Рисунок 5.1

где v – фазовая скорость волны, то есть скорость, с которой распространяется  фиксированная фаза волны (например, гребень или, наоборот, - впадина волны).     

С введением волнового числа уравнение волны можно записать:

.                               (5.5)     

Уравнения 2,3 и 6 описывают плоскую гармоническую волну, которая не затухает. На самом деле в любой среде упругая волна затухает. Если среда однородная, то затухание происходит по экспоненциальному закону:

ξ(x,t)=A₀exp(-γx)cos(ωt-kx).                      (5.6)

Здесь γ – коэффициент поглощения среды, численно равный величине, обратной тому расстоянию, на котором в данной среде амплитуда колебаний убывает в e раз.

Уравнение бегущей сферической гармонической волны, распространяющейся в однородной изотропной поглощающей среде имеет вид:

               (5.7)

5.4 Волновое уравнение

Аналогично тому, как существуют основные уравнения динамики, которым подчиняются разнообразные механические движения (материальной точки, твердого тела), так и для волновых движений открыты основные уравнения, описывающие волновые процессы независимо от их природы и конкретного вида.

Найдем эту связь для волн типа (плоских волн произвольной формы)

ξ(x,t) =f( t ­ x/v).

Обозначим фазу волны φ=t­x/v.  Тогда

,

так как

,

,

так как

.

Из сопоставления полученных выражений следует, что справедливо: 

.

Это уравнение, однако, описывает лишь волны, которые распространяются в положительном направлении оси ОХ. При изменении направления знак «минус» в уравнении меняется на знак «плюс». Таким образом, можно написать:

 .                                           (5.8)

Это уравнение является одним из простейших волновых уравнений. Производная по времени  представляет собой скорость (проекцию вектора скорости на ось ОХ) частиц среды, с которой они колеблются вблизи своего положения равновесия.

Чтобы уяснить физический смысл производной , мысленно выделим в среде цилиндрический объем, ось которого совпадает с направлением распространения плоской продольной волны - осью ОХ. Выделим теперь в этом объеме малый элемент длины ∆x, ограниченный в отсутствие волны поперечными сечениями с координатами  x и x+∆x. Если сечение с координатой x имеет в некоторый момент времени смещение ξ, то смещение частиц среды, положение которых в отсутствие волны определяется координатой x+∆x,  будет равно ξ+∆ξ. Поскольку при прохождении волны смещения частиц, расположенных в разных сечениях, неодинаковы, то рассматриваемый элемент среды оказывается деформированным – он получает удлинение ∆ξ, которое может принимать как положительные, так и отрицательные, а также равные нулю значения.

Отношение  ∆ξ/∆x  дает среднее значение<ε>         относительного удлинения элемента стержня. Чтобы получить относительную деформацию ε нужно устремить ∆x к нулю. Таким образом, производная         ε= имеет смысл относительной деформации среды в сечении с координатой х.

В общем виде волновое уравнение, описывающее распространение волн в произвольном направлении, представляет собой линейное однородное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка:

                                               ,                                           (5.9)

здесь  v – фазовая скорость;

 - оператор Лапласа. В декартовых координатах он имеет вид:

                                               Δξ=.                               (5.10)

Волновое уравнение (5.9) справедливо лишь в случае однородных и изотропных сред, затухание в которых пренебрежимо мало.

         Всякая функция, удовлетворяющая уравнению вида (5.9), описывает некоторую волну. Нетрудно непосредственно подстановками убедиться, что гармонические волны также удовлетворяют данному уравнению. Так, в случае плоской гармонической волны, распространяющейся вдоль оси ОХ:

Δξ==-Ak²cos(ωt-kx),                    =- Aω²cos(ωt-kx).

Таким образом, в случае плоской волны волновое уравнение имеет вид:

.                                        (5.11)     

         5.5 Энергия упругих волн. Вектор Умова – вектор плотности потока энергии упругой волны 

Источник волнового движения – колебательная система. За счет ее энергии возникают колебания частиц. Передача энергии от колеблющегося тела к частицам среды называется излучением. Упругая среда, в которой распространяется механическая волна, обладает дополнительной энергией, которая складывается из кинетической энергии колебательного движения частиц среды и потенциальной энергии упругой деформации этой среды. Эту энергию и называют энергией упругой волны.

         Объемная плотность кинетической энергии среды плотностью ρ, в которой распространяется волна, равна:

w_k=.                                      (5.12)     

Наличие деформации растяжения (сжатия) означает, что в рассматриваемом сечении (с координатой х) имеется нормальное напряжение σ=, которое согласно закону Гука  равно σ=Eε=E, где  E – модуль Юнга упругой среды.

Фазовая скорость продольных упругих волн, как следует из расчетов, которые основываются на применении второго закона Ньютона и закона Гука, равна корню квадратному из модуля Юнга, деленного на плотность вещества:

v=.                                                 (5.13)

Потенциальная энергия упругой деформации, которой обладает единичный объем среды, равна

w_p==.                            (5.14)

         Таким образом, объемная плотность энергии упругой волны равна

w==w_k+w_p=.                    (5.15)

Поскольку согласно (5.9) оба слагаемых в (5.15) равны друг другу, то плотности кинетической и потенциальной энергии упругой деформации в упругой волне одинаковы и меняются синфазно, поэтому справедливо:

w = ρ² ;                                              (5.16)

например, для плоской гармонической волны:

                                      w = ρА²ω²sin²(ωt­kx) = ρА²ω².     (5.17)

Из (5.17) следует, что мгновенное значение плотности энергии  изменяется с частотой 2ω в пределах от w_min=0 до w_max=ρA²ω². 

         Усредненное за период значение объемной плотности энергии упругой плоской гармонической волны равно:

<w> = ρА²ω².                                   (5.18)

Возбужденная за счет излучаемой энергии источника волна осуществляет передачу энергии в среде. Скорость переноса энергии волной равна скорости перемещения в пространстве поверхности, соответствующей максимальному значению w. В случае гармонической волны она равна фазовой скорости v.

Энергия течет в направлении распространения волны. Количество энергии, переносимое волной через некоторую поверхность площадью S в единицу времени, называется потоком энергии через эту поверхность:

              Φ_w=.                                                        (5.19)

         Плотностью потока энергии волны называется физическая величина, численно равная потоку энергии через единичную площадку, перпендикулярную направлению переноса энергии

         Рисунок 5.2

                                                          j_w=.                                             (5.20)

Выделим мысленно в среде элемент объема  в виде очень малого наклонного цилиндра с площадью основания dS и образующей длиной dl=vdt. Размеры этого цилиндра должны быть малы настолько, чтобы во всех его точках плотность энергии w была бы одинакова. Тогда количество энергии, заключенной в этом объеме, равно:

dW=wdV=w·v·dt·dS·cosα,

где α – угол между нормалью n к площадке dS и вектором v скорости распространения волны. За промежуток времени dt это количество энергии протечет через площадку dS, следовательно, плотность потока энергии будет равна     

j_w== wv         .            (5.21)

         Для того чтобы охарактеризовать направление распространения энергии волной вводят вектор Умова:

                                                        j_w=wv.                                                 (5.22)

         Интенсивностью I волны называют усредненное по времени значение плотности потока энергии:

.                               (5.23)

         В случае плоской гармонической волны:

I=ρA²ω²v .                                         (5.24)

         Зная вектор Умова во всех точках интересующей нас поверхности S, можно найти поток энергии через данную поверхность:

                                                        .                  (5.25)

6 Лекция. Электромагнитные волны

6.1 Волновое уравнение для электромагнитного поля

Согласно теории Максвелла, подтвержденной огромной совокупностью опытных фактов, электрические и магнитные явления взаимосвязаны: переменное электрическое поле порождает магнитное поле и, в свою очередь, изменяющееся магнитное поле создает в окружающем пространстве вихревое электрическое поле. Таким образом, если в некоторой области пространства возбудить с помощью колеблющихся зарядов переменное электромагнитное поле, то оно не остается локализованным в этой области. В окружающем пространстве возникает последовательность взаимных превращений электрического и магнитного полей, распространяющихся с определенной скоростью от точки к точке. Этот процесс, периодический во времени и в пространстве, представляет собой волну.

