.14 а) б) |
15.15 а) б) |
15.16 а) б) |
15.17 а) б) |
15.18 а) б) |
15.19 а) б) |
15.20 а) б) |
15.21 а) б) |
15.22 а) б) |
15.23 а) б) |
15.24 а) б) |
15.25 а) б) |
15.26 а) б) |
15.27 а) б) |
15.28 а) б) |
15.29 а) б) |
15.30 а) б) |
1.3 Решение типового варианта
При вычислении пределов, прежде всего, следует подставить предельную точку в функцию вместо переменной. Если получено вполне определённое значение (константа или бесконечность), то это значение является ответом. Если в результате подстановки получена одна из неопределённостей (возможны семь видов неопределённостей: , то, говорят, следует раскрыть неопределённость, т.е. вычислить предел, используя различные методы. Рассмотрим эти методы на примерах.
1. Найти предел при
а) а=1;
б) а=5.
Решение:
а) подставим предельную точку а=1 в функцию вместо , получим сразу ответ: ;
б) при подстановке а=5 получим неопределённость вида , которую можно раскрыть, применяя один из двух методов. Первый состоит в разложении числителя и знаменателя дроби на множители и сокращении на общий множитель: . Во втором методе применяют правило Лопиталя: . По этому правилу имеем .
2. Найти пределы:
а) ;
б) ;
в) .
Решение:
в каждом из этих пределов после подстановки получается неопределённость вида , для её раскрытия применяют правило 1.7 таблицы 18. В случае а) числитель и знаменатель имеют одинаковые степени , поэтому предел равен отношению коэффициентов старших степеней: ; в случае б) степень числителя больше степени знаменателя , поэтому ; в случае в) степень знаменателя больше степени числителя , поэтому .
3. Найти предел .
Решение:
при подстановке предельного значения получается неопределённость вида , которую в данном случае лучше раскрыть, умножая числитель и знаменатель на выражение, сопряжённое числителю. Одновременно знаменатель следует разложить на множители и затем сократить дробь на общий множитель:
. Если применить правило Лопиталя, то получится тот же результат: =.
4. Найти пределы:
а) ;
б) .
Решение:
а) при подстановке получим неопределённость вида , которую можно раскрыть, применяя, например, следующие методы. Первый – это приведение данного предела к форме второго замечательного предела :===.
Здесь мы использовали обобщённую форму второго замечательного предела . Второй метод – это использование формулы, которую часто применяют для раскрытия неопределённостей вида:
. По этой формуле == =(используем теорему о замене бесконечно малой функции эквивалентной ей бесконечно малой: при ) =
= . Формулу, приведённую выше можно не помнить, но использовать приём, который привёл к этой формуле: положим , прологарифмируем это равенство по основанию е: , и найдём =(см. вычисление этого предела выше)=5/2. Итак, , откуда ;
б) ==.
5. Найти пределы:
а) ;
б) , используя эквивалентные бесконечно малые.
Решение:
если , то называется бесконечно малой функцией или просто бесконечно малой (б. м.) при . Для сравнения бесконечно малых вычисляют предел их отношения. Пусть и бесконечно малые при , тогда если
1) , то б.м. более высокого порядка малости, чем , в этом случае пишут ;
2) , то б.м. более низкого порядка малости, чем ;
3) , то б.м. и одного порядка;
4) , то б.м. и эквивалентны, записывают ;
5) , то есть б.м. - го порядка по сравнению с.
При вычислении пределов с б.м. в ряде случаев используют теоремы об эквивалентных б.м.:
Теорема 1. Если , при , то
1) ;
2) .
Теорема 2. Алгебраическая сумма конечного числа б.м. эквивалентна слагаемому низшего порядка.
Итак, следуя этим теоремам, в пределах одну б.м. можно заменить другой эквивалентной ей, при этом используют таблицу эквивалентных б.м. (см. таблицу 19).
а) =(по таблице 19 , при )=
=-8;
б) =(с учётом таблицы 19 преобразуем =; - т.о. эта б.м. третьего порядка по сравнению с , - б.м. второго порядка относительно , () – б.м. первого порядка или одного порядка с , поэтому по теореме 2 сумма эквивалентна ())=.
6. Для функций и найти:
а) точку разрыва;
б) левый и правый пределы в точке разрыва;
в) определить характер точки разрыва.
Решение:
точками разрыва элементарной функции являются точки, в которых она не определена, но определена в их окрестности; если функция задана несколькими различными аналитическими выражениями, то точками разрыва могут быть точки, в которых меняется аналитическое выражение функции.
Односторонние пределы функции в точке определяются как предел , вычисленный в предположении, что всегда или . Итак, левый предел: =; правый предел: =.