Можно показать, что существование электромагнитных волн вытекает из уравнений Максвелла.

Рассмотрим особенно простой случай плоской электромагнитной волны, распространяющейся вдоль оси ОХ в однородной и изотропной диэлектрической среде, в которой отсутствуют свободные электрические заряды и макроскопические токи, то есть выполняются условия  j=0   и   ρ_q=0. В этом случае уравнения Максвелла имеют следующий вид

rotE= -                                                (I)                  

divD =0                                                              (II)

                                                        rotH =                                                (III)                                                                               divB =0                                                  (IV)

D= εε₀E                                                   (V)

B= μμ₀H.                                               (VI)

         Распишем  (I) ротор вектора E по компонентам с учетом (VI):

rotE=      = i +j  + k  =

- i  -  j  -  k  = - μμ₀ (i+ j+ k).                        (6.1)

         Поскольку волна плоская и распространяется вдоль оси ОХ, постольку производные компонентов E, D, B и H по координатам y и z равны нулю:

0 ,                =0.              (6.2)

Из уравнений (6.1) и (6.2) вытекают следующие равенства:

         0,               ,              .                   (6.3)

Аналогично, из уравнений (III) и (6.2) можно получить следующую группу равенств:

         =0,                ,                       .            (6.4)

          Чтобы получить волновое уравнение для электромагнитного поля и тем самым показать, что электромагнитные волны могут существовать, продифференцируем по x второе и третье из уравнений (6.3)

.

         Таким образом доказана справедливость соотношений

,                                 (6.5)

.                                (6.6)

Каждое из уравнений (6.5) и (6.6) представляет собой волновое уравнение для компонентов E_z и E_y электрического вектора волны, а коэффициент пропорциональности перед второй производной по времени – это величина, обратная квадрату фазовой скорости электромагнитной волны:

v=,                                           (6.7)

где   - скорость света в вакууме.

Аналогично, можно получить волновые уравнения для H_z и H_y:

,                          .              (6.8)

Таким образом показано, как из уравнений Максвелла вытекает существование электромагнитных волн.

6.2 Свойства электромагнитных волн

6.2.1 Из равенства нулю производных E_x и H_x как по координатам y и  z, так и по времени t, следует, что E_x и H_x не зависят ни от координат, ни  от времени. Следовательно, для переменных электрического и магнитного полей плоской волны, распространяющейся по оси ОX,  выполняется условие:

E_x=H_x=0,

то есть векторы E и H  перпендикулярны к направлению распространения волны - оси ОХ. Это означает, что электромагнитная волна поперечная.

         6.2.2 Векторы E и H не только перпендикулярны к направлению распространения волны, но и взаимно перпендикулярны. Для доказательства рассмотрим следующую пару уравнений: второе из  (6.3) и третье из (6.4)

,                                  .

         Из последних уравнений следует, что изменяющееся во времени электрическое поле E_z, направленное вдоль оси OZ, порождает магнитное поле H_y, направленное вдоль оси OY, а изменение во времени магнитного поля H_y, в свою очередь, порождает электрическое поле E_z, направленное вдоль оси OZ. При этом  ни поля E_y, ни поля H_z не возникает. Аналогично, если взять другую пару уравнений (6.3) и (6.4), то из них следует, что если изменяющееся во времени электрическое поле E направлено вдоль оси OY, то оно порождает магнитное поле H, направленное вдоль оси OZ. Все это свидетельствует о том, что E H.

         6.2.3 Мгновенные значения электрического и магнитного полей волны взаимосвязаны. Покажем это на примере плоской электромагнитной волны произвольной формы (то есть не обязательно гармонической по форме), распространяющейся вдоль положительного направления оси ОХ:

E_y=E_y(t-x/v),                                   H_z=H_z(t-x/v).

        Введя обозначение φ=t-x/v, найдем производные E_y по x и H_z  по y

,                               

и подставим их в третье уравнение (6.4)

,

поскольку v=, то 

.

Получается, что между мгновенными значениями электрического и магнитного полей существует связь:

.                                   (6.9)

         6.2.4 Это выражение также означает, что векторы E и H не только взаимно перпендикулярны, но и составляют вместе с вектором v скорости распространения волны правовинтовую тройку векторов: если вращать рукоять правого винта по кратчайшему направлению от вектора E к вектору H, то направление поступательного движения винта совпадает с направлением распространения волны (см.рисунок 6.1).

         Рисунок 6.1                                                        Рисунок 6.2

6.2.5 Соотношение (14) также означает,  что поля E и H изменяются по одному и тому же закону (с одинаковой частотой и в одинаковой фазе), то есть синфазны: проекции E_y и H_z одинаковы по знаку, они одновременно обращаются в ноль и одновременно достигают максимума (см.рисунок 6.2).  

         Уравнения плоской гармонической электромагнитной волны, распространяющейся вдоль оси OX:

E=jE_mcos(ωt-kx+φ₀),                            (6.10)

H=kH_mcos(ωt-kx+φ₀),                          (6.11)

где j и k  - единичные вектора, направленные вдоль осей OY и OZ; 

k=2π/λ – волновое число; 

λ=vT – длина волны.

6.2.6 В однородной диэлектрической среде фазовая скорость электромагнитных волн зависит от электрических и магнитных свойств этой среды - диэлектрической ε и магнитной μ проницаемостей (6.7).     

Тот факт, что скорость распространения электромагнитных волн в вакууме совпадает со скоростью света  = 3,0·10⁸ м/с, послужил Максвеллу основанием для физического вывода об электромагнитной природе света и разработки электромагнитной теории света (1865 г.).

         Первые эксперименты с электромагнитными волнами выполнил в 1888 году Г. Герц. Результаты этих экспериментов полностью соответствовали теории Максвелла.

6.3 Энергия и импульс электромагнитной волны. Вектор Пойнтинга

Энергия электромагнитной волны складывается из энергии электрического и магнитного полей волны. Поэтому плотность энергии, распределенной в области пространства, в которой распространяется электромагнитная волна, равна:

w=w_e+w_m= .       (6.12)

С учетом (14) связи между значениями напряженностей электрического и магнитных полей получается, что плотности энергии обоих полей волны (в вакууме и диэлектрической среде) равны между собой:

.    (6.13)

        Таким образом, плотность энергии электромагнитной волны равна

.                            (6.14)

Умножив выражение для w на скорость v волны, получим соотношение, определяющее плотность потока энергии электромагнитной волны:

                                                        j_w= wv=EH.                                     (6.15)

Векторы E и H взаимно перпендикулярны и образуют с вектором v скорости волны правовинтовую тройку векторов. Следовательно, векторное произведение [E,H] по направлению совпадает с направлением переноса энергии, а модуль этого вектора равен плотности потока энергии j_w . Вектор плотности потока энергии электромагнитной волны называют вектором Пойнтинга:

 j_w= wv= [E,H].                                      (6.16)

Напомним, что аналогичный по своему физическому смыслу вектор плотности потока энергии упругой волны называется вектором Умова. По модулю векторы Умова и Пойнтинга равны количеству энергии, переносимой волной в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны, поэтому единица их измерения 1Вт/м². 

         Интенсивность  волны, по определению,  равна усредненной за период (или за очень большой по сравнению с периодом промежуток времени) плотности потока энергии волны:

         I=<j_m>= <w>v.                                (6.17)

         В случае плоской гармонической волны вида (15) плотность энергии равна

                                                        w== εε₀E²= εε₀Е_m²cos²(ωt-kx)       .  (6.18)

         Интенсивность такой волны, согласно (6.17), (6.18) и с учетом равенства <cos²(ωt-kx)>=0,5

                                                        I=E_m²,                           (6.19)

то есть, интенсивность электромагнитной  I волны пропорциональна квадрату амплитуды ее электрической напряженности E_m.

         Максвелл показал, что электромагнитные волны, отражаясь или поглощаясь в телах, на которые падают, оказывают на них давление. Это давление объясняется силовым действием магнитного поля волны на электрические токи, которые возбуждаются электрическим полем той же волны. 

Поскольку электромагнитная волна оказывает давление на тело, следовательно, она обладает импульсом. Иначе говоря, распространение электромагнитной (так же как и упругой) волны сопровождается переносом импульса. Если энергия, переносимая волной, равна W, то величина переносимого ею импульса

p=W/c.                                                 (6.20)

         Импульс волны, отнесенный к единице объема, можно выразить через вектор плотности потока энергии (вектор Пойнтинга)

                                                        .                                                   (6.21)

6.4 Излучение диполя

Согласно представлениям классической электродинамики электромагнитные волны возбуждаются электрическими зарядами, движущимися с ускорением. Простейшей излучающей системой является электрический диполь, момент которого изменяется периодически.

         Рассмотрим излучение гармонического осциллятора – элементарного диполя, размер ℓ которого много меньше длины волны ℓ<<λ, а электрический момент изменяется со временем по гармоническому закону

p=p_mcosωt .                                                  (6.22)

Примером такой системы служит неподвижный точечный заряд +q  и колеблющийся около него точечный заряд – q. Вблизи диполя картина электромагнитного поля очень сложная. Она упрощается в так называемой волновой зоне диполя, то есть на расстояниях r, значительно превышающих длину волны r>>λ. Если волна распространяется в однородной  и  изотропной среде, то волновые поверхности в волновой зоне имеют сферическую форму. Направление векторов E и H в каждой точке перпендикулярно к лучу; при этом E направлен по касательной к «меридиану», а H – по касательной к «параллели» (см.рисунок 6.3). 

В каждой точке векторы E и H колеблются по закону cos(ωt-kr), иначе говоря, заряд, совершающий гармонические колебания с частотой ω, излучает монохроматическую волну той же частоты.  Амплитуды E_m и H_m зависят от расстояния r до излучателя и от угла  между направлением радиус-вектора и осью диполя, для вакуума эта зависимость имеет вид:

             E_m ~H_m~.

         Рисунок 6.3

Интенсивность волны согласно (6.19) равна:

 I~.                           (6.23)

Из (6.23) следует, что интенсивность волны изменяется вдоль луча обратно пропорционально квадрату расстояния r. Кроме того, она сильно зависит от угла . На рисунке 6.4 приведена полярная диаграмма направленности излучения.   Вдоль оси диполя излучение отсутствует (I=0), а в направлениях, перпендикулярных к оси, интенсивность излучения максимальна.

Теоретические расчеты показывают, что мощность излучения диполя (энергия, излучаемая в единицу времени) пропорциональна квадрату второй производной дипольного момента по времени:

     P~,                                  (6.24)

         Рисунок 6.4

для гармонически осциллирующего диполя:

P~ p_m²ω⁴cos²ωt.                                 (6.25)

Усреднение за период колебания T=2π/ω дает:

                                                        <P>~ p_m²ω⁴.                                                (6.26)

Таким образом, средняя мощность излучения диполя пропорциональна квадрату амплитуды его дипольного момента и четвертой степени частоты.

         При решении некоторых проблем в оптике (дисперсия, поглощение в средах, поляризация) атом рассматривают как излучающий диполь, в котором оптический электрон совершает колебания около ядра. Также, всякая реальная передающая антенна может быть представлена как совокупность точечных диполей.

7 Лекция. Свет как электромагнитная волна

7.1 Суперпозиция волн. Волновой пакет. Групповая скорость

Уравнение гармонической волны описывает волну бесконечную во времени и безграничную в пространстве. Но в реальности волновое движение ограничено во времени, поскольку излучение любой волны длится конечный промежуток времени. Значит, реальные волны, которые представляют практический интерес, не являются гармоническими и монохроматическими. В этом случае  так же, как и в случае ангармонических колебаний, можно применить разложение в ряд Фурье по гармоническим функциям. Но сначала рассмотрим обратную задачу: что происходит, если в некоторой области пространства одновременно распространяется несколько волн? 

Опыт показывает, что в линейных средах волны распространяются независимо друг от друга и справедлив принцип суперпозиции:

                                               ξ = ξ_i ,                                                        (7.1)

при распространении в линейной среде нескольких волн каждая из них распространяется независимо от других так, что результирующее смещение частицы среды равно геометрической сумме смещений в каждой из волн в отдельности.

Линейными называют среды, свойства которых не зависят от внешних полей. Например, диэлектрическая проницаемость ε такой среды не зависит от величины  E  напряженности электрического поля. Упругая среда является линейной, если ее модуль Юнга не зависит от величины деформаций.

Особую роль играют одиночные возмущения (короткий волновой импульс  от выстрела, взрыва или вспышки); их можно представить как волновые пакеты.   

         Волновой пакет – это группа близких по волновым числам и по частотам монохроматических волн, амплитуды и фазы которых таковы, что в любой момент времени их сложение дает локализованный в некотором объеме пространства одиночный волновой импульс.

Волновой пакет характеризуется средними значениями волнового числа k₀ и частоты ω₀, и интервалами ∆k и ∆ω в спектральных разложениях волнового пакета по волновым числам и частотам:

(k₀ - ∆k) ≤ k ≥ (k₀ + ∆k),                                       ∆k<< k₀  ,                                                                      

(ω₀ - ∆ω) ≤ ω ≥ (ω₀+∆ω),                                    ∆ω<< ω₀ .  

Установлено, что чем меньше временная длительность ∆t пакета, тем больше интервал частот ∆ω в его спектральном разложении; и - чем короче его пространственная протяженность Δx, тем больше интервал волновых чисел ∆k. 

Пусть в одном направлении с одной и той же скоростью v распространяются две плоские гармонические волны с одинаковыми амплитудами A₀ и близкими по значению частотами (ω и ω+dω) и волновыми числами (k и k+dk). 

Согласно принципу суперпозиции:

.

Формально полученное выражение можно рассматривать как уравнение квазигармонической волны с медленно периодически изменяющейся амплитудой: 

                                                        .                     (7.2)

        За скорость u распространения этой несинусоидальной волны принимают скорость перемещения точки M, в которой амплитуда имеет максимальное значение. Следовательно, точка M движется по закону (tdω-xdk)=const. Величина                                      

                                         (7.3)     

называется групповой скоростью (скоростью группы волн). Поскольку в этой точке максимальна и плотность энергии, то групповая скорость и есть скорость перемещения энергии волны. 

         Связь между групповой и фазовой скоростями волны имеет вид:

                                                        .                                          (7.4)

7.2  Дисперсия волн

          Дисперсией называется зависимость фазовой скорости распространения монохроматической волны от ее частоты ω или длины волны λ, то есть зависимость v=f(ω),  либо .

         Для всех прозрачных бесцветных сред с увеличением длины λ волны в видимой части спектра показатель преломления n= уменьшается, а скорость v увеличивается. В этом случае дисперсия называется нормальной.

         Рассмотрим распространение произвольной волны как совокупности монохроматических составляющих. Если дисперсия отсутствует, то все эти составляющие распространяются с одинаковыми фазовыми скоростями и потому не смещаются друг относительно друга. Значит, при отсутствии дисперсии (например, в случае электромагнитных волн в вакууме и звуковых волн в воздухе) любая волна сохраняет в процессе распространения свою форму.

При наличии дисперсии сложные (негармонические) волны изменяют свою форму, в частности происходит расплывание волновых пакетов. При этом групповая скорость (7.4) может быть как больше, так и меньше фазовой.

7.3  Свет как электромагнитная волна

Согласно теории Максвелла свет – электромагнитное излучение, длины волн которого лежат в пределах  от 0,001 мкм до 100 мкм, то есть свет, в широком смысле слова, включает ультрафиолетовую, видимую и инфракрасную области спектра. Длины волн видимого света лежат в интервале от 380 нм до 770 нм (в вакууме), а частоты занимают диапазон ν=(0,39 .  Белый свет – составной, он представляет собой наложение волн, длины λ которых охватывают весь диапазон воспринимаемых глазом  электромагнитных волн.