Если функция непрерывна в точке , то выполняются равенства =; если точка разрыва, то последние равенства нарушаются, и характер этого нарушения лежит в основе классификации точек разрыва. Если и существуют, но , то точка разрыва первого рода с конечным скачком, разность - - скачок функции в точке ; если , то устранимая точка разрыва первого рода. Если хотя бы один из пределов или не существует или «равен» , то точка разрыва второго рода.
1) Рассмотрим . а) Точка х=-6 не входит в область определения этой функции, но функция определена в её окрестности, значит х=-6 точка разрыва; б) == 0, = =; в) так как один из односторонних пределов , то х=-6 точка разрыва второго рода.
2) Рассмотрим . а) Точка х=3 не входит в область определения этой функции, но функция определена в её окрестности, значит х=3 точка разрыва; б) == -, ==+; в) так как оба односторонних предела «равны» , то х=3 точка разрыва второго рода.
7. Исследовать функцию на непрерывность и построить график.
Решение:
данная функция определена на промежутке [0; ) и три составляющие её функции определены для всех из соответствующих интервалов, таким образом, точками разрыва могут быть только точки, в которых меняется аналитическое выражение функции, т.е. х=1 и х=2,5. Исследуем эти точки. Найдём односторонние пределы в х=1: =2; =2; значение функции в этой точке . Итак, , поэтому х=1 точка непрерывности.
Аналогично для х=2,5: =-1; = - 2; . Так как , то х=2,5 точка разрыва первого рода, -=-1 – скачок функции в этой точке. График имеет вид:
Рисунок 1
8. Найти:
1) производные функций
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) ;
2) дифференциал функции из пункта б).
Решение:
1) по определению производной функции называется предел . На практике при дифференцировании функций используют таблицу производных (см. таблицу 20) и основные правила дифференцирования: 1) ; 2) ; 3);
4) если или (где промежуточный аргумент), то или ; 5) если и взаимно обратные функции, то
а) Запишем функцию в виде , затем по правилу 1) и формулам 1), 2), 3), таблицы 20 имеем
=;
б) данную сложную функцию можно представить в виде . По правилу 4) нахождения производной сложной функции и, учитывая формулу 11) таблицы 20, имеем
;
в) используя таблицу производных 20 и правило 2), получим ; г) используя таблицу производных 20 и правило 3), получим
;
г) представим данную функцию в виде цепочки элементарных функций, вводя промежуточные аргументы . Теперь находим производную, используя таблицу производных 20 и правило 4) нахождения производной сложной функции ;
2) дифференциалом функции называется выражение , поэтому для функции дифференциал равен .
9. Найти производные методом логарифмического дифференцирования а); б) .
Решение:
метод логарифмического дифференцирования применяется для определения производных функций вида или громоздких, но удобных для логарифмирования функций (т.е. содержащих только операции умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня). Он состоит в последовательном выполнении следующих действий: логарифмированию функции по основанию е, дифференцированию полученного выражения (при этом производная находится как производная сложной функции) и нахождению производной из последнего равенства, как находят неизвестные из алгебраического уравнения.
а) после логарифмирования данной функции по основанию е получим , продифференцируем результат . Из последнего равенства найдём ;
б) применяя метод логарифмического дифференцирования,
последовательно находим:
;
;
;
;
.
10. Найти производную неявной функции .
Решение:
дифференцируем данное равенство, имея в виду, что есть функция от (т.е. сложная функция): . Из последнего равенства как из уравнения находим .
11. Найти производные и от функции, заданной параметрически .
Решение:
первая производная или просто производная параметрически заданной функции находится по формуле . Вторая производная – по формуле ; третья - и т.д. Для нашей функции, так как
, , то ; .
12. а) Составить уравнение касательной и нормали к графику функции в точке с абсциссой ;
б) вычислить приближённое значение функции в точке с помощью дифференциала.
Решение:
а) уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид , уравнение нормали - . Найдём , , . Таким образом, уравнение касательной или ; уравнение нормали или ;
б) при достаточно малых значениях приращение функции может быть заменено её дифференциалом . Развернув это приближённое равенство, получим формулу (*), которую применяют для приближённых вычислений, если требуется вычислить и если проще вычислить и , где достаточно близкая к точка. В нашем примере , пусть , тогда , , . Подставляя эти значения в формулу (*) получим .
13. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [1;e].
Решение:
если функция непрерывна на отрезке, то она обязательно имеет на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения, которые достигаются ей или в точках экстремума, лежащих внутри отрезка, или на границах этого отрезка.
Отсюда вытекает практическое правило для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [a;b]: 1) найти критические точки, лежащие внутри отрезка (т.е. точки, в которых производная функции равна 0 или не существует); 2) вычислить значения функции в этих критических точках и на концах отрезка, т.е. и ; 3) сравнить полученные значения: самое большое будет наибольшим значением, самое маленькое – наименьшим.