         При переходе из  вакуума в прозрачную (диэлектрическую) среду частота ν световых  колебаний не изменяется, а фазовая скорость и длина волны уменьшаются в  n раз:    

,                                     ;                   (7.5)

здесь - длина волны в вакууме, n – показатель преломления этой среды.

Для подавляющего большинства прозрачных веществ  и зависит от .

         В электромагнитной волне колеблются векторы E и H. Физиологическое, фотохимическое, фотоэлектрическое и другие действия света вызываются колебаниями электрического вектора E, поэтому его называют световым вектором. Интенсивность монохроматической световой волны пропорциональна квадрату амплитуды  светового вектора .

7.4 Интерференция света  

Пусть в некоторой области перекрываются две световые, то есть электромагнитные волны. В линейных средах и в вакууме взаимодействие между полями отсутствует. Поэтому волны распространяются независимо друг от друга и в области перекрытия имеет место суперпозиция полей   

E=E₁+E₂ .

Все без исключения приемники света инерционны. Для глаза время разрешения составляет по порядку величины τ ≈ 0,1 с, у фотоматериалов  τ ≈ 10^-2÷10^-4 с, в ячейках Керра (оптические затворы) τ ≈ 10^-9 с. Наиболее быстродействующие современные фотоэлементы имеют τ ≈ 10^-10 с, но и в этом случае τ>>T, то есть время разрешения τ много больше периода T  световых колебаний, так как в области видимого света T≈10^-15 с. Поэтому все приемники света могут измерить величину, пропорциональную среднему за время разрешения τ квадрату напряженности <E²>,  то есть интенсивность света I.

В области, в которой перекрываются две световые волны, приемник может зафиксировать величину, равную

I=<(E₁+E₂ )²>= I₁ + I₂ +2<E₁E₂>.         (7.6)

Последнее слагаемое в выражении (6.9) называется интерференционным членом. Его величина может быть выражена в виде

<cosδ>,                                    (7.7)

где δ – разность фаз складываемых колебаний.

Результаты сложения волн определяются тем, являются ли волны когерентными или нет:

а) если две волны излучаются двумя независимыми источниками, то разность фаз таких волн в каждой точке (например, экрана) непрерывно изменяется случайным образом, принимая с равной вероятностью любые значения от 0 до 2π, тогда <cos δ> = 0,   І₁₂ = 0  и

I = I₁ + I₂ .                                                 (7.8)

Таким образом, при наложении некогерентных волн наблюдаемая интенсивность равна сумме интенсивностей каждой из волн в отдельности;

         б) если разность фаз δ, возбуждаемых волнами колебаний, остается постоянной во времени, то волны называются когерентными и в этом случае

I=I₁ + I₂ +2.                           (7.9)

         Рассмотрим случай, когда обе волны строго монохроматичны и имеют одну и ту же частоту ω. Монохроматическая волна – это строго синусоидальная волна с постоянными во времени частотой ω, амплитудой A и начальной фазой φ; при этом амплитуда и начальная фаза могут меняться от одной точки пространства к другой, а частота одна и та же везде.

В точках пространства, где выполняется условие cos δ = 1,  или         

                                               δ=0, 2π, 4π, 6π,…,                                         (7.10)

при разности фаз, равной четному числу π, возникают максимумы интенсивности I_max =I₁ + I₂ +2.                              

Минимумы возникают в таких точках, в которых cos δ = -1, значит, условие образования интерференционного минимума имеет вид:               

δ=π, 3π, 5π,…,                                    (7.11)

то есть, разность фаз должна быть равна нечетному числу π. При этом             

I_min =I₁ + I₂  - 2 .

Таким образом, при наложении когерентных волн происходит перераспределение потока в пространстве, в результате чего в одних местах возникают максимумы, а в других – минимумы интенсивности. Это явление называется интерференцией волн.

Частным случаем интерференции является образование стоячей волны. Стоячая волна образуется при наложении двух когерентных волн, распространяющихся в противоположных направлениях.

Пусть вдоль оси OX распространяются во встречных направлениях две монохроматические с частотой ω и одинаковой амплитудой A₀  волны

E₁=A₀cos(ωt­kx)                      и                          E₂=A₀cos(ωt+kx).

В результате их наложения  образуется волна

E =E₁ + E₂ = 2 A₀coskx·cosωt.              (7.12)

Амплитуда полученной волны определяется выражением

                                              ‌.                                    (7.13)

В отличие от бегущей волны амплитуда стоячей волны зависит от координаты x. В точках, в которых │coskx‌│= 1, амплитуда удваивается (максимальна) и равна 2A₀, а в точках, где │coskx‌│= 0, амплитуда равна нулю (минимальна). Эти точки называют соответственно пучностями и узлами стоячей волны.

7.5 Временная и пространственная когерентность

Излучение обычных источников (не лазеров) некогерентно; это обусловлено тем, что оно складывается из волн, излучаемых громадными совокупностями его атомов. Процесс излучения атома продолжается в течение времени, длительностью порядка 10^-8 с. За это время успевает образоваться цуг волн длиной примерно 3 м. Свет от обычного источника представляет хаотичную последовательность отдельных цугов. Поэтому при наложении световых волн от разных источников фазовые соотношения между колебаниями многократно изменяются случайным образом, и устойчивой интерференционной картины не возникает.

Тем не менее, когерентные световые волны можно получить даже от обычных источников. Общий метод таков: волну, излучаемую одним источником света, разделяют каким–либо способом на две части, которые затем в некоторой области пространства перекрываются. В области перекрытия происходит наложение интерференция расщепленных «половинок» элементарных волновых цугов, излученных отдельными атомами.  

Оптическая длина пути L – это произведение расстояния ℓ, которое проходит волна в некоторой среде, на показатель n преломления в данной среде . Разность оптических длин проходимых волнами путей от точки расщепления до точки их наложения называют оптической разностью хода:

.                        (7.14)

Связь между разностью фаз двух волн и оптической разностью хода

.                                            (7.15)

         Тогда условие образования интерференционных максимумов:

,                   m=0, 1, 2, 3,…                            (7.16)

         Интерференционные минимумы наблюдаются, если волны приходят в противофазе, при этом оптическая разность хода равна нечетному числу полуволн:

                   ,                       m=0, 1, 2, 3,…                            (7.17)

Когерентностью называется согласованное протекание нескольких колебательных или волновых процессов.

Согласованное протекание волновых процессов, происходящих в одной и той же точке, но в разные моменты времени, называют временной когерентностью. Промежуток времени τ_ког, в течение которого случайные изменения начальной фазы волны в данной точке достигают значения порядка π, называется временем когерентности. За это время колебание становится некогерентным по отношению к самому себе. Расстояние, на которое перемещается волна за время τ_ког, называют длиной когерентности  . Следовательно, расщепленные волны, приходящие в точку наблюдения с разностью хода, равной или превышающей ℓ_ког, не образуют интерференционной картины, т.к. некогерентны.

Соответствующий расчет дает, что время когерентности обратно пропорционально интервалу частот , представленных в данной световой волне:   . Это означает, что чем уже интервал частот, представленных в данной световой волне, тем больше время когерентности этой волны. Для монохроматической волны  и время когерентности .

Длину когерентности можно оценить с помощью соотношения . Для солнечного света λ=0,50 мкм (зеленая часть спектра) и Δλ=0,40 мкм, тогда

ℓ_ког≈(0,50)²/0,40 мкм ≈0,6 мкм=0,6·10^{-3 мм.}

Пространственная когерентность – это согласованное протекание колебательных процессов, которые совершаются в один и тот же момент времени в разных точках поверхности, перпендикулярной направлению распространения волны (так называемой квазиволновой поверхности). Пространственная когерентность зависит от условий излучения и формирования световых волн. В реальной световой волне, излучаемой множеством независимых атомов протяженного источника света, разность фаз колебаний в двух точках квазиволновой поверхности Q, - случайная функция времени.

         Радиусом когерентности ρ_ког  называют расстояние между двумя точками поверхности Q, случайные изменения разности фаз δ, в которых достигают порядка π. Если источник имеет форму диска, диаметр которого виден из данной точки под углом φ, то. Для Солнца φ≈0,01 рад, λ≈0,50 мкм, ρ_ког ≈0,05 мм.

7.6 Методы наблюдения интерференции света

         7.6.1 Опыт Юнга. В опыте Юнга пучок яркого солнечного света пропускался через узкую щель S. Прошедшим светом освещались две узкие параллельные и близко расположенные щели S₁ и S₂ во втором непрозрачном экране. На экране в области перекрытия пучков наблюдались параллельные чередующиеся темные и светлые интерференционные полосы. 

Расстояние между двумя соседними максимумами интенсивности называют расстоянием между интерференционными полосами, а расстояние между соседними минимумами интенсивности – шириной интерференционной полосы. Расстояние между полосами и ширина полосы имеют одинаковое значение, равное        

        .                                              (7.18)

         Рисунок 7.1

7.6.2 Интерференция в тонких пленках. Пусть на плоскопараллельную пленку толщины d с показателем преломления n падает параллельный пучок монохроматического света с длиной волны  λ₀.При отражении от обеих поверхностей пленки разность хода между волнами 1 и 2 (см.рисунок 7.1) равна                                 

. 

«Потеря» полуволны обусловлена тем, что при отражении от оптически более плотной среды (с бóльшим показателем преломления n) фаза отраженной волны скачком изменяется на , а при отражении от оптически менее плотной среды – не изменяется.

После геометрических преобразований и с учетом закона преломления света:

.                           (7.19)

         7.6.3  Кольца Ньютона. При отражении света от поверхностей зазора между стеклянной пластиной и прижатой к ней плоско-выпуклой линзой наблюдаются кольца Ньютона. При нормальном падении света интерференционная картина имеет вид чередующихся темных и светлых концентрических колец. В отраженном свете в центре картины - темное пятно; радиусы темных колец:

 ,                                         (7.20)

где m  - номер кольца,   m=1, 2, 3, …;    

R – радиус кривизны линзы.

8 Лекция. Дифракция волн

8.1 Принцип Гюйгенса-Френеля

В однородных и изотропных средах распространение  волн происходит прямолинейно и подчиняется  законам геометрической оптики.

В средах с резкими неоднородностями, например, вблизи краев непрозрачного экрана или отверстия, наблюдается дифракция - огибание волнами препятствий (соизмеримыми с длиной волны падающего света) и проникновение в область геометрической тени (отклонение от законов геометрической оптики).

         Рисунок 8.1

Для объяснения и расчета дифракционных явлений в теории волн применяется принцип Гюйгенса-Френеля.

Согласно принципу Гюйгенса-Френеля каждый элемент волновой поверхности (в общем случае - любой вспомогательной поверхности, до которой доходит излучение) dS можно рассматривать как источник вторичной сферической волны. Поскольку эти вторичные волны являются составными частями единой исходной волны, они когерентны между собой, поэтому в произвольной точке наблюдения P, в которую приходят вторичные волны, будет  происходить их наложение (интерференция), в результате чего волны либо  усиливают друг друга, либо гасят.

 Амплитуда вторичной волны пропорциональна площади элемента волновой поверхности dS, на расстоянии r от него она убывает по закону 1/r. Следовательно, от каждого элемента волновой поверхности в точку наблюдения P (см.рисунок 8.1) приходит колебание светового вектора 

dE=K(φ)cos(ωt-kr+α),                   (8.1)

где (ωt+α) – фаза колебания в месте расположения поверхности S;

r – расстояние от элемента dS поверхности до точки P;

A – множитель, определяемый амплитудой световой волны в том месте, где находится площадка dS;

K(φ) – коэффициент, зависящий от угла φ между нормалью n к площадке dS и  направлением от нее к точке P. При φ =0 этот коэффициент максимален, при φ =  π/2 он обращается в нуль.

Результирующее колебание в точке P представляет собой суперпозицию колебаний (8.1), взятых по той части волновой поверхности S, которая открыта для точки наблюдения  P:

.                         (8.2)

Формула (8.2) - аналитическое выражение принципа Гюйгенса – Френеля.

8.2 Метод зон Френеля

В тех случаях, когда источники света имеют симметричную форму и соответственной симметрией обладают волновые поверхности излучаемых ими волн, амплитуду  результирующего колебания можно найти простым алгебраическим или геометрическим суммированием.  

Этот простой и эффективный метод носит название метода зон Френеля и заключается в следующем. В качестве вспомогательной поверхности выбирается одна из волновых поверхностей (во всех точках которой фазы волны одинаковы). Эта поверхность разбивается на участки, называемые зонами Френеля, таким образом, чтобы разность хода волн от внутреннего и внешнего краев каждого участка до точки наблюдения была равна половине длины волны λ/2. В некоторых случаях вместо точки наблюдения задается некоторое направление в пространстве, тогда половине длины волны должна равняться разность хода волн от краев участка в данном направлении.

Рассмотрим метод зон Френеля на примере точечного источника света S, волновые поверхности которого представляю собой (в однородной и изотропной среде) концентрические сферы. Рассмотрим одну из этих сфер, удаленную от точки наблюдения на расстоянии b. Разобьем эту волновую поверхность на кольцевые зоны таким образом, что расстояния от краев (внутреннего и внешнего) каждой зоны отличались на  λ/2. Ясно, что расстояние от края первой (центральной) зоны до точки P, равно (b+λ/2), а от внешнего края m–ой зоны – (b+mλ/2).

Колебания, приходящие в точку P от аналогичных участков (например, лежащих в середине зон, или у внешних краев) двух соседних зон, приходят в противофазе. Поэтому и результирующие колебания, создаваемые каждой из зон в целом, будут для соседних зон отличаться по фазе на π. Следовательно, вторичные волны двух соседних зон будут приходить в точку наблюдения в противофазе и при наложении друг друга гасить.

Точный расчет дает, что площади кольцевых зон при не слишком больших m примерно одинаковы. Расстояние b_m от зоны до точки P медленно растет с ростом номера m. Все это приводит к тому, что амплитуда A_m  колебания, возбуждаемого m–ой зоной в рассматриваемой точке P, монотонно убывает с ростом m, так что

A₁> A₂>A₃>A₄> … > A_m-1>A_m>A_m+1> …

Вследствие монотонного убывания амплитуд оказывается, что амплитуда A_m колебания от некоторой   m–й зоны Френеля равна среднему арифметическому от амплитуд примыкающих к ней зон

A_m =.                                       (8.3)

Фазы колебаний, возбуждаемых соседними зонами, отличаются на π,  поэтому амплитуда A результирующего колебания в точке P может быть представлена в виде знакопеременного ряда

A= A₁ – A₂ + A₃ – A₄+ A₅- …                 (8.4)

Перепишем выражение (6.4) следующим образом

                                                    (8.5)

С учетом соотношения (8.3) при m→ ∞ (на пути от источника S до экрана P нет никаких препятствий) выражение (8.5) упрощается

A = A₁/2.                                                 (8.6)

Полученное соотношение означает, что амплитуда, создаваемая в некоторой точке  P всей сферической волновой поверхностью, равна половине амплитуды, создаваемой одной лишь центральной зоной.  

Рисунок 8.2

Если на пути волны поставить непрозрачную преграду с вырезанным в ней круглым  отверстием, оставляющим открытой лишь одну центральную зону, то амплитуда в точке  P будет равна A₁, то есть в два раза будет больше, чем A. Соответственно интенсивность света  в этом случае будет в четыре раза больше, чем в отсутствие преград между источником и экраном (между точками  S и P).   