1) найдём критические точки функции , лежащие внутри отрезка [1;e]: ; при , не существует при . Но не входит в данный отрезок (и даже не входит в область определения функции), ; 2) вычислим значения функции на концах отрезка и в точке : , , ; 3) сравнивая полученные значения, делаем вывод: наибольшее значение функции равно при , наименьшее - при .
14. Для функции найти:
а) область определения и точки разрыва;
б) асимптоты графика функции;
в) точки пересечения графика с осями координат;
г) чётность и нечётность;
д) интервалы монотонности, точки экстремума;
е) интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба;
ж) построить график.
Решение:
а) областью определения функции является множество таких , при которых формула, задающая функцию, имеет смысл. Итак, для нашей функции - область определения, в неё не входят точки, при которых знаменатель равен 0, т.е. -2 и 2, эти точки являются точками разрыва функции;
б) вычислим односторонние пределы в точках разрыва =-, =+. Итак, точки -2 и 2 являются точками разрыва второго рода, поэтому прямые и будут вертикальными асимптотами. Найдём наклонную асимптоту , где , . Таким образом, - наклонная асимптота;
в) точки пересечения графика функции с осями координат: с ОХ: ; с ОУ: . Таким образом, график пересекает оси координат в начале координат, точке (0;0);
г) т.к. , то функция нечётная, её график симметричен относительно начала координат;
д) исследуем функцию на монотонность и найдём точки экстремума.
. , -
критические точки; не существует при , эти точки не являются критическими, т.к. не принадлежат области определения функции. Результаты исследования сведём в таблицу.
Т а б л и ц а 16
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
+ |
0 |
- |
- |
0 |
- |
- |
0 |
+ |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
возраст. |
max |
убыв. |
убыв. |
нет экстр |
убыв. |
убыв. |
min |
возраст. |
е) найдём интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
. , не существует при , эти точки не могут быть абсциссами точек перегиба, т.к. не принадлежат области определения функции. Результаты исследования сведём в таблицу.
Т а б л и ц а 17
|
|
|
0 |
|
|
|
- |
+ |
0 |
- |
+ |
|
|
|
0 |
|
|
|
выпукла |
вогнута |
перегиб |
выпукла |
вогнута |
(0;0) - точка перегиба;
ж) построим график функции:
Рисунок 2
15. Найти пределы по правилу Лопиталя:
а);
б) .
Решение:
а) правило Лопиталя см. в примере 1б). По этому правилу имеем ;
б). После подстановки предельной точки в функцию получим неопределённость вида , которую можно раскрыть по формуле, приведённой в примере 4а), или с помощью приёма, указанного в этом же примере. Положим и прологарифмируем это равенство по основанию е: . Применим правило Лопиталя при нахождении предела . Таким образом, , откуда .
Т а б л и ц а 18
Виды пределов |
Результат подстановки предельной точки |
Результат или метод вычисления предела |
1. |
неопределённость |
|
2.
|
, неопределённость |
а) разложение на множители; б) правило Лопиталя; в) умножение на сопряжённое выражение; г) применение эквивалентных бесконечно малых; д) правило 1 этой таблицы |
3. |
, , |
0 |
4. |
, , |
|
5. |
неопределённость |
привести к неопределённостям вида или , затем как в 1 или 2 этой таблицы |
6. |
, |
|
7. |
, |
0 |
8. |
неопределённость |
привести к неопределённостям вида или , затем как в 1 или 2 этой таблицы |
9. |
|
|
10. |
неопределённость |
а) привести ко второму замечательному пределу ; б) использовать формулу |
11. |
|
|
12. |
|
|
Т а б л и ц а 19
, т.е. – бесконечно малая при |
||
1. |
2. |
3. |
4. |
5. |
6. |
7. |
8. |
9. |
10. |
11. |
|
Т а б л и ц а 20
1. |
2. |
3. |
4. |
5. |
6. |
7. |
8. |
9. |
10. |
11. |
12. |
13. |
14. |
15. |
16. |
17. |
18. |
19. |
|
|
Список литературы
1. Хасеинов К.А. Каноны математики: Учебник. – Алматы: 2003.-686 с.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: в 2 ч. – М.: Высшая школа, 2003. – ч. 1,2.-352 с.
3. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: в 3 ч. (Рябушко А.П., Бархатов В.В. и др.). Под ред. Рябушко А.П. – Минск: Высш. школа, 2000.-ч.2,3 .-396 с.
Содержание
1 Теоретические вопросы………………………………….....…………….….3
2 Расчётные задания……………………………………..………………….….3
3 Решение типового варианта……………………………..………………….21
Список литературы ……………………………………………………………34