Внешний радиус m–ой кольцевой зоны можно определить по формуле

.                                       (8.7)

Из соотношения (8.4) следует, что если между источником S и экраном P находится круглая диафрагма (отверстие в непрозрачной преграде), то интенсивность света в точке наблюдения P – центре дифракционной картины - будет зависеть от того, сколько зон укладываться в этом отверстии.

Минимумы интенсивности будут наблюдаться при четном числе зон m =2,4,6,… (поскольку колебания от каждой пары соседних зон взаимно гасят друг друга),  а  максимумы – при нечетном числе зон m =1,3,5,… В целом, дифракционная картина  от круглого отверстия имеет вид чередующихся светлых и темных колец. 

Рисунок 8.3

8.3 Дифракция на одной и многих щелях

Пусть на узкую длинную щель шириной a падает по нормали к ней плоская световая волна. Поместим за щелью собирающую линзу, а в фокальной плоскости линзы - экран (см.рисунок 8.3).

Дифракционная картина на экране при освещении узкой щели  монохроматическим светом от лазера представляет собой систему симметрически расположенных вдоль прямой линии светлых (того же цвета, что и лазерное излучение) пятен, при этом в центре картины располагается максимум, по интенсивности значительно превосходящий остальные максимумы. Максимумы разделены минимумами.

Дифракционные минимумы наблюдаются при таких углах дифракции θ, для которых в щели укладывается четное число зон Френеля:  

,                                        (8.8)

где  m – порядок минимума, принимает значения 1, 2, 3, …

Дифракционная решетка представляет собой совокупность большого числа расположенных в одной плоскости, отстоящих друг от друга на одно и то же расстояние, одинаковых параллельных щелей.

Расстояние d между серединами соседних щелей называется периодом (или постоянной) решетки. Период решетки равен сумме ширины щели a и непрозрачного промежутка между щелями: d=a+b.

Для получения более четкой дифракционной картины между дифракционной решеткой и экраном располагают собирающую линзу так, что экран находится в ее фокальной плоскости (см.рисунок 8.4).

При прохождении через дифракционную решетку имеет место, во-первых, интерференции световых волн, дифрагировавших на каждой щели в отдельности; во-вторых, интерференция волн, дифрагировавших от разных щелей. При этом положение минимумов (8.8), соответствующих дифракции на одной щели, остается неизменным и при дифракции на N щелях.

         Положение главных дифракционных максимумов при нормальном падении параллельного пучка монохроматического света длиной волны λ на дифракционную решетку определяется из формулы:

                   dsinθ = mλ ,                                      m=0, 1, 2, 3, …, m_пред ,                 (8.9)     

         где m_пред – наибольший порядок наблюдаемого максимума, равный целому числу , ближайшему к отношению d/λ  с меньшей стороны.

         8.4 Спектральное разложение

Положение дифракционных максимумов (кроме центрального) зависит от длины волны λ. Поэтому при падении на решетку немонохроматического (например, белого) света разным длинам волн будут соответствовать сдвинутые относительно друг друга максимумы, то есть все максимумы ненулевого порядка (m=1, 2,…) разложатся в спектр.    

Таким образом, дифракционная решетка позволяет установить спектральный состав направленного на нее излучения и потому представляет собой спектральный прибор. Если излучение состоит из нескольких монохроматических волн, например, λ₁ и λ₂, то и каждый из максимумов (кроме центрального) будет состоять из отдельных (двух - в нашем примере) спектральных линий; причем очень важно, что максимумы для каждой длины волны (при большом числе N щелей в дифракционной решетке) получаются очень узкими. Поэтому решетка – это спектральный прибор высокого разрешения.

Рисунок 8.4

В отличие от стеклянной призмы дифракционная решетка:

а) сильнее отклоняет не фиолетовые, а наоборот, красные лучи – с большей длиной волны λ;

б) равномерно растягивает спектр, в то время как призма – неравномерно, т. к. длинноволновая (красная) часть ее спектра сжата, а коротковолновая (фиолетовая) более растянута.

9 Лекция. Тепловое излучение

9.1 Характеристики и законы теплового излучения

Свечение тел, т.е. излучение телами электромагнитных волн, может осуществляться за счет различных видов энергии. Испускание электромагнитных волн за счет внутренней энергии тел - тепловое излучение.  Все остальные виды свечения, возбуждаемые за счет любого вида энергии,  кроме  внутренней – люминесценция: хемилюминесценция, электролюминесценция, катодолюминесценция, фотолюминесценция. Тепловое излучение –  равновесное, все остальные виды излучения неравновесные. К равновесным состояниям и процессам применимы законы термодинамики.

Энергетическая светимость тела R, испускательная способность тела   связаны между собой соотношением

.                            (9.1)

Пусть поток лучистой энергии,  падающий на элемент площади - dФ_w, а dФ часть потока, поглощенная телом.  Безразмерная величина

,                                            (9.2)

называется  поглощательной способностью тела. Для абсолютно черного тела  , если  , то тело – серое.

Закон Кирхгофа гласит: отношение испускательной и поглощающей способностей не зависит от природы тела, оно является для всех тел одной и той же (универсальной) функцией частоты (длины волны) и температуры:

                (9.3)

или

.                                  (9.4)

Функция  f (w, Т) может  быть  названа  испускательной  способностью абсолютно черного  тела.

При теоретических исследованиях для характеристики спектрального состава равновесного теплового излучения удобнее пользоваться функцией частоты f (w, Т). В экспериментальных работах  - функцией длины волны. Обе функции связаны друг с другом формулой

.           (9.5)

         Абсолютно черных тел в природе не существует. Однако можно создать устрой­ство, сколь угодно близкое по своим свойствам к абсолютно черному телу. Такое устрой­ство представляет собой почти замкнутую полость, снабженную малым отверстием  и из­лучение, проникшее внутрь через отверстие, прежде чем выйти обратно из отверстия, претерпевает многократные отражения. При  каждом отра­жении часть энергии поглощается, в результате чего практи­чески все излучение любой частоты поглощается такой по­лостью. Согласно закону Кирхгофа испускательная способ­ность такого устройства очень близка к  f (w, Т) Т – темпера­тура стенок полости. Если стенки полости поддерживать при некоторой температуре  Т, то из отверстия выходит излуче­ние, близкое по спектральному составу к излучению абсо­лютно черного тела. Результаты опытов по исследованию поведения функции   приведены на рисунке 9.1. 

В равновесном состоянии энергия излучения будет распределена в объеме полости с определенной плотностью энергии u = u (T). Спектральное распределение этой энергии можно охарактеризовать функцией  u (w, Т), определяемой условием  где доля плотности энергии, приходящаяся на интервал частот  Полная плотность энергии u (T) связана с функцией u (w, Т) формулой

                                   (9.6)

Рисунок 9.1

Универсальная функция  связана со спектральным  распределением плотности энергии  выражением:

.                                   (9.7)

Закон Стефана-Больцмана связывает энергетическую светимость абсолютно черного тела с его абсолютной температурой

                                                        ,                       (9.8)

где s - постоянная Стефана-Больцмана.

Закон смещения Вина связывает абсолютную температуру и длину волны на которую приходится максимум функции

                                               ,                                                              (9.9)

где b - константа, численно равная (экспериментальное значение):

b = 2,90 10 м.К.

9.2 Проблемы излучения абсолютно черного тела

Полученная по классической теория формула Релея-Джинса выглядит следующим образом:

                             (9.10)

или 

.                              (9.11)

Эта формула удовлетворительно согласуется с экспериментальными данными лишь при больших длинах волн и резко расходится  с опытом для малых длин волн (рисунок 9.2).  Подстановка формулы (9.10)  в  (9.6) дает для равновесной плотности энергии u (T)  бесконечно большое значение. Этот результат, получивший название ультрафиолетовой катастрофы, также находится в противоречии с опытом.

Равновесие между излучением и излучающим телом устанавливается при конечных значениях u (T).                                                                    Рисунок 9.2

9.3 Квантовая гипотеза и формула Планка

Формула Планка (1900 г.): h или   -  постоянная Планка. Величина энергии квантов пропорциональна частоте излучения

.                                               (9.12)

Можно показать, что средняя энергия излучения частоты w равна

,                                         (9.13)

тогда

               (9.14)

(9.14)  –  формула Планка, дает исчерпывающее описание равновесного теплового излучения.

10 Лекция. Корпускулярные свойства электромагнитного излучения

10.1 Фотоэффект

Явление фотоэффекта (1887 г.) – Г. Герц. Опыты А.Г. Столетова по исследованию явления фотоэффекта (1888 – 1889 гг.) Опыты Ленарда и других исследователей по усовершенствованию прибора А.Г. Столетова (1898 г.)

10.2 Энергия и импульс световых квантов

Опыт Боте. Фотоны. Энергия и импульс фотона. Масса покоя фотона. Согласно гипотезе световых квантов Эйнштейна, свет испускается, поглощаются и распространяется дискретными порциями (квантами), названными фотонами. Масса фотона может быть определена из закона взаимосвязи массы и энергии

                                                                                                    (10.1)

Фотон  - элементарная частица, которая всегда движется со скоростью света с и имеет массу покоя, равную нулю.

         Импульс фотона определяется по формуле

                                                                                                     (10.2)

Фотон, как и любая другая частица, характеризуется энергией, массой и импульсом. Выражения (1), (2) связывают корпускулярные характеристики фотона – массу, импульс и энергию с волновой характеристикой света – его частотой .

         Поскольку фотоны обладают импульсом, то свет, падающий на тело, должен оказывать на него давление:

                                                                                               (10.3)

 есть энергия всех фотонов, падающих на единицу поверхности в единицу времени, т.е. энергетическая освещенность поверхности, - коэффициент отражения света.

         Формула (3) выведенная на основе квантовых представлений, совпадает с выражением, получаемым из электромагнитной теории Максвелла.

10.3 Гипотеза и уравнение Эйнштейна

Идея А. Эйнштейна по объяснению закономерностей фотоэффекта. Формула Эйнштейна

.                                 (10.4)

Условие возникновения фотоэффекта  

,                                              (10.5)

где  А – работа выхода.

или   

 .                                    (10.6)

Частота w₀ или длина волны l₀ - красная граница фотоэффекта.

10.4 Эффект Комптона

Эффект Комптона (1923 г.). А. Комптон, исследуя рассеяние рентгеновских лучей различными веществами, обнаружил, что в рассеянных лучах наряду с излу

чением первоначальной длины волны  содержатся также лучи большей длины волны .

                                                                                              Рисунок 10.1

Оказалось, что            

                                                                                      (10.7)

угол, образуемый направлением рассеянного излучения с направлением первичного пучка. Т.е.  разность Dl  от длины волны l и от природы вещества не зависит. Схема опыта показана на рисунке 10.1. На рисунке 10.2 приведены результаты исследования рассеяния монохроматических (характеристических) рентгеновских лучей (линия ) молибдена на графите. Кривая а характеризует первичное излучение. Остальные кривые относятся к разным углам рассеяния , значения которых указаны на рисунке. По оси ординат отложена интенсивность излучения, по оси абсцисс – длина  волны.                                                                       Рисунок 10.2       Все особенности эффекта Комптона можно объяснить, рассматривая рассеяние как процесс упругого столкновения рентгеновских фотонов с практически свободными электронами. Если на первоначально покоящийся свободный электрон падает фотон с энергией  и импульсом   (см.рисунок 10.3), то используя законы сохранения энергии и импульса, можно показать, что:

                                                                                                        Рисунок 10.3

                                                      ,                            (10.8)

где

                                                                                                         (10.9)

носит название комптоновской длины волны. Определяемая выражением (10.6) дает для комптоновской длины волны электрона значение

.   

Результаты измерений Комптона и последующих измерений находятся в полном согласии с формулой (10.9), если подставить в неё значение для . 

11  Лекция. Корпускулярно-волновой дуализм вещества как универсальное свойство материи. Уравнение Шредингера

11.1 Гипотеза де Бройля и ее экспериментальное подтверждение

Гипотеза де Бройля (1924 г.) – дуализм не является особенностью одних только оптических явлений, но имеет универсальное значение. Фотон обладает энергией

и импульсом

         .

По идее де Бройля движение электрона или какой-либо другой частицы связано с волновым процессом, длина волны которого равна

,                                      (11.1)

а частота

.                                                (11.2)

Опыт Дэвиссон – Джермер (1927 г.) – отражение электронов от монокристалла никеля (кубическая система) (см.рисунок 11.1). Рассеяние оказалось особенно интенсивным при определенном значений угла рассеяния j, который соответствовал отражению от атомных плоскостей, расстояние между которыми d было известно из рентгенографических исследований (см.рисунок 11.2).                                                                                                                                                                              Рисунок 11.1

Рисунок 11.2

Вычисленная по формуле (11.1) длина волны для максимального тока (U) равна 1,67 А. Брэгговская длина волны, отвечающая условию

2dSin,

равнялась 1,65 А. Опыты Дэвиссона – Джермера подтвердили идеи де Бройля.

В 1927 г. Г.П. Томсон и независимо от него П.С. Тартаковский  получили дифракционную картину при прохождении электронного пучка через металлическую фольгу.

Было обнаружено, что дифракционные явления обнаруживаются также у атомных и молекулярных пучков.

Л.М. Биберман, Н.Г. Сушков, В.А. Фабрикант (1949 г.) – опыт со слабым электронным пучком.

11.2 Волновые свойства микрочастиц и соотношение неопределенностей Гейзенберга

В классической механике состояние материальной точки определяется заданием динамических переменных (координата, импульс, энергия и т.д.).

Своеобразие микрочастиц - при измерениях не для всех переменных получаются определенные значения:

.                                         (11.3)

Любая микрочастица не может иметь одновременно точных значений координаты x и компоненты импульса  р. Если одна из переменных имеет точное значение, другая переменная при этом оказывается совершенно неопределенной.

В.Гейзенберг (1927 г.): Произведение неопределенностей значений двух сопряженных переменных не может быть по порядку величины меньше постоянной Планка . (Принцип неопределенности Гейзенберга). Энергия  Е и время  t  - также канонически сопряженные величины, поэтому

.                                           (11.4)

11.3 Уравнение Шредингера. Состояние частицы в квантовой механике. Пси-функция. Временное и стационарное уравнения Шредингера

Э. Шредингер (1926 г.) – в развитие идеи де Бройля о волновых свойствах вещества получил свое  временное уравнение

.                             (11.5)

- комплексная функция (пси- функция) координат и времени, характеризует состояние микрочастицы. Это основное уравнение нерелятивистской квантовой механики. Для стационарных состояний оно имеет вид:

.                          (11.6)

В квантовой механике большую роль играет понятие оператора. Под оператором подразумевают правило, посредством которого одной функции сопоставляется другая функция:

.

Здесь - символическое обозначение оператора. Под символом оператора скрывается совокупность действий, с помощью которых исходная функция (j) превращается в другую функцию (f). Оператор может, в частности, представлять собой умножение исходной функции  на некоторую функцию U. Тогда = U и, следовательно, . Если рассматривать функцию U в уравнении (11.6) как оператор, действие которого на пси-функцию сводится к умножению  на U, то уравнению (11.6) можно придать вид

.                                       (11.7)

В этом уравнении символом  обозначен оператор энергии Е, его называют оператором Гамильтона или гамильтонианом:

.                                   (11.8)

По Борну (1926 г.) квадрат модуля функции определяет вероятность dP того, что частица будет обнаружена в пределах объема dV

.                     (11.9)

А - коэффициент пропорциональности, для пси-функции выполняется следующее условие нормировки:

.                                   (11.10)

Из смысла функции вытекает, что квантовая механика имеет статистический характер. Уравнение Шредингера позволяет найти пси – функцию данного состояния и, следовательно, определить вероятность нахождения частицы в различных точках пространства. Из уравнения (11.6) и условий, налагаемых на пси – функцию, непосредственно вытекают правила квантования энергии.

Пси – функция должна быть однозначной, непрерывной и конечной, кроме того она должна иметь непрерывную и конечную производную – стандартные условия.

В уравнение Шредингера входит в качестве параметра полная энергия частицы Е. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнения вида (11.6) имеют решения, удовлетворяющие стандартным условиям, не при любых значениях энергии Е, а лишь при некоторых избранных значениях. Эти избранные значения называются собственными значениями соответствующей величины, т.е. энергии. Решения, соответствующие собственным значениям Е, называются собственными функциями задачи. Совокупность собственных значений называется спектром величины. Если эта совокупность образует дискретную последовательность, спектр называется дискретным. Если собственные значения образуют непрерывную последовательность, спектр называют непрерывным или сплошным.

11.4 Решение уравнения Шредингера для простейших квантовых систем. Задача о частице в одномерной прямоугольной яме

Найдем собственные значения энергии и соответствующие им собственные функции для частицы, находящейся в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме. Предположим, что частица может двигаться только вдоль оси x. Пусть движение ограничено непроницаемыми для частицы стенками: x = 0 и x =l. Потенциальная энергия  в этом случае равна нулю при  и обращается в бесконечность при x < 0 и x > l (см.рисунок 11.3а). Уравнение Шредингера для такой задачи упрощается:

Рисунок 11.3

,                      (11.11)

функция удовлетворяет условию

,                                 (11.12)

l - ширина ямы.

Можно показать, что собственные значения энергии частицы являются дискретными:

                                                        (n = 1, 2, 3, . . .).                     (11.13)

Таким образом, энергия частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» принимает лишь определенные дискретные значения,  т. е. квантуется (см.рисунок 11.4 б). Квантованные значения энергии называются уровнями энергии, а число n, определяющее энергетические уровни частицы, называется главным квантовым числом. Собственные функции имеют вид:

Рисунок 11.4

 (n =1, 2, 3, . . .).           (11.14)

Рассмотрение плотности вероятности обнаружения частицы на различных расстояниях от «стенок» ямы показывает,  что поведение микрочастицы указывает на то, что представления о траекториях в квантовой механике несостоятельны (см.рисунок 11.3 а,б). Из выражения (11.13) вытекает, что энергетический интервал между соседними уровнями равен

                                               .                                      (11.15)

Если рассмотреть относительное расстояние между уровнями DЕ_n/E_n ~1/n, то будет иметь место сближение уровней с ростом n.   Этот результат является частным случаем принципа соответствия Бора (1923 г.), согласно которому законы квантовой механики должны при больших значениях квантовых чисел переходить в законы классической физики. Более общая трактовка принципа соответствия: всякая новая, более общая теория, являющаяся развитием классической, не отвергает её полностью, а включает в себя классическую теорию, указывая границы её применения, причем в определенных случаях новая теория переходит в старую.

11.5 Атом водорода. Энергетический спектр атома водорода. Пространственное квантование

Эта задача сводится к задаче о движении электрона в кулоновском поле ядра.

Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром, обладающим зарядом Ze (для атома водорода Z = 1),

                           ,                              (11.16)

где r - расстояние между электроном и ядром (рисунок 11.3). U(r) с уменьшением  r  (при приближении электрона к ядру) неограниченно убывает.

Рисунок 11.3

С учетом (11.6) стационарное уравнение Шредингера примет следующий вид:

                              (11.17)

где m – масса электрона;

Е – полная энергия электрона в атоме.

Поле, в котором движется электрон, является центрально -симметричным. Поэтому нужно воспользоваться сферической системе координат: r,

Можно показать, что уравнение (11.17), в сферической системе координат, имеет требуемые (т.е. однозначные, конечные и непрерывные) решения в следующих случаях:

1) при любых положительных значениях Е;

2) при  дискретных отрицательных значениях энергии, равных:

(n = 1, 2, 3, …).        (11.18)

Самый нижний уровень  отвечающий  минимальной  возможной  энергии, - основной, все остальные (n = 2,3, …) – возбужденные. При отрицательных энергиях движение электрона является связанным – он находится внутри гиперболической «потенциальной ямы». По мере роста главного квантового числа n энергетические уровни располагаются теснее и при  n =  При Е  движение электрона является свободным, эта область непрерывного спектра соответствует ионизованному атому. Энергия  ионизации атома  водорода равна

                                                         .

Выражение (12.8) совпадает с аналогичной формулой, полученной Бором для энергии атома водорода. Однако если Бору пришлось вводить свои постулаты, то в квантовой механике дискретные значения энергии, являясь следствием самой теории, вытекают из решения уравнения Шредингера.

В квантовой механике доказывается, что уравнению Шредингера (12.7) удовлетворяют собственные функции , определяемые тремя квантовыми числами: главным  n, орбитальным l , и магнитным  .

Главное квантовое число n определяет энергетические уровни электрона в атоме и может принимать любые целочисленные значения, начиная с единицы:

n = 1,2,3, …

Из решения уравнения Шредингера вытекает, что момент импульса (механический орбитальный момент) электрона квантуется, т.е. не может быть произвольным, а принимает дискретные значения, определяемые формулой:

                                                                                         (11.19)

         где  l – орбитальное квантовое число, которое при заданном  n принимает значения

                                                        l = 0,1, …, (n – 1),

т.е. всего  n   значений, и определяет момент импульса электрона в атоме.

Из решения уравнения Шредингера следует также, что вектор  момента импульса электрона может иметь лишь такие ориентации в пространстве, при которых его проекция  на направление z внешнего магнитного поля принимает квантованные значения, кратные :

                                         (11.20)

где  - магнитное квантовое число, которое при  заданном  l  может принимать значения

                      (11.21)

т.е. всего 2l + 1 значений. Таким образом, магнитное квантовое число  определяет проекцию момента импульса электрона на заданное направление, причем вектор момента импульса электрона в атоме  может иметь в пространстве 2l + 1 ориентаций. Число различных состояний, соответствующих  данному n, равно

                                                                                         (11.22)

         Вероятность обнаружения электрона в различных частях атома различна. Электрон при своем движении как бы «размазан» по всему объему, образуя электронное облако, плотность которого характеризует вероятность нахождения электрона в различных точках объема атома. Квантовые числа n и l характеризуют размер и форму электронного облака в пространстве.

         В атомной физике, по аналогии со спектроскопией, состояние электрона, характеризующееся квантовыми числами l = 0, называют s- состоянием, l = 1 – p- состоянием, l = 2 – d- состоянием, l = 3 – f- состоянием и т.д. Значение главного квантового числа указывается перед условным обозначением орбитального квантового числа. Например, электроны в состояниях с n = 2 и l = 0 и 1 обозначаются соответственно символами  2s и 2p.

         Квантовые числа n, l, и  позволяют более полно описать спектр испускания (поглощения) атома водорода, полученный в теории Бора.

В квантовой механике вводятся правила отбора, ограничивающие число возможных переходов электронов в атоме, связанных с испусканием и поглощением света:

1) изменение орбитального квантового числа  удовлетворяет условию

                                            (11.23)

2) изменение магнитного квантового числа  удовлетворяет условию

                                     (11.24)

11.6  Спин электрона

Опыты О. Штерна и В. Герлаха по прямым измерениям магнитных моментов в неоднородном магнитном поле (1922 г.).

Для объяснения тонкой структуры спектральных линий, а также ряда других трудностей в атомной физике американские физики Д. Уленбек и С. Гаудсмит предположили, что электрон обладает собственным неуничтожимым механическим моментом импульса, не связанным с движением электрона в пространстве, - спином.

Спин электрона (и всех других микрочастиц) – квантовая величина, у неё нет классического аналога; это внутреннее неотъемлемое свойство электрона, подобное его заряду и массе.

Если электрону приписывается собственный механический момент импульса (спин) , то ему соответствует собственный магнитный момент  . Спин квантуется по закону

                                   (11.25